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Lezioni 11-12 • Principio di Pauli esteso

• Coniugazione di carica

• Numeri quantici additivi: carica, numero

barionico, numero leptonico, stranezza, ipercarica,

ipercarica generalizzata

•Inversione temporale. Dipolo elettrico del neutrone

•Teorema CPT

•G-parità

2

CONSERVAZIONE DELL’ ISOSPINDal momento che le interazioni forti conservano l’isospin, tutti gli adroni

possiedono il numero quantico dell'isospin, e quindi essi appartengono a multipletti di isospin. Ciò è evidente dall’osservazione che le masse di più mesoni o barioni sono quasi identiche fra loro, mentre le loro differenze sono imputabili alle interazioni e.m. (quelle deboli sono ininfluenti). Infatti la massa di una particella può essere considerata come l’autovalore associato alla Hamiltoniana della particella nel sistema a riposo della particella stessa. La Hamiltoniana totale che descrive le interazioni di un adrone sarà data da:

H = H strong + H e.m. + H weak

Dal momento che le interazioni forti sono indipendenti dalla terza componente dell’isospin, le masse di particelle appartenenti allo stesso multipletto di isospin saranno uguali per quanto riguarda la parte determinata da H strong che è quella dominante. L’interazione e.m. provocherà solo un piccolo “split” (separazione) tra i valori delle masse, mentre quella debole non avrà praticamente alcun effetto.

3

PRINCIPIO DI PAULI ESTESO Se consideriamo il protone e il neutrone come particelle identiche, almeno per quanto riguarda le interazioni forti, la funzione d’onda di due nucleoni può essere cosi espressa:

(N1, N2) = spazio spin isospin

Essa deve essere antisimmetrica per scambio dei due nucleoni, cioè:

(N1, N2) = - (N2, N1)

Esaminiamo separatamente il comportamento delle tre funzioni per scambio dei due nucleoni.

1) spazio Abbiamo già visto che lo scambio di coordinate di due nucleoni equivale a una inversione del sistema di coordinate, pertanto la funzione con i nucleoni scambiati è uguale a quella con i fermioni non scambiati moltiplicata per un fattore (-1)L: spazio(N1, N2) = spazio( r1- r2 )

spazio (N2, N1) = spazio( r2- r1) = (-1)L spazio(N1, N2)

4

PRINCIPIO DI PAULI ESTESO (continua)2) spin Lo scambio dei due nucleoni nella funzione di spin introduce un fattore

(-1)S+1 rispetto alla funzione precedente in quanto lo stato S=0 è antisimmetrico per scambio dei due nucleoni e lo stato S=1 è simmetrico:

spin (N1, N2) spin (N2, N1) = (-1)S+1 spin (N1, N2)

3) isospin La composizione degli isospin è identica a quella degli spin.

| 1 1 = | ½ ½ | ½ ½ = | p | p

| 1 0 = (1/ 2) ( | ½ ½ | ½ -½ + | ½ -½ | ½ ½ ) =

= (1/ 2) ( | p | n + | n | p )

| 1 -1 = | ½ -½ | ½ -½ = | n | n

| 0 0 = (1/ 2) ( | ½ ½ | ½ -½ - | ½ -½ | ½ ½ ) =

= (1/ 2) ( | p | n - | n | p )

I = 1

SIMMETRICO

I = 0 ANTISIMME TRICO

5

Pertanto se il sistema N-N si trova in uno stato di isospin simmetrico, cioè I=1, la parte di spazio e spin dovrà essere antisimmetrica, cioè:

1) I=1 Simmetrica

spazio spin = Antisimmetrica. (-1)L+S+1= -1 L+S=pari

2) I=0 Antisimmetrica

spazio spin = Simmetrica (-1)L+S+1= +1 L+S=dispari

La forza nucleare, che non dipende da I3, sarà dunque la stessa per gli stati con I=1 (cioè pp, nn, pn simmetrico), ma sarà diversa da quella dello stato con I=0 (pn antisimmetrico). Non esistono in natura stati legati pp, nn, pn simmetrico, mentre esiste lo stato legato di deutone, che è costituito da una combinazione antisimmetrica di p-n. Quindi, per il deutone:

I = 0 (antisimmetrico)

L + S = pari

per L=0 S=0 stato: 1S0 per L=2 S=0 stato 1D0

6

Lo stato finale p0 è uno stato:

| I1=½ , I1,z = + ½ ; I2=1 , I2,z = 0 >

che può essere scomposto sulla base degli stati a isospin I=3/2 e I=1/2 attraverso i coefficienti di Clebsch-Gordan:

1/2 ,2/1 3

11/2) ,2/3

3

2)0 ,1( ; 1/2) ,2/1(π p 0

1/2) ,2/3 H 1/2) ,2/3

3

21/2 ,2/3 H 1/2 ,2/1

3

11/2) ,2/3 H 1/2) ,2/3

3

2

1/2) ,2/3 H )0 ,1( ; 1/2) ,2/1(π p

0M

Ricordando che la + è uno stato | 3/2 ; +1/2 > l'ampiezza del primo processo sarà:

Una conseguenza della simmetria di isospin è la predizione dei rapporti di decadimento di alcune risonanze nucleoniche. Consideriamo il rapporto tra i tassi di decadimento dei due decadimenti seguenti:

2

200

|π n|

|π p|

π n

π p

M

M

7

Analogamente per il secondo processo. Lo stato n + può essere così scomposto sulla base degli stati con I=3/2 e I=1/2:

1/2 ,2/1 3

21/2) ,2/3

3

1)1 ,1( ; 1/2)- ,2/1(π n

Pertanto l'ampiezza del secondo processo è:

1/2) ,2/3H 1/2) ,2/3

3

11/2 ,2/3 H 1/2 ,2/1

3

21/2) ,2/3H 1/2) ,2/3

3

1

1/2) ,2/3 H )1 ,1( ; 1/2)- ,2/1(π n

M

Il rapporto sarà pertanto:

2

3

13

2

1/2) ,2/3H 1/2) ,2/3 3

1

1/2) ,2/3 H 1/2) ,2/3 3

2

π n

π p

2

2

0

8

Analogamente per il decadimento della 0 in pioni e nucleoni:

π p o π n 000

1/2- ,2/1 3

21/2)- ,2/3

3

1)1- ,1( ; 1/2) ,2/1(π p

1/2- ,2/1 3

11/2)- ,2/3

3

2)0 ,1( ; 1/2)- ,2/1(π n

0

2

3

13

2

1/2)- ,2/3 H 1/2)- ,2/3 3

1

1/2)- ,2/3H 1/2)- ,2/3 3

2

π p

π n

2

2

0

00

Ricordando che la 0 è uno stato | 3/2 ; -1/2 > l'ampiezza del primo processo sarà:

9

Sempre per effetto della conservazione dell' isospin nelle interazioni forti, possiamo scomporre l'hamiltoniana delle interazioni forti in termini che agiscono su stati a isospin definito. Ad esempio, lo stato generico di pione-nucleone è ottenuto dalla composizione di due isospin e pertanto il suo isospin totale potrà valere:

3/2 ,2/1I 1 I 1/2 I πNπN

L'hamiltoniana delle interazioni forti può allora essere scomposta nella somma di due contributi, uno che determina transizioni tra stati con I=1/2 e l'altra tra stati con I=3/2:

3/2STRONG HHH 1/2

Studiamo come esempio la diffusione pione-nucleone nei suoi vari contributi:

carica) (scambio p π nπ n π pπ

)(elastiche n π nπ p π pπ n πn π p π pπ00

Le ampiezze di questi 6 processi sono in realtà riconducibili a due sole ampiezze indipendenti tra loro.

10

Infatti la scomposizione dei vari stati su una base di stati con I=1/2 e I=3/2 è data da:

1/2 2/13

11/2 2/3

3

2 1/2 1/2, ; 0 1, p π

1/2- 2/13

11/2- 2/3

3

2 1/2 1/2, ; 0 1, nπ

1/2 2/13

21/2 2/3

3

1 1/2 1/2, ; 1 1, nπ

1/2- 2/13

21/2- 2/3

3

1 1/2 1/2, ; 1 1, pπ

3/2- 2/3 1/2 1/2, ; 1 1, n π

3/2 2/3 1/2 1/2, ; 1 1, pπ

0

0

Le uniche transizioni possibili sono quelle da stati a I=3/2 a stati a I=3/2 (A3/2) o tra stati a I=1/2 a stati a I=1/2 (A1/2):

zz1/2

zz3/2

I 2/1I H I 2/1IA

I 2/3I H I 2/3IA

11

Da queste possiamo calcolare le ampiezze di diffusione dei sei processi:

AA3

21/2 2/1 H 1/2 2/1

3

21/2 2/3 H 1/2 2/3

3

2p π nπA

AA3

21/2- 2/1 H 1/2- 2/1

3

21/2- 2/3 H 1/2- 2/3

3

2n π pπA

A3

2A

3

11/2 2/1 H 1/2 2/1

3

21/2 2/3 H 1/2 2/3

3

1n π nπA

A3

2A

3

11/2- 2/1 H 1/2- 2/1

3

21/2- 2/3 H 1/2- 2/3

3

1p π pπA

A 3/2- 2/3 H 3/2- 2/3nπ nπA

A3/2 2/3 H 3/2 2/3p π pπA

1/23/20

1/23/20

1/23/2

1/23/2

3/2

3/2

Per energie nel centro di massa vicine alla massa della risonanza , che è una risonanza con I=3/2, domina il contributo dell'ampiezza A3/2 rispetto a quella dell' ampiezza A1/2:

1/23/2 AA

12

Pertanto i rapporti tra le sezioni d'urto dei vari processi diventano:

2:1:9AA9

2:A 2A

9

1:An π pπσ:p π pπσ:p π pπσ 2

1/23/2

2

1/23/2

2

3/20

I rapporti sarebbero totalmente diversi se i processi fossero dominati dalla produzione di una risonanza con I=1/2 anzichè da una risonanza con I=3/2:

1:2:09

2:

9

4:0AA

9

2:A 2A

9

1:An π pπσ:p π pπσ:p π pπσ 2

1/23/2

2

1/23/2

2

3/20

13

NUMERI QUANTICI ADDITIVICARICA - ISOSPIN - NUMERO BARIONICO

(I3)p = ½ (Q/e)p =+1 (I3)n = -½ (Q/e)p= 0

Pertanto possiamo scrivere: Q/e = I3 + ½

Per il pione invece, la relazione che lega la terza componente dell’isospin alla carica è diversa: (I3)+= +1 (Q/e) += +1 (I3)0= 0 (Q/e) 0= 0 (I3)-= -1 (Q/e) -= -1

e potrà essere cosi espressa:

Q/e = I3

Se vogliamo unificare le due formule possiamo farlo introducendo nella relazione il numero barionico, che è nullo per i pioni (che sono mesoni):

2

BI

e

Q3

Abbiamo visto che per il nucleone la carica è legata alla terza componente dell’isospin:

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PRODUZIONE ASSOCIATA - STRANEZZA

Nel 1947 Rochester e Butler, in esperimenti in camere a bolle, trovarono degli

eventi dovuti a raggi cosmici in cui le tracce avevano la forma di una V

(particelle strane). Le tracce furono associate a due particelle nuove, chiamate K e

. Il tasso di produzione di tali eventi è particolarmente elevato (interazioni forti)

mentre la vita media degli iperoni prodotti (che decadono per interazione debole)

è particolarmente lunga. Fu dedotto che occorreva introdurre un nuovo numero

quantico, la stranezza, che viene conservato nelle interazioni forti ed è violato in

quelle deboli, che è uguale a zero per il pione e il protone, ma ha valore uguale e

opposto per la e il K0. Il decadimento forte osservato è:- p K0

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Abbiamo già visto che l’iperone esiste in un solo stato di carica, pertanto ha isospin I=0 mentre il K0 appartiene a un doppietto di isospin insieme al K+ (I=½ e I3 = -½). All’iperone e al kaone sono associati valori opposti di stranezza (S= -1, SK= +1). La relazione carica-isospin dovrà essere arricchita del numero quantico della stranezza:

2

S

2

BI

e

Q3

0 = 0 + ½ - ½K0 0 = - ½ + 0 + ½

Il numero quantico della stranezza è associato al quark s (o s) che compone sia la sia il K0.

Si chiama ipercarica Y la somma di B e S:

Y = B + S 2

YI

e

Q3

RELAZIONE DI GELL-MANN-NISHIJIMA

16

17

CHARM - BOTTOM - TOP

Come abbiamo visto esistono altri tre quark, il charm, il bottom e il top e ad essi sono associati altrettanti numeri quantici C, Bt, T, conservati nelle interazioni forti e violate in quelle deboli. La relazione che fornisce la carica della particella diventa

gen33 YIT)BtCS(B2

1I

e

Q

dove Ygen è detta ipercarica generalizzata.

NUMERO LEPTONICO

Tutte le interazioni conservano separatamente il numero leptonico associato a ogni famiglia di leptoni (se nello stato iniziale vi è un elettrone vi deve essere un elettrone o un neutrino elettronico nello stato finale).

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NUMERI QUANTICI ADDITIVI (continua)

Riassumendo dunque, un sistema può essere descritto da:

Numeri quantici additivi A Quantità dinamiche

Carica elettrica Q Posizione r

Numero barionico B Quantità di moto p

Numero leptonico L Momento angolare L

Stranezza,charm,bottom,top S,C,Bt,T Spin

I numeri quantici additivi sono opposti in una particella e nella sua antiparticella.

| = | A , r, p , , L

| = | -A , r, p , , L

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CONIUGAZIONE DI CARICAL’ operazione di coniugazione di carica o C-parità è la trasformazione discreta che trasforma una particella nella sua antiparticella, lasciando però invariate tutte le sue altre variabili come lo spin, l’impulso etc.

Se le leggi della fisica rimangono le stesse per scambio di una particella con la sua antiparticella, il processo è detto invariante per coniugazione di carica e diciamo che la C-parità è conservata in quel processo.

L’operatore di coniugazione di carica cambia il segno dei numeri quantici additivi, lasciando inalterate le variabili dinamiche. Applicando due volte l’operatore di coniugazione di carica il sistema deve ritornare uguale a se stesso.

C | =c | A , r, p , , L

C2| =Cc | A , r, p , , L = c2 | A , r, p , , L

gli autovalori dell’operatore C sono +1 e -1

20

Osserviamo che i numeri quantici additivi sono tutte quantità conservate nelle interazioni forti:

carica [Q, H] = 0

numero barionico [B, H] = 0

numero leptonico [L, H] = 0

stranezza [S, H] = 0

Nessuno di questi numeri quantici additivi però commuta con l’ operatore di C-parità. Infatti:

B -B L -L S -S Q -Q

Es. : B | p = | p B | p = -| p

C B | p = | p B C | p = B | p = - | p

C B BC [ C, B ] 0

CC C C

21

Solo le particelle che hanno tutti i numeri quantici additivi nulli sono autostati dell’operatore di C-parità, cioè quando applichiamo a uno stato con numeri quantici additivi nulli tale operatore lo stato si trasforma in se stesso.

C | Q=L=B=S=Bt=T=0 = ± | Q=L=B=S=Bt=T=0

In tal caso allora la particella e l’antiparticella coincidono.

Es. : 0 0 = 0 C |0 > = |0 >

= C |> = | >

K0 K0 K0 perchè S 0

perchè S 0

Anche un sistema composto da una particella e dalla sua antiparticella è un autostato di C perchè tutti i suoi numeri quantici additivi sono nulli (es.: protone-antiprotone perchè C, B, S etc. del protone sono opposti a quelli dell’antiprotone).

Analogamente un sistema composto da un leptone e da un anti-leptone (come il sistema e+e- ).

La C-parità è un numero quantico moltiplicativo.

C

C

C

C

22

C-PARITÀ DEL FOTONE

I campi e.m. derivano da cariche in moto che cambiano segno per effetto della coniugazione di carica. Pertanto la C-parità del fotone è negativa:

γγC

Un insieme di n fotoni avrà C-parità:

γ1)(nγC n

C-PARITÀ DEL 0

0020 π πC 2γ2γ1)(2γCπC

Dato che il decadimento del 0 è 0 e i decadimenti e.m. conservano la C-parità avremo:

Sarà invece vietato il decadimento 0

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C-PARITÀ DEL + E DEL -

La coniugazione di carica trasforma un + in un - e viceversa:

πcπC πcπC

ππ

La condizione che C2 = 1 ci permette di dire che:

1 cc π cc π C c πc CπCππππππ

2

24

C-PARITÀ DEL SISTEMA + -

Il sistema (+ -) è formato da due bosoni e pertanto la sua funzione d'onda globale dovrà essere simmetrica per scambio dei due bosoni:

-- ππψππψ

La funzione d'onda globale è composta da una parte di spazio e una di carica: c,c )r,r(ππψ 21carica21spazio

-

Per effetto dello scambio delle coordinate spaziali abbiamo:

)r-r(1 ) r-r ( ) r,r ( )r-r()r,r( 21spazioL

P

12spazio12spazio21spazio21spazio

Per effetto dello scambio delle cariche abbiamo:

21caricaππ12carica21carica - c,c cc,c c,c

-ππ

Lc 1-

Pertanto la simmetria della funzione d' onda globale per scambio dei due fermioni è:

e deve essere positiva:

Lππππ

L-- 1- c 1c 1-

25

C-PARITÀ DELLA

La particella è un mesone vettore senza stranezza e carica che decade in: π π ρ0

Nello stato iniziale abbiamo: J = 1 Nello stato finale abbiamo: s+ = sdeve essere L(+ -) = 1Pertanto la C-parità del sistema (+ -) e quindi della deve essere:

11- c c L

ρππ 0-

Alla sono pertanto preclusi modi di decadimento come:(2) γ γρ (1) π π ρ 00

perchè: 11- c e 11 1 c 2γγππ 00

È invece permesso il decadimento seguente: γπ ρ 0

perchè: 11 1 c γπ0

N.B. Il decadimento (1) è anche impedito dalla statistica dei Bosoni, in quanto i due pioni dovrebbero avere L=1 (perchè J = 1), e quindi la loro funzione d'onda (che è solo spaziale) sarebbe antisimmetrica avendo simmetria (-1)L=(-1)1=-1 e ciò non è possibile per la funzione d'onda di due bosoni.

26

Il positronio è lo stato legato formato da un elettrone e un positrone. Decade elettromagneticamente in due fotoni. Possiede dei livelli energetici simili a quelli dell'atomo di idrogeno, ma con una massa ridotta completamente diversa, in quanto:

2

μμ

μ

2

μ

1

μ

1

μ

1

eee

eeeee

eH

eee

e

eH

μμ μ

1

μμ

μ

μμ

μμ

μ

1

μ

1

μ

1

p

p

p

p

p

Poichè la spaziatura tra i livelli energetici dipende direttamente dalla massa, essa risulterà dimezzata per il positronio rispetto a quella dell'idrogeno. Un'altra differenza importante tra il positronio e l'atomo di idrogeno consiste nel fatto che l' elettrone e il positrone sono due fermioni identici e pertanto la loro funzione d'onda complessiva deve essere antisimmetrica per scambio dei due fermioni. "Scambiare" i due fermioni significa invertire tutti i numeri quantici che caratterizzano i due fermioni e per fare questo occorre individuare il set completo dei numeri quantici che caratterizzano le particelle.

C-PARITÀ DEL POSITRONIO e+e-

27

Nel caso del positronio, il sistema e+e- sarà caratterizzato dalla:

- posizione dei due fermioni

- spin dei due fermioni

- carica dei due fermioni

Pertanto la funzione d'onda globale del positronio sarà così composta:

c,c s,sχ )r,r(eeψ 21carica21spin21spazio-

La funzione d'onda deve essere globalmente antisimmetrica per effetto dello scambio di tutti i numeri quantici dei due fermioni, cioè per effetto dello scambio del loro vettore di posizione, del loro spin e della loro carica:

21carica21spin21spazio- c,c s,sχ )r,r(eeψ

-12carica12spin12spazio

- eeψc,c s,sχ )r,r(eeψ

-- eeψeeψ

28

29

2) Funzione di spin: i due fermioni possono essere in:

a) uno stato di tripletto (S=1) simmetrico per scambio di due fermioni

b) uno stato di singoletto (S=0) antisimmetrico per scambio dei due fermioni

Per scambio dei due fermioni la funzione di spin ha il seguente comportamento:

sistema del totalespin S con s,sχ 1s,sχ s,sχ 21spin

1S12spin21spin

3) Funzione di carica. Chiameremo C il fattore introdotto dalla coniugazione di carica nello scambio dei due fermioni:

21caricaC12carica21carica c,c ηc,c c,c

1) Funzione spaziale: per scambio di due particelle la parte spaziale della funzione d'onda si comporta come per effetto di un'operazione di parità, perchè per scambio delle due particelle, il vettore posizione della distanza ( r1 - r2 ) viene mandato in ( r2 - r1 ):

)r-r(1 ) r-r ( ) r,r ( )r-r()r,r( 21spazioL

P

12spazio12spazio21spazio21spazio

30

2) il momento angolare totale del sistema che deve conservarsi tra stato iniziale e stato finale. 3) la parità del positronio che deve conservarsi tra stato iniziale e stato finale; questa è data dal prodotto delle parità intrinseche di fermione-antifermione per la parità che viene dal momento angolare:

1LLLINTINT

- 1-1- 1-1- e PePeeP

Pertanto la simmetria della funzione d' onda globale per scambio dei due fermioni è:

C1SL

C1SL η1- η1-1-

e deve essere negativa:

SLCC

1SL 1- η 1- η1-

Quando il positronio decade in fotoni devono conservarsi:

1) la C-parità C del sistema dovrà conservarsi tra stato iniziale e finale.

31

Vediamo ora lo stato finale del decadimento. Gli stati finali possibili del positronio sono due:

(2) γ3 ee

(1) γ2 ee

-

-

La C-parità di un sistema di n-fotoni è data da (-1)n. Pertanto la C-parità dei due stati finali è:

(2) 1 (-1) γ3C

(1) 1 (-1) γ2C

3

2

Poichè la C-parità del positronio era:

SLC

- (-1) η eeC

e la C-parità deve essere conservata tra stato iniziale e finale, si potranno determinare delle regole di selezione, che ci dicono quale tipo di decadimento può fare il positronio (se in due o in tre fotoni) a seconda dei valori di momento angolare e di spin del sistema. Tali regole di selezione sono verificate sperimentalmente.

32

... 4, 2, 0, L) triplettodi (stato 1 S se

... 5, 3, 1, L)singoletto di (stato 0 S se

dispari S L 11- 1 ηSe

SL

C2)

Lo stato di energia più bassa con C=-1 è quindi quello con L=0 S=1 J = 1:

2S+1LJ =3S1

Lo stato 3S1 del positronio può decadere solo in tre fotoni (perchè hanno C=-1):

3S1 3

... 5, 3, 1, L) triplettodi (stato 1 S se

... 4, 2, 0, L)singoletto di (stato 0 S se

pari S L 11- 1 ηSe

SL

C1)

Lo stato di energia più bassa con C=+1 è quindi quello con L=0 S=0 J = 0: 2S+1LJ =1S0

Lo stato 1S0 del positronio può decadere solo in due fotoni (perchè hanno C=+1):

1S0 2

33

Per motivi analoghi si può dimostrare che il seguente decadimento è vietato:

1S0 0

Notiamo, per inciso, che il valore della C-parità del 0 può essere anche dimostrata ricordando che il 0 è un sistema legato di un quark e un antiquark dello stesso sapore ( u u - d d ). Tale sistema è analogo al positronio e avrà pertanto:

SLqqπ0

)1(cc

dato che la C-parità del sistema 0 è: C ( 0 ) = ( +1)(-1) = -1

mentre quella del sistema 1S0 è C = +1.

È invece permesso il decadimento seguente:1S0 0 0

in quanto la C-parità del sistema 00 è:

C ( 00) = ( +1)(+1) = +1

Poichè L = S = 0, si ha c0 = +1

34

INVERSIONE TEMPORALEL’operatore di inversione temporale è una trasformazione discreta che inverte il segno della coordinata temporale, lasciando inalterato quello delle coordinate spaziali:

t, x, y, z -t, x, y, z

(t, x, y, z) ’ (t, x, y, z) = T (t, x, y, z) = (-t, x, y, z)

Nel caso di una interazione tra due particelle A+B che producono lo stato finale di due particelle C+D, equivale a invertire lo stato iniziale con quello finale:

A+B C+D C+D A+B

Se la hamiltoniana è invariante per inversione temporale, cioè non esiste un verso privilegiato nello scorrere del tempo, allora:

H T - T H = 0 [ H ,T ] = 0

T

35

applicando T a tale equazione avremo:

t),rψ(Tt

it),rψ(t

iTt),rψ(HT

ma se [ H, T ] = 0 allora:

t),rψ(THt),rψ(HT

(1)

(2)

Uguagliando la (1) con la (2) avremo dunque:

t),rψ(Tt

it),rψ(TH

Quindi se T e la hamiltoniana commutano, se | soddisfa all’equazione di Schrödinger, T | non soddisfa alla stessa equazione.

Se l’evoluzione temporale di uno stato |(x, y, z, t) è data dall’equazione di Schrödinger:

t),rψ(t

it),rψ(H

(3)

36

Se però consideriamo l’equazione di Schrödinger ottenuta trasformando tutti i suoi elementi nei complessi coniugati, avremo:

t),r(ψt

it),r(ψH

Essendo H* = H, l’equazione (4) diventa:

(4)

t),r(ψt

it),r(ψH

(5)

che è identica all’equazione (3).

Pertanto per restaurare la simmetria, possiamo definire l’operatore T di inversione temporale come quell’ operatore che, oltre a invertire la coordinata temporale, trasforma | in | * (e ogni i in -i) :

T | (x, y, z, t) = | *(x, y, z, -t)

37

Applichiamo infatti l’hamiltoniana allo stato T | (x, y, z, t) :

t),rψ(T,-t)r(ψ

t),rψ(t),rψ(H T

,-t)r(ψ Ht),rψ(TH

ti

ti

tiT

t),rψ(Tt),rψ(TH

ti

Cosi lo stato T | soddisfa all’equazione di Schrödinger.

38

Possiamo trovare autovalori di T osservabili e conservati? Gli autovalori dovrebbero essere soluzione dell’ equazione: T | (t) = T | (t)

Ma dato che:

T | (x, y, z, t) = | *(x, y, z, -t) ciò vuol dire che lo stato viene cambiato da T nel complesso coniugato e non può essere dunque soluzione di un’ equazione agli autovalori. Non è quindi possibile trovare stati che siano al tempo stesso autostati di H e di T. Nessun numero quantico è conservato per effetto dell'azione di T e l’invarianza per inversione temporale non può dar luogo alla conservazione di grandezze osservabili.

L’operatore T è antiunitario e antilineare. Mentre un operatore unitario è lineare, cioè se viene applicato alla combinazione lineare di due autostati, fornisce: U (C1 | 1 + C2 | 2 ) = C1 U | 1 + C2 U | 2

al contrario un operatore antiunitario soddisfa alla relazione:

T (C1 | 1 + C2 | 2 ) = C*1 T | 1 + C*2 T | 2

39

Comportamento degli operatori per effetto dell’inversione temporale

σ - σ

L - L

p - p

r r

T

T

T

T

Per quanto riguarda il modo in cui si trasformano i campi elettrico e magnetico, pensiamo al campo B prodotto da una spira atraversata da una corrente: esso è proporzionale alla corrente I e diretto perpendicolarmente al piano della spira secondo la regola della mano destra. L’effetto di una inversione temporale è quello di invertire il senso della corrente (I = dq/dt), pertanto il campo B viene invertito di segno.

40

Et

Aφ

t

)AT(φ )ET(

t

AφE

A)AT( A

)AT( B )BT( A B

B

I = dq / dt

T

I’ = - dq / dt = -I

B’ = -B

41

IL MOMENTO DI DIPOLO ELETTRICO

Se una particella è dotata di carica e la sua distribuzione interna è descritta da (x), definiamo momento di dipolo elettrico la grandezza:

(1) dr rρ(r)μ el

Se el 0 per una particella carica, ciò significa che il baricentro e il centro delle cariche non coincidono.

Se el 0 per una particella NON carica elettricamente, ciò significa che al suo interno vi è una distribuzione di cariche elettriche positive e negative che globalmente si bilanciano ma i cui centri non coincidono. Nel sistema di riferimento in cui la particella è a riposo, l' unica direzione privilegiata dello spazio è quella dello spin della particella. Pertanto se il momento di dipolo elettrico di tale particella è non nullo, esso è diretto lungo lo spin:

dove r è misurato rispetto al baricentro del sistema (centro di massa).

(2) σ μμ

elel

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Dal confronto della (1) con la (2) possiamo capire che l'esistenza di un momento di dipolo elettrico viola la parità in quanto per effetto dell'azione di P abbiamo:

elel μ - dr rρ(r)μ : P

elμ σ μμ : P

elel

Se P è conservata nel sistema, il momento di dipolo elettrico deve essere nullo.

Dopo la scoperta della violazione della parità nelle interazioni deboli, si giunse a dire che il momento di dipolo elettrico potrebbe esistere in virtù di tale violazione. Tuttavia, si può dimostrare (e lo fece Landau) che l'esistenza di un momento di dipolo elettrico viola anche l'inversione temporale, in quanto, applicando T alla (1) e alla (2), si ottiene un risultato analogo all'applicazione di P:

elel μ dr rρ(r)μ : T

eleel μ - σ μμ : T

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L'esistenza del momento di dipolo elettrico implicherebbe una violazione simultanea sia di P che di T.

Come si misura l'eventuale momento di dipolo elettrico di una particella? Dall' eventuale interazione di tale particella con un campo elettrico esterno, che sarebbe descritta dalla hamiltoniana seguente:

Eσ μH

elint

Da esperimenti si trova:

elneutrone < 0.6 · 10-25 e cm

elprotone ~ 0

elelettrone < 2. · 10-27 e cm

44

G-PARITÀÈ una trasformazione che combina insieme l'operazione di coniugazione di carica e quella di rotazione nello spazio dell'isospin.

Una rotazione di un angolo intorno a un asse associato al versore n nello spazio dell' isospin è descritta da:

) nτ θ exp(-i )θ(R

dove è l'operatore dell' isospin. L' operazione di G-parità è definita come una rotazione di attorno all' asse I2 dell' isospin (che ha come effetto di mandare I3 in -I3) seguito da una operazione di coniugazione di carica (C-parità), che manda la sua particella nella sua antiparticella che ha carica opposta:

) τ πexp(-i C G 2

45

Una rotazione intorno all'asse I2 ha come effetto quello di cambiare il segno alla terza componente dell' isospin I3: R : I3 -I3

La coniugazione di carica ugualmente ha l'effetto di cambiare il segno a I3 :

C : -I3 I3

Cerchiamo gli autovalori di G associati a un sistema bosonico (|q q |f f ):

Autovalori di R: così come per una rotazione di nello spazio ordinario, le autofunzioni vengono moltiplicate per un fattore (-1)L; analogamente le autofunzioni nello spazio dell'isospin vengono moltiplicate per un fattore (-1)I.

Autovalori di C: le autofunzioni vengono moltiplicate per un fattore (-1)L+S come era nel caso del positronio.

Pertanto le autofunzioni di G saranno le stesse di R e di C associate all'autovalore:

)f ψ(f1)f ψ(f11- )f ψ(f C1- )f ψ(f C )f (f ψ' )f ψ(f ISLSLIIπIG

2 ie

46

Dal momento che le interazioni forti conservano L, S e I, allora esse conserveranno anche la G-parità che lega tutti questi numeri quantici insieme.

G-PARITÀ DI UN PIONE

G | n0 = (-1)n | n 0

Pertanto il segno della G-parità di un sistema ci indicherà se il sistema può decadere in un numero pari o dispari di pioni per effetto delle interazioni forti.

0010ISL00 ππ1π1 πG π

π π ρ ρρ1ρ1 ρG 1I 1S ρ 11ISL

ππ π ω ωω1ω1 ωG 0I 1S ω 01ISL

e.m. einterazionper solo pioni 3 in decadere può η L'

ηη1η1 ηG 0I 0S η

00ISL

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TEOREMA CPTLe hamiltoniane che descrivono le interazioni fondamentali possono non essere invarianti separatamente per effetto delle trasformazioni di coniugazione di carica C, parità P e inversione temporale T. Tuttavia a partire da principi molto generali della teoria dei campi e della relatività, Lüders e Pauli hanno dimostrato che ogni hamiltoniana, essendo invariante per effetto delle trasformazioni di Lorentz, è invariante per effetto dell’azione combinata di CPT, indipendentemente dall’ordine in cui esse vengono applicate, anche se non è invariante per C, P o T separatamente.

Se un processo è invariante per effetto di una qualunque delle tre trasformazioni, lo sarà anche per effetto del prodotto delle altre due.

Se un processo non è invariante per effetto di una qualunque delle tre trasformazioni, allora non lo sarà neanche per effetto del prodotto delle altre due.

48

TEOREMA CPT (continua)

Conseguenza importante di questo teorema è che le particelle e le antiparticelle devono avere:

1) uguali masse

2) uguali vite medie

3) uguali momenti magnetici in modulo ma opposti in verso

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Interazioni e leggi di trasformazione

TRASFORMAZIONE QUANTITÀ

CONSERVATA

FORTE E.M. DEBOLE

TRASLAZIONE

SPAZIALE

QUANTITÀ

DI MOTO p

SI SI SI

ROTAZIONE

SPAZIALE

MOMENTO ANGOLARE L

SI SI SI

ROTAZIONE NELLO SPAZIO ISOSPIN

ISOSPIN I

TERZA COMP. I3

SI

SI

NO

SI

NO

SI

INVERSIONE

SPAZIALE P

PARITÀ P SI SI NO

CONIUGAZIONE

DI CARICA C

C-PARITÀ C SI SI NO

INVERSIONE

TEMPORALE T (O CP) — SI SI NO

CPT — SI SI SI