1 Lista de Exercicios de CDI I

Cálculo I Engenharia da Computação 2015

Professora Fernanda Monteiro de Castro Rezende

UNIPAC – FACULDADE PRESIDENTE ANTÔNIO CARLOS

CÁLCULO I 1º PERÍODO DE ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO

1ª Lista de Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral I

Domínio, Imagem e Contradomínio

1. Na função f: R → R, com f(x) = x

2 – 3x + 1, determine:

a) f(–2) 11 b) 2f 233 c)

2

1f

4

11

2. Dado o conjunto A = {–2, –1, 0, 1}, determine o conjunto imagem da função f: A→ R quando f

for definida por:

a) f(x) = x3 Im = {–8, –1, 0, 1} b) f(x) = – x + 3 Im = {2, 3, 4, 5}

c) f(x) = 1 – x2 Im = {–3, 0, 1}

3. Sendo a função f: R → R definida por 3

12 xxf , calcule:

a) f(0) 3

1 b) f(–2)

3

13 c)

3

1f

3

1

4. Dada a função f: R → R definida por f(x) = x2– 5x + 6, calcule os valores reais de x para que se

tenha:

a) f(x) = 0 2 e 3 b) f(x) = 12 –1 e 6 c) f(x) = – 6 Não há valores reais de x

5. Dada a função 32

1

1

xx

xxf , para x ≠ –1 e x ≠

2

3, calcule:

a) f(1) 2

3 b) x de modo que

3

1xf 2

8

3 xoux

6. Seja a função definida por f(x) = mx + n, com m, n R. Se f(2) = 3 e f(–1) = – 3, calcule m e n.

m = 2 e n = – 1

7. Dadas as funções 2

13 xxf e 1

5

2

xxg , determine o valor de 2

3

1

gf .

10

3

8. São dadas as funções f(x) = 3x + 1 e axxg 5

4. Sabendo que f(1) – g(1) =

3

2, calcule o

valor de a. 15

38

9. Dada a função f: R → R definida por f(x) =ax2 + b, com b R, calcule a e b, sabendo que f(1)= 7

e f(2) = 22. a = 5 e b = 2



10. Dada a função f: R → R definida por f(x) = x2

– x – 12, determine a para que f(a + 1) = 0.

a = –4 ou a = 3

11. Determine o domínio D das seguintes funções:

a) f(x) = 5x2 – 3x + 1 D = R b)

x

xxf

1

2 D = R – {–1}

c) x

xf1

D = R* d)

1

22

x

y 1 RD

e) 32 xy

2

3| xRxD f)

209

12

xx

xy D = R –{4, 5}

g) 2

3

3

14

x

xy

D = R

* h)

123

2

x

x

xxf

2

1,3RD

12. Qual o domínio da função x

xxg

3

1 ? 3/ xRxD

13. Qual o domínio da função 3 32 xxh ? D = R

14. Determinar o domínio das funções:

a) 152

352

xx

xy

2

155| xexRxD

b) 4

213

x

x

x

xy 01| xexRxD

Função Composta e Função Inversa

15. Sendo f e g funções de domínio real com f(x) = x2 + 2x e g(x) = 1 – 3x, determine:

a) f(g(x)) 9x2 – 12x + 3 c) f(f(x)) x

4 + 4x

3 + 6x

2 + 4x

b) g(f(x)) –3x2 –6x + 1 d) g(g(x)) 9x – 2

16. Se f(x) = 5x + 1 e h(x) = 1 + 4x, calcule f(h(2)) + h(f(2)). 91

17. Dados f(x) = 3x + 5 e g(x) = 2x – 3, calcule x para que se tenha:

a) f(g(x)) = 0 3

2 b) g(f(x)) = 1 –1

18. Seja y = g(u) = 2u3 e u= h(x) = x

2 – 2x + 5.



a) Determine o valor de y para x = 0 250

b) Determine o valor de g(h(–3)) 16000

19. Sendo f(x) = 2x – 10 e g(x) = x2 – 100, calcule x para que a igualdade (g o f)(x) = 0 seja

verdadeira. 0 e 10

20. Se f(x) = x2 – 2x – 3, encontre, desenvolva e simplifique a expressão de f(f(x)).

x4 – 4x

3– 4x

2 + 16x + 12

21. Dadas f(x) = 2x + 1 e f(g(x)) = 2x + 9, calcule g(x). g(x) = x + 4

22. Sejam f: R → R e g: R → R definidas por f(x) = x2

– 2x – 3 e g(x) = 4x + m. Sabendo-se que

f(g(–1)) = 12, calcule m. 1 ou 9

23. Dadas as funções f(x) = x2 – 5x + 6 e g(x) = x + 4, pede-se:

a) x, de modo que f(g(x)) = 0 {–2, –1}

b) x, para que f(2) + g(x) = g(f(4)) {2}

24. Determine a função inversa de cada função dada a seguir:

a) y = x – 3 y = x + 3 b) 4

2

xy y = 4x – 2

c)

4

3

34

23x

x

xy

4

3

34

23x

x

xy

25. Seja a função invertível f: R → R dada por f(x) = x3. Determine f

-1(x). 3 xy

26. Na função invertível 3

12)(

x

xxf (com x R e x 3), determine:

a) f -1

(x) 22

13)(1

x

x

xxf

b) o domínio de f -1

D = {x R | x 2} c) f -1

(–3) 2

27. Dadas as funções f e g definidas por f(x) = x+ 2 e g(x) = 2x – 1, considere a função h, de modo

que h = (g o f)(x). Determine h-1

(x). 2

3)(1 x

xh



Função Polinomial do 1º Grau

28. Dada a função polinomial do 1º grau f(x) = 4x – 1, determine:

a) f(0) – 1 b) f(– 1) – 5 c)

8

1f

2

1 d) 2f 124

29. Para quais valores reais de x na função f(x) = 1 – 3x tem-se:

a) f(x) = 4 – 1 b) f(x) = 0 3

1 c)

2

1)( xf

2

1

30. Dada a função f por f(x) = ax + 2, determine o valor de a para que se tenha f(4) = 20. 2

9

31. Dada a função f(x) = ax + b, com a ≠ 0, sendo f(3) = 5 e f(– 2) = – 5, calcule

2

1f . 0

32. Para transformar graus Fahrenheit em graus centígrados, usa-se a fórmula 329

5 FC onde

F é o número de graus Fahrenheit e C é o número de graus centígrados:

a) Transforme 35 graus centígrados em graus Fahrenheit. 95 graus Fahrenheit

b) Qual a temperatura (em graus centígrados) em que o número de graus Fahrenheit é o dobro do

número de graus centígrados? 160 graus centígrados

33. O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada bandeirada, e

uma parcela depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,44 e cada quilômetro

rodado custa R$ 0,86:

a) Expresse o valor P a ser pago em função da distância x (em quilômetros) percorrida.

P(x) = 3,44 + 0,86x

b) Calcule o preço de uma corrida a 11 km. R$ 12,90

c) Calcule a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 21,50 pela corrida. 21 km

34. O custo C em reais para produzir x unidades de um produto eletrônico é dado por C(x)

= 18x + 4500.

a) Qual é o custo para se produzir 1000 unidades desse produto? R$ 22 500,00

b) Para a produção do item a, qual é o valor de custo de cada unidade do produto? R$ 22,50

35. O número de unidades produzidas (y) de um produto, durante um mês, é função do número de

funcionários empregados (x) de acordo com a relação y = 60x. Sabendo que 30 funcionários estão

empregados, calcule o aumento da produção mensal em unidades se forem contratados mais 20

funcionários. 1200 unidades

36. Sabendo que f é uma função linear e que f(– 3) = 4, determine o valor de f(6). – 8

37. Uma pesquisa ecológica determinou a população (S) de sapos de uma determinada região,

medida em centenas, depende da população (m) de insetos, medida em milhares, de acordo com a

equação 8

65m

mS . A população de insetos, por sua vez, varia com a precipitação (p) de

chuva em centímetros, de acordo com a equação m(p) = 43p + 7,5.



a) Expresse a população de sapos como função da precipitação. 8

5,74365

ppS

b) Calcule a população de sapos quando a precipitação é de 1,5 cm. 6800 sapos

38. O custo de fabricação de x unidades de um produto é C = 100 + 2x. Cada unidade é vendida

pelo preço p = R$ 3,00. Para haver um lucro igual a R$ 1 250,00 devem ser vendidas k unidades.

Determine o valor de k. 1350

39. Depreciação de um carro é a perda de seu valor original (valor do carro com zero quilômetro)

em função do tempo. Considere V o valor depreciado do carro após x anos. Uma revendedora usa a

lei de uma função polinomial do 1º grau para calcular V para carros com até 6 anos. Esta agência

anunciou um carro com 5 anos de uso por R$ 12 000,00. Esse modelo, quando novo ( x = 0), custa

R$ 30 000,00.

a) Escreva a lei da função V(x). V(x) = –3600x + 30 000

b) Qual é o valor depreciado dessa carro após 3 anos? R$ 19 200,00

40. Construa, usando o sistema cartesiano ortogonal, o gráfico das funções dadas por:

a) f(x) = X + 3 b) f(x) = 2x + 1 c) f(x) = – x + 4

d) f(x) = 3 x e) xy 2

1 f) y = – 1 – x

g) y = – 2x h) y = 1 + 3x

41. Construa, num mesmo plano cartesiano, os gráficos das funções f(x) = x e g(x) = – x.

42. Construa, num mesmo sistema cartesiano ortogonal, e depois compare, os gráficos das funções y

= x , y = 2x , y = 3x e xy2

1 .

Documents

1 Lista de Exercicios de CDI I