1 Modelos Markovianos - jaguar.fcav.unesp.brjaguar.fcav.unesp.br/RME/fasciculos/v25/v25_n1/A7_GaussMark.pdf · frequ˜^encias e tempos de dura»c~ao a partir das probabilidades limites

MODELOS MARKOVIANOS, PERCOLACAO E MODELAG EM EM

SIST EMAS COM G RANDE NU MERO DE COMPONENT ES

Gauss Moutinho CORDEIRO1

Claud io T ad eu CRIS T IN O2

Em e rson Oliv e ira L IMA 3

S ılv io d e B arros MEL O4

RESUMO: O estudo de confiabilidade envolve a modelagem de sistemas e a aplicacao

de tecnicas de avaliacao q ue, no caso de um peq ueno numero de componentes, e feito

via modelos mark ovianos q ue trabalh am com as matrizes de transicao e sua evolucao.

O tamanh o do sistema, dado pelo numero de seus componentes, e uma restricao ao uso

de tal ferramenta. N este artigo, sao feitas consideracoes sobre o modelo mark oviano e

indica a utilizacao de modelos de percolacao em grafos e matroides como sendo uma

outra ferramenta para tal estudo.

P A L A V RA S-C H A V E: D omınio da freq uencia; grafos; matroides; modelos mark ovianos;

percolacao; polinomio de T utte.

1 Modelos Markovianos

Os m od e los m ark ov ianos se constitue m e m um a p od e rosa te cnica, am p lam enteusad a na analise d e confi ab ilid ad e d e siste m as e le tricos, send o util p ara m od e lard e slig am entos d os com p onentes ind iv id uais.

N e sses m od e los, os com p onentes e le tricos sao tip icam ente re p re sentad os com onos (e stad os) d e um g rafo com as arestas corre sp ond end o as transic oe s entre os

1Departamento de Estatıstica e Informatica, Universidade Federal Rural de Pernambuco – UFRPE,

C EP: 5 2 1 7 1 -9 0 0 , Recife, PE, B rasil. E-mail: [email protected] de M atematica, Universidade Federal de Pernambuco – UFPE, C EP: 5 0 6 7 0 -9 0 1 ,

Recife, PE, B rasil. E-mail: ctc@dm at.ufpe.br3Departamento de Informatica, Universidade de Pernambuco, Recife, PE, B rasil. E-

mail:em ath em atics@gm ail.com4C entro de Informatica, Universidade Federal de Pernambuco – UFPE, C EP: 5 0 6 7 0 -9 0 1 , Recife,

PE, B rasil. E-mail: sbm @cin.ufpe.br

Rev. M at. Estat., S ao Paulo, v.2 5 , n.1 , p.9 9 -1 1 6 , 2 0 0 7 9 9

estados. Seja λij a tax a de transicao do estado i para o estado j, q ue podecorresponder a uma tax a de falha ou de reparo, dependendo de como os estados saodefinidos.

O metodo markoviano pode ser usado para calcular probabilidades associadasaos diversos estados no tempo t, ou as probabilidades limites (q uando t → ∞). Napratica, o maior interesse e calcular as probabilidades no eq uilıbrio estacionario.

Seja um sistema eletrico com n estados. O metodo markoviano consistebasicamente das seguintes etapas:

1 . Construir o grafo de transicoes entre os estados do sistema.

2 . Calcular a matriz n × n de transicoes T = (tij) para a q ual o elemento tij deT , para i 6= j, corresponde a tax a de transicao do estado i para o estado j,ou seja, tij = λij , enq uanto o elemento (i, i) de T e dado por

tii = −

n∑

r=1r 6=i

λir,

isto e, como a soma (com o sinal negativo) de todas as tax as de transicao q uesaem do estado i, ex cluindo o proprio estado.

3 . As eq uacoes de Markov sao dadas por

πT = 0 , (1 )

em q ue π = (π1, π2, · · · , πn) e o vetor de probabilidades limites nos diferentesestados. O sistema (1 ) tem n−1 eq uacoes independentes e adota-se a eq uacaoadicional

∑n

i=1πi = 1 , para calcular a solucao π do eq uilıbrio estacionario. A

unica dificuldade no calculo da solucao π em (1 ) e se n for muito grande.

P ara resolver o sistema (1 ) todos os λij’s devem ser conhecidos. Na pratica,porem, apenas as tax as de reparos sao facilmente calculadas e as tax as de falha saodecorrentes da metodologia denominada domınio da frequencia descrita a seguir.

2 Metodologia do domınio da frequencia

A metodologia do domınio da freq uencia e uma tecnica para calcularfreq uencias e tempos de duracao a partir das probabilidades limites πi’s e das tax asde transicao λij’s.

2.1 Frequencia de visita a um estado

Sejam Si e Ei os conjuntos representantes de tax as de transicao q ue saem eentram, respectivamente, no estado i, ex cluindo a transicao de i para i. A freq uenciade visitas fi a um estado i e definida com o numero esperado de visitas ao estado

100 Rev. Mat. Estat., Sao Paulo, v.25, n.1, p.99-116, 2007

i por unidade de tempo, ou seja, os numeros de transicoes para o estado i outransicoes a partir do estado i por unidade de tempo. Tem-se,

fi = πi

∑

λij∈Si

λij =∑

λji∈Ei

πjλji. (2)

Resolvendo algebricamente o sistema (1), obtem-se os π’s em relacao aos λ’s. Napratica, as frequencias fi sao calculadas empiricamente e, usando (2), obtem-se umsistema de equacoes que permite determinar as taxas de falha desde que as taxasde reparo sejam conhecidas.

2.2 Frequencia de transicao entre dois estados

A frequencia de transicao do estado i para o estado j e calculada como fij =πiλij . Tem-se fij = fji se existirem ambas as transicoes entre os estados i e j.

2.3 Duracao media de uma visita

Q uando o processo visita o estado i, o sistema permanecera neste estado porum tempo ti ate que o processo realize uma transicao para fora do estado i. Tem-se

E(Ti) =

n∑

j=0

j 6=i

λij

−1

. (3)

A equacao (3) mostra que o tempo esperado de visitas ao estado i e igual ao inversoda soma das taxas de transicao do estado i para os demais estados.

Combinando as equacoes (2) e (3) vem

E(Ti) =πi

fi

.

Logo, o tempo esperado de permanencia num estado i e simplesmente dadopelo quociente entre a probabilidade do processo estar neste estado e a frequenciade visitas fi a este estado.

2.4 Frequencia de visitas a um conjunto de estados

Na avaliacao do risco de um sistema eletrico, utiliza-se, frequentemente, umconjunto-alvo A de estados para representar uma sequencia de possıveis interrupcoese desligamentos de interesse. A probabilidade πA do processo residir no conjunto A

e igual a soma das probabilidades πi’s para todos os estados de A.A frequencia de visitas fA ao conjunto A de interesse e dada por

fA =∑

i∈A

fi −∑

i,j∈A

fij ,

Rev. Mat. Estat., Sao Paulo, v.25, n.1, p.99-116, 2007 101

para o qual fi e fij sao calculados conforme descritos nas secoes 2.1 e 2.2.O tempo esperado de visitas ao conjunto A pode ser obtido, facilmente, de

E(TA) =

∑

i∈A

j∈A

λij

−1

,

ou seja, e igual ao recıproco da soma das taxas de transicao entre estados quepertencem ao conjunto A e estados que nao pertencem a A.

O conceito mais importante da metodologia do domınio da frequencia e dadopela igualdade

E(TA) =πA

fA

, ou

πA = fAE(TA) (4 )

na qual πA e a probabilidade do processo estar no conjunto A e fA e E(TA) sao,respectivamente, a frequencia de visitas ao conjunto A e o tempo esperado depermanencia neste conjunto. Assim, a relacao (4 ) entre probabilidade, frequenciae tempo esperado e geral e nao se aplica apenas a um estado. Conforme (4 ),a probabilidade pode ser fatorada como um produto de frequencia e tempo deduracao.

A aplicacao do modelo markoviano possui um obstaculo, que aparecenaturalmente para sistemas reais: o elevado numero de componentes que podetornar inviavel a manipulacao do sistema.

3 Modelagem por grafos e matroides

Nesta secao serao apresentados alguns conceitos combinatorios em teoria dasmatroides, que poderao ser mais bem investigados no livro de J . Oxley (Oxley ,19 9 8 ).

Seja S um conjunto finito. Tome I uma famılia de subconjuntos de S tal que:

I1. ∅ ∈ I (ou I 6= ∅).

I2. Se A ∈ I e B ⊆ A, entao B ∈ I.

Neste caso, diz-se que I e uma famılia admissıvel. Em adicao, se os membrosde I satisfazem

I3. Se I, J ∈ I, com |I| < |J |, entao existe e ∈ J − I tal que I ∪ e ∈ I.1

entao o par M = (S, I) e chamado matroide com conjunto-base S e famılia de

independentes I.

1Por simplicidade, sera usado I ∪ e = I ∪ e, I − e = I − e, etc.


Um exemplo bem concreto pode ser dado por: seja G = (V , E) um grafo finito.Seja

I = X ⊆ E : (V , X) e uma fl oresta.

ou seja, o subgrafo gerado de G cujo conjunto de arestas X e acıclico. Neste caso,e facil mostrar que M = (E, I) e uma matroide, denotada por M = M(G) edenominada matroide grafica sobre E. Nao e difıcil ver que toda matroide graficae isomorfa a uma matroide cujo grafo correspondente e conexo.

Se M = (S, I) e uma matroide e D ⊆ S nao e um independente, diz-se que De um dependente. Os subconjuntos de dependentes minimais de uma matroide Msao chamados circuitos de M . Sera denotado por C o conjunto de circuitos de umamatroide. Um membro de C com um unico elemento e chamado laco. Para umamatroide grafica, um circuito corresponde a um ciclo, ou seja, um caminho fechadosem repeticao de vertices.

O conjunto de circuitos de uma matroide satisfaz as propriedades:

C1. ∅ /∈ C.

C2. Se C1 e C2 sao membros de C e C1 ⊆ C2, entao C1 = C2.

C3. Se C1 e C2 sao membros distintos de C e e ∈ C1∩C2, entao existe um membroC3 de C tal que C3 ⊆ (C1 ∪ C2) − e.

Os independentes maximais sao chamados bases da matroide, cujo conjuntosera denotado por B.

Prop osicao 3.1. Sejam B1 e B2 base de uma matroide M . Entao |B1| = |B2|.

Prova: Suponha, por absurdo, que |B1| < |B2|. Pela propriedade (I3) dosindependentes, existe e ∈ B2 − B1 tal que B1 ∪ e ∈ I. Porem isto contradiz amaximalidade de um elemento da base. Um argumento semelhante mostra que naoe possıvel |B2| < |B1|. Logo todos elementos de B tem a mesma cardinalidade.

Para uma matroide grafica, as bases desta correspondem ao conjunto de arestasde arvores geradoras do grafo correspondente (considerando a possıvel conexidadedesse grafo).

Prop osicao 3.2. Se M e uma matroide e B e a colecao de bases de M entao

B 1. B e nao-vazio.

B 2. Se B1, B2 ∈ B, e e ∈ B1−B2, entao existe f ∈ B2−B1 tal que (B1−e)∪f ∈ B.

Prova: A propriedade (B1) segue de (I1). Agora, note que |B1 − e| < |B2|, poispela proposicao (3.1) |B1| = |B2|. Portanto, por (I3), existe um elemento f ∈B2−(B1−e) tal que (B1−e)∪f ∈ I. Evidentemente, f ∈ B2−B1. Alem disso, como(B1−e)∪f e independente, ele esta contido em um conjunto independente maximalB′

1. Pela proposicao (3.1), novamente, |B′

1| = |B1| como |B′

1| = |(B1−e)∪f |, tem-se


que B′1 = (B1 − e)∪ f , ou seja (B1 − e)∪ f e uma base de M . Portanto, B satisfaz

(B2).

Seja M = (S, I) uma matroide sobre S e suponha que X ⊆ S. Defina I|X =I ⊆ X : I ∈ I a restricao dos independentes de M ao subconjunto X. E facilverificar que (X, I|X) e uma matroide, chamada a restricao de M a X, ou a delecao

de S − X de M . Isto e denotado por M |X ou M\(S − X).Como M |X e uma matroide, ela possui uma colecao de bases, cujos elementos

tem a mesma cardinalidade. F ica, pois, bem definida a funcao posto de umamatroide ou de um subconjunto de uma matroide como sendo a cardinalidade deum elemento qualquer de sua famılia de bases. Sera denotada por rM (X), a funcaoposto de X em M , e nao havendo confusao, sera usado simplesmente r(X).

A funcao posto possui as seguintes propriedades (ver Oxley, 1998):

R1. Se X ⊆ S, entao 0 ≤ r(X) ≤ |X|.

R2. Se X ⊆ Y , entao r(X) ≤ r(Y ).

R3. Para todo par X, Y ⊆ S, r(X ∪ Y ) + r(X ∩ Y ) ≤ r(X) + r(Y ).

Para finalizar esta secao sera definida a dualidade para um matroide. SejaM uma matroide e B(M) sua famılia de bases. Se for definido a famılia B∗(M) =S − B : B ∈ B(M), mostra-se que tal famılia de subconjuntos de M e a famıliade bases de um matroide sobre S. Tal matroide e chamada dual de M e denotadapor M∗. Assim, B(M∗) = B∗(M). Tambem e imediato ver que (M∗)∗ = M . Se G∗

e o dual geometrico do grafo planar G, entao M(G∗) = M∗(G) (ver Oxley, 1998).As bases de M∗ sao chamadas co-bases de M . Da mesma forma, denominam-se

co-circuitos co-independentes e co-lacos de M os circuitos, independentes e lacosde M∗, respectivamente.

3.1 O polinomio de Tutte para matroides

Seja M uma matroide definida sobre um conjunto S cuja famılia deindependentes e denotada por I. Define-se para M a polinomio do posto:

R(M ; x, y) =∑

A⊆S

xr(S)−r(A)y|A|−r(A), (5 )

sendo r e a funcao posto definida sobre M . Defina, agora:

T (M ; x, y) = R(M ; x − 1, y − 1) (6 )

Denote ainda para e ∈ S, M ′e = M |(S − e) e M ′′

e = M.(S − e). Usaremos L eL∗ para representar um laco e um co-laco, respectivamente.

Tanto R(M ; x, y), quanto T (M ; x, y) sao tipos especiais de invariantes sobre aclasse das matroides (EMA, 1992), chamado invariante de Tutte-Grothendieck.

Segue um resultado importante devido a Brylaw ski (197 2).


Teorema 3.3. Existe uma unica funcao T (o polinomio de Tutte) da classede isomorfismos de matroides no anel de polinomios Z[x, y] tendo as seguintespropriedades:

(i) T (L∗; x, y) = x e T (L; x, y) = y.

(ii) Se e e um elemento da matroide M e e nao e um laco, nem um co-laco, entao

T (M ; x, y) = xT (M ′e; x, y) + yT (M ′′

e ; x, y).

(iii) Se e e um laco de uma matroide M , entao T (M ; x, y) = xT (M ′e; x, y).

(iv) Se e e um co-laco de uma matroide M , entao T (M ; x, y) = yT (M ′e; x, y). ¤

3.2 Uma equacao para matroide

T eorema 3.4 . Existe uma unica funcao real f satisfazend o

(i) f(M) = f(N), se M ∼= N .

(ii) f(M) = af(M ′e) + bf(M ′′

e ), a, b ∈ R∗

(iii) f(M1 + M2) = f(M1)f(M2), e M1 e M2 sao matroid es sob re conjuntosd isjuntos.

(iv ) f(L∗) = x.

(v ) f(L) = y.

Esta funcao e d ad a p ara q ualq uer matroid e M sob re S p or

f(M) = a|S|−r(S)br(S)T (M ; b−1xa−1y), (7 )

e T e o p olinomio d e T utte d e M .

P rov a: E facil v erifi car q ue f como d efi nid a em (7 ) satisfaz (i)– (v ). A unicid ad eseg ue d a unicid ad e d o p olinomio d e T utte d ad a p elo teorema (3 .3 ).

S eja M uma matroid e sob re um conjunto fi nito S e sup onh a q ue cad a elementod e S tem, ind ep end entemente d e tod os os outro elementos, uma p rob ab ilid ad e q =1− p d e ser d eletad o d e S. O menor d a restricao resultante ω(M) d e M e ch amad asubmatroide aleatoria d e M , corresp ond end o d e maneira ob v ia a um g rafo aleatorioq uand o M e a matroid e g rafi ca d o g rafo comp leto. S up onh a q ue P (p ; M) seja ap rob ab ilid ad e q ue ω(M)tenh a o mesmo p osto d e M . Entao d esd e q ue e nao sejanem um laco, nem um co-laco d e M ,

P (p ; M) = qP (p ; M ′e) + pP (p ; M ′′

e ) (8 )


e, para M1 e M2 matroides definidas sobre conjuntos disjuntos,

P (p ; M1 + M2) = P (p ; M1)P (p ; M2). (9 )

Tambem,

P (p, M) =

p, se M e um co-laco,

1, se M e um laco.(10 )

P ortanto pelo teorema (3.4 ),

P (p ; M) = q|S|−r(S)pr(S)T (M ; 1, q−1) (11)

P or um argumento semelhante, se ρ(M ; θ) = E(θr(ω(M))) denota a funcaogeradora de probabilidade do posto de uma submatroide aleatoria de M , temos quequando e nao e nem laco, nem co-laco,

ρ(M ; θ) = qρ(M ′e, θ) + p θρ(M ′′

e ; θ),

ρ(L∗; θ) = q + p θ, ρ(L; θ) = 1,

e, daı,

ρ(M ; θ) = q|S|−r(S)(p θ)r(S)T

(

M ;q

p θ+ 1,

1

q

)

. (12 )

4 O modelo de percolacao para clutters

A teoria de percolacao classica foi introduzida por B roadbent e H ammersley(19 5 7) e preocupava-se com o fl uxo de lıquido atraves de um tipo de grafos aleatorios.Sera definido um modelo de percolacao que tem uma maior aplicabilidade que este,mas que claramente contem o modelo classico como caso particular.

Seja S um conjunto finito e seja A = (Ai : i ∈ I) uma famılia de subconjuntosde S com a propriedade de que para i 6= j, Ai * Aj . Esta famılia e chamadaclutter ou famılia S pern er. Suponha que cada elemento de S independentementede todos os outros elementos seja pintado de branco com probabilidade p ou depreto com probabilidade q = 1 − p. Isto define um espaco de probabilidade Ω derealizacoes possıveis e tal espaco sera chamado modelo de percolacao sobre A. Omodelo classico e um caso especial, no qual S e o conjunto de arestas de um grafofinito e A e alguma colecao de caminhos.

P ara dados A e p, define-se a probabilidade de percolacao P (A; p) como sendoa probabilidade que algum membro de A tenha todos seus membros pintados debranco. Assim

P (A; p) =∑

p|X|q|S−X|, (13)

em que a soma e sobre todos os subconjuntos X de S que contenham algum membrode A. L ogo, se |S| = n e se for denotado por uk o numero de k-subconjuntos de S


que contem algum membro de A, fica naturalmente definido o polinomio superior,U(A; z), por

U(A, z) =

n∑

k=0

ukzk. (14)

N ote que P (A; p) = qnU(A; p/ q).

Seja G um grafo conexo finito e tome A sendo a colecao do conjunto de arestasde arvores geradoras de G. Entao P (A; p) e apenas a probabilidade que um subgrafoaleatorio de G seja conexo. Isto claramente e o mesmo que a probabilidade que umasubmatroide da matroide grafica M(G) tenha posto cheio e por (11), tem-se

P (A; p) = q|E|−|V |+ 1p|V |−1T (M ; 1, q−1),

aqui E e V representam o conjunto de arestas e vertices de G, respectivamente.

Se A e um clutter sobre S e T e um subconjunto de S defina

A|T = Ai : Ai ∈ A, Ai ⊆ T

A.T = conjuntos minimais da forma Ai ∩ T : Ai ∈ A,

e se T = S − e, escreve-se

A|T = A′e, A.T = A′′

E .

A soma direta A1+A2 de dois clutters sobre conjuntos disjuntos e a colecao deconjuntos A1 ∪A2 : A1 ∈ A1 e A2 ∈ A2. A uniao A1 ∪A2 = A : A ∈ A1 ou A ∈A2.

O blocker A∗ de A e a colecao de conjuntos minimais X tais que X ∩Ai = ∅,para todo Ai ∈ A. sao resultados conhecidos (ver Edmonds e F ulk erson, 1970):(A∗)∗ = A e

(A|T )∗ = A.T, (A.T )∗ = A|T.

U m elemento e de S e chamado essencial para A se e pertence a todo Ai ∈ Ae e redundante se e nao pertence a nenhum Ai. E facil verificar que:

Se e e redundante,P (A; p) = P (A′

e; p). (15)

Se e e essencial,P (A; p) = P (A′′

e ; p). (16 )

Se e nao e redundante, nem essencial,

P (A; p) = qP (A′e; p) + pP (A′′

e ; p), (17)

P (A1 + A2; p) = P (A1; p)P (A2; p). (18)

Se S = e, entao,

P (A; p) =

p, se e e essencial e A e nao-vazio,

1, se e e redundante e A e nao-vazio,(19)


5 Sobre a (nao-)extensao do polinomio de Tutte

Olhando para as equacoes (17) a (19) e natural se perguntar quando a teoria dopolinomio de Tutte pode ser estendida para clutters arbitrarios. Note primeiramenteque sobre os conjunto singleton S = e existem tres clutters, a saber,

E = e, R = ∅

e o clutter vazio. D iz-se que E e o clutter essencial e R e o clutter redundante.Eles sao os unicos, a menos de isomorfismo. Assim se a e b sao reais nao nulos,pergunta-se se existe uma funcao f(A; x, y) de duas variaveis reais x e y definidasobre a classe de todos os clutters finitos nao-vazios, tal que as seguintes regrassejam satisfeitas.

Se A e B sao clutters isomorfos,

f(A; x, y) = f(B; x, y). (20)

Se e nao e essencial, nem redundante para A, entao

f(A; x, y) = af(A′e; x, y) + bf(A′′

e ; x, y), (21)

f(A1 + A2; x, y) = f(A1; x, y)f(A2; x, y), (22)

f(E; x, y) = x, f(R; x, y) = y. (23)

Teorema 5.1. Se a e b sao numeros reais nao nulos fixos, entao uma funcaof(A; x, y) satisfazendo (20) a (23) e unicamente definida se, e somente se, A ea famılia de bases de uma matroide.

Prova: Para (22) e (23) e claro que

f(A; x, y) =

xf(A′e; x, y), se e e redundante,

yf(A′′e ; x, y), se e e essencial.

(24)

Usaremos inducao sobre o tamanho n do conjunto-base S. Seja Sn a colecaode clutters sobre os conjuntos de tamanho n. O teorema e verdadeiro quando n = 1.Suponha que tambem seja verdadeiro para todo k < n. Seja A ∈ Sn e suponha quef seja unicamente definida para A. Se e e essencial para A, entao por (24),

f(A; x, y) = xf(A′′e ; x, y)

e como f e unicamente definida sobre A, entao deve ser unicamente definida sobreA′′

e e, portanto, pela hipotese de inducao A′′e e o conjunto de bases de uma matroide

sobre S − e. D aı, A e uma extensao livre de um unico elemento de A′′e . Um

argumento semelhante produz o resultado, quando A tem um elemento redundante.Logo, pode-se supor que cada elemento de S nao e nem redundante, nem essencialpara A.


Sejam A1 e A2 membros distintos de A e seja e ∈ A1 − A2. Se A1 ∪ A2 6= S,seja h ∈ S − (A1 ∪ A2). Entao,

f(A; x, y) = af(A′h; x, y) + bf(A′′

h; x, y).

C omo f(A; x, y) e unicamente definida, entao tambem sera f(A′h; x, y) e como A′

h ∈Sn−1, ele sera o conjunto de bases de uma matroide sobre S −h. M as A1, A2 ∈ A′

h,daı existe g ∈ A2 − A1 tal que (A2 − g) ∪ e ∈ A′

h e, portanto, esta em A.Se A1 ∪ A2 = S e A1 ∩ A2 6= ∅, escolhe-se h ∈ A1 ∩ A2 e como f(A; x, y)

e unicamente definida, f ′(A′′h; x, y) deve ser unicamente definida. M as A′

h ∈ Sn−1

e e, pela hipotese de inducao, o conjunto de bases de uma matroide sobre S − h.C omo A1 − h, A2 − h sao membros de A′′

h, existe g ∈ (A2 − h) − (A1 − h), tal que(A2−h, g)∪ e ∈ A′

h. Daı, ou (A2−g)∪ e ∈ A, ou (A2−h, g)∪ e ∈ A. Suponhaque o ultimo caso seja valido. Entao e ∈

(

(A2 − h, g) ∪ e)

∩ A1, tal que A1 − ee A2 − h, g ∈ A′′

e . Portanto, pela hipotese de inducao com A′′e e o conjunto de

bases de uma matroide, |A1 − e| = |A2 − h, g|, isto e, |A2| = |A1| + 1. M as comoA1 − h e A2 − h ∈ A′′

e , isto e uma contradicao e, daı (A2 − g) ∪ e ∈ A.Finalmente, suponha que A1 ∪ A2 = S e A1 ∩ A2 = ∅. Se u ∈ A1, entao

A1 − u ∈ A′u e existe A′

2 ⊆ A2, tal que A′2 ∈ A′′

u. E

(i) A′2 = A2 e |A1| = |A2| + 1; ou

(ii) A′2 6= A2 e A′

2 ∪ u ∈ A e |A2| > |A′2| = |A1| − 1.

Tome v ∈ A2. Pelo mesmo argumento, existe A′1 ⊆ A1, tal que A′

1 ∈ A′′v e

|A′1| = |A2| − 1, assim, ou

(iii) A′1 = A1 e, daı |A1| = |A2| − 1; ou

(iv) A′1 6= A1 e A′

1 ∪ v ∈ A e |A1| > |A2| − 1.

Primeiramente, note que (i) e (iii) nao podem ocorrer simultaneamente.Suponha que (i) e (iv) sejam validos. Se A′

1 = ∅, entao A2 = v e, por (i),|A1| + 2. C omo A1 ∪ A2 = S, forcosamente S = u, v, w e A = v, u, w ee facil verificar que f nao e unicamente definida para este clutter. Assim podemosconsiderar A′

1 6= ∅. Escolha c ∈ A′1. Entao A′′

c e o conjunto de bases de umamatroide sobre S − c. Agora, como (A′

1 ∪ c) − c e A1 − c ∈ A′′c , temos que

|(A′1 ∪ v) − c| = |A1 − c|. Daı |A′

1| = |A1| − 1. Entao, por (iv), |A1| = |A2|,contrariando (i).

Se (ii) e (iii) forem validas, entao trocando os papeis de A1 e A2, A′1 e A′

2 e ue v, e pelo mesmo argumento anterior, tem-se uma contradicao.

Portanto, (ii) e (iv) sao afirmacoes validas e, segue que |A1| = |A2|. Segueque A′

2 = A2 − z, para algum z ∈ A2 e, por conseguinte, (A2 − z) ∪ u ∈ A. C omoA1 ∩ A2 = ∅, z ∈ A2 − A1. Daı, fazendo u = e e g = z, obtemos o resultadodesejado.

Suponha, agora, que sejam trocadas as condicoes (21)-(23) por suas condicoesduais. Neste caso, (21) e (22) tornam-se, para e /∈ A e e nem redundante, nem


essencial,

f(A; x, y) = af(A/e; x, y) + bf(A− e; x, y), (21∗)

f(A1 ∪ A2; x, y) = f(A1; x, y)f(A2; x, y) (22∗)

Como o dual do clutter essencial E e ele proprio, mas o dual do clutterredundante R e o clutter vazio, Z, o dual do teorema (5.1) tem a seguinte forma:

Teorema 5.2. Se a e b sao numeros reais nao-nulos fixos, entao a funcao f(A; x, y)satisfazendo (20), (21∗) e (22∗) e

f(E; x, y) = x f(Z; x, y) = y (23∗)

e unicamente definida para um clutter finito A 6= ∅ se, e somente se, A e a colecaode circuitos de uma matroide.

Prova: Segue diretamente do fato que o blocker da colecao de bases de umamatroide e o conjunto de circuitos da matroide dual.

6 O modelo de percolacao para grafos

Seja G = (V, E) um grafo arbitrario. Cada aresta de G pode estar em doisestados diferentes, que serao denotados por u e d. Para cada e ∈ E(G), consideram-se dois eventos:

• “e esta no estado u” = “e e uma u-aresta,” ou

• “e esta no estado d” = “e e uma d-aresta” .

Esses eventos sao considerados complementares, ou seja, um e a negacao dooutro. Aqui serao denotados por ue e de, respectivamente.

A partir desses eventos, chamados eventos-aresta, sao construıdos eventos maisdetalhados, tomando-se produtos (logicos). Tais eventos sao chamados eventos-

produto, e sao denotados por produtos algebricos. Assim, uede e o evento “e e umau-aresta e e e uma d-aresta.” Se E′, E′′ ⊆ E, estende-se o conceito para o produtogeral uE′

dE′′

.Agora, uede = 0 ≡ “o evento falso” e, escreve-se u∅ = d∅ = 1 ≡ “o evento

verdade” .Eventos mais detalhados sao da forma uCdD com C ∪ D = E e C ∩ D = ∅.

Estes sao chamados eventos elementares. O conjunto de todos os eventoselementares e chamado espaco de eventos, que e denotado por Ω. A soma (logica)de dois eventos a e a′ e denotada por a+a′. Obviamente, ue +de = 1. Dois eventosa e a′ sao chamados incompatıveis ou disjuntos se aa′ = 0.

Eventos formados por somas finitas de eventos-produto finitos sao chamadoseventos locais. Os eventos formados pelo fecho da colecao de eventos locais sobresomas enumeraveis e produto enumeraveis sao chamados eventos aleatorios.


Eventos mais gerais sao obtidos tomando-se o fecho da colecao de eventosaleatorios sobre produtos e somas arbitrarias. Considerando-se a completadistributividade, cada evento pode ser escrito unicamente como uma soma deeventos elementares, logo existe uma correspondencia 1-a-1 entre eventos esubconjuntos do espaco de eventos.

Denota-se por P a probabilidade de eventos locais e que e definida por:

P1. P (0) = 0 e P (1) = 1.

P2. P (ue) = pe e P (de) = qe = 1− pe, para cada evento-aresta, sendo 0 ≤ pe ≤ 1.

P3. Para produtos finitos uE′

dE′′

com E′ ∩ E′′ = ∅, P(

uE′

dE′′)

= pE′

qE′′

, ouseja, os eventos sao considerados independentes.

P4. Para somas finitas de eventos-produto finitos tem-se:

P

(

n∑

i=1

ai

)

=

n∑

i=1

P (ai).

Note que usando a correspondencia entre eventos e subconjunto de espaco deeventos, tem-se que a probabilidade sobre eventos locais corresponde a uma medidanormada sobre a algebra dos conjuntos cilındricos, correspondentes a eventos locais.

Uma variavel local e uma funcao real f sobre o espaco de eventos Ω que assumesomente um numero finito de valores diferentes fi tais que para cada i, a soma detodos os eventos elementares com f(uCdD; G) = fi e um evento local ai. Denota-sef(uCdD; G) = f(C).

O valor de expectativa com respeito a P de uma variavel local f e definidasendo:

〈f〉 =

n∑

i=1

fiP (ai) = 〈f ; G, P 〉.

As variaveis locais correspondem as funcoes simples com respeito a algebra deconjuntos cilındricos.

O valor de expectativa corresponde a integral com respeito a P de uma funcaosimples. As funcoes obtidas pelo fecho da colecao de variaveis locais nao-negativassobre o supremo e ınfimo de colecoes enumeraveis (admitindo-se o valor +∞)sao chamadas variaveis aleatorias nao-negativas. A diferenca entre duas variaveisaleatorias nao-negativas, ambas nao nulas, simultaneamente, e chamada variavel

aleatoria. Os termos desta diferenca sao denominados a parte positiva e negativada variavel aleatoria, respectivamente.

Usando o procedimento de extensao da medida sobre semi-aneis, juntamentecomo esquema de integral de Daniell (Shilov e G urevich, 1978), pode-se, dada umaprobabilidade P sobre eventos locais com o valor de expectativa correspondente〈f〉, estende-se de maneira unica tais definicoes a uma probabilidade sobre variaveisaleatorias (Z aanen, 1958) para as quais sao usadas novamente a notacao P (a) e 〈a〉.Se o valor de expectativa de uma variavel aleatoria e finito, esta e dita ser somavel.


Se ambos os valores da expectativa da variavel aleatoria nao forem +∞, ela e ditaser integravel. No caos especial que o grafo e finito o valor de expectativa de umavariavel aleatoria reduz-se a seguinte soma:

〈f〉 =∑

C⊆E

f(C)pCqD,

e D = E − C. Em geral, escreve-se

〈f〉 =

∫

C⊆E

f(C)dP (C).

Uma classe particular de variaveis aleatorias (nao-negativas) e formulada peloindicador de um evento a, que e a funcao que toma o valor 1, se a ocorre e o valor0, se a nao ocorre.

Um grafo enumeravel G, juntamente com a probabilidade P como descritaanteriormente e chamado modelo de percolacao e e denotada por (G, P ). Aprobabilidade P e completamente caracterizada por uma aplicacao p de E nointervalo real [0, 1] tal que p(e) = pe = P (ce). Usualmente, diz-se que a medida P egerada pela aplicacao p.

Seja f uma variavel aleatoria definida sobre o espaco de eventos de um grafoG. Seja E′ e E′′ subconjuntos disjuntos de E(G). Denote por GE′

E′′ , o menor obtidode G pela contracao das arestas de E′ e pela delecao das arestas de E′′. Definia afuncao f sobre o espaco de eventos de GE′

E′′ por:

f(C; GE′

E′′) = f(G + E′; G), para todo C ⊆ E(GE′

E′′) = E(G) − E′ − E′′.

Por definicao, f e uma variavel aleatoria e se f e somavel, f tambem e somavel.

Teorema 6.1. Seja (G, P ) um modelo de percolacao e f uma variavel aleatoriaintegravel. Entao para todas arestas e ∈ E(G):

〈f ; G〉 = pe〈f ; G′′e 〉 + qe〈f ; G′

e〉 (25)

Prova: Pela definicao, 〈f〉 =∫

f(C)dP (C). Pela construcao, P pode serdecomposta como uma medida-produto, P = PE = Ee × PE−e, no qual o ındicesuperior especifica o domınio de P . Se f e somavel, pode-se aplicar o teoremade Fubini. Se f e nao-negativa, ela e o limite de uma sequencia monotonanao-decrescente de variaveis aleatorias somaveis e, novamente, pode-se usar oteorema de Fubini:

∫

C⊆E

f(C)dPE−e(C) =

∫

C′⊆ e

dP e(C ′)

∫

C′′⊆E−e

dPE−e(C ′′)f(C ′ + c′′; G)

= pe

∫

C⊆E−e

dPE−e(C)f(C + e; G)

+ qe

∫

C⊆E−e

dPE−e(C)f(C; G) (26)


Pela definicao da extensao de f a G′e = G − e e G′′

e = G/e, isto e igual a

pe

∫

C⊆E−e

dP (C)f(C; G′′e ) + qe

∫

C⊆E−e

dP (C)f(C; G′e)

= pe〈f ; G′′e 〉 + qe〈f , G′

e〉

(27)

Finalmente, se f e integravel, mas nao necessariamente somavel ou naonegativa, entao ou a parte positiva f+ de f , ou a parte negativa f− de f e somavel.Sem perda de generalidade, seja f− somavel. Pode-se usar o teorema de Fubinisobre as partes positiva e negativa de f e coletar os termos com pe e qe.

〈f ; G〉 = 〈f+; G〉 − 〈f−; G〉

=[pe〈f

+; G′′e 〉 + qe〈f

+; G′e〉

]−

[pe〈f

−; G′′e 〉 + qe〈f

−; G′e〉

]

= pe

[〈f+; G′′

e 〉 − 〈f−; G′′e 〉

]+ qe

[〈f+; G′

e〉 − 〈f−; G′e〉

](28)

Como f+ = f+ e f− = f−, entao:

pe

[〈f+; G′′

e 〉 − 〈f−; G′′e 〉

]+ qe

[〈f+ : G′

e〉 − 〈f ; G′e〉

]≡ pe〈f ; G′′

e 〉 + qe〈f ; G′e〉.

Corolario 6.2. O valor de expectativa de uma variavel aleatoria f e uma funcaolinear de pe com os valores de fronteira finitos:

〈f ; G, pe = 0〉 = 〈f ; G′′e 〉 e 〈f ; G, pe = 1〉 = 〈f ; G′

e〉.

¤

6.1 Um caso pratico

Seja N = (V, E, r) uma rede eletrica, ou seja, um grafo G = (V, E), juntamentecom uma funcao r : E → R+, onde re = r(e) e a resistencia da aresta e ∈ E(G).Se existe uma diferenca de potencial pe = pa b em uma aresta e = [a, b] de a para b,entao uma corrente eletrica segue a Lei de Ohm,

ωe =pe

re

,

e flui de a para b. A L ei de P otencial de K irch h off postula que a soma das diferencasde potencial ao redor de qualquer ciclo e nula. A L ei de C orrente de K irch h off afirmaque a corrente total em um vertice tambem e zero.


Um potencial absoluto Vx e tal que pxy = Vx − Vy. Se (pxy)[x,y]∈E(G) e umadistribuicao de diferencas de potencial satisfazendo a Lei de Potencial de K irchhoffe sendo ux1x2 · · · xkv e uy1y2 · · · ylv dois uv-caminhos em G, entao

pux1+ px1x2

+ · · · + pxk−1xk+ pxkv = puy1

+ py1y2+ · · · + pyl−1yl

+ pylv (29)

e para definir os potenciais absolutos, toma-se um vertice de referencia, por exemplov, e faz-se Vv = 0. Daı para cada vertice u ∈ V (G) tem-se

Vu = pux1+ px1x2

+ · · · + pxk−1xk+ pxkv (30)

para qualquer uv-caminho.A ideia agora e descrever o fluxo de corrente numa rede eletrica que esta sujeita

a uma determinada configuracao (ligacoes entre vertices). O modelo de percolacaopara grafos pode ser aplicado a tal rede, o que indicaria uma nova abordagem aoestudo de funcoes de curto-circuito de redes, que sao disturbios catastroficos sobreuma rede eletrica N .

Se definirmos uma funcao de risco (Probabilidade de Falha × Custo) sobre arede eletrica, o modelo markoviano de descricao de estados e uma forte ferramentana descricao de cenarios futuros. V eja o exemplo aplicado aos geradores da redeeletrica da CHESF delineado em Cordeiro, Lins e Cristino (no prelo), onde saocalculadas as probabilidades de um gerador i apresentar r vezes a falha do tipo jno tempo t, em que i = 1, 2, . . . , 54 e j = 1, 2, . . . , 43.

Consideracoes finais

Os modelos de percolacao aqui apresentados, indicam uma importante tecnicano estudo de confi ab ilidade de sistemas que possam ser formulados com reticulados(lattices), redes, ou g rafos. N o caso dos dois ultimos, foi v isto como g eneralizarpara estudo de prob lemas em matroide.

N o caso apresentado na secao 4 , todo elemento e da matroide M(E) possui,independentemente dos outros elementos da matroide, prob ab ilidade p = 1 − q deser deletado de M , o que resulta para F ⊆ E,

P (F ) =∏

e∈F

pi

∏

e/∈F

qi.

P orem o interesse principal e o estudo de modelos onde cada elemento possuiuma prob ab ilidade distinta dos outros elementos. M ais precisamente, dado ummodelo para o qual se deseja computar uma rede de confi ab ilidade, o que se desejae, dados dois v ertices distintos de g rafo G, determinar a prob ab ilidade que umsub g rafo aleatorio de G conter um caminh o unindo tais v ertices.

S eja G um g rafo e s,t ⊂ V (G). S eja G o g rafo ob tido de G adicionando-seuma nova aresta-b ase d cujos ex tremos sao s e t. S eja D a famılia de sub conjuntosA de E(G) para os quais A ∪ d possua um ciclo de G contendo d.


Proposicao 6.3. Seja M uma matroide e seja M(E ∪ d) a matroide obtida de Mconsiderando-se um novo elemento d. C onsidere que todo elemento de E tenha,independentemente de todos os outros elementos, a probabilidade 1 − p de serdeletado de M , enquanto o elemento d tem probabilidade 0 de ser deletado. E ntaoa probabilidade que em uma submatroide aleatoria ω(M) de M , o elemento d naoseja um co-laco e dado por:

P (D) = pr(M)q|E|−r(M)−1g(1/ p, 1/ q) e (3 1)

P (D) = 1 − pr(M)−1q|E|−r(M)f(1/ p, 1/ q). (3 2 )

e x f(x , y ) + y g(x , y ) = TP (Md(E ∪ d); x , x , y , y ). ¤

O polinomio TP apresentado na proposicao acima, e chamado polinomio de

T u tte dirig ido, que e uma generalizacao do polinomio de T utte para a matroide sobreE ∪ d com d e um elemento distinto daqueles de E (ver E MA , 19 9 2 ), proposicao6 .2 .19 ).

F inalmente, se M = Md(E ∪ d) entao e facil mostrar que

P (D(M)) =

|E|∑

i= 0

aipiq|E|−i,

ou seja P (D(M)) e um polinomio homogeneo em p e q. Os coeficientes ai sao iguaisao numero de subconjuntos A de E com i elementos para os quais d nao e umco-laco de Md(A ∪ d).

A gora,

Proposicao 6.4 . Seja q(M) = T (M ;1/ p, 1/ q), com p+ q = 1 e seja d um elementode M que nao seja nem um laco, nem um co-laco. E ntao:

(i) q(M/ d) =p

qq(M − d) = f(M ;1/ p, 1/ q) +

p

qg(M ;1/ p, 1/ q).

(ii) A mbos q(M −d) e q(M/ d) sao independentes do corte de M −d determinadopor d em M . ¤

A lgumas referencias recentes sobre a abordagem teorica de modelosmark ovianos, de percolacao e modelagem de sistemas com grande numero decomponentes podem ser encontradas em E lgerd (19 8 6 ), G rainger e Stevenson (19 9 4),Monticelli e G arcia (19 9 9 ), Stevenson J r. (19 8 6 ) e W ood e W ollenberg (19 9 6 ). Ametodologia descrita nas secoes 1 e 2 foi aplicada aos geradores da rede eletrica daC H E SF como pode ser visto em C ordeiro, L ins e C ristino (2 0 0 6 ).

Agradecimentos

E sta pesquisa e suportada financeiramente pela C H E SF - C ompanhia H idroE letrica do Sao F rancisco e A NE E L - A gencia Nacional de E nergia E letrica.


CORDEIRO, G. M.; CRISTINO, C. T.; LIMA, E. O ;MELO; S. B. Markovianmodels, percolation and modeling of sy stems w ith large number of components.Rev. Mat. Estat., Sao Paulo, v.25 , n.1, p.99-116, 2007 .

ABSTRACT: Reliability studies involve the modeling of systems and the application of

evaluation techniq ues that, in the case of a small number of components, are made via

M ark ovian models that w ork w ith the matrices of transition and their evolution. The

size of the system, given for the number of its components, is a restriction to the use of

such tool. In this article, considerations w ill be made about the M ark ovian model and

about how it indicates the use of models of percolating in graphs and matroids as being

another tool for such study.

K E Y W O RD S: D omain freq uency; graphs; matroids; M ark ovian models; percolation;

Tutte polynomial.

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Recebido em 01.01.2005 .

Aprovado apos revisao em 01.01.2005 .


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1 Modelos Markovianos - jaguar.fcav.unesp.brjaguar.fcav.unesp.br/RME/fasciculos/v25/v25_n1/A7_GaussMark.pdf · frequ˜^encias e tempos de dura»c~ao a partir das probabilidades limites