1. Nombres complexes pdf...Multiplication par un nombre réel ... (ρ est la lettre grecque rhô). Remarques • Pour tout nombre complexe z, on a z ≥0. • O est le seul nombre

Cours Terminale STI @ E. Poulin Page 1

1.1. Un peu d’histoire ! (lecture p 11)

Son utilisation provient des équations du 3 et 4ème degré pour permettre leur résolution. Au XVI ème siècle, Bombelli les appelle impossible. En 1637, Descartes les appelle imaginaire. C’est avec Euler , en1777, que pour la première fois, les imaginaires restent dans le calcul.

1.2. L’ensemble des nombres complexes Nous admettons ici l’existence d’un nouvel ensemble noté C, de nombres appelés nombres complexes.

Définition : Les nombres complexes sont de la forme a bi+ où a et b sont des nombres réels quelconques et i un nombre nouveau tel que i 2 1= − Egalité : a bi a b i+ = ′ + ′ ssi a a= ′ et b b= ′

1.3. Opérations sur les nombres complexes Théorème : (admis) On peut définir dans CCCC une addition et une multiplication pour lesquelles les règles de

calcul sont les mêmes que dans RRRR, avec i 2 1= −

Addition : Multiplication : z = a + ib et z = a’+ib’ z = a + ib et z = a’+ib’ z+z’ = (a + a’) + i(b+b’) zz’ = (aa’ – bb’) + i(ab’+a’b) L’ensemble R des nombres réels est un sous-ensemble de l'ensemble C des nombres complexes.

Définitions Soit z = a + bi un nombre complexe. a est la partie réelle de z. Notation: a = Re(z). b est la partie imaginaire de z. Notation: b = lm(z). a·+ bi est la forme algébrique du nombre complexe z. Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle s'écrit z = bi; il est dit imaginaire pur. Les identités remarquables suivantes restent vraies dans le cas où A et B sont des nombres complexes: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 A2 - B2 = (A + B)(A - B). Notons ce nouveau résultat dans C : A2 + B2 = (A + i B)(A - i B).

11.. NNoommbbrreess ccoommpplleexxeess

iz 32+=

iz 3=

4=z sont des complexes


1.4. Conjugué d’un nombre complexe Définition Le nombre complexe conjugué de z = a+ bi est le nombre complexe noté a- bi

noté z . Exemple

Le conjugué de z = 3 + 2i est z = 3 – 2i Remarque

Soit z = a + bi. En utilisant les règles de calcul dans C, on obtient :z z a+ = 2 et zz a b= +2 2

La somme et le produit d'un nombre complexe et de son conjugué sont des nombres réels.

L’inverse d'un nombre complexe z non nul noté 1z peut être mis sous la forme

bia + en utilisant le conjugué z de z .

Exercice : Mettre sous la forme le nombre complexe i

z32

11 +

= , puis i

iz

32

412 +

−=

Pour tous nombres complexes z, z', on a : z z z z+ ′ = + ′ zz z z′ = ⋅ ′

1 1

z z =

z

z

z

z′

=

′

1.5. Représentation géométrique d’un nombre complexe

1. Image et affixe

On considère le plan P muni du repère orthonormal ( )O u v, ,r r

Définitions L’image d’un nombre complexe z = a + bi est le point M de coordonnées (a, b). L’affixe du point M de coordonnées (a, b) est le nombre complexe z = a + bi. On peut aussi représenter géométriquement un nombre complexe par un vecteur.

Définitions

Le vecteur image du nombre complexe z = a + bi est le vecteur OM au bv→

= +r r

L'affixe du vecteur OM au bv→

= +r r est le nombre complexe z = a + bi.

z

z


2. Opérations

Addition Si z1 = a1 + b1i et z2 = a2 + b2i sont les affixes respectives de M1 et de M2 donc de

OM V→

=→

1 1 et de OM V→

=→

2 2 , alors z1 + z2 est l'affixe de V V1 2

→+

→

Exemple La somme de z1 = 3 + 2i et z2 = -1 - 4i est z1 + z2 = 2 – 2i.

Multiplication par un nombre réel

Si z1 = a1 + b1i est l’affixe de M1 donc de OM V→

=→

1 1 , et si α est un nombre réel,

alors α z1 est l'affixe de α V1

→

Exemple Pour z = 3 + 2i et α =2 on a α z = 6 + 4i

Si z1 = a1 + b1i et z2 = a2 + b2i sont les affixes respectives de M1 et de M2 donc de

OM V→

=→

1 1 et de OM V→

=→

2 2 , et α et β deux réels, alors 21 zz βα + est l'affixe de →

+→

21 VV βα

Conséquence: ( 1−=α ; 1=β )

z2-z1 est l’affixe de V V M M2 1 1 2

→−

→=

→

3. Interprétation géométrique de 0zzz +a

Exemple : Soit une application de C dans C définie par : ( ) izzfzf ++= 2: a Calculons ( )0f ; ( )if 2 ; ( )if −1 . Nombre complexe 0 ( )0f 2i ( )if 2 1-i ( )if −1 image O O’ A A’ B B’

On remarque que : ''' BBAAOO == . Dans le cas général, Si M’ d’affixe z’est l’image de M d’affixe z par l’application f, on a :

izz ++= 2' donc izz +=− 2' et zz−' est l’affixe de 'MM

Donc vuMMrr += 2' qui est un vecteur indépendant de M et de M’

M’ est donc la transformée du point M par la translation de vecteur vurr +2

Cas général : Soit f l’application ( ) 0zzzfz +=a où 0z est un nombre complexe fixé. Soit M l’image de z et m’ l’image de ( )zf dans le plan complexe. L’application 'MM a ainsi définie est la translation de vecteur w

r où wr est

l’image de 0z .


1.6. Forme trigonométrique. Représentation géométrique

1. Module d’un nombre complexe

1.1. Définition. Interprétation géométrique Dans le plan complexe, soit M l'image de z = a + bi.

En utilisant te théorème de Pythagore dans un des deux triangles rectangles dessinés, on obtient:

OM2 = a2 + b2, donc OM a b= +2 2 .

Définition

Le module d'un nombre complexe z = a + bi est le nombre réel a b2 2+

Notations Le module d'un nombre complexe z est noté z ; pour alléger les écritures on utilise aussi les lettres r et ρ

( ρ est la lettre grecque rhô).

Remarques

• Pour tout nombre complexe z, on a z ≥ 0 .

• O est le seul nombre complexe dont le module est 0.

• Pour tout nombre complexe z, on a zz a b= +2 2 .

Donc pour tout nombre complexe z, z zz=

• Pour tout nombre complexe z, on a z z= .

Interprétation géométrique

Le module de z est la distance de O à M ;c'est aussi la norme du vecteur OM→

:

z OM OM= =→

1.2. Module d'une différence, distance de deux points

Propriété :

Soit z1 et z2 des nombres complexes d'images respectives M1 et M2. Alors z z M M2 1 1 2− =

1.3. Module d'une somme: inégalité triangulaire

Propriété : Pour tout nombre complexe z1 et z2 , z z z z1 2 1 2+ ≤ +

2. Argument d’un nombre complexe non nul

2.1. Définition. Interprétation graphique

Dans le plan complexe, soit M l'image d'un nombre complexe non nul z = a + bi, le repère ( )O u v, ,r r

étant orienté

dans le sens direct.

a

b


Nous savons que M est caractérisé par la distance OM z= et une mesure θ de l'angle orienté ru OM,

→

ou de

l'angle orienté ru ON,

→

, N étant le point commun à la demi-droite [OM) et au cercle trigonométrique.

Or, par définition des fonctions sinus et cosinus : xN = cosθ et yN = sinθ

Comme OM OM ON→

= ⋅→

puisque ON→

est unitaire, on a :

a a b= +2 2 cosθ et b a b= +2 2 sinθ

On en déduit cosθ et sinθ en fonction de a et de b.

Définition Un argument d'un nombre complexe non nul z = a + bi est un nombre réel θ tel que

cosθ =+

a

a b2 2 et sinθ =

+

b

a b2 2

Interprétation géométrique

Un argument de z (non nul) est une mesure de l'angle orienté ru OM,

→

. Il est donc défini à un nombre entier de

tours près (sur le cercle trigonométrique), c'est-à-dire à k2π près, où k est un nombre entier relatif ( k ∈Z), car un tour dans le sens positif mesure 2π radians.

Un argument de z est noté arg z, ou plus simplement θ . Le module et l’argument d’un nombre complexe z permettent de définir les

coordonnées polaire du point d’affixe z. On notera ces coordonnées [ ]θ;A

Module Argument principal Remarques

• Rappelons les valeurs remarquables de sin et cos

θ 0 π 6 π 4 π 3 π 2

sin x 0 1

2 2

2

3

2

1

cos x 1 3

2

2

2

1

2

0

• z z M M2 1 1 2− = ; ( )arg z z2 1− est une mesure de l’angle orienté ru M M, 1 2

→

• argz z

z z3 1

2 1

−−

est une mesure de l’angle orienté M M M M1 2 1 3

→ →

, où M1, M2, M3 sont les images respectives

de z1, z2, z3. Ces résultats sont utilisés en sciences physiques.

2.2. Forme trigonométrique Un nombre complexe z = a + bi peut donc être défini par son module et s’il n’est pas nul, par son argument

θ

N

M(z)

O A


Nous avons vu d’autre part que a r= cosθ et b r= sinθ où r a b= +2 2 On peut donc écrire z sous la forme

( )z r i= +cos sinθ θ

Cette écriture s'appelle forme trigonométrique de z. Pour passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique, on calcule

r a b= +2 2 et on détermine θ tel que cosθ = a

r et sinθ = b

r

2.3. Module et argument d'un produit Soit z et z' deux nombres complexes non nuls de modules respectifs r et r', d'arguments respectifs θ et θ ' :

( )z r i= +cos sinθ θ et ( )′ = ′ ′ + ′z r icos sinθ θ .

Leur produit est

( ) ( )( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

zz r i r i

zz rr i

zz rr i

' cos sin cos sin

' ' cos cos ' sin sin ' cos sin ' sin cos '

' ' cos ' sin '

= + ′ ′ + ′

= − + +

= + + +

θ θ θ θ

θ θ θ θ θ θ θ θ

θ θ θ θ

On reconnaît la forme trigonométrique du produit z z× ′ qui a donc pour module rr' et pour argument θ θ+ ' .

Théorème Quels que soient les nombres complexes z et z' non nuls

( ) ( ) ( )z z z z

z z z z k

× = ×

× = + +

' '

arg ' arg arg ' 2π où k est un entier relatif

Le module d'un produit est le produit des modules. Un argument d'un produit est la somme des arguments (à un nombre entier de tours près).

2.4. Module et argument de l'inverse d'un nombre complexe non nul

Propriété : Pour tout z ≠ 0

1 1

z z= et arg arg

12

zz k= − + π où k est un entier relatif

Le module de l'inverse est l'inverse du module. Un argument de l'inverse est l'opposé de l'argument.

2.5. Module et argument du quotient de 2 nombres complexes non nuls

Propriété : Pour tout z et z’ non nuls, on a

z

z

z

z' '= et arg

'arg arg '

z

zz z k= − +2 π où k est un entier relatif

Le module d'un quotient est le quotient des modules. Un argument d'un quotient est la différence des arguments.


1.7. Forme exponentielle. Formule de Moivre et d’Euler

1. Notation exponentielle Nous avons vu au paragraphe précédent qu’un argument d'un produit est la somme des arguments.

Ce résultat sur les arguments liant un produit à une somme ressemble à x x xn m n m× = + où l'exposant d'un produit est la somme des exposants. Aussi on adopte une nouvelle notation «de type puissance» pour la partie cos sinθ θ+ i de la forme trigonométrique ne faisant intervenir que l'argument.

Définition Pour tout nombre réel θ , on pose cos sinθ θ θ+ =i ei

Remarque : eiθ se lit «e puissance i thêta».

Avec cette notation, le nombre complexe z de module r et d'argument θ s'écrit : z rei= θ Exemples

Dans le cas particulier où r=1, on a z ei= θ ; son image est sur le cercle trigonométrique.

Remarques • Avec la notation exponentielle des nombres complexes, les deux égalités du théorème relatif au module et à

l'argument d'un produit s'écrivent :

Théorème : ( )re r e rr ei i iθ θ θ θ× = +' '' '

• Dans le cas particulier où r = r’ = 1 on obtient:

Théorème :

Pour tous nombres réels θ et θ', on a : ( )e e ei i iθ θ θ θ× = +' '

Théorème : 1 1

re re

ii

θθ= − et ( )re

r e

r

re

i

i

iθ

θθ θ

' ''

'= −

2. Interprétation géométrique de zez iαa

Exemple :

Soit une application de C dans C définie par : ( ) 4:π

iezzfzf ×=a

Calculons ( )0f ; ( )1f ; ( )if . Nombre complexe 0 ( )0f 1 ( )1f i ( )if image O O’ A A’ B B’

ru

rv

+ i e

i=

π2

1 0 2= =e ei i π − = −1 e iπ

i ei

=−

π2


On remarque que : 'OO = .

'OAOA= et ( ) ( )ππkOAOA 2

4'; +=

'OBOB = et ( ) ( )ππkOBOB 2

4'; +=

Dans le cas général, Si M’ d’affixe ( )zf est l’image de M d’affixe z par l’application f, on a :

( )

+=== 444

πθπθ

π iii

ireerezezf

Donc 'OMOM = et ( ) ( )ππkOMOM 2

4'; +=

M’ est donc la transformée du point M par rotation de centre O et d’angle 4

π

Cas général :

Soit f l’application ( ) zezfz iα=a où α est un nombre complexe fixé. Soit M l’image de z et m’ l’image de ( )zf dans le plan complexe. L’application 'MM a ainsi définie est la rotation de centre l’origine O du repère et d’angle α

3. Formule de Moivre

Soit z ei= θ un nombre complexe non nul. z z z2 = × , donc z r e i2 2 2= θ d'après les résultats obtenus sur le produit de nombres complexes.

De mêmez z z3 2= × , donc z r e i3 3 3= θ et ainsi de suite pour z4…

Nous avons également établi que z z− =1 1 est égal à

1 1

re r ei i− − −=θ θ

On en déduit que z z z− − −= ×2 1 1est égal à r e i− −2 2 θ et ainsi de suite On peut ainsi démontrer que

Théorème : Pour tout nombre complexe non nul z et tout nombre entier relatif n

z zn n= et ( ) ( )arg argz n z kn = + 2π où k est un entier relatif

Remarques Avec la notation exponentielle des nombres complexes ces égalités s'écrivent:

Théorème : ( )re r ei n n inθ θ=

• Dans le cas particulier où n = 2 on obtient :

Pour tout nombre complexe non nul z, z z2 2= et ( ) ( )arg argz z k2 2 2= + π

Donc z z= 2 et ( ) ( )arg argz z k= −1

22 π . On en déduit:

Théorème : Si un nombre complexe Z a pour module ρ et pour argument α , alors le nombre complexe z

de module r = ρ et d'argument θ α=2

est tel que z2=Z


Ce nombre z est appelé une racine carrée du nombre complexe Z ; -z de même module et d'argument α π2

+

est l'autre racine carrée complexe de Z.

Dans le cas particulier où r = 1 on obtient, sous la forme trigonométrique, la formule de Moivre :

Théorème :

Pour tout entier relatif n : ( )cos sin cos sinθ θ θ θ+ = +i n i nn

4. Formule d’Euler

Pour tout nombre réel θ on a : e i

e i

i

i

θ

θ

θ θθ θ

= +

= −−

cos sin

cos sin

Par addition et soustraction membre à membre on obtient:

Théorème :

Pour tout entier relatif n : ( )cosθ θ θ= + −1

2e ei i

et ( )sinθ θ θ= − −1

2ie ei i

Application : Ecrire x3sin en fonction de xsin et sin( )x3 . (c’est à dire linéariser x3sin )

TP : Résolution d’une équation du second degré TP 1 – 2 – 3 – 4 p31

1.8. Complément : Exemple d’utilisation des nombres complexes en électricité et en électronique

Aucune connaissance à ce sujet n'est exigible en mathématiques.

1. Représentation complexe d’une fonction sinusoïdale. Vecteur de Fresnel

En électricité, on utilise des fonctions sinusoïdales du temps t telles que

( ) ( )t i t I ta = +2 cosω ϕ pour l'intensité,

ou ( ) ( )t u t U ta = +2 cosω ϕ pour la tension.

Electricité de France distribue des tensions électriques sinusoïdales de fréquence constante f = 50 hertz.

La pulsation est ω π= ≈ ⋅ −2 314 1f rad s c'est la même constante pour toutes les fonctions i et u ainsi définies.

Il en résulte que chaque fonction ( )t u ta est caractérisée par la donnée du réel positif U et de la mesure ϕ (

en radians) d'un angle. Ainsi, à chaque fonction u, on peut associer le nombre complexe de forme trigonométrique [U, ϕ ].

À toute tension sinusoïdale u on associe le nombre complexe, noté U - de module U, la valeur efficace de u, - d'argument ϕ , la «phase initiale» de u.

( ) ( )u t U wt= +2 cos ϕ et ( )U U j= +cos sinϕ ϕ


Dans le plan complexe si M est l'image de [ ]U U= ,ϕ le vecteur de Fresnel de la fonction

sinusoïdale u est le vecteur OM→

. Exemple

Soit un dipôle soumis à la tension sinusoïdale ( ) ( )u t wt= +220 2 4cos π

On peut associer à u le nombre complexe U =

220

4,π

et le vecteur de Fresnel OM→

2. Impédance complexe Lorsqu'on applique aux bornes d'un circuit une tension sinusoïdale u de pulsation ω , un courant d'intensité sinusoïdale i, de même pulsation ω parcourt ce circuit.

Alors ( )u t U t= 2 cosω et ( ) ( )i t I wt= −2 cos ϕ

Nous venons de voir qu'on associe alors à i et u deux nombres complexes I et U :

[ ]I i= −, ϕ et [ ]U u= ,0

L’impédance complexe du circuit est le nombre complexe ZU

I= .

L'impédance du circuit est le module Z de l'impédance complexe.

Exemples Voici les impédances complexes Z de trois circuits simples :

Résistance pure Bobine Condensateur

Z = R Z jL= ω ZC

j= − 1

ω

R est la résistance L est l’inductance C est la capacité du circuit de la bobine du condensateur En sciences physiques on établit le résultat suivant :

En courant sinusoïdal, dans un circuit en série ou en parallèle, la loi d'association des impédances complexes est la même que celle des résistances, en courant continu, dans le même type de circuit.

En courant continu, à partir de deux résistors de résistances respectives R1 et R2, on obtient une résistance équivalente R dans une association en série et une résistance équivalente r dans une association en parallèle. Association en série R= R1+R2

Association en parallèle 1 1 1

1 2r R R= +

π4

220

u

R

u u

L C

R1

R1

R2

R2


2.1. Rappels sur les suites

1. Activité préparatoire p 300 Faire deux exemples

2. Résumé sur les suites

Soit ( )nu une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r

• u u rn n+ = +1

• u u nrn = +0

• ( )rpnuu pn −+=

• ( )

++=++=

21 0

0n

nn

uunuuS K

On peut retenir : Sn =(nombres de termes)x Remarque : pour démontrer qu’une suite est arithmétique, il suffit de vérifier que u un n+ −1 est constant ; cette constante est la raison r. Soit ( )nu une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q

• u qun n+ =1

• u u qnn= ⋅0

• pnpn quu −⋅=

• q

quuuS

n

nn −−=++=

+

1

1 1

00 K avec 1≠q

On peut retenir : Sn =(premier terme)x

Remarque : pour démontrer qu’une suite est géométrique, il suffit de vérifier que u

un

n

+1 est

constant ; cette constante est la raison q.

3. Comportement global : suites croissantes- suites décroissantes Définition : Soit ( )nu une suite définie sur IN.

• ( )nu est une suite croissante (respectivement strictement croissante), si et seulement si,

pour tout n de IN, nn uu ≥+1 (respectivement nn uu >+1 )

22.. LLiimmiitteess ddee ssuuiitteess eett ddee ffoonnccttiioonnss

premier terme + dernier terme

2

1-(raison)nombre de termes

1-(raison)


• ( )nu est une suite croissante (respectivement strictement croissante), si et seulement si,

pour tout n de IN, nn uu ≤+1 (respectivement nn uu <+1 )

• Une suite monotone est une suite croissante ou une suite décroissante. Exemple : Démontrer que la suite ( )nu définie par 2nun = est croissante.

Conséquence : Pour les suite géométriques de raison q, Si q>1, la suite est croissante. Si q<1, la suite est décroissante. Si q=1, la suite est constante. Théorème : Si f est une fonction croissante (resp. décroissante) sur [ [+∞;0 , alors, la suite de terme général

( )nf est croissante (resp. décroissante)

2.2. Limite d’une suite

1. Limite infinie Définition :

• Dire qu’une suite u a pour limite ∞+ signifie que tout intervalle ] [+∞;A (avec A réel) contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

• Dire qu’une suite u a pour limite ∞− signifie que tout intervalle ] [B;∞− (avec B réel) contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.

Notation et vocabulaire On note +∞=

+∞→ nn

ulim et −∞=+∞→ n

nulim (on dit aussi que la suite u tend vers ∞+ ou ∞− )

Théorème : +∞=

+∞→n

nlim +∞=

+∞→

2lim nn

+∞=+∞→

3lim nn

+∞=+∞→

nnlim

Exemples +∞=

+∞→

2lim nn

∞−−+∞→

3lim nn

2. Cas des suites croissantes non majorées Définition :

• Dire qu’une suite u est majorée signifie qu’il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, Mun ≤

• Dire qu’une suite u est minorée signifie qu’il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n, mun ≥

Exemple

La suite définie sur IN* par n

un

12 += est minorée par 2 et majorée par 3 car 1

10 ≤<

n

Propriétés • Si u est une suite croissante non majorée, alors +∞=

+∞→ nn

ulim

• Si u est une suite décroissante et non minorée alors −∞=+∞→ n

nulim

H.Prog.


3. Limites finies Exemple introductif

Une personne souhaite partager 100 € en n personne. On considère la suite qui à n associe

la somme que possèdera chaque personne. On a n

un

100= . Si on partage en 1,10,100,1000,…,

combien auront chaque personne ? Définition Soit l un réel. Dire qu’une suite u a une limite l signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. Notation et vocabulaire On note lun

n=

+∞→lim . On dit aussi que u tend vers l ou converge vers l. Une telle suite est

dite convergente. Théorème :

01

lim =+∞→ nn

01

lim2

=+∞→ nn

01

lim3

=+∞→ nn

01

lim =+∞→ nn

Exemple : 21

2lim =

++∞→ nn

. Si 11 <<− q , alors 0lim =+∞→

n

nq

Remarque : Une suite qui n’est pas convergente est dite divergente.

4. Limite d’une suite géométrique ( )nq

Théorème : Soit q un nombre réel strictement positif +∞=

+∞→

n

nqlim si 1>q

1lim =+∞→

n

nq si 1=q

0lim =+∞→

n

nq si 10 << q

2.3. Limite finie ou infinie d’une fonction en ∞+ ou en ∞−

1. Limite finie en ∞+ ou en ∞−

Définition Soit l un réel. Dire qu’une fonction f a une limite l signifie que tout Intervalle ouvert contenant l contient tous les valeurs ( )xf pour x assez grand. Notation et vocabulaire On note ( ) lxf

x=

+∞→lim . On dit aussi que ( )xf vers l.

Dans un repère orthogonal, la droite d’équation ly = est asymptote horizontale en ∞+ à la courbe représentative C de f. Théorème

01

lim =+∞→ xx

01

lim2

=+∞→ xx

01

lim3

=+∞→ xx

01

lim =+∞→ xx

Exemple : 21

2lim =

++∞→ xx

. 01

lim =

−+∞→ axx

( ) ( )0

1lim

1lim

22=

−=

− −∞→+∞→ axax xx

x

f(x)


2. Limite infinies en ∞+ ou en ∞−

Définition Dire qu’une fonction f a pour limite ∞+ en ∞+ signifie que tout intervalle ] [+∞;A (avec A réel) contient toutes

les valeurs ( )xf pour x assez grand. Notation et vocabulaire On note ( ) +∞=

+∞→xf

nlim On dit aussi que ( )xf tend vers ∞+ quand x tend vers ∞+ .

Définition Dire qu’une fonction f a pour limite ∞− en ∞+ signifie que tout intervalle ] [B;∞− (avec B réel) contient toutes

les valeurs ( )xf pour x assez grand. Notation et vocabulaire On note ( ) −∞=

+∞→xf

nlim On dit aussi que ( )xf tend vers ∞− quand x tend vers ∞+ .

Théorème :

+∞=+∞→

xxlim +∞=

+∞→

2lim xx

+∞=+∞→

3lim xx

+∞=+∞→

xxlim

−∞=−∞→

xxlim +∞=

−∞→

2lim xx

−∞=−∞→

3lim xx

Exemples : +∞=

+∞→x

xlim . ( ) −∞=−

+∞→

33lim xx

( ) +∞=−−∞→

33lim xx

Définition Soient a et b deux réels avec 0≠a . C est la courbe représentative de la fonction f dans un repère. Dire que la droite d’équation baxy += est asymptote oblique à C en ∞+ (resp. en ∞− )

signifie que : ( ) ( )[ ] 0lim =+−+∞→

baxxfx

. (resp. ( ) ( )[ ] 0lim =+−−∞→

baxxfx

)

2.4. Limite finie ou infinie d’une fonction en un réel

1. Limite finie en un réel : exemple

On cherche la limite lorsque x tend vers 0 de ( )x

xxf

sin= définie sur IR*

En procédant à un « zoom » à l’aide de la calculatrice, on peut conjecturer que f « a pour limite 1 en 0 ». On le notera ( ) 1lim =

→xf

ax

Remarque : Si f est une fonction définie au voisinage de a, alors on a ( ) ( )afxf

ax=

→lim

2. Limite infinies en un réel Exemple 1

Soit f une fonction définie sur IR-1 par ( )( )21

1

−=

xxf

A l’aide de la calculatrice, on peut conjecturer que f a pour limite ∞+ en 1. On note ( ) +∞=

→xf

x 1lim

x

f(x) A


Exemple 2

Soit f une fonction définie sur IR-1 par ( )1

1

−=

xxf

A l’aide de la calculatrice, on peut conjecturer que la limite de f en 1 est de ∞− si 1<x et ∞+ si

1>x . On dit alors que ∞− est la limite à gauche de f en 1. On dit alors que ∞+ est la limite à droite de f en 1. On note ( ) −∞=

<→

xfxx

11

lim et ( ) +∞=>→

xfxx

11

lim

Cas général : Soit a un réel.

• −∞=−

<→ ax

axax

1lim ; +∞=

−>→ ax

axax

1lim ;

( )+∞=

−→ 2

1lim

axax ; +∞=

−>→ axax

ax

1lim

• C est la courbe représentative d’une fonction f dans un repère. Dire que la droite d’équation ax = est asymptote verticale à C signifie que la limite (éventuellement à droite ou à gauche) de f en a est ∞+ ou ∞− .

2.5. Théorème « des gendarmes » pour les fonctions

1. Théorème « des gendarmes » Théorème : (admis) Soit f, g, h trois fonction et l un réel. Si ( ) lxg

x=

+∞→lim et ( ) lxh

x=

+∞→lim et si pour x assez grand ( ) ( ) ( )xhxfxg ≤≤ , alors ( ) lxf

x=

+∞→lim

2. Comparaison de deux fonctions Propriété : Si ( ) +∞=

+∞→xg

xlim et si pour x assez grand ( ) ( )xgxf ≥ , alors ( ) +∞=

+∞→xf

xlim

Si ( ) −∞=+∞→

xgxlim et si pour x assez grand ( ) ( )xgxf ≤ , alors ( ) −∞=

+∞→xf

xlim

2.6. Opérations et limites

1. Limite d’une somme, d’un produit de deux fonctions Propriétés Les fonctions f et g ont le même ensemble de définition. a désigne un réel ou ∞+ ou ∞− et l, l’ sont des réels. f a pour limite en a l l l ∞+ ∞+ ∞− g a pour limite en a l’ ∞+ ∞− ∞+ ∞− ∞− f+g a pour limite en a l+l’ ∞+ ∞− ∞+ FI ∞−

f a pour limite en a l l>0 l>0 l<0 l<0 ∞+ ∞+ ∞− 0 g a pour limite en a l’ ∞+ ∞− ∞+ ∞− ∞+ ∞− ∞− ∞+ ou ∞−

gf × a pour limite en a

ll’ ∞+ ∞− ∞− ∞+ ∞+ ∞− ∞+ FI

Exemples : Attention, aux formes indéterminées :

• ( )2

1

xxf = ; ( ) 2xxg = ; ( ) 0lim =

+∞→xf

x ; ( ) +∞=

+∞→xg

xlim ( ) ( ) 1lim =×

+∞→xgxf

x


• ( )x

xf1= ; ( ) 2xxg = ; ( ) 0lim =

+∞→xf

x ; ( ) +∞=

+∞→xg

xlim ( ) ( ) +∞=×

+∞→xgxf

xlim

• ( )x

xxf

cos= ; ( ) xxg = ; ( ) 0lim =+∞→

xfx

; ( ) +∞=+∞→

xgxlim gf × n’a pas de limite

2. Limite d’un quotient de deux fonctions Propriétés Les fonctions f et g ont le même ensemble de définition D. g ne s’annule pas sur D. a désigne un réel ou ∞+ ou ∞− et l, l’ sont des réels. f a pour limite en a l l ∞+ ∞+ ∞− ∞− ∞+ ou ∞− g a pour limite en a l’ 0≠ ∞+ ou ∞− l’>0 l’<0 l’>0 l’<0 ∞+ ou ∞−

g

f a pour limite en a

l

l′

0 ∞+ ∞− ∞− ∞+ FI

f a pour limite en a l>0 ou ∞+ l<0 ou ∞− l>0 ou ∞+ l<0 ou ∞− 0 g a pour limite en a 0 en restant

positif 0 en restant

positif 0 en restant

négatif 0 en restant

négatif 0

g

fa pour limite en a

∞+ ∞− ∞− ∞+ FI

Méthodes : • Etude d’une limite d’un polynôme

Pour étudier la limite en ∞+ ou ∞− d’un polynôme, on met en facteur le terme de plus haut degré. Exemple : étude de la limite en ∞+ de ( ) 123 23 ++−= xxxxf

On sait que +∞=+∞→

3lim xx

; −∞=−+∞→

23lim xx

; +∞=+∞→

xx

2lim donc FI . On ne peut pas conclure

directement.

On réécrit f : ( )

++−=32

3 1231

xxxxxf .

Or 03

lim =−+∞→ xx

; 02

lim2

=+∞→ xx

; 01

lim3

=+∞→ xx

. Donc 1123

1lim32

=

++−+∞→ xxxx

D’autre part, +∞=+∞→

3lim xx

donc ( ) +∞=+∞→

xfxlim

• Etude d’une limite d’une fonction rationnelle Pour étudier la limite en ∞+ ou ∞− d’une fraction rationnelle, on factorise le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré.

Exemple : étude de la limite en ∞+ et en 3 de ( )3

22

−+=

x

xxxf définie sur ] [+∞;3 .

• En ∞+ , +∞=++∞→

xxx

2lim 2 et +∞=−+∞→

3lim xx

donc FI . On ne peut pas conclure

directement.

On réécrit ( )

−

+=

−

+=

x

xx

xx

xx

xf3

1

21

31

212

.

Or 12

1lim =

++∞→ xx

; 13

1lim =

−+∞→ xx

; +∞=+∞→

xxlim . Donc ( ) +∞=

+∞→xf

xlim


• En 3, avec x>3 152lim 2

3=+

→xx

x et 03lim

3=−

→x

x,

Or 03 >−x sur l’intervalle, donc +

>→

=− 03lim33x

xx

. Donc ( ) +∞=+∞→

xfxlim

2.7. Limite d’une fonction composée

1. Limite de la composée de deux fonctions Propriété (admise) Soient a, b, c des réels ou ∞+ ou ∞− , et f et g deux fonctions. Si ( ) bxf

ax=

→lim et ( ) cxg

bx=

→lim , alors ( )( ) cxfg

ax=

→olim

Exemple : étude de la limite en ∞+ de ( )

=x

xh1

cos .

On pose ( )x

xf1= . ( ) XXg cos= . ( ) ( )( )xfgxh o=

Or ( ) 0lim =+∞→

xfx

; ( ) 1lim0

=→

XgX

. donc ( )( ) 1lim =+∞→

xfgx

o

2. Limite de la composée d’une suite et d’une fonction Propriété (admise) Soient a, b des réels ou ∞+ ou ∞− , u une suite et f une fonction. Si aun

n=

+∞→lim et ( ) bxf

ax=

→lim , alors ( ) buf n

n=

+∞→lim

2.8. Asymptotes : Résumé ( )lim

x xf x→ = +∞

0

ou −∞

La droite d’équation x=x0 est la droite asymptote à la courbe. Le signe de la limite infinie détermine la position de la courbe

( )limxou

f x l→+∞−∞= avec l IR∈

La droite d’équation y=l est la droite asymptote à la courbe. Le signe de f(x)-l détermine la position de la courbe

( ) ( )[ ]limxou

f x ax b→+∞−∞− + = 0

La droite d’équation y=ax+b est la droite asymptote à la courbe. Le signe de f(x)-(ax+b) détermine la position de la courbe

y

x O x0

y

x O

l

y

x O


3.1. Dérivation en un point Première approche Un point mobile M se déplace sur un axe. La distance parcourue par ce point à l’instant t est donnée par ( ) 2ttd = . L’instant origine est t=0. a)Calculer la vitesse moyenne du point M entre les instants 1 et 2 ; 2 et 3 ; 2 et 2,1 ; 1,9 et 2. b)Comment définir une vitesse instantanée à l’instant t=2 ?

1. taux de variation

Un point mobile M se déplace sur un axe selon la loi horaire ( )tdt a , ( )td est la distance parcourue par M à l’instant t depuis l’origine.

La vitesse moyenne de M entre les instants 0t et ht +0 (avec 0≠h ) est : ( ) ( )

h

tdhtd 00 −+

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et a+h sont de réels de I avec 0≠h

Le rapport ( ) ( )

h

afhaf −+ s’appelle le taux de variation entre a et a+h.

La vitesse instantanée sera donnée par la limite de la vitesse moyenne lorsque h tend vers 0.

2. Nombre dérivé Exemple La distance parcourue par un point mobile M sur un axe est donnée à l’instant t ( )0≥t par

( ) 2ttd = La vitesse moyenne du point M entre les instants 3 et 3+h (avec 0≠h et 03 ≥+ h ) est :

( ) ( ) ( )

hh

h

h

dhd +=−+=−+6

9333 2

Lorsque h prend des valeurs proches de 0, 6+h prend des valeurs proches de 6. On dit que la limite en 0 de 6+h est 6. On écrit ( ) 66lim

0=+

→h

h

Cette limite est la vitesse instantanée du point m à l’instant t=3 De façon générale, on pose la définition suivante : Théorème : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et a+h sont de réels de I avec 0≠h . Dire que f

est dérivable en a signifie que lorsque h tend vers 0 ( ) ( )

h

afhaf −+ tend vers un réel L, ce que

l’on écrit : ( ) ( )

Lh

afhaf

h=−+

→0lim

On dit que L est le nombre dérivé de f en a et on note ( ) Laf =′ .

33.. EEttuuddee llooccaallee eett gglloobbaallee dd’’uunnee ffoonnccttiioonn


Remarque : dans le §1 si d est dérivable en t0 alors la vitesse instantanée est ( ) ( )00 tdtv ′=

Application : Calculer un nombre dérivé à parti de la définition Dans chaque cas, a est un réel donné ; démontrer que la fonction est dérivable en a et donner son nombre dérivé en a. a) f est définie sur IR par ( ) 25 +−= xxf a=2

b) g est définie sur IR par ( ) 132 2 −+= xxxg a=1

c) h est définie sur IR par ( )x

xk1= a=-1

3. Tangente à la courbe représentative d’une fonction

Définition : Soit f une fonction dérivable en a dont la courbe de représentative a une tangente au point d’abscisse a. Le nombre dérivé L de f en a est le coefficient directeur de cette tangente. Il est noté f’ (a). L’équation de la tangente en ( )( )afa, s’écrit pAxy += .

Or le point ( )( )afa, appartient à la tangente et vérifie donc l’équation.

D’où ( ) Laafp −=

La tangente a donc pour équation ( ) ( )afaxLy +−=

Soit ( )( ) ( )afaxafy +−= ' Si f est dérivable en a et si A est le nombre dérivé de f en a, la courbe représentative de f admet au point de coordonnées ( )( )afa, une tangente d’équation ( )( ) ( )afaxafy +−′=

4. Approximation affine associée à une fonction

Définition : Soit une fonction f définie en a et au voisinage de a. on dit que f est dérivable en a s’il existe un réel A et une fonction ϕ tel que, au voisinage de h=0, ( )haf + peut s’écrire sous la forme :

( ) ( ) ( ) ( )hhhafafhaf ϕ+′+=+ avec ( ) 00

lim =→

hh

ϕ

Définition : Soit une fonction f définie en a

( ) ( )afhaf ′+ est l’approximation affine de ( )haf + pour h proche de 0, associée à la fonction f.

3.2. Dérivation sur un intervalle – fonction dérivée Définition : Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si, et seulement si, f admet un nombre dérivé en tout point de I. La fonction qui à tout x de I, associe le nombre dérivé de f en x, s’appelle fonction dérivée de f

et se note f’. En physique on utilise aussi la notation différentielle dx

df

a

f(a) L

y = f(x)


1. Dérivées usuelles f(x) f’(x) Intervalle I

k ; k réel 0 IR x 1 IR

mx+p m IR x2 2x IR

xn, n entier naturel nxn-1 IR 1

x − 1

2x

] [−∞;0 ou ] [0;+∞

1

xn − +

n

xn 1

] [−∞;0 ou ] [0;+∞

x 1

2 x ] [0;+∞

sin x cos x IR cos x - sin x IR

2. Opération sur les fonctions dérivables

Fonction Dérivée Fonction composée ku (k réel) ku’ Si g(t) = f(at+b) et si f est dérivable en at+b

alors ( ) ( )g t af at b' '= +

u+v u’+v’ uv u’v+uv’ 1

v − v

v

'2

u

v

u v uv

v

' '−2

3.3. Applications de la dérivation

1. Sens de variation Si pour tout réel x de I Alors

f’(x)=0 f est constante sur I f’(x)>0 f est strictement croissante sur I f’(x)<0 f est strictement décroissante sur I

2. Extremum Théorème : Si f est dérivable sur l’intervalle I et admet un maximum local (ou un minimum local) en un point a distinct des extrémités de I, alors f’ (a)=0.


3. Etude et Représentation graphique d’une fonction Pour Etudier une fonction et construire sa représentation graphique, on procède généralement de la manière suivante: • Etude des variations :

• Dérivée • Signe de la dérivée • Tableau de variation

• Le plan étant muni d’un repère orthogonal ou orthonormal, on dessine la courbe représentative après avoir placé :

• Les éventuels points représentatifs des extremums • Des points ou des droites particuliers • Quelques points obtenus à l’aide d’une calculatrice

Exemple : Etudier et représenter sur [-5 ;5] ( ) 1123

2 23

+−+= xxx

xf

On vérifiera que ( ) ( )( )322 +−=′ xxxf

3.4. Fonction dérivable et strictement monotone

Théorème 1 : Si f est une fonction dérivable sur [a, b] et si, pour tout x de [a, b] f’(x)>0, alors f est strictement croissante sur [a, b] et, pour tout élément λ de ( ) ( )[ ]f a f b, , l’équation ( )f x = λ admet

une solution et une seule dans [a, b]. a x0 b

Théorème 2 : Si f est une fonction dérivable sur [a, b] et si, pour tout x de [a, b] f’(x)<0, alors f est strictement décroissante sur [a, b] et, pour tout élément λ de ( ) ( )[ ]f b f a, , l’équation ( )f x = λ admet

une solution et une seule dans [a, b]. a x0 b Exercice : A partir de ces théorèmes on peut démontrer qu’il existe une solution de l’équation x x3 1 0+ + = dans l’intervalle ]-1,0[. On peut obtenir une valeur approchée de cette solution par dichotomie (division de l’intervalle en 2).

3.5. Les fonctions cosinus, sinus

1. Définition

Définition : M étant le point du cercle trigonométrique tel que ( )OA OMr r, = α :

• L’abscisse du point M est le cosinus du nombre α noté cosα . • L’ordonnée du point M est le sinus du nombre α noté sinα .

OH=αcos et OK=αsin Les coordonnées du point M sont donc ( )αα sin;cos

f(b) λ f(a)

f(a) λ f(b)

O

M

H A O

α

K

• ( )3

85 =−f

• ( ) 283 =−f

• ( )3

412 =f

• ( )3

1482 =f


On définit par la suite les fonctions numériques : Cosinus : IR [ ]1;1−→

OHxx =cosa Sinus : IR [ ]1;1−→

OKxx =sina

2. Période

Les fonctions sinus et cosinus sont périodique de période π2 . Pour tout x de IR

( )π2coscos += xx et ( )π2sinsin += xx En physique on utilise des fonctions de la forme : ( )ϕω +ttf cos: a et ( )ϕω +ttf sin: a

Ces fonctions ont pour période ωπ2=T

3. Parité des fonction sinus et cosinus Propriété : La fonction cosinus est paire : en effet, Pour tout nombre x, ( )cos cosx x= −

La fonction sinus est impaire : en effet, Pour tout nombre x, ( )sin sinx x= − −

4. Dérivation Théorème : Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur IR et

f(x) f’(x) Intervalle I sin x cos x IR cos x - sin x IR

Théorème : Les fonctions ( )ϕω +tt cosa et ( )ϕω +tt sina sont dérivables sur IR et

f(x) f’(x) Intervalle I ( )ϕω +tcos ( )ϕωω +− tsin IR

( )ϕω +tsin ( )ϕωω +tcos IR

O

M

M’

A -x x

O


5. Sens de variation Les fonctions sinus et cosinus étant périodique de période π2 et respectivement impaire et paire, il suffit de les étudier sur l’intervalle [ ]π;0

5.1. Etude de la fonction cosinus

Soit ( ) xxf cos= . On a ( ) xxf sin−=′

Sur [ ]π;0 , ( ) 0≤′ xf car 0sin ≥x . Donc

x 0

π2

π

x −

cosx

1 -1

On en déduit la courbe représentative sur [ ]π;0 , puis sur IR

5.2. Etude de la fonction sinus

Soit ( ) xxf sin= . On a ( ) xxf cos=′

Sur

2;0π

, ( ) 0≥′ xf

Sur

ππ;

2, ( ) 0≤′ xf Donc

x

0 π2

π

x + 0 −

sinx

1 0 0

On en déduit la courbe représentative sur [ ]π;0 , puis sur IR

3.6. La fonction tangente Définition :

Pour tout nombre réel x tel que 0cos ≠x , x

xx

cos

sintan =


Interprétation géométrique D’après Thalès, dans le triangleOAT tel que (AT) soit parallèle à (MH), on a :

AT

HM

OA

OH = . Donc x

x

OH

OK

OH

OAHMAT

cos

sin1 =×=×=

Donc xAT tan= Ensemble de définition

La fonction tangente est définie pour tout réel x tel que ππkx +≠

2 ( )Zk ∈

Période

La fonction tangente est π -périodique. Il suffit donc de l’étudier sur

−2

;2

ππ

Parité La fonction tangente est impaire. Etude des variations

Théorème : Pour tout t k≠ +π π2

, tancos

′ =tt

12

= 1 + tan2 t.

t 0 π/2 tan’ t 1 + tan t

+∞ 0

O

M

H A

O

x

K

T


4.1. Dérivation d’une fonction composée Théorème (admis) : Si u est une fonction dérivable en x0 et si g est une fonction dérivable en ( )u x0 , alors la

fonction g uo est dérivable en x0 et ( ) ( ) ( )( ) ( )g u x g u x u xo′ = ′ ×0 0 0'

1. Application à la dérivation de un

Théorème : Soit n un nombre relatif non nul ; soit u une fonction dérivable en x0 et ne s’annulant pas en x0 si n est négatif.

La fonction ( )[ ]f u xn

a est dérivable en x0 et ( ) ( )[ ] ( )f x n u x u xn′ =

−0 0

1

0'

Exemples :

• La dérivée de ( )3 25

x + est ( ) ( )5 3 2 3 15 3 25 1 4× + × = +−

x x

• La dérivée de ( )2 22 2x x− + est ( ) ( ) ( )( )2 2 2 4 1 2 2 2 4 12 2 1 2× − + × − = − + −

−x x x x x x

• La dérivée de ( )− + −x 2

2 est ( ) ( ) ( )− × − + × − = − +− − −

2 2 1 2 22 1 3

x x

2. Application à la dérivation de ( ) ( )f t g at b= +

Théorème : Si g est dérivable en at0+b, al fonction ( )f t g at b: a + est dérivable en t0 et

( ) ( )f t ag at b′ = ′ +0 0

Conséquence : • Les fonctions ( )f t t: cosa ω ϕ+ et ( )g t t: sina ω ϕ+ sont dérivables sur IR.

• La dérivée de ( ) ( )f t t= +cosω ϕ est ( ) ( )′ = − +f t tω ω ϕsin

• La dérivée de ( ) ( )g t t= +sin ω ϕ est ( ) ( )′ = +g t tω ω ϕcos

4.2. Dérivées successives Propriétés : fonction dérivable sur un intervalle, f’ sa fonction dérivée. Si f’est dérivable, on dira que f admet

une dérivée seconde. On notera ( ) ff ′′=′′ .

Exemple : calculer les dérivées successives de ( ) xxxf 33 −=

Rappels : en physique, on utilise la notation différentielle dx

df, pour f’ ,

2

2

dx

fd pour f ′′ .

44.. CCoommpplléémmeennttss ssuurr llaa ddéérriivvaattiioonn eett lleess pprriimmiittiivveess


4.3. Primitive d’une fonction dérivable sur un intervalle Exemple : Soit les fonctions définies sur IR par :

( )f x x= −6 32 et ( )F x x x= − +2 3 53

On peut vérifier que pour tout nombre réel x, ( ) ( )′ =F x f x

F est la fonction dérivée de F. On dit que F est une primitive de f sur IR.

1. Définition et théorèmes Définition Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. Une fonction F définie sur I est une primitive de f sur I lorsqu’elle est dérivable sur I et que F’ = f. Théorème (admis) : Toute fonction dérivable sur un intervalle I admet des primitives sur I. Remarquons dans l’exemple précédent que ( )F x x x= − −2 3 73 est encore une primitive de f.

D’où le théorème suivant. Théorème (admis) : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et soit F une primitive de f. Les primitives de f sont les fonctions définies sur I par ( )x F x Ca + où C est une constante

réelle. Théorème (admis) : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Parmi les primitives de f définies sur I, il en existe une et une seule, prenant la valeur donnée y0 pour une valeur donnée x0 de la variable. Comme pour les dérivées, il existe un tableau des primitives usuelles par lecture inverse du tableau des dérivées

2. Primitives des fonctions usuelles f(x) F(x) Intervalle de validité a ax+C IR x 1

22x C+

IR

xn n nombre entier positif ou

négatif différent de –1.

1

11

nx Cn

+++

IR si n>0 ] [−∞;0 ou ] [0;+∞ si n ≤ 0

et n ≠ −1 12x

− +1

xC ] [−∞;0 ou ] [0;+∞

1

x 2 x C+ ] [0;+∞

sin x -cos x + C IR cos x sin x + C IR


3. Primitives d'une somme de fonctions, primitives d'un produit d'une fonction par un nombre réel

Propriété de linéarité : Si F est une primitive de f sur un intervalle I et si G une primitive de g sur I, alors F + G est une primitive de f + g sur I. Si F est une primitive de f sur un intervalle I, si α est un nombre réel, alors αF est une primitive de αf sur I.

4. Primitives d’une fonction composée

f(x) F(x) Intervalle de validité

( ) ( ) ( )f x u x u xn= ⋅ '

avec n ≠ −1 ( ) ( )[ ]F x

u x

nC

n

=+

++1

1

I

( ) ( )( )nxu

xuxf

'=

avec 1≠n

( )( )[ ] Cxun

xFn

+×+−

= −1

1

1

1

I

sin(ax+b) − 1

acos(ax+b)+C

I

cos(ax+b) 1

asin(ax+b)+C

I


5.1. Intégrale d’une fonction continue sur un segment.

1. définition

Définition Soient f une fonction continue sur un intervalle I, F une primitive de f sur I, a et b deux éléments de I. On appelle intégrale de a à b de f le nombre réel F(b) - F(a). On note :

( ) ( ) ( )f t dt F b F aa

b

∫ = −

Remarques

• Pour calculer ( )f t dta

b

∫ , nous commençons par déterminer une primitive F de f avant de calculer F(b) - F(a).

Nous notons ce calcul de la façon suivante : ( ) ( )[ ]f t dt F ta

b

a

b

∫ =

( ) ( ) ( )f t dt F b F aa

b

∫ = −

• Dans l'écriture ( )f t dta

b

∫ , la variable t est «muette», ce qui signifie que ( ) ( )f t dt f x dxa

b

a

b

∫ ∫= =L

Exemples

• [ ]3 3 15 6 92

5

2

5dt t∫ = = − =

• [ ]11 1

1 1tdt t e

e e

∫ = = − =ln ln ln

Cas particulier

Si b = a, alors ( )f t dta

a=∫ 0 .

2. Interprétation graphique de l’intégrale dans le cas d’une fonction de signe constant

2.1. Fonction positive sur un intervalle [a, b]

Théorème Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a, b]. L’aire A de la partie du plan constituée de l'ensemble des points M de coordonnées x et y telles

que a x b≤ ≤ et ( )0 ≤ ≤y f x est : A = ( )f x dxa

b

∫

55.. CCaallccuull iinnttééggrraall


a 0 b Remarque L'aire A considérée dans ce théorème est exprimée en unités d'aire. Dans un repère orthonormal ( )O i j, ,

r rl'unité

d'aire est l'aire du carré défini par les vecteurs unitaires OI→

et OJ→

du repère. Si sur l'axe des abscisses et sur l'axe des ordonnées l'unité choisie est 1 cm, alors l'unité d'aire est 1 cm2, si l'unité choisie sur chaque axe de coordonnée est 2 cm, alors l'unité d'aire est 4 cm2. Pour vérifier l'ordre de grandeur du résultat d'un calcul d'aire, il suffit de compter les carreaux hachurés sur une figure faite sur papier millimétré.

On peut aussi vérifier le résultat du calcul d'une intégrale avec la valeur approchée obtenue avec une calculatrice programmable, ou la valeur

exacte donnée par certaines calculatrices très performantes...

2.2. Fonction négative sur un intervalle [a, b]

Théorème Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle [a, b]. L’aire A de la partie du plan constituée de l'ensemble des points M de coordonnées x et y telles

que a x b≤ ≤ et ( )f x y≤ ≤ 0 est : A = ( )−∫ f x dxa

b

5.2. Propriétés de l’intégrale

1. Relation de Chasles

Théorème Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a, b, c des éléments de I.

( ) ( ) ( )f t dt f t dt f t dta

c

a

b

b

c

∫ ∫ ∫= +

Nous appelons ce résultat relation de Chasles par analogie avec AB BC AC→

+→

=→

Cas particulier

Si c = a on obtient ( ) ( )f t dt f t dta

b

b

a

∫ ∫+ = 0 d'où : ( ) ( )f t dt f t dta

b

b

a

∫ ∫= −

2. Linéarité

Théorème Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et a et b deux éléments de 1; soit α et β des nombres réels.

( ) ( )( ) ( ) ( )α β α βf t g t dt f t dta

g t dtaa

b b b+ = +∫ ∫ ∫

Démonstration : Soit F une primitive de f et G une primitive de g sur I.

A


Alors

( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )

α β α β

α β α β α β

α β α β

f t g t dt F t G t

F b G b F a G a F b F a G b G a

F t G t f t dta

g t dta

a

b

a

b

a

b

a

b b b

+ = +

= + − − = − + −

= + = +

∫

∫ ∫

Exemple d'application

[ ] [ ] ( ) ( )65

3 2 51

3 5 3 4 1 5 2 1 9 5 21

2

1

2

1

22

1

2

1

2t

tdt tdt

tdt t t+

= + = + = − + − = +∫ ∫ ∫ ln ln ln ln

Autre application : Aire de la partie limitée par deux courbes représentatives Théorème (admis) Soient f et g deux fonctions dérivables sur [ ]ba, , telles que pour tout x de [ ]ba, ,

( ) ( )xfxg ≤ . L’aire de la partie du plan limitée par les courbes représentatives de f et g et les deux droites d’équation ax = et bx = est :

A= ( ) ( )∫ −b

a

dxxgxf

3. Positivité

Théorème

Si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a, b], alors ( )f t dta

b

∫ ≥ 0 .

Remarques • Dans un intervalle [a, b], on a nécessairement a b≤ .

• ATTENTION, On peut avoir ( )f t dta

b

∫ ≥ 0et a b≤ sans avoir f positive sur [a, b].

4. Intégration d’une inégalité

Théorème Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [a, b].

Si pour tout t de [a, b] , f(t) ≤ g(t), alors ( ) ( )f t dt g t dta

b

a

b

∫ ∫≤

Démonstration On utilise la fonction g – f. Celle-ci est continue sur [a, b] car f et g sont continues sur cet intervalle. Pour tout t de [a, b], f (t) -- g(t) donc g(t) - f (t) > 0 ; la fonction g - f est donc positive sur [a, b].

D'après la positivité de l'intégrale, comme a ≤ b, ( ) ( )( )g t f t dta

b− ≥∫ 0

En utilisant la linéarité de l’intégrale, on arrive à la conclusion du théorème.

Remarque Ce théorème peut permettre de comparer des intégrales, même si on ne sait pas les calculer, ou d'encadrer une intégrale.


5. Inégalité de la moyenne Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] et soient m et M des nombres réels tels que, pour tout t de [a, b],

( )m f t M≤ ≤ .

Intégrons ces deux inégalités en appliquant les théorèmes du paragraphe précédent

( )mdt f t Mdta

b

a

b

a

b

∫ ∫ ∫≤ ≤

d’où [ ] ( ) [ ]mt f t Mta

b

a

b

a

b≤ ≤∫

donc ( ) ( ) ( )m b a f t M b aa

b− ≤ ≤ −∫ c'est l'inégalité de la moyenne.

Théorème : Inégalité de la moyenne Soient f une fonction continue sur un intervalle [a, b]. Si m et M sont des nombres réels tels que pour tout t de [a, b], ( )m f t M≤ ≤ ,

alors ( ) ( ) ( )m b a f t M b aa

b− ≤ ≤ −∫

Interprétation graphique Dans le cas où f est positive sur [a, b] et où m ≥ -- 0,

l'aire de la partie coloriée, égale à ( )f t dta

b

∫ ,

est comprise entre l'aire du rectangle ABFE égale à m (b - a) et l'aire du rectangle ABHG égale à M (b - a). Remarque

Nous déduisons de ce théorème que, dans le cas où a < b, ( ) ( )mb a

f t Ma

b≤

−≤∫

1

Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle

Définition Soit f une fonction continue sur un intervalle I; soient a et b deux éléments de I tels que a < b.

On appelle valeur moyenne de f sur [a, b] le nombre réel : ( ) ( )1

b af t

a

b

− ∫

Exemple Calculons l'intensité moyenne d'un courant alternatif pendant une demi-période sachant que l'intensité est définie en fonction du temps par : i = Im sin ωt.

La période estT = 2πω

. L'intensité moyenne sur une demi-période est donc :

( )

IT

I tdtI

Ttdt

II

Tt

I

T

T

II

T

I

T

moy mm

moym

T

m

moym m

=−

=

= −

= − −

= − − =

∫ ∫1

20

2

2 1 2 1

20

20

4

0

2

0

2

0

2

sin sin

cos cos cos

cos cos

ω ω

ωω

ωω

ωπ

ω

π π

a b t A B

E F

H G M

m


5.3. Techniques de calcul- exemples

1. Utilisation du tableau de primitive Calculer

∫ −=

2

1 12x

dxC ( )∫ +−=

2

0

2 42 dtttF ∫= 2

0

2cossinπ

tdttE

2. Linéarisation de polynômes trigonométriques

Soit f la fonction définie sur IR par : ( ) tttf 2coscos= 1) Linéariser à l’aide des formules d’Euler

2) Calculer la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10-3 près, de l’intégrale : ( )∫= 2

4

π

π dttfI

3. Réécriture d’une fonction

On se propose de calculer l’intégrale dxx

xxJ ∫ +

++=1

0

2

3

12

1) Déterminer trois constantes réelles a, b, c telles que , pour tout x de [ ]1;0 ,

33

12 2

+++=

+++

x

cbax

x

xx

2) Après avoir justifié que la fonction 3

12 2

+++

x

xxx a est continue sur [ ]1;0 , calculer la valeur exacte

de l’intégrale J.

4. Cas particuliers

• Si f paire ( ) ( )∫∫ =−

aa

a

dttfdttf0

2

• Si f impaire ( ) 0=∫−

a

a

dttf

• Si f périodique de période T ( ) ( )∫∫ =+ TTa

a

dttfdttf0


6.1. Introduction.

1. Bref historique Au XVIème siècle, les calculs se faisaient à la main ce qui rendait les multiplication importantes assez longues à calculer. L’astronomie faisant de nombreux progrès mais ayant besoin de moyens calculatoires importants, on cherchait à simplifier les calculs. C’est alors qu’un écossais John NEPER (1550 – 1617) trouva un moyen ingénieux pour transformer une multiplication en une addition.

2. Activité préparatoire

• Les bâtons de NEPER • Les suites géométriques

On choisit pour un capital C0 une formule de placement qui rapporte 7% d’intérêts composés par an.

1°) De quel capital C1 dispose-t-on au bout d’un an ?

2°) De quel capital 2C dispose-t-on au bout de deux ans ? 3°) De quel capital Cn dispose-t-on au bout de n ans ? 2°) A l’aide de la calculatrice, remplir le tableau suivant :

n 5 10 15 20 1,07n

3°) a) à l’aide du seul tableau que peut-on dire du nombre d’années qu’il faut pour doubler son capital ? b) Au bout de combien d’année dispose-t-on du double du capital ? 4°) Reprendre la question 3°) pour le triple du capital – une fois et demie le capital.

6.2. Définition – relation fonctionnelle

1. Définition :

La fonction logarithme népérien est la primitive de xx

a1

sur ] [0;+∞ qui prend la valeur 0

pour x=1. Notation ln: lnx xa ] [0;+∞ → IR

Remarque : la fonction ln est dérivable sur ] [0;+∞ et, pour tout x de ] [0;+∞ , ln′ =xx

1

Exemple de valeurs avec la calculatrice ln 1 = 0 par définition du logarithme népérien. ln 2 = ln 4 = ln 0,5 = ln 3 = ln 6 = ln 9 = Remarque : La fonction ln n’est pas définie en 0 ni en un nombre strictement négatif.

66.. FFoonnccttiioonn llooggaarriitthhmmee nnééppéérriieenn


2. Relation fonctionnelle

En reprenant les valeurs calculées ci-dessus, on remarque que : ( )ln ln ln2 3 2 3× = +

( )ln ln ln2 2 2 2× = +

2.1. Logarithme d’un produit

Théorème admis : Pour tout nombres réels a et b strictement positifs : ln ln lnab a b= +

2.2. Logarithme d’un inverse

De même, on remarque que ln ln1

22= −

Théorème admis : Pour tout nombre réel a strictement positif : ln ln1

aa= −

2.3. Logarithme d’un quotient Soit a et b deux réels strictement positifs : On a

ln ln ln lna

ba

ba

b= ×

= +1 1

d’après le premier théorème.

Mais ln ln1

bb= − d’après le second théorème. D’où le théorème suivant

Théorème : Pour tout nombre réel a et b strictement positif : ln ln lna

ba b= −

2.4. Logarithme d’une puissance D’après le premier théorème pour tout nombre a strictement positif, on a :

( )ln ln ln ln lna a a a a a2 2= × = + =

De même, ( )ln ln ln ln lna a a a a a3 2 2 3= × = + =

Nous admettons par suite que ln lna n an =

Remarquons enfin que ln ln lna a0 1 0 0= = = ×

Théorème : Pour tout nombre réel a strictement positif : ln lna n an = EXERCICE D’APPLICATION : Exercice d’introduction

2.5. Logarithme d’une racine carrée.

Théorème : Pour tout nombre réel a strictement positif : ln lna a= 1

2

On retrouve ici la découverte de Neper : « Transformer un produit en une somme »


6.3. Etude des variations, courbe représentative

1. Sens de variation - Signe

Par définition de la fonction logarithme, la fonction ln est dérivable sur ] [0;+∞ et, pour tout x de

] [0;+∞ , ln′ =xx

1. Or

10

x> pour tout x de ] [0;+∞ .

Donc la fonction logarithme népérien est croissante sur ] [0;+∞

Remarque : Pour tout x de ] [1;+∞ , ln x > 0

Pour tout x de ] [0 1; , ln x < 0

On a aussi les équivalences suivantes pour tout réels a et b strictement positif : ln lna b= ssi a = b. ln lna b≤ ssi a b≤ ln lna b≥ ssi a b≥

2. Limites de la fonction aux bornes de l’intervalle.

• En observant le comportement de la fonction pour des valeurs proches de 0 (10-5 par exemple), on remarque que la fonction tend vers −∞

On admet donc le résultat suivant : lim lnx

x→

= −∞0

• En observant le comportement de la fonction pour des valeurs très grandes (1025 par

exemple), on remarque que la fonction tend vers +∞ On admet donc le résultat suivant : lim ln

xx→+∞ = +∞

3. Tableau de variation – Courbe représentative. x 0 +∞

( )ln ′ =xx

1 +

ln x

+∞ −∞

La courbe représentative de la fonction ln a pour asymptote l'axe des ordonnées. Définition : e est le nombre réel définie par ln e = 1. Remarque : Pour tout nombre relatif n ln en = n

1

1 2 e 3

Exemples de résolution


4. Approximation par une fonction affine, au voisinage de 0, de la fonction ( )hh +1lna

Pour ( ) xxf ln= ,on a ( )x

xf1=′ . Don ( ) 11 =′f

Or le nombre dérivé est aussi la limite en 0 du taux de variation ( ) ( ) ( )

h

h

h

h +=−+ 1ln1ln1ln

Donc ( )

11ln

lim0

=+→ h

hh

. Donc la fonction hh → est une bonne approximation affine de

( )hh +1lna .

5. Limite de ln x

x en +∞

• En observant le comportement de la fonction pour des valeurs très grandes (1025 par exemple), on remarque que la fonction tend vers 0

On admet donc le résultat suivant : limln

xx

x→+∞ = 0

Conséquence : pour tout nombre entier naturel non nul n, on a limln

xx

xn→+∞ = 0

6.4. Fonction composée de la forme ln u

1. Dérivée

Théorème : Soit u une fonction dérivable strictement positive sur l’intervalle I.

La fonction f définie sur I par ( )f x u= ln est dérivable sur I et ( )′ = ′f x

u

u

Exemples : Calculer les dérivées des fonctions suivantes :

( ) ( )f x x= +ln 2 1 sur ] [− +∞0 5, ;

( ) ( )f x x x= + +ln 2 1 sur IR

2. Primitives

Théorème : Soit u une fonction dérivable un intervalle I. • Si ( )u x >0 pour tout x de I, alors les primitives de la fonction f définies sur I par

( ) ( )( )f x

u x

u x=

′ sont définies sur I par ( ) ( )[ ]F x u x C= +ln où C est une constante réelle.

• Si ( )u x <0 pour tout x de I, alors les primitives de la fonction f définies sur I par

( ) ( )( )f x

u x

u x=

′ sont définies sur I par ( ) ( )[ ]F x u x C= − +ln où C est une constante réelle.


Exemple : Cherchons la primitive de ( )f x xx

= + +−

3 12

2 1 sur I = −∞

;1

2

Réponse : ( ) ( )F x x x x C= + + − + +3

22 12 ln

6.5. Complément : le logarithme décimal Définition : la fonction logarithme décimal est la fonction définie sur ] [0;+∞ par

x xx

a logln

ln=

10

Exemple : 210ln

10ln2

10ln

100ln100log ===


7.1. Activité préparatoire Soit la fonction f définie par ( ) xxf ln= 1) Compléter le tableau suivant (à arrondir à 10-1).

x 0,05 0,1 0,2 0,5 0,7 1 1,5 2 3 4 ( )xf

2) Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ( )jiOrr

;; d’unité 2 cm. 3) Dans le même repère tracer la droite d’équation y = x 4) Pour tout point ( )( )xfyx =; défini ci dessus, placer dans le repère ( )jiO

rr;; les points ( )xy, .

5) Construire la nouvelle courbe, symétrique de la fonction f par rapport à la droite y = x.

Cette nouvelle fonction s’appelle la fonction exponentielle

7.2. Fonction exponentielle

1. Définition Dans le chapitre précédent, nous avons étudié la fonction logarithme népérien : nous avons vu en particulier que : • La fonction ln est définie et dérivable sur ] [0;+∞

• Pour tout x de ] [0;+∞ , ln′ = >xx

10

• lim lnx

x→

= −∞0

et lim lnx

x→+∞ = +∞

x 0 +∞

( )ln ′ =xx

1 +

ln x

+∞ −∞

D’autre part, nous avons admis le théorème suivant :

Théorème : Si f est une fonction dérivable sur [a, b] et si, pour tout x de [a, b] f’(x)>0, alors f est strictement croissante sur [a, b] et, pour tout élément λ de ( ) ( )[ ]f a f b, , l’équation ( )f x = λ admet

une solution et une seule dans [a, b]. a x0 b on étend ce théorème au cas d’intervalles ouverts en remplaçant [a, b] par ] [0;+∞ et ( ) ( )[ ]f a f b,

par ] [−∞ +∞; lorsque des conditions de limites aux bornes des intervalles ouverts sont réalisés.

77.. ffoonnccttiioonnss eexxppoonneennttiieelllleess eett ppuuiissssaanncceess

1

1 2 e 3

f(b) λ f(a)


Ici, on a lim lnx

x→

= −∞0

et lim lnx

x→+∞ = +∞ ; nous admettons le théorème suivant :

Pour tout élément y de ] [−∞ +∞; , l’équation lnx y= , où l’inconnue est x, admet une solution

unique dans ] [0;+∞ .

Par exemple pour y=0, x=1 pour y=1, x=e A 0 nous associons 1 A 1, nous associons e. Nous définissons ainsi une nouvelle fonction appelée fonction exponentielle, notée exp définie sur IR et prenant ses valeurs dans ] [0;+∞ .

Définition : • la fonction exponentielle, notée exp, est la fonction qui à tout nombre réel x associe le

nombre strictement positif unique y tel que yx ln= .

• Exp : x y xa = exp définie par yx ln=

IR ] [→ +∞0;

Exemples : (à constater avec la calculatrice)

exp 0=1 exp 1 = e D’après cette définition, nous en déduisons que :

Pour tout nombre réel x et tout nombre réel strictement positif y, y x= exp si et seulement si yx ln=

Remarques : • Pour tout nombre réel x, exp x >0 • Pour tout nombre réel x, ( )ln expx x=

• Pour tout nombre réel de ] [0;+∞ , ( )exp lnx x=

2. Notation ex

Nous savons que pour tout nombre entier relatif n, lne nn =

Donc en prenant l’exponentielle de chacun de ces nombres, on a : ( )exp ln expe nn =

En définitive comme ( )exp lne en n= , pour tout entier relatif n, exp n=en

Or, exp x est définie pour tout nombre réel x. On convient de définir ex lorsque x est un nombre réel en étendant l’égalité précédente aux nombres réels :

Pour tout nombre réel x, on a : xex =exp Nous pouvons réécrire les résultats de la manière suivante : • Pour tout nombre réel x et tout nombre réel strictement positif y, y ex= ssi yx ln=

• Pour tout nombre réel x, ex >0 • Pour tout nombre réel x, lne xx = • Pour tout nombre réel de ] [0;+∞ , e xxln =


3. Relation fonctionnelle La fonction ln « transforme un produit en une somme ». On établit que la fonction exponentielle « transforme une somme en un produit ».

Pour tous nombres réels a et b, e e ea b a b+ = × Conséquences :

Pour tous nombres réels a et b, ee

aa

− = 1, e

e

ea b

a

b− =

Pour tout nombre réel a et pour tout nombre entier relatif n, ( )e ea n na=

4. Etude des variations – Courbe représentative

Etudions les variations de la fonction exponentielle définie sur IR par x exa .

4.1. Dérivée Nous admettons le théorème suivant : Théorème : La fonction exponentielle est dérivable sur IR et est égale à sa fonction dérivée. La fonction dérivée de f : x ex

a est f’ : x exa .

4.2. Sens de variation Pour tout nombre réel x, (exp)’(x)=ex>0 Donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur IR

4.3. Limites en −∞ et +∞ Nous savons que lim ln

xx

→= −∞

0 et lim ln

xx→+∞ = +∞

Nous admettons que : limx

ex

→−∞ = 0 et limx

ex

→+∞ = +∞

4.4. Tableau de variation x −∞ +∞

( )e ex x′= +

ex

+∞ 0

4.5. Courbe représentative

Le plan est muni du repère orthonormal ( )0; ,r ri j .

Les courbes représentatives des fonctions exp et ln se déduisent l’une de l’autre par la symétrie orthogonale d’axe la droite d’équation y = x.


4.6. Limite de e

x

x

en +∞

A l’aide de la calculatrice, lorsque x prend des valeurs de plus en plus grandes, on remarque que e

x

x

devient de plus en plus grand.

On admet que : limx

e

x

x

→+∞ = +∞

5. Fonction composée de la forme eu

5.1. Dérivée D’après le théorème sur la dérivations des fonctions composées, on a : Théorème :

Si u est dérivable sur un intervalle I, alors la fonction eu est dérivable sur I et : ( )e u eu u′= ′

Exemple : Déterminer la dérivée de f(x) = e4x-2

5.2. Primitives Inversement Théorème : Si sur un intervalle une fonction f est telle que ( ) ( ) ( )f x u x eu x= ′ , alors les primitives F de f sur I

sont définies par ( ) ( )F x e Cu x= + (C étant une constante réelle quelconque)

Exemple : Déterminer la primitive de f(x)=e3x+ 2.

y=ln x

y = x

y = ex

Remarque : La courbe exponentielle admet pour asymptote l’axe des abscisses, ce qui est l’interprétation de

limx

ex

→−∞ = 0 .

x -3 -2 -1 f(x)

x 0 1 2

f(x)


6. Nombre ab

6.1. Définition Soit a un nombre réel strictement positif Pour tout entier relatif n, ln lna n an = Donc ( ) ( )anan lnexplnexp = . On élargit ce résultat pour tout nombre réel b.

Définition Soit a un nombre réel strictement positif et soit b un nombre réel : a eb b a= ln Exemple : Calculer : 3,13,5. On utilisera la touche xy ou la touche ^

6.2. Propriétés On peut démontrer les résultats suivants

Pour tous nombres strictement positifs a et a’, pour tous nombres réels b, c : ab > 0

a a ab c b c+ = × ( )aa a ab b b′ = × ′

aa

bb

− = 1

1 1

a a

b

b

=

aa

ab c

b

c− =

a

a

a

a

b b

b'

=

′

( )a ab c bc= ln lna b ab =

7. Fonction exponentielle de base a

7.1. Définition Définition : Soit a un nombre réel strictement positif. La fonction définie sur IR par x a ex x a

a = ln est appelée fonction exponentielle de base a. Exemple : la fonction f x ex x: ln

a 2 2= est la fonction exponentielle de base 2. Elle prend les valeurs suivantes au voisinage de 0.

x -0,1 -0,01 -0,001 0,001 0,01 0,1 f(x)

7.2. Sens de variation – courbe représentative Soit a un nombre réel strictement positif, fixé. 0 < a < 1 a >1 x −∞ +∞ x −∞ +∞

f’(x) - f’(x) + f(x)=ax

+∞ 0

f(x)=ax

+∞ 0


0 < a < 1 a >1 Remarque : En posant lna = α , les deux conditions deviennent 0 < a < 1 a >1

αααα < 0 αααα >0 On observe alors graphiquement le comportement de eαx en +∞ et en −∞ :

Si αααα >0 , alors limx

e x

→−∞ =α 0 et limx

e x

→+∞ = +∞α

Si αααα < 0, alors limx

e x

→−∞ = +∞α et limx

e x

→+∞ =α 0

7.3. Fonctions puissances

1. Fonctions définies sur IR par nxx → , avec n entier naturel non nul.

Fonctions carrée – cube. p 273

2. Fonctions définies sur IR* par nn

xx

x −=→ 1, avec n entier naturel

non nul. Fonctions inverse. p 274

3. Fonctions définies sur ] [+∞;0 par αxx → , avec α nombre réel.

Définition Soit α un nombre réel.

• On appelle fonction « puissance α » la fonction αf définie sur ] [+∞;0 par

( ) xexxf lnααα == .

• αα xxf a: est dérivable sur ] [+∞;0 et ( ) 1−=′ α

α αxxf

Deux cas : αααα <0 et αααα >0 Livre page 275

ri

rj

O ri

rj

O

y=ax y=ax y = eαx y = eαx


4. Fonctions. n xx a avec n entier naturel non nul.

Définition : • Soit n un nombre entier naturel non nul.

La fonction racine nième est la fonction qui à tout nombre x de [ [+∞;0 associe le nombre unique y

de [ [+∞;0 tel que xyn = .

La fonction est définie par : n xxf =a:

• Pour tout nombre entier naturel non nul n, pour tous nombres x et y de [ [+∞;0 , nn xx1

=

nn xxy ==1

si et seulement si xyn =

5. Croissance comparée des fonctions x xa exp , x xna et x xa ln

en +∞

Au chapitre précédent, on a admis que et limln

xx

xn→+∞ = 0

Toute fonction puissance « croit plus vite » que la fonction ln

On vient d’admettre que limx

e

x

x

→+∞ = +∞

La fonction exponentielle « croît plus vite » que toute fonction puissance Pour des grandes valeurs de x, les nombres ln x, x, x2, x3, ex se classent dans cet ordre du plus petit au plus grand.

ex x3 x2 x ln x xn


8.1. Introduction historique Les jeux de hasard existe depuis l’antiquité : Les jeux de dés en particulier. C’est de ces différents jeux que viennent les origines des mots actuellement utilisés en probabilité : Aléa vient du latin alea qui signifie « coup de dé ». Hasard vient de l’arabe az-zahr qui signifie « jeu de dé ». Jusqu’au XVIème siècle Beaucoup de problèmes restaient sans solution. Par exemple le grand duc de Toscane, grand amateur de jeux de hasard avait remarqué qu’en lançant trois dés simultanément, le total 10 revenait plus souvent que le total neuf, alors que 10 et 9 se décomposent de la même manière. FAIRE LA DECOMPOSITION C’est Galilée (1564 – 1642) mathématicien physicien et astronome italien qui résolut le premier ce problème. Pascal (1623-1662) mathématicien, physicien, philosophe français est considéré comme le fondateur du calcul des probabilités en généralisant des méthodes issues de cas particuliers. Aujourd’hui, les probabilités sont utilisées dans presque tous les secteurs : assurance, gestion, économie, génétique, médecine, physique des particules… L’informatique peut même simuler le hasard : La touche Ran # ou RND permet d’obtenir un nombre pseudo-aléatoire. .

8.2. Probabilités

1. Vocabulaire

1.1. Expérience aléatoire Lorsque dans une situation donnée, nous disposons de certaines informations, mais nous

ne pouvons connaître à l’avance le résultat car le hasard intervient, On dit qu’il s’agit d’une expérience aléatoire.

Exemple : - Situation 1 : Lancer un dé cubique - Situation 2 : Tirer une carte au hasard dans un jeu de 32. - Situation 3 : Jouer deux fois à pile ou face en lançant une pièce

1.2. Univers

Définition : Dans une expérience aléatoire, l’univers est l’ensemble de tous les résultats possibles. On note souvent cet ensemble Ω. Exemples :

- Situation 1 : Ω=1,2,3,4,5,6 - Situation 2 : Ω est l’ensemble des 32 cartes du jeu - Situation 3 : Ω est l’ensemble des couples suivant : (pile, pile), (pile, face),

(face, pile) (face, face).

88.. PPrroobbaabbiilliittééss


1.3. Evènement

Définition : • Un événement est une partie de l’univers • Un événement élémentaire est un événement possédant un seul élément. • Deux événement sont disjoints ou incompatibles si et seulement si A B∩ = ∅ • L’événement contraire d’un événement A est l’événement A constitué des éléments de

Ω n’appartenant pas à A.

Exemples issu de la situation 1 : - A=1,2,3 est un événement de Ω=1,2,3,4,5,6 - L’événement « obtenir 3 » est un événement élémentaire. - L’événement « obtenir un nombre pair est P=2,4,6 - L’événement contraire à P est l’ensemble P =1,3,5 - P et P sont deux événements incompatibles.

2. Probabilité Exemples issus de la situation 1. (le dé n’est pas pipé)

La probabilité d’obtenir l’événement élémentaire 3 est de 1

6.

A partir de cela, la probabilité d’obtenir l’événement A=1,2,3 est la somme des probabilités pour obtenir l’événement élémentaire 1 puis 2 puis 3.

Donc la probabilité d’obtenir l’événement A=1,2,3 est 1

6+

1

6+

1

6, c’est à dire

1

2

Définition : Soit Ω un univers fini. • La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des événements élémentaires

qui le constituent. • La probabilité de Ω est 1. Notation La probabilité d’un événement A est notée P(A). Exemples issus de la Situation 2 :

- Déterminer la probabilité d’obtenir un valet de cœur. - Déterminer la probabilité d’obtenir un cœur. - Déterminer la probabilité d’obtenir un valet.

3. Equiprobabilité

Définition : L’équiprobabilité correspond au cas où tous les événements élémentaires ont la même probabilité.

Théorème : (admis) Dans le cas où tous les événements élementaires ont la même probabilité, leur probabilité commune est : 1 nombre d’éléments de Ω


Exemple : Cf situations précédentes.

Théorème : (admis) Dans le cas où tous les événements élementaires ont la même probabilité, la probabilité d’un événement A est : Nombre d’éléments de A Nombre de cas favorables Nombre d’éléments de Ω Nombre de cas possibles Exemple : Cf situations1 et 2 précédentes. Attention : Dans la situation 3 il y a 4 événements équiprobables. Mais attention : obtenir « 1 fois pile et 1 fois face dans un ordre quelconque » n’est pas un événement élémentaire. Il y a deux possibilités sur 4 cas favorable soit une probabilité de ½.

4. Propriétés :

4.1. Evénements disjoints

Théorème : (admis) : Pour tout événement disjoint A, B, ( ) ( ) ( )P AUB P A P B= +

4.2. Evénements complémentaire

Théorème : Pour tout événement A ( ) ( )P A P A= −1

Démonstration : On sait que A et A sont deux événements disjoints et que A A∪ = Ω

D’après 3.2, on a donc ( ) ( ) ( )P AUA P A P A= + , mais ( ) ( )P AUA P= =Ω 1

D’où ( ) ( )P A P A= −1

4.3. CAS GENERAL

Théorème : (admis) Pour tout événement A, B, ( ) ( ) ( ) ( )P AUB P A P B P A B= + − ∩

Pour dénombrer, on utilise généralement l’un de ce trois schémas Diagramme de Venn Arbre des événements Diagramme de Caroll

Alice au pays des merveilles, c’est lui !!!!!

P(A)= =

B B A A

Choix pour A

Choix pour B

A B∩A B Ω


8.3. Variable aléatoire

1. Exemple de Variable aléatoire Tirons au hasard une boule d'une urne contenant une boule rouge R, une boule verte V et une boule bleue B. Remettons-la dans l'urne et effectuons un second tirage d'une boule, chacune des trois boules ayant, dans ce cas aussi, la même probabilité d'être choisie.

Comme nous l'avons vu au chapitre précédent, on peut calculer des probabilités concernant cette situation ; choisissons, par exemple, comme univers Ω l'ensemble de tous les couples dont le premier élément est la boule obtenue au premier tirage et le second, celle obtenue lors du second tirage.

1er tirage

2ème tirage R V B

R (R, R) (V, R) (B, R) V (R, V) (V, V) (B, V), B (R, B) (V, B) (B, B)

D'après l'énoncé, les neuf événements élémentaires sont équiprobables : leur probabilité commune est donc 1

9

Nous pouvons alors calculer la probabilité de tout événement ainsi, par exemple, la probabilité de tirer au moins une boule verte est :

P((R, V), (V, R), (V, V), (V, B), (B, V)) = 5

9

Complétons la situation précédente par une règle du jeu Pour chaque boule rouge tirée, on gagne 6 €. Pour chaque boule verte tirée, on gagne 1 €. Pour chaque boule bleue tirée, on perd 4 €. Soit X l'application de Ω dans IR qui, à tout tirage de deux boules décrit au paragraphe précédent, associe le gain ainsi obtenu ; une perte est considérée comme un gain négatif. (R, R) 12 (V, R) (R, V) 7 (B, R) (V, V) 2 (R, B) (V, B) -3 (B, V) (B, B) -8

( )X X:ω ωa , gain obtenu avec le tirage ω.

Ω → IR. X est une variable aléatoire à valeurs réelles. L’ensemble -8, -3, 2, 7, 12 des gains possibles, c'est-à-dire des valeurs prises par X, est noté X(Ω) . X(Ω) = -8, -3, 2, 7, 12 est l'image de ΩΩΩΩ par X.

Une grandeur numérique X prenant , lors d’une expérience aléatoire, des valeurs nxxx ,...,, 21

avec des probabilités nppp ,...,, 21 , est une variable aléatoire

2. Loi de probabilité ou distribution d'une variable aléatoire Dans la situation décrite ci-dessus, un joueur préfère, avant de jouer, connaître la probabilité de gagner 12 € ou de perdre 3 € plutôt que celle de tirer telle ou telle boule de couleur. Aussi allons-nous chercher à bâtir, à partir de la probabilité P définie sur Ω, une nouvelle probabilité P’ définie sur X(Ω) = -8, -3, 2, 7, 12. Pour toute partie E de X(Ω) , on veut définir une probabilité P'(E) à l'aide de P et de X. Observons par exemple sur la figure le singleton 2 de X(Ω) . Il est l'image par X de la partie (B, R), (V, V), (R, B) de Ω.

Or P( (B, R), (V, V), (R, B) ) = 3 9 1 3=


Aussi est-il « naturel » de poser P'( 2 )= 1

3

De même, soit G l'événement « avoir un gain positif ». G = 2, 7, 12 puisque X(Ω)= -8, -3, 2, 7, 12. G est l'image de X de la partie (R, R), (V, R), (R, V), (B, R), (V, V), (R, B)

de Ω constituée de six événements élémentaires de Ω.

Donc P( (R, R), (V, R), (R, V), (B, R), (V, V), (R, B)) = 6 9 2 3=

Il est naturel de poser P'(G)= 2

3

On obtient alors :

k -8 -3 2 7 12 P(Y = k) 1/9 2/9 1/3 2/9 1/9

Ce tableau de valeurs définit une fonction ( ) ( )kXPkfkf ==a: Cette fonction s’appelle loi de probabilité associée à la variable aléatoire X Définition Soit X une variable aléatoire prenant pour valeurs les nombres nxxx ,...,, 21 avec des probabilités

nppp ,...,, 21 .

La loi de probabilité ou distribution associée à la variable aléatoire X est la fonction f qui à chaque nombre ix associe la probabilité ip .

: ( ) ( ) iiii pxXPxfxf ===a:

( ) [ ]X Ω → 0 1,

Tableau de valeurs diagramme en bâtons

k -8 -3 2 7 12 P(Y = k) 1/9 2/9 1/3 2/9 1/9

Remarque Les informations contenues dans ce tableau de valeurs suffisent pour calculer la probabilité de n'importe quelle partie de X(Ω).

3. Fonction de répartition

Nous avons déjà vu, au paragraphe 1.3, que P(G)= 2

3 où ( ) G X= ∈ >ω ωΩ; 0 (G : « avoir un gain positif »).

On convient de noter P(G) = P(X > 0) ; de même, pour l'événement contraire, on note P( G ) = P( X ≤ 0 ).

D'une manière générale, pour tout nombre réel x, on note P( X x≤ ) le nombre réel ( ) ( )P X xω ω∈ ≤Ω;

Par exemple, P(X ≤ 0 ) = 1

3

Définition La fonction de répartition de la variable aléatoire X est la fonction F: ( ) ( )x F x P X xa = ≤

→

1/3 2/9

1/9

-8 -3 2 7 12


Représentation graphique de F 1 2/3 1/3 -8 -3 0 2 7 12 F(x) est la somme des nombres P(X = k) , s'ils existent, pour lesquels k appartient à X(Ω) et k x≤ .

Les nombres P(X = k) appartenant à [0, 1], la fonction F est croissante (au sens large) sur IR . F(x) = 0 pour tout x < -8. F(x) = 1 pour tout x > 12. Ce dernier résultat est à rapprocher de P'(X(Ω) = 1 . Remarque La donnée de F suffit à définir X : en effet, par différence, on peut retrouver la loi de probabilité de X.

Ainsi ( )F 78

9= et ( )F 6 5

2

3, = ; comme 7 est le seul élément de X(Ω) appartenant à l'intervalle [6, 5 ; 7], on a

P(X = 7) = F(7) - F(6,5), donc P(X = 7) = 2

9.

Cependant pour une variable aléatoire comme X, il est plus simple d'utiliser la loi de probabilité que la fonction de répartition.

4. Espérance mathématique Nous souhaitons dégager une « tendance centrale » des valeurs prises par une variable aléatoire.

4.1. Exemple Reprenons l'exemple. On a obtenu la distribution suivante pour X:

k -8 -3 2 7 12

P(X = k) 1

9

2

9

1

3

2

9

1

9

La somme des gains multipliés par leur probabilité est : ( ) ( )1

98

2

93

1

32

2

97

1

912 2× − + × − + × + × + × =

Ce nombre est, par définition, l'espérance mathématique de X ; on le note E(X). C'est le gain moyen qu'un joueur obtiendrait s'il jouait un très grand nombre de fois.

4.2. Définition

L’espérance mathématique d'une variable aléatoire discrète prenant n valeurs xi avec les

probabilités P(X = xi) = pi, où 1 < i < n, est ( )E X p xi ii

n

==∑

1

= nnxpxpxp +++ K2211

Remarque : Un jeu est équitable si l'espérance mathématique de la variable aléatoire mesurant le gain est égale à la mise. Ainsi, dans l'exemple, comme E(X) = 2, le jeu est équitable si un joueur doit payer 2 € par partie.


5. Variance, écart-type En statistique, il est intéressant non seulement d’avoir un indicateur de tendance, mais aussi un indicateur de dispersion. Ce dernier nous est donné en calculant la variance, puis l’écart-type.

La variance d'une variable aléatoire X prenant n valeurs ix avec les probabilités ( )ii xXPp ==

est

( ) ( ) ( ) ( )2222

211 )()()( XExpXExpXExpXV nn −++−+−= K .

L’écart type de X est ( ) ( )XVX =σ

Pour éviter les erreurs de calculs, on utilise le résultat que nous admettrons ici :

( ) ( ) ( )( )22222

211 XExpxpxpXV nn −+++= K

• V(X) = 100

9 et σ ( X ) = 5,77 pour les gains avec le tirage de boules dans l'urne.


9.1. Introduction La notion d’équation différentielle apparaît vers 1690 avec Huyghens et Leibniz. Ce sont des problèmes d’originie mécanique et géométrique, comme le mouvement d’un pendule qui conduit à une équation différentielle du second ordre 0=+′′ θθ mg , ou l’équation modélisant une corde soumise à son poids et suspendue entre 2 poteaux.

C’est d’abord Euler en 1739 qui résolut les équation du type ayy =′ , mais beaucoup d’équations restaient sans solution. Il fallut attendre les travaux de Poincaré vers 1870, et enfin le développement des moyens de calcul au XXème siècle pour exploiter pleinement les solutions à ces équations

9.2. Résolution de l’équation différentielle ayy =′ Nous adoptons la notation y et y’ au lieu de f et f’ pour désigner une fonction et sa dérivée intervenant dans une équation différentielle.

De plus la dérivée de ( )f t N t: a ou de g x y: a

pourra être notée dN

dt au lieu de f’ ou

dy

dx au lieu de g’.

1. Cas général

Théorème admis : L’ensemble des solutions de l’équation différentielle y ay'= , où a est un nombre réel, est

l’ensemble des fonctions définies sur IR par x Ceaxa où C est une constante réelle quelconque.

2. Existence et unicité de la solution vérifiant une condition initiale donnée

Exemple : Définissons les solutions f de l’équation différentielle y y'= 2 telles que ( )f 0 3= .

Les solutions de l’équation différentielle sont les fonctions définies sur IR par

( )x y f x Ce xa = = 2 .

( )f 0 3= équivaut à Ce0 3= ; donc C=3.

Il y a donc une seule fonction solution de l’équation différentielle vérifiant la condition

( )f 0 3= ; la fonction f définie sur IR par ( )f x e x= 3 2 .

Théorème : L’équation différentielle y ay'= admet une solution f, et une seule, définies sur IR, vérifiant la

condition initiale ( )f x y0 0= où x0 et y0 sont donnés.

99.. EEqquuaattiioonnss ddiifffféérreennttiieelllleess


3. Exemples+livre page 374

Définissons les solutions f de l’équation différentielle y y'= 2 telles que ( )f 0 3= .

Les solutions de l’équation différentielle sont les fonctions définies sur IR par

( )x y f x Ce xa = = 2 .

( )f 0 3= équivaut à Ce0 3= ; donc C=3. (car 10 =e )

Il y a donc une seule fonction solution de l’équation différentielle vérifiant la condition

( )f 0 3= ; la fonction f définie sur IR par ( )f x e x= 3 2 .

9.3. Résolution de y’’+ωωωω2y=0 Nous admettons le théorème suivant : Théorème : L’ensemble des solutions de l’équation différentielle 0" 2 =+ yy ω , où ω est un nombre réel non nul, est l’ensemble des fonctions définies sur IR par xBxAx ωω sincos +a , où A et B sont des constantes réelles quelconques. Exemple : 1) Résoudre l’équation 09"4 =+ yy

2) Déterminer la solution vérifiant les conditions 33

=

πf et ( )

2

9=′ πf

1) 09"4 =+ yy équivaut à 04

9" =+ yy Donc les solutions sont les fonctions définies par

f : xBxAx2

3sin

2

3cos +a avec A et B deux constantes réelles quelconques.

2)

• 33

=

πf donc 3

2sin

2cos

3==+=

BBAf

πππ

• ( ) xBxAxf2

3cos

2

3

2

3sin

2

3 +−=′

donc ( ) ABAf2

3

2

3cos

2

3

2

3sin

2

3

2

9 =+−==′ πππ donc A=3

• Ainsi, ( ) xxxf2

3sin3

2

3cos3 +=

Théorème : L’ensemble des solutions de l’équation différentielle 0" 2 =+ yy ω , où ω est un nombre réel non nul, est l’ensemble des fonctions définies sur IR par xBxAx ωω sincos +a , où A et B sont des constantes réelles quelconques.

Documents

1. Nombres complexes pdf...Multiplication par un nombre réel ... (ρ est la lettre grecque rhô). Remarques • Pour tout nombre complexe z, on a z ≥0. • O est le seul nombre