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1 Mat_Insieme Prodotti Notevoli Tabella di Scomposizioni Tabella di Scomposizioni Test Scomposizioni Test Scomposizioni a cura di G. Chirico – P.A. Cerati – A. Boccia Lavoro di Gruppo a tre mani

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Mat_Insieme

Prodotti Notevoli

Tabella di ScomposizioniTabella di Scomposizioni

Test ScomposizioniTest Scomposizioni

a cura di G. Chirico – P.A. Cerati – A. Boccia

Lavoro di Gruppo a tre mani

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I Prodotti NotevoliI Prodotti Notevoli

Quadrato di binomio Cubo di binomio Quadrato di polinomio Potenza n-esima di binomio Somma per differenza Altri prodotti notevoli

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Quadrato di un BinomioQuadrato di un Binomio

Cerchiamo la regola La regola Il significato geometrico Esempi Esercizi proposti

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Quadrato di binomio: significato algebrico

(a+b)2 = (a+b) (a+b) =

= a2+ab+ab+b2 =

= a2+2ab+b2

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Quadrato di binomio: la regola

( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Il quadrato di un binomio è un trinomio avente per termini:

• il quadrato del 1° monomio• il doppio prodotto del 1° monomio per il 2°• il quadrato del 2° monomio

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Quadrato di binomio: significato geometrico

a b

(a + b) (a + b)2

a2

b2

ab

ab

(a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

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Quadrato di binomio: esempi

(2a+b)2 = (2a)2+2(2a)(+b)+(+b)2 = 4a2 + 4ab + b2

(2a - b)2 = (2a)2+2(2a)(-b)+(-b)2 = 4a2 - 4ab + b2

(3a+2b)2 = (3a)2 +2(3a)(+2b) +(+2b)2 = 9a2 +12ab +4b2

(3a -2b)2 = (3a)2 +2(3a)(-2b) +(-2b)2 = 9a2 - 12ab +4b2

(-3a -2b)2 = (-3a)2 +2(-3a)(-2b)+(-2b)2 = 9a2 +12ab +4b2

(-3a+2b)2 = (-3a)2 +2(-3a)(+2b)+(+2b)2 = 9a2 -12ab+4b2

2222

4

25

3

5

9

1

2

5

2

5

3

12

3

1

2

5

3

1yxyxyyxxyx

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Quadrato di binomio: esercizi (2a + 7)2 = (3a - 4b)2 = (-2x - 3y)2 = (a2 + 3b)2 = (5a - 3b)2 = (5a2 + 2b2)2 = (-3a3 + 2b2)2 = (2ab - 3b)2 =

(7xy - 2x)2 =

4a2 + 28 a + 49

9a2 - 24 ab + 16b2

4x2 + 12 xy + 9y2

a4 + 6 a2b + 9b2

25a2 - 30ab + 9b2

25a4 + 20 a2b2 + 4b4

9a6 - 12 a3b2 + 4b4

4a2b2 - 12 ab2 + 9b2

49x2y2 - 28 x2y + 4x2

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Quadrato di binomio: esercizi

2

32

1ba

2

32

3ba

2

5

1

2

3ba

2

5

1

5

3ba

2

3

1

3

5ba

2

3

1

3

1aba

222

2

1

3

2ba

22 934

1baba

22 994

9baba

22

25

1

5

3

4

9baba

22

25

1

25

6

25

9baba

22

9

1

9

10

9

25baba

2222

9

1

9

2

9

1babaa

4224

4

1

3

2

9

4bbaa

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Cubo di un BinomioCubo di un Binomio

Cerchiamo la regola La regola Il significato geometrico Esempi Esercizi proposti

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Cubo di binomio: significato algebrico

(a+b)3 = (a+b)2 (a+b) =

= (a2+2ab+b2) (a+b) =

= a3+a2b+2 a2b+2ab2+ab2+b3=

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

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Cubo di binomio: la regola

( a + b ) 3 = a 3 + 3a2b + 3ab2 + b 3

Il cubo di un binomio è un quadrinomio avente per termini:

• il cubo del 1° monomio• il triplo prodotto del quadrato del 1° per il 2°• il triplo prodotto del 1° per il quadrato del 2°• il cubo del 2° monomio

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Cubo di binomio: significato geometrico

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

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Cubo di binomio: esempi(2a+b)3 = (2a)3 +3(2a)2(+b) +3(2a)(+b)2 +(+b)3 = = 8a3 + 12a2b + 6ab2 + b3

(2a - b)3 = (2a)3+3(2a)2(-b)+3(2a)(-b)2 +(-b)3 = = 8a3 - 12a2b + 6ab2 - b3

(-3a -2b)3 = (-3a)3 +3(-3a)2 (-2b)+3(-3a)(-2b)2 +(-2b)3 = = -27a3 - 54a2 b - 36ab2 - b3

322332233

4

25

4

25

6

5

27

1

2

5

2

5

3

13

2

5

3

13

3

1

2

5

3

1babbaabbabaaba

(-3a +2b)3 = (-3a)3 +3(-3a)2 (+2b)+3(-3a)(+2b)2 +(+2b)3 = -27a3 + 54a2 b - 36ab2 + b3

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Cubo di binomio: esercizi

(2a + 1)3 = (3a - b)3 = (-2x - 3y)3 = (a2 + 3b)3 = (a - 3b)3 = (a2 + 2b2)3 = (-3a3 + 2b2)3 = (2ab - 3b)3 =

8a3+12a2+6a+1

27a3-27a2b+6ab2-b3

-8x3-36x2y-54xy2-27y3

a6+9a4 b+27a2b2+27b3

8a3-36a2 b+54ab2 -27b3

a6+6a4 b2+12a2b4+8b6

-27a9+54a6b2-36a3b4+8b6

8a2b2-36a2 b3+54ab3-27b3

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Cubo di binomio: esercizi

3

32

1ba

3

32

3ba

3

3

1

2

3ba

3

3

1

5

1ba

3

3

1

3

2ba

3

3

1aba

322

2

1

3

1ba

3223 272

27

4

9

8

1babbaa

3223 272

81

4

81

8

27babbaa

3223

27

1

2

1

4

9

8

27babbaa

3223

27

1

15

1

25

1

125

1babbaa

3223

27

1

9

2

9

4

27

8babbaa

332333

3

1

27

1bababaa

622246

8

1

4

1

6

1

27

1bbabaa

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Quadrato di un PolinomioQuadrato di un Polinomio

Cerchiamo la regola La regola Il significato geometrico Esempi Esercizi proposti

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Quadrato di polinomio: significato algebrico

(a+b+c)2 = (a+b+c) (a+b+c) =

= a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2 =

= a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc

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Quadrato di polinomio: la regola

(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

Il quadrato di un polinomio di un numero qualsiasi di termini è un polinomio avente per termini:

• il quadrato di tutti i termini• il doppio prodotto (con il relativo segno) di

ciascun termine per tutti quelli che lo seguono

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Quadrato di polinomio:significato geometrico

(a+b+c) (a+b+c)2

(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

a b ca2

b2

ab

ab

c2

ac

ac

bc

bc

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Quadrato di polinomio: esempi(2a + b + 3c)2 ==(2a)2+(+b)2+(+3c)2+2(2a)(+b)+2(2a)(+3c)+2(+b)(+3c)= 4a2 + b2 + 9c2 + 4ab + 12ac + 12bc

(2a - b - c)2 = = (2a)2+(-b)2+(-c)2+2(2a)(-b)+2(2a)(-c)+2(-b)(-c)== 4a2 + b2 + c2 - 4ab - 4ac + 2bc

(-3a - 2b + c )2 ==(-3a)2+(-2b)2+(+c)2+2(-3a)(-2b)+2(-3a)(+c)+2(-2b)(+c)= 9a2 + 4b2 + c2 + 12ab - 6ac - 4bc

yxxyyx

yxyxyxyx

53

2

3

51

4

25

9

1

12

521

3

12

2

5

3

121

2

5

3

11

2

5

3

1

22

2222

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Quadrato di polinomio: esercizi

(2a + 2b + 7)2 = (3a - 4b - 2c)2 = (-2x - 3y + 1)2 = (a2 + 3b - c)2 = (5a + 2b + c)2 = (-3a3+2b2+1)2 = (2ab - 3b - 2)2 = (7xy - 2x - 1)2 =

4a2+4b2+49+8ab+24a+24b

9a2+16b2+4c2-24ab-12ac+16bc

4x2+9y2+1+12 xy - 4x - 6y

a4+9b2+c2 + 6a2b - 2a2c - 6bc

25a2+4b2+c2 +20ab+10ac+4bc

9a6 +4b4+1 - 12a3b2- 6a3+4b2

4a2b2 +9b2+4-12ab2-8ab+12b

49x2y2+4x2+1- 28 x2y -14xy+4x

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Potenza n-esima di BinomioPotenza n-esima di Binomio

Cerchiamo la regola Triangolo di Tartaglia La regola Esempi Esercizi proposti

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Potenza n-esima di binomio:cerchiamo una regola

(a+b)0 = 1(a+b)1 = a+b(a+b)2 = a2+2ab+b2

(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

(a+b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

(a+b)6 = a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

» lo sviluppo di (a+b)n contiene sempre n+1 termini» i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono

uguali» in ogni termine dello sviluppo gli esponenti della lettera a decrescono da an

ad a0=1 e gli esponenti della lettera b crescono da b0=1 a bn

» i coefficienti possono essere disposti secondo uno schema detto “ Triangolo di Tartaglia”

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Potenza n-esima di binomio:Triangolo di Tartaglia

(a+b)0 = 1

(a+b)1 = 1 1

(a+b)2 = 1 2 1

(a+b)3 = 1 3 3 1

(a+b)4 = 1 4 6 4 1

(a+b)5 = 1 5 10 10 5 1

(a+b)6 = 1 6 15 20 15 6 1In questo prospetto:*ogni riga inizia e termina con 1*ogni altro numero si ottiene sommando quelli sovrastanti

della riga precedente

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Potenza n-esima di binomio: la regola

(a+b)n = an+nan-1b + ……. + nabn-1+bn

La potenza n-esima di un binomio è un polinomio omogeneo di grado n, ordinato e completo secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b, i cui coefficienti si ottengono dal Triangolo di Tartaglia.In pratica, si procede nel seguente modo:• si scrive la parte letterale di ogni monomio tenendo conto che è di grado n e le potenze di a decrescono (da n fino a 0) e di b crescono(da 0 ad n)

• si calcolano i coefficienti di ogni monomio con il Triangolo di Tartaglia

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Potenza n-esima di binomio: esempi

(2a+b)5 ==(2a)5+5(2a)4(b)+10(2a)3(b)2+10(2a)2(b)3 +5(2a)(b)4+(b)5

=32a5+5(16a4)(b)+10(8a3)(b2) +10(4a2)(b3) +5(2a)(b4)+b5

=32a5 + 80a4b + 80a3b2 + 40a2b3 + 10ab4 + b5

(a - b)4 = (a)4+4(a)3(-b)+6(a)2(-b)2+4(a)(-b)3+(-b)4 = = a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4

(3a-2b)4 = =(3a)4 +4(3a)3(-2b)+6(3a)2(-2b)2+4(3a)(-2b)3+(-2b)4 ==81a4 +4(27a3)(-2b)+6(9a2 )(+4b2)+4(3a)(-8b3)+16b4== 81a4 - 216a3b + 216a2b2 - 96ab3 + 16b4

(a + b)4 = (a)4+4(a)3(+b)+6(a)2(+b)2+4(a)(+b)3+(+b)4 = = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

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Potenza n-esima di binomio: esercizi

(2a - b)4 = (a +b)7 = (a - b)7 = (a - b)6 = (a +2b)4 = (a - 2b)4 = (a +2b)5 = (-x - y)5 =

16a4 - 32a3b + 24a2b2 - 8ab3 + b4

a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7

a4 + 8a3b + 24a2b2 + 32ab3 + 16b4

a4 - 8a3b + 24a2b2 - 32ab3 + 16b4

a6- 6a5b +15a4b2 - 20a3b3+15a2b4 - 6ab5+ b6

a7-7a6b+21a5b2-35a4b3+35a3b4-21a2b5+7ab6-b7

a5 +10a4b + 40a3b2+ 80a2b3 +80ab4+32b5

- x5 - 5x4 y - 10x3y2 - 10x2y3 - 5xy4 - y5

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Somma per differenzaSomma per differenza

Cerchiamo la regola La regola Esempi Esercizi proposti

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Somma per differenza: significato algebrico

(a+b) (a-b) =

= a2 - ab + ab - b2 =

= a2 - b2

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Somma per differenza: la regola

( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2

Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine

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Somma per differenza: esempi

(2a+b) (2a+b) = (2a)2 - (b)2 = 4a2 - b2

(2a - 5b) (2a + 5b) = (2a)2 - (5b)2 = 4a2 - 25b2

(3a+2b) (3a-2b) = (3a)2 - (2b)2 = 9a2 - 4b2

(-a +2b) (-a - 2b) = (-3a)2 - (2b)2 = 9a2 - 4b2

(4a + b) (- 4a + b) = (b)2 - (4a)2 = b2 - 16a2

(-3b+2a) (+3b+2a) = (2a)2 - (3b)2 = 4a2 - 9b2

2222

4

25

9

1

2

5

3

1

2

5

3

1

2

5

3

1yxyxyxyx

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prof.ssa Giuseppa Chirico 33

Somma per differenza: esercizi (2a + 7)(2a - 7)= (3a - 4b)(3a+ 4b) = (-2x - 3y)(-2x+3y) = (a2 + 3b)(a2 - 3b) =

(5a - 3b)(5a+ 3b) = (5a2+2b2)(5a2 -2b2) = (-3a3+2b2)(-3a3-2b2) = (2a + 3b)( -2a + 3b) = (7xy - 2x)( -7xy - 2x) =

4a2 - 499a2 - 16b2

4x2 - 9y2

a4 - 9b2

25a2 - 9b2

25a4 - 4b4

9a6 - 4b4

9b2 - 4a2

4x2 - 49x2y2

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Somma per differenza: esercizi

baba 3

2

13

2

1

baba 3

2

33

2

3

baba

5

1

2

3

5

1

2

3

baba

5

1

5

3

5

1

5

3

22 94

1ba

22 94

9ba

22

4

9

25

1ab

22

25

1

25

9ba

[(a+b) - 1] [(a+b) +1] = (a+b)2 - 1

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Altri Prodotti NotevoliAltri Prodotti Notevoli

Somma di cubi Differenza di cubi La regola Esempi Esercizi proposti

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Somma di Cubi: significato algebrico

(a+b) (a2 - ab + b2 ) =

= a3 - a2b + ab2 + a2b- ab2 + b3 =

= a3 + b3

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Differenza di Cubi: significato algebrico

(a - b) (a2 + ab + b2 ) =

= a3 + a2b + ab2 - a2b- ab2 - b3 =

= a3 - b3

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Somma o differenza di cubi: la regola

Il prodotto della somma di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla differenza del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine più il cubo del secondo termine

(a+b)(a2 - ab + b2 ) = a3 + b3

(a - b)(a2 + ab + b2 ) = a3 - b3

Il prodotto della differenza di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla somma del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine meno il cubo del secondo termine

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Somma o Differenza di Cubi: esempi

(2a + b)(4a2 - 2ab + b2) = (2a)3 + (b)3 = 8a3 + b3

3333

22

64

27

27

1

4

3

3

1

16

9

4

1

9

1

4

3

3

1bababababa

(2a - b)(4a2 + 2ab + b2) = (2a)3 - (b)3 = 8a3 - b3

(3a+2b)(9a2- 6ab +4b2)= (3a)3 + (2b)3 = 27a3 + 8b3

(3a - 2b)(9a2+ 6ab +4b2)= (3a)3 - (2b)3 = 27a3 - 8b3

3333

22

64

27

27

1

4

3

3

1

16

9

4

1

9

1

4

3

3

1bababababa

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prof.ssa Giuseppa Chirico 40

Somma o Differenza di Cubi: esercizi

(2a + 7)(4a2 - 14ab + 49)= (3a - 4b)(9a2+12ab+16b2) = (2x - 3y)(4x2 + 6xy + 9y2) = (a2 + 3b)(a4 +9b2 - 3a2b ) = (5a - 3b)(25a2+15ab+9b2) = (x2 + 2y2)(x4 - 2x2y2 + 4y4) = (3a3+ b2)(9a6- 3a3b2 + b4) = (2a + 3b)( 4a2 - 6ab+9b2) = (x - 2y)( x2 +2xy + 4y2) =

8a3 + 34327a3 - 64b3

8x3 - 27y3

a6 + 27b3

125a3 - 27b3

x6 + 8y6

27a9 + b6

8a2 + 27b2

x3 - 8y3

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prof. Pier Angela Cerati 41

SCOMPOSIZIONISCOMPOSIZIONI

QUI DI SEGUITO TROVERAI ALCUNE QUI DI SEGUITO TROVERAI ALCUNE DOMANDE PER MISURARE LE TUE DOMANDE PER MISURARE LE TUE CONOSCENZE.CONOSCENZE.IN CASO DI RISPOSTA ERRATA TI VERRA’ IN CASO DI RISPOSTA ERRATA TI VERRA’ FORNITA LA CORREZIONE ED UN FORNITA LA CORREZIONE ED UN RIPASSO DELLA TEORIA.RIPASSO DELLA TEORIA.

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prof.Pier Angela Cerati 42

DOMANDA n.1DOMANDA n.1

Ecco quattro semplici polinomi: soltanto tre di essi Ecco quattro semplici polinomi: soltanto tre di essi risultano fattorizzabili in base alla proprietà distributiva risultano fattorizzabili in base alla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione. Quali?della moltiplicazione rispetto all’addizione. Quali?

222

222

4. 224 3.

223 2. 1.

xyxxx

xxaxyyxa y

1, 2 e 3 1, 3 e 4

1, 2 e 4 2, 3 e 4

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prof.Pier Angela Cerati 43

ATTENTO! LA TUA RISPOSTA NON ATTENTO! LA TUA RISPOSTA NON E’ CORRETTA!E’ CORRETTA!

La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione è così sintetizzabile: a(b+c) = ab+ac o viceversa: ab+ac = a(b+c).

Quindi, se i termini di un polinomio sono tutti divisibili per uno stesso fattore, quest’ultimo può essere messo in evidenza scrivendolo fuori da una parentesi; all’interno della parentesi andrà scritto un nuovo polinomio ottenuto dal precedente dividendo ogni suo termine per il fattore

evidenziato:

comune

fattorealcun hannonon terminisuoi i perchè

bilefattorizza ènon 223 mentre

)y x(x 4.

)12(2x 224 3.

1)-axy(axy 1.

2

222

22

22

xx

xyx

xxx

axyyxa y

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prof. Pier Angela Cerati 44

BRAVO!!!BRAVO!!!LA TUA RISPOSTA E’ LA TUA RISPOSTA E’ CORRETTA!CORRETTA!

VAI ALLA DOMANDA VAI ALLA DOMANDA SEGUENTE SEGUENTE

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45

TABELLA DI SCOMPOSIZIONI

Prof.Adelaide Boccia

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prof.ssa Giuseppa Chirico 46

SE HO

Prof.Adelaide Boccia

Due termini Tre termini Quattro termini Cinque termini Sei termini

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47

DUE TERMINI

2233

2233

22

22

ba

cubi di somma

b-a

cubi di differenza

scompone sinon ba

quadrati di somma

quadrati di differenza

bbaaba

bbaaba

bababa

Prof. Adelaide Boccia

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48

TRE TERMINI

RUFFINI di regola

bx

notevole trinomio

2

binomio di quadrato

2

222

axabxbax

bababa

Prof. Adelaide Boccia

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49

QUATTRO TERMINI

Ruffini di Regola

parziale comunefattor a ntoraccoglime

33

binomio di cubo33223

yxba

baybaxbyaybxax

bababbaa

Prof. Adelaide Boccia

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50

CINQUE TERMINI

Ruffini di Regola

Prof. Adelaide Boccia

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51

SEI TERMINI

Ruffini di Regola

bax

byaybxax

parziale ntoRaccoglime

222a

trinomiodi Quadrato

2

222

zyxba

bazbay

bzaz

cba

bcacabcb

Prof. Adelaide Boccia