1

מספר פאונים במערךעל-מישורים

Number of faces in an arrangement of hyperplanes

מאת: שמעון מגל,

בהנחיית פרופ' שריר ופרופ' קפלן,

סמינר בגיאומטריה חישובית

24/5/09

2

מה על הפרק?

מערכים של על-מישוריםמערכים של עצמים גיאומטריים אחרים מספר הקודקודים ברמה שהיא לכל היותרkחזרה קצרה

-משפט הZone( למת החיתוךCutting lemmaהכללה - )

3

מושגים - מערך( על-מישורhyperplane -הוא תת-מרחב אפיני ב ) RRd

.d-1ממימד תהיH -קבוצה של על-מישורים ב RRd אזי הקבוצה משרה ,

(. חלוקה זאת נקראת מערך facesלפאות ) RRdחלוקה של face-2 )קשתות(, face-1 )קודקודים(, face-0. ישנם Hשל

-פאה )פאונים קמורים d)מצלועים קמורים(, וכן הלאה, (.dממימד

:דוגמאות

22RR

RR

33RR

4

מצב כללי –General position

מצב כללי: חיתוך של כלk על-מישורים הוא ממימד d-k. על-מישורים הוא ריק.k, אזי חיתוך של k>dאם

אנחנו מניחים מצב כללי כי מספר הפאות שחלוקה משרה הוא מירביבמצב כללי )במקרים מנוונים יותר, אנחנו נמנעים מחיתוך(, ולכן

החסמים שנחשב יהוו גם חסמים עליונים של המקרים הלא כלליים.

אנו מגדירים מצב כללי כך, משום שכל על-מישור נפרש על ידיd-1 וקטורים בלתי תלוים אפינית. עבור קבוצה של על-מישורים, אנחנו רוצים

למקסם את יחודו של כל על-מישור, ולכן נבחר וקטורים בלתי-תלוים אפינית לכל על-מישור. לכל היותר, אנחנו נבחר לכל על-מישור אחד

על-מישורים יהיו k וקטורים. אם כך, בחיתוך של kכזה, ולכן סך הכל – d-k וקטורים בלתי תלויים אפינית, והם יפרשו עצם מימד d-k.

5

משפט שהוכח בכיתה

-בRRd התאים מספר( d שנוצרים על ידי מערך )פאות-H ,, הוא:H|=n|כאשר

-נניח לאורך החישובים שלנו שdולכן, הוא קבוע

d

nnnnnd ...

210)(

)(...210

)( dd nOndd

nnnnnd

6

Zoneמשפט ה-The Zone Theorem

הגדרה שלzone: מרחב על )יתכן כי g, ו-RRd על-מישורים ב-n – קבוצה של Hיהיו

g-ב H-ויתכן כי לא(, אזי נגדיר את ה zone של g להיות קבוצת .g את רואים, אשר H שנוצרים על ידי facesה-

:ראיהF רואה את g אם"ם בהנתן F( face של H קיימות ,) אינו נחתך עם אף xy, והקטע הפתוח y, xF, yg ו-xנקודות

.Hאחד מאיברי :הגדרה שקולהF רואה את g אם"ם בהנתן F פאה של( H ,)

xy, כך שהקטע הפתוח yg, קיימת נקודה x ,xFלכל נקודה .Hאינו נחתך עם אף אחד מאיברי

ניתן לדמיין כי כל על-מישור הוא אטום ו"מסתיר" לעל-מישוריםאחרים.

8

zoneדוגמאות ל-gבאדום –

zone)g(בכחול -

RR

9

Zoneמשפט ה-

-משפט הZone טוען כי עבור H קבוצה בעלת ,n ובמצב כללי, מספר הפאות dמרחבי על, במימד

הוא: )zone)gב-O(nd-1)

קבוע(d)בהנחה כי .הוכחת המשפט תתפרש על גבי חמישה חלקים

במהלך ההוכחה נשתמש בשיטה ההסתברותית, כדי להעריך את הגודל שברצוננו לחשב.

לשם ההוכחה נניח כיgH-ו {g}H.במצב כללי

10

הוכחה – חלק ראשון

( טענה: מספר התאיםd-ב )פאות-zone במצב כללי הוא O)nd-1(.

-הוכחה: בH ישנם n ,על-מישורים. מהנחת המצב הכללי . כל תא g. לכן, נוצרים תאים על gכולם נחתכים עם

, שרואה את zone שנמצא ב-d-faceשכזה הוא היטל של g יתרה מזאת, כל תא שנוצר על .g נחתך עם לכל היותר ,

d-face אחד. כלומר, במקום לאמוד את מספר התאים .g ונאמוד את מספר התאים על g, נתמקד על zoneב-

:ממשפט משיעור קודם)()(

1...

21011

dd nOdnOd

nnnn

11

הוכחה – חלק שני )בסיס אינדוקציה( עבורd=1-מדובר ב ,g שהיא נקודה. ניתן להקיף אותה על ידי שתי נקודות, נקודה

.)O)2( = O)1(=O)n1-1 נקודות. לכן, 0אחת או נוכיח עבורd=2:כחלק מההוכחה באינדוקציה

, לכן נאמוד רק את מספר אותו מספר של קודקודים וקשתותלמצולע קמור יש הקשתות.

נניח כיg מאוזן ונתמקד רק במספר הקשתות הנראות מעל g מתוך הקווים, לכל ..g חותכים את nהיותר

- נתבונן בישרl נסתכל בנקודה החיתוך שלו עם .g נסמנה .b כעת, נסתכל על קו . h ו-l. מהמצב הכללי, גם -a ב-g. נסמן את נקודת החיתוך שלו עם hאחר

נגדיר את .h שנמצאת על ישר uv ונסתכל על קשת uנחתכות. נסמן נקודה זו ב-uvאם"ם הנקודה קשת ימנית רואה כ b-ימנית ל a קשת . באופן דומה, נגדיר

.a שמאלית ל-b אם"ם הנקודה שמאלית רואה

g

x

y

u

v

l1

a b

l

hx

12

נראה כי לכל ישר ישנה רק קשת ימנית אחת לכלהיותר. נניח בשלילה, כי יש קשת ולה שתי קשתות

. הן אינן נחתכות uv ו-xyימניות רואות, אזי נסמנן מתחת uvולכן אחת מתחת לשניה. נניח בה"כ

היא xy. )נשתמש באותם הסימונים כמקודם( xyל- שהוא מימין gקשת ימנית רואה. כעת, החלק של

a, והחלק משמאל ל-h בגלל xy נחסם עבור aל-. סתירה.lנחסם בגלל

כעת, מספר הקשתות הימניות הרואות הןO)n( ובאופן סימטרי וכן הקשתות )O)nגם הקשתות השמאליות הרואות הן

. )O)n, גם משיקולי סימטריה, gשעשויות להופיע מתחת ל-. מספר )O)n, נקבל gנוסיף, את הקשתות שנחתכות עם

פאות: 2הקודקודים זהה למספר הקשתות, כאמור, וכן בנוגע ל-O)n2-1(.

:לכן, סך הכלO)n( = O)n2-1(

13

חלק שלישי של ההוכחה –d ל-d-1אינדוקציה: מעבר מ-

,כעתd>2 נשתמש בשיטה ההסתברותית. כדי לפשט את .-d-1הדגימה שאנחנו עושים, נדגים אותה ראשית על

faces נקראים גם( facets ובשלב הרביעי נכליל אותה ).d-k-facesל-

נסמןf)n(-להיות מספר ה d-1-facesב zone אנחנו ..)f)nרוצים לאמוד את

ראשית, נבחרhH נצבע אותה באדום ואת שאר איברי .h נצבע בכחול. נגדיר facet כחול אם הוא מוכל

בעל-מישור כחול. סיכוי לבחורfacet כחול הוא . לכן, בתוחלת יש לנו

nעל-מישורים כחולים.

n 1

n

nnf

1)(

14

מצד שני, נסתכל כעת על הסידור של מרחבי העל-d-1 הוא מספר ה-)f)n-1הכחולים בלבד. אזי,

faces )facets(-אשר ב zone ,בסידור הזה. כעת לסידור ונראה בכמה הוא מעלה את hנשיב את .zone הכחולים ב-facetsמספר ה-

h-גדיל את מספר ה facets הכחולים אם"ם הוא F2 ו- F1 לשני חלקים,g שראתה את facet Fמחלק

. אם זה קורה, אזי gשכל אחד מהם רואה את hg. רואה את hFבפרט

לכן, ניתן להסתכל על המקרה בו hg הוא של facets ואחנו סופרים את מספר ה-d-2ממימד

, את זה אנחנו יודעים מהנחת hg של Zoneה-.)O)nd-2האינדוקציה–

15

לכן הוספה של האדום בחזרה עשויה להוסיף לנו לכל הכחולים facets. הערכנו את מספר ה-)O)nd-2היותר

בשני דרכים, ולכן מתקיים:

)()()(

)()(

)()1()(

)()(

)()1(1

)(

)()()(n

1-n

1

2

3

2

2

d

d

d

d

d

nOnnnf

nOn

nOnn

i

ifiLet

nOnfn

nnf

nOnfnf

16

חלק רביעי של ההוכחה עבורk: 1k d-2 נתמקד כעת על .d-k:פאות, ונגדיר-

fd-k)n(כמספר אותו אנחנו רוצים לאמוד. כלומר, מספר ה d-k-faces-ב zone במערך שנוצר ע"י ,H בגודל n.

.נצבע אחד באדום ואת השאר בכחול נגדירd-k-face להיות כחול אם החיתוך שלו עם h .האדום ריק

ההסתברות לכך היא:d-k-face נוצר על ידי חיתוך של k על-מישורים )מהגדרת

המצב הכללי( ולכן ההסתברות היא כשם שההסתברות :face-d-kשמרחב-העל לא משתתף ביצירה של ה-

n

kn

k

n

k

n

1

17

:הוא תוחלת ה-כלומר d-k-faces.הכחולים מאידך, באופן דומה למקודם, נסתכל על המערך ללא

האדום .. נוסיף כעת את האדום)fd-k)n-1האדום, דהיינו תורם לנוd-k-face אם הוא מחלק d-k-face, F שראה את ,g לשני

,g עם h. משום כך, גם החיתוך של gחלקים שרואים את hF שהוא ממימד( d-k-1 רואה את ).hg

,אם כךhF הוא (d-1-)k-face של hg בעל מימד d-2 .)O)nd-2לכן, מהנחת האינדוקציה: מספרם:

,נקבל אם כך

)()O(n)1( :ונקבל

:)1()1(

)()(

)O(n1)-(nf(n)fn

k-n

2-k-d

2-dk-dk-d

nn

נציבknnn

nfn kd

n

k)-(n(n)f k-d

18

עבורk<d-1:נקבל ,

,כלומר

)O(n)( 1-k-dn

)()( 1 dkd nOnf

19

חלק חמישי הנחנו במעבר הקודם כיk<d-1 זאת משום שעבור .

k=d-1-ו k=d:אנחנו מקבלים מן השיטה הזאת ,O)nd-1logn(-ו O)nd(.

צריך, אם כך, שיטה אחרת, עבור המקרים הללו)קודקודים וקשתות(. ראשית, נציין שוב כי מספר

הקודקודים והקשתות בתוך מצולע קמור, זהה, נוכל להתמקד רק על אחד מהם. נתמקד על קודקודים.

3 יהי קודקוד. בפרט, הוא נמצא באיזשהו-face כי( על-מישורים, שניתן dהוא נוצר ע"י חיתוך של מרחבי 3 מרחבי על עם d-3לראות גם כחיתוך של

על(.

20

3בתוך-face מספר הקודקודים הוא לא יותר מפי שלושה ,(.5 )לפי משפט בפרק face-3 בתוך ה-faces-2ממספר ה-

2כל-face-יכול להופיע מספר חסום של פעמים ב 3-faces.

,נקבל אם כך שמספר הקודקודיםf0)n( פורפורציונלי לכל .)f0)n(=O)nd-1 ולכן zone ב-faces-2היותר למספר ה-

כעת, לפי מה שציינו לעיל, גם מספר הקשתות שווה לערך.)f1)n(=O)nd-1זה:

:לבסוף, נסכם

f0)n(+f1)n(+…+fd)n( O)dnd-1( = O)nd-1(

21

zoneמקרים כלליים של ניתן להכליל את השאלה של מספרfaces-ב zone

, Z ו-Rd: Aולשאול עבור קבוצות של עצמים גיאומטריים ב-,a1 עבור חלוקה של zone zZ של facesמהו מספר ה-

…,anA.שאלות אלו מובילות לתוצאות מעניינות . אחת מהן היא המקרה בוZ היא תת-מרחב-אפיני מדרגה

k עבור מערך של .n על-מישורים, מתקבלת התוצאה (:faces)מספר

כאשר:

=1d+kאי-זוגי

=0d+kזוגי

22

-הטריק הבא קושר קשר בין שאלת הzone:לשאלה אחרת של קטע zone של facesבהנתן השאלה, מהו מספר ה-

קטעים ישרים:nישר במערך שנוצר על ידי

z

23

–zoneשימוש אלגוריתמי ל-O(n2)ב- R2בניית המערך ב-

24

למת החיתוך - הכללה

25

למת החיתוך - הכללה

את למת החיתוך וכעת נוכיח אותה 4ראינו בפרק מספר שוב, וכן נכליל את המשפט למימדים גבוהים יותר:

:בהנתן למת החיתוך במישור n קווים במישור, ניתן למצוא כך שכל )O)r2, טריאנגולציה של המישור ל-r>1לכל

משולש נחתך על ידי קווים )בשטחו הפנימי(. קוראים cuttingלזה גםr

1r

n

26

הקדמות

.נרצה לדגום באמצעות ניסויים ברנוליים בלתי תלויים בצורה הבאה: נסתכל על כל Sלשם כך, נבנה דגימה

בהסתברות .S ונצרף אותו ל-hHאיבר שיטות ישירות אינן עובדות, ולכן ננקוט באסטרטגיה

הבאה: פירוק למשולשים בשלושה שלבים: אמצעותו, דגימה של ישרים ונבנה בS - נבחר שלב א

פירוק למשולשים של המישור. – נראה כי יתכנו משולשים אשר דרכן עוברים יותר שלב ב

מדי ישרים ונטפל בהם באמצעות פירוק למשולשים נוסף. – נראה כי יתכנו גם טרפזים בפירוק הראשוני, שלב ג

ונטפל בהם.

n

r

27

החלוקה הראשונית )שלב א'( ציינו כי השלב הראשון של הטריאנגולציה שלנו הוא לחלק את

המישור למשולשים, עבור קבוצת דגימות. כעת נראה איך. פירוק מאונך במקרה המישורי, קל יותר לבנות(vertical

decomposition מכל קודקוד שנוצר ע"י :)S מפגש של שני( ( ונעלה אנך עד אשר x(, נוריד אנך )יחסית לציר ה-Sישרים ב-

.Sהאנכים יפגשו איזשהו קו אחר ב-:דוגמא

28

שתי בעיות עם החלוקה

יתכן כי לא כל משולש שנקבל מקיים את בעיה ראשונה - התכונה שהוא )החלק הפנימי של המשולש( נחתך עם

לכל היותר ישרים.קבלנו גם טרפזים ולא רק משולשים. את בעיה שניה -

הבעיה הזאת נפתור על ידי חלוקה של כל טרפז לשני משולשים.

r

n

29

שלב ב' – טיפול בבעיה הראשונה

:נסמןI() קבוצת הישרים שחותכים את החלק הפנימי של– .המשולש

n = |I()| נגדיר יתרה של,

1כעת, אםt אזי ,nn/r ונאמר כי , הוא אזרח טוב בטריאנגולציה.

-ה 1, כךt> זקוקים לטיפול נוסף. נחלק אותם למשולשים פעם , קווים לכל היותר.n/rנוספת עד אשר כל אחד מהם נחתך עם

כיצד נעשה את זה?

n

rn t

30

,עבור כל משולש בעייתי-נתבונן ב :I() תוך -t/1 ונחלק לפיו ל-התעלמות מ-

cutting כלומר, ניצור טריאנגולציה כך שבכל) ישרים). לאחר n/tמשולש יעבור לכל היותר

, מכן, נחתוך את הטריאנגולציה שהתקבלה עם ונקבל משולשים, מרובעים, מחומשים ומשושים.

כל אחד מהם נחלק למשולשים. במקרה הגרוע ביותר נקבל משושים, כי שני

משולשים נחתכים זה עם זה לכל היותר בשש נקודות.

מכיוון שהמשולש נחתך עם לכל היותרn/t ישרים ונקבל n/rישרים, הוא למעשה נחתך עם

שרצינו.r-cutting/1את ה-

31

מכיוון שהמשולש נחתך עם לכל היותרn/t ישרים, הוא למעשה נחתך עם n/r

שרצינו.r-cutting/1ישרים ונקבל את ה-.נראה כעת כיצד ליצור את החלוקה

32

למת תת-חלוקה )חלוקה כמעט אופטימלית(

-לכל קבוצה סופית של ישרים וu>1 1, ישנה/u-cutting אשר מורכבת מלכל היותר מ-

קבוע.Kמשולשים. כאשר .נוכיח את הלמה בהמשך:איננו יכולים להשתמש בחסם זה ישירות על הערה

המישור כולו, כי החסם גס מדי. יחד עם זאת, עבור תתי-החלוקה אליהן התייחסנו, הן מספיקות. כלומר, לב

ההוכחה הוא ההבנה שמספר המשולשים שדורשים טיפול נוסף אינו גדול מדי.

21))log(uK(u

33

מסקנה מן הלמה

-1מספר המשולשים ב/r-cutting חסום על ידי

בכל שלב לוקחים את המשולש שנוצר על ידי החלוקה(הראשונית או זה שנוצר באמצעות החלוקה המשנית

)שיתכן כי יצרה משושה במקרה הגרוע ביותר ]המקיים את התנאי של מספר הישרים העוברים דרכו[ ולכן, נחלקו

משולשים שכל אחד מהם מקיים את התנאי(.4ל-

34

קבלנו משולשים אך גם נוצרו טרפזים. נתמקד כעת על טרפזים – וגםאת אותם משולשים שנוצרו, נתייחס אליהם כטרפזים )או שנאחד

שניים מהם לכדי טרפז(. :נסמןT)S( מספר הטרפזים שמשרה – S על המישור ביחד עם שיטת

החלוקה שהוצעה לעיל. טענה: יהיוH קבוצה של ,nישרים במצב כללי ; p=r/n כאשר ,

1rn/2. S-יבחר ע"י מאורעות בלתי תלווים, כך: על כל ישר ב H נגריל מטבע עם לצרפו או לא.

כקבוצת הטרפזים אשר כמות הישרים T)S( t. נסמן t0יהי שחותכים אותה גדול מ-

קבוע ומוחלט: Cאזי עבור

.יופיע ללא הוכחה

r

nt

שלב ג' – טיפול בבעיה השניה

35

הוכחה של למת תת-חלוקה-כמעט-אופטימלית -לכל קבוצה סופית של ישרים וu>1 1, ישנה/u-cutting אשר מורכבת מלכל

קבוע.K משולשים. כאשר היותר מ-

1הוכחה: אנו מחפשים/u-cutting. מספיק גדול.A, עבור )r=Aulog)u+1נסמן )כפי שהוצע בשקף הקודם(. נבצע חלוקה ראשונית. נקבל מן Sנבחר

החלוקה הראשונית משולשים וטרפזים, כאמור.

עבורt=0 , עבורt=Alog)u+1( , עבור A.גדול מספיק ,לכן

מכאן, קייםS כך

1זה אומר, שיש לנו/u-cutting לתוך O)r2( = O))ulog)u+1((2(.טרפזים

21))log(uK(u

36

הוכחה של למת החיתוך 1כדי ליצור/r-cutting אנו בוחרים ,S קבוצת דגימות של ,

, הפירוק האנכי )T=T)S. נסמן r/nישרים, עם הסתברות באמצעות חלוקת-עזר t<1שלה. נעדן כל טרפז עם יתרה

1/t-cutting לפי מסקנה, גדול זה חסום ולכן נעריך אותו .באמצעות התוחלת, תוך שימוש בטענה:

37

למת החיתוך - הכללה למימד כלשהויהיו:

d1.המימד. נניח כי זהו מספר קבוע – H-קבוצה של על-מישורים ב Rd.r 1 פרמטר>rn.

אזי: 1ישנה/r-cutting של H בגודל O)rd( ,כלומר .

* מוכללים, כך שכל סימפלקסים )O)rdחלוקה ל- n/rסימפלקס נחתך בחלקו הפנימי עם לכל היותר

.Hעל-מישורים של

38

סימפלקסים )פתוחים(:הכללה של משולש

קודקודים אשר כל שניים מהם מחוברים Rd d+1במימד בקטע, וכל קטע כזה נמצא על ישר שהוא בלתי תלוי

אפינית בישרים האחרים.-לחלופין, הגדרה רקורסיבית: בR סימפלקס הוא קטע ,

)פתוח ולא מנוון(.נוסיף לכל Rd-1סימפלקס נוצר כך: ניקח סימפלקס ב- Rdב-

זהה. כעת, ניצור נקודה חדשה dקודקוד שלו קורדינאטה שונה מכל הקודקודים האחרים, dבעלת קורדינאטה

ונבחר באמצעות קטע קודקוד זה לכל אחד מהקודקודים האחרים. כעת, נסובב את הסימפלקס, והוא עדיין ישאר

סימפלקס.

:דוגמאות

39

תיאור הפירוק לסימפלקסים צריך להכליל את המושג של פירוק מאונך. נקרא להכללה

זאת טריאנגולצית-קודקוד-תחתון. )עבור פוליטופ )הכללה של מצולע למימדים גבוהים יותר

, נגדיר את הטריאנגולציה בדרך הבאה:kקמור ממימד , הפוליטופ הוא קטע של קו ישר, והוא בעצמו k=1עבור

הטריאנגולציה. קודקוד בפוליטופ, בעל הקורדינאטה v, יהי k>1עבור

האחרונה הקטנה ביותר )במקרה של שיוויון נכריע לפי קורדניאטה קודמת וכן הלאה(. נבצע טריאנגולציה על כל אחת פאה של הפוליטופ )באופן רקורסיבי(. כעת, נעביר

איננו v לכל סימפלקס אחר ש-vאת סימפלקסים מ-קודקוד שלו.

40

טיפול בפוליטופים שאינם חסומים

פוליטופ ממימד( "נחסום באמצעות "קופסאd )מספיק גדולה ונתייחס לטריאנגולציה של קופסא

זו כטריאנגולציה של הפוליטופ שאינו חסום..זה מספק לרב הישומים של למת החיתוך

41

הוכחה קבלנו טריאנגולציהT)S( עבור כל S קבוצת ,

דגימות.|T)S(| = O)|S|d( ראשית, מספר הקודקודים –

| מישורי-על, הואSהנוצרים על ידי קבוצה של | d כי כל קודקוד נוצר מחיתוכם של

מישורי-על. מצד שני, מספר הסימפלקסים בכל תא, פורפורציונלי למספר הקודקודים בתא

קבוע(, ולכן סך הכל מספר d)בהנחה כי . )O)|S|dהסימפלקסים, הוא

| || |d

SS

d

| כעת, נזכר כיS הוא למעשה משתנה מקרי של |ניסוי ברנולי בלתי תלויים.

|S| = |S1|+|S2|+…+|Sn| כאשר .H היא קבוצה של S. כלומר, ניתן להתייחס ל-nמישורי-על שגודלה

| Si| כאשר |Siכסכום של משתנים מקריים מהסוג | בניסוי הברנולי. S נכנס לקבוצה i, אם איבר 1הוא

.0| הוא Siאחרת, | טענה בהסתברות: יהיהXכך

הם משתנים מקריים בלתי תלויים Xiכאשר כל ה- 0 ומקבלים p בהסתברות 1שמקבלים

קיים קבוע d≥1, אזי קיים עבור כל p-1בהסתברות cd:כך

42

1 2 ... nX X X X

[ ] ( )d ddE X np c

לפיכך:

מליניאריות של תוחלת:

מהטענה ההסתברותית:

, ולכן:p=r/n כ-pכזכור, קבענו את

הערה: הוכחנו כי שיטה זו של חלוקה משיגה מספר סימפלקסים בגודלהרצוי. יחד עם זאת, לא הוכחנו כי כל סימפלקס מקיים את התכונה שרק

n/r.מישורי-על עוברים דרכו במידה וישנם סימפלקסים אשר אינם מקיימים את התכונה הרצויה, אנחנו

חוזרים על פירוק של כל סימפלקס כזה לסימפלקסים נוספים באמצעות שיטה דומה ונעזרים במשפטים אנאלוגיים לאלו שראינו במישור

המאפשרים לנו לחסום את מספר הסימפקלסים החדשים שיוצרו. חלק זה הוא ללא הוכחה.

43

d

d

dd

E[T[S]] =

E[O(S )]=

O(E[S ])

O((np+c ) )=

(( ) ) ( )d ddO r c O r