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TEMA 5 – PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA Y PORCENTAJES –

1. MAGNITUD Una magnitud es cualquier propiedad que se puede medir numéricamente. Ejemplos La longitud del lado un cuadrado.

La capacidad de una botella de agua.

El número de goles marcados en un partido.

2. RAZÓN DE “a” y “b”

Razón es el cociente entre dos números o dos cantidades comparables entre sí, expresado como fracción.

3. PROPORCIÓN

Proporción es una igualdad entre dos razones.

Constante de proporcionalidad (K)

4. CÁLCULO DEL TÉRMINO DESCONOCIDO

Para calcular el término desconocido de una igualdad de fracciones, lo que hay que hacer es resolverlo como haremos más adelante en la regla de 3 directa, es decir, multiplicando en cruz.

X

6

3

2 ; 2 · X = 3 · 6; 2X=18; 9

2

18X

2

5. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES REGLA DE 3 DIRECTA Son aquellos problemas donde ambas magnitudes crecen o ambas magnitudes decrecen. Por ejemplo si en un problema nos dan kilos de frutas y euros de frutas, sería proporcionalidad directa, porque cuantos más kilos de frutas más euros cuestan y cuanto menos kilos de frutas menos euros cuestan. En estos casos se aplica la regla de 3 directa, es decir multiplicando en cruz. Ej: Si en la frutería compro 7 kilos de naranjas por 14 €, ¿Cuánto me costaran 13 kilos ? MAGNITUD 1 (KILOS) MAGNITUD 2 (€) 7 ------------------------------------ 14

13 ------------------------------------ X

1º LO PONGO EN FORMA DE FRACCIÓN: X

14

13

7

2º MULTIPLICO EN CRUZ: 7 · X = 14 · 13; 7X = 182; €267

182X

6. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALESREGLA DE 3 INVERSA

Son aquellos problemas donde al crecer una magnitud decrece la otra. Por ejemplo si en un problema nos dan el número de obreros o pintores y las horas que trabajan para realizar un trabajo, sería proporcionalidad inversa, porque cuantos más obreros o pintores menos horas tienen que trabajar para realizar el trabajo. En estos casos se aplica la regla de 3 inversa, es decir multiplicando en línea recta. Ej: Si 3 albañiles levantan una pared en 6 horas, ¿Cuánto tardaran 9 albañiles ? MAGNITUD 1 (Nº DE ALBAÑILES) MAGNITUD 2 (HORAS) 3 ---------------------------- 6

9 ---------------------------- X

1º LO PONGO EN FORMA DE FRACCIÓN: X

6

9

3

2º MULTIPLICO EN LÍNEA RECTA: 3 · 6 = 9 · X; 18 = 9X;

HORASX 29

18

3

7. PROPORCIONALIDAD COMPUESTA Tanto en la proporcionalidad directa como en la inversa que hemos visto hasta ahora, se trabaja con dos magnitudes. En el momento que aparece 3 o más magnitudes, se habla de proporcionalidad compuesta. Pasos a seguir:

1. Colocamos las magnitudes que tengamos, cada una debajo de su columna correspondiente.

2. Lo pasamos a forma de fracción, siempre escribiendo la fracción que

lleve la incógnita, es decir, “X”, en primer lugar seguido de un igual y el resto de fracciones multiplicadas.ç

3. Antes de realizar la multiplicación de las fracciones, tenemos que

identificar si cada una de esas magnitudes son directas o inversamente proporcionales a la magnitud que queremos calcular. En caso de que la magnitud sea directa, la fracción se queda igual, pero en caso de que la magnitud sea inversa, a la fracción se le da la vuelta.

4. Calculamos multiplicando las dos fracciones de números, y cuando

se quede una igualdad de dos fracciones, resolvemos multiplicando en cruz.

Ejemplo: 5 obreros trabajando 3 horas diarias construyen un muro en 12 días. ¿Cuánto tardarán 6 obreros trabajando 15 horas diarias? 1º COLOCO LAS MAGNITUDES MAGNITUD 1 (Nº DE OBREROS) MAGNITUD 2 (HORAS) MAGNITUD 3 (DÍAS)

5 -------- 3 ----------- 12 6 -------- 15 ---------- X

2º LO PONGO EN FORMA DE FRACCIÓN: 15

3

6

512

X

3º IDENTIFICO LAS PROPORCIONALIDADES: DÍAS OBREROS INVERSA (CUANTO MÁS OBREROS MENOS DÍAS TARDARAN EN HACERLO) DÍAS HORAS INVERSA (CUANTO MÁS HORAS TRABAJEN AL DÍA MENOS DÍAS TARDARÁN)

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ENTONCES LA FRACCIÓN DE OBREROS HAY QUE DARLE LA VUELTA Y LA FRACCIÓN DE HORAS TAMBIEN HAY QUE DARLE LA VUELTA. Y SE QUEDARÍA ASÍ.

3

15

5

612

X ;

15

9012

X ; 12 · 15 = X · 90 ; 180 = 90 x ; DÍASX 2

90

180

8. CÁLCULO DE PORCENTAJES Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que una de las cantidades es 100. Ejemplo 1: 25% de 80 = x

X= 25% de 80 20100

2000

100

80·25

Ejemplo 2: 20 % de x = 40

X 20020

4000

20

100·40

Ejemplo 3: x % de 200= 40

X 20200

4000

200

100·40

Ejemplo 4: MEDIANTE UNA REGLA DE TRES .Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250 € más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento? 5000 € -------- 100 % 250 € --------- x %

x

100

250

5000 ; 5000 · x = 250 · 100 ; 5000x =25000; %5

5000

25000X

a. CÁLCULO DE PORCENTAJES CON AUMENTOS:

Se calcula haciendo el 100% + el aumento %.

b. CÁLCULO DE PORCENTAJES CON DISMINUCIONES:

Se calcula haciendo el 100% - la disminución %.

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c. CÁLCULO DE PORCENTAJES ENCADENADOS:

Para hacer los porcentajes encadenados usamos los aumentos y disminuciones. Para ello, se realiza las disminuciones o aumentos de cada porcentaje (obteniendo el decimal). Una vez conseguido, se multiplican todos los porcentajes en decimal por el precio del artículo. Ejemplo: Un ordenador que cuesta 650€, subió un 20% en Enero y baja un 12% en Marzo, ¿Cuál es el precio final del ordenador?

Enero100+20= 120% 2,1100

120

Marzo100-12= 88% 88,0100

88

Precio final del ordenador 650 · 1,2 · 0,88 =686,4€

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9. REPARTOS PROPORCIONALES

a. REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Consiste en que dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, calcular la parte correspondiente a cada una de las magnitudes dadas.

Ejemplo: Un abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno? Llamamos x, y, z a las cantidades que le corresponde a cada uno. 1º El reparto proporcional es:

2º Por la propiedad de las razones iguales:

3º Cada nieto recibirá:

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b. REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES Dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una magnitud total, debemos hacer un reparto directamente proporcional a las inversas de las magnitudes. Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente 5900 €. Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno? 1º Tomamos los inversos:

2º Ponemos a común denominador:

3º Realizamos un reparto directamente proporcional a los numeradores: 24, 20 y 15.

10. INTERÉS BANCARIO Se llama interés al beneficio que produce el dinero prestado. Ese beneficio es directamente proporcional a la cantidad prestada y al tiempo que dura el préstamo.

Fórmula Nombre Símbolo

𝑖 =𝑐 · 𝑟 · 𝑡

100 · 𝑘

Capital C Tiempo t Rédito R Interés I Constante k K=1 anual K= 4 trimestre K=12 mensual K= 3 cuatrimestre K= 365 días K= 2 semestre