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1 Números racionales
2Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
E l desarrollo del sentido numérico iniciado en cursos previos continúa en este con la ampliación de los conjuntos de números a utilizar y la consolidación de los ya estudiados. Esto se pone de manifiesto al establecer relaciones entre distintas formas de representación numérica, como es el caso de fracciones, decimales y porcentajes. Es especialmente importante una comprensión de las operaciones que permita el
uso razonado de las mismas, en paralelo con el desarrollo de la capacidad de estimación y cálculo mental que facilite ejercer un control sobre los resultados y posibles errores y no solo la consecución de los algoritmos de cálculo. Se incrementa en este curso, y en particular en esta unidad, el dominio del uso de la calculadora científica.
Será importante poner énfasis en la funcionalidad de los aprendizajes. Se tratará de aplicar los conceptos y procedimientos adquiridos en la resolución de cuestiones cotidianas del ámbito personal, social y laboral, en las que las matemáticas son fundamentales, puesto que habrá que traducir situaciones habituales al lenguaje matemático utilizando números, gráficos, tablas, etc., realizar operaciones y facilitar la información resultante de forma precisa y clara. Además, para lograr un aprendizaje significativo es preciso relacionar los conocimientos y experiencias previos del alumnado con los nuevos. Por ello, los contenidos de la unidad se presentan partiendo de problemas extraídos de situaciones co-tidianas, de otras ciencias y de contextos sociales.
En la mayoría de las actividades propuestas el alumnado trabajará varias competencias al mismo tiempo.
Comunicación lingüística (CL) El lenguaje matemático está presente en los medios de comunicación a través de datos numéricos, tablas, gráficas, porcentajes, etc. A lo largo de la unidad se desarrollará la comprensión e interpretación de textos imbricados en la realidad social, científica y tecnológica.
Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)La competencia matemática requiere de conocimientos sobre números y medidas, así como de las operaciones y representaciones matemáti-cas, que se trabajan a lo largo de la unidad, contribuyendo al desarrollo del pensamiento científico.
Competencia digital (CD)A lo largo de la unidad se muestra la funcionalidad de la calculadora científica.
Competencias sociales y cívicas (CSC)Para poder participar plenamente en la sociedad actual es fundamental adquirir los conocimientos que permitan comprender y analizar de manera crítica modelos y pautas comunes que se presentan en la publicidad y los medios que incitan al consumo. En esta unidad se trabaja dicha competencia en la sección de Matemáticas vivas.
Competencia aprender a aprender (CAA)De modo progresivo se plantean situaciones que obligan a trabajar contenidos diversos que contribuyen a integrar conocimientos vistos en otros cursos e incluso en otras materias, condición imprescindible para que el aprendizaje resulte significativo. A este respecto se propone el análisis de una factura telefónica.
Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)En la resolución de problemas confluyen la funcionalidad de los aprendizajes, las destrezas de razonamiento y las estrategias de resolución gestionando los propios conocimientos y habilidades para alcanzar el fin propuesto. Se desarrolla especialmente en varias de las últimas acti-vidades de cada sección (Investiga o Desafío).
El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de 2 semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos.
ObjetivosLos objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:
❚❚ Emplear las fracciones y los números decimales, así como sus operaciones, en distintos contextos.❚❚ Expresar un número decimal exacto o periódico en forma de fracción, y viceversa.❚❚ Clasificar números reales en los distintos conjuntos numéricos.
NÚMEROS RACIONALES1
3
1Números racionales
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
❚❚ Construir intervalos que describan conjuntos numéricos definidos por desigualdades.❚❚ Aproximar un número por truncamiento y por redondeo a un orden determinado.❚❚ Estimar los errores absoluto y relativo cometidos al trabajar con números aproximados.❚❚ Comprender y resolver problemas en los que es necesario el uso de números racionales.❚❚ Realizar una tarea de trabajo cooperativo utilizando números racionales.
Atención a la diversidadEl profesor podrá diseñar itinerarios de aprendizaje diversificados en la unidad con la inclusión de actividades de refuerzo y de ampliación que aborden los mismos conocimientos que se presentan en la unidad situando el objeto a estudiar con distintos niveles de dificultad.
Material complementarioEn el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de problemas relacionadas con el estudio de los distintos tipos de números. Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre números y se proponen nuevas actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.
Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con los números enteros pueden acceder a la lección 1066 de la web www.mismates.es.
P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D
Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluablesRelación de
actividades del libro del alumno
Competencias clave
FraccionesComparación de fracciones
1. Simplificar y comparar fracciones. 1.1. Identifica fracciones equivalentes.1.2. Ordena y representa fracciones.
1, 2, 11, 55, 565-10, 35-37, 57, 58CM1, CM2
CMCTCDCAA
Operaciones con fracciones
2. Realizar operaciones con fracciones.
3. Resolver problemas extraídos de situaciones reales empleando las fracciones.
2.1. Resuelve operaciones combinadas con fracciones.
3.1. Soluciona problemas empleando una fracción como operador. 3.2. Aplica las fracciones a la resolución de problemas.
12-1420, 2159-623, 4, 1563, 66 16-19, 22, 64, 65, 67, 68, 75, 76
CLCMCTCSCCSIEE
Fracciones y números decimalesTipos de números decimalesFracciones generatrices
4. Ordenar números decimales.
5. Operar con números decimales.
6. Resolver problemas aritméticos empleando números decimales.
7. Expresar un número decimal exacto o periódico en forma de fracción y viceversa.
4.1. Compara números decimales e interpola un número decimal entre dos dados.
5.1. Realiza operaciones combinadas con números decimales.
6.1. Resuelve problemas en los que intervienen números decimales.
7.1. Transforma fracciones en números decimales. 7.2. Calcula la fracción generatriz de un número decimal exacto o periódico.
29, 34
31-33, 73, 74
30, 82, 84 Matemáticas vivas 1-3 23-25, 28, 69-71 26, 2772
CLCMCTCDCAACSIEE
Números racionales e irracionalesIntervalos
8. Representar números racionales.
9. Identificar los distintos tipos de números reales.
10. Definir y expresar intervalos de números reales.
8.1. Emplea el teorema de Tales para representar números racionales.
9.1. Clasifica los números reales en los diversos conjuntos numéricos.
10.1. Identifica y representa intervalos en la recta real.10.2. Escribe en forma de intervalo conjuntos numéricos definidos por desigualdades y viceversa.
35-37
38-41, 4577, 78
4279, 8043, 44
CMCTCDCAA
AproximacionesError absoluto y error relativo
11. Hallar la aproximación por truncamiento y por redondeo a un orden determinado.
12. Calcular el error absoluto y relativo cometido al aproximar números.
11.1. Aproxima números decimales a un orden determinado.
12.1. Estima resultados y errores en la solución de problemas.
46, 49, 81 Matemáticas vivas 3, Trabajo cooperativo47, 4850-5482-85
CLCMCTCDCSCCAACSIEE
MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD
¿Qué tienes que saber? • Operaciones con fracciones • Fracción generatriz • Aproximaciones
AvanzaRepresentación gráfica de números
irracionales tipo n
Cálculo mentalEstrategia para comparar fracciones
PARA EL PROFESOR
MATERIAL COMPLEMENTARIO
PARA EL ALUMNO
Actividades de RefuerzoActividades de Ampliación
Propuesta de Evaluación APropuesta de Evaluación B
Presentación de la unidad Ideas previasRepasa lo que sabes
Matemáticas en el día a díaContenido WEB. Tablas y reglas de cálculo
1. Fracciones • Comparación de fracciones
2. Operaciones con fraccionesVídeo. Operaciones con fracciones
3. Fracciones y números decimales • Tipos de números decimales • Fracciones generatrices
4. Números racionales e irracionales • Intervalos GeoGebra. Representación de números
racionales
5. Aproximaciones • Error absoluto y error relativo
Actividades finales Actividades interactivas
MisMates.esLección 1066 de la web www.mismates.es
Comprende y resuelve problemas
1 Números racionales
Matemáticas vivasInterpretación de facturas • Importancia de los números reales y
las operaciones aritméticas en la vida cotidiana
Trabajo cooperativo. Tarea cuya estrategia es Búsqueda de información, de Mel Silberman
Practica+
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO4
5
1Números racionales
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Sugerencias didácticas
La unidad se inicia proponiendo unos ejercicios de prospec-ción con los que se pretende recordar aquellos contenidos mínimos de aritmética que consideramos imprescindibles para comprender los conceptos que más tarde se presentan.
Es evidente que el nivel de los estudiantes al comenzar la exposición del tema no es el mismo para todos. Por ello es necesario homogeneizar los conocimientos relativos a con-ceptos y algoritmos de cálculo con números reales, pues los contenidos aquí tratados aparecerán a lo largo del curso en distintas ocasiones.
En todos los apartados hay gran profusión de ejemplos re-sueltos, casi todos relacionados con situaciones reales, de modo que podremos trabajar los contenidos de la unidad planteados en diversos contextos de la vida real.
Contenido WEB. GEROLAMO CARDANO
En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recur-so TIC para complementar la página de inicio con información relativa a la unidad. En este caso se explican los usos antiguos y actuales de las tablas y reglas de cálculo. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar la unidad o como ampliación para aquellos alumnos que muestren un interés especial.
5
1En multitud de ocasiones, los números enteros no bastan para expresar la cantidad que deseamos representar. Por ejemplo, la elaboración de una tarta en la que hubiera que incorporar a la masa medio vaso de aceite, o el alquiler de una pista de tenis por tres cuartos de hora; en ambos casos empleamos las fracciones para identificar valores numéricos que no son enteros.
NÚMEROS RACIONALES
REPASA LO QUE SABES1. Ordena de menor a mayor estos números enteros.
7 −3 −19 11 15
2. Efectúa las siguientes operaciones.
a) 3 ⋅ (9 − 15) + (7 + 4) ⋅ (3 − 5)
b) (1 − 3 + 2 − 4) ⋅ (−1 + 3 − 2 + 4)
c) 5 ⋅ (−2) ⋅ (−8) − (−4) ⋅ 5
d) 25 : (−5) + 8 − (−2) + (−7) − (−15)
3. Factoriza estos números como producto de números primos.
a) 180
b) 255
c) 330
4. ¿Cuántos divisores positivos tiene 330?
5. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los números 1 155 y 588.
En multitud de ocasiones, los números enteros no bastan para expresar la cantidad que deseamos representar. Por ejemplo, la elaboración de una tarta en la que hubiera que incorporar a la masa medio vaso de aceite, o el alquiler de una pista de tenis por tres cuartos de hora; en ambos casos empleamos las fracciones para identificar valores numéricos que no son enteros.
1.
IDEAS PREVIAS
❚ Números enteros.
❚ Operaciones con números
enteros.
❚ Divisibilidad.
❚ Máximo común divisor
y mínimo común
múltiplo.
Antes de las calculadoras electrónicas que podemos utilizar hoy en día, los matemáticos se servían de tablas y reglas de cálculo para agilizar la resolución de problemas.
Matemáticas en el día a día ][mac3e1
Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades
1. Ordena de menor a mayor estos números enteros.
7 −3 −19 11 15
−19 < − 3 < 7 < 11 < 15
2. Efectúa las siguientes operaciones.
a) 3 ⋅ (9 − 15) + (7 + 4) ⋅ (3 − 5) c) 5 ⋅ (−2) ⋅ (−8) − (−4) ⋅ 5
b) (1 − 3 + 2 − 4) ⋅ (−1 + 3 − 2 + 4) d) 25 : (−5) + 8 − (−2) + (−7) − (−15)
a) 3 ⋅ (−6) + 11 ⋅ (−2) = −18 − 22 = −40 c) −10 ⋅ (−8) − (−20) = 80 + 20 = 100
b) (−4) ⋅ 4 = −16 d) −5 + 8 + 2 − 7 + 15 = 13
3. Factoriza estos números como producto de números primos.
a) 180 b) 255 c) 330
a) 180 = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 b) 255 = 3 ⋅ 5 ⋅ 17 c) 330 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11
4. ¿Cuántos divisores positivos tiene 330?
A partir de la factorización de 330 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11 obtenemos los divisores positivos de 330:
1 2 3 5 6 10 11 15
330 165 110 66 55 33 30 22
Tiene 16 divisores positivos.
5. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los números 1 155 y 588.
1 155 = 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11
588 = 22 ⋅ 3 ⋅ 72
m.c.d. (1 155, 588) = 3 ⋅ 7 = 21
m.c.m. (1 155, 588) = 22 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 72 ⋅ 11 = 32 340
1 Números racionales
6Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
1. Fracciones
7
1Actividades1 Números racionales
6
Expresa en forma de fracción la parte coloreada de estas figuras.
a) c)
b) d)
Halla la fracción equivalente a 35
91 cuyo numerador
es 5.
1
2
¿Con cuántos euros salió Eva de casa si, después de
gastar 2
7 de su dinero, le quedan aún 15 €?
¿Cuál es la capacidad de una vasija si, tras sacar 5
7
de su contenido, quedan 34 litros?
3
4
La capacidad de un vaso es 2
5 de litro, y la de una
botella es 1
3 de litro. ¿Cuál de los dos recipientes
tiene más capacidad?
Ordena de menor a mayor estas fracciones.
1
4
5
12−
11
48
15
36−
7
9−
Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones, sin reducirlas a común denominador.
a) 512
403
512
401
512
402
512
404
b) 9 762
9 123
9 762
9 121
9 762
9 124
9 762
9 119
Dados tres números naturales, a, b y c, tales que
b < c, ¿qué fracción es mayor: a
b
a
co ?
Ordena de menor a mayor estas fracciones, sin reducirlas a común denominador.
35
31−
23
18
7
11−
11
13
5
6
7
8
9
Sitúa entre dos números enteros consecutivos los siguientes números racionales.
a) 23
5 b)
19
8 c)
8
9
10
1. FRACCIONES
En un partido de baloncesto, el base del equipo local ha anotado 64 de los 80
puntos marcados por su equipo. Es decir, ha conseguido 64
80 de la puntuación total.
Utilizamos una fracción para representar el número de aciertos con respecto al total.
Una fracción es un cociente a
b de dos números enteros, donde b ≠ 0.
Todos los números que se pueden escribir como fracción reciben el nombre de números racionales.
Las fracciones 64
80 y
80
100 representan
el mismo número, es decir, el base tiene un 80 % de acierto. Son fracciones equivalentes.
También la fracción 4
5 es una
fracción equivalente a ellas; además, es una fracción irreducible, porque no puede simplificarse.
Se dice que una fracción m
n es irreducible si m.c.d. (m, n) = 1.
Aprenderás a… ● Utilizar fracciones en diferentes contextos.
● Reconocer los números racionales.
Lenguaje matemáticoAl conjunto de los números racionales lo designamos por la letra .
Presta atención
Toda fracción negativa es menor que cualquier fracción positiva.
Dos fracciones a
b y
c
d son
equivalentes si: a ⋅ d = b ⋅ c
Recuerda
} Determina la fracción irreducible equivalente a esta otra: 200
225Solución
Calculamos el máximo común divisor del numerador y el denominador:
m.c.d. (200, 225) = 25
Dividimos el numerador y el denominador por 25: =200
225
8
9
EJERCICIO RESUELTO
} ¿Cuánto pesaba una pizza si, después de comernos cinco octavos de la misma, quedan 150 g?
Solución
Después de comernos 5
8 de pizza, quedan
3
8 de la
misma.
Entonces 3
8 de la pizza pesan 150 g, y
1
8 pesa:
150 : 3 = 50 g
La pizza completa, esto es, ocho octavos de pizza, pesa 50 ⋅ 8 = 400 g.
EJERCICIO RESUELTO
} Sitúa la fracción 29
12 entre dos números enteros
consecutivos.
Solución
Situamos el numerador, 29, entre dos múltiplos consecutivos del denominador: 24 < 29 < 36
Dividimos estas desigualdades por el denominador y obtenemos el siguiente resultado:
24
12
29
12
36
12< <
En conclusión: 229
123< <
EJERCICIO RESUELTO
Comparación de fraccionesEn el siguiente partido que disputó el equipo local, el base consiguió 78 de los 96 puntos que obtuvo su equipo. Para saber en qué partido fue más efectivo,
comparamos las siguientes fracciones: 64
80y
78
96
Las reducimos a común denominador: = =64
80
384
480y
78
96
390
480
Como 384 < 390, resulta que = =64
80
384
480
390
480
78
96< , esto es:
64
80
78
96<
De este modo, el base fue más efectivo en el segundo partido.
Para comparar dos fracciones, se reducen a común denominador, y es menor aquella cuyo numerador es menor.
DESAFÍO
Dados dos números naturales distintos no nulos, a y b, ¿son equivalentes las fracciones ++
a
b
a
by
1
1?11
m.c.m. (80, 96) = 480
Soluciones de las actividades1 Expresa en forma de fracción la parte coloreada de estas figuras.
a) b) c) d)
a) 1
2 b)
7
9 c)
1
3 d)
2
3
2 Calcula la fracción equivalente a 35
91 cuyo numerador es 5.
35
91=
5
13
3 ¿Con cuántos euros salió Eva de casa si, después de gastar 2
7 de su dinero, le quedan aún 15 €?
Como 15 € son 5
7 del dinero de Eva,
1
7 de ese dinero son 3 €. En consecuencia, Eva salió de casa con: 7 ⋅ 3 = 21 €
Sugerencias didácticas
El alumno ya ha trabajado con fracciones en cursos previos, por lo que le resultará sencillo este epígrafe. En él se explica cuándo dos fracciones son equivalentes y cómo encontrar la fracción irreducible equivalente a una dada.
Es conveniente que al finalizar la sección el alumno sepa simplificar fracciones en un solo paso, esto es, dividiendo el
numerador y el denominador de la misma por el máximo común divisor de ambos.
También se repasa el procedimiento para comparar frac-ciones expresándolas con el mismo denominador positivo.
7
1Números racionales
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
4 ¿Cuál es la capacidad de una vasija si, tras sacar 5
7 de su contenido, quedan 34 litros?
Como 34 L son 2
7 de la capacidad de la vasija,
1
7 son 17 L. Así, la capacidad de la vasija es: 7 ⋅ 17 = 119 L
5 La capacidad de un vaso es 2
5 de litro, y la de una botella es
1
3 de litro. ¿Cuál de los dos recipientes tiene más capacidad?
2
5=
6
15
1
3=
6
15
5
15<
6
15→
1
3<
2
5→ La capacidad del vaso es mayor que la de la botella.
6 Ordena de menor a mayor estas fracciones.
1
4−
5
12
11
48−
15
36−
7
9
m.c.m. (4, 12, 48, 36, 9) = 144
1
4=
36
144−
5
12= −
60
144
11
48=
33
144−
15
36= −
60
144−
7
9= −
112
144
−112
144<−
60
144= −
60
144<
33
144<
36
144→ −
7
9<−
5
12= −
15
36<
11
48<
1
4
7 Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones, sin reducirlas a común denominador.
a) 512
403
512
401
512
402
512
404 b)
9 762
9 123
9 762
9 121
9 762
9 124
9 762
9 119
a) 512
404<
512
403<
512
402<
512
401 b)
9 762
9 124<
9 762
9 123<
9 762
9 121<
9 762
9 119
8 Dados tres números naturales, a, b y c, tales que b < c, ¿qué fracción es mayor: a
boa
c?
Como los números b y c son positivos y b < c se cumple que: 1
c<
1
b9 Ordena de menor a mayor estas fracciones, y sin reducirlas a común denominador.
−35
31
23
18−
7
11
11
13
La fracción −35
31 es menor que −1, mientras que −
7
11 es negativa pero mayor que −1. En consecuencia, −
35
31<−
7
11.
Por otro lado, 0 <11
13<1<
23
18, así que: −
35
31<−
7
11<
11
13<
23
1810 Sitúa entre dos números enteros consecutivos los siguientes números racionales.
a) 23
5 b)
19
8 c)
8
9
a) 4 =20
5<
23
5<
25
5= 5 b) 2 =
16
8<
19
8<
24
8= 3 c) 0 =
0
9<
8
9<
9
9= 1
Desafío
11 Dados dos números naturales distintos no nulos, a y b, ¿son equivalentes las fracciones a
bya + 1
b + 1?
Si las fracciones fuesen equivalentes se cumpliría la igualdad: a
b=
a + 1
b + 1Entonces: a(b + 1) = b(a + 1) → ab + a = ab + b → a = b, lo que es falso, pues a y b son distintos.
Por tanto, las fracciones no son equivalentes.
1 Números racionales
8Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
2. Operaciones con fracciones
9
1Actividades1 Números racionales
8
María tiene ahorrados 12 €, que son tres cuartos del precio del libro que se quiere comprar. ¿Cuánto cuesta dicho libro?
Una finca dedica a la producción de aceite 720 ha, que suponen 9
10 de la superficie
cultivable; ¿cuál es la superficie total de la finca?
¿Durante cuánto tiempo ha sido depositado, a un interés del 2 %, un capital de 3 000 € que ha generado unos intereses de 30 €?
Calcula y simplifica.
a) 1 :2
5−
1
10
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
2
784⋅784
9 b) −
3
8+ 2 ⋅ 3−
1
4
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
2
3:
1
6
Efectúa las siguientes operaciones.
a) +2
9
3
4
1
2
1
3
1
4⋅ − ⋅ c)
1
7+
2
3⋅
3
4+
1
5⋅
3
2−
5
7
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + 2
b) 1
2+
5
6⋅
3
10− 3−
4
5
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ d)
5
3⋅
2
4−
2
3−
5
3
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ :
2
7
17
18
19
20
21
2. OPERACIONES CON FRACCIONES
Andrea ha plantado tomates, pimientos y patatas en su huerta. Si los tomates
ocupan 1
6 del total de la superficie de la huerta, y los pimientos,
7
10, podemos
hallar la fracción de la huerta que Andrea destinó a las patatas.
Calculamos la extensión dedicada a los tomates y a los pimientos sumando las
fracciones correspondientes: + = + = =1
6
7
10
5
30
21
30
26
30
13
15
Por tanto, la fracción de la superficie de huerta destinada a las patatas es la diferencia
del total menos la fracción calculada, es decir: = =113
15
15
15
13
15
2
15− −
Si después de una tormenta, solo 2
3 de la superficie dedicada a los pimientos se
mantiene practicable, entonces = =2
3
7
10
14
30
7
15⋅ es la fracción de la huerta de la
que Andrea podrá recoger pimientos.
El día de la cosecha, Andrea avisa a 5 amigos, de modo que cada uno se encargará
de recoger los pimientos de = =:7
156
7
15
1
6
7
90⋅ de la superfice de la huerta.
❚ La suma de fracciones es la fracción que se obtiene reduciendo a común denominador y sumando los numeradores.
❚ El producto de fracciones es la fracción que se obtiene multiplicando los numeradores y los denominadores.
❚ El cociente de dos fracciones es la fracción que resulta de multiplicar la primera por la fracción inversa de la segunda.
Aprenderás a… ● Realizar operaciones con fracciones.
Presta atención
El producto de una fracción por su fracción inversa es igual a la unidad.
3
4⋅
4
3=
12
12= 1
❚ Para sumar fracciones, debemos reducirlas a común denominador; para ello podemos utilizar el mínimo común múltiplo.
❚ Cuando restamos fracciones, sumamos a la primera la opuesta de la segunda.
Recuerda
} Calcula: 3
7−
6
7:
2
3⋅5
6+
6
4−
1
4
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
Solución
Si las operaciones con fracciones aparecen combinadas, aplicamos la misma jerarquía que en el caso de los números naturales y enteros.
EJERCICIO RESUELTO
Efectúa las siguientes operaciones con fracciones, y simplifica el resultado, si es posible.
a) +5
3
4
7 c) +
3
2
3
7
3
4− e)
3
4
8
5⋅ g) 2
4
7:
b) 7
9
2
3− d) +
7
4
1
6
4
3− f)
9
5
6
5: h) 3
7
9⋅
Realiza las operaciones y simplifica.
a) 1111
2222
1111
4 444+ c)
765908
10
5
765908⋅
b) 5
6
9
20− d)
100
77
10
11:
¿Cuántos vehículos hay en un garaje si dos tercios de las 531 plazas de las que dispone están libres?
¿Cuántas botellas de tres cuartos de litro se necesitan para guardar 333 litros de agua?
¿Cuántos vasos de un sexto de litro se pueden llenar con dos litros y medio de agua?
12
13
14
15
16
DESAFÍOUn depósito dispone de dos grifos. Abriendo solo el primero, el depósito se llena en 6 h, y, abriendo ambos a la vez, tarda 4 h en llenarse. ¿Cuánto tardará en llenarse el depósito si solo se abre el segundo grifo?
22
mac3e2
En tu vida diaria
Cuando depositas en un banco una cantidad de dinero durante cierto tiempo, este devuelve al cliente la cantidad depositada más unos intereses. El interés I que produce un capital C depositado durante un tiempo t (expresado en años) a un interés del i % anual es:
I = C ⋅ i
100
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ t
Soluciones de las actividades12 Efectúa las siguientes operaciones con fracciones, y simplifica el resultado, si es posible.
a) 5
3+
4
7 c)
3
2+
3
7−
3
4 e)
3
4⋅8
5 g) 2 :
4
7
b) 7
9−
2
3 d)
7
4+
1
6−
4
3 f)
9
5:
6
5 h) 3 ⋅
7
9
a) 35
21+
12
21=
47
21 c)
42
28+
12
28−
21
28=
33
28 e)
6
5 g)
7
2
b) 7
9−
6
9=
1
9 d)
21
12+
2
12−
16
12=
7
12 f)
3
2 h)
7
3
Sugerencias didácticas
En estas páginas podemos enfatizar que la suma, el pro-ducto y la división de números racionales son operaciones internas.
Es conveniente indicar a los alumnos que cuando expresen varias fracciones con denominador común, para posterior-mente efectuar su suma, empleen como tal el mínimo co-mún múltiplo de los denominadores de las fracciones da-das, pues esto hace más sencillo el proceso de simplificar el resultado obtenido.
También se trabajan las operaciones combinadas con frac-ciones, donde es importante insistir en que la jerarquía que se aplica es la misma que la que ya se había trabajado con los números naturales y enteros en cursos anteriores.
Vídeo. OPERACIONES CON FRACCIONES
En el ejercicio resuelto se propone el cálculo de una operación combinada y en el vídeo puede verse la resolución del mismo ha-ciendo hincapié en la jerarquía de las operaciones y mostrando el paso a común denominador de las fracciones. Puede reproducirse en clase explicando el proceso que se sigue o como recurso para que los alumnos repasen este tipo de ejercicios.
9
1Números racionales
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
13 Realiza las operaciones y simplifica.
a) 1 111
2 222+
1 111
4 444 b)
5
6−
9
20 c)
765 908
10⋅
5
765 908 d)
100
77:10
11
a) 3
4 b)
23
60 c)
1
2 d)
10
714 ¿Cuántos vehículos hay en un garaje si dos tercios de las 531 plazas de las que dispone están libres?
Como 1
3 de las plazas están ocupadas, en el garaje hay: 531 ⋅
1
3 = 177 vehículos
15 ¿Cuántas botellas de tres cuartos de litro se necesitan para guardar 333 litros de agua?
Se necesitan 333 : 3
4 = 444 botellas.
16 ¿Cuántos vasos de un sexto de litro se pueden llenar con dos litros y medio de agua?
Se pueden llenar 5
2:
1
6 = 15 vasos.
17 María tiene ahorrados 12 €, que son tres cuartos del precio del libro que se quiere comprar. ¿Cuánto cuesta dicho libro?
El libro cuesta 12 : 3
4 = 16 €.
18 Una finca dedica a la producción de aceite 720 ha, que suponen 9
10 de la superficie cultivable; ¿cuál es la superficie total
de la finca?
La superficie total de la finca es 720 : 9
10 = 800 ha.
19 ¿Durante cuánto tiempo ha sido depositado, a un interés del 2 %, un capital de 3 000 € que ha generado unos intereses de 30 €?
30 = 3000 ⋅2
100
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ t → t =
1
2 Ha sido depositado medio año.
20 Calcula y simplifica.
a) 1:2
5−
1
10
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
2
784⋅784
9 b) −
3
8+ 2 ⋅ 3−
1
4
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
2
3:
1
6
a) 1:3
10+
2
9=
10
3+
2
9=
32
9 b) −
3
8+ 2 ⋅
11
4+ 4 = −
3
8+
11
2+ 4 =
73
821 Efectúa las siguientes operaciones.
a) 2
9⋅
3
4−
1
2+
1
3⋅
1
4 b)
1
2+
5
6⋅
3
10− 3−
4
5
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ c)
1
7+
2
3⋅
3
4+
1
5⋅
3
2−
5
7
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + 2 d)
5
3⋅
2
4−
2
3−
5
3
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ :
2
7
a) 1
6−
1
2+
1
12= −
3
12= −
1
4 c)
1
7+
1
2+
1
5⋅11
14+ 2 =
196
70=
14
5
b) 1
2+
1
4−
11
5= −
29
20 d)
5
6− (−1) :
2
7=
5
6+ 1:
2
7=
5
6+
7
2=
26
6=
13
3
Desafío22 Un depósito dispone de dos grifos. Abriendo solo el primero, el depósito se llena en 6 h, y, abriendo ambos a la vez, tarda
4 h en llenarse. ¿Cuánto tardará en llenarse el depósito si solo se abre el segundo grifo?
En una hora, el primer grifo llena 1
6 del depósito, mientras que entre los dos grifos llenan
1
4 del mismo.
Por tanto, en una hora, el segundo grifo llena 1
4−
1
6=
1
12 del depósito. Estos significa que si solo se abre el segundo
grifo, el depósito tardaría 12 h en llenarse.
1 Números racionales
10Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
3. Fracciones y números decimales
11
1Actividades1 Números racionales
10
Halla la expresión decimal de estas fracciones.
a) 8
3 e)
15
12−
b) 56
21− f)
35
90
c) 28
70 g)
143
220
d) 7
9 h)
3086
495
Indica, sin realizar operaciones, cómo es la expresión decimal de los siguientes números.
a) 9
20 e)
15
90
b) 33
77− f)
908
100
c) 5
6 g)
45
15−
d) 2
9 h)
17
50
Clasifica los siguientes números decimales en exactos, periódicos puros o periódicos mixtos.
a) 3,26 f) 3,578 312 831 283…
b) 54,060 060 060… g) 87,567 01
c)
2,36 h)
4,08
d) 53,68 i)
21,3
e) 28,5
j) 0,972
Halla la fracción generatriz de estos números.
a) 7,34 f) 7,53−
b) −2,55 g)
1,19−
c) 0,000 3 h) 1,241
d)
1,4 i)
2,009
e) 2,3 j) 0,38
Determina la fracción generatriz de los siguientes números decimales.
a) −3,004 444… e) 4,121 212…
b) 0,013 333… f) 2,365 656…
c) 6,324 324… g) 25,84
d) 7,18 h) 13,555…
23
24
25
26
27
Razona cuál de los siguientes números no es la expresión decimal de un número racional.
a) 3,27
b) 6,032 121 212…
c) 24
d) 5,370 371 372…
Ordena de menor a mayor estos números decimales.
0,34
0,3 0,330,34 0,34 0,3
¿Es posible pagar en tres plazos un artículo que cuesta 178 € si en cada plazo se paga la misma cuantía?
28
29
30
Determina la expresión decimal del valor de 2a − b,
si =a 1,276 y
=b 0,473 .
Dados los números =p 3,412 y
=q 1,7, calcula:
a) p ⋅ qb) p : q
Expresa como fracción irreducible el resultado de
esta operación: �
�
0,8
0,361,4−
31
32
33
3. FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES
Tipos de números decimalesPodemos expresar cualquier fracción como un número decimal si dividimos el numerador por el denominador.
❚ Si el denominador de la fracción irreducible contiene en su descomposición factorial solo los factores primos 2 o 5, el número decimal que resulta es exacto.
= =75
100
3
40,75
Es un número decimal exacto porque tiene un número limitado de cifras decimales.
4 = 22
❚ Si el denominador de la fracción irreducible no contiene en su descomposición los factores 2 y 5, el número decimal que resulta es un número decimal periódico puro.
10
15
2
30,666… 0,6= = =
Es un número decimal periódico puro porque el período comienza después de la coma.
❚ Si el denominador de la fracción irreducible contiene en su descomposición otros factores primos además del 2 o del 5, decimos que el resultado es un número decimal periódico mixto.
75
18
25
64,1666… 4,16= = =
Es un número decimal periódico mixto porque tiene anteperíodo.
6 = 2 ⋅ 3
Al dividir el numerador por el denominador de una fracción, se puede obtener un número entero, un número decimal exacto o un número decimal periódico puro o mixto.
Fracciones generatricesSi conocemos un número decimal exacto o periódico, podemos hallar la fracción cuya expresión decimal coincide con dicho número.
❚ Si el número decimal es exacto, multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga la expresión decimal y despejamos.
==
= =
a
a
a
0,35
100 35
35
100
7
20
❚ Si el número decimal es periódico puro, multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el período y restamos las igualdades para despejar.
→
=
=
=
= =
b
b
b
b b
1,34
100 134,34
1,34
99 133133
99
−
❚ Si el número decimal es periódico mixto, multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el anteperíodo y el período. Volvemos a multiplicar por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales no periódicas tenga el número decimal. Restamos las igualdades obtenidas y despejamos.
→
=
=
=
= = =
c
c
c
c c
0,385
1000 385,85
10 3,85
990 382382
990
191
495
−
Todo número decimal exacto o periódico puede expresarse en forma de fracción. La fracción irreducible equivalente a ella se denomina fracción generatriz.
Aprenderás a… ● Expresar un número decimal exacto o periódico en forma de fracción, y viceversa.
} Calcula la suma de los números decimales
0,176
y 0,437 .
Solución
Calculamos sus fracciones generatrices:
=
=
=
=
=
a
a
a
a
a
0,176
1000 176,6
100 17,6
900 159
159
900
−
=
=
=
=
=
b
b
b
b
b
0,437
1000 437,7
100 43,7
900 394
394
900
−
Sumamos las fracciones: + =159
900
394
900
553
900
Obtenemos, así, la expresión decimal del resultado:
553
9000,614=
EJERCICIO RESUELTO
DESAFÍO¿Son iguales los números
5,9 y 6? ¿Y los números
7,59 y 7,6? Para responder a estas preguntas, determina las fracciones generatrices de estos números. ¿Qué conclusión puedes extraer?
34
Soluciones de las actividades23 Halla la expresión decimal de estas fracciones.
a) 8
3 b) −
56
21 c)
28
70 d)
7
9 e) −
15
12 f)
35
90 g)
143
220 h)
3 086
495a) 2,6
b) −2,6
c) 0,4 d) 0,7
e) −1,25 f) 0,38
g) 0,65 h) 6,234
24 Indica, sin realizar operaciones, cómo es la expresión decimal de los siguientes números.
a) 9
20 b) −
33
77 c)
5
6 d)
2
9 e)
15
90 f)
908
100 g) −
45
15 h)
17
50a) Exacta c) Periódica mixta e) Periódica mixta g) Exacta
b) Periódica pura d) Periódica pura f) Exacta h) Exacta
Sugerencias didácticas
En este epígrafe se explica que al efectuar la división del numerador entre el denominador de una fracción se obtie-ne un número decimal que puede ser o bien exacto o bien periódico.
Es conveniente señalar que podemos averiguar si una frac-ción irreducible se puede expresar como un número deci-mal exacto, periódico puro o periódico mixto sin necesidad de realizar la división del numerador entre el denominador, estudiando los factores primos de este último.
De forma recíproca, todo número decimal, exacto o perió-dico, puede expresarse en forma de fracción. La fracción irreducible así obtenida se denomina fracción generatriz del número decimal dado.
Al terminar el estudio de esta sección los alumnos deben ser capaces de obtener la fracción generatriz de números decimales exactos y periódicos puros o mixtos para realizar operaciones con ellos de forma exacta.
11
1Números racionales
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
25 Clasifica los siguientes números decimales en exactos, periódicos puros o periódicos mixtos.
a) 3,26 c) 2,36
e) 28,5
g) 87,567 01 i) 21,3
b) 54,060 060 060… d) 53,68 f) 3,578 312 831 283… h) 4,08
i) 0,972
a) Exacto c) Periódico mixto e) Periódico puro g) Exacto i) Periódico puro
b) Periódico puro d) Periódico puro f) Periódico mixto h) Periódico mixto i) Periódico mixto26 Halla la fracción generatriz de estos números.
a) 7,34 c) 0,0003 e) 2,3
g) −1,19
i) 2,009
b) −2,55 d) 1,4
f) −7,53 h) 1,241 j) 0,38
a) 367
50 b) −
51
20 c)
3
10 000 d)
13
9 e)
7
3 f) −
746
99 g) −
6
5 h)
1 229
990 i)
201
100 j)
7
1827 Determina la fracción generatriz de los siguientes números decimales.
a) −3,004 444…. c) 6,324 324… e) 4,121 212… g) 25,84
b) 0,013 333… d) 7,18 f) 2,365 656… h) 13,555…
a) −676
225 b)
1
75 c)
234
37 d)
359
50 e)
136
33 f)
1171
495 g)
646
25 h)
122
928 Razona cuál de los siguientes números no es la expresión decimal de un número racional.
a) 3,27 b) 6,032 121 212… c) 24 d) 5,370 371 372…
Los números 3,27 y 24 son decimales exactos, mientras que 6,032 121 212… es un número decimal periódico mixto; luego son racionales. Sin embargo 5,370 371 372… no es un número decimal exacto ni periódico, luego no es racional.
29 Ordena de menor a mayor estos números decimales.
0,34
0,3
0,33 0,34 0,34 0,3
0,3 < 0,33 < 0,3
< 0,34 < 0,34 < 0,34
30 ¿Es posible pagar en tres plazos un artículo que cuesta 178 € si en cada plazo se paga la misma cuantía?
No es posible porque 178
3 no es un número decimal exacto.
31 Determina la expresión decimal del valor 2a − b, si a = 1,276 y b = 0,473
.
2a− b =1264
990−
492
900=
7 228
9 900=
1807
2 475= 0,7301
32 Dados los números p = 3,412 y q = 1,7
, calcula: a) p ⋅ q b) p : q
a) p ⋅q =3 378
990⋅16
9=
9 008
1485 b) p : q =
3 378
990:16
9=
1689
880
33 Expresa como fracción irreducible el resultado de esta operación: 0,8
0,36−1,4
8
1036
99
−13
9=
11
5−
13
9=
34
45
Desafío34 ¿Son iguales los números 5,9
y 6? ¿Y los números 7,59
y 7,6? Para responder a estas preguntas, determina las fraccio-
nes generatrices de estos números. ¿Qué conclusión puedes extraer?
Si a = 5,9
entonces 10a = 59,9
, por lo que restando las expresiones: 9a = 54 → a = 6
Si b = 7,59
entonces 100b = 759,9
y 10b = 75,9
. Así, restando las expresiones: 90b = 684 → b =684
90=
76
10= 7,6
Por tanto, los números son iguales y podemos concluir que los decimales periódicos cuyo período es 9 coinciden con el decimal exacto que resulta al aumentar en una unidad la cifra anterior al período.
1 Números racionales
12Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
4. Números racionales e irracionales
13
1Actividades1 Números racionales
12
4. NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES
Veamos cómo representar los números racionales sobre la recta numérica.
Los números 2 , 3 , 5 , no son racionales, es decir, no podemos expresarlos en forma de fracción y, por tanto, tampoco es posible escribir su expresión decimal como números decimales exactos o periódicos.
Otro número que no podemos expresar como número racional es el cociente entre la longitud de una circunferencia y la de su diámetro, es decir, el número π.
❚ Los números cuya expresión decimal tiene infinitas cifras sin ninguna periodicidad reciben el nombre de números irracionales.
❚ A los números que son racionales o irracionales se les llama números reales. Estos números se representan en la recta real.
IntervalosLos números 2,1;
2,5 ; 2,68697… y 2,999 están comprendidos entre 2 y 3. Decimos que estos números pertenecen al intervalo abierto (2, 3), es decir, al conjunto formado por los números reales mayores que 2 y menores que 3.
Un intervalo es un conjunto de números reales comprendidos entre dos números denominados extremos.
Hay diferentes tipos de intervalos dependiendo de si los extremos están incluidos o no. También se pueden expresar mediante intervalos los conjuntos de valores mayores o menores que un número.
Intervalo cerrado Intervalos abiertos
[a, b]
a ≤ x ≤ b
(a, b)
a < x < b
(a, +∞)
x > a
(−∞, b)
x < b
–3 –2 –1 0 1 2 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 –1 0 1 2 3
[−2, 1]
−2 ≤ x ≤ 1
(3, 5)
3 < x < 5
(4, +∞)
x > 4
(−∞, 2)
x < 2
Intervalos semiabiertos o semicerrados
[a, b)
a ≤ x < b
(a, b]
a < x ≤ b
[a, +∞)
x ≥ a
(−∞, b]
x ≤ b
0 1 2 3 4 –5 –4 –3 –2 –1 –1 0 1 2 3 1 2 3 4 5
[1, 3)
1 ≤ x < 3
(−4, −2]
−4 < x ≤ −2
[0, +∞)
x ≥ 0
(−∞, 4]
x ≤ 4
Aprenderás a… ● Representar números racionales.
● Reconocer los distintos tipos de números reales.
● Definir y expresar intervalos de números reales.
Presta atención
Al realizar operaciones con números irracionales, podemos obtener números racionales.
2 − 2 = 0
2 ⋅ 2 = 2
Lenguaje matemático ❚ El conjunto de los números reales lo denotamos con la letra .
7
π4 15
0,51
1–8–
25–
❚ Para expresar que el conjunto de los números reales no tiene fin, utilizamos el símbolo del infinito: ∞
Representa en la recta real estos números racionales.
a) 4
9 b)
5
7 c)
3
4
35
Representa en la recta real estos números racionales.
a) 12
5 e) −
5
4
b) 25
4 f) −
13
5
c) 37
8 g)
3
7
d) −2
9 h) −
14
3
¿Qué fracción representa cada punto destacado en esta recta real?
0 1
36
37
Indica cuáles de estos números son racionales y cuáles irracionales:
a) −2,3 e) 1,254
b) 7 f) π + 2
c) −4,32 g) 4 5
d) 900 h) 6 − 3
Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales.
a) 4,131 311 131 111 111 3…
b) 1,234 567 892 435 678 9…
c) 2,010 010 001 000 010 0…
d) 3,445 566 778 899 001 122 334 4…
e) 0,235 711 131 719…
f) 3,123 412 341 234…
¿Es un número racional la longitud del lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 1 dm de radio?
Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas.
a) Si x es un número irracional, entonces x2 también es un número irracional.
b) La suma de dos números irracionales siempre es un número irracional.
c) Todo número decimal periódico es un número racional.
Dibuja estos intervalos en la recta real. Indica si son abiertos, cerrados o semicerrados.
a) [0, 2) e) [4, +∞)
b) (1, 3] f) (−∞, 3)
c) (−1, 2) g) (−∞, 1]
d) [2, 5] h) (−3, +∞)
Escribe en forma de intervalo los conjuntos formados por los números reales x tales que:
a) 1 ≤ x < 4
b) 3 < x < 5
c) −4 < x ≤ 1d) 13 ≤ x ≤ 15
Describe mediante desigualdades los intervalos representados.
a) c) 0 1 0 1
b) d) 0 1 0 1
38
39
40
41
42
43
44
DESAFÍO
¿Es un número racional el resultado de la operación 1+ 6 + 5 + 16 ?45
} Representa 14
3 en la recta real.
Solución
Como 12 < 14 < 15, dividimos las desigualdades por el
denominador y resulta: 12
3<
14
3<
15
3
Así, 4 < 14
3 < 5; por tanto, podemos descomponer la
fracción en esta suma: 14
3= 4 +
2
3
3 4 5 6 714
3
EJERCICIO RESUELTOmac3e3
Soluciones de las actividades35 Representa en la recta real estos números racionales.
a) 4
9 b)
5
7 c)
3
4a) b) c)
•0 1–1 2 3 4 5
49
•0 1–1 2 3 4 5
57
•0 1–1 2 3 4 5
34
Sugerencias didácticas
En este epígrafe el alumno podrá familiarizarse con la re-presentación gráfica de los números racionales y de los in-tervalos de números reales, además podrá reconocer los números irracionales como los números reales que no son racionales. Es conveniente insistir en que no admiten una expresión en forma de fracción y que su expresión decimal tiene infinitas cifras decimales no periódicas.
La introducción de los distintos tipos de intervalos de la rec-ta tomará importancia en unidades posteriores para para determinar el dominio y el recorrido de algunas funciones
reales de variable real o para agrupar los datos de las varia-bles estadísticas continuas.
GeoGebra. REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
En el recurso puede verse la representación de un número racio-nal aplicando el teorema de Tales para dividir la unidad en partes iguales. Puede utilizarse pulsando sobre la barra de navegación para ver paso a paso dicha representación, o activando el botón Reproduce de modo que la construcción se realizará automática-mente sin necesidad de interacción con el archivo.
13
1Números racionales
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
36 Representa en la recta real estos números racionales.
a) 12
5 b)
25
4 c)
37
8 d) −
2
9 e) −
5
4 f) −
13
5 g)
3
7 h) −
14
3a) e)
•2 310–1 4 5 6 7 8 9
125
•–1 0–2–3–4–5 1 2 3 4 5
54
–
b) f)
•6 7543 8 9 10 11 12 13
254
•–1 0–2–3–4–5–6 1 2 3 4
135
–
c) g)
•4 5321 6 7 8 9 10 11
378
•–1 0–2–3–4–5–6 1 2 3 4
135
–
d) h)
•–1 0–2–3–4 1 2 3 4 5 6
29
–
•–1 0 1–2–3–4–5–6–7–8–9
143
–
37 ¿Qué fracción representa cada punto destacado en esta recta real?
0 10 1– 17
3– 5
437
133
38 Indica cuáles de estos números son racionales y cuáles irracionales:
a) −2,3
c) −4,32 e) 1,254 g) 4 5
b) 7 d) 900 f) π + 2 h) 6 − 3
a) Racional c) Racional e) Racional g) Irracional
b) Irracional d) Racional f) Irracional h) Irracional
1 Números racionales
14Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
39 Clasifica los siguientes números en racionales o irracionales.
a) 4,131 311 131 111 111 3… c) 2,010 010 001 000 010 0… e) 0,235 711 131 719…
b) 1,234 567 892 435 678 9… d) 3,445 566 778 899 001 122 334 4… f) 3,123 412 341 234…
Son irracionales los números de los apartados a), b), c) y e), y racionales los de d) y f).40 ¿Es un número racional la longitud del lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de 1 dm de radio?
Si el radio mide 1 dm, el diámetro mide 2 dm y forma con dos lados consecutivos del cuadrado inscrito un triángulo rectángulo.
Si llamamos l a la longitud del lado del cuadrado, aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que: l2 + l2 = 22
Entonces: l2 = 2 → l = 2 que no es un número racional.41 Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas.
a) Si x es un número irracional, entonces x2 también es un número irracional.
b) La suma de dos números irracionales siempre es un número irracional.
c) Todo número decimal periódico es un número racional.
a) Esta afirmación es falsa. Por ejemplo, 2 es un número irracional pero 2( )2 = 2 es un número racional.
b) También esta afirmación es falsa. Por ejemplo, 2 y − 2 son números irracionales, pero su suma es 0, que es un número racional.
c) Esta afirmación es verdadera.42 Dibuja estos intervalos en la recta real. Indica si son abiertos, cerrados o semicerrados.
a) [0, 2) c) (−1, 2) e) [4, +∞) g) (−∞, 1]
b) (1, 3] d) [2, 5] f) (−∞, 3) h) (−3, +∞)
a) e) –4 –3 –2 –1 10 2 3 4 5 –2 –1 10 2 3 4 5 6 7
Semicerrado Semicerrado
b) f) –2 –1 10 2 3 4 5 6 7 –2–3 –1 10 2 3 4 5 6
Semicerrado Abierto
c) g) –2 –1–4 –3 10 2 3 4 5 –2–3–4 –1 10 2 3 4 5
Semicerrado Semicerrado
d) h) –2 –1 10 2 3 4 5 6 7 –2–3–4–5 –1 10 2 3 4
Cerrado Abierto43 Escribe en forma de intervalo los conjuntos formados por los números reales x tales que:
a) 1 ≤ x < 4 b) 3 < x < 5 c) −4 < x ≤ 1 d) 13 ≤ x ≤ 15
a) [1, 4) b) (3, 5) c) (−4, 1] d) [13, 15]44 Describe mediante desigualdades los intervalos representados.
a) b) c) d) 0 1 0 1 0 1 0 1
a) −4 ≤ x < 1 b) 0 ≤ x ≤ 5 c) x ≤ −1 d) 2 < x < 4
Desafío45 ¿Es un número racional el resultado de la operación 1+ 6 + 5 + 16 ?
Sí, es un número racional porque:
1+ 6 + 5+ 16 = 1+ 6 + 5+ 4 = 1+ 6 + 9 = 1+ 6 + 3 = 1+ 9 = 1+ 3 = 4 = 2
15
1Números racionales
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
5. Aproximaciones
15
1Actividades1 Números racionales
14
Elabora en tu cuaderno una tabla en la que indiques el truncamiento y el redondeo a las centésimas de estos números.
4,0725 7,34 12,78
Miguel ha tenido que rellenar un formulario con datos de sus padres. En él ha incluido como peso de su madre 62 kg y de su padre 75 kg. ¿En cuál de los dos casos fue más acertada la aproximación realizada si el peso real de ambos es, respectivamente, de 62,3 kg y 74,7 kg?
La carga máxima que puede soportar un ascensor es de 475 kg. Eduardo y María quieren subir a su piso 14 cajas de 24,95 kg cada una. Si Eduardo pesa 75,45 kg, y María, 50,4 kg, ¿podrán subir los dos y todas las cajas a la vez? Si aproximas los pesos a las unidades, ¿llegas a la misma conclusión? Indica las cifras significativas en cada caso.
Halla la aproximación por redondeo a las centésimas del número 0,46. ¿Se trata de una aproximación por exceso o por defecto?
46
47
48
49
Halla el error absoluto que se comete al reemplazar el número 0,48 por su aproximación por redondeo a las décimas.
Los números 0,5 y 0,6 son dos aproximaciones del número 6
11. Calcula el error
absoluto en cada caso. ¿Cuál de los dos es mejor aproximación?
Escribe una aproximación del número 7,3
de modo que el error absoluto que cometas al emplear dicha aproximación sea menor que una centésima.
Al medir el radio de cierta circunferencia, hemos cometido un error menor que 2 cm. Utilizando este dato, ¿puede asegurarse que el error que cometemos al aproximar el valor correcto del área del círculo encerrado es inferior a 4 cm2? Razona tu respuesta.
50
51
52
53
5. APROXIMACIONES
Si observamos en un folleto publicitario que el precio de una piruleta es 0,90 €; el de un balón, 4,95 €; y el de un abrigo, 99,90 €; inmediatamente pensamos que cuesta la piruleta, 1 €, el balón, 5 € y el abrigo, 100 €. Damos un precio aproximado.
Habitualmente usamos dos métodos para aproximar: el truncamiento y el redondeo.
Truncar un número decimal a un determinado orden consiste en eliminar todas las cifras decimales de los órdenes inferiores a él.
Redondear un número decimal a un determinado orden consiste en:
❚ Si la cifra decimal del orden inferior es menor que 5, truncar el número a ese orden decimal.
❚ Si la cifra decimal del orden inferior es mayor o igual que 5, truncar el número a ese orden decimal y sumarle una unidad decimal del mismo orden.
Error absoluto y error relativoCuando decimos que los precios son 1 €, 5 € y 100 €, usamos aproximaciones que difieren de los precios reales en 0,10 €, en 0,05 € y en 0,10 €, respectivamente. Estos valores miden el error absoluto cometido en cada caso.
Si el valor a es una aproximación del número x, la diferencia en valor absoluto de ambos números se denomina error absoluto.
Error absoluto = | x − a |
Podemos observar que el error absoluto que cometemos al aproximar el precio de la piruleta y del abrigo coincide: 0,10 €. Para comparar el error cometido según el número que hemos aproximado en cada caso, calculamos el error relativo:
| 0,90−1|
| 0,90 |=
0,1
0,9= 0,11…→ 11%
| 99,90−100 |
| 99,90 |=
0,1
99,9= 0,001…→ 0,1%
Según los resultados que hemos obtenido, deducimos que el error cometido al aproximar el precio de la piruleta es relativamente mayor que el de la aproximación que hicimos para el abrigo.
El error relativo cometido al emplear una aproximación, a, de un número, x, es el cociente entre el error absoluto y el valor absoluto del número. Se expresa como porcentaje.
Error relativo = | x − a |
| x |
Aprenderás a… ● Hallar la aproximación por truncamiento y por redondeo a un orden determinado.
● Calcular el error absoluto y relativo cometido al aproximar números.
Al número de cifras que se conocen con certeza más una de cuyo valor no se está seguro lo denominamos cifras significativas.
0,0305
Tiene 3 cifras significativas porque hay 3 cifras decimales contadas desde la primera no nula: 3, 0 y 5
Lenguaje matemático
Decimos que un número, a, obtenido al truncar o redondear otro número, b, es una aproximación por defecto si a < b, y que, es una aproximación por exceso cuando a > b.
Lenguaje matemático
El valor absoluto de un número real, x, lo denotamos por | x |, y es el mismo número, si es positivo, y el opuesto, si es negativo.
| 5 | = | −5 | = 5
Recuerda
} Halla las aproximaciones por truncamiento y por redondeo a las décimas y a las unidades de los precios del ejemplo anterior.
Solución
Truncamiento a las décimas
Redondeo a las décimas
Truncamiento a las unidades
Redondeo a las unidades
0,90 0,9 0,9 0 1
4,95 4,9 5 4 5
99,90 99,9 99,9 99 100
EJERCICIO RESUELTO
} Halla el error absoluto que se comete al sustituir el número 0,57 por el
número 0,6.
Solución
Calculamos la fracción generatriz de ambos números:
0,57 =57
99=
19
33 0,6=
6
9=
2
3
Hallamos el error absoluto cometido: x − a =19
33−
2
3=
19− 22
33=
3
33=
1
11
EJERCICIO RESUELTO
Vamos a viajar desde Lugo a Ourense. Estima, midiendo sobre el mapa con una regla, la distancia que separa ambas ciudades. Haz también una estimación del error que cometerías si supieras que al medir te has equivocado a lo sumo en 1 mm. (Observa que el mapa está realizado a una escala de 1:5 000 000).
54
Investiga
Soluciones de las actividades46 Elabora en tu cuaderno una tabla en la que indiques el truncamiento y el redondeo a las centésimas de estos números.
4,0725 7,34 12,78
Truncamiento a las centésimas
Redondeo a las centésimas
4,0725 4,07 4,07
7,34 7,34 7,34
12,78
12,78 12,79
Sugerencias didácticas
Se exponen dos modos de aproximar un número real dado: por redondeo y por truncamiento. En ambos casos, al susti-tuir el número por su aproximación se comete un error y es conveniente conocer una cota del error cometido.
Se introducen las nociones de error absoluto y error relativo de una medida. El primero nos informa de la desviación existente entre el valor real de la magnitud y el valor obte-nido en la medida. Ahora bien, es obvio que no es igual de
grave cometer un error de 1 cm al medir la longitud de una autopista que al medir el largo de una cama. Es por ello que resulta imprescindible introducir la noción de error relativo, que da cuenta de la precisión de la medida realizada inde-pendientemente del tamaño de la magnitud original.
Es conveniente incidir en que el error absoluto se indica en la misma unidad que el número, pero el error relativo debe expresarse como porcentaje.
1 Números racionales
16Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
47 Miguel ha tenido que rellenar un formulario con datos de sus padres. En él ha incluido como peso de su madre 62 kg y de su padre 75 kg. ¿En cuál de los dos casos fue más acertada la aproximación realizada si el peso real de ambos es, respectivamente, de 62,3 kg y 74,7 kg?
La aproximación al peso del padre es más acertada porque, aunque en ambos casos el error absoluto es: 62,3− 62 = 74,7−75 = 0,3 kg, el error relativo cometido al aproximar el peso del padre es menor que el cometido
al aproximar el peso de la madre: 0,3
74,7= 0,00401<
0,3
62,3= 0,0048
48 La carga máxima que puede soportar un ascensor es de 475 kg. Eduardo y María quieren subir a su piso 14 cajas de 24,95 kg cada una. Si Eduardo pesa 75,45 kg, y María, 50,4 kg, ¿podrán subir los dos y todas las cajas a la vez? Si apro-ximas los pesos a las unidades, ¿llegas a la misma conclusión? Indica las cifras significativas en cada caso.
La suma de los pesos de Eduardo, María y las 14 cajas es: 75,45 + 50,4 + 14 ⋅ 24,95 = 475,15 kg
Luego no pueden subir a la vez en el ascensor.
Las aproximaciones a las unidades de los pesos de Eduardo, María y cada caja son 75 kg, 50 kg y 25 kg, respectivamente.
La correspondiente suma es: 75 + 50 + 14 ⋅ 25 = 475 kg.
Así que, si aproximamos los pesos, llegamos a la conclusión contraria.
Las cifras significativas en el peso de Eduardo y de las cajas son 2 y en el peso de María es 1.49 Halla la aproximación por redondeo a las centésimas del número 0,46 . ¿Se trata de una aproximación por exceso o por
defecto?
La aproximación por redondeo a las centésimas de 0,46 es 0,46.
Es una aproximación por defecto, pues: 0,46 < 0,46
50 Halla el error absoluto que se comete al reemplazar el número 0,48 por su aproximación por redondeo a las décimas.
La aproximación por redondeo a las décimas es 0,5. El error absoluto cometido es: 0,48 − 0,5 =16
33−
1
2=
1
66
51 Los números 0,5 y 0,6 son dos aproximaciones del número 6
11. Calcula el error absoluto en cada caso. ¿Cuál de los dos
es mejor aproximación?
6
11− 0,5 =
6
11−
1
2=
1
22= 0,045
6
11− 0,6 =
6
11−
3
5=
3
55= 0,054
Es mejor aproximación 0,5 porque el error absoluto cometido es menor.52 Escribe una aproximación del número 7,3
de modo que el error absoluto que cometas al emplear dicha aproximación
sea menor que una centésima.
Respuesta abierta, por ejemplo: 7,3+
1
300=
22
3+
1
300=
2 201
300= 7,336
53 Al medir el radio de cierta circunferencia, hemos cometido un error menor que 2 cm. Utilizando este dato, ¿puede asegu-rarse que el error que cometemos al aproximar el valor correcto del área del círculo encerrado es inferior a 4 cm2? Razona tu respuesta.
No se puede asegurar. Para probarlo basta observar que si 2 cm es el valor exacto del radio de la circunferencia y 1 cm es el valor aproximado, el error cometido al medir el radio es: 1 < 2
Pero el error cometido al medir el área es: π ⋅22 − π ⋅12 = 3π > 4
Investiga54 Vamos a viajar desde Lugo a Ourense. Estima, midiendo sobre el mapa con una regla, la distancia que separa ambas
ciudades. Haz también una estimación del error que cometerías si supieras que al medir te has equivocado a lo sumo en 1 mm. (Observa que el mapa está realizado a una escala de 1:5 000 000).
Al medir sobre el mapa obtenemos que la distancia entre Lugo y Ourense es de 16 mm.
Como la escala es 1:5 000 000, la distancia real entre ambas ciudades es de: 16 ⋅ 5 000 000 = 80 000 000 mm = 80 km
Como 1 mm sobre el mapa equivale a 5 000 000 mm = 5 km, el error que se comete tras equivocarnos 1 mm en la me-dición sobre el mapa es de 5 km.
17
1Números racionales
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
¿Qué tienes que saber?
16 17
¿QUÉ1 tienes que saber?
Calcula: 1+3
5⋅2
7−
1
3:4
5
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1+3
5⋅
2
7−
1
3:4
5
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = 1+
3
5⋅
2
7−
1
3⋅5
4
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = 1+
3
5⋅2
7−
5
12
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= 1+3
5⋅
24
84−
35
84
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = 1+
3
5⋅ −
11
84
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = 1−
33
420=
420
420−
33
420=387
420=
129
140
= 1+3
5⋅
24
84−
35
84
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = 1+
3
5⋅ −
11
84
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = 1−
33
420=
420
420−
33
420=387
420=
129
140
Simplificamos el resultado.
Calcula y expresa el resultado en forma de fracción irreducible.
a) 3−2
5:
1
5+
3
4
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
1
2
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
b) 5
6−
3
2+ 1 :
1
4−
4
3
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
c) 5
4:
2
3+
5
6
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
4
5−5
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
d) 3
5+ 1
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅5− 2
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ :
2
3+ 1
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
6
10+ 3
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
e) 6
9+
7
4−
3
2
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ :
1
6+
1
2
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ ⋅
4
5− 2 +
1
3
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
f) 2
10+ 1
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ :
3
18−
1
5
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ :
9
2−
9
3
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ :
12
8− 8
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
Los 2
5 de los alumnos de un centro escolar hacen
uso del servicio de comedor.
Calcula el número de alumnos matriculados en el centro, sabiendo que 324 se quedan a comer en el colegio.
Tres hermanos reciben una herencia. Al mayor le corresponden dos quintos de la misma, y al mediano, la tercera parte. ¿Qué fracción de la herencia le han dejado al hermano pequeño?
Pilar tiene contratada una tarifa de telefonía móvil que incluye la realización de llamadas a otros móviles durante 600 min a lo largo del mes. Si la primera semana consume tres cuartos del tiempo establecido, y la segunda semana, la tercera parte de lo que le quedaba, ¿de cuántos minutos dispone aún Pilar según dicha tarifa?
62
63
64
65
Fracciones
Halla la fracción equivalente a 2
89 cuyo numerador
es 100.
Copia y empareja en tu cuaderno las fracciones que sean equivalentes.
216
306
7
9
448
576
3
5
115
184 12
1784
140
5
8
Halla la expresión irreducible de tres números
racionales situados entre 4
7 y 5
7.
Ordena las fracciones de menor a mayor.
a) 800
241−
365
241−
214
241
41
241
7022
241
b) −103
200
103
789−
103
82
103
734
103
3668
c) −3
29
4
5−
42
29
7
12
13
15 −
3
29
4
5−
42
29
7
12
13
15 −
3
29
4
5−
42
29
7
12
13
15 −
3
29
4
5−
42
29
7
12
13
15 −
3
29
4
5−
42
29
7
12
13
15
Efectúa las siguientes operaciones, simplificando cuando sea posible y teniendo presente la jerarquía de las operaciones.
a) 3
8+
2
5⋅15
4 c)
46
51⋅
6
23−
4
17:
3
34
b) 15
40−
9
8:
1
5 d)
3
8⋅
4
27−
12
13:
1
26
Realiza estas operaciones y observa cómo la aparición del paréntesis altera el resultado.
a) 2
9+
5
12⋅16
27 c)
13
15−
3
25⋅
5
18
b) 2
9+
5
12
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
16
27 d)
13
15−
3
25
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
5
18
Efectúa las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible.
a) 5 +2
3⋅
4
9−
1
3:
3
5
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
b) 1
2−
1
8⋅
5
6+
2
3:
4
7
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
c) 3
4−
1
5⋅
7
3−
1
3:
1
2
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
55
56
57
58
59
60
61
Para sumar, reducimos a común denominador.
Operaciones con fraccionesTen en cuentaPara realizar operaciones combinadas con fracciones:
1 Se resuelven los paréntesis.
2 Se calculan las multiplicaciones y las divisiones en el orden en que aparecen.
3 Se resuelven las sumas.
Para dividir, multiplicamos por la fracción inversa.
Determina las aproximaciones a las décimas por redondeo y por truncamiento de 1,6
. Calcula el error absoluto y el error relativo que se comete en cada caso.
Aproximación Error absoluto Error relativo
Por redondeo 1,75
3−
17
10=
1
30
5
3−
17
10
5
3
=
1
305
3
=1
50= 0,02 = 2%
Por truncamiento 1,65
3−
16
10=
1
15
5
3−
16
10
5
3
=
1
155
3
=1
25= 0,04 = 4%
AproximacionesTen en cuentaSi a es una aproximación del número x:
❚ Error absoluto = | x − a |
❚ Error relativo = | x − a |
| x |
Multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador.
Halla la fracción generatriz de estos números racionales.
a) 1,234 b) 1,6
c) 2,36
a = 1,234
1000a = 1234
a =1234
1000=
617
500
b = 1,6
10b = 16,6
− b = 1,6
9b = 15
b =15
9=
5
3
c = 2,36
100c = 236,6
−10c = 23,6
90c = 213
c =213
90=
71
30
Fracción generatrizTen en cuenta ❚ Al dividir el numerador por el denominador de una fracción, se puede obtener un número entero, un número decimal exacto o un número decimal periódico puro o mixto.
❚ La fracción irreducible equivalente a un número decimal exacto o periódico se denomina fracción generatriz del número decimal.
a) b) c)
Actividades Finales 1
Actividades finalesSoluciones de las actividades
55 Halla la fracción equivalente a 2
89 cuyo numerador es 100.
Multiplicamos por 50 numerador y denominador: 100
4 450
56 Copia y empareja en tu cuaderno las fracciones que sean equivalentes.
216
306
448
576
115
184
84
140 7
9
3
5
12
17
5
8
Las parejas de fracciones equivalentes son: 216
306=
12
17,
448
576=
7
9,115
184=
5
8,
84
140=
3
5
Sugerencias didácticas
En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:
❚❚ Efectuar operaciones combinadas en las que aparecen fracciones.
❚❚ Obtener la fracción generatriz de números decimales exactos y periódicos.
❚❚ Calcular aproximaciones de números reales por redondeo y por truncamiento.
❚❚ Emplear las nociones de error absoluto y relativo para estimar la aproximación más adecuada de una medida.
1 Números racionales
18Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
57 Halla la expresión irreducible de tres números racionales situados entre 4
7y
5
7.
Respuesta abierta, por ejemplo: Escribimos las fracciones equivalentes a las dadas con denominador 28; esto es: 16
28y
20
28
De modo que: 4
7=
16
28<
17
28<
18
28<
19
28<
20
28=
5
7
Así, los tres números racionales son: 17
28,
9
14,19
2858 Ordena las fracciones de menor a mayor.
a) 800
241−
365
241−
214
241
41
241
7 022
241
b) −103
200
103
789−
103
82
103
734
103
3 668
c) −3
29
4
5−
42
29
7
12
13
15
a) −365
241<−
214
241<
41
241<
800
241<
7 022
241
b) −103
82<−
103
200<
103
3 668<
103
789<
103
734
c) m.c.m. (5, 12) = 60
4
5=
48
60
7
12=
35
60
13
15=
52
60
35
60<
48
60<
52
60→ −
42
29<−
3
29<
7
12<
4
5<
13
1559 Efectúa las siguientes operaciones, simplificando cuando sea posible y teniendo presente la jerarquía de las operaciones.
a) 3
8+
2
5⋅15
4 c)
46
51⋅
6
23−
4
17:
3
34
b) 15
40−
9
8:
1
5 d)
3
8⋅
4
27−
12
13:
1
26
a) 3
8+
3
2=
15
8 c)
4
17−
8
3= −
124
51
b) 3
8−
45
8= −
42
8= −
21
4 d)
3
8⋅
4
27−
12
13:
1
26=
1
18− 24 = −
431
1860 Realiza estas operaciones y observa cómo la aparición del paréntesis altera el resultado.
a) 2
9+
5
12⋅16
27 c)
13
15−
3
25⋅
5
18
b) 2
9+
5
12
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
16
27 d)
13
15−
3
25
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
5
18
a) 2
9+
20
81=
38
81 c)
13
15−
1
30=
25
30=
5
6
b) 23
36⋅16
27=
92
243 d)
56
75⋅
5
18=
28
135
19
1Números racionales
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
61 Efectúa las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible.
a) 5 +2
3⋅
4
9−
1
3:
3
5
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ b)
1
2−
1
8⋅
5
6+
2
3:
4
7
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ c)
3
4−
1
5⋅
7
3−
1
3:
1
2
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
a) 5 +2
3⋅
4
9−
5
9
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = 5 +
2
3⋅ −
1
9
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = 5−
2
27=
133
27
b) 1
2−
1
8⋅
5
6+
7
6
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
1
2−
1
8⋅2 =
1
2−
1
4=
1
4
c) 3
4−
1
5⋅
7
3−
2
3
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
3
4−
1
5⋅5
3=
3
4−
1
3=
5
1262 Calcula y expresa el resultado en forma de fracción irreducible.
a) 3−2
5:
1
5+
3
4
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
1
2
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ d)
3
5+ 1
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅5− 2
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ :
2
3+ 1
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
6
10+ 3
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
b) 5
6−
3
2+ 1 :
1
4−
4
3
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ e)
6
9+
7
4−
3
2
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ :
1
6+
1
2
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ ⋅
4
5− 2 +
1
3
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
c) 5
4:
2
3+
5
6
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
4
5−5
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ f)
2
10+ 1
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ :
3
18−
1
5
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ :
9
2−
9
3
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ :
12
8− 8
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
a) 3−2
5:
19
20+
1
2
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ = 3−
8
19+
1
2
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ = 3−
35
38=
79
38
b) 5
6−
3
2+ 1 : −
13
12
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ =
5
6−
3
2−
12
13
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ =
5
6−
15
26=
20
78=
10
39
c) 5
4:
3
2⋅4
5−5
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ =
5
4:
6
5−5
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ =
5
4: −
19
5
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
25
76
d) 8
5⋅5− 2
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ :
5
3⋅3
5+ 3
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ = (8− 2) : (1+ 3) =
6
4=
3
2
e) 11
12:
1
6+
1
2
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ ⋅ −
13
15
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ =
11
2+
1
2
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ ⋅ −
13
15
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = 6 ⋅ −
13
15
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
26
15
f) 6
5:
1
6−
1
5
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ :
3
2:
3
2− 8
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ =
36
5−
1
5
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ : (1− 8) = 7 : (−7) = −1
63 Los 2
5 de los alumnos de un centro escolar hacen uso del servicio de comedor. Calcula el número de alumnos matricula-
dos en el centro, sabiendo que 324 se quedan a comer en el colegio.
Como 324 alumnos son 2
5 del número de alumnos matriculados, el total es: 324 :
2
5 = 810 alumnos
64 Tres hermanos reciben una herencia. Al mayor le corresponden dos quintos de la misma, y al mediano, la tercera parte. ¿Qué fracción de la herencia le han dejado al hermano pequeño?
La fracción que percibe el hermano pequeño es: 1−2
5−
1
3=
4
1565 Pilar tiene contratada una tarifa de telefonía móvil que incluye la realización de llamadas a otros móviles durante 600 min
a lo largo del mes. Si la primera semana consume tres cuartos del tiempo establecido, y la segunda semana, la tercera parte de lo que le quedaba, ¿de cuántos minutos dispone aún Pilar según dicha tarifa?
Pilar dispone de: 600 ⋅ 1−3
4−
1
3⋅ 1−
3
4
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = 600 ⋅
1
4−
1
3⋅
1
4
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = 600 ⋅
1
4−
1
12
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = 600 ⋅
1
6 = 100 min
1 Números racionales
20Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
66 Fátima ha cortado un tercio de una cinta para hacer un lazo y con los tres cuartos restantes ha preparado un regalo para su amiga. Ha sobrado un trozo de 4 cm. ¿Cuánto medía la cinta?
Fátima ha empleado: 1
3+
3
4⋅ 1−
1
3
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
1
3+
3
4⋅2
3=
1
3+
1
2=
5
6 de la cinta
Como le ha sobrado un trozo de 4 cm, la cinta medía: 4 :1
6= 24 cm
67 De los 305 m2 de una huerta, 2
3 se dedican al cultivo de lechugas;
2
5 de lo que queda se reserva para patatas, y en la
superficie restante se han plantado coles. ¿Cuántos metros cuadrados del huerto se dedican a las coles?
La fracción de huerto plantada con patatas es: 2
5⋅ 1−
2
3
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
2
15
Luego la fracción destinada a las coles es: 1−2
3−
2
15=
1
5
Por tanto, el terreno dedicado a las coles mide: 305 ⋅ 1
5 = 61 m2
68 Juan sale de su casa con una bolsa de caramelos. Al llegar al colegio reparte los dos tercios de la misma entre sus com-pañeros. De regreso a casa se encuentra con su primo, al que regala la cuarta parte de los caramelos que le quedaban. ¿Cuántos contenía inicialmente la bolsa si al volver a casa todavía le quedan 15 caramelos?
Juan ha regalado: 2
3+
1
4⋅ 1−
2
3
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
2
3+
1
4⋅1
3=
2
3+
1
12=
3
4 de los caramelos
Así que Juan salió de casa con: 15 : 1
4 = 60 caramelos
18
1 Números racionales
19
¿Es un número racional la longitud del lado de un rombo cuyas diagonales miden 4 cm y 6 cm? Razona tu respuesta.
Indica a cuáles de los siguientes intervalos pertenece
el número 5 .
a) [2, 3] c) 5 , 3⎡⎣⎢ )
b) 5 , 3( ) d) (2,3; 3]
Escribe dos intervalos abiertos a los que pertenezca
el número −2,5.
Aproximaciones y errores
Halla las aproximaciones por redondeo y por
truncamiento a las centésimas del número 0,71 . Razona si se trata de aproximaciones por exceso o por defecto.
Calcula el error absoluto cometido al emplear las aproximaciones realizadas en el ejercicio anterior.
Elisa quiere hacer un regalo por Navidad, para lo que dispone de tres botellas de vino, cuyo peso es de 1,25 kg cada una, 4 quesos y 2 jamones. Cada queso pesa 3 kg, y cada jamón, 4 kg. La cesta que quiere regalar no puede pesar más de 19 kg. ¿Cuál es la composición de la cesta que mejor se aproxima a dicho peso máximo?
Daniel y Joaquín salieron el sábado por la tarde. El primero estuvo en el cine y vio una película que duró 89 min, mientras que Joaquín disfrutó de un espectáculo de magia de 46 min de duración. Daniel les contó a los amigos que la película había durado una hora y media, mientras que Joaquín les dijo que el espectáculo al que él acudió se prolongó por espacio de tres cuartos de hora. ¿Cuál de los dos dio una información más precisa? ¿Por qué?
Pedro ha ido a las rebajas y ha comprado una camiseta y un estuche.
¿En cuál de los dos productos ha conseguido un descuento mejor? Razona tu respuesta.
78
79
80
81
82
83
84
85
El 0,4
de los habitantes de Villacastín se vacunaron de la gripe el invierno pasado. Aun así, contrajeron
la enfermedad 104
181 de la población. ¿Cuántos
habitantes tiene el pueblo si lo habitan menos de 3 000 personas?
En un quiosco se vende una octava parte de las revistas por la mañana, mientras que por la tarde
se vende el 0,1
. ¿Cuántas revistas había en total sabiendo que eran menos de 100?
Números racionales e irracionales
Copia el diagrama en tu cuaderno situando en él estos números.
7,2
3
4
π 2 + 4
− 81 14
5 2,345
75
76
77
Fracciones y números decimales
Expresa en forma decimal los siguientes números racionales e indica qué tipo de número decimal se obtiene en cada caso.
a) −7
8 d)
37
100
b) 13
15 e)
8
9
c) 8
11 f)
1
60
¿Cuál es la trigésima cifra decimal del número que se
obtiene al expresar en forma decimal 1583
37?
Copia esta tabla en tu cuaderno y complétala.
FracciónFracción
irreducibleFactorización
del denominadorTipo de decimal
528
3 150O 3 ⋅ 52 ⋅ 7 O
612
150O O Exacto
91
693
13
99O O
285
450O O O
Halla la fracción generatriz correspondiente a cada número decimal.
a) 0,72 d) 8,45
b) 4,7
e) −3,36
c) −1,87 f) 2,965
Dados los números a = 3,412 y b = 1,7
, expresa como fracción irreducible los resultados de estas operaciones.
a) a + b
b) a − b
c) a ⋅ b
d) b
a
Indica razonadamente si la expresión:
2,87+ 0,41
corresponde a un número entero. Haz lo mismo con la expresión:
2,8+ 0,2
69
70
71
72
73
74
Fátima ha cortado un tercio de una cinta para hacer un lazo y con los tres cuartos del resto ha preparado un regalo para su amiga. Ha sobrado un trozo de 4 cm. ¿Cuánto medía la cinta?
De los 305 m2 de una huerta, 2
3 se dedican al cultivo
de lechugas; 2
5 de lo que queda se reserva para
patatas, y en la superficie restante se han plantado coles. ¿Cuántos metros cuadrados del huerto se dedican a las coles?
Juan sale de su casa con una bolsa de caramelos. Al llegar al colegio reparte dos tercios de la misma entre sus compañeros. De regreso a casa se encuentra con su primo, al que regala la cuarta parte de los caramelos que le quedaban. ¿Cuántos contenía inicialmente la bolsa si al volver a casa todavía le quedan 15 caramelos?
66
67
68
} De un depósito lleno se ha extraído la mitad del agua que contenía y, posteriormente, las tres cuartas partes de lo que quedaba. ¿Cuál es la capacidad del depósito si después de las extracciones aún quedan 15 litros?
Solución
Tras la primera extracción, en el depósito ha quedado la mitad del agua.
En la segunda extracción se saca:
3
4 de
1
2=
3
8
Luego, en el depósito queda:
1
2−
3
8=
4− 3
8=
1
8
Si 1
8 de la capacidad del depósito son 15 L, entonces la
capacidad total es 15 ⋅ 8 = 120 L.
EJERCICIO RESUELTO
} En la clase de Omar pasó el examen de Biología
el 0,5
del total de alumnos, mientras que tres cuartas partes aprobaron el examen de inglés. ¿Cuántos alumnos hay en la clase, sabiendo que son menos de 40?
Solución
La fracción generatriz correspondiente a 0,5
es 5
9.
Si N es el número de alumnos de clase, podemos decir
que los que aprobaron el examen de Biología son 5N
9,
y este ha de ser un número entero por tratarse de un número de alumnos. Por tanto, N es múltiplo de 9.
Análogamente, también debe ser entero el número de
alumnos que pasó el examen de Inglés, que es 3N
4, lo
que implica que N es múltiplo de 4.
El único número menor que 40 que es múltiplo de 9 y de 4 es el 36.
En consecuencia, en la clase de Omar hay 36 alumnos.
EJERCICIO RESUELTO
Actividades Finales 1
21
1Números racionales
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
69 Expresa en forma decimal los siguientes números racionales e indica qué tipo de número decimal se obtiene en cada caso.
a) −7
8 c)
8
11 e)
8
9
b) 13
15 d)
37
100 f)
1
60a) −0,875 → Número decimal exacto d) 0,37 → Número decimal exacto
b) 0,86
→ Número decimal periódico mixto e) 0,8
→ Número decimal periódico puro
c) 0,72 → Número decimal periódico puro f) 0,016
→ Número decimal periódico mixto
70 ¿Cuál es la trigésima cifra decimal del número que se obtiene al expresar en forma decimal 1583
37?
1583
37= 42,783 → La trigésima cifra decimal es 3.
71 Copia esta tabla en tu cuaderno y complétala.
Fracción Fracción irreducible
Factorización del denominador
Tipo de decimal
528
3 15088
5253 ⋅ 52 ⋅ 7 Periódico mixto
612
150
102
2552 Exacto
91
693
13
9932 ⋅ 11 Periódico puro
285
450
19
302 ⋅ 3 ⋅ 5 Periódico mixto
72 Halla la fracción generatriz correspondiente a cada número decimal.
a) 0,72 c) −1,87
e) − 3,36
b) 4,7
d) 8,45 f) 2,965
a) 18
25 c) −
169
90 e) −
84
25
b) 43
9 d)
93
11 f)
2 669
90073 Dados los números a = 3,412 y b = 1,7
, expresa como fracción irreducible los resultados de estas operaciones.
a) a + b b) a − b c) a ⋅ b d) b
a
a) 563
165+
16
9=
2 569
495 c)
563
165⋅16
9=
9 008
1485
b) 563
165−
16
9=
809
495 d)
563
165:16
9=
880
1689
74 Indica razonadamente si la expresión: 2,87+ 0,41
corresponde a un número entero. Haz lo mismo con la expresión:
2,8+ 0,2
2,87+ 0,41
=
259
90+
37
90=
296
90=
148
45= 3,28
→ Es un número decimal periódico mixto, no es un número entero.
2,8+ 0,2=
26
9+
2
9=
28
9= 3,1→ Es un número decimal periódico puro, no es un número entero.
1 Números racionales
22Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
75 El 0,4
de los habitantes de Villacastín se vacunaron de la gripe el invierno pasado. Aun así, contrajeron la enfermedad
104
181 de la población. ¿Cuántos habitantes tiene el pueblo si lo habitan menos de 3 000 personas?
La fracción generatriz correspondiente a 0,4
es 4
9. Si N es el número de habitantes de Villacastín, podemos decir que
los que se vacunaron son 4N
9, y este ha de ser un número entero por tratarse de un número de personas. Por tanto, N
es múltiplo de 9.
Análogamente, también debe ser entero el número de enfermos, que es 104N
181, lo que implica que N es múltiplo de 181.
El único número menor que 3 000 que es múltiplo de 9 y de 181 es el 1 629. Por tanto, en Villacastín hay 1 629 habitantes.76 En un quiosco se vende una octava parte de las revistas por la mañana, mientras que por la tarde se vende 0,1
. ¿Cuántas
revistas había en total sabiendo que eran menos de 100?
La fracción generatriz correspondiente a 0,1
es 1
9. Si N es el número de revistas, podemos decir que por la tarde se ven-
dieron N
9 revistas, y este ha de ser un número entero. Por tanto, N es múltiplo de 9.
Análogamente, también debe ser entero el número de revistas que se vende por la mañana: N
8, lo que implica que N es
múltiplo de 8.
El único número menor que 100 que es múltiplo de 9 y de 8 es el 72. En consecuencia, había 72 revistas.77 Copia el diagrama en tu cuaderno situando en él estos números.
7,2
3
4 π 2 + 4
− 81 14 5 2,345
78 ¿Es un número racional la longitud del lado de un rombo cuyas diagonales miden 4 cm y 6 cm? Razona tu respuesta.
Las semidiagonales del rombo miden 2 cm y 3 cm.
Aplicando el teorema de Pitágoras, el lado del rombo mide: 22 + 32 = 13 cm, que no es un número racional.
79 Indica a cuáles de los siguientes intervalos pertenece el número 5 .
a) [2, 3] b) 5 , 3( ) c) 5 , 3⎡⎣⎢ ) d) (2,3; 3]
El número 5 solo pertenece a los intervalos [2, 3] y 5 , 3⎡⎣⎢ ) .
80 Escribe dos intervalos a los que pertenezca el número −2,5
.
Respuesta abierta, por ejemplo: El número −2,5
pertenece a los intervalos [−3, 0] y [−4, −1].
81 Halla las aproximaciones por redondeo y por truncamiento a las centésimas del número 0,71 . Razona si se trata de apro-ximaciones por exceso o por defecto.
La aproximación por truncamiento a las centésimas es 0,71, y la aproximación por redondeo a las centésimas es 0,72.
La primera es una aproximación por defecto, pues: 0,71 < 0,71 , y la segunda es por exceso, porque 0,72 > 0,71 .82 Calcula el error absoluto cometido al emplear las aproximaciones realizadas en el ejercicio anterior.
El error absoluto cometido al aproximar por truncamiento es:
0,71 − 0,71 =71
99−
72
100=
71
9900= 0,0071
Mientras que el error cometido al aproximar por redondeo es:
0,71 − 0,72 =71
99−
72
100=
28
9900= 0,0028
√—5
– √—81
14
3/4
2 + 4
2,345 7,2
N Z Q R
π
23
1Números racionales
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
83 Elisa quiere hacer un regalo por Navidad, para lo que dispone de tres botellas de vino, cuyo peso es de 1,25 kg cada una, 4 quesos y 2 jamones. Cada queso pesa 3 kg, y cada jamón, 4 kg. La cesta que quiere regalar no puede pesar más de 19 kg. ¿Cuál es la composición de la cesta que mejor se aproxima a dicho peso máximo?
Si Elisa llenase la cesta con todos los productos de que dispone, su peso esta sería: 3 ⋅ 1,25 + 4 ⋅ 3 + 2 ⋅ 4 = 23,75 kg
Ahora bien, como la cesta solo puede alcanzar un peso de 19 kg, Elisa ha de retirar al menos: 23,75 − 19 = 4,75 kg
La mejor aproximación por exceso a 4,75 kg que podemos realizar es: 4 + 1,25 = 5,25 kg
Por tanto, la cesta debe estar formada por 2 botellas, 4 quesos y un jamón, y pesa: 2 ⋅ 1,25 + 4 ⋅ 3 + 4 = 18,5 kg84 Daniel y Joaquín salieron el sábado por la tarde. El primero estuvo en el cine y vio una película que duró 89 min, mientras
que Joaquín disfrutó de un espectáculo de magia de 46 min de duración. Daniel les contó a los amigos que la película había durado una hora y media, mientras que Joaquín les dijo que el espectáculo al que él acudió se prolongó por espacio de tres cuartos de hora. ¿Cuál de los dos dio una información más precisa? ¿Por qué?
Tanto Daniel como Joaquín cometieron el mismo error absoluto: 1 min
Pero mientras el error relativo cometido por Daniel es 1
89, el cometido por Joaquín es
1
46, que es mayor.
Por tanto, la información de Daniel es más precisa.85 Pedro ha ido a las rebajas y ha comprado una camiseta y un estu-
che.
¿En cuál de los dos productos ha conseguido un mejor precio? Razona tu respuesta.
En el precio de la camiseta la rebaja relativa ha sido:
0,8
11,8=
4
59= 0,068
Mientras que en el estuche ha sido: 0,45
3,95=
9
79= 0,11
Como 0,068 < 0,11, concluimos que Pedro ha conseguido un mejor precio al comprar el estuche.
1 Números racionales
24Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Interpretación de facturasSugerencias didácticas
En esta sección trabajamos de un modo más concreto las competencias, en particular la competencia matemática.
Se presenta una situación cotidiana, la interpretación de una factura de teléfono, en la que aparecen los números reales y sus operaciones.
En la resolución de diferentes actividades de comprensión, relación y reflexión, los alumnos desarrollarán algunas de las competencias matemáticas evaluadas por el estudio PISA: Comunica, Argumenta, Resuelve, Utiliza las TIC, Utiliza el lenguaje matemático o Piensa y razona.
Se pretende que los alumnos sean capaces de analizar, interpretar la factura y tomar decisiones para argumentar las cuestio-nes planteadas a lo largo de la sección.
En las actividades de comprensión deberán comunicar los conceptos a los que hace referencia la factura, argumentar decisio-nes, recordar cómo se obtiene el porcentaje de una cantidad, y utilizar las TIC para elaborar un diagrama de sectores.
En las actividades de relación los alumnos reconocerán que los ordenadores trabajan con números reales, habrán de clasificar-los y razonar porqué se hace necesario el redondeo.
Para terminar, en las actividades de reflexión se plantea que el alumno calcule la tarifa en €/seg que aplica la compañía tele-fónica en las líneas de móvil y en las líneas fijas, para lo que será necesario utilizar adecuadamente el redondeo y el sistema de medida horario.
Para finalizar la sección, se incluye el apartado Trabajo cooperativo donde se propone una tarea cuya estrategia cooperativa es Búsqueda de información, de Mel Silberman.
Para desarrollar esta tarea, los alumnos utilizarán Internet para investigar sobre las tarifas de compañías de telefonía. Con los datos obtenidos, realizarán una factura y representarán en diagramas de sectores los datos de la misma.
1 MATEMÁTICAS VIVAS
20 21
1Interpretación de facturas
REFLEXIONA
El cliente ha solicitado el detalle de los consumos de llamadas no incluidas en la tarifa plana para saber de dónde proceden los importes facturados. La compañía le proporciona esta información.
Móvil 1
Fecha / hora N.º llamado Duración Importe (€)
02-11-2014 / 13:23 111111111 02 min 09 s 0,6372
05-11-2014 / 10:45 222222222 05 min 48 s 1,7190
….………………… …………… …...…….. …………
30-11-2014 / 17:56 999999999 04 min 22 s 1,2942
Total 9 llamadas 38 min 39 s 11,4545
Móvil 2
Fecha / hora N.º llamado Duración Importe (€)
04-11-2014 / 22:38 111111111 04 min 12 s 1,2448
15-11-2014 / 12:41 222222222 06 min 14 s 1,8474
….………………… …………… …...…….. …………
27-11-2014 / 09:26 555555555 00 min 28 s 0,1383
Total 5 llamadas 17 min 41 s 5,2397
Llamadas internacionales (desde telf. fijo)
Fecha / hora N.º llamado Duración Importe (€)
02-11-2014 / 13:23 +33123456789 05 min 22 s 2,7188
05-11-2014 / 10:45 +39123456789 01 min 06 s 0,5573
30-11-2014 / 17:56 +33123456789 06 min 45 s 3,4150
Total 3 llamadas 13 min 13 s 6,6911
a. Determina cuál es la tarifa de facturación en euros por segundo que aplica la compañía a los teléfonos móviles, así como la que aplica a las llamadas internacionales desde el teléfono fijo. Redondea tus cálculos a cuatro decimales.
b. ¿Por qué son diferentes las tarifas obtenidas?
3
RELACIONA
Fíjate en la tabla que muestra las cantidades con las que trabaja el ordenador de la compañía antes de redondear.
a. ¿A qué conjuntos numéricos pertenecen los números que indican los totales sin redondear? Dibuja un diagrama para clasificarlos.
b. ¿Por qué crees que es necesario redondearlas cantidades que aparecen en la factura?
2
RESUELVE
ARGUMENTA
COMPRENDE
Observa la factura del teléfono anterior.
a. ¿Qué servicios tiene contratados el cliente en la compañía? ¿En qué consiste cada uno de ellos?
b. ¿Crees que la factura es suficientemente clara? ¿Crees que debería llevar más información o incluir otros conceptos? Razona tus respuestas.
c. ¿Cuál es el porcentaje que se aplica al total de los servicios facturados para obtener el IVA?
¿Cuál es el porcentaje que se aplica al total de los servicios facturados para obtener el IVA?
RESUELVE
d. Utiliza un programa informático para elaborar un diagrama de sectores con los porcentajes que corresponden a cada concepto de la factura. Comenta el gráfico obtenido.
1
ARGUMENTA
UTILIZA LAS TIC
En la factura del servicio combinado de telefonía se utilizan números reales para indicar el coste de los servicios contratados y el consumo realizado durante el período de facturación. El importe total en euros de la factura es el resultado de sumar todos los conceptos facturados más los impuestos.
TRABAJO
COOPERATIVO
¿Qué servicios tiene contratados el cliente en la compañía? ¿En qué consiste cada uno de ellos?
COMUNICA
PIENSA Y RAZONA
¿A qué conjuntos numéricos pertenecen los
UTILIZA EL LENGUAJE MATEMÁTICO
Matemáticas vivas
25
1Números racionales
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Soluciones de las actividades
En la factura del servicio combinado de telefonía se utilizan números reales para indicar el coste de los servicios contratados y el consumo realizado duran-te el período de facturación. El importe total en eu-ros de la factura es el resultado de sumar todos los conceptos facturados más los impuestos.
Comprende1 Observa la factura del teléfono anterior.
a) ¿Qué servicios tiene contratados el cliente en la compañía? ¿En qué consiste cada uno de ellos?
b) ¿Crees que la factura es suficientemente clara? ¿Crees que debería llevar más información o incluir otros conceptos? Razona tus respuestas.
c) ¿Cuál es el porcentaje que se aplica al total de los servicios facturados para obtener el IVA?
d) Utiliza un programa informático para elaborar un diagrama de sectores con los porcentajes que corresponden a cada concepto de la factura. Comenta el gráfico obtenido.
a) Tiene contratada una línea ADSL (Internet) más las llamadas nacionales desde un teléfono fijo por el precio de una tarifa plana, y dos teléfonos móviles, que pagan una cuota mensual de conexión más el importe de las llamadas según el consumo.
b) La factura refleja todos los conceptos, pero es conveniente que se disponga de un anexo con el detalle de los consumos por si el cliente lo solicita. También se debería incluir un gráfico con el historial de los consumos anteriores durante un año.
c) El IVA se aplica sobre el total de los servicios facturados (base imponible), por tanto: 13,5083
64,3253= 0,21→ 21%
d) Tipo de servicio %
Internet + llamadas nacionales (telf. fijo) 25,6 %
Mantenimiento de línea 19,3 %
Línea móvil 1 18,7 %
Línea móvil 2 10,5 %
Llamadas internacionales (telf. fijo) 8,6 %
IVA 17,3 %
Total a pagar 100 %
Aproximadamente la cuarta parte del importe de la factura es lo que cobran por Internet + llamadas nacionales. El im-porte de mantenimiento de línea, la primera línea móvil y el IVA, componen en partes similares casi dos terceras partes de la factura. El resto, con importes menores, se dedica al pago de la segunda línea móvil y a las llamadas internacionales.
Relaciona2 Fíjate en la tabla que muestra las cantidades con las que trabaja el ordenador de la compañía antes de redondear.
a) ¿A qué conjuntos numéricos pertenecen los números que indican los totales sin redondear? Dibuja un diagrama para clasificarlos.
b) ¿Por qué crees que es necesario redondear las cantidades que aparecen en la factura?
a) Reales Racionales→ 19,95 14,99 14,45 8,2396{Irracionales→ 6,691069 100 6...{
⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
b) Es necesario redondear para simplificar los cálculos.
25,6 %
19,3 %
18,7 %
10,5 %
8,6 %
17,3 %Internet + llamadas nacionales (telf. fijo)Mantenimiento de líneaLínea móvil 1Línea móvil 2Llamadas internacionales (telf. fijo)IVA
1 Números racionales
26Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
Reflexiona3 El cliente ha solicitado el detalle de los consumos de llamadas no incluidas en la tarifa plana para saber de dónde proceden
los importes facturados. La compañía le proporciona esta información.
Móvil 1
Fecha / hora N.º llamado Duración Importe (€)
02-11-2014 / 13:23 111111111 02 min 09 s 0,6372
05-11-2014 / 10:45 222222222 05 min 48 s 1,7190
….………………… …………… …...…….. …………
30-11-2014/ 17:56 999999999 04 min 22 s 1,2942
Total 9 llamadas 38 min 39 s 11,4545
Móvil 2
Fecha / hora N.º llamado Duración Importe (€)
04-11-2014 / 22:38 111111111 04 min 12 s 1,2448
15-11-2014 / 12:41 222222222 06 min 14 s 1,8474
….………………… …………… …...…….. …………
27-11-2014 / 09:26 555555555 00 min 28 s 0,1383
Total 5 llamadas 17 min 41 s 5,2397
Llamadas internacionales (telf. fijo)
Fecha / hora N.º llamado Duración Importe (€)
02-11-2014 / 13:23 +33123456789 05 min 22 s 2,7188
05-11-2014 / 10:45 +39123456789 01 min 06 s 0,5573
30-11-2014 / 17:56 +33123456789 06 min 45 s 3,4150
Total 3 llamadas 13 min 13 s 6,6911
a) Determina cuál es la tarifa de facturación en euros por segundo que aplica la compañía a los teléfonos móviles, así como la que aplica a las llamadas internacionales desde el teléfono fijo. Redondea tus cálculos a cuatro decimales.
b) ¿Por qué son diferentes las tarifas obtenidas?
a) Móvil 1: 38 m 39 s = 38 ⋅ 60 + 39 = 2 319 s Tarifa: 11,4545
2 319 = 0,0049 €/s
Móvil 2: 17 m 41 s = 17 ⋅ 60 + 41 = 1 061 s Tarifa: 5,2397
1061 = 0,0049 €/s
Teléfono fijo: 13 m 13 s = 13 ⋅ 60 + 13 = 793 s Tarifa: 6,6911
793= 0,0084 €/s
b) Las tarifas en los móviles es idéntica, la tarifa de las llamadas desde teléfono fijo es más cara porque así lo fijan las compañías telefónicas.
Trabajo cooperativo
Respuesta abierta.
27
1Números racionales
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
22
1 Números racionales
La espiral que aparece en la fi gura se denomina espiral de Teodoro de Cirene
y proporciona un modo de representar los números 2 , 3 , 4 , 5 …
Partiendo de un triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 1 unidad,
obtenemos, por el teorema de Pitágoras, que la hipotenusa mide 2 .
Construyendo un nuevo triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 y 2 ,
deducimos que la hipotenusa mide 3 .
Repitiendo este proceso, generamos la espiral y podemos obtener geométricamente la medida exacta de segmentos cuya expresión decimal tiene infi nitas cifras decimales no periódicas.
También es posible reproducir este proceso sobre la recta real para representar gráfi camente números irracionales
del tipo n .
Sobre el intervalo [0, 1] dibujamos un segmento perpendicular de longitud 1 para formar un triángulo rectángulo
isósceles. Así, por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa mide 2 .
Trasladamos con un compás la longitud de la hipotenusa sobre la recta real
y repetimos el proceso para formar un triángulo rectángulo cuyos catetos
midan 2 y 1 y cuya hipotenusa, por tanto, mida 3 . Reiterando el proceso,
podemos representar cualquier número irracional de la forma n .
AVANZA
A1. Representa los números 5 y 17 sobre la recta real.
A2. Representa los números 27 y 38 sobre la recta real.
Representación gráfica de números irracionales tipo n
Para comparar fracciones sin reducirlas a denominador común, se pueden obtener sus expresiones decimales (o una aproximación de las mismas) y compararlas.
Por ejemplo, si queremos comparar 17
36 y
9
10, procedemos del siguiente modo:
17
36<
18
36=
1
2= 0,5 y
9
10= 0,9
���
����������������������������������������������
→ 0,5 < 0,9 →17
36<
9
10
Otra estrategia para ordenar dos fracciones consiste en efectuar el cociente de ambas y compararlo con la unidad.
Por ejemplo, para ordenar 13
24 y
26
27, hay que proceder así:
13
2426
27
=13 ⋅27
24 ⋅26=
9
16< 1→ El numerador es menor que el denominador →
13
24<
26
27
CM1. Utiliza la técnica anterior para comparar estas fracciones.
a) 1
4 y
3
10 b)
99
200 y
51
90 c)
11
20 y
30
99
CM2. Utiliza la técnica explicada para comparar estas fracciones.
a) 36
77 y
18
49 b) 25
21 y
15
14 c)
54
65 y
45
52
1 2
1
1
0
3
3
2
2
10
1 1
2
3
3
2
2
CÁLCULO MENTAL Estrategia para COMPARAR FRACCIONES
17
36<
18
36=
1
2= 0,5 y
9
10= 0,9
���
����������������������������������������������
→ 0,5 < 0,9 →17
36<
9
10
Sugerencias didácticas
En esta sección se señala que la raíz cuadrada de un entero positivo que no es el cuadrado de otro número entero es un número irracional. También se explica cómo representar con exactitud estos números reales empleando el teorema de Pitágoras tantas veces como sea necesario.
Soluciones de las actividades
A1. Representa los números 5 y 17 sobre la recta real.
5 = 22 + 12
–2–3 –1 10 2 3 4 5 6
√—5
√—5
1
17 = 42 + 12
–2 –1 1
1
0 2 3 4 5 6 7
√—17
√—17
A2. Representa los números 27 y 38 sobre la recta real.
27 = 52 + 2( )2
2 = 12 + 12
38 = 62 + 2( )2
2 = 12 + 12
Cálculo mental. Estrategia para comparar fraccionesSugerencias didácticas
Es probable que el alumno ya haya aplicado la estrategia que consiste en comparar los números decimales que se obtienen al efectuar la división del numerador entre el denominador de la fracción. La segunda se basa en el hecho de que para comparar dos números positivos a y b realizamos su cociente, de modo que si este es menor que 1 concluiremos que a > b, mientras que si es mayor que 1 entonces a < b.
Soluciones de las actividades
CM1. Utiliza la técnica anterior para comparar estas fracciones. a) 1
4 y
3
10 b)
99
200 y
51
90 c)
11
20 y
30
99
a) 0,25 < 0,3 →1
4<
3
10 b) 0,495 < 0,56
→
99
200<
51
90 c) 0,55 < 0,30 →
11
20>
30
99
CM2. Utiliza la técnica anterior para comparar estas fracciones. a) 36
77 y
18
49 b)
25
21 y
15
14 c)
54
65 y
45
52
a) 14
11>1→
36
77>
18
49 b)
10
9>1→
25
21>
15
14 c)
312
325<1→
54
65<
45
52
Avanza. Representación gráfica de números irracionales tipo n
–2–3–4–5 –1 1
1
5
0 2 3 4 5 6 7
√—27
√—27
√—2√—
2
–2–3 –1–5–6 –4–7 1
1
6
0 2 3 4 5 6 7 8
√—38√—
2√—2
1 Números racionales
28Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
1. Intercala un número racional entre cada una de las siguientes parejas de números.
a) 3
5y
4
5 b) 1,12 y 1,121 c) −0,2
y − 0,18
d) 3,14 y π
a) 3
5=
6
10<
7
10<
8
10=
4
5 c) −0,2
<−0,19 <−0,18
b) 1,12 < 1,1201 < 1,121 d) 3,14 < 3,141 < π
2. Calcula el resultado de la siguiente operación y exprésalo en forma de fracción irreducible.
1
2+
2
3⋅ 1−
2
5
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
3
4+
3
5⋅15
4
1
2+
2
3⋅3
5
3
4+
9
4
=
1
2+
2
5
3=
5
10+
4
10
3=
9
10
3=
3
10
3. Santiago está realizando un circuito en bicicleta. Si ya lleva recorridos 33 km y aún le queda por recorrer 2
5 del circuito,
¿de cuántos kilómetros consta el circuito?
Lleva recorridos 2
5 del circuito, lo que supone 33 km.
Por lo que, 1
5 del circuito son 11 km.
Entonces el circuito completo tiene 55 km.
4. ¿Cuántos números enteros hay comprendidos entre 630 y 10π ?
Como 252 = 625 y 262 = 676 entonces: 25 < 630 < 26
Por otra parte, 3,1 < π < 3,2 luego: 31 < 10π < 32
Así pues, entre 630 y 10π hay 6 números enteros ya que:
25 < 630 < 26 < 27 < 28 < 29 < 30 < 31 < 10π < 32
5. Calcula el error relativo que se comete al aproximar 1,4− 0,87 por 0,5.
Calculamos el valor exacto: 1,4− 0,87 =
13
9−
87
99=
56
99
❚❚ Error absoluto: 56
99− 0,5 =
56
99−
1
2=
13
198
❚❚ Error relativo:
13
19856
99
=13
112= 0,12 → 12%
PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA A
29
1Números racionales
Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO
1. Completa el siguiente cuadrado mágico.
O O1
5
1
10
1
6O
2
15O O
Recuerda que un cuadrado mágico es aquel en el que sus filas, sus columnas y sus dos diagonales suman lo mismo.
4
15
1
30
1
5
1
10
1
6
7
30
2
15
3
10
1
15
2. Calcula el siguiente número respetando la jerarquía de las operaciones.
3,2⋅1,5− 6,3
:1,2
29
9⋅3
2−
57
9:11
9=
29
6−
57
11= −
23
66
3. ¿Cuál es la vigésimo tercera cifra decimal del número 23
111 cuando lo expresamos en forma de número decimal?
23
111= 0,207
La vigésimo tercera cifra decimal de 0,207 coincide con la que ocupa la segunda posición, porque el período es de tres cifras y 23 = 7 ⋅ 3 + 2. En consecuencia, la vigésimo tercera cifra decimal es 0.
4. Si n es un número entero tal que 1 ≤ n ≤ 9, ¿cuál es el valor de 0,n
0,n ?
0,n
0,n =
n
10
n
9
=9
10= 0,9
5. Indica cuál es el intervalo de extremos los puntos A y B que se ha representado en la figura.
El intervalo representado es: 2, 4⎡⎣⎢ )
PROPUESTA DE EVALUACIÓNPRUEBA B
10
1
A B