Numerical Integration  

เราต้องการการประมาณในรูป ตอ่ไปนี 

โดยเราจะเริมต้นจากการประมาณคา่ของฟังก์ชนัโดยใช้  Lagrange Polynomial ซงึได้วา่  

___ (1) 

โดยที  

 

และ  

 

จากสมการที (1) เมือ Integrate ทงั 2 ข้างจะได้วา่  

 

ดงันนั  

 

และ Error  

 

 

ตวัอยา่ง พิจารณา กรณีที n = 1 0x และ 1x  

และได้การประมาณ  

------ (2) 

พิจารณาพจน์สดุท้าย  

 

ดงันนั สมการ (2) จะได้วา่  

 

แทนคา่ และ เนืองจาก จะได้ว่า 

 

 

ตวัอยา่ง พิจารณา กรณีที n = 2 0x 1x และ 2x  

และ โดยที

 

จะได้วา่  

 

และถ้า คํานวณคา่ Error จะได้ 4( )O h  

แตล่องพิจารณาการหาสตูรโดยใช้ Taylor series 

 

Integrate ทงั 2 ข้างจะได้ 

 

และ 

 

 

และจะได้อีกวา่ 

ดงันนั 

 

จากนนัเราต้องประมาณ คา่  

ซงึ  

จากนนัจะได้ 

 

และจากนนัก็จะได้ 

ตวัอยา่ง 

 

 

 

 

 

 

Degree of accuracy หรือ precision ของ quadrature formula คือ จํานวนเตม็ทีมากทีสดุ n ที formula ให้

คา่ประมาณทีตรงกบัคา่จริง สําหรับ , 1, 2,...,kx i n=  

 

 

 

 

 

 

 

 

Composite Numerical integration 

Example: Simpson’s rule  h = 2 

 

Composite Simpson’s rule h =1 

 

Composite Simpson’s rule h =1/2 

 

โดยทวัไปจะได้วา่ 

 

หรือจดัรูปใหมจ่ะได้วา่

 

 

พิจารณา Error   

แต ่  

ดงันนัจะได้วา่ 

 

ดงันนัจะได้ วา่ Composite Simpson’s rule 

 

 

 

 

 

Romberg Integration 

พิจารณา composite Trapezoidal 

 

โดยที  

และ  

จะได้  

 

ให้ 

 

 

โดยทวัไปจะได้ 

 

 

 

การลูเ่ข้าหา คา่จริงยงัช้าอยูม่าก 

ลองพิจารณา การประมาณตอ่ไปนี  

 

จากนนัเขียนการประมาณ สําหรับ k+1 และ 

 

จะได้วา่

 

 

จากทงั สองสมการจะได้ 

 

จงึนิยาม  

 

และโดยทวัไป 

 

 

ตัวอย่าง  

   

จะได้วา่ 

 

Gaussian Quadrature  

เรายงัจะหา สตูรหารประมาณคา่ อินทริกรัล จํากดัเขตในรูปของ  

 

แตใ่นทีนีเราจะต้องคํานวณหา และ ทีเหมาะสมทีสดุ โดย

ทีให้คา่ประมาณ ได้เทา่กบัคา่จริงสําหรับพหนุาม kx สําหรับทกุๆ จํานวนเตม็บวก k ทีน้อยกวา่หรือเทา่กบั 2n‐1 

( { }1,2,..., 2 1k n∈ − ) 

ข้อควรระวัง ในทีนี n เริมจาก 1  

ตงัอยา่ง  n =2 

สตูรการประมาณคา่จะได้  

 

และตวัแปรคิอ 

 

และในการประมาณนี จะต้องได้คา่ประมาณทีเทา่กบัคา่จริงสําหรับ พหนุาม  

 

แทนคา่ f(x) โดยพหนุามเหลา่นี จะ ได้ สมการ ไมเ่ชิงเส้น 4 ตวัแปร 4 สมการ ดงันี 

 

ซงึคําตอบของสมการนีคือ 

 

ดงันนัสตูรการประมาณ แบบ Gussian Quadrature ภายใต้ช่วงปิด [‐1,1] คือ 

 

ในกรณีที n มีค่ามากกวา่ 2 การคํานวณ ก็จะคล้ายๆกนั เช่นถ้า n =3 จะต้องมีตงัแปรทีต้องคํานวณหา 6 ตวัแปร

ดงันนัสมการไมเ่ชิงเส้นทีได้ก็จะมี 6 สมการ และสการเหลา่นี สามารถถกูสร้างจากเงือนไขทีวา่  

คา่การประมาณจะต้องได้เทา่กบัคา่จริง สําหรับพหนุาม kx สําหรับทกุๆ จํานวนเตม็บวก k ทีน้อยกวา่หรือเทา่กบั

2n‐1  ซงึในทีนี n = 3 

สําหรับการประมาณ บนช่วงปิด [a,b] 

เราสามารถใช้การเปลียนตวัแปร 

 

ตัวอย่าง 

ดงันนั ถ้า n = 2 

 

สําหรับ n ทีมากกวา่ 2 จะได้คา่สมัประสทิธิ และ nodes ตามตารางนี