43
1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA 1 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA Iz široke matematičke osnovice teorije linearnog programiranja za njezino bolje razumijevanje izdvojit će se : 1. Osnovni matematički pojmovi 2. Matematička logika 3. Algebarske strukture 4. Vektorski prostori 1.1. Osnovni matematički pojmovi 1.1.1. Pristup definiciji osnovnih matematičkih pojmova Osnovni matematički pojmovi se definiraju po pravilima definiranja bilo kakvih pojmova 1 a koja utvrđuje posebna grana znanosti logika. 2 Definicija nekog pojma se u logici određuje (definira) na sljedeći način: 3 "Sud kojim se nedvosmisleno određuje sadržaj 4 jednog pojma naziva se definicija." Elementi (dijelovi) definicije su: 1. definiendum kao pojam čiji se sadržaj definicijom određuje, 2. definiens kao pojam pomoću kojeg se u nekoj definiciji određuje definiendum, Tako u definiciji "Brucoš je student prve godine" definiendum je brucoš, a definiens je student prve godine. 3. genus proximum (najbliži rod) je dio definiensa i predstavlja najbliži viši pojam 5 koji obuhvaća definiens, tj. prvi "viši" pojam, 1 Pojam je misao o biti onoga o čemu mislimo, tj. misao o bitnim karakteristikama onoga što mislimo. (tako npr. je pojam brucoša misao o biti ili o bitnim karakteristikama brucoša) (G.Petrović, Logika, Školska knjiga, Zagreb, 1989, str.23). 2 Logika je filozofska disciplina o oblicima valjane misli i o metodama spoznaje (G.Petrović, op.cit., str.15) 3 G.Petrović, op.cit., str.137. 4 Sadržaj je skup bitnih oznaka pojma. (G.Petrović, op.cit.,str.24.) Broj oznaka nekog pojma zavisi od toga koliko smo daleko otišli u analizi nekog pojma, jer je svaka oznaka pojam čiji sadržaj možemo utvrđivati. 5 Niži pojmovi koji podpadaju pod jedan viši pojam čine njegov opseg. (G.Petrović,op.cit.,str.24.) Opseg se utvrđuje postupkom kojeg nazivamo divizija ili dioba. Pojam čiji se opseg diobom utvrđuje naziva se osnova divizije ili totum divizionis, načelo (kriterij) po kojem se dioba vrši naziva se osnova diobe ili fundamentum divisionis, a pojmovi koji se diobom

1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

  • Upload
    letram

  • View
    231

  • Download
    2

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA

1

1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Iz široke matematičke osnovice teorije linearnog programiranja za njezino bolje

razumijevanje izdvojit će se :

1. Osnovni matematički pojmovi

2. Matematička logika

3. Algebarske strukture

4. Vektorski prostori

1.1. Osnovni matematički pojmovi

1.1.1. Pristup definiciji osnovnih matematičkih pojmova

Osnovni matematički pojmovi se definiraju po pravilima definiranja bilo kakvih

pojmova1 a koja utvrđuje posebna grana znanosti logika.2

Definicija nekog pojma se u logici određuje (definira) na sljedeći način:3

"Sud kojim se nedvosmisleno određuje sadržaj4 jednog pojma naziva se definicija."

Elementi (dijelovi) definicije su:

1. definiendum kao pojam čiji se sadržaj definicijom određuje,

2. definiens kao pojam pomoću kojeg se u nekoj definiciji određuje definiendum,

Tako u definiciji "Brucoš je student prve godine" definiendum je brucoš, a definiens je

student prve godine.

3. genus proximum (najbliži rod) je dio definiensa i predstavlja najbliži viši pojam5 koji

obuhvaća definiens, tj. prvi "viši" pojam,

1 Pojam je misao o biti onoga o čemu mislimo, tj. misao o bitnim karakteristikama onoga što

mislimo. (tako npr. je pojam brucoša misao o biti ili o bitnim karakteristikama brucoša)

(G.Petrović, Logika, Školska knjiga, Zagreb, 1989, str.23). 2 Logika je filozofska disciplina o oblicima valjane misli i o metodama spoznaje (G.Petrović,

op.cit., str.15) 3 G.Petrović, op.cit., str.137. 4 Sadržaj je skup bitnih oznaka pojma. (G.Petrović, op.cit.,str.24.) Broj oznaka nekog pojma

zavisi od toga koliko smo daleko otišli u analizi nekog pojma, jer je svaka oznaka pojam čiji

sadržaj možemo utvrđivati. 5 Niži pojmovi koji podpadaju pod jedan viši pojam čine njegov opseg.

(G.Petrović,op.cit.,str.24.) Opseg se utvrđuje postupkom kojeg nazivamo divizija ili dioba. Pojam

čiji se opseg diobom utvrđuje naziva se osnova divizije ili totum divizionis, načelo (kriterij) po

kojem se dioba vrši naziva se osnova diobe ili fundamentum divisionis, a pojmovi koji se diobom

Page 2: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

DODATAK

2

4. differentia specifica (vrsna razlika) je ono po čemu se jedan pojam razlikuje od drugih

pojmova koji potpadaju pod isti najbliži rodni pojam.

U definiciji "Brucoš je student prve godine" genus je student, a differentia specifica prve

godine.

Na kraju se može reći da je glavni zahtjev za valjanu definiciju da se ona formulira

pomoću najbližeg roda i vrsne razlike.

1.1.2. Deduktivnost matematike, aksiomi i poučci

Danas je čest slučaj, dok u prošlosti rjeđe, da se cjelokupno znanje u nekoj matematskoj

grani ustroji i razvija u strogo deduktivnom smislu, koji pretpostavlja uvođenje pojma

aksioma.

Naime svaka se matematička grana6 ( ne matematika kao cjelina) može izgraditi prema

uzoru što su nam ga ostavili stari Grci, i to prvenstveno kroz djelo Euklida (r. 365

god.p.n.e.) "Elementi", gdje je na takav način ustrojeno cjelokupno tadašnje poznavanje

matematike, a što je značilo u prvom redu geometrije. Iz tih se razloga, geometrija koja je

ustrojena u tom djelu, a odnosi na "očigledne" gemetrijske odnose realnog svijeta, naziva

i Euklidova geometrija.

Svaki takav način izgradnje novih područja ljudske misli (matematike posebice), odnosno

povezivanja već poznatih dijelova, nazivamo deduktivna metoda7 u užem smislu, i ona je

od posebne važnosti za razvoj kako matematike tako i drugih znanstvenih područja.

Razumije se da i indukcija 8 ima veliko značenje u izgradnji matematike jer nam pomaže

da dođemo do osnovnih pojmova i aksioma kao i dijela poučaka i izvedenih pojmova.

Svako matematičko područje koje je struktuirano poput Euklidove geometrije naziva se

aksiomatski sustav, koji se sastoji od:9

dobivaju nazivaju se članovi diobe ili membra divisionis. Složeni sistem u kojem je čitavo jedno

područje ljudskog znanja sređeno pomoću divizija (različitih razina) naziva se klasifikacija.

(G.Petrović, op.cit., str.143-145). Treba istaći da svaki pojam koji je u okviru neke divizije

dobiven kao član diobe, može u nekom drugom postupku divizije postati ishodište nove divizije. (

Studenti trebaju dati primjer za diviziju pojma brucoš !!) 6 Posebice u okviru pristupa matematici koji se naziva formalizam. 7 Svaka se izgradnja nekog područja znanosti pri čemu se ne pozivamo na zor ili zapažanje naziva

deduktivna. Dedukcija je naime metoda kojom se iz općih načela (koje smo prihvatili) izvode

pojedinačni zaključci, specijalni slučajevi, nužne posljedice. 8 Polaženje od pojedinačnog k općem. 9 M. Radić, op.cit., str. 3.

Page 3: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA

3

1. skupa osnovnih (primitivnih) pojmova (koje ne definiramo),10

2. skupa aksioma (nedokazane početne tvrdnje ili pretpostavke), zakona logike,

3. skupa poučaka koji slijede iz aksioma i skupa definicija novih (izvedenih,

neprimitivnih) pojmova na temelju zakona logike

Tvrdnje (sudovi) koji se prihvaćaju kao istiniti (bez dokaza), a služe kao polazna točka

za primjenu deduktivne metode, nazivaju se osnovne tvrdnje ili aksiomi.

Tvrdnje (sudovi) koji su pomoću (deduktivnih) pravila logike izvedeni iz aksioma

nazivaju se poučci.11

Npr. tvrdnju da "Iza svakog prirodnog broja dolazi prirodni broj." uzimamo kao aksiom,

dok tvrdnju da "Prostih brojeva ima beskonačno mnogo." izvodimo iz tog i/ili drugih

aksioma i poučaka, i time je ta tvrdnja poučak.12

Najosjetljivije pitanje je izbor osnovnih pojmova i aksioma. Tako npr. zahvaljujući

analizi naizgled neadekvatnog 13 uvrštavanja jedne tvrdnje kao 5. postulata u Euklidovim

"Elementima", došlo se do spoznaje o mogućnosti razvoja "novih matematika", u prvom

redu tzv. neeuklidskih geometrija, kao i raznih "novih" algebri.

Svaki aksimatski sustav mora imati neka svojstva, tj. ispunjavati neke uvjete i to:14

1. konzistentnost,

2. potpunost,

3. nezavisnost.

Prvi zahtjev je bezuvjetan, drugi vrlo strog, a treći nešto blaži.

"Za aksimatski sustav kažemo da je konzistentan (neproturiječan), onda i samo onda ako

ne postoji kontradikcija, niti između aksioma, niti između poučaka. Dakle ne smiju

postojati dvije tvrdnje koje međusobno proturiječe (ono što jedna tvrdi, druga poriče).

Konzistentnost aksimatskog sustava obično se utvrđuje tako da se navodi neki konkretan

model 15 čiji su elementi i relacije specijalne interpretacije nedefiniranih pojmova

10 Sardžaj osnovnih pojmova je implicite sadržan u aksimatskom sustavu u definiranim pojmovima

i poučcima. 11 Naravno da se poučci izvode i iz drugih već izvedenih poučaka. 12 M. Radić, Algebra I dio, Školska knjiga, Zagreb, 1970., str.2. 13 Na temelju kriterija očiglednosti. 14 G. Petrović, op.cit., str.176. 15 Dvije teorije koje imaju jednaku strukturu ili formu nazivamo izomorfnim (iste strukture). Dvije

ili više izomorfnih teorija možemo prikazati istim aksiomatsim sustavom. Jednu konkretnu teoriju

možemo nazvati modelom ako je promatramo u odnosu na aksiomatski sustav koji ju prikazuje.

Page 4: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

DODATAK

4

apstraktnog sustava čiju konzistentnost želimo dokazati. Naime, "ako sustav aksioma nije

konzistentan, možemo dokazati bilo koji sud koji nam padne na pamet."16

Za aksiomatski sustav kažemo da je potpun, ako svaku trvrdnju, koja uključuje

nedefinirane objekte i relacije dotičnog aksimatskog sustava, možemo provjeriti (utvrditi)

je li ona istinita ili lažna (koristeći se pritom aksiomima tog sustava). Može se utvrditi da

je neki sustav aksioma potpun, onda i samo onda, ako su svi modeli toga sustava

međusobno izomorfni.

Za aksiome sustava kažemo da su nezavisni ako nijedan od njih nije logička posljedica

ostalih, tj. ako se nijedan od njih ne može izvesti kao poučak iz ostalih aksioma toga

sustava. Da bismo utvrdili jesu li aksiomi nekog sustava nezavisni, treba navesti toliko

modela, koliko je aksioma."17

Aksimatski sustav čiji su aksiomi međusobno zavisni može biti i konzistentan i potpun.

Treba istaći da je GODEL (Austrijanac) (1906.-1978.), 1931. objavio djelo u kojem

dokazuje:

1. svaki neproturiječni formalni sustav sadrži istinitu tvrdnju koja se u njemu samome

ne može dokazati (sustav je nepotpun),

2. neki sustav ako jest neproturiječan nužno je takav da se ta neproturiječnost unutar

istog sustava ne može dokazati,

3. slijedi da "Nema takvog sustava koji bi bio i neproturiječan i potpun".

Aksimatizirajući jednu teoriju, uvijek osiromašujemo njen konkretan smisao.

Aksiomatski ju prikazujući, prisiljeni smo da sadržaj njenih osnovnih pojmova svedemo

na samo nekoliko oznaka koje fiksiramo aksiomima. Na taj način "konkretni" sadržaj

teorije u velikoj se mjeri smanjuje, ali bitni odnosi među njezinim osnovnim pojmovima

postaju pregledniji i jasniji.

Aksiomatizacijom prelazimo od jedne konkretne teorije aksiomatskom (općem,

apstraktnom) sustavu. Isto tako kad već imamo aksiomatski suatav, možemo od njega

prijeći u obrnutom pravcu-različitim konkretnim teorijama. Ovaj postupak obrnut od

aksiomatizacije nazivamo tumačenjem ili interpretacijom.

Posebice treba istaći, da se poučci unutar neke matematičke grane mogu formulirati i

dokazivati i bez uvođenja pojma aksioma, a matematički pojmovi uvoditi i bez pojma

osnovnih pojmova, tj. matematika se može razvijati i bez aksiomatskog pristupa. To je

uostalom bio pretežiti način razvoja u prošlosti, a danas se tako matematika razvija unutar

niza pravaca koji su suprostavljeni tzv. formalizmu koji aksimatski pristup uzima kao

jedini valjan.

Kako isti aksiomatski sustav može prikazivati više izomorfnih teorija, proizlazi da isti askiomatski

sustav može imati više modela. 16 G. Petrović, op.cit., str.177. 17 M. Radić, op.cit., str.5-6.

Page 5: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA

5

1.1.3. Poučci i njihovo dokazivanje

Poučci su matematske tvrdnje (sudovi, propozicije) koji najčešće imaju formu implikacije

ili ekvivalencije.

U formulaciji poučaka razlikujemo dva dijela: pretpostavku ili hipotezu i tvrdnju ili tezu.

Npr. u poučku "Ako je neki broj paran, i njegov kvadrat je paran"18 "Ako je neki broj

paran" je hipoteza, a "njegov je kvadrat paran"19 je teza.

Zakoni su poučci koji imaju veće značenje.

Leme su pomoćni poučci (koriste se kod dokaza složenijih poučaka).

Korolari su (neposredne) posljedice nekog poučaka.

Istinitost poučaka utvrđujemo dokazom.20

Dokazi se mogu klasificirati (razvrstati, izvršiti diobu) na više načina ovisnu o kriteriju

klasifikacije (tj. ovisno o osnovi diobe). Tako razlikujemo dvije grupe dokaza:

Izravni i neizravni dokaz, i

Regresivni i progresivni dokaz.

Kod izravnog dokaza polazi se od pretpostavke (hipoteze), aksioma i dokazanih poučaka

te uz pomoć logičkih pravila, izvodi istinitost teze.

Kod neizravnog dokaza zadatak je da se utvrdi kako bi protivno od onoga što se tvrdi u

tezi, dovelo do protuslovlja, bilo s pretpostavkom ili aksiomima i već dokazanim

poučcima, pa stoga ne može biti.

Ako u poučku, ono što treba dokazati uzmemo kao istinito i iz toga izvodimo nove

zaključke, sve dok ne dođemo do tvrdnje koja očigledno vrijedi, onda kažemo da smo u

dokazu koristili regresivno zaključivanje.

Ako u dokazu poučka pođemo od neke istinite tvrdnje i odatle izvodimo zaključke sve

dok ne dođemo do onoga što se tvrdi, kažemo da smo se u dokazu koristili progresivnim

zaključivanjem.21

Iza dokaza poučka često se piše Q.E.D.. To je kratica latinske izreke quod erat

demonstrandum (tj. što je trebalo dokazati).

18 Vrijedi i obrat tog poučaka. 19 Tj. kvadrat parnog broja je također paran. 20 Način dokazivanja je u načelu intuitivan, a isti se poučak može dokazivati (unutar jednog

aksimatksog sustava ili unutar jedne neaksimatizirane matematičke grane) na više načina. U već

spomenutom matematičkom pravcu formalizmu, imamo strogo utvrđeni postupak dokazivanja. 21 Ponekad se u matematici jednako primjenjuje i jedan i drugi postupak..

Page 6: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

DODATAK

6

1.2. Matematička logika

Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija.

Ukoliko razvijamo matematsku logiku kao aksimatski sustav, tada se pojam suda uzima

kao osnovni (nedefinirani) pojam. U suprotnom se sud može definirati na više načina,

kao npr.:

1. u strogo logičkom smislu "Sud je spoj pojmova kojim se nešto tvrdi ili poriče.",

2. u nešto blažoj formi "Sud ili propozicija je svaka smislena rečenica (tvrdnja) u kojoj

se nešto tvrdi, ako je ono što se tvrdi ili istinito ili neistinito (lažno), ali ne i oboje, tj.

istovremeno i istinito i neistinito.22

Tako imamo sljedeće primjere za istinite sudove:

-Brucoši su studenti prve godine.

-Zagreb je glavni grad Hrvatske.

Za neistinite sudove imamo:

-Broj 2 132 je prost broj.

-Studenti upisuju fakultete isključivo zato da bi stekli odgovarajuće znanje.

Sljedeći primjer je za tvrdnju (rečenicu) koja nije smislena pa zato nije sud:

-Romboidni vrapci letjeli su plosnatim nebom.

Sudovi se obilježavaju na dva moguća načina:

1. malim slovima i to: p,q,r,...

2. velikim slovima i to: A,B,C,...

Polazeći od nekog suda može se formirati novi sud koji zovemo negacija tog suda, ako

ono što sud tvrdi, njegova negacija poriče, i obrnuto.

Negacija nekog suda p se notira (bilježi) s p i čita se : nije p ili non p ili ne p.

Za negaciju se može sastaviti Tablica istinitosti:

p p

T

T

gdje je:

22 Ovdje bi se mogao navesti i dopunske kriterije koje je razvila skolastička logika u Indiji,

posebice u okviru budizma i đainizma, kao što je da sud može biti ni istinit ni neistini. Sličan

pristup imaju novovjekovni matematičari-logičari smjera intuicionizam kod kojih općenito ne

vrijedi zakon isključenja trećeg.. Kod njih ne vrijedi niti da je negacija negacije=afirmacija.

Page 7: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA

7

T= istinito, istina, "te" (od engleskog "Thrue")

neistinito, laž, "ne te"

Ako je sud istinit, njegova je negacija neistinita (lažna), i obratno, ako je sud neistinit,

njegova je negacija istinita.

Slijedi da treba prihvatiti načelo isključenja trećeg kao temeljnog načela matematičke

logike, ali i logike uopće, koji se može formulirati i kao aksiom i to:

"Sud je ili istinit ili neistinit, ali ne i oboje (istinit i neistinit)."

Na osnovi elementarnih sudova i njihovih negacija mogu se stvarati novi složeni sudovi.

Najvažniji složeni sudovi su sljedeći:

1. Konjunkcija

Ako su A i B sudovi, tada složeni sud ostvaren povezivanjem sudova A i B veznikom i,

tj. sud

A i B, nazivamo konjunkcijom sudova A i B. Umjesto A i B, obično se pšiše: A & B ili

A B (čitajte: A et B, ili A i B).

Sud A i B je istinit onda i samo onda ako je istinit i sud A, i sud B. Tablica istinitosti toga

suda glasi:

A B A & B

T T T

T

T

Primjer za konjunkciju: Danas idem u kino i nakon toga u šetnju.

2. Disjunkcija

a) Inkluzivna disjunkcija

Ako su A i B sudovi, tada (složeni) sud A ili B (pri čemu dopuštamo mogućnost da bude

i A i B) nazivamo disjunkcijom (inkluzivnom disjunkcijom). Simbol za (inkluzivnu)

Page 8: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

DODATAK

8

disjunkcijom je (čitajte: vel). (Vel je latinska riječ koja ima značenje inkluzivnog ili).

Prema tome, sud

A B

znači A ili B (ili oboje).

Sud A B je istinit onda i samo onda ako je istinit barem jedan od sudova A i B.

Tablica istinitosti toga suda glasi:

A B A B

T T T

T T

T T

Npr. Danas nakon predavanja idem u kino ili u šetnju.

b) Ekskluzivna disjunkcija

Sud A B (ali ne i oboje, i A i B) nazivamo eksluzivnom disjunkcijom (alternativom).

Znak za eksluzivnu disjunkcijom je . Sud A B je, dakle, istinit onda i samo onda

ako je istinit samo jedan od sudova A i B (ali ne i oba). Tablica istinitosti glasi:

A B A B

T T

T T

T T

Npr. Danas nakon predavanja idem ili u šetnju ili u kino. (Samo jedno od toga može biti

istinito)

Page 9: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA

9

3. Implikacija

Ako su A i B sudovi, tada složeni sud

Ako je A, onda je B

nazivamo implikacija. Taj sud kraće pišemo:

A B

a čitamo: A implicira B, ili A povlači B, Iz A slijedi B, A je dovoljan uvjet za B, B je

nužan uvjet za A. Simbol (čitajte: implicira, ili povlači)

Sud A B lažan je samo ako je A istinit sud, a B lažni sud. Tablica istinitosti glasi:

A B A B

T T T

T

T T

T

Primjer za implikaciju: Ako imam najviše dva nepoložena ispita, onda upisujem višu

godinu.

Kako u načelu, tako i u ovom konkretnom primjeru, naizgled nije "normalno" da iz

lažnog A, slijedi istinit B. No, sud A B ne tvrdi, niti da B mora biti (egzistirati), niti

da B ne smije biti, ako nije A. Uz to svaki je sud ili istinit, ili neistinit pa tako i takva

implikacija, i želimo li operirati sa sudovima, moramo prihvatitit takve implikacije ili

istinitim, ili lažnim. Pokazalo se svrsishodnim da budu istinite.23

4. Ekvivalencija

Ako su A i B sudovi, tada složeni sud

( ) & ( )A B B A

tj. sud

23 No, ostaje činjenica da u svakidašnjem životu implikaciju doživljavamo kao oblik misli

(stava) da A predstavlja nužan i dovoljan uvjet (prepostavku) za B.

Page 10: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

DODATAK

10

Ako je A, onda je B i ako je B, onda je A

nazivamo ekvivalencijom i kraće ga pišemo ovako

A B

(čitajte: A je ekvivalentan B). Simbol ( čita se ekvivalentno) znak je ekvivalencije.

Ekvivalencija se može čitati i na dva načina:

1. A je onda i samo onda ako je B.

2. A je nužan i dovoljan uvjet za B.24

Tablica istinitosti ekvivalencije glasi:

A B A B

T T T

T

T

T

Primjer za ekvivalenciju: Upisujem višu godinu studija ako i samo ako (akko) imam

najviše dva nepoložena ispita.

5. Tautologija

To je složen sud koji je uvijek istinit, neovisno o istinitosti njegovih sastavnih sudova

(dijelova, komponenata).

Primjeri za tautologiju:

1. BABA

BABA

)&(

&)(

24 Ekvivalencija je zapravo ona forma implikacije koja se primjenjuje u svakidašnjem životu, a

koja se shvaća kao relacija tipa uzrok-posljedica gdje jedna posljedica ima samo jedan uzrok.

Page 11: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA

11

2. U logici osnovu valjanih shema zaključaka čine tautološki složeni sudovi. Činjenicu

da u valjanom zaključku premise impliciraju konkluziju izražamo sljedećim sudom:

( ) )p q p q

Tablica istinitosti tog suda glasi:

p q p q ( )p q p ( ) )p q p q

1.3. Algebarske strukture

Elementi nekog skupa mogu imati razne značajke od kojih neke ovise od operacija25 koje

se nad njima izvode, a neke ne.

Osobine koje elementi nekog skupa S imaju u odnosu na neke operacije

121 ,...,, nfff su u širem smislu obuhvaćene pojmom algebarske strukture. Naime, takav

skup i uočene operacije mogu se izdvojiti u zasebnu cjelinu koju nazivamo algebarska

struktura. Ovu strukturu shvaćamo kao uređenu n torku 121 ,...,,, nfffS .

Ukoliko se osobine elemenata posmatraju i u odnosu na neke relacije, tada se ovakvi

sustavi nazivaju operacijsko-relacijske strukture (matematičke strukture).

U ovom izlaganju iznijet će se samo neke algebarske strukture, i to samo njihova osnovna

svojstva. Izdvojit će se one algebarske strukture koje su potrebite za preciznije definiranje

25 Relacije između dva objekta se nazivaju binarne relacije. Relacije koje ispunjavaju uvjet da

svaki element nekog skupa A bude u relaciji s točno jednim elementom nekog skupa B nazivaju

se preslikavanja (funkcije). Nadalje svako preslikavanje uređenih n torki formiranih od

elemenata nekog skupa A u elemente tog istog skupa određuje operaciju na skupu A . Ukoliko

imamo uređeni par tada takvu operaciju nazivamo binarna operacija.

Page 12: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

DODATAK

12

pojma vektorskog prostora, odnosno strukture koje imaju dvije ili tri operacije. O

svojstvima pojedinih opoeracija u zadanom skupu ovisi tip algebarske strukture.

Kada je riječ o strukturama sa samo dvije ili tri operacije, tada se često za njihovo

označavanje umjesto oznaka f koriste druge oznake. Tako imamo sljedeće oznake za

operacije: ,*, SS ,,, , itd. koje će se po potrebi također koristiti.

1.3.1. Algebarske strukture sa dvije operacije

1. Grupoid (monoid)

Neka je S neprazan skup i na njemu definirana binarna operacija S . Ukoliko za tu

operaciju vrijedi definicija zatvorenosti riječima u skupu S za svaki uređeni par

elemenata bia iz S , tada algebarsku strukturu SS , zovemo grupoid. Drukčije

rečeno, neki uređeni par SS , je grupoid (monoid) ukoliko vrijedi

)))()(,( zyxSzSyx S .

Primjer 1.

),(),( NN NiN su grupoidi, u kojima je N skup svih prirodnih brojeva, a NN i

operacije zbrajanja i množenja u skupu svih prirodnih brojeva N .

Primjer 2.

Struktura ),( NN nije grupiod jer npr. za 3,1 yx kao rezultat operacije N

(oduzimanje prirodnih brojeva) nad uređenim parom Nyx ),( imamo broj 2 koji

nije prirodan broj.

2. Polugrupa

Ako je operacija S grupoidna i asocijativna, tada kažemo da je grupoid SS ,

asocijativan i zovemo ga polugrupa. Odnosno, algebarska struktura SS , je polugrupa

ako za operaciju S vrijedi:

Page 13: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA

13

1. )))()(,( zyxSzSyx S (grupoidnost)

2. ))()((),,( zyxzyxSzyx SSSS (asocijativnost)

Primjer 1.

Grupoidi ),(),( NN NiN su polugrupe jer su u skupu N , operacije NN i

asocijativne.

Primjer 2.

Grupoid ),( ZZ nije asocijativan jer oduzimanje Z u skupu cijelih brojeva Z nije

asocijativno što znači da taj grupoid nije polugrupa.

Grupa

Polugrupa SS , s neutralnim elementom zove se grupa ako za svaki element skupa

S postoji u S inverzni element, odnosno SS , je grupa ako vrijedi:

1. )))()(,( zyxSzSyx S (grupoidnost)

2. ))()((),,( zyxzyxSzyx SSSS (asocijativnost)

3. )()()( xxeexSxSe SS (egzistencija neutralnog

elementa)

4. ))(()( 111 exxxxSxSx SS (egzistencija inverznog

elementa)

Ukoliko još vrijedi

)(),( xyyxSyx SS (komutativnost)

tada kažemo da je grupa SS , komutativna ili Abelova grupa.

Primjer 1.

Polugrupa ),( ZZ je grupa i to Abelova grupa.

Dokaz:

Page 14: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

DODATAK

14

Suma bilo koja dva cijela broja je cijeli broj. Zbrajanje u skupu cijelih brojeva je

asocijativna operacija. Neutralni element 0e , a za svaki cijeli broj x imamo inverzni

element xx 1, jer 0)()( xxxx . Time je pokazano da je ),( ZZ

grupa.

Kako je zbrajanje cijelih brojeva komutativna operacija, slijedi da je ),( ZZ Abelova

grupa.

Primjer 2.

Uređeni parovi

):,(),,(),,(),:,(),,(),(),:,(),,(),,(),,( RRRZZZNNNN RRRZZZNNNN

nisu grupe, ali je zato ),0( RR grupa.

1.3.2. Algebarske strukture s dvije operacije

1. Prsten

Uređena trojka ),,( SSS je prsten ako su zadovoljeni sljedeći uvjeti:

1. ),( SS je komutativna grupa

2. ),( SS je polugrupa

3. )()()(()()()((),,( zxyxzyxzyzxzyxSzyx SSSSSSSSSS

(desna i lijeva distributivnost S prema S ).

Primjer 1.

Uređena trojka ),,( ZZZ je prsten.

Dokaz:

1. već je pokazano da je ),( ZZ Abelova grupa.

2. dokazano je također da je ),( ZZ polugrupa.

3. za cijele brojeve vrijede lijevi i desni zakon distribucije Z prema Z :

zxyxzyx ZZZZZ )( i zyzxyx ZZZZZ )(

Page 15: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA

15

Primjer 2.

Uređena trojka ),,( ZZZ nije prsten, obzirom da ),( ZZ nije grupa jer nema

inverznog elementa.

Tijelo

Uređena trojka ),,( SSS je tijelo ako su zadovoljeni sljedeći uvjeti:

1. ),,( SSS je prsten

2. ),( SeS je grupa gdje je e neutralni element za operaciju S

Polje

Tijelo ),,( SSS u kojemu je i operacija S komutativna zove se polje, odnosno

komutativno tijelo je polje.

Polje se može definirati i na druge načine:

1. Uređena trojka ),,( SSS je polje ako zadovoljava:

a) ),,( SSS je tijelo

b) )(),( xyyxSyx SS

2. Uređena trojka ),,( SSS je polje ako zadovoljava:

a) ),,( SSS je komutativan prsten sa jedinicom

b) za svako ex postoji u S inverzni element za S .

3. Uređena trojka ),,( SSS je polje ako zadovoljava:

a) ),( SS je komutativna grupa,

b) ),( SeS je komutativna grupa,

c) vrijedi desna i lijeva distributivnost S prema S .

Page 16: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

DODATAK

16

Primjer 1.

Uređena trojka ),,( RSR je polje.

Dokaz:

1. ),( RR je komutativna grupa.

2. ),0( RR je komutativna grupa,

3. operacija R (množenje realnih brojeva) je desno i lijevo distributivna prema

R (zbrajanje realnih brojeva).

Primjer 2.

Uređena trojka ),,( QQQ u kojoj je Q skup racionalnih brojeva također je polje.

4. Sustav kvaterniona

Uz niz drugih algebarskih struktura od zanimanja je pokazati jednu koja se naziva

Hamiltonov sustav kvaterniona.

Uređena trojka ),,( KKK koju čini skup 4RK i operacije zbrajanja i množenja

definirane kao:

),,,(),,,(),,,(

),,,(),,,(),,,(

22221111

2121212122221111

dcbadcbadcba

ddccbbaadcbadcba

K

KKKKK

u kojem je:

)4(

)3(

)2(

)1(

12211221

21121221

12211221

21212121

cbcbdadad

dbdbcacac

dcdcbabab

ddccbbaaa

Page 17: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA

17

Taj sustav ima važnu primjenu u fizici. Nadalje taj sustav sadrži podsustav koji je

izomorfan polju kompleksnih brojeva, a time i podsustav koji je izomorfan polju relanih

brojeva.

Ako je C podskup od K koji se sastoji od svih kvatreniona kojima je treća i četvrta

komponenta nula, tj.

RyxyxC ,0,0,, ,

vidimo da je

)0,0,,(),( yxyx

izomorfizam od ),,( CCC na ),,( CCC jer je

)0,0,,()0,0,,(),0,0,,(

)0,0,,()0,0,,()0,0,,(

122121212211

21212211

bababbaababa

bbaababa

CC

CCC

Nadalje je podsustav ),,( RRR Hamiltonovog sustava kvaterniona gdje je

RxxR )0,0,0,( , izomorfan polju realnih brojeva.

1.4. Vektorski prostori

1.4.1 Definicija vektorskog prostora

U literaturi ima više definicija pojma vektorskih prostora koje se razlikuju po stupnju

matematske strogosti. U ovom radu uzet će se sljedeća definicija:

Neka je FFF ,, polje, a VV , komutativna grupa i “o” algebarska operacija

definirana kao kartezijev produkt VuVF tako da za FaiVX vijedi

VXoa . Tada grupu V zovemo vektorskim prostorom nad poljem F ako za

VYXiFba ,, vrijedi:

Page 18: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

DODATAK

18

)""ln(1.4

)()(.3

)""""(.2

)""""(.1

ooperacijuzaelementaogneutrapostojanjeXXo

XobaXoboa

desnaspremaovnostdistributuXxobXoaXoba

lijevaspremaovnostdistributiYoaXoaYXoa

F

F

FVF

VVV

Elemente vektorskog prostora V zovemo vektori, a elemente polja F skalari.

Primjeri za vektorski prostor:

1. Grupa ),( CC je vektorski prostor nad poljem realnih brojeva ako je operacija

“ o ” obično množenje kompleksnih brojeva realnim brojevima, tj.

),(),( ayaxyxoa .26

Tu tvrdnju treba provjeriti:27

1. svojstvo:

),(),(),(),( 2211

?

2211 yxoayxoayxyxoa CC

Dokaz:

26 Pritom je kompleksni broj yixz predstavljen uređenim parom realnih brojeva

Cyx ),( , gdje prva komponenta uređenog para predstavlja realni, a druga imaginarni dio

kompleksnog broja. 27 Tu tvrdnju ( i sve ostale analogne) provjeravamo tako da ispitamo vrijede li sva 4 svojstva za

vektorske prostore, i to na način je li lijeva strana svakog svojstva jednaka desnoj strani. Dokaz

provodimo tako da primjenom poznatih definicija i svojstava iz lijeve strane jednadžbe izvedemo

desnu stranu.

U ovom primjeru je usvojena notacija da operacija “+” označava obično zbrajanje realnih brojeva,

a operacija “.” obično množenje realnih brojeva. Ta se notacija koristi jer se smatra da je suvišan

indeks “R” u notaciji za operacije “ R ”, i “ R ” u polju R , tj. u polju realnih brojeva.

Page 19: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA

19

.)..()""(),(),(

)(),(),(

)ln

(),(

)""()(),(

)(),(

),(),(

2211

2211

2121

2121

2121

2211

DEQooperacijedefinicijipoyxoayxoa

brojevahkompleksnizbrajanjadefinicijipoyaxayaxa

brojevaihreaskupuu

zbrajanjupremamnozenjavnostidistributisvojstvupoyayaxaxa

ooperacijedefinicijipoyyaxxa

brojevahkompleksnizbrajanjadefinicijipoyyxxoa

yxyxoa

C

C

C

2. svojstvo:

),(),(),()( 1111

?

11 yxobyxoayxoba C

Dokaz:

.)..()""(),(),(

)(),(),(

)ln

(),(

)""()(,)(

),()(

1111

2111

1111

11

11

DEQooperacijedefinicijipoyxobyxoa

brojevahkompleksnizbrajanjadefinicijipoybxbyaxa

brojevaihreaskupuu

zbrajanjupremamnozenjavnostidistributisvojstvupoybyaxbxa

ooperacijedefinicijipoybaxba

yxoba

C

C

3. svojstvo:

),(),()( 11

?

11 yxoboayxoba

Dokaz:

.)..()""(),(

)""(),(

)ln()(),(

)""()(,)(

),()(

11

11

11

11

11

DEQooperacijedefinicijipoyxoboa

ooperacijedefinicijipoybxboa

brojevaihreaskupuumnozenjanostiasocijativsvojstvupoybaxba

ooperacijedefinicijipoybaxba

yxoba

Page 20: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

DODATAK

20

4. svojstvo:

),(),(1 11

?

11 yxyxoR

Dokaz:

.)..()""

ln1ln(),(

)""()1,1(

),(1

11

11

11

DEQmnozenjaoperacijunaodnosuu

brojevaihreaskupuuelementaogneutrasvojstvupoyx

ooperacijedefinicijipoyx

yxo

R

RR

R

2. primjer

Skup svih kvadratnih matrica je vektorski prostor nad poljem R ako je operacija “ M ”

zbrajanje matrica, a operacija “o” množenje matrica realnim brojem.

3. primjer

Skup svih matrica formata )( nxm je vektorski prostor nad poljem R , ako je operacija

M zbrajanje matrica istog formata, a operacija “o” množenje matrica realnim brojem.

4. primjer

Skup svih polinoma je vektorski prostor nad poljem R ako je “ P ” zbrajanje polinoma,

a operacija “o” množenje polinoma realnim brojem.

1.4.2. Definicija dimenzije vektorskog prostora

Neka je V vektroski prostor nad poljem F. Ako postoji neki skup vektora

VXXX n ,...,, 21 tako da se svaki vektor VY , može se na jednoznačan način

prikazati u obliku

)1(...2211 nn XaXaXaY

tj. ako postoji jedna i samo jedna n-torka Faaa n ),...,,( 21 , tako da vrijedi )1( tada

kažemo da je V n-dimenzionalni vektroski prostor nad F i bilježimo ga s nE , i

Page 21: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA

21

čitamo Euklidov n-dimenzionalni vektorski prostor.28 Vektore nXXX ,...,, 21 zovemo

bazom ili koordinatnim sustavom toga prostora.29

Primjeri:

1. Skup ),( CC je dvodimnezionalni prostor nad poljem R. Za bazu se mogu uzeti

kompleksni brojevi )1,0(),0,1(1 CC i .

Naime, svaki kompleksan broj možemo prikazati u obliku:

)1,0()0,1(),( yxyx

jer je

),()0,0(),0()0,()1,0()0,1( yxyxyxyx

2. Skup svih kvadratnih matrica drugog reda nad poljem R , s obzirom na obično

zbrajanje jest četverodimenzionalan vektroski prostor nad R .30

Za bazu možemo uzeti npr. matice:

10

00,

01

00,

00

10,

00

014321 EEEE .,

jer se svaka kvadratna matrica

dc

baA

nad R može jednoznačno prikazati u obliku

4321 dEcEbEaEA .

Za bazu možemo uzeti npr. i vektore:

28 Vidljivo je da eksponent n baze E , u oznaci

nE označava dimenziju vektorskog prostora. 29 Definiciju pojma baze vektorskog prostora vidjeti u 1.4.6. 30 Kolika je dimenzija vektorskog prostora što ga čini skup kvadratnih matrica n-tog reda?

Page 22: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

DODATAK

22

11

11,

01

11,

00

11,

00

014321 DDDD .

3. Skup svih matrica formata nxm nad poljem R s obzirom na obično zbrajanje

matrica čini nm dimenzionalni vektorski prostor.

1.4.3. Pojam vektora

U okviru definicije vektorskog prostora rečeno je da su vektori elementi vektorskog

prostora V . Vektori se pišu velikom slovima, a njihov osnovni reprezentant se označava

s X . Pripadnost vektora X vektorskom prostoru V pišemo sa VX .

Uz činjenicu da svaki vektoski prostor ima svoju dimenziju, vezano je svojstvo vektora

X da je njegov zapis također vezan za dimenziju tog vektorskog prostora. Naime,

općenito vrijedi da je dimenzija vektorskog prostora vezana za uređene skupove brojeva

(općenito skalara) nixi ,...2,1 , koji se zovu komponente ili elementi ili koordinate

vektora X .

Polazeći od tog svojstva vektor X se piše na sljedeći način:

nx

x

x

X

2

1

ili kraće nixX i ,...2,1 .

Gdje broj n govori o broju komponenata ili koordinata ili elemenata vektora X .

Navedena notacija vektora X naziva se još i vektor-stupac, i predstavlja osnovni

primjer vektora, uz koji se vežu sve analize odnosno istraživanja značajki vektora,

odnsono vektorskih prostora.

Uz vektor-stupac je usko vezan pojam vektora-redka, koji se naziva i transponatom

vektora X , a njegov zapis glasi:

Page 23: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA

23

nxxxX ,...,, 21 ili kraće njxX j ,...,2,1

Jasno da vrijedi i obrnuto, tj. da je vektor X transponat vektora X . Također je vidljivo

da je ji xx .

Vektor X s n komponenata se tumači geometrijski kao točka u n dimenzionalnom

vektorskom prostoru nE . Iz takvog tumačenja slijedi i naziv da je X

n dimenzionalan vektor.

Primjer:

4

3A je dvodimenzionalni vektor koji geometrisjki odgovara točki A u realnoj

ravnini (geometrijskom tumačenju Euklidovog prostora 2E ) čija je apscisa 3, a ordinata

4.

1.4.4. Osnovna svojstva i operacije vektora

Zbrajanje vektora (oduzimanje)

Vektori jednake dimenzije se zbrajaju (oduzimaju) tako da se pripadajuće (homologne)

komponente zbroje (oduzmu).

Znači, zbrajaju se (oduzimaju) samo vektori istog vektorskog prostora nE .

Primjer:

8

6

2

)4()4(0

)3(2)5(

)1()3(2

?

4

3

1

,

4

2

3

,

0

5

2

CBAD

CBA

CBA

Page 24: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

DODATAK

24

2. Množenje vektora skalarom (brojem)

Vektor se množi skalarom (brojem) tako da se svaka njegova komponenta pomnoži tim

skalarom (brojem).

14

8

0

7)2(

)4()2(

0)2(

7

4

0

)2(

?

)2(,

7

4

0

Aa

aA

Skalarni ili unutarnji produkt vektora (Množenje vektora vektorom )

Unutarnji produkt n dimenzionalnog vektora ii yYixX jednak je

n

i

iinn yxyxyxyxYX1

2211 ...

Skalarni produkt vektora YiX je zapravo suma produkata odgovarajućih komponenta

tih vektora, dakle broj, odnosno skalar.

Vrijedi jednakost:

XYYXYX

Page 25: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA

25

Primjer:

1150)3()3(2

1

0

3

,

5

3

2

BABA

Jednakost dvaju vektora

Dva su vektora jednaka ako i samo ako su im jednaki svi homologni elementi.

Duljina ili norma vektora

Po, definiciji je duljina ili norma vektora X dana izrazom:

XXX

Evidentno je da je duljina vektora X u prostoru nE

22

2

2

1 ... nxxxX

ustvari distanca između ishodišta koordinatnog sustava u n-dimenzionalnom prostoru s

koordinatama )0,...,0,0( i točke T s koordinatama ),...,,( 21 nxxx .

Iz toga proizlazi da je korisno vektore predočiti geometrijski kao orijentirane dužine.

Primjer 1.

Prikazati vektor

2

1A kao orijentiranu dužinu.

Primjer 2.

Geometrijski prikazati sumu sljedećih vektora:

a) 1,1,2,1 BA

Page 26: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

DODATAK

26

b) 3,3,4,2 BA

Produkt vektora X i skalara 0 ima za rezultat vektor nxxxX ,...,, 21

istog smjera kao i vektor X sa duljinom

22

2

2

1 ... nxxxX .

Ako je 0 vektor X ima istu duljinu ali suprotnu orijentaciju od vektora X .

Nul-vektor

Do pojma nul-vektora možemo doći promatranjem skalarnog produkta vektora X sa

samim sobom, pri čemu su prisutna dva slučaja:

a)

n

i

i OXzaxXX1

2 0

b) OXzaXX 0

Posljednji slučaj označava nul-vektor, tj. vektor kojemu su sve komponente jednake nuli.

Primjer:

Nul-vektor u vektorskom prostoru 2E se piše

0

02O .

Jedinični vektor

Jedinični vektor je vektor kojemu je duljina 1X . Označava se s

),...,2,1(, niI i . Takvi vektori su npr. vektori kojima su sve komponente jednake

nuli osim i te komponente koja je jednaka jedan.

Jediničnih vektora kojima su sve komponente nula osim i te, a koje možemo označiti s

iI u n dimenzionalnom vektorskom prostoru nE ima točno n , i to:

Page 27: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA

27

01...000,...,00...010,00...100 21 nIII 31

Primjer:

U vektorskom prostoru 2E imamo sljedeće jedinične vektore iI :

1

0,

0

121 II

Vektor jedinica

Suma jedničnih vektora iI daje vektor:

11...111...21 nIIII

Jedinični vektor je kojemu su sve komponente jedinice. Zove se i suma-vektor zbog

svojstva da je skalarni produkt tog vektora i bilo kojeg vektora X iz vektorskog prostora nE , jednak sumi komponenata od X , tj.

nn xxxxxxXIIX ...,...,,11...111 2121

Ortogonalni vektori

Dva su vektora YiX ortogonalna ako je njihov skalarni produkt jednak nuli, tj. ako

je 0YX .

Od te se definicije polazi ako se želi naći vektor koji je ortogonalan zadanom vektoru.

Primjer:

Naći vektor koji je ortogonalan vektoru

5

1

3

B .

31 Jasno da svaki takav jedinični vektor u

nE ima n komponenata, od čega 1n nula.

Page 28: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

DODATAK

28

053

5

1

3

,, 321321

xxxxxxBX

Rješenje su sve uređene trojke brojeva ),,( 321 xxx koje zadovoljavaju gornju jednadžbu.

Trojka )0,0,0( je trivijalno rješenje dok je uređena trojka )0,3,1( jedno od rješenja,

tj. članovi te uređene trojke su komponente vektora

0

3

1

A koji je ortoganalan na

zadani vektor B .

1.4.5. Linearna kombinacija, zavisnost i nezavisnost

a) Linearna kombinacija

Neki vektor Y je linearna kombinacija vektora mXXX ,...,, 21 iz prostora nE ako je

mm XcXcXcY ...2211 , gdje su mccc ,...,, 21 skalari.

Skalari mccc ,...,, 21 se zovu koeficijenti kombinacije.

Primjer 1.

Je li vektor

4

6

2

B linearna kombinacija vektora

2

3

1

A iz prostora3E .

Primjenom uvjeta za linearnu kombinaciju dolazimo do sljedećeg izraza:

Page 29: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA

29

AcB 1 , tj.

2

3

1

4

6

2

1c

Iz tog izraza slijedi jednadžba:

1

1

1

2

3

4

6

2

c

c

c

.

Iz svojstva jednakosti dva vektora proizlazi sustav jednadžbi:

1

1

1

24

36

2

c

c

c

Iz svih jednadžbi slijedi da je 21 c , tj. za zadani skup jednadžbi postoji jedinstveno

rješenje u skupu realnih brojeva. Time smo dokazali da je vektor B linearna

kombinacija vektora A , pri čemu je koeficijent te kombinacije skalar (broj) 21 c .

b) Linearna zavisnost

Skup vektora mXXX ,...,, 21 iz vektorskog prostora nE je linearno zavisan ako postoji

m skalara mccc ,...,, 21 koji svi nisu nula (netrivijalan slučaj) tako da je

0...2211 mm XcXcXc .

Može se reći i da su vektori mXXX ,...,, 21 linearno zavisni onda i samo onda ako je

neki od tih vektora linearna kombinacija preostalih vektora. Slijedi da je linearno zavisan

svaki skup vektora koji uključuje nul-vektor.

Naime, ako je npr. 0mc , tada slijedi relacija:

Page 30: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

DODATAK

30

11

22

11 ...

m

m

m

mm

m Xc

cX

c

cX

c

cX

tj. da je vektor mX linearna kombinacija vektora 121 ,...,, mXXX .

Primjer 1:

Skup svih točaka na nekom pravcu koji prolazi kroz ishodište koordinatnog sustava u

ravnini predstavlja skup (vrhova) beskonačno mnogo vektora koji su međusobno zavisni

(taj skup sadrži nul-vektor, tj. ishodište).

Primjer 2.

Zadan je skup vektora

0

2

0

,

0

0

8

,

0

4

2

321 AAA .

Je li taj skup vektora nezavisan?

Iz relacije

0

0

0

0

2

0

0

0

8

0

4

2

321 ccc

slijedi sustav jednadžbi

024

082

31

21

cc

cc

koji ima beskonačno mnogo rješenja,.

Zaključak je da vektori 321 ,, AAA međusobno zavisni.

Page 31: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA

31

c) Linearna nezavisnost

Ako relacija

0...2211 mm XcXcXc

vrijedi samo u slučaju 0...21 mccc (trivijalan slučaj kada su svi skalari

jednaki nuli) tada su vektori mXXX ,...,, 21 linearno nezavisni.

Primjer 1. Jesu li jedinični vektori iI u vektorskom prostoru 2E linearno zavisni ili

nezavisni?

1

0,

0

121 II

0

0

0

00

0

0

0

1

0

0

1

0

2

1

2

1

21

2211

c

c

c

c

cc

IcIc

Iz jednakosti dviju matrica slijedi da je 021 cc , tj. da su jedinični vektori 21, II

linearno nezavisni.32

Dalje vrijede sljedeće tvrdnje:

1. Ako je neki skup vektora linearno nezavisan, tada je također i svaki njegov podskup

linearno nezavisan (isto vrijedi i za zavisnost).

32 Taj zaključak vrijedi i općenito za jedinične vektore iz vektorskog prostora

nE .

Page 32: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

DODATAK

32

2. Koliko može biti najviše linearno nezavisnih vektora u nekom skupu vektora iz

vektorskog prostora nE ?

Imamo najviše n linearno nezavisnih vektora u nekom skupu vektora nE . Taj

broj se zove DIMENZIJA vektorskog prostora.

Slijedi da je svaki skup od 1n vektora u vektorskom prostoru nE linearno

zavisan.

1.4.6. Baza vektorskog prostora

a) Pojam baze

Skup vektora mXXX ,...,, 21 je baza prostora svih n dimenzionalnih vektora, ako

se svaki vektor u tom prostoru može izraziti kao linearna kombinacija od

mXXX ,...,, 21 i ako su mXXX ,...,, 21 linearno nezavisni.

Obzirom da se može dokazati da je nm slijedi da je baza vektorskog prostora nE skup od točno n - linearno nezavisnih vektora, odnosno svaki skup od n - linearno

nezavisnih vektora iz vektorskog prostora nE je baza tog prostora.

Iz navedenog imamo da se svaki vektor nEY može izraziti kao linerana kombinacija

vektora iX iz baze nXXXB ,...,, 21 na jedan i samo jedan način.

U prostoru nE postoji toliko baza koliko ima u tom prostoru različitih skupova od

n linearno nezavisnih vektora.

Obzirom da je skup navedenih jediničnih vektora nI iz nekog vektorskog prostora

nE međusobno nezavisan, slijedi da taj skup čini jednu od baza tog vektorskog prostora,

i to kanonsku bazu.

Primjer 1. Vektori

5

2,

1

1BA čine jednu bazu prostora

2E . Izrazi vektor

2

1C u terminima te baze. (vektor C treba prikazati kao linearnu kombinaciju

vektora iz baze)

Page 33: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA

33

Rješenje:

2

1

5

2

1

121 cc

iz te relacije slijedi sustav jednadžbi

25

12

21

21

cc

cc

s rješenjem 1,3 21 cc .

b) Ortonormirana baza

Od posebnog je značaja baza vektorskog prostora nE sastavljena od n jediničnih vektora

nIII ,...,, 21 . Ta se baza zove ortonormirana baza.

Naziv proizlazi iz svojstva da su takvi vektori ortogonalni i svaki ima duljinu 1. Svaki

vektor nEY može se lako izaziti kao linearna kombinacija vektora ortonormirane baze

jer su koeficijenti kombinacije vektora kojeg prikazujemo u terminima te baze, jednaki

komponentama tog vektora.

Primjer za ortonormalnu bazu nekog vektorskog prostora nE je skup jediničnih vektora

iI tog prostora.

Primjer 1. Prikaži vektor

5

1A u terminima ortonormalne baze.

Rješenje:

Ortonormalnu bazu čine vektori

1

0,

0

121 II pa imamo

Page 34: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

DODATAK

34

5

1

1

05

0

1)1(

5,1 21 cc

1.4.7. Vektorski potprostori

Neki skup vektora n dimenzionalnog prostora nE zove se potprostor od

nE ako je

svaka linearna kombinacija vektora toga skupa i sama vektor u tom skupu.

Primjer:

Svi vektori oblika aX za nEX i Ra predstavljaju potprostor od

nE .

Geometrijski je takav skup vektora skup točaka na pravcu koji prolazi kroz ishodište O i

točku s koordinatama iz vektora X . Kaže se da vektor X generira taj prostor, odnosno

da je baza tog potprostora od 2E .

Primjer 2:

Ako je OA neki vektor u nE , tada je skup vektora 0 AXEXXH n

potprostor od nE .

H se može geometrijski tumačiti kao hiperravnina u prostoru nE koja prolazi kroz

ishodište.

Naime, 0...2211 nnxaxaxaAX je jednadžba hiperravnine.

Za 2n imamo 02211 xaxa , a to je jednadžba pravca koji prolazi kroz ishodište,

a okomit je na pravac određen točkama 21,0,0 aai .

Na primjer ako je 2112 xxXA , tada je skalarni produkt

02 21 xxXA implicitni oblik jednadžbe pravca koji je ortogonalan (okomit) na

vektor A .

Page 35: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA

35

Za 3n imamo jednadžbu ravnine kroz ishodište okomito na pravac kroz

),,(0,0,0 321 aaai .

Šire je hiperravnina u prostoru nE skup svih rješenja jednadžbe bAX u kojoj je A

neki dati vektor u nE , a b je dati realan broj (skalar). Svaka hiperravnina

bAXEXXH n , , gdje je b neki realan broj koji može, ali ne mora, biti

jednak nuli, dijeli prostor nE u dva zatvorena poluprostora:

bAXEXXH

bAXEXXH

n

n

,

,

Poluprostor H je dio od

nE i sadrži sve vektore X za koje je bAX , dok

poluprostor H sadrži sve X sa bAX . Evidentno je da je samo ona hiperravnina

H koja prolazi kroz ishodište, tj. H sa 0b potprotor od nE .

1.4.8. Konveksna kombinacija, konveksni skup, konveksna ljuska i n-dimenzionalni

simplex

Definicija konveksnosti

Dat će se dvije definicije konveksnosti, odnosno konveksnih skupova, pri čemu je u prvoj

uključena i definicija konveksne kombinacije.:

1. Skup vektora je konveksan, ako iz CXX 21, proizlazi CXaXa 2211 , pri

čemu je 1,0, 2121 aaiaa . Linearna kombinacija 2111 XaXa i svaka

linearna kombinacija

n

ii Xa11

sa

n

i

ii aia1

10 zove se konveksna

kombinacija. Zato se kaže da je skup konveksan ako sadrži svaku konveksnu

kombinaciju svojih elemenata.

2. Skup I sastavljen od točaka iz n-dimenzionalnog prostora je konveksan ako za bilo

koje dvije točke X i Y iz I vrijedi da skupu I pripadaju i sve točke oblika

X Y ( )1 , ako je realan broj i ako je 0 1 , tj. ako skupu

Page 36: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

DODATAK

36

I pripadaju sve konveksne kombinacije od X i Y . Po dogovoru je prazan skup

također konveksan.

Da bi se taj pojam pojasnio s nekoliko primjera, primjećujemo da su ( u jednom

dvodimenzionalnom prostoru) konveksni skupovi: trokuti, četverokuti čiji je zbroj

unutarnjih kutova manji od 1800, krug, elipsa itd. Isto vrijedi (u jednom

trodimenzionalnom prostoru) za kocku, sferu, itd.

Nisu konveksni prsten, šuplji stožac itd.

Svaka hiperravnina bAXEXXH n , je konveksan skup vektora ili točaka

u nE . Naime, ako su točke 21 XiX na hiperravnini H , tada je i njihova konveksna

kombinacija 0,)1( 21 XX točka na toj hiperravini.

Također je konveksan svaki skup vektora nEX za koje je bAX , odnosno

bAX , tj. svaki zatvoreni poluprostor.

Neka točka X u konveksnom skupu C zove se ekstremna točka, ako se X ne može

izraziti kao konveksna kombinacija nekih drugih dviju točaka )(, ZYZiY iz C .

Može se još reći da se sve točke konveksnog skupa, koje se ne mogu dobiti kao

konveksna kombinacija drugih točaka konveksnog skupa, nazivaju vrhovi ili ekstremne

točke konveksnog skupa. Ekstremna točka ne leži između dviju točaka konveksnog

skupa.

Slijede , po definiciji, da su vrhovi konveksnog skupa vrhovi konveksnih poligona iz

elementarne geometrije. No po definiciji, i sve točke kružnice su također vrhovi

geometrijskog lika kruga; isto vrijedi i za točke koje se nalaze na crti koja ograničava

elipsu ili drukčije postoje konveksni skupovi koji nemaju niti jednu ekstremnu točku.

Primjer 1.33

Ispitajte je li vektor

6

3C konveksna kombinacija vektora

8

5

4

1BiA .

Rješenje:

Treba odrediti postoji li 1,0 takav da je BAC )1( , ili geometrijski je li

točka C leži na spojnici točaka BiA .

33 Primjeri su iz Babić,Z.,op.cit., str.25 i 26.

Page 37: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA

37

2/1648

2/1345

48

45

8

5)1(

4

1

6

3

tj. BAC 2/12/1

Primjer 2.

Dokažite da se vektor 102X može prikazati kao konveksna kombinacija vektora

.612,513,351 CBA

Rješenje:

Da bi X bio konveksna kombinacija vektora CBA ,, mora biti:

6

1

2

5

1

3

3

5

1

1

0

2

11,0,

321

321321

iCBAX i

1653

05

223

321

321

321

Taj sustav ima jedinstveno rješenje:

Page 38: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

DODATAK

38

.3/12/16/1

.,3/1,2/1,6/1 321

CBAX

tj

Obzirom da je 1321 slijedi da je X konveksna kombinacija vektora

CBA ,, ili geometrijski nalazi se na ravnini određenoj točkama CBA ,, i to u onom

dijelu te ravnine koji pripada trokutu .ABC

Primjer 3.

Zadani su vektori

12

3,

2

10,

8

5CBA . Odredite vektor

2RX koji je

okomit na C i koji je konveksna kombinacija vektora .BiA

Rješenje:

210,105)1(2

)1(10

8

5

10,)1(

40123

21

2

1

2121

xxx

x

BAX

xxxxCX

Iz te tri jednadžbe dobivamo: 28,5/2 21 xix odnosno

2

8X .

Page 39: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA

39

Definicija konveksne ljuske

Konveksna ljuska skupa S je najmanji konveksan skup koji sadrži S . Obično se

označava sa S , a ponekad sa )()( SCiliSCo . Skup S se može konstruirati na

sljedeći način:

r

i

r

i

iiiii aaSXXaS1 1

0,1,

gdje je nr ,...,2,1 . Ako je S skup od n vektora iX , tada je S konveksni

poliedar. Npr., ako je S skup od tri nekolinearne točke, 2, ECiBA , tada je

konveksan ljuska trokut s vrhovima u tim točkama. Ako je pak S kružnica

12

2

2

1 xx , tada je konveksna ljuska od S čitav krug 12

2

2

1 xx , tj. skup svih

točaka unutar i na periferiji kruga.

Primjer za konveksnu ljusku:

Odredite konveksnu ljusku skupa CBA ,, ako su .3

3,

0

4,

2

1

CBA

Rješenje:

Konveksna ljuska skupa S je najmanji konveksni skup koji sadrži točke CBA ,, . To je

očito trokut s vrhovima u točkama CiBA, .

Trokut CBA ,, može se definirati pomoću tri nejednadžbe od kojih svaka predstavlja

jednu poluravninu u prostoru 2R . Prva nejednadžba predstavlja skup svih točaka koje se

nalaze na pravcu AC i ispod njega, analogno tome druga predstavlja skup svih točaka

na pravcu AB i iznad njega, a treća predstavlja skup svih točaka na pravcu BC i ispod

njega.

Svaki se pravac (a time i poluravnina koja je definirana tim pravcem) može dobiti

primjenom jednadžbe pravca kroz dvije točke:

Page 40: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

DODATAK

40

)( 1

12

121 xx

xx

yyyy

pa tako imamo:

23)4(43

030)(

832)1(14

202)(

32)1(13

132)(

2112

2112

2112

xxxxBC

xxxxAB

xxxxAC

Rješenje tog skupa nejednadžbi, odnosno presjek te tri poluravnine je upravo trokut

ABC .

Definicija n-dimenzionalnog simpleksa

Konveksna ljuska svakog skupa od 1n točaka iz nE , koje ne leže na jednoj

hiperravnini u nE , zove se n-dimenzionalni simpleks. Simpleks je dakle specijalan

slučaj konveksnog poliedra u nE koji ima točno 1n vrhova.

Primjeri za n-dimenzionalni simpleks:

Točka se može uzeti kao primjer nul- dimenzionalnog simpleksa, a dužina kao primjer 1-

dimenzionalnog simpleksa.

Trokut je primjer za 2- dimenzionalni simpleks u što je uključena naravno i dio ravnine

koju omeđuje taj trokut U prostoru 3E , ako se npr. za vrhove uzmu koordinate

)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1( trokut se analitički može opisati relacijama:

0,,

1

321

321

xxx

xxx

Trodimenzionalni simpleks je tetraedar.

Page 41: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA

41

Iz ovih primjera je vidljivo da je n-dimenzionalni simpleks u prostoru sa n dimenzija

omeđen simleksima iz manjih dimenzija, tj. 1n dimenzionalnim simpleksima. Tako je

dužina omeđena točkama, trokut dužinama, a tetraedar trokutima.

Općenito, (m-1) dimenzionalni simpleks smješten u prostoru mE opisuje se relacijama:

m

i xx11

1 01

Konus je takav skup vektorskog prostora da iz Kx i 0 slijedi KX . Na

primjer sve točke u ravnini između dva pravca kroz ishodište tvore jedan konus. Naime,

iz definicije konusa slijedi da je nul-vektor ili ishodište u svakom konusu.

Konveksni konus je konus koji je konveksan. Može se reći da je neki skup vektora od nE konveksan konus ako se iz tog skupa ne izlazi kad se u njemu obavljaju operacije

adicije i multiplikacije s nenegativnim brojevima.

Na primjer skup točaka ),( 21 xx sa 00 21 xix , tj. prvi kvadrant je konveksan

konus.

Ako su A i B dva vektora, tada je skup svih njihovih konveksnih kombinacija također

jedan konveksan skup.

Može se pokazati da je: presjek dvaju konveksnih skupova, također konveksan skup; i

obrnuto, općenito ne vrijedi da je unija dvaju konveksnih skupova također konveksan

skup.

Page 42: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo
Page 43: 1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG · PDF fileDODATAK 6 1.2. Matematička logika Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija. Ukoliko razvijamo

1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA

67