1. Números naturales. Operaciones básicas - geocities.ws · Al dividir 1282 por cierto número, se obtiene 23 de cociente y 17 de resto. ¿Cuál es el número? ¿Cuál es el número?

Escuela de Comercio No 12 Departamento de Matemática

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1. Números naturales. Operaciones básicas

1.1. Una cruz de sumas es un diagrama del tipo:

Completen estas cruces:

a) b) c) d)

¿Alguna de ellas admite más de un llenado?

1.2. Indiquen si el resultado es par o impar:

a) La suma de dos números pares b) La suma de cualquier cantidad de números pares

c) La suma de dos números impares d) La suma de cualquier cantidad de números impares

1.3. Calculen:

a) 4 . 3 + 2 . (4 – 3) . 5 b) 4 . (3 + 2) . 4 – 3 . 5

1.4. Descompongan en factores primos, los siguientes números:

a) 24 b) 6 c) 3 d) 14

1.5. Andrea le dice a Matías que ha dividido un número por 6 y ha obtenido 8 de cociente y 10 de resto. ¿Ha hecho bien la división Andrea? ¿Por qué?

1.6. Sin utilizar calculadora, efectúen las siguientes divisiones:

a) 1050 : 10 b) 550 : 5 c) 23400 : 100 d) 3200 : 32

1.7. En una calculadora no funciona la tecla del 8. ¿Cómo harían las siguientes cuentas con esa calcula-dora?

a) 88 : 4 b) 28 x 98

1.8. Utilizando calculadora, hallen el cociente y el resto en cada una de las siguientes divisiones ente-ras:

a) 32427 | 225 b) 43853 | 9845

1.9. Gabriela tiene una bolsa con 50 caramelos. Quiere armar 8 bolsitas y que no quede ningún cara-melo suelto. María dice que haciendo una división se resuelve el problema. Julieta dice que lo que dice María es imposible. ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?

1.10. En un restaurante están preparando una cena para 150 personas. ¿Cuántas mesas se necesitan si en cada una caben 8 personas?

1.11. Sobre una compra de 20 cajas de zapatos a $55 cada una, se hizo un descuento de $2 por caja y por la compra total se pagó un impuesto de $4. ¿Cuál es la cuenta que permite saber cuánto se pagó en total?

a) 4 + ( 55 – 2 ) x 20 b) 55 x 20 – 2 x 20 + 4

c) 20 x ( 55 – 2 ) + 4 d) (55 – 2 + 4 ) x 20

4

8 6 14

10

4 8

15

7

9 12

2 18

25

30

18

Observen que 4 + 6 = 10 y 8 + 6 = 14



1.12. Un negocio mayorista presenta la oferta que indica el car-tel. Una empresa minorista de venta de artículos electróni-cos compra 10 discman y 10 walkman. ¿cuál de los si-guientes cálculos corresponde a lo que pagó la empresa minorista?

a) 320 : 4 + 270 : 9 x 10

b) (320 : 4 + 270 : 9 ) x 10

c) (320 : 4 ) x 10 + ( 270 : 9) x 10

1.13. Saquen factor común en las siguientes expresiones:

a) 2 . 6 – 2 . 3 + 2 . 9 – 2 . 4 – 2 . 1 b) 24 – 4 + 36 – 16

1.14. Señalen si alguna de las siguientes igualdades es falsa, y en tal caso corrijan el resultado:

a) 3 + 5 . 2 = 16 b) 4 . 2 + 3 = 20 c) (2 + 5) . 3 = 21 d) 2 + 5 . 3 = 17

1.15. Coloquen, en cada caso, los paréntesis necesarios para obtener los resultados indicados:

a) 18 : 2 + 4 = 3 b) 10 + 6 . 5 – 1 = 79 c) 18 – 2 . 5 + 4 = 12

1.16. Hay una estantería con 4 estantes, dividida en dos partes. En una de ellas hay 14 latas en cada estante. En la otra, hay 8 latas en cada uno. Javier dice que puede calcularse el número total de latas haciendo 14 x 4 + 8 x 4. Marisa dice que el cálculo correcto es (14 + 8) x 4. ¿Alguno de ellos tiene razón? ¿Por qué? ¿Cuántas latas hay en total?

1.17. Roberto gana $680 por mes, y tiene gastos fijos mensuales por $375. ¿Cuánto pudo ahorrar en un año, si en concepto de aguinaldo recibió $600 y tuvo otros gastos que sumaron, durante todo el año, $4560?

1.18. Una tortuga de las Islas Galápagos puede pesar unos 380 kg. ¿Cuántas personas de 70 kg se nece-sitan para superar ese peso?

1.19. Una empresa dispone de papel suficiente para la fabricación de 12.500 anotadores de 80 hojas. ¿Cuántos anotadores de 20 hojas más cada uno podrían fabricarse con esa misma cantidad de pa-pel?

1.20. Averigüen cuáles son los números que verifican las siguientes condiciones:

a) La suma de dos números consecutivos es 1.175

b) El producto de dos números consecutivos es 2.070

c) La suma de tres números consecutivos es 708

1.21. Raúl gana $1.000 mensuales. ¿Cuántos años tendría que trabajar sin gastar nada para poder reu-nir un millón de pesos?

1.22. En un supermercado, el precio de un lavarropas oscila entre $325 y $879; el precio de una helade-ra entre $495 y $1129, y el de un equipo de audio entre $450 y $825.

b) ¿Cuál es la cantidad de dinero mínima necesaria para comprar un lavarropas y una heladera?

c) ¿Se pueden comprar las tres cosas con $1.600?

d) Si una persona dispone de $3.000 y compra las tres cosas, ¿cuánto le sobrará como mínimo? ¿Y como máximo?

1.23. Escriban en cada caso el número faltante para que la igualdad sea cierta:

a) 31 + ..... = 43 b) ..... + 421 = 1000 c) 33 – ..... = 26 d) 44 – ..... = 12

e) ..... – 72 = 158 f) ..... – 132 = 4028 g) ..... – 29 = 29 h) 29 – ..... = 29

i) ..... – 428 = 1408 j) …….. – 234 = 12 k) ……. – 12 = 234 l) 12 + …… = 201

1.24. Calculen las siguientes operaciones:

a) 15 : (6 – 1) + 3 . 4 – 2 b) 23 – (5 . 2 + 3 . 4) + 9 : 3 c) (6 + 3 . 2) : 6 + 3

d) 3 + 5 . 2 + 2 . 7 – 20 : 5 e) (3 + 5) . 2 + 2 . (7 – 20 : 5) f) 10. (13 – 8 – 5 + 3)

¡¡¡OFERTA!!! PRECIOS POR CANTIDAD

4 discman total $320 9 walkman total $270

Por mayor cantidad se mantienen los precios en forma proporcional



Saben I No saben I TOTAL

Trabajan en C

No trabajan en C

TOTAL

g) 12 : (5 – 1) + 4 . 3 – 2 h) 12 . (12 – 9) – 20 . (4 – 4) : 4 i) 12 – 6 : (2 + 4) – 2 . 3

j) (12 – 6) : 2 + 4 – 2 . 3 k) (12 – 6 : 2) + (4 – 2) . 3 l) [12–(6 : 2 + 4) – 2] . 3

1.25. El cuadro siguiente representa el número de entradas a tres salas de cine durante los meses indi-cados. Complétenlo:

Mayo Junio Julio TOTALES

Sala 1 3002 2428 11280

Sala 2 6028 11248

Sala 3 4121 9083

TOTALES 6198 15600

1.26. Un auto consume 8 litros de nafta cada 100 km. ¿Cuántos litros consumirá en un viaje de 550 km?

1.27. La fotocopiadora del colegio puede hacer 18 copias por minuto. ¿Cuántas fotocopias hará si funcio-na continuamente durante 7 horas?

1.28. Tres amigos, Gustavo, Andrés y Federico, se reparten un premio. Andrés recibe el doble que Fede-rico y éste el triple de los $732 que recibe Gustavo. ¿De que importe fue el premio?

1.29. Al dividir 1282 por cierto número, se obtiene 23 de cociente y 17 de resto. ¿Cuál es el número?

1.30. Si a un número se le agrega 18, luego a esa suma se le restan 53 unidades y al resultado se lo multiplica por 3, se obtiene 195. ¿A qué número nos referimos?

1.31. En una empresa trabajan 156 empleados, de los cuales 99 saben inglés. De estos últimos, 27 trabajan en la sección computación que tiene un total de 70 empleados.

a) ¿Cuántos empleados de la sección computación no saben inglés?

b) ¿Cuántos empleados de la empresa no trabajan en la sección computación?

c) ¿Cuántos empleados que no trabajan en computación saben inglés y cuántos no?

(Este ejercicio puede resolverse utilizando un diagrama de Carroll, como el de la figura).

1.32. Escriban las siguientes expresiones sin el signo de multiplicar y en la forma más simple posible:

a) 3 . x b) x . 5 c) 4 . x . 2 d) 1 + x . 2

1.33. Calculen el valor numérico de las expresiones del ejercicio anterior para x = 4

1.34. Calculen las siguientes operaciones de dos maneras distintas:

1º) Resolviendo previamente los paréntesis y luego multiplicando

2º) Aplicando propiedad distributiva

a) 2(1 + 4) b) 3(6 – 2) c) (8 + 12).2 d) (9 – 3).4

1.35. Calculen el valor numérico de 3abc para a = 2, b = 4, c = 3

1.36. Calculen el valor numérico de las siguientes expresiones para x = 2, y = 5, z = 3

a) x + yz b) x(y + z) c) 2x + y – z d) (y – x)(z – x)



2. Potencias. Raíz cuadrada

2.1. Sin hacer las cuentas, escriban cada una de los siguientes productos como potencia; indiquen en cada caso la base y el exponente:

a) 3 . 3 . 3 . 3 = ............. base: ......... exponente: ......

b) 21 . 21 . 21 . 21 . 21 = ............. base: ......... exponente: ......

c) 15 . 15 . 15 = ............... base: ......... exponente: ......

2.2. Calculen las siguientes potencias:

a) 23 b) 32 c) 103 d) 102 e) 115 f) 151 g) 350 h) 035

2.3. Escriban cuatro potencias cuyo resultado sea:

a) 0 b) 1 c) Igual a la base

2.4. Calculen:

a) 22 . 24 = .......... 26 = .......... b) 32 . 33 = .......... 35 = ..........

c) 26 : 24 = .......... 22 = .......... d) 43 : 41 = .......... 42 = ..........

¿Qué conclusiones pueden sacar?

2.5. Calculen de dos maneras distintas:

a) 32 . 33 b) 25 : 23 c) 26 : 20 d) 34 . 31

2.6. Calculen:

a) (2 . 3)2 = .......... 22 . 32 = .......... b) (4 . 1)3 = .......... 43 . 13 = ..........

c) (6 : 2)2 = .......... 62 : 22 = .......... d) (8 : 4)3 = .......... 83 : 43 = ..........

¿Qué conclusiones pueden sacar?

2.7. Completen:

a) 53 = ....... b) 7 .... = 49 c) .... 2 = 81 e) ....2 = 144

2.8. Completen:

a) 42 = 16 16 .......= b) .....2 = 64 64 ......= c) .....2 = 121 121 = .....

2.9. En una escuela se forma un grupo de teatro y se propone representar una obra. Para que puedan verla los alumnos y los profesores, hay que colocar 20 filas de sillas con 20 sillas cada una. ¿Cuán-tas personas pueden asistir a la representación?

2.10. Alberto debe embaldosar un patio cuadrado de 8 metros de lado.

a) ¿Cuántos metros cuadrados de baldosas necesita?

b) El m2 de baldosas cuesta $30; ¿cuánto tendrá que gastar en ellas, sin contar el desperdicio que pudiera haber?

2.11. Completen la siguiente tabla:

a b a2 b2 a2 + b2 (a + b)2

3 2 4 36 5 29 6 37 6 100 2 25

¿Los resultados de las columnas (a + b)2 y a2 + b2, ¿son iguales?



2.12. Realicen las siguientes operaciones:

a)4 3.2 30 :5 4 2.2+ − + − b) 23

22 42 : 2 3.79

+ − + c) 3 2 2 2 22 2 (6 3) 5 4+ − − − −

2.13. Hay una propiedad –llamada Teorema de Pitágoras– que cumplen todos los triángulos rectángulos. Esta propiedad prueba que el cua-drado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Calculen cuántos metros recorre Hernán si cruza una plazoleta de 60 m x 80 m en diagonal

2.14. Un cierto tipo de bacterias se reproduce dividiéndose en dos cada hora. Supongamos que un laboratorio hace un cultivo con 1000 de esas bacterias, y lo conserva protegido para que ningún agente las destruya. Completen el cuadro siguiente, que da la cantidad de bacterias con el transcurso del tiempo.

Observen que al cabo de 4 horas hay 16 (mil) bacterias, o sea 24 (miles). Calculen (utilizando cal-culadora) cuántas habrá al cabo de 10 horas

2.15. Observen la siguiente propiedad:

1 + 3 = 22 1 + 3 + 5 = 32 1 + 3 + 5 + 7 = 42

Verifiquen las igualdades anteriores y completen:

a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = b) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 =

c) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = d) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 =

2.16. Si x = 4, calculen cuál es el valor de cada una de las siguientes expresiones:

a) 2x b) x2 c) 9x d) 3x2 e) (3x)2 f) (x – 1)3

2.17. Desarrollen aplicando propiedad distributiva:

a) 2(x – 1) b) x(x – 1) c) 3(y –2x) d) x(2y – 3x)

2.18. Desarrollen aplicando propiedad distributiva:

a) (x + 1)(x + 2) b) (x + 3)(x + 4) c) (2x + 1) (x + 2) d) (3a + 5)(2a + 3)

2.19. Desarrollen:

a) (x + 1)2 b) (x + 2)2 c) (2x + 1)2 d) (3x + 2)2

2.20. Calculen el valor numérico de cada una de las expresiones del ejercicio anterior para x = 3

2.21. Desarrollen:

a) (x – 2)2 b) (x – 1)2 c) (2x – 3)2 d) (3x – 2)2

2.22. Calculen el valor numérico de cada una de las expresiones del ejercicio anterior para x = 2

2.23. Desarrollen y simplifiquen:

a) 2(x + 1) + 3(x + 2) b) (x + 1)2 + x + 2 c) (x + 1)2 + (x + 2)2

Tiempo (en horas) 0 1 2 3 4 5

Nº de bacterias (en miles) 1 16

b

c

a

a2 = b2 + c2

80 m

60 m



A

α

38º B

a) Las semirrectas A y B son perpen-diculares. ¿Cuánto vale el ángulo α?

b) Hallen el valor del ángulo β

3. Figuras geométricas

3.1. a) Tracen los segmentos ab , bc , cd , la semirrecta ef , y las rectas mn, pq, ma

3.2. Tracen, utilizando transportador, y tomando como vértice el punto o:

a) Un ángulo de 60º b) Un ángulo de 120º c) Un ángulo de 75º d) Un ángulo de 110º

3.3. Midan los siguientes ángulos con un transportador:

3.4. Dibujen:

a) Un par de ángulos complementarios b) Un par de ángulos suplementarios

3.5.

3.6. Clasifiquen los siguientes triángulos de acuerdo a sus ángulos:

a) b) c)

3.7. Clasifiquen los siguientes triángulos de acuerdo a sus lados:

a) b) c)

β 45º 30'

o o o o

cx

ax b

x

d x

q x

f x

m x

px

ex

nx

b) ¿En qué semiplano está ubicado el punto b con respecto a la recta ma?

c) ¿En qué semiplano está ubicado el punto q con respecto a la recta ma?

a) b) c)



b

h

a

d c

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

===

≈

cmcdcmbccmab

cmhisóscelestrapecioabcd

Datos

7510

4

3.8. Midan en cada caso los ángulos interiores de los triángulos de los dos ejercicios anteriores y sumen esas medidas. ¿Cuál es el valor de cada suma?

3.9. Hallen el valor del ángulo α en el siguiente triángulo:

3.10. Calculen el perímetro y el área (superficie) de cada una de las siguientes figuras:

a) b)

c) d)

3.11. Las siguientes figuras no son regulares, y no hay fórmulas para calcular el área. Suponiendo que

cada cuadradito mide 0,5 cm de lado, den un valor aproximado de cada una de las superficies.

3.12. ¿Cuánto debe valer x para que el triángulo y el rectángulo siguientes tengan la misma área?

3.13. En cualquier triángulo, la altura que corresponde a un lado es el segmento perpendicular a ese lado, trazado desde el vértice opuesto. En el triángulo de la figura hemos trazado el segmento bh, que es la altura correspondiente al lado ac.

Tracen las alturas correspondientes a los otros dos lados.

α β

γ

A B

C

A B

C a b

c

h

32,23

4

abc isóscelesB cm

Datos h cmA BC cm

⎧⎪ =⎪⎪ ≈⎨⎪ =⎪

=⎪⎩

r

O

Datos:

Or, circunferencia;

r = 3 cm

a

b

c

d c

β 38 30'γ 65

Datos= °⎧

⎨= °⎩

64

abcd rectánguloDatos ab cm

bc cm

⎧⎪ =⎨⎪ =⎩

b

d

a

c

8

12

x

10



4. Divisibilidad

4.1. Completen con la palabra múltiplo o divisor:

a) 24 es ....................... de 3 b) 3 es ....................... de 18

c) 2 es ....................... de 48 d) 56 es ....................... de 8

4.2. Completen con V (verdadero) o F (falso) según corresponda:

a) 1 es divisor de todos los números b) 1 es múltiplo de todos los números

c) 9 es un número primo d) Todo número es divisor de sí mismo

e) Todo número es múltiplo de sí mismo f) Todos los números son múltiplos de 1

g) 371 es divisible por 7 h) 287 es divisible por 9

i) 4550 es divisible por 36 j) 3298 es divisible por 97

4.3. Completen el siguiente cuadro:

k 0 1 6 32 40

3k 6 120 288 192

Los números de la segunda fila, ¿de qué número son todos ellos múltiplos?

4.4. Algunos criterios de divisibilidad. Un número natural es divisible por 2 si la cifra de las unida-des es par (0, 2, 4, 6, 8). Un número natural es divisible por 5 si la cifra de las unidades es 0 o 5. Un número natural es divisible por 4 si el número formado por las decenas y las unidades es divisi-ble por 4. Un número natural es divisible por 25 si el número formado por las decenas y las unida-des es 00, 25, 50 o 75. Un número natural es divisible por 3 si la suma de todas sus cifras es un número divisible por 3. Un número natural es divisible por 9 si la suma de todas sus cifras es un número divisible por 9.

Utilizando estos criterios de divisibilidad, indiquen (sin hacer cuentas ni usar calculadora) si las si-guientes divisiones son exactas o no:

a) 436 : 4 b) 1229 : 2 c) 4125 : 5 d) 4125 : 25 e) 13212 : 9

f) 13212 : 3 g) 4041 : 3 h) 1047 : 9 i) 1047 : 3 j) 12428 : 4

4.5. Escriban el conjunto de múltiplos de 8 menores que 100

4.6. Un número, que está entre el 12 y el 28, es múltiplo de 2 y también de 5. ¿Cuál es?

4.7. ¿Entre qué múltiplos consecutivos de 5 está comprendido 4123?

4.8. a) 12 es múltiplo de 4. Escriban cuatro múltiplos de 12; ¿son múltiplos de 4?

b) 18 es múltiplo de 9. Escriban tres múltiplos de 18; ¿son múltiplos de 9?

c) ¿Qué conclusión sugieren los resultados de a) y b)?

4.9. Andrea hoy comenzó un régimen y debe comer dos manzanas por día. Si sumásemos las que irá comiendo, desde hoy, ¿al final de algún día habrá comido exactamente 15? ¿Y 24? ¿En qué día?

4.10. Escriban los 10 primeros múltiplos de 2 Escriban los números menores que 50 que sean a su vez múltiplos de 2 y de 3. ¿De qué otro número son múltiplos?

4.11. Para hacer un trabajo en equipo, los alumnos de un curso pueden agruparse de 2 en 2, de 3 en 3 o de 5 en 5; si en ningún caso sobran alumnos y en el curso hay menos de 40, ¿cuántos hay?

4.12. Mariela tiene 18 libros y quiere formar paquetes de modo que en cada uno de ellos haya la misma cantidad de libros. Encuentren todas las formas de hacerlo.

4.13. En un supermercado los yogures no se venden sueltos, sino en lotes de 4.

a) ¿Pueden comprarse 24 yogures exactamente? ¿Y 26? ¿Por qué?



b) ¿Si se necesitan entre 30 y 40 yogures, ¿cuántos lotes pueden comprarse? ¿Cuántos yogures serán?

4.14. a) Usando calculadora, completen la tabla:

Divisible por

Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 132 sí sí sí sí no sí no no no no 65

309 32480

b) Observando la tabla anterior, respondan a las siguientes preguntas:

1º) La última cifra de todos los números divisibles por 2, ¿es par o impar?

2º) La última cifra de los números divisibles por 5, ¿qué valores toma?

3º) Todos los números divisibles por 3, ¿lo son también por 9?

4º) Los números divisibles por 6, ¿por qué otros números pueden dividirse?

4.15. Completen la tabla escribiendo V (verdadero) o F (falso):

48 es múltiplo de 6 7 es divisor de 63 2 es múltiplo de 24 3 es divisor de 56 8 es factor de 104

4.16. Entre los 25 primeros números naturales, ¿cuáles son primos?

4.17. Expresen en forma de producto los números siguientes, indicando si son primos o compuestos:

a) 126 b) 72 c) 23 d) 28

4.18. Escriban los divisores de los números:

a) 18 b) 60 c) 43 d) 12

4.19. Descompongan en factores primos los siguientes números:

a) 120 b) 29 c) 96 d) 27

4.20. Calculen el divisor común mayor (o máximo común divisor) y el múltiplo común menor (o mínimo común múltiplo) de los siguientes números:

a) 16, 24 b) 6, 9 c) 5, 7 d) 1, 6

e) 2, 4, 6 f) 4, 8, 16 g) 5, 10, 15 h) 4, 6, 8, 12

4.21. Soledad tiene tres amigas que la visitan regularmente: Daniela, cada 4 días; Roxana, cada 6 días y Valeria, cada 8 días. Hoy las tres amigas coincidieron en casa de Sole; ¿dentro de cuántos días se van a volver a encontrar?

4.22. Ramiro tiene una colección de figuritas que puede agrupar de 5 en 5, de 4 en 4 o de 3 en 3, sin que le sobre ni le falte ninguna. ¿Cuál es el menor número de figuritas que puede tener?

4.23. En una autopista hay un bar cada 50 km, un hotel cada 75 km y una estación de servicio cada 25 km.

a) ¿Cada cuántos kilómetros hay un bar y una estación de servicio juntos?

b) ¿En qué kilómetros coinciden los tres establecimientos?

4.24. El padre de Gabriela tiene una biblioteca. Puede empaquetar los libros de 5 en 5, de 4 en 4 o de 3 en 3, sin que falte ni sobre ninguno.

a) ¿Cuál es el menor número de libros que puede tener?

b) Si el número es mayor que 100 y menor que 200, ¿cuántos puede tener?



5. Números decimales. Fracciones.

5.1. a) Completen, cuando sea posible, las celdas vacías:

31 41,3 3 12,8 72 8,07

68,2 4,2 20,2 0

b) ¿Fue posible llenar todas las celdas? ¿Por qué?

c) ¿Qué operación hay que realizar en cada caso para pasar de la 2ª fila a la primera?

5.2. Escriban en cada caso el número faltante:

a) 13,5 + ..... = 33,5 b) 18,25 + ..... = 100 c) ..... + 73,28 = 100

d) ..... + 31,03 = 90 e) 72 – ..... = 21,32 f) ..... – 13,2 = 43,2

5.3. Calculen y comparen:

a) 8,7 + 0,34 0,34 + 8,7 b) 3,28 + 0,5 0,5 + 3,28

c) 2,8 + (3 + 5,4) (2,8 + 3) + 5,4 d) (0,25 + 0,4) + 2,2 0,25 + (0,4 + 2,2)

¿Qué propiedad se aplicó en cada caso?

5.4. Calculen en los casos en que sea posible:

a) 6,4 – 2,5 2,5 – 6,4 b) 5,2 – 3,6 3,6 – 5,2

c) 9,2 – (4,6 – 2) (9,2 – 4,6) – 2 d) 5,4 – (1,5 – 0,5) (5,4 – 1,5) – 0,5

¿Qué propiedades no cumple la sustracción?

5.5. Completen las tablas:

8 0,24 1 2 0,4 6,2

42 3,6 4,5 0,45 2,5 0,60

5.6. Multipliquen cada uno de los números siguientes sucesivamente por 100; por 0,1:

N N x 100 N x 0,1 N N x 100 N x 0,1

122,20 228,05

4,25 43,1

0 0,31

10,01 5,2

0,0125 202,02

5.7. Enuncien las propiedades conocidas de la multiplicación de decimales; den un ejemplo de cada una de esas propiedades.

5.8. Calculen y comparen resultados:

a) 3 . (2 + 4) 3 . 2 + 3 . 4 b) 2,5 . (0,5 + 1) 1,5 . 0,5 + 2,5 . 1

¿Qué propiedad se utilizó?

5.9. ¿Es lo mismo calcular 12 : (2 + 4) que 12 : 2 + 12 : 4? Realicen las cuentas y respondan

5.10. Calculen sin utilizar calculadora: a) 73,5 : 0,735 b) 0,048 : 24

5.11. Haciendo una cuenta con una calculadora, Marcela obtuvo: 4,89 x 35,6 = 174,084. Con estos da-tos, sin necesidad de hacer otros cálculos, completen:

a) 174,084 : 4,89 = b) 174,084 : 35,6 =

+ 5,2 – 8,08

x 0,6 : 0,5



5.12. Indiquen en cada caso el valor de la letra para que la igualdad sea verdadera:

a) a . 6 = 18 a = ..... b) 2,5 . x = 10 x = ..... c) x . 3,2 = 1,6 x = .....

d) y : 6 = 4 y = ..... e) p : 3,2 = 1 p = ..... f) x : 2,4 = 1,5 x = .....

5.13. 4 cables de la misma longitud miden en total 15 m. ¿Cuál es, en metros, la longitud de cada cable?

5.14. Javier tiene 80 figuritas y decide repartirlas entre 6 amigos, de modo que a cada uno le correspon-da la misma cantidad; ¿cuántas le quedan?

5.15. Una escalera de 280 cm tiene 17 escalones. ¿A qué distancia se encuentran entre sí los escalones?

5.16. La pista de atletismo de un club tiene una longitud de 1,58 km. ¿Cuántos km. recorre un atleta que da 11 vueltas y media a la pista?

5.17. Un día de tormenta en el campo cae un rayo. El sonido del trueno que lo acompaña se desplaza a 340 metros por segundo. Ariel escucha el trueno a los 8,5 segundos, ¿a qué distancia de donde es-tá Ariel cayó el rayo?

5.18. Una empresa distribuidora compra barriles de vino fino de 25 litros a $30,50 cada uno.

a) ¿Cuánto abona por litro?

b) Este vino lo fracciona en botellas de 720 cm3 (es decir, 0,72 litros) cada una. ¿Cuántas bote-llas llena con cada barril?

c) La empresa tiene un gasto suplementario de $0,25 por botella. ¿Cuál es el costo de una bote-lla llena?

5.19. Un cine tiene 522 butacas dispuestas en filas de 12, salvo la última fila, que tiene menos.

a) ¿Cuántas filas hay con 12 butacas? b) ¿Cuantas butacas tiene la última fila?

5.20. Para comprar 12 litros de leche de una determinada marca, hacen falta $9,60. Supongamos que una familia gasta regularmente 3 litros de leche por día, y que el precio del litro de leche se man-tiene constante.

a) ¿Cuánto gastará en leche en el mes de abril? ¿Y en mayo?

b) ¿Cuántos litros consumirá durante un año? ¿Cuánto dinero representa ese gasto?

5.21. Un video-club cobra $3 el alquiler diario de cada película. Pero también tiene un abono anual de $90 y quienes se abonan sólo pagan $1,25 por cada película alquilada. ¿Cuántas películas en el año debe alquilar como mínimo un abonado para que este sistema le resulte más económico?

5.22. Representen en cada caso la parte sombreada mediante una fracción:

a) b) c) d)

5.23. Respondan, y completen la fracción:

a) ¿Cuántos medios hay en 1 entero? .................................... 2...1 =

b) ¿Cuántos quintos hay en 3 enteros? .......................................... 5...3 =

c) ¿Cuántos cuartos hay en 3 medios? .......................................... ......

23

=

5.24. Escriban en forma decimal cada una de las siguientes fracciones:

a) 53

= b) 48

= c) 107

= e) 31

= f) 9042

= g) 1535

=

5.25. Escriban en cada caso la fracción correspondiente; si es posible, simplifiquen:

a) 0,2 = b) 0,25 = c) 0,5 = d) 0,04 =



e) 0,07 = f) 0,111 = g) 2,5 = h) 0,666 =

5.26. Ordenen de menor a mayor las siguientes fracciones:

a) 1/2 ; 3/5 ; 2/3 ; 4/5 ; 2/9 ; 2/5 b) 3/4 ; 5/6 ; 3/10 ; 5/2 ; 3/2 ; 7/5

5.27. Calculen:

a) 151.

43

21

+ b) 41.

32

41

− c) 85.

52

31:

92

+ d) 52

32:

51

53

−+

5.28. ¿Qué número sumado a 1/8 da 2/3?

5.29. Mariela hace una tarea de la escuela en 50 minutos. Diego necesita 7/5 del tiempo de Mariela y Ramiro, 6/7 del tiempo de Diego. /Cuánto tardan Ramiro y Diego?

5.30. Los 2/5 de la capacidad de un tanque son 412.660 litros. ¿Cuántos litros son los 3/10 de la capaci-dad de ese tanque?

5.31. Los 4/5 de un camino miden 320 m. ¿Cuánto mide el camino en total?

5.32. ¿Cuántos litros hay que sacar de un barril de 2.456 litros para que queden en él los 7/8 de su con-tenido?

5.33. Tomando los doce meses del año como denominador, escriban tres fracciones distintas y expliquen que parte del año representan.

5.34. Dividan el numerador y el denominador de la fracción 10/15 por 5. Luego, multipliquen el numera-dor y el denominador de la fracción obtenida por 6. ¿Son equivalentes esta última fracción y la primera?

5.35. Roxana realizó 1/3 de la tarea administrativa de la empresa, Gustavo hizo 1/4 de la misma y otro empleado 3/8 de dicha tarea. ¿Cuánto falta para terminar el trabajo?

5.36. En una pared, la cuarta parte del total tiene ladrillos a la vista, la tercera parte, piedras decorativas y el resto está pintado con pintura blanca ¿Qué fracción del total representa la parte pintada de blanco?

5.37. El número de jilgueros que hay en un campo cordobés se estima que es 1/5 del número total de pájaros que habita en la zona. Si x indica el número de jilgueros, e y el número total de pájaros, completen la tabla:

x 1 9 12

y 130 150

5.38. Sin usar calculadora, calculen:

a) 25% de 200 b) 50% de 6000 c) 10% de 580 d) 5% de 3000

5.39. Utilizando calculadora, calculen:

a) 48% de 35.500 b) 17% de 80.000 c) 5,3% de 76.300 d) 83% de 4.500

e) 16% de 389 f) 160% de 42,7 g) 9,5% de 45,8 h) 0,95% de 4.580

5.40. En una prueba aprobó las tres cuartas partes de los chicos. ¿Cuál es el porcentaje de aprobados?

5.41. En un concurso, dos equipos llegan a la ronda final; en el equipo A, de 24 integrantes, 4 pasan las últimas pruebas, mientras que en el equipo B, de 25 integrantes, pasan 5. Según el reglamento, gana el equipo que haya tenido mejor porcentaje de aprobados ¿Cuál fue el ganador?

5.42. ¿Qué porcentaje de descuento se hizo en el importe de una factura de $28,50 si se pagó $23,50?

5.43. Un auto tenía el tanque de nafta lleno. Después de haber gastado el 12%, quedan 44 litros. ¿Cuál es la capacidad del tanque?



Medida del sector en grados

Porcentaje de votantes

Valeria 90º

Hernán 72º

Romina 45º

Claudio 135º

Cristian 18º

Totales 360º 100%

5.44. En una evaluación que se hace en un curso con 36 alumnos, las dos terceras partes saca 6 o más; la cuarta parte de los restantes saca 4 o 5, y el resto queda aplazado.

a) Determinen la cantidad de chicos en cada caso.

b) Escriban los porcentajes.

5.45. El 40% de los caballos que posee un campesino son bayos, el 30%, tordillos, el 25%, moros y el 5% restante, alazanes.

a) Con estos datos hagan un gráfico circular y un gráfico de barras (pueden utilizar una planilla electrónica de cálculo).

b) El campesino tiene 250 caballos en total; calculen cuántos tiene de cada tipo.

5.46. Un aficionado a la jardinería vendió un bonsai en $250 y perdió el 20% del valor del mismo.

a) ¿Cuál era su valor real?

b) ¿A qué precio lo hubiese tenido que vender para ganar el 14% de su valor real?

5.47. Adriana creció en el último año el 5% de su estatura, y ahora mide 126 cm. ¿Cuánto medía antes?

5.48. Un barril que tiene 18 litros de aceite está lleno en un 60% de su capacidad.

a) ¿Cuál es la capacidad del barril?

b) ¿Cuántos litros hay que agregarle para que esté al 80% de su capacidad?

5.49. En un botellón que contiene 7 litros de ácido puro se vierten 3 litros de agua. ¿Cuál es el tanto por ciento de ácido que contiene ahora el botellón?

5.50. Un hipermercado decide hacer una rebaja del 10% en una línea de productos, pero a los precios hay que aplicarle el 21% en concepto de IVA. ¿Qué es mejor para el comprador, que primero reali-cen el descuento y luego añadan el IVA, o que primero calculen el IVA y luego hagan el descuento?

5.51. Observen el siguiente gráfico en el que se representó el resultado de las elecciones para presidente del centro de estudiantes. Por un error, el chico que hizo el gráfico en la computadora, en lugar de hacer figurar el porcentaje obtenido por cada votante, mostró la medida en grados de cada sector del gráfico circular.

a) Calculen el porcentaje de votantes que tuvo cada candidato, completando la tabla:

b) Si en total hubo 1800 votantes, ¿cuántos alumnos votaron al candidato que ganó?



6. Números relativos (números con signo)

Números enteros y decimales relativos

6.1. Un edificio tiene tres subsuelos, planta baja y seis pisos. Si tuvieran que ponerle número a cada piso ¿como lo harían?

6.2. Las frases siguientes expresan una situación o una variación. Escriban el número que le correspon-de a cada una de ellas:

a) Hay 5º C bajo cero. b) Debo 50 pesos

c) La altitud es de 300 m sobre el nivel del mar. d) Estoy a 2 km de la meta.

e) La temperatura ha subido 15,4º C. f) Estoy en el 1º subsuelo

g) Augusto nació en el año 63 a.C. h) He retrocedido 5 casillas.

6.3. Escriban una frase que represente a cada uno de los siguientes números:

a) +3 b) – 125 c) – 1.200 d) 0 e) + 15.000

6.4. Ordenen en forma creciente (de menor a mayor) los siguientes números:

a) –1 , 1 , –3 , 31 , 5 , –7 , 3 , 0 , –4

b) 4,05 , –5 , 6 , –3 , –4,15 , 7 , 1,7 , –20 , –4,2

6.5. Ordenen en forma decreciente:

a) –8,1 ; +7,9 ; 0 ; –5,8 ; +3,6 ; –5,9 ; –6,5.

b) +6,08 ; –6,8 ; +6,8 ; –6,81 ; –6,08 ; +6,81

6.6. Escriban el número anterior y el posterior de cada uno de los siguientes enteros:

a) 0 b) –50 c) –42 d) –338

6.7. Escriban en cada caso el número entero de qué se trata:

a) Tres unidades mayor que 4 b) Ocho unidades menor que 7

c) Dos unidades mayor que –5 d) Cinco unidades menor que –4

e) La tercera parte de 12 f) La cuarta parte de –12

6.8. Escriban dos números comprendidos entre:

a) 10 y 15 b) –12 y –4 c) 1 y 2 d) –3,7 y –3,8

6.9. Completen con los signos <, =, >, según corresponda:

a) –6 ... –3 b) +4,5 ... +4,05 c) 4,3 ... +4,3 d) –100 ... +3

Los números relativos se utilizan para: • Expresar una situación o estado: deber–tener, temperatura, tiempo, altitud de un lugar ... • Expresar variaciones: subir–bajar, perder–ganar, avanzar–retroceder ...

Los números relativos pueden ser mayores que 0, menores que 0, o 0. Los números mayores que 0 se llaman positivos. 0. Ej.: 3 ; +2,5 ; 8 (Los números positivos se escriben con signo + o sin signo). Los números menores que 0 se llaman negativos. Ej.: –2 ; –7,8 (Los números negativos se escriben con signo –) (El 0 es el único número positivo y negativo; algunos autores lo consideran sin signo)

Los números enteros son una parte de los relativos. Están formados por: • Los enteros positivos: 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7 ... • Los enteros negativos: 0, –1, –2, –3, –4, –5, –6, –7 ...

Recuerden los símbolos: > mayor que < menor que ≥ mayor o igual que ≤ menor o igual que



0 10

A B C D

b)

0 50

A B C D

c)

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

A B C D

a)

0 1

A B C D

d)

Representación gráfica en un eje

6.10. Indiquen las abscisas de los siguientes puntos:

6.11. a) Tracen una recta graduada y marquen sobre la misma los puntos A, B, C, D, E, F de abscisas +3 ; +1 ; –4 ; –2 ;–6 ; –7, respectivamente

b) Ordenen las abscisas anteriores en forma creciente.

6.12. a) Tracen una recta graduada y marquen sobre la misma los puntos A, B, C, D, E de abscisas 100 ; 150 ; 250 ; –100 ; –200 (elijan una escala adecuada).

b) Ordenen las abscisas en forma creciente.

6.13. a) Tracen una recta graduada y marquen sobre la misma los puntos A, B, C, D, E de abscisas 1,5 ; –2; 3,3 ; –1,5 ; –3,3


6.14. a) En cada caso, escriban las abscisas de los puntos A y B; luego midan la distancia AB:

b) Observando los casos precedentes, expresen con sus propias palabras de qué modo puede

hallarse la distancia AB, conociendo las abscisas de los puntos A y B.

6.15. a) En una recta graduada tomen la unidad igual a 1 cm y marquen los puntos siguientes:

A(-5) ; B(4,3) ; C(-6,5) ; D(-0,5) ; E(7) ; F(2,1)


0 10

A B C D

e)

A B

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6A( ) ; B( ) ; AB =

A B

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6A( ) ; B( ) ; AB =

A B

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6A( ) ; B( ) ; AB =

A B

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6A( ) ; B( ) ; AB =



Ejemplo: Gano 3 puntos; luego pierdo 4. ¿Gané o perdí? ¿Cuántos puntos? (+3) + (–4) = –1 El resultado indica que en total perdí 1 punto

c) Calculen les distancias : AB ; CD ; BF ; AC ; ED ; AE

d) Calculen las abscisas posibles de un punto G tal que AG = 2 cm.

Valor absoluto de un número relativo. Números opuestos

6.16. Escriban los valores absolutos de: –17; +25; 3,7; –1.000; – 2,22.

6.17. El valor absoluto de un número es 2,5. ¿Cuál es ese número? ¿Hay una única respuesta?

6.18. Fabián dice que es posible que el valor absoluto de un número sea –0,5 ¿Es correcta esa afirma-ción? ¿Por qué?

6.19. Calculen:

a) | –7 | = ... b) | +2,84 | = ... c) | 0 | = ... d) | 5,45 | = ...

6.20. Hallen en cada caso los números x que verifican la igualdad:

a) | x | = 6 ⇒ x = .... ∨ x = ....

b) | x | = 14,5 ⇒

c) | x | = 0 ⇒

6.21. ¿Existe un número x tal que | x | = –35?

6.22. Hallen los opuestos de: –11 ; +27; – 3,1 ; 0 ; +70,5.

Adición y sustracción de relativos

6.23. Interpreten con sumas de números relativos los siguientes enunciados:

a) Había una temperatura de 3º C y subió 10º C. ¿Cuál es la temperatura actual?

b) Había una temperatura de 3º C bajo cero y subió 10º C. ¿Cuál es la temperatura actual?

c) Gabriela camina 3 cuadras y luego retrocede 8. ¿A cuántas cuadras se encuentra respecto de la posición inicial?

d) Damián, en un juego de azar, realiza los siguientes movimientos: avanza 4 casillas, retrocede 7, avanza 2, avanza 5 y retrocede 8. ¿Cuál es su posición actual?

6.24. Calculen:

a) (+3) + (+17) b) (–15) + (–9) c) (+18) + (–10) d) (–1) + (+18)

e) (–14) + (–22) f) (+17) + (+17) g) (–9) + (+18) h) (–7) + (+7)

i) (+12,1) + (–8,3) j)(+19,7) + (+2,8) k) (–1,29) + (–12,9) l) (–5,5) + (+7,8)

El valor absoluto de un número es la distancia de este número al 0, y se indica encerrando el número entre barras.

Ejemplo: | –3 | = 3; | +6 | = 6.

Si dos números tienen el mismo valor absoluto, se dice que son opuestos.

Ejemplo: +5 y –5

El símbolo ⇒ se lee impli-ca y significa entonces El símbolo ∨ significa o El símbolo ∧ significa y

• Para sumar dos números del mismo signo se suman los valores absolutos y se pone el mismo signo. Ejemplos: (+4) + (+8) = +12 (también podemos escribir 4 + 8 = 12) ; (–3) + (–-6) = –9

• Para sumar dos números de distinto signo se restan los valores absolutos y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto. Ejemplos: (-4) + (+15) = 9 ; (–7) + (+3) = –4

Una suma de números relativos puede escribirse en forma simplificada suprimiendo paréntesis y signos innecesarios. por ejemplo: Los ejercicios i) a l) pueden escribirse, respectivamente:

i) 12,1 – 8,3 j) 19,7 + 2,8 k) –1,29 – 12,9 l) –5,5 + 7,8

Regla práctica: El signo + conserva los signos + y – del interior del paréntesis. Ej. (–7) + (–2) = –7 – 2 = –9



6.25. a) Completen la tabla siguiente (pueden utilizar una planilla electrónica de cálculo)

b) ¿Qué valor tiene la celda D3? ¿Y la celda E3?

c) En general, ¿qué propiedad verifican las columnas D y E?

d) ¿Cuál es el valor de la celda G11? ¿Cuál es el valor de la celda H12?

e) ¿Qué propiedad verifican las columnas G y H?

6.26. Un avión vuela sobre el océano a 9500 m de altura y un submarino está sumergido a 420 m ¿Que altura los separa?

6.27. a) ¿Como se calcula cuántos años vivió una persona?

b) Pitágoras nació en el año 580 antes de Cristo y murió en el año 501 antes de Cristo ¿Cuántos años vivió?

6.28. Completen la tabla siguiente, que relaciona el año en que nació, el año en que murió y los años que vivió cada uno de los personajes que se nombran.

Nació Murió Vivió

Eudoxio 408 53 años

Zenón –495 –435 ... años

Arquímedes –212 75 años

Augusto –63 77 años

Julio César – 100 66 años

6.29. a) ¿Como se calcula la variación de temperatura de un cuerpo?

b) Un objeto estaba a 4º C y pasó a 12º C ¿Cuál fue su variación de temperatura?

c) ¿Puede ser negativa la variación de temperatura? ¿Y positiva? ¿Que significado tiene?

d) Se guardó en un congelador una comida que estaba a 18º C. Al día siguiente tiene una tempe-ratura de 12º C bajo cero ¿Cuál fue su variación de temperatura?

6.30. Completen la tabla siguiente, que muestra las temperaturas en distintas regiones del país en un día de julio, entre las 12 h y las 16 h:

Temperatura a las 12 h 24° C 15° C 6,2° C –2° C –2° C 4° C 6° C 4,1° C

Temperatura a las 16 h 28° C 10° C 1,8° C 0° C 4° C –1,1° C

Variación en °C +4º –5º 10º –9º



6.31. Calculen:

a) (–17) – (–11) b) (+10) – (+2) c) (+2) – (+37) d) (+12) – (–91)

e) (+8,5) – (–9,5) f) (+28,5) – (+7,5) g) (–8,5) – (–8,5) h) (–4,5) – (+13,5)

i) (+8,8) – (+8) j) (+5,2) – (–5,3) k) (–27,34) – (–4,27) l) (+34,1) – (–0,7)

Sumas algebraicas

6.32. a) Completen la tabla:

b) Comparen las columnas D y E. ¿Qué puede inferirse con respecto a los números a–b y b–a?

c) Expliquen con sus propias palabras qué puede inferirse comparando las columnas H e I

d) Expliquen con sus propias palabras qué puede inferirse comparando las columnas J y K

6.33. Efectúen los cálculos siguientes:

a) (–5) + (+9) – (+6) b) (+7) – (+10) – (–9) c) (–26) – (+ 6) + (+ 26)

d) (–7) + (–10) + (+5) – (–1) e) (–2,5) – (–4,7) – (–17,7) f) (+0,27) – (+5,03) + (–2,09)

6.34. Calculen las siguientes sumas algebraicas:

a) 3 – (+ 4) – 7 + 2 b) 2 – 3 + (+ 8) + (–11)

c) –2 – (–7) + 5 –(+2) – (+7) d) 19 – 5 – (–42) + (– 27) – 19 – 5

e) –14 + (– 6) + 15 + 7 f) –17 – (– 9) – (+ 3) + 1 + 20

g) 10 – 3,3 + (– 9) + 3,3 h) –4,45 + 1,62 + 6 + (–1,5) – (–2,1) – 2,2

i) – 4,1 – (+3,9) + 2,1 – (–2) – 0,9 j) –1,3 – (–56) – 1,7 – 32 + (–56) + 32

6.35. En el grabado La Melancolía de Alberto Durero (1514) aparece un cuadrado como el que muestra la figura, llamado cuadrado mágico.

a) Efectúen la suma de cada fila, de cada columna y de cada diagonal del cuadrado mágico. ¿Qué observan?

Para restar dos números enteros sumamos al primero el opuesto del segundo. Ejemplo: (–4) – (–7) = (–4) + op(–7) = –4 + 7 = 3.

Regla práctica: El signo – cambia los signos + y – del interior del paréntesis. Ejemplos: (–9) – (–15) = –9 + 15 = 6 ; (–3) – (+2) = –3 – 2 = –5 ; (+4) – (–15) = – 4 + 15 = 11



b) Si suman un mismo número, por ejemplo 5, a cada número del cuadrado, ¿se obtiene un nuevo cuadrado mágico?

c) Si multiplican un mismo número, por ejemplo 3, a cada uno del cuadrado, ¿se obtiene un nuevo cua-drado mágico?

6.36. Hacer un cuadrado mágico no siempre es tarea sencilla. En este caso les pedimos que completen los siguientes cuadrados de modo que las filas y las columnas sumen lo mismo y, si es posible, que sean mágicos:

a) b)

6.37. Calculen, escribiendo los pasos intermedios:

a) 9 – (– 27 + 13) + 15 + (27 – 42) b) 25 – (32 – 27) + (32 – 27) + 9

c) – (9 + 12) + (32 – 4) d) – 12 + (37 – 52) + 4 – (4 – 12)

e) 9,9 – (– 3,9 + 4,1) – 0,4 + (4,2 – 0,7) f) 1,3 – (4 – 2,5) + 13 – (1,9 – 3,2)

g) 4,7 – (– 3,2 + 0,3) + 1,7 – (7,2 – 0,8) h) – 3,5 – 0,12 + (4,5 – 8,5) – (0,8 – 1,5)

6.38. Efectúen los siguientes cálculos, indicando los pasos intermedios:

a) 4 + [–1 + (9 – 2)] –9 + (1 – 2) b) 19 – 51 +17 –[12 – (25 + 47 – 34)]

c) 1 – {2 – [3 – (4 – 5) – 6] – 7} d) 2 – {6 – [–4 + (2 – 1) – (2 – 1)] – 2 } – 4

e) 4,1 – (5,2 – 0,3) – [7,1 – (4,3 – 0,7)] f) 9,3 + (4,3 – 5,7) + [4,2 + (0,7 – 9,8)]

g)– 7,5 – [3,4 – (0,7 – 0,2)] – 9,6 h) – 3,5 – [7,8 + (– 0,9 – 4,7)] – (– 6,6 + 0,9)

6.39. Supriman paréntesis, corchetes, llaves y simplifiquen todo lo que puedan:

a) ( 9) (2 )x x+ − + b) ( ) ( ) ( )z x z y x y+ − − − +

c) 5 ( ) ( 3)a b b a− + − − − + d) 2 [1 ( ) 2 ( )]x y x y− − − + − − +

e) –3 – {a – [b + a – (c – 3)]} + b f) x – [y – (z – x)] – y – [z – (x – y)]

6.40. Observen la siguiente sucesión. ¿Cómo se pasa de un término al otro? Escriban el octavo término:

+7 –4 –15 –26 –37 –48 –59

3 –2 4

-1

2 –5

-1

–4

1,6 0,2

0,5 1

0,6 1,2

1,4 0,1

-6 3 -3

-5 2

-2 4 -7

c) La suma de filas, columnas y diagonales da 3,4.

d) La suma de filas, columnas y diagonales da –2

Las operaciones combinadas de sumas y restas con paréntesis pueden realizarse de dos formas: Efectuando primero las operaciones dentro de los paréntesis y suprimiendo luego éstos. Suprimiendo primero los paréntesis y haciendo luego los cálculos



7. Multiplicación y división de relativos. Ecuaciones

7.1. Ramiro va al club 3 días por semana. Toma un colectivo para ir y uno para volver a su casa. Cada viaje le cuesta $0,80. ¿Cuánto gasta en dos semanas? (Interpreten los resultados utilizando núme-ros relativos)

7.2. Completen la tabla:

a b a . b 2a (–2)a 3b 2a + 3b (–2)a – b

2 5

–2 5

–5 –3

1,5 –2

–0,5 –3

7.3. Expresen de todas las formas posibles los números siguientes como producto de dos números en-teros:

a) –14 b) 15 c) –18 d) 10

7.4. Indiquen si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Si alguna es falsa, den un contra-ejemplo (es decir, un ejemplo que muestre que es falsa):

e) El producto de varios números negativos es siempre positivo.

f) El producto de cuatro números negativos es siempre positivo.

g) El producto de dos positivos y un negativo es siempre negativo.

h) El producto de tres negativos es siempre negativo.

i) Si la cantidad de factores es impar, el producto es negativo.

j) Para que el producto sea negativo, la cantidad de factores negativos debe ser impar.

k) Si hay un número par de factores negativos, el producto siempre es positivo.

7.5. Completen:

a) (–3) . …… = –12 b) …… . 5 = –15 c) –8 . ….. = 16 d) ….. . (–15) = 60

e) 0,5 . ….. = –4 f) –1,2 . ….. = 3,6 g) 5,5 . ….. = 11 h) –1,4 . ….. = 16,8

7.6. Calculen los siguientes cocientes:

a) –24 : (–3) b) 48 : (–6) c) 0 : 5 d) 0 : (–43,25)

e) –1,2 : (–6) f) 13,2 : (–12) g) –0,132 : 0,12 h) –1,32 : (–1,2)

7.7. Calculen:

a) (8 – 10) : (–2) b) –6 + (–4) : 2 c) [–5 + 2 . (–3 )] : (–2 )

d) [(–8) (+2) - 4 ] : 9 e) 0,5 – 0,2 (–1 – 0,8) f) 1 – [3 : (–0,3) – 2 (–0,5)]

• El producto (o el cociente) de dos números positivos o de dos números negativos es un número positivo. Ejemplos: 4 . 8 = 32 ; (–4) . (–-8) = 32 ; 20 : 5 = 4 ; (–20) : (–5) = 4

• El producto (o el cociente) de dos números de distinto signo es un número negativo. Ejemplos: (-4) . (+8) = –32 ; (–7) . (+3) = –21 ; (–12) : 4 = –3 ; 36 : (–9) = –4



Ecuaciones

7.8. Resuelvan las siguientes ecuaciones:

a) x + 2 = 9 b) x + 3 = 3 + 4 c) x – 5 = 9 d) x – 5 – 10 = 5

e) 15 = x – 7 f) 9 + 1 = x + 9 g) –7 + x = –7 – 3 h) x – 3 = –9

i) –2 = x + 7 j) 10 + 3 = x + 6 – 1 k) 10 – 7 = 3 + x l) –9 + 1 = x – 3

m) 4 + x – 2 = 6 n) 5 + (x – 2) = –7 ñ) –9 + 3 = x – 5 o) –9 + 3 = 5 + x

7.9. Resuelvan

a) 10 –x = 2 b) 15 – x = 7 – 2 c) 18 = –x + 50 d) 5 – x = 4

e) 2 = 13 – x f) –x + 9 = 10 g) 3 + (2 – x) = –4 h) –14 – x = 6 – 14

i) – 3 – x = – 7 j) – 2 + (5 – x) = – 3 k) 4 – ( x + 2) = 6 l) –2 – (x – 1) = –4

7.10. Traduzcan al lenguaje simbólico cada una de las siguientes expresiones coloquiales:

a) El perímetro de un cuadrado de lado x

b) La edad de Eliana dentro de 6 años si la actual es x

c) El precio de 8 figuritas si cada una cuesta x pesos

d) El número x aumentado en 7 unidades

e) El número y disminuido en 4 unidades

f) El siguiente de un número

g) El anterior a un número

h) El doble de un número

i) La tercera parte de un número

7.11. La edad de Marcela supera en 12 años a la de Gabriel. ¿Cuáles de las siguientes expresiones tradu-ce esa situación? (m representa la edad de Marcela y g, la de Gabriel)

a) m = g + 12 b) m = 12 g c) m – g = 12

d) m – e = 12 e) m + 12 = g f) m – 12 = g.

7.12. Pienso un número, le sumo 5, obtengo –16. ¿Qué número pensé?

7.13. A 15 le resto el anterior de un número y obtengo 32. ¿Cuál es el número?

7.14. Pienso un número, le sumo 34, al resultado le resto 18 y obtengo 19. ¿Qué número pensé?

7.15. A 14 le resto un número y al resultado le resto 2. Obtengo –7. ¿Cuál es el número?

7.16. ¿Cuál de los siguientes números es solución de la ecuación 3(x + 2) = 5x – 2 ?

7.17. Resuelvan las siguientes ecuaciones:

a) 3x = 18 b) 3x = –18 c) –3x = 18 d) –3x = –18

e) 43x

= f) 43x

= − g) 43x

− = − h) 43x

− =

7.18. Contesten V (verdadero) o F (falso):

a) La solución de x – 4 = –20 – 3x es –4

b) 12 es la solución de 3x + 12 = 60 – x

c) Las soluciones de (x – 1)(x + 2) = 0 son x = 1 y x = –2

2 5 6 1 4 3



7.19. Resuelvan las ecuaciones:

a) 2(x – 1) = 8 b) –4(x + 3) = 12 c) 2(3x – 4) = 4

d) –4(2x +1) = 5 e) –3(–2x +2) = 1 f) –2(–x +2,5) = 1

7.20. Resuelvan:

a) 2x – 3 = x – 1 b) 4x – 1 = x + 2 c) –3x – 4 = –x + 4

d) –4x + 2 = x – 3 e) 5x – 3 = 2x + 1 f) 4x + 5 = 1 – x

7.21. En una clase el numero de chicos es el doble que el de chicas. Si en total hay 33 alumnos, ¿cuán-tos son de cada sexo?

7.22. Claudia y Andrea pesan juntas 94 kg; sabiendo que Claudia pesa 8 kg más que Andrea, determinar cuánto pesa cada una.

7.23. Roberto, Federico y José son socios en un quiosco. Un mes, la ganancia es de $3.200; en el repar-to, a Federico le corresponden $400 menos que a Roberto, y a José, $200 menos que a Federico. ¿Cuánto gana cada uno?

7.24. En un zoológico hay doble numero de garzas que de cigüeñas. Si el total de estos animales es 105, ¿Cuántos hay de cada especie?

7.25. Andrés nada en tres estilos diferentes: mariposa, pecho y espalda. Del total de metros que nadó un día hizo 3/8 mariposa, 1/3 pecho y 700 metros espalda. ¿Cuántos metros nadó ese día?

7.26. El 56% de la superficie de los bosques tropicales se encuentra en América del Sur; el 28%, en Australia y Asia Oriental; y el resto, en África.

a) Si los bosques tropicales de África ocupan 2,4 millones de kilómetros cuadrados, ¿cuál es la superficie total de bosque tropical en nuestro planeta?

b) En la actualidad se deforestan 150.000 km2 anualmente. ¿Cuántos anos durarán los bosques tropicales si continúa este ritmo de explotación comercial intensiva?

7.27. Una escuela compró un equipo de computación. En la empresa de computación le hicieron un 12% de descuento, por lo que se abonó un importe de u$s 1.700: ¿cuál era el precio inicial de equipo?

7.28. Pablo le dice a Ramiro: “Vos tenés el doble de figuritas que yo. Pero si me das 15, yo tendré el triple que vos". ¿Cuantas tiene cada uno?

7.29. La base de un rectángulo mide el doble de la altura. Si el perímetro es 324 m, ¿cuál es la medida de cada lado?

7.30. Una Organización No Gubernamental (ONG) se dedica a vacunar contra el sarampión y la malaria en un país africano. La quinta parte de las vacunas enviadas se estropearon. Del resto, la tercera parte se destinó a combatir la malaria. En un año se vacunó a 146.000 personas contra el saram-pión. ¿Cuántas vacunas se mandaron al país?

7.31. Para preparar un examen, Gustavo estudia durante 5 dias seguidos, cada dia 15 minutos mas que el anterior. En total, siete horas y cuarto. ¿Cuánto estudió el primer día?

7.32. Un bebé aumenta durante su primer mes de vida la quinta parte de su peso y en el segundo mes aumenta las cuatro quintas partes del peso del mes anterior. Si al acabar el segundo mes pesa 5.450 g, ¿cuánto pesó al nacer?

7.33. Un padre de 42 anos tiene tres hijos, de 9, 11 y 14 anos.

a) ¿AI cabo de cudnto tiempo la edad del padre sera igual a la suma de las edades de sus hijos?

b) ¿Cuánto tiempo tendría que pasar para que la suma de las edades de los hijos duplique a la edad del padre?

7.34. El encargado de una libreria gana al mes una cantidad flja de $600 mas $1,40 de comisión por cada libro que venda. ¿Cuántos tiene que vender para ganar un total de $999?



•

•

•

•

•

•

•

• A B

C

D E

F G

H

1

10

•

•

•

•

•

•

•

•A B

C

D E

F G

H

1

1

a) ¿Qué temperatura tenía cuando fue retirado?

b) ¿En cuánto tiempo alcanza a 0º?

c) ¿A qué temperatura llega a las 2 horas de haberlo retirado?

8. Interpretación de gráficos

8.1. En cada caso, escriban las coordenadas de los puntos A, B, C, D, E, F, G, H

8.2. En dos gráficos distintos, representen los siguientes puntos:

a) A(1; 2), B(2; 1), C(4; 3), D(3; 4), E(0; 3), F(4; 0) b) M(0; 0), N(0; –3), P(–2; 0), Q(2; –3), R(–4; 3); S(–2; –4)

8.3. En un mismo gráfico:

a) Marquen dos puntos, P, Q, de abscisa 4 cada uno de ellos, de modo que P esté en el primer cuadrante y Q en el cuarto cuadrante.

b) Marquen dos puntos, M, N, de ordenada -3,5 cada uno de ellos, de modo que M esté en el ter-cer cuadrante, y N en el cuarto cuadrante.

8.4. El siguiente gráfico muestra la variación de temperatura de un alimento congelado en función del tiempo transcurrido desde que fue retirado del congelador:

8.5. El precio de un bolígrafo en un quiosco es de $0,60. Calculen y escriban en la tabla siguiente el precio de los bolígrafos que se indican (esta tabla se llama tabla de valores).

Un punto en el plano queda localizado por sus coordenadas. Estas constituyen un par ordenado de números que se escribe entre paréntesis. El primero, x, (representado sobre la horizontal) se llama abscisa; el segundo, y, (representado sobre la vertical) se llama ordenada. Los ejes de coordenadas dividen al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes. Los signos de las coordenadas de un punto quedan determinados por el cuadrante en el que está el punto. Por ejemplo, en el cuarto cuadrante, la abscisa es positiva y la ordenada, negativa. Estas coordenadas se llaman cartesianas ortogonales o rectangulares. Además de las coordenadas cartesianas, se utilizan otras. Por ejemplo, para localizar lugares en la superficie terrestre, se usan coordenadas geográficas (latitud y longitud)..

y

x

A(3; 2)

3

2 •

I II

III IV

tiempo (horas)

Temperatura ºC



bolígrafos 0 1 2 3 4 5 6 7

precio

altura

Tiempo (min)

En el gráfico siguiente hemos dibujado unos ejes coordenados. En el eje horizontal re-presentamos el número de bolígrafos que compramos. En el eje vertical

representamos el precio de la compra. Para cada valor que le asignen al número de bolígrafos, marquen en su vertical el precio de esos bolígrafos con un punto rojo.

En la parte inferior de la escena asignen a la variable bolígrafos los valores de la tabla anterior y observen su precio, es decir, la altura donde se coloca el punto.

- ¿Qué mide un cuadradito cualquiera del eje horizontal?

- ¿Qué mide un cuadradito cualquiera del eje vertical?

- De acuerdo a la gráfica, ¿cuánto cues-tan 16 bolígrafos? ¿Cuántos bolígrafos dan por $3,60?

8.6. El gráfico muestra las tempera-turas a lo largo de un día de in-vierno en un pueblo del sur. En el eje horizontal hemos repre-sentado las horas del día y en el eje vertical, las temperaturas.

a) ¿Qué temperatura hizo a las 0 horas? ¿Y a las 10 horas?

b) ¿A qué hora había 0º?

c) ¿A qué hora se alcanzó la temperatura máxima del día?¿Cuál fue la temperatura máxima?

d) ¿A qué hora se alcanzo la temperatura mínima del día? ¿Cuál fue la temperatura mínima?

e) ¿En que periodo del día subió la temperatura? ¿En qué periodo bajó? ¿En qué periodos se man-tuvo constante?

f) ¿En qué período del día hubo una temperatura por debajo de 0º?

g) Construyan una tabla con las temperaturas que se registraron a lo largo del día.

Hora 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Temperatura

8.7. Se suelta un globo que se eleva, y al alcanzar cierta altura, estalla. El siguiente gráfico representa la altura, con el paso del tiempo, a la que se encuentra el globo hasta que estalla.

a) ¿A qué altura estalla? ¿Cuánto tarda en estallar desde que se suelta?

b) ¿Qué variables intervienen? ¿Qué escala se utiliza para cada variable?

c) ¿Qué altura alcanza el globo entre el minuto 0 y el 6? ¿Y entre el 6 y el 12?

Temperatura ºC

Tiempo (hs)

Precio



Taller de investigación matemática: Construyendo fórmulas

1. De patas, “Manos” y ruedas 1.1. ¿Cuantas patas tiene un gato (si no le falta ninguna)? ………….. ¿Si hay 3 gatos, ¿cuántas patas hay en total?

………….. ¿Y si hay 50 gatos? …………..

1.2. En el ejemplo anterior hay una cantidad constante y otra que varía. Cuál es la cantidad constante? …………. ¿Qué indica? …………………………………… ¿Qué indica la cantidad variable? ………………………………………………………………..…….

1.3. Es muy útil representar la cantidad variable mediante una letra (la más usada es x, pero puede ser cualquiera, por ejemplo, la inicial del nombre del objeto que varía); de este modo queda definida una fórmula. Si indicamos la cantidad variable de gatos con la letra x, ¿cómo podemos escribir la cantidad total de patas? ………………

1.4. Las manos de los “Manos”. En la historieta El Eternau-ta, de Oesterheld, entre los invasores a la Tierra apare-cen los “Manos”, seres apodados de esa manera por la extraña forma de sus manos, asimétricas y con muchos más dedos en una mano que en otra: En la derecha tie-nen 16, mientras que en la izquierda “solo” tienen 8. Si se reúnen 6 “Manos”, ¿cuántos dedos hay en total? …………….. ¿Y si se reúnen 45? ……………. ¿Cuál es la fórmula que da el número total de dedos de x “Ma-nos”? ……………………………. Busquen en una enciclopedia o en Internet información sobre El Eternauta y su autor, Héctor Germán Oesterheld. ¿Escribió otras historietas? ¿Cuáles?

1.5. Paseando en triciclo. Calculen la cantidad total de ruedas que hay con 5 triciclos. ……………. ¿Cuántas ruedas hay con n triciclos? …………………………

1.6. Calculen la cantidad de total de ruedas que hay con 6 autos, 4 bicicletas y 2 triciclos (sin contar ruedas de auxilio) ……………… Escriban la cantidad de ruedas que hay con A autos, B bicicletas y T triciclos …………………………………………………

2. Buscando regularidades 2.1. Calculen las siguientes sumas:

a) 1 + 2 = b) 1 + 2 + 3 = c) 1 + 2 + 3 + 4 =

d) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = e) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = f) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7=

2.2. Calculen los siguientes productos:

a) 2 3

2×

= b) 3 4

2×

= c) 4 5

2×

=

d) 5 6

2×

= e) 6 7

2×

= f) 7 8

2×

=

2.3. Un “príncipe” en una clase “molesta”. Según se cuenta, un maestro, para tener tranquilidad en una clase muy inquieta, puso un castigo: les dijo a sus alumnos que debían sumar todos los números naturales del 1 al 100. El maestro debe haber sentido un gran asombro cuando, casi al instante, un alumno le presentó la solución correcta. Este hecho aconteció en Alemania a fines del siglo XVIII, y el alumno se apellidaba Gauss (Luego fue un mate-mático tan importante que se lo conoce como “el príncipe de las matemáticas”, aunque, a decir verdad, la realeza mucho no tenía que ver con la matemática). Comparen los ejercicios 2.1 y 2.2. ¿Cómo creen que Gauss pudo haber hecho el cálculo? ¿Qué resultado obtu-vo?

2.4. Señalen qué número es: a) el siguiente de 2….. b) el siguiente de 15 …….

2.5. De qué forma podemos escribir el siguiente de n? ……………..

2.6. Volvamos a los ejercicios 2.1, 2.2 y 2.3. Si se suman los n primeros números naturales, ¿cuál es la fórmula que permite obtener el resultado?

2.7. Observen la siguiente secuencia con “tiras” de cuadraditos blancos y grises:

(los tres puntos indican que la secuencia continúa, manteniendo la regularidad).

…



a) La tira que tiene 32 cuadraditos grises, ¿cuántos cuadraditos blancos tiene? ……….…. b) Si la tira tiene n cuadraditos grises, ¿cuántos cuadraditos blancos tiene? …………….. c) La tira número 10, cuántos cuadraditos blancos y cuántos grises tiene? …………… d) La tira número x, cuántos cuadraditos blancos y grises tiene? ……………

2.8. a) Cuenten todos los cuadraditos blancos de las 3 primeras tiras. ¿Cuántos hay?........ b) Agreguen las dos tiras que siguen y cuenten todos los cuadraditos blancos. ……………… c) Si les piden que escriban la cantidad de cuadraditos blancos que tienen las 100 primeras tiras, ¿las piensan

dibujar? (se aburrirían bastante y gastarían unas cuantas hojas). ¿Se les ocurre otro método para calcular el número total?

d) ¿Qué fórmula permite calcular la cantidad de cuadraditos blancos que tienen en total las n primeras tiras? …………………………………

2.9. Se trata ahora de calcular la cantidad de cuadraditos grises de las primeras tiras. Comparen la relación que hay en cada tira entre los cuadraditos blancos y grises, y traten de inferir conclusiones para hallar la cantidad total de cuadraditos que tienen: a) las 3 primeras tiras …………………………… b) las 5 primeras tiras ……………………………… c) las 100 primeras tiras ………………………. d) las n primeras tiras ……………………………

3. Relacionando las operaciones 3.1. Hay que calcular el área de un terreno dividido por una pared, como

muestra la figura. Fernando sostiene que, para encontrar el área, debe multiplicar 10 x 12, porque a él le enseñaron que “la superficie de un rectángulo es igual a base por altura”. Marcela propone calcular el área de cada una las partes y sumar los resultados, porque ella dice que le enseñaron que para calcular una superficie de una figura dividida en partes puede hallar la superficie de cada una y sumar los resultados. Escriban el cálculo que hace Marcela ………………………. ¿Cómo son los resultados obtenidos? ……………….……..

3.2. En busca de las fórmulas. Supongamos que el terreno tiene las di-mensiones que muestra la figura. Con esos datos, escriban la fórmula que aplicó Fernando y la que utili-zó Marcela. ………………………………………………………………………………..… ¿Cómo son entre sí esas expresiones? …………….……… ¿Qué propiedad se está utilizando? ……………….…………

3.3. Los gastos de Alberto. Alberto trabaja en una oficina, y lleva el control de los gastos personales que hace de lunes a viernes con una planilla de cálculo (los gastos son fijos en cada mes). Completen la tabla:

Comida Bebida Viáticos Gasto total Suma del gasto semanal por rubro

diario semanal diario semanal diario semanal diario semanal Enero 4 20 3 15 2 10 9 45 (4+3+2).5 Febrero 5 4 2 Marzo 3 2 3 Abril 5 3 2

¿Qué propiedad relaciona la última con la penúltima columna? Escríbanla en símbolos

8 m

10 m

4 m

a

x

y



EL PRACTICÓN: Ejercicios de repaso para pruebas y exámenes previos

1) En un pueblo, hubo elecciones municipales. Los candidatos más votados fueron Reyes y García

Completar el cuadro y responder las preguntas:

a) ¿Cuántas personas votaron a Reyes? ...

b) ¿Cuántos hombres votaron a García?...

c) ¿Cuántos hombres votaron en total? ...

d) ¿Cuántas mujeres votaron a Reyes? ...

e) ¿Cuántas mujeres votaron en total? ...

2) Una empresa de publicidad hizo una encuesta entre 800 personas, menores y mayores, para promocionar una gaseosa. 460 de las personas toman la gaseosa. Hubo 420 menores. 250 mayores no toman la gaseosa.

Con los datos anteriores, completar la tabla y responder:

a) ¿Cuántos mayores fueron entrevistados?

b) ¿Cuántos mayores toman la gaseosa?

c) ¿Cuántos menores la toman?...

d) ¿Cuántos menores no la toman?...

e) ¿Cuántos en total –menores o mayores– no la toman?...

3) Escribir un ejemplo para verificar que no se cumple la propiedad asociativa en la suma de números decimales.

4) a) Escribir los múltiplos de 7 menores que 100

b) Escribir los divisores de 24

5) Calcular el divisor común mayor y el múltiplo común menor de:

a) 8, 16, 20 b) 2, 5, 10 c) 36, 40, 12 d) 28, 20, 30

6) Marcela reparte entre 3 amigas 86 caramelos, de modo que a cada una le toca la misma cantidad. ¿Cuántos caramelos recibe cada una y cuántos le quedan a Marcela?

7) En un taller de plástica hay 41 alumnos y el profesor les dice que formen el mayor número posible de equipos con 3 alumnos y uno con los restantes. ¿Cuántos equipos se forman en total? ¿Alguno de ellos tiene una cantidad distinta de alumnos? En tal caso, ¿por cuántos está formado?

8) Indicar si las siguientes divisiones son exactas o no y justificar las respuestas:

a) 3207 : 3 b) 13428 : 4 c) 2391 : 6

9) Calcular, utilizando calculadora científica:

a) 2,5 2 1,4 2,2 2+ × + × b) 2

2

3,1

1)25,23( +×+

10) a) Aproximar por redondeo al centésimo el número 3,6556

b) Aproximar por redondeo al entero el número 6,27

11) Completar el cuadro:

Número opuesto valor anbsoluto siguiente anterior –32 –17

12) Calcular: 12 : (–6) + (–3 . 4 + 3 . 2) – (10 : 5 – 8) . 2

13) Resolver la siguientes ecuaciones:

a) 4.(x + 3) = 18 b) 4.x + 2 = 16 c) x : 2 – 3 = 4 d) (x + 4) : 3 = 5

Menores Mayores TOTAL

Toman

No toman

TOTAL

Hombres Mujeres TOTAL

Reyes 44 120

García 43 114 82 110

Otros 16 130 32 450

TOTAL 193 696



14) Hallar tres fracciones equivalentes a: a) 5/2 b) 8/3

15) Pasar a fracción: a) 3,5 b) 0, 4 c) 1,2 d) 0,25

16) Suprimir paréntesis, corchetes, llaves y calcular:

a) ( ){ }2 7 4 1 ( 3 6) 8⎡ ⎤− − + − + − + − − + −⎣ ⎦ b) 1 1 1 1

16 2 2 3

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪− − + − −⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

c) 1 1 1

2 14 2 2

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞⎪ ⎪− − + −⎨ ⎬⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

d) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+−− 2

651

32

3121

17) Calcular:

a) ( 30) : ( 10).( 2)− − − b) ( 14).( 2) :( 7)− + −

18) Calcular:

a) 3 [24 :( 4) 3 ( 2) 4 ( 3)]− − − − − − b) 12 :( 6) ( 3 . 4 3 . 2) (10 :5 8).2− + − + − −

19) Aplicar propiedad distributiva y calcular:

a) (–9) . (–7 + 6) b) (+56 – 49) : (–7)

20) A un número se le suma el consecutivo; luego se calcula la quinta parte de esa suma y se obtiene como resultado 11. ¿Cuál es el número?

21) La suma de tres números consecutivos es 48. ¿Cuáles son los números?

22) ¿Cuál es el número cuyo duplo más su triplo es igual a 30?

23) Un municipio distribuyó $36.000 entre las escuelas A, B, y C, de manera que A recibió el doble de B y B el triple que C. ¿Cuánto dinero recibió cada una?

24) Ariel tenía ahorrada una cierta cantidad de dinero y le regalaron $40 más; entonces pensó: Si triplico la cantidad de dinero que tengo ahora, me alcanza justo para comprarme la bicicleta, que cuesta $165. ¿Cuánto dinero tenía Ariel ahorrado originariamente?

25) Una herencia de $24000 se reparte entre una madre y sus dos hijos de tal forma que el hijo recibió la mitad de lo que recibió su hermana y, ésta el doble de su madre. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

26) Con 10 latas de pintura puedo pintar una pared de 5 m de altura en toda su extensión. ¿Cuántas latas necesitaré si la pared debe ser pintada hasta los tres metros?

27) Un avión vuela a 500 km/h recorre cierta distancia en 4h 15min. ¿A qué velocidad debe volar para cubrir la misma distancia en 3h 20min?

28) ¿Cuánto valen los 5/8 de un terreno de 12520 m2 de superficie a razón de $250 el m2?

29) La pileta de un club se llena habitualmente en 14 horas con 8 canillas que arrojan el mismo caudal de agua cada una. Un día tres de ellas son desactivadas por reparaciones. ¿Cuánto tiempo tardarán en llenarla las canillas que quedan?

30) En el fondo de una casa quiere construirse un quincho rectangular, como muestra la figura. Uno de los lados debe medir 6 m y el perímetro debe ser de 20 m.

a) ¿Cuánto deben medir los otros lados?

b) ¿Cuál será el área (superficie) del quincho?

31) Calcular:

a) 9 10 2 4 20. :

2 3 5 6 3+ + b) 2 – 0,3 . 0,5 – [– 0,5 (–4)] c)

612.

616 +−

6 ma b

cd



Fórmula: . .

100.C R T

Iut

=

d) 1 5 23 .

3 9 3+

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠ e) 3 1 2

: ( 2) ( 1)4 2 3

⎡ ⎤− − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

f) ( )1 1 11 2 :

2 3 6⎡ ⎤⎛ ⎞− − − −⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦ g) 6 1 3 1

3 : . 25 2 2 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

32) Resolver las ecuaciones:

a) 20)13(4 −=−− x b) 4x – (6x – 3) = 1 c) –2(2x – 4) + 8 = –0,8

33) Hallar x

a) 3 4

210x +

= b) 2 (4 5) 2 5 3( 2)x x x x− + + = − −


a) 5 1 2

3 3x −

= b) 21

31

43

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +x

c) ( ) 23. 2 (0,1 0,2) 2 ( 2)x x− − − = − − d) 1

(6 1) 1 23

x x− + = −

e) 3 1 4 2 32 6 3 5 5

x x⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

f) 121)84(

41

=+−− x

35) Un poste tiene pintados los 2/6 de blanco, la mitad de lo que queda es azul y faltan pintar 60 cm. ¿Cuál es la medida del poste?

36) a) Hallar35 de 200 b) Hallar el 15% de 400

37) En una empresa de 180 empleados, los 3/4 son solteros.

a) ¿Qué cantidad de empleados son solteros?

b) ¿Qué porcentaje hay de empleados solteros?

38) Un pantalón costaba $25 y ahora cuesta $27. ¿Qué porcentaje de aumento tuvo?

39) Un libro nuevo costaba $26 y usado se vende a $20. ¿Qué porcentaje de rebaja tuvo?

40) ¿Qué porcentaje de comisión cobró un vendedor si sobre una facturación de $2520, recibió $201,60 por ese concepto?

41) En una escuela de 1200 alumnos, el 52% son varones.

a) ¿Cuál es el porcentaje de chicas?

b) ¿Cuántos alumnos varones y mujeres hay en la escuela?

c) Si el 60% de los varones juegan al fútbol, ¿cuántos varones practican el deporte mencionado?

42) Javier compró una radio por la que pagó $43. El precio incluía el 21% de impuesto al valor agregado (IVA). ¿Cuál era el precio de la radio sin IVA?

43) Se hace un plazo fijo por $5000 durante 60 días al 3% mensual. ¿Qué ganancia se obtiene?

44)

A B

• •

1 1

Escribir las coordenadas de los puntos A y B y marcar en el gráfico cartesiano los puntos C y D

A( ... ; ... ) B( ... ; ... )

C(0; –2) D(–3; 2)



d = 6

a = 4

b

45) Marcar en un gráfico cartesiano los puntos: A(–4; –2) B(0; 2) C(–3; 0) D( 1; –3)

46) Representar en el plano: A(5; –2) B(4; 3) C(–1; –3) D(–5; 2)

47) Completar la tabla para que la función sea directamente proporcional. Escribir la constante y la fórmula

48) La tabla representa la cantidad de metros que recorre una tortuga en un cierto tiempo (es una tortuga caminadora, que siempre va a la misma velocidad). Completar la tabla, escribir la constante y la fórmula

49) En un rectángulo, un lado mide 6 m y el otro, 8 m. Hallar cuánto mide la diagonal.

50) Calcular cuánto mide el cable atado al poste:

51) La diagonal de un rectángulo mide 6 cm y uno de los lados, 4 cm. Hallar la medida del lado restante

52) Calcular:

a) 2

34

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠ b)

213

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠ c)

213

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 1

13

−⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

e) 3

32

−⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

53) Aplicar propiedades de la potenciación y simplificar:

a) ( )43 2 2. :a a a b) ( )34 10. :x x x c) ( )42 3 3. . :x x x x

d) ( ) ( ) ( )2 4 102 . 2 : 2⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎣ ⎦

e) ( ) ( ) ( )32 4 14

3 . 3 : 3⎡ ⎤− − −⎢ ⎥⎣ ⎦ f)

2 3 41 1 1 1

. . :3 3 3 3

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

54) En los casos en que sea posible, hallar el resultado entero o fraccionaro de cada una de las siguientes raíces cuadradas:

a) 25 b) 4− c) 144 d) 4981

e) 169

− f) 0

55) Simplificar los índices y exponentes de las siguientes raíces y hallar el resultado:

a) 43 b) 4 810 c)

6 227

56) Aplicar propiedades y calcular:

a) 15 527 b)

4 123 c) 75 : 3 d) 3. 12

57) Calcular:

a) 2(0,5 . 0,1 1,55)

0,75 1−−

b) ( ) ( )22 25 3 12 : 2 .3 : 3⎡ ⎤− + − −⎣ ⎦

58) Calcular:

a) 30,62 2,15 0,6 .12+ − b) 1

231 0,7 3

2

−

−⎛ ⎞− − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

x 2,4 4,8 5 y 12 5

X (minutos)

Y (metros)

1,2 4,8 3,3

9,6

3 m

4 m



c) ( )2

32196 1 1. 3

9 2 2⎛ ⎞

− +⎜ ⎟⎝ ⎠

d)

53

1

7 31 . 1 . ( 1)

8 4

3 91 . 1

2 16

−

⎛ ⎞− + − −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

59) Calcular:

a) ( ) 2 11 23 3 3

3 9− −⎛ ⎞

− − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

b) 2

5 3 7 1 1 21 . 6 .

3 4 3 1 2 7

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

c) 1

23 71 3

2 9

−

−⎛ ⎞− − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

d) 1

0 21 77 2 : ( 3)

2 9

−−⎛ ⎞⎛ ⎞ − − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

60) Sacar factores comunes:

a) 3xy – 6x – 9xy – 3x b) 21ab – 18a + 15abc

61) Desarrollar y hacer los cálculos posibles:

a) (x + 1)2 b) (3x – 2)2 c) (2a + 3) (5a – 2)

62) Hallar el valor numérico de 3x2 + 2xy – y para x = –2, y = –1

63) Datos: α = 2x + 5º ; β = 2x – 25º ; α y β son suplementarios. Calcular x, α, β.

64)

65) Determinar el valor de δγβα ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,x :

Datos: 15ºˆ

ˆ 2 39º

x

x

α

β

= +⎧⎪⎨

= +⎪⎩

66) Determinar el valor de 1 2 3 4, , ,ˆ ˆ ˆ ˆα α α α . Justificar.

Datos: A//B, C//D

ˆ 120º40'β

⎧⎪⎨

=⎪⎩

67) Determinar el valor de βα ˆ,ˆ,x :

Datos: '24

º305ˆº182ˆ

//

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=

+=

x

xBA

β

α

α β

δ γ

α β A B

a) Datos: α = 2x – 12º ; β = x + 30º; A//B. Calcular x, α, β. Justificar

b) Datos: α = 5x – 24º ; β = 3x + 32º; A//B. Calcular x, α, β. Justificar

β

α

A

B

C D

α4

β α1

α3 α2

A

B

C D

β α

B

α

β

A



68) Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, mide 50º25'. ¿Cuánto mide el otro?

69) Dos ángulos interiores de un triángulo escaleno miden respectivamente 67º18" y 100º 20' 12". Calcular el tercer ángulo interior y los ángulos exteriores.

70) Calcular el valor de los ángulos interiores y exteriores de un triángulo rectángulo isósceles.

71) Uno de los ángulos de la base de un triángulo isósceles mide la cuarta parte del ángulo opuesto a la base. ¿Cuánto mide cada uno?

72) Completar el cuadro teniendo en cuenta el esquema.

73) En cada uno de los triángulos abc, hallar el valor de los ángulos interiores ˆˆ ˆ, ,a b c

74) Calcular en el triángulo de la figura.

75) Dado el triángulo isósceles de la figura, calcular el valor de los ángulos

interiores cb ˆ,ˆ

Dato: â = 25º 40’

76)


a) 2 3 2 1x− − − = b) 3 3 7x − = −

78) Resolver las ecuaciones

a) 2512 =+x b)

3 52

4 2x − = c)

1 12 1

2 4x − − = −

d) ( )22 1 1 26x − + = e) 2

1 71 1

2 9x⎛ ⎞− = +⎜ ⎟

⎝ ⎠ f)

221 1

1 12 4

x x⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠

g) 2

1 71 1

3 9x

⎛ ⎞− = +⎜ ⎟

⎝ ⎠ h)

23 1 1 32 2 2 4

x⎛ ⎞

− + =⎜ ⎟⎝ ⎠

i) 1 1

2 3 22 2

x⋅ + − = −

α1 α2 α3 β1 β2 β3

70º 70º 110º 130º

58º 120º

a b

c

β Datos:

ˆ 152 28'

ˆtriángulo rectángulo enbac a

β⎧ = °⎪⎨⎪⎩

Hallar ˆˆ ˆ, ,a b c . Justificar

a b

c

b

α c a

Datos: 128ºˆ

ˆ 28º

ˆ 2 14º

b x

c x

α =⎧⎪⎪ = +⎨⎪ = +⎪⎩

Hallar ˆˆ ˆ, ,a b c

a) Datos:

a = 2x + 20º , b = x + 14º, c = x – 10º

b) Datos: ˆ 42a x= + ° , ˆ 5 20b x= − ° , ˆ 4 18c x= + °

a

b c

α1

α2 α3

β1

β2

β3



Más problemas

79) El producto de dos números enteros a, b es -20. Encontrar los posibles valores de a y b.

80) Cinco amigos han contribuido con $38 cada uno para comprar dos regalos. Si el precio de uno de los regalos es de $ 65.¿Cuál es el precio del otro?

81) Un verdulero compra 1 cajón de tomates por $84; 1 bolsa de zanahorias por $13 y 5 jaulas de le-chuga. En total paga $ 127. ¿Cuánto pagó por cada jaula de lechuga?.

82) Javier trabaja en una casa de computación. Tiene un sueldo básico de $ 320 y además, una comi-sión de $25 por cada computadora que vende.

a) Completen el cuadro

b) Si ahorra todo lo que le pagan ¿cuántas debe vender para comprarse una heladera de $700?

c) Un mes vende 24 computadoras. ¿Cuáles de las siguientes expresiones podemos utilizar para calcular el sueldo total de ese mes?

1) 320 + 25 . 24 2) ( 320 + 25 ). 24 3) 320 . 24 + 25 . 24

d) Si un mes vende x computadoras, ¿qué fórmula puede escribirse para calcular el sueldo?

83) El perímetro de un rectángulo es de 600 m. Un lado mide el doble del otro. ¿Cuánto mide cada uno?

84) El día 20 de marzo se encuentran en el puerto de Buenos Aires los barcos de bandera italiana, es-pañola y griega. Los de bandera italiana llegan cada 20 días, los de bandera española cada 18 días y los griegos cada 90 días. ¿Cuándo volverán a encontrarse los tres?

85) La suma de tres números impares consecutivos es 411. Calculen esos números.

86) Pienso un número, le resto el doble del anterior a él y obtengo 10 ¿qué número pensé?.¿Cuál es el anterior a él?

87) Daniela tiene 3 lápices más que Soledad. Si entre las dos suman 27 lápices; ¿Cuántos tiene cada una?.

88) Roberto tiene dos hijos, Marcelo y Horacio de 11 y 8 años respectivamente. Si a la edad del padre le añadimos la de Marcelo y, a esta suma le quitamos la edad de Horacio, se obtiene el número 45 . ¿Qué edad tiene Roberto?

89) Recorrí la tercera parte de un camino y todavía falta para llegar 80 km. ¿Cuál es la expresión que debo plantear para hallar la longitud del trayecto?

x3

80= 3x + 80 =x x x+

=80

3

x x3

80+ =

90) Señalen la opción correcta en el cuadro. El área de un cuadrado se calcula con la fórmula A = 2.

Si el lado se duplica .....

El área se duplica.

El área se incrementa en 2

El área se multiplica por 4.

Ninguna de las anteriores.

91) Una tabla de 320 cm se divide en dos partes tal que una de ellas es 80 cm más corta que la otra. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones usarían para encontrar la longitud de la parte más corta?

320 = x + x+ 80 320 : 2 = x - 80 320 : 2 = x+ 80 320 - 80 = x : 2

Computadoras 5 10 30

Sueldo total



Índice

1. NÚMEROS NATURALES. OPERACIONES BÁSICAS 1

2. POTENCIAS. RAÍZ CUADRADA 4

3. FIGURAS GEOMÉTRICAS 6

4. DIVISIBILIDAD 8

5. NÚMEROS DECIMALES. FRACCIONES. 10

6. NÚMEROS RELATIVOS (NÚMEROS CON SIGNO) 14 Números enteros y decimales relativos 14 Representación gráfica en un eje 15 Valor absoluto de un número relativo. Números opuestos 16 Adición y sustracción de relativos 16 Sumas algebraicas 18

7. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RELATIVOS. ECUACIONES 20 Ecuaciones 21

8. INTERPRETACIÓN DE GRÁFICOS 23

TALLER DE INVESTIGACIÓN MATEMÁTICA: CONSTRUYENDO FÓRMULAS 25 1. De patas, “Manos” y ruedas 25 2. Buscando regularidades 25 3. Relacionando las operaciones 26

EL PRACTICÓN: EJERCICIOS DE REPASO PARA PRUEBAS Y EXÁMENES PREVIOS 27

Documents

1. Números naturales. Operaciones básicas - geocities.ws · Al dividir 1282 por cierto número, se obtiene 23 de cociente y 17 de resto. ¿Cuál es el número? ¿Cuál es el número?