Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1תרגיל - 2אלגברה לינארית 20.2.05
5S(4 2 5 3 1), (3 2 1 5 4), (1 3 5 2 4): -ת הבאות ב ומצא את הסימן של התמור. א 1.
π = σ τ= =1 1, , ,
τ .וכן חשב את סימנם, חשב א. ב σת π σ τ σ− − ⋅ ⋅
1 2 3 4 5 2 1 3 4
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1 2 3 4 52 3 1 5 4⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
(1 2 6)(1 2 3 4 5)(1 6 2)(1 2)(2 3)(3 4)....( 1 )n n−
5(1 2 3 4 5)(1 2)(3 4 5)(1 2)(3 5 4)
nS
.2 : זריםמחזוריםכתבו את התמורות הבאות כמכפלת
.א5
. ב
.3 :חשבו את המכפלות הבאות
. א . ב . ג . ד
: המוגדרת בצורה הבאהתהי . ובעלת התכתהי .הראה . עבור כל
4. σ ∈n n )ונה )σ =* 1nSσ −∈*( ) ( )x xσ σ=11,...,x n= )*כי − ) ( )sign signσ σ=
:(4,4), (5,4), (2,8)A B C= = =
nS
.חשב את שטח המקבילית ששלושה מקודקודיה הן .5
: כלומר עוברת על כאשר עוברת על הראה כי , תהי .
σ τ σ⋅nS τ ∈nS{ :
6. }n nS Sτ σ σ= ⋅ ∈
nS
τ. כך קיימת תמורה הראה כי לכל תמורה : הדרכה nS π ∈σ σש -∋ π⋅ =
פתרון-1תרגיל - 2אלגברה לינארית 20.2.05
5S(4 2 5 3 1), (3 2 1 5 4), (1 3 5 2 4): -ת הבאות ב ומצא את הסימן של התמור. א 1.
π = σ τ= =1, 1, 1Sign Sign Sign
τ: פתרון = σ π= =
1 1, , ,
τ .וכן חשב את סימנם, חשב א. ב σת π σ τ σ− − ⋅ ⋅τ: פתרון ⋅, , (1 2 3 4 5)σ =(1 3 5 2 4)π σ⋅ =
2 3 4 5)=1 (1 4 2 5 3)τ − =-1 11, 1, Sign 1, 1Sign Sign Signτ σ π σ σ τ −
1σ −, . (1⋅ = ⋅ = =
1 2 3 4 5 2 1 3 4
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1 2 3 4 52 3 1 5 4⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
3)(2)(1 2 3 )(4 5)
(1 2 6)(1 2 3 4 5)(1 6 2)(1)(2 6 3 4 5)
(1 2)(2 3)(3 4)....( 1 )n n−(1 2 3 4 ,..., n-1 n)
5(1 2 3 4 5)
(1 2)(3 4 5)(1 2)(3 5 4))
nS
=
.2 : זריםמחזוריםכתבו את התמורות הבאות כמכפלת
.א5
. ב
. ב . 4 5 1). א: פתרון
.3 :חשבו את המכפלות הבאות . א
.: פתרון . ב
.: פתרון . ג
.ת הזהותורמת: פתרון . ד
.מורת הזהות ת5)(4)(3) (2)(1): פתרון
: המוגדרת בצורה הבאהתהי . ובעלת התכתהי .אה הר. עבור כל
4. σ ∈n n )ונה )σ =* 1nSσ −∈*( ) ( )x xσ σ=11,...,x n= )*כי − ) ( )sign signσ σ=
{( , ) : ( ) ( ) & , 1,..., , j=1,...,n}j i j i j i n
Tתהי : פתרון i) קבוצת כל ההיפוכים ב- (
σ σ= > < =σ
) -ש . לכן לכולמכיוון )n nσ =T ( , )i j ∈ j n≠) נקבל שכל היפוך)מהגדרת ו(בתוצאה מכך לכן . ולהיפך - הוא היפוך ב,
.
* *σ )i j T∈σ*( ) (n sign )sig σ σ=
:(4,4), (5,4), (2,8)A B C= = =
.חשב את שטח המקבילית ששלושה מקודקודיה .5 הן מהוקטורים רי שנפחית הווקטו"אנו נזיז את המשולש לראשית ע: פתרון
שווה לשטח ברור כי שטח המ. וי הקודקודים "כי המשולשים דומים ועל כן שטח המקבילית המוגדרת ע, המשול
.ל היא"הנ
A, ,A B C:' (0,0), ' (1,0), ' ( 2,4)A B C= =נקבל = −( )S ABC
( ' ' ')S A B Cשולש
ש
:1 0
4 0 ( 2)2 4
4= − ⋅ − =−
: כלומר עוברת על כאשר עוברת על הראה כי , תהי .
σ τ σ⋅nS nSτ ∈nS{ :
6. }n nS Sτ σ σ= ⋅ ∈
nS
τ . כך קיימת תמורה הראה כי לכל תמורה : הדרכה nS π ∈σ σש -∋ π⋅ =
nS, , nS כלומר לכל , היא פעולה אסוציאטיבית -רות בונוכיח כי הרכבה של תמ: פתרון, פונקציותשלדרת הרכבה ג מהכי לכל : זה אכן נכון. מתקיי
מתקיים
π τ ∈( ) ( )
σx σ ⋅ πם τ σ π τ⋅ = ⋅ ⋅1,...,n=
( ( ))) ( ( ( )))( ( )) ( ( )
x xx x
)( ) ()
xσ π τ σ π τ σ π τσ π τ σ π τ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
nS
n nS S
=
היא בפרט -ו, בחבורהתזו תכונה שמתקיימ: הערה (ולכן ההרכבה היא פעולה אסוציאטיביות .)חבורה
τ .כעת הרכבה של תמורה היא תמורה ⋅ ⊂
nSולכן
- כך ש קיימת תמורה לכול תמורה ש כלומר נראה , הכלה בכיוון השניכעת נראה.
π ∈nSσ ∈τ σ π⋅ =nS .על . ונקב אזי נגד אכן תהי π יר ∋
1σ τ π−= )1ל ⋅ )τ σ τ τ π π−⋅ = ⋅ ⋅ nכן = nS Sτ ⋅ =
���������������������� �������������
������� �"!$#%�"&('"&)�+*
, -�.0/2143656.8797:.�@BADC�EF-�.0/�GIHJ>�@BK�HJLNM�OPH4QRMTSUHJOPK�OWV%@BX�Y[Z\>6]_^J`a@Bb�OPc�M�>�dIeTf�g�AhHJ>�@BLiekj HJ>�l�mnH, b�M�LiopbrqBOPLiOPL4>�Ls@Bb�theI@BOWK�dRZ\@BX�b+ouHiA�t�>�H�M"OPH4eI@B>�@BLseTb+ovHJb�Xat�H�Y[>�@BdRAhHJe(CaLwj HJ>�l�mnH, x4HJOW>�cyMz@i{�e(b�CaXaH�M�OWH|x~}{� OP>adj QIOPX�@BbOWc�eb�Xat�LJthe@BM�AH|e@B>�@BLieH|e(Mw@BmnOPK�H,
E5.��.�@BLieH e(M4@BmnOPK�H, l@BC�o[OFo�@BMwHsl�OWcyOzb� Z\HHJb�Xat�LiHQIM�HN, @BVRHJ>�@BLie b+o�QIOPX�@Bb�OWc4b+ov>�e@BOHJ>�K�dTHJb�Xat�LJt HJmK�HNqBOWMz@iQROWX�@Bb�OPc¡�b+o,E5.��.�K�@BOPHHiVI6>�@BM�A e@BbX6t�L
, OWb�OPb+ovqBLsOWYuQIC2OPK�cy@sOWA@BOWc�qBLsOWYuQIC2e@B>�@BLse(HJLOPK�c4f g A�ou@BcyOWt@BH, ¢QIOPOWdRe(L|£|1�f�grHJ>�@BLse b+t�b¤OFt~@BcyOWt@BH, ¥
£�EF-¦§.¨7:79.-n©�G�£ª ¦ EW£~EF-¦8Gy.8797:.£�EW-%©GG
, «_¬p@s«_p ®kb�C6L¯°± 5²5³55´µ5¶²·
¸8¹º 1h»N¼½b�ovH�](Z\Z\OWLs>a]l�H4eMw@BA�o[c, ¾
>�@9](dp@@p¿ÁÀÂ>6o[M"tNÃ_¿§À½Ä¿+Å�Æ À9Ç On C�ÃÈ1 »Ng½EPÉ$GHJOWK�]@BLs>�X�e(K�OP>6](Lk>aO0l�mnZh, £1Tf�g4M�HJe@[@BH�o[b+t|Hil�oÊÉËM�HJO, Ì>�@9](dp@@BH�CaOWX�@BL�HJK�OP>a](LiH�b+o -"Hil�@BLsC6A�e@B>�cM�QROWb�OPLiAh, 5_@9t�>�Co -"QR@BdRLib$](>aX¤ÍÎQRH�@BOFt�>�Cb+t�o OF](>�l�Z0](YwHsl�@BLiC, Ï6¿ÁÐ�EWÃ?GTѨ-0Ò�;¤EW£"GIo�@BcOWt@BHN, ¿+Å�Æ À9Ç
���������������������� ������������� ��������
!#"$"�%�&('�)+*-,. /�0214365�798;:=@?@8BACAD8FE�GIH$JLKNM�OP798;:�QSRTH$JLU$RTVXW�Y2R�Z[W]\^RTY2U$Y`_4JLa�bdceH@f+gTh�JLi#Y2j�W�H�kSl]m�n�KoRTH$JLVplrq RTH$s$t6R. i#W�VpuvixwLY2VpY2V�H�VyJLi#zolSJLY`U$k[ceJLa{i|u}RpK�z�H�R�W�Y2R�lSJLH�JLVyl]i|u~RTi#a�z�R�bdH�JLk[KoRTlM�Vq RTH$s$t6R. �RTY`H�j(WJp�li#M�a�R�W�Y`R�{ Y2H�k
q ZSY2a�JLiY`j�li#a�z�VTzolJLW�KRlJLH$JLVplRlWJLt6Y2U$R. O6?@8�8F�8F�Q�-O?8F�Q(O6?@8F�Q(O?@8Q\^Wdg.O6?@8F@Q(OF?89Q(O`8@Q(OPN8F@QSi#KNkScH$JL_ej(VXi|zoi|u}Z[Y`kvJLH�a�R�H$JCudH�u~Y MO?@8$8@QOPN8F8Q\^Kyg.O?8F�Q(O?@8@Q(O2$89Q(O;$8F�QSZSY2H�_Z[ceY`WXZ[Y`H$JL_ej(VpR�uvzZ[tSi$ c2zO?@8$8@QO2�8F8Q\^tBgO?89$8F�QO28Q(O;$8�8@QO6?@8F�Q�O6?@8Q(O2�89Q(O`8@Q(O28Q\sTg
q 7yo:(-?ZSY2VpY2Y`k[VTu OP798e:�QSRTH$JLU$RTV¡ZSY2a�JLiY`j�li#a�z�VTzolJLW�KRlJLH$JLVplRlWJLt6Y2U$R. ¢O6?@8F@QBO2�8�Q O2�8F@Q(O?89Q(O`8�Q(O;�8F@Q\^WdgO?8F8�8Q-O`�89$89$8B?£QO2�8F�Q�O6?@8Q(O2�8F�Q(OPN8@Q(O28�Q\^KygO?8F8@QNOe$89Q O`�89$89$8B?£Q� O2�8�8B?8@Q�-O;$8@Q(O2�8B?£Q(O;�8Q O2�8F@Q(O;$8¤?¥Q(OPN8@Q�O`8�Q(O;$8@Q(O`8�Q(O`N8Q\^tBgO;$8@Q(O6?@8$8@Q(O;$8@Q-O?8F8@Q� O`8�8B?¥Q-O28B?¥Q(O2�89Q-O;$8@Q(O2�8B?£Q�O2�8F@Q(O`89Q(O`8�Q(O`N8Q\sTgO2798;:�Q[lW¦i#KNkScS7d§¡:xi|z�i{wCz�iJvO`7�¨©?@87¨Q�O`7987(¨]?¥Q(O27(¨]?8F7¨QvO`7987(¨¡@Qvi#Kk[cSxRTi#W�uaN Moq H�KbdRkvJLH�aoY`H�j(W]wCz�iJd.O`7�¨¡ª�87¨ª«¨©?£QQ¬RTH$JLU$RTVZ[Y`a$JLi#Y2j(K�ZSY2VpM�aokSY2a�bdVwLY`VpY2VyJ�i#W�VTudVi#a�z�Y6 M�O`798F7¨©?£QdV. ludkvJLKVpRRpH�JLU$RpVXZSY2a$JLi#Y`j(i®RT_wLa$JLW�Kok[JLH�a�R�lW¡H�Y`VyRTi=wLlY`cZSR�udi|zoZ[Y`a$JLi#Y`j(i
qLOF?8F76QRTH$JLU$RTV¡ZSY2a�JLiY`j(KokSH�JCudVyludRXZSM�a�RpJ�¯Rpi#W�u~i#M{JLH�_ej . °O6?@8F@QBO2�8�Q O6?@8F@Q(O?89Q(O6?@8�Q(O?@8Q\^WdgO6?@8F8$89Q�-O?89Q(O6?@8@Q(O?@8F@Q\^KygO?@8F�89QO2�8@QO6?@8@Q�O6?@8F@Q(O?89Q(O6?@8@Q(O?@8Q\^tBgO2�8@Q(O6?89$8@Q(O2�8@Q� O6?@8�8$8@Q�-O?8@Q(O6?@8@Q(O?@8Q\sTgwLlY`c[ZSR�udi|z�Z[Y`a$JLi#Y2j(i=k[JLH�a�Y`H�j(WwCz�iJvOF?8F74Q(O?8e:�QTO6?8F76QSOP798e:�Qdi#Kk[cZ[Y`c4JCu�78e:=i|z�i{®RTi#W�uaN Moq H�KbdRJLceY2Wyu-JLR�udi|z�H�JL_ej(Vpi�lJCudM@i{H@uda�W¦RTVyJs�kSY2H�f}. ludk[JLKNVpRRTH$JLU$RTV¡Z[Y`a$JLi#Y2ji�RT_[wLa$JLW�K�kvJLH�a�R¡lW¦H�Y2VpRTi. H$JLH�KluvkvJLKVyRRTH$JLU$RTVZ[Y`a$JLi#Y`j(i®kvJLH�a�R�_eWr?lWi#YPz�VwCz{WJLRZ[WJ?lWi#YPz�V
Rpi#a�z�V�H�VyJLi|zo. H�lSJLY`K=RTH�U$k[Ro±@H$s$K=Z[Y`a$JLi#Y`j{li#a�z�VTz�O?89$8F�QO28Q(O;$8�8@Q s²h@Y2M@b}?dRTi#W�udV�RTH$JLVplRlW�JLt6Y2U$R. ³sJLM�udYPu�JLWRys$Y`j(Yi$ ceRRTi#a�z�VpR¡ZSW�RX. JL_[RTH$JLVpl©i|u�ZSY2a$JLi#Y`j�i|u~H�lJLYRTH�U$k]RTi#a�z�VTzRTtU$RXwLY`WJpZ[Y`a$JLi#Y2jª{i|u.O?89$8F�Q(O`8Q(O;$8�8@QlWlJLH�U�JLY2RRp_S±@H�JLW�KlJLia@z�Vq wJLH�laO?8@Q(O6?@8@Q(O28Q(O2�89Q(O`8@QOF?8F�Q(O6?@8Q(O;$89Q
?
Y`z�H�lJLY`K�RTH�U$k[R¡RTia@z�VyRY2Ws�JJLKJL_². \{RTi#W�u Y M�JLWrRTH�YPudYSRpkSY;s$K�Y M�JLWdg¬O2�89Q(O`8@Q(O28Q´µO;$89Q¬u wJJLYPzY`zpgh�JLi#Y`jXRpc;Y2W]JL_¬RTH$JLVpl�Y`z�lY2H@uda�W]W�i?²i@s�JLt6K�RTi#a�z�VyJSlY2H@uda�W]W�i�i@s�JLt6K�RTi#a�z�V©wCz�iJ¬¶?²RTH$JLVplR¦wLVyY`bu~wJJLYPzoRps$Y2j(Y�W�i®RTi#a�z�VyRX. \`O;�8$8�8¤?¥QH$JL_ej(Vpi=RpJJCuJL_RTH$JLVylO?8�8F�QNO;�89Q(O;$8F8@Q�-O?@8�8$8@Q�OF?89Q(O6?@8@Q(O6?8@Q
. Y`i#Y2i|u~wLVyY`b}ZSM=Y2U$j(JyY`KJLY`j�wLVyY`b}ZSM=lJLH$JLVylRTV¡Y2U$j�m n K�u}JLj(Y`zJLR. ·h�JLi#Y2jo¸�H$JLKM=. RTVyU$M@i®m n V\^i$ M�j(j�gNi#M�J�MN j(j{W�Y`R�¹º¶OP»yQS©¸²e»�RTk[lM@RpR�¸
����������������������������������������! #" �%$'&�(
) *,+.-0/21�*3+.4�57698;:�1@8;ABAB57:%6C83D!1#*;-E+./!>GFIHKJLNM OPPQ
RTS UTVVXWZYTWSZ[XW Y\]R \^Y_�``acb M
OPPQ\dW U]YVeW S \YT[ZYTVV \^Y \
_�``agf M OQ Y S�h \Vjikh S \iGh Y V?hG-0*;-+.-�4�:I r{�9�9o�9t 1
º.575{4�= ,6 1�*35®!/´+.F+.1@> ² 578 � >G:�F 57+.1�=��C6�+.4�º.57-I º+K!Au-�= +.-Iº+K!A�1�64�¹/´+.A���H�� ² *3+.-) *;5D�¥¦A,-0:%¥�+Do+.AB*E11�8;AAB5{:
�������������������������������������! !���#"$&%�%('�) �+*-,/.0 13254�68791325:�;=A@+7�BDCE7�>AFGFH;=@I3K�7L1A4M2568CONQP R
SUT VWWXY[Z \[]]_^a`[^Zab_^ `cdY ce`
f�ggh7�A79Ak7�B#B?K�1CoFk25
S T
Y_Z \_]]^ `_^Z[b[^a`ceY c` T#� ]
Y[Z \ c]_^ `[]Zab[^[`cdY c` T# ]
^ cd\ c`a`[` ]Zab_^ `cdY ce` T# ^ ^ c\Zab[^cdY c
T# ^ ` c[Z` cc Y c T ^
c_Z c T o^mc-�]J\& T Z?]1A;=t?;=68
0 ��
T,�
-� �
�� �� �
` c�� � ������ ��� %
'&)(� � ��� � �
` c�� � ����� ��� %
'&)(� � ��� � �
` c�� � ����� ��� %
'&)(� � ��� � �
��� ��� ��� � � � ���ce` ` ` ����� `
0(Bu68kF=CEK�t�}5w�254M2513254�6 µ ;~Co@IFT �
-� �
�� �� �
` c�� � ����� � �!� ` c�� � ����� � �!� ` c�� � ����� � �!� ��� ��� ��� � � � ���c` ` ` ����� `
T,�
-� �
�� � �� �´ ��� � ��� 0 }nx(B P ;G �I!7�AtJ@IB��¢!B£7I22nC/25H7�7IK(25@ItJ7¡P 7�F!2nCo4�
��� c^ ce]]_Z c`�� T ] §4� VX c`[^ c][] c`Y_Z ] c
fh T Z §6� VX cd]_Z^ Y_b\_¿[
fh T ] *�m;�*25O;=4��9;lx�N¨;lFHF � S T S��
%
& � T �I�2 �
2 בלינארית 4תרגיל
בדקו את ( כדי לחשב את adהשתמשו במטריצת ה )1
.!)תשובתכם
1A− כאשר intjo13 7 123 2 36 3 6
A⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1 1 61 3 2 132 4 1 13
xyz
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
:T V V→1,...., k
.השתמשו בנוסחת קרמר כדי לפתור )2 את המערכת
ויהיו ) מרחב וקטורי כמובן )3 V λ( העתקה לינארית תהי λ{ | ( ) iV T v vλ
כל ערכיה העצמיים Vהשונים v {נסמן .
i= λ∈ =i וראיתם כי זהו תת מרחב λזהו המרחב העצמי של .
dim נסמן iלכל . וקטוריii
d V= . ויהיוu u בסיס של V 1 2 ,...., ii i idui ,λ. λ}הוכיחו כי הקב .א ע "ע המתאימים לע"הוכחתם כי ו: רמז. (ל" בת|
).ל"שונים הם בת1וצה ,1 }ij iu i k j d≤ ≤ ≤ ≤
1
dimk
ii
d V=
=
2 2: →7 2
4 2
T .ב ) בסיס זה מלוכסנת לפי כלומר קיים בסיס כך שהמטריצה המייצגת את ( לכסינה
∑.T הוכיחו כי
ם "אמ
. המייצגת אותה יחידה לכסינה אזי המטריצה המלוכסנת .ג T הוכיחו כי אם
T העתקה לינארית הנתונה ע".x
י תהי x y
T 4( y x y
+⎛ ⎞ ⎛=⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠ ⎝
1,P P−1PAP B− =
2 י"22
⎞⎟⎠
T . .א של ) ע"ע(מצאו את הערכים העצמיים .ע שמצאתם מצאו בסיס למרחב העצמי שלו"לכל ע .ב.נמקו את התשובה ואם היא חיובית עברו לסעיף הבא? לכסינה .ג T האם
מצאו מטריצות הפיכות . לפי הבסיס הסטנדרטי T כך ש המטריצה המייצגת את כאשר
A תהי .ד .T המטריצה המלכסנת את B
.T הנתונה ע לגבי הה4סעיפי שאלה x
T:עתקה →x y
y y+⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3 3:T →3
22
x xy z
z y z
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠
5 3 23 2 1x x x
5(
T לגבי הה4סעיפי שאלה y. עתקה )6
+לינום מעל בפולינום בצעו חלוקה עם שארית של הפו )7 + +3 1x +RR3 2( ) 7 15 9x x x= − + −
5( ) x= −( ), ( )p x q x( ) ( ) ( ) ( ) (q x a x p x b x d x
.a שמ" את הממ בעזרת אלגוריתם אוקלידסמצאו x ו
b x כך ש כלומר מצאו ( ואת הצגתו .
8( ( )d x לפולינומים 1)+ =
:4פתרונות לתרגיל
היא מטריצה intadjoמטריצת ה , כזכור) 1n n
B M×
)י " המוגדרת ע∋ 1) | |i jij jib A+
= וראינו כי −
1
| |
BA
A
−ובכן : במקרה המרתק שלפנינוintadjoנחשב את מטריצת ה . =
11 12 13
2 3 7 12 7 12det 3, det 6, det 3
3 6 3 6 2 3b b b
= = = − = − = = −
21 22 23
3 3 13 12 13 12det 0, det 6, det 3
6 6 6 6 3 3b b b
= − = = = = − = −
,
31 32 33
3 2 13 7 13 7det 3, det 3, det 5
6 3 6 3 3 2b b b
= = − = − = = =
| בנוסף | 3A =.
1לכן 3 6 3
10 6 3
33 3 5
A−
− −
= − −
....)סתם( עכשיו בואו ונבדוק את תשובתינו
k יש להציב את וקטור התשובה במקום העמודה ה kובכן לפי נוסחת קרמר כדי לחשב את הנעלם ה ) 2|את התשובה יש לחלק ב , ולחשב את הדטרמיננטהAבמטריצה |A . לכן
6 1 1 1 6 1 1 1 61 1 1
| | 4 det 13 3 2 1, det 1 13 2 2, det 1 3 13 34 4 4
13 4 1 2 13 1 2 4 13
A x y z
= − ⇒ = = = = = = − − −
נניח .א)31 1
0idk
ij ij
i j
a u= =
נסמן . ∑∑=1
id
i ij ij
j
v a u=
מרחב עצמי הוא מרחב ( iλשל ע" וivשימו לב כי , ∑=
0 או )וקטוריi
v 0 נניח בשלילה יש .=j
v מהמשוואה למעלה קיבלנו כי .≠1
0k
i
i
v=
ל של " אך זהו צ∑=
0לכן בהכרח . ל"ע שונים והוכחתם שאלו בת" של עע"וi
v אבל .i לכל =1
id
i ij ij
j
v a u=
ל " ומאחר וזה צ∑=
0ל מיידי כי "של וקטורים בתij
a . ולכן סיימנוiזה נכון לכל . j לכל =
dimV נסמן .ב n=. נניח T לכסינה ותהי
1 0
0n
a
B
a
=
O המטריצה המלכסנת אותה לפי בסיס
1,...,
nv v . שימו לב כי כל
iaע של " הינו עT כי ( )
i i i i i iT v B e a e a v= ⋅ = =)
ie הוא הייצוג של
iv לפי
לכן ). הבסיס הנתון1
{ ,..., }i k
a λ λ∈וגם ברור כל 1,...,
nv vנסמן . ע מתאים"ע של ע" הם ו
il להיות מס
ע של "הוi
λ מתוך 1,...,
nv v . ברור
i il d≤ל של "ע בת" כי זו קבוצה של ו
iλ . מצד שני
1 1
k k
i i
i i
n l d= =
= ≤∑ ∑
ולכן i i
i l d∀ לא ייתכן (=1
k
i
i
n d=
.ובזאת סיימנו הוכחת הכיוון הראשון) בגלל סעיף א∑>
נניח : כיוון שני1
k
i
i
n d=
} אז יחד עם סעיף א נובע כי הקבוצה∑= |1 ,1 }ij iu i k j d≤ ≤ ≤ V היא בסיס של ≥
. לפי בסיס זה היא אלכסוניתTוברור כי המטריצה המייצגת את פשוט מספר הפעמים ש : הוכחה. ד כדי שינוי סדר האיברים באלכסוןהמטריצה המלוכסנת יחידה ע: תיקון. ג
iλ מופיע באלכסון הוא
id.
תהי ) 51 2
0 1A
=
נחשב קודם את : ע"נמצא את הע. לפי הבסיס הסטנדרטיT המטריצה המייצגת את
2 :הפולינום האופייני1 2
( ) det ( 1)0 1
A
xf x x
x
− − = = −
− נמצא בסיס ל . 1 ויש לו שורש יחיד והוא
1V
בעצם אנו צריכים למצוא בסיס לגרעין של ): 1ע של "מ(0 2
0 0I A
− − =
ולכן 1מימד השורות הוא .
2מימד הגרעין הוא 1 1− ניקח את . =1
0
אין (ברור כי המטריצה אינה לכסינה , ע"אין יותר ע. בתור בסיס
).ל"ע בת" ו2איך להשיג
תהי ) 6
3 0 0
0 2 1
0 1 2
A
= − −
נחשב קודם : ע"נמצא את הע. לפי הבסיס הסטנדרטיT המייצגת את ה המטריצ
: את הפולינום האופייני
2
3 0 0
( ) det 0 2 1 ( 3)( 4 3) ( 3)( 1)( 3)
0 1 2
A
x
f x x x x x x x x
x
−
= − = − − + = − − − −
רשיו הם מן שו.
.ע" ולכן אלו הע1,3הסתם
נמצא בסיס ל 3
V) פשוט צריך למצוא בסיס לגרעין של ): 3ע של "המ
0 0 0
3 0 1 1
0 1 1
I A
− =
מכיוון .
ולכן גם מימד ( נובע כי מימד הגרעין 1שמימד השורות הוא 3
V ( ח למשל וניק2הוא
1 0
0 , 1
0 1
−
בתור
ושם ניקח את 1ע שלו הוא " מימד המ1ע "באותו אופן נמצא כי לע. בסיס
0
1
1
. בתור בסיס
T ב 3 ולפי 3=1+2 לכסינה כי סכום המימדים הואTאז . לכסינה
3 0 0
0 3 0
0 0 1
B
=
מטריצה המלכסנת את
T לפי הבסיס
1 0 0
0 , 1 , 1
0 1 1
−
P,1אם אנו רוצים למצוא את המטריצות . P− 1 כך שPAP B− −1P אזי =
ל לבסיס הסטנדרטי וזו פשות המטריצה עם וקטורי "צריכה להיות המטריצה שמעבירה מייצוג לפי הבסיס הנ
1: ודותבעמ" המיוחד"הבסיס 1 0 0
0 1 1
0 1 1
P−
= −
.−1Pלחשב כהופכית של עתה ניתן Pאת .
2אלגברה לינארית 5תרגיל בית מספר
)1 (תרגיל :
נתונה המטריצה
1 1
1 1
A
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
A .לכסינההוכח כי 1. A .- לדומהומטריצה אלכסונית ה אתנת סמלכהמצא מטריצה A 2.
100A .ידי שימוש בסעיף הקודם-עלחשב את 3. A . הם הערכים העצמיים היחידים שלהוכח כי: 0,nλ = .1- להדרכה
nדרA)2(תרגיל נגדיר טרנספורמציה לינארית .מעל שדה מטריצה מסתהי: n×F
:( )
n nT M MT X AX
→=
F F
n
M )מעל המרחב הוקטורי של המטריצות מסמציין את ( Fn nF × דרT. Aהוא גם ערך עצמי של הוכח כי כל ערך עצמי של
שהיא וקטור עצמי כדי לבנות מטריצה, של המתאים לערך עצמי השתמש בוקטור עצמי:הדרכה . השתמש בתכונות כפל מטריצות. Tשל המתאים לערך עצמי
vλX Aλ
)3 (תרגיל :
nהוכח כי סכום הריבויים האלגבריים של הערכים העצמיים של מטריצה מסד n קטן או שווה ל-. × nר .1n מתפרק לגורמים הפולינום האופיני של -כי במקרה וסכום הריבויים האלגבריים שווה להוכח .2
.לינארייםA
)4 (תרגיל : .ידוע כי לשתי מטריצות דומות יש אותו פולינום אופיני
?האם הטענה ההפוכה נכונה לשתי מטריצות כלליות .1 ?נה ההפוכה נכונה לשתי מטריצות לכסינותהאם הטע 2.
)5 (תרגיל :
A, .מסנתונות שתי מטריצות ריבועיות Bn n× דרn .עצמיים שונים ערכים יש- לוכי, )מתחלפות בכפל (נתו A ABן כי BA=,A B
B . אותה מטריצה מלכסנת-ולויש ל, לכסינההוכח כי במקרה זה גם A B הוא וקטור עצמי הסק מכאן כימתקהראה כי לכל וקטור עצמי של: הדרכה
. שלBv Aיים( ) ( )A Bv Bv= λ
A
שאינה עושה תן הוכחה לכך . פולינום אופיניעם לכסינה מסתהא: )6 (תרגיל .המילטון-שימוש במשפט קייליAדרn n×( )p t-( ) 0p A = ש
2אלגברה�לינארית���5תרגיל�בית�מספר�פתרון�
�����:)�1(תרגיל
�nמסדרנתונה�המטריצה n×��
� �
1 1
1 1
A
=
L L
M M
M M
L L
��
��.לכסינהAהוכח�כי .1���.A-��לדומהומטריצה�אלכסונית�ה�Aאתנת�סמלכהמצא�מטריצה� .2���.ידי�שימוש�בסעיף�הקודם-על100Aחשב�את .3
nλ,0הוכח�כי:�.1-�להדרכה ��.�Aהם�הערכים�העצמיים�היחידים�של=� �
��:פתרוןnλ,0נשתמש�בהדרכה�ונוכיח�כי .1 .Aצמיים�היחידים�של��הם�שני�הערכים�הע=
��0λ det(0-�הינו�ערך�עצמי�משום�ש = ) det( ) 0I A A− = − 0λ,�כלומר, = הוא�שורש� =
��.Aהפולינום�האופייני�של�של���nλ ���-�הינו�ערך�עצמי�משום�ש =
� �
0 0 1 1
0
0
0 0 1 1
1 1 1
1 1
1 1
1 1 1
0 0 0
1 1 1 1
1 1
1 1 1
1 12
det( ) det
det
det
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nR R Ri
i
nI A
− − − − − − − − − −
− − − − − − − − −
→ + ∑=
− = −
=
=
L L L
O M M M
M O M M
L L L
L
O M
M O
L
L
M O
L
0
=
��
nλ,�כלומר ��.�Aשל�הוא�שורש�של�הפולינום�האופייני =��
ממדי�המרחבים�העצמיים�של�הערכים�העצמיים�שווים�לממדי�מרחבי�הפתרונות�של�Iהמטריצות Aλ ��ולכן�מקיימים,�−
0dim ( ) 1
dim 1n
V n rank A n
V
λ
λ
=
=
= − = −
≥��
-�מכאן�ש0
dim dim nV V nλ λ= =+ ≥.��
מיד�מתקיים�כיאולם�ת0
dim dim nV V nλ λ= =+ ≤.
לכן�בהכרח0
dim dim nV V nλ λ= =+ =.
,0מכאן�נובע�כי nλ ��.��לכסינהA-�וAהם�הערכים�העצמיים�היחידים�של�=������
���היא�מטריצת�המעבר�מן�הבסיס�המורכב�מן�הוקטורים�Aהמטריצה�המלכסנת�את� .2
.Aנמצא�בסיס�של�וקטורים�עצמיים�של�.�דרטי�לבסיס�הסטנAהעצמיים�של���
��.Aנמצא�את�המרחבים�העצמיים�של�הערכים�העצמיים�של�לשם�כך���
0λעבור =:��
{ }0
1 1 01 1
1 1 0
10
1
0
(1,0,0, ,0, 1) , (0,1,0, ,0, 1)t t
x x
x xn n
x
x xnxn
V v Av
span
λ =
=
+ + =
= =
=
=
= − −
L
M M M M M
L
M K
K K{ }, , (0,0,0, ,1, 1)t−K K
��
��nλעבור =:��
{ }
1 2
1 2
1 11 1 1
1 1
(1 ) 0
(1 ) 0
1
(1, ,
n
n
n
x x x
n
x x xn n n
n x x x
x x n x
x
xn
V v Av nv
span
λ =
=
− + + + =
+ + + − =
= =
=
=
=
L
M M M M M
L
K
M M M
K
M
K{ }1)t
��
����ידי-�נתון�עלAבסיס�של�וקטורים�עצמיים�של�
{ }(1,0,0, ,0, 1) , (0,1,0, ,0, 1) , , (0,0,0, ,1, 1) , (1, ,1)t t t tspan − − −K K K K K����היא�מטריצת�המעבר�מן�הבסיס�המורכב�מן�הוקטורים�,�המטריצה�המלכסנת,�Pאם
���לבסיס�הסטנדרטי�אזי�Aהעצמיים�של�
1
1 0 0 1
0 1 1
0 0
0
0 0 1 1
1 1 1 1
P
− − − −
=
L L
M
M M
M M M
L L
��
����
��ידי-והמטריצה�האלכסונית�נתונה�על
0 0 0
0 0
0 0
0 0
D
n
=
L
O M
M O
L
��
����
1Aיםמתקי .3 P DP−=. ��
באמצעות�הסעיף�הקודם�נוכל�לחשב�100 1 100 1 100
( )A P DP P D P− −
= =
1נחשב�את 100P D P−��
( )
( )
( )
( )
100
1 100 1
1
100
1 99
99 1
99 1
99
99
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
P D P P P
n
P P
n
P n I P
n
n I P P
n
n I P DP
n I A
n A
− −
−
−
−
−
=
=
=
=
=
=
=��
� �� ���
100וקיבלנו�כי 99A n A=�,1ובאופן�כללי�מתקייםn nA n A−=.������������������������������������������������
���nמטריצה�מסדרAתהי:�)2(תרגיל� n×מעל�שדה�F.נגדיר�טרנספורמציה�לינארית���
� �:
( )
n nT M M
T X AX
→
=
F F
��
)nMFהמרחב�הוקטורי�של�המטריצות�מסדרמציין�את�n n×מעל�F(��
���.Tהוא�גם�ערך�עצמי�של�Aהוכח�כי�כל�ערך�עצמי�של�Xכדי�לבנות�מטריצה,�Aשל��λהמתאים�לערך�עצמי�vהשתמש�בוקטור�עצמי:הדרכה
��.��השתמש�בתכונות�כפל�מטריצות.�Tשל�λשהיא�וקטור�עצמי�המתאים�לערך�עצמי����
nvויהא,��Aערך�עצמי�של�λיהא:�פתרון ∈ Fקטור�עצמי�המתאים�לוו�.����
Xנגדיר�מטריצהλ
���להיות
� �
0 0
0 0
X vλ
=
M M��
�X,כלומרλ
��.�אפסים–�וכל�יתר�העמודות��vשווה�היא�מטריצה�שעמודתה�הראשונה
0Xנשים�לב�כיλ
0v-�משום�ש≠ ��).מעצם�היותו�וקטור�עצמי�(≠��
)נחשב�את )T Xλ
��
� �
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
( )
Av
v
v
v
T X AX
A
X
λ λ
λ
λ
λ
λ
=
=
=
=
=
=
M M
M M
M M
M M
��
X-�מכאן�שλ
��.�λהמתאים�לערך�העצמי�Tהיא�וקטור�עצמי��
בבסיס�הסטנדרטי��(�Tהמטריצה�המיצגת�של�הטרנספורמציהאינה�A-חשוב�לשים�לב�לכך�ש��.��ואי�אפשר�להשתמש�בעובדה�זו�לצורך�פתרון�התרגיל,�)או�בכל�בסיס�אחר
����������������
����:)�3(תרגיל
nמסדר�הוכח�כי�סכום�הריבויים�האלגבריים�של�הערכים�העצמיים�של�מטריצה� .1 n×���.n-�קטן�או�שווה�ל
��Aהפולינום�האופיני�של�n-�הוכח�כי�במקרה�וסכום�הריבויים�האלגבריים�שווה�ל .2�.מתפרק�לגורמים�לינאריים
����:�פתרון
-נסמן�ב .11 2, , , kλ λ λKאת�השורשים�השונים�של�הפולינום�האופייני�של��A,( )p t�,מעל�
ראינו�בתרגול�כי�.�השדה�הנתון
� � ( ) ( )ii t p tλ∀ −��
��-כך�ש)�החיובית(�את�החזקה�המקסימלית�ir-נסמן�ב
( ) ( )ir
it p tλ−
���שונים�מתקיים�כיiλ-משום�ש
1 2
1 2( ) ( ) ( ) ( )k
rr r
kt t t p tλ λ λ− − −L��
�לכן�נוכל�לרשום ���
� �1 21 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )krr r
kp t t t t q tλ λ λ= − − −L��
כאשר1 2, , , kλ λ λKהם�הערכים�העצמיים�של��A�,1-ו 2, , , kr r rKפי�ההגדרה�-��הם�על
).ים�המתאימיםהריבויים�האלגברי )q tשאין�לו�שורשים�מעל�השדה�הוא�פולינום��.����
( )p tהוא�פולינום�ממעלה�nולכן���
1 2deg( )kn r r r q= + + + +K��
��ובפרט
1 2 kr r r n+ + + ≤K����.והוכחנו�את�מה�שרצינו
��השיוויון�האחרון�מחייב�-דיון�בסעיף�הקודם�אנו�לומדים�כי�שיוויון�באימן�ה .2
)degכי ) 0q =.���
פולינום�שהמקדם�של�החזקה�הגבוהה�(משום�שהפולינום�האופייני�הוא�פולינום�מתוקן�)אנו�יכולים�לקבוע�כי�למעשה,�)�1שווהשלו� ) 1q t ≡.����
�-מכאן�נקבל�ש1 2
1 2( ) ( ) ( ) ( ) k
rr r
kp t t t tλ λ λ= − − −L���.�כפי�שרצינו�להוכיחהפולינום�האופייני�מתפרק�לגורמים�לינארייםו��������������������������
����:�)�4(תרגיל
��.ידוע�כי�לשתי�מטריצות�דומות�יש�אותו�פולינום�אופיני ?האם�הטענה�ההפוכה�נכונה�לשתי�מטריצות�כלליות .1 ?האם�הטענה�ההפוכה�נכונה�לשתי�מטריצות�לכסינות .2��
��:ןפתרו .אינה�נכונה�לשתי�מטריצות�כלליותהטענה�ההפוכה� .1
����נקח�שתי�מטריצות:�דוגמא�נגדית
1 0 1 1,
0 1 0 1A B
= =
��
)2-�הפולינום�האופייני�של�שתיהן�שווה�ל 1)t −.����
��).כל�מטריצה�אלכסונית�היא�בפרט�לכסינה(�לכסינה�Aהמטריצה�1λב�העצמי�של�הערך�העצמי�היחידממד�המרח(�אינה�לכסינה�Bהמטריצה� ��).�1שווה�=
����.מכאן�ששתי�המטריצות�הללו�אינן�דומות
.פוכה�נכונה�לשתי�מטריצות�לכסינותהטענה�הה .2��
�םאזי�יש�להן�אות.��שתי�מטריצות�לכסינות�עם�אותו�פולינום�אופייניA,Bתהינה�:�הוכחהמכאן�שלשתיהן�מתאימה�אותה�.�ם�בהתאמהערכים�עצמיים�ואותם�ריבויים�אלגבריי
��.�Dמטריצה�אלכסונית��
1D-�כך�ש�Pמתאימה�מטריצה�מלכסנתAלמטריצה� PAP−=.
1D-�כך�ש�Qמתאימה�מטריצה�מלכסנתBלמטריצה QBQ−=. ��
��נוכל�כעת�לרשום
� �( ) ( )
1 1
11 1
PAP QBQ
A P Q B P Q
− −
−− −
=
⇒ =��
��.ריצות�דומותטולכן�המ��
������������������������������������
����
��:)�5(תרגילA,נתונות�שתי�מטריצות�ריבועיות Bמסדרn n×.��
ABנתון�כי BA=)�,A Bלוכי,�)מתחלפות�בכפל��-Aיש�nעצמיים�שונים�ערכים�.����.�אותה�מטריצה�מלכסנתB-ולAויש�ל,�לכסינהBהוכח�כי�במקרה�זה�גם
)מתקייםAוקטור�עצמי�שלהראה�כי�לכל�:�הדרכה ) ( )A Bv Bvλ=הסק�מכאן�כי�Bvהוא��
��.�Aעצמי�שלבמרחב�הוקטור���
��.��Aשל��iλוקטור�עצמי�המתאים�לערך�עצמיivיהא:�פתרון��
���כימן�הנתון�מתקיים
� �i i i i i iABv BAv B v Bvλ λ= = =
��:נתיחס�לשני�מקרים�נפרדים
�0iBv-�מקרה�ראשון� ≠��
0iBv-�מקרה�שני� =�
��.iλלערך�העצמיגם�כן�המתאים���Aהוא�וקטור�עצמי�שלiBvנסיק�כיבמקרה�הראשון���.Bשל�אפס��הוא�וקטור�עצמי�המתאים�לערך�עצמיivבמקרה�השני�נסיק�כי
��
בשני�המקרים�נוכל�לרשום�כי�בוודאותii
Bv Vλ
∈.��
,עצמיים�שונים�ערכים��nישA-נתון�כי�ל1 2, , , nλ λ λK�,1עם�ריבויים�אלגבריים� 2, , , kr r rK�
��.�בהתאמה��
��כפי�שכבר�ציינו�הריבוי�האלגברי�גדול�או�שווה�לריבוי�הגיאומטרי�ולכן
� �1 1
dim dimn n
V V r r nλ λ
+ + ≤ + + ≤K K��
��ים�עצמיים�ולכן�בהכרח�הם�ערכiλאולם
dim 1i
i Vλ
∀ ≥
��-ומכאן�ש
1dim dim
nV V n
λ λ+ + ≥K
��לכן�נקבל�כי
1dim dim
nV V n
λ λ+ + =K
��וגם
dim 1i
i Vλ
∀ =
��
{ },i iv Bvב�וקטורים��הם-iVλ)ולכן,�)1מרחב�מממד��{ },i iv Bvתלויים�לינארית��.��
iלכן�נקבל�כי i iBv vα=עבור�סקלרים�iα0כאשר�אנו�משתמשים�בעובדה�כי�(�כלשהםiv ≠(.����
}לכן }1 2, , , nv v vKהוא�גם�בסיס�של�וקטורים�עצמיים�של��B�.��
��.ויש�לה�אותה�מטריצה�מלכסנת,�נה�לכסיBלכן���������������
��nלכסינה�מסדרAתהא:�)�6(תרגיל n×פולינום�אופיניעם��( )p t�.תן�הוכחה�לכך�ש-
( ) 0p A ��.המילטון-��שאינה�עושה�שימוש�במשפט�קיילי=��
1A-��כך�ש�Dומטריצה�אלכסונית�Pלכסינה�עם�מטריצה�מלכסנתAתהא�:�וןפתר P DP−=.��
1ידי-��נתון�עלAהפולינום�האופייני�של�1 1 0
( )n n
np t t a t a t a−
−= + + + +K.��
��)נחשב�את )p A��
( ) ( ) ( )
( )
1
1 1 0
11 1 1
1 1 0
1 1 1 1
1 1 0
1 1
1 1 0
( )n n
n
n n
n
n n
n
n n
n
p A A a A a A a I
P DP a P DP a P DP a I
P D P a P D P a P DP a I
P D a D a D a I P
−
−
−− − −
−
− − − −
−
− −
−
= + + + +
= + + + +
= + + + +
= + + + +
K
K
K
K
��
��ידי-��נתונה�עלDהמטריצה�האלכסונית
� �
0 01
02
0
0 0 n
D
λ
λ
λ
=
L
O M
M O
L
��
��ידי-�והחזקות�שלה�נתונות�על
0 01
02
0
0 0
k
k
k
k
n
D
λ
λ
λ
=
L
O M
M O
L
� ���
��בפולינוםנציב�אותן
11 1 1 1 1 0
12 1 2
10 0 0 0 0 01 1 1
1 01 0 0 22 21 1 000 0
0 010 0 0 0
0 0
1 0
( )
nn
nn
n n
n n
n
n n nn n
n a a a
n a
p A P a a a I P
P
λ λ λ
λλ λ
λλ λ
λ λ λ
λ λ
−
−
−
−
− − − − −
+ + + +
− + +
= + + + +
=
L L L
MM M
M OM O M O
LL L
K L
K
K
1 2 0
11 1 0
1
2
0
0 0
( ) 0 0
1 0 ( )
0
0 0 ( )
0 0 0
1 0 0
0
0 0 0
0
nn n n n
n
a a
n a a a
p
p
p
P
P P
P P
λ
λ λ λ
λ
λ
λ
−
−
+ + + + + +
−
−
=
=
=
M
M O
L K
L
M
M O
L
L
M
M O
L
)וקיבלנו�כי ) 0p A ��.�כפי�שרצינו�להוכיח=
6תרגיל -) 2(אלגברה ליניארית
:1שאלה
פולינום ל שווה A-1 -מנת להוכיח ש- המילטון על-השתמשו במשפט קיילי. n מטריצה הפיכה מסדר Aתהי
.(n-1) - שמעלתו קטנה או שווה לA-ב
:2שאלה
. An=0: הוכיחו כי. Ak=0 - טבעי כך שkנניח שקיים . n מטריצה ריבועית מסדר Aתהא
). מקיימתA-מצאו את הפולינום המינימלי ש: הדרכה(
:3שאלה
:י מטריצת הסיבוב"המיוצג ע, θ אופרטור הסיבוב במישור בזוית T:R2�R2יהי
−=
)cos()sin(
)sin()cos(
θθ
θθA
מהם ). שלםθ=πk) k -מקרה שב אין ערכים עצמיים ממשיים מלבד Aהראו כי למטריצת הסיבוב .א ?המרחבים העצמיים במקרה זה
Dמצאו את המטריצה האלכסונית . לכסינה מעל המספרים המרוכביםAכי המטריצה הוכיחו .ב
.P-1AP=D המקיימת Pומטריצה מלכסנת , A-הדומה ל
: המטריצות הבאותשתי נתונות :4שאלה
=
=
1000
1100
0010
0011
1000
0100
0010
0011
BA
.B ושל A והפולינום המינימלי של חשבו את הפולינום האופייני .א
את המרחבים העצמיים המתאימים , צאו את הערכים העצמיים מB- וAאחת מהמטריצות -לכל .ב .וקבעו האם היא לכסינה, את הריבוי האלגברי והגיאומטרי של כל ערך עצמי, להם
).B-I - וA-Iהתבוננו במטריצות : הדרכה (. טענתכםהוכיחו? דומותB- וAהאם .ג
:5שאלה
: כלומר, בלוקיםk-המורכבת מ, מטריצת בלוקים אלכסוניתAתהא
=
kA
A
A
A
0
0
2
1
O.
: אז, פולינום(P(tהוכיחו כי אם .א
=
)(0
)(
0)(
)(2
1
kAP
AP
AP
APO
,
.לבצע על כל בלוק לחוד ניתן A-כלומר חישוב פולינום ב
: כלומר.A1,…,Akפלת הפולינומים האופייניים של כ שווה למAהוכיחו כי הפולינום האופייני של .ב
PA(t)=P1(t)P2(t)…Pk(t) , כאשרPA הפולינום האופייני של A ,ו-Pi הפולינום האופייני של Ai.
הוא הפולינום A של (mA(tהוכיחו כי הפולינום המינימלי . Ai הפולינום המינימלי של (mi(tיהי .ג
הוא המכפלה המשותפת הקטנה (mA(t: כלומר. i לכל (mi(t -מהמעלה הנמוכה ביותר המתחלק ב
.(m1(t),…,mk(tביותר של
).'סעיף ה, 6שאלה , 3היעזרו בתרגיל (
:6שאלה
: n מסדר חשבו את הפולינום האופייני ואת הפולינום המינימלי של המטריצה הבאה .א
)1,(0,1,,
0
1
01
,1,,+≠===
=+
iijaaaA jiiiii λ
λ
λ
λ
O
O
.ורדן'בלוק זל נקראת "מטריצה כנ: הערה
ם חשבו את הפולינום האופייני והפולינום המינימלי של מטריצת בלוקי5באמצעות שאלה .ב
:הוא) nrמסדר ( שלה r-אלכסונית שהבלוק ה
)1,(0,1,,
0
1
01
,1,,+≠===
=+
iijaaaA jiiirii
r
r
r
r λ
λ
λ
λ
O
O
! זה מזהים אינם בהכרח שונים-rλ -שימו לב שה
.ורדן'מטריצה בצורת זל נקראת "מטריצה כנ: הערה
1
6תרגיל פתרון ל –) 2(אלגברה ליניארית
:1שאלה
p(t) = tn + an-1tיהי ו, n מטריצה הפיכה מסדר Aתהי n-1
+ … + a1t + a0 הפולינום האופייני של A . לפי :המילטון-משפט קיילי
p(A) = An + an-1A
n-1 + … + a1A + a0I = 0
(a0=(-1, הפיכהA-משום שndet(A)≠0 , קבלללחלק בו ולכן ניתן:
A ((-1/a0) An-1
+ (-an-1/a0)An-2
+ … + (-a1/a0) I) = I
A-1 = (-1/a0) A: כלומר, A-1ולכן בסוגריים רשומה המטריצה n-1
+ (-an-1/a0)An-2
+ … + (-a1/a0) I.
:2שאלה
. An=0: ל"צ. Ak=0 - טבעי כך שkנניח שקיים . n מטריצה ריבועית מסדר Aתהא
.k>n -לכן נניח ש. ה אז הטענה ברורk≤nאם
מכאן . (q(tמחלק את Aולכן הפולינום המינימלי של , q(t)=tk מאפסת את הפולינום A, לפי הנתון
כיוון שמעלת הפולינום המינימלי קטנה או שווה ,j=0,…,n לאיזה m(t)=tjהוא שהפולינום המינימלי
.An = AjAn-j = 0לכן ו, Aj=0לכן , מאפסת את הפולינום המינימלי שלהA. לסדר המטריצה
:3שאלה
:י מטריצת הסיבוב"המיוצג ע, θ אופרטור הסיבוב במישור בזוית T:R2�R2יהי
−=
)cos()sin(
)sin()cos(
θθ
θθA
cos(2(1: הפולינום האופייני. א)cos()sin(
)sin()cos()det(
2+−=
−−
−=− θ
θθ
θθt
t
tAtI . הדיסקרימיננטה
θ=πk: כלומר, sin(θ)=0ע ממשיים רק כאשר " יש עA-לכן ל. 4cos2(θ)-4 = -4sin2(θ) ≤ 0 - שלו שווה ל
)kשלם .(
. R2והוא מתאים למרחב העצמי , λ=1 הוא Aשל היחיד ע "הע, A=Iכאשר . A = -I או A = I, במקרה זה
. R2מתאים למרחב העצמי שוב והוא , λ=-1 הוא Aשל היחיד ע "הע, A=-Iכאשר
λ1,2=cos(θ)+isin(θ) = e: שורשים שונים2 יש ולינום האופיינילפ, מעל למרוכבים. ב±iθ .לכן :
=
− θ
θ
i
i
e
eD
0
0 מתאים הוקטור העצמי eiθלערך העצמי .
i
1 מתאים הוקטור e-iθולערך העצמי ,
העצמי
1
i: לכן, )ע שונים"כי הם מתאימים לע(ל "אלו הם וקטורים בת,
=
1
1
i
iP. כי וניתן לוודא
:אכן
De
e
i
i
i
i
APPi
i
=
=
−
−
−
=−
−
θ
θ
θθ
θθ
0
0
1
1
)cos()sin(
)sin()cos(
2
1
2
22
1
1
2
: נתונות שתי המטריצות הבאות:4שאלה
=
=
1000
1100
0010
0011
1000
0100
0010
0011
BA
A B
t-1)4 (t-1)4) פולינום אופייני
t-1)2 (t-1)2) פולינום מינימלי
1 1 ערכים עצמיים
: מרחב הפתרונות של )1ע "של הע (מרחב עצמי
−
=−
0000
0000
0000
0010
AI
: כלומר
Sp{(1,0,0,0)t, (0,0,1,0)
t,
(0,0,0,1)t}
:מרחב הפתרונות של
−
−
=−
0000
1000
0000
0010
BI
:כלומר
Sp{(1,0,0,0)t, (0,0,1,0)
t}
4 4 )1ע "של הע(ריבוי אלגברי
2 3 )1ע "של הע(ריבוי גיאומטרי
לא לכסינהB לא לכסינהA לכסינות
:ז גםא, B=PAP-1 - כך שP נניח בשלילה כי יש מטריצה . אינן דומותB- וAנוכיח כי
P(A-I)P-1
= PAP-1
– PIP-1
= B-I
ולכן , לכן אינן יכולות להיות דומות, rank(B-I)=2 בעוד rank(A-I)=1אך . דומותB-I - וA-Iגם , כלומר
. אינן דומותB- וAגם
:5שאלה
: כלומר, בלוקיםk-המורכבת מ, מטריצת בלוקים אלכסוניתAתהא
=
kA
A
A
A
0
0
2
1
O.
: אז, פולינום(P(t כי אם ל"צ .א
=
)(0
)(
0)(
)(2
1
kAP
AP
AP
APO
.
3
:אז, גודל- עם בלוקים שווי, מטריצות בלוקיםשתי B- וAנבחין כי אם , ראשית
+
+
+
=+
=
kkkk BA
BA
BA
BA
BA
BA
BA
AB
0
0
0
0
22
11
22
11
OO
P(x) = anxאם : לכןn + an-1x
n-1 + … + a1x + a0 ,אז:
=+
++
+
=
−
−Ia
A
A
A
a
A
A
A
a
A
A
A
aAP
k
n
k
n
n
k
n 0
2
1
1
1
2
1
1
2
1
0
0
0
0
0
0
)(O
LOO
=+
++
+
=
−
−
−
−Ia
A
A
A
a
A
A
A
a
A
A
A
a
k
n
k
n
n
n
n
k
n
n
n 0
2
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
0
0
0
0
0
0
OL
OO
=
)(0
)(
0)(
2
1
kAP
AP
AP
O
: 'ה- 6שאלה , 3תרגיל לפי ו 'לפי סעיף א, Aנחשב את הפולינום האופייני של .ב
∏ ∏= =
=−=
−
−
−
=−=
k
i
k
i
ii
k
A tPAtI
AtI
AtI
AtI
AtItP1 1
2
1
)()det(
0
0
det)det()(O
: 'לפי סעיף א. פולינום כלשהו(Q(tיהי .ג
=
)(0
)(
0)(
)(2
1
kAQ
AQ
AQ
AQO
Q(A)=0לכן .
ל ש(mi(t מתחלק בפולינום המינימלי (Q(tשהפולינום , מכאן נובע. i=1,..,k לכל Q(Ai)=0ם "אם
Ai , ולכןQ(t) מתחלק גם בכפולה המשותפת המינימלית של m1(t),…,mk(t) .הפולינום , לכן
הוא הכפולה המשותפת i=1,…,k לכל (mi(t -המתוקן מן המעלה הנמוכה ביותר המתחלק ב
.Aוזהו הפולינום המינימלי של , (m1(t),…,mk(tהמינימלית של
4
:6שאלה
.t-λ)n): הפולינום המינימלי, t-λ)n): הפולינום האופייני .א
(t-λ1): נום האופייניהפולי .בn1(t-λ2)
n2…(t-λk)nk.
, {i=1,..,s :Ni = max{nj: λj=µi ונגדיר לכל ,השונים את הערכים העצמיים µ1,…, µs -נסמן ב
(t-µ1)אז הפולינום המינימלי הוא N1(t-µ2)
N2…(t-µs)Ns.
עד כדי סדר (ורדן ושצורה זו יחידה'בהמשך הקורס תלמדו שכל מטריצה דומה למטריצה בצורת ז: הערהאלגוריתם יעיל לחישוב הפולינום האופייני והפולינום למעשה שאלה זו נותנת לכם , לכן). הבלוקים
. שהיאהמינימלי של כל מטריצה
������������������������������������
�����������������-��/4����������������������������������������������������������������������������������������������� ���!����� �������!��������!�������"����"����"����!����
!��������������������!����� ������������"�������!����������������������� ��������
��������������[ ]t�����������������������!������!������!��!������� ��#$�����������������
( ) [ ] [ ], : t t× → �� ���"�%1
N
l ll
a b=�&�
1 1
,n m
i ji j
i j
a x b x= =
� �� �� �� ��'���max( , )N m n=���0ia =�
���i n>����0jb =� ���j n>�����������( ),�������������$��� �����������������!������� ������������(��������!����� ��������������2 3( ) 1p x x x= + +���
��
�������� ��� �������������V���!�����" ( ),������v V∈������'����)��������������:vf V V→�����:vg V V→��"��( )( ) ,vf w w v=���( )( ) ,vg w v w=������������vf������vg�����"����
��
���������������������� �"��V�������� ������:V +→ ���������%��
.1���������%0v =� ��0v = ⇔��
*��v vα α=� � �������α∀ ∈���
+������������������%v w v w+ ≤ +���
�����������������!������������������
����� ��� ����������������V��!������" ( ),���������������%)( ,v v v=�����������������������������������'���������������� ��������������������������������������
����������������������������������!��������%Re( )z z
����������������[ ]t�!������!������!��!������� ��#$�������������������[ ]t�����
��������������!1
( )n
ii
i
p x a x=
=����1
( )n
jj
j
q t b x=
=�������!������� �n������2 21 1 1
n n n
i i i ii i i
a b a b= = =
≤ ∗� � ����
��
��!�����V�����������$��� �������n����1 ,..., nv v�$�$����������������������11 1
1
n
n nn
a a
A
a a
� �� �= � �� �� �
�
� � �
�
��"��
( ), ,i j i ja v v=�'����( ),������"�������$��)����
���!����������������������1
n
i ii
v vα=
=�����1
n
i ii
w vβ=
=�!�������%( ) ( ) ( )1 1, ... ...T
n nv w Aα α β β=�����%��
( ) ( )111 1
1
1
, ...n
n
n nn n
ba a
v w a a
a a b
� �� �� �� �= � �� �
� �� �� �� �
�
� � � �
�
���
����
����������$�A����������������������$�$������������������'�����$�$�������������1 ,..., nw w���V�
�������P�������!�$�$����������������������!�11 1
1
n
n nn
b b
B
b b
� �� �= � �� �� �
�
� � �
�
�������"��( ), ,i j i jb w w=�
��!���������TB P AP=�)��� ���
��
���������������������������� ��
�����������������[ ]t������������������������
��������������������������������������
( ) [ ] [ ], : t t× → �� �����1
N
l ll
a b=���
1 1
,n m
i ji j
i j
a x b x= =
� �� �� �� �������max( , )N m n=��������
���( ),������������������������������������������������������ ������������������������������2 3( ) 1p x x x= + +���
�������
��������������������1 1
N N
l l l ll l
a b b a= =
=� �!�������max( , ) max( , )n m m n=�"��
�����������������1
( )n
ii
i
p x a x=
=���( ) 21 1 1
( ), ( ) ,n n n
i ii i i
i j i
p x p x a x a x a= = =
� �= =� �� �� � ������������������������
��������������#2
1
n
ii
a=���������������������������������������������������������������2 0ia =�����i�#
�����0ia =�����i�#�����( ) 0p x ≡�����
������������ �����������������1
ni
ii
a x=��#
1
kl
ll
c x=��#
1
mj
jj
b x=�������max( , )M n k=����max( , )N M m=���
�������1 1 1 1 1 1 1
, , ( )n k m M m N N
i l j i i ji l j i i j l l l l l l l
i l j i j l l
a x c x b x a x c x b x a c b a b c b= = = = = = =
� � � �+ = + = + = + =� � � �
� � � �� � � � � � ���
1 1 1 1 1 1
, ,N N n m k m
i j l jl l l l i j l j
l l i j l j
a b c b a x b x c x b x= = = = = =
� � � �+ = +� � � �
� � � �� � � � � ���
�����������������α ∋ �����#��
1 1 1 1 1 1 1 1
, ( ) , ,n m n m N N n m
i j i j i ji j i j l l l l i j
i j i j l l i j
a x b x a x b x a b a b a x b xα α α α α= = = = = = = =
� � � � � �= = = =� � � � � �
� � � � � �� � � � � � � ����
��
�������1 1
n mi j
i ji j
a x b x= =
⊥� ����������1 1 1
, 0n m N
i ji j l l
i j l
a x b x a b= = =
� �= =� �
� �� � ����
��
������2 3( ) 1p x x x= + +��������2( ) 1q x x= −����
�����������������������������V���������( ),������v V∈������!���"�#������������:vf V V→�����:vg V V→����( )( ) ,vf w w v=���( )( ) ,vg w v w=������������vf������vg���������
�������
���������vf�������������������������������������������������������������������������
������������������������������vg��������������
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) , , , , , ( ) ( )v v vg w w v w w v w v w v w v w g w g w∗+ = + = + = + = +��( ) ( ) ( )( ) , , , ( )v vg w v w v w v w g wα α α α α α∗= = = =��
!���������������������$��������������������������������������������������������������������
����������������������������������������%��������������������������"��
�������������������������V���������������:V +→ ����������
.1����������0v =� ��0v = ⇔��
&��v vα α=� � �������α∀ ∈���
'�������������������v w v w+ ≤ +���
�������������������������������������
������������������������������V���������( ),����������������)( ,v v v=�������������������������������������!�����������������������������������������������������������
�����������������������������������������"��
�������
�������������������������������������������������������������������������������
0v =����������������)( , 0v v =!������������������"�����0v =����������������������)( )( )( )(2, , , ,v v v v v v v v v vα α α αα α α α= = = = =� � � ����
�������������������
( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 22Re , 2 ,v w v v w w v v w w v v w w v w+ = + + ≤ + + ≤ + + = +������������������������������Re( )z z
��������������������������������������������'��������������������������������������������
[ ]0,1���������������������)������������������������������������������������������������������������������
���
�����������������[ ]t�����
������������������������#��������������[ ]t�����
�����������������1
( )n
ii
i
p x a x=
=����1
( )n
jj
j
q t b x=
=����������������n�#�������
2 2
1 1 1
n n n
i i i ji i j
a b a b= = =
≤ ∗� � ����
�������
�������������)(1
0
, ( ) ( )f g f x g x dx= ������������'�������)(1
2
0
, ( )f f f f x dx= = ������
��������������������������1 1 1
2 2 2
0 0 0
( ( ) ( )) ( ) ( )f g f x g x dx f x dx g x dx+ = + ≤ +� � ����
���������������������)���1
2
0
( , ) ( ( ) ( ))d f g f g f x g x dx= − = −����
�������������������������������1 1 1
2 2 2
0 0 0
( , ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( , ) ( , )d f h f x h x dx f x g x dx g x h x dx d f g d g h= − ≤ − + − = +� � ���
��
�����������������������������(��1
N
l ll
a b=���
1 1
,n m
i ji j
i j
a x b x= =
� �� �� �� ����������!������max( , )N m n="��
2
1 1 1 1
,n n n n
i i ii i i i
i i i i
a x a x a x a= = = =
� �= =� �� �
� � � ���
��
1 1 1 1 1 1
, ( ) ( )n m n m N N
i j i j li j i j l l l l
i j i j l l
d a x b x a x b x a b x a b= = = = = =
� �= − = − = −� �
� �� � � � � ���
�������������%���������
2 2
1 1 1 1 1 1 1
, *n n n n n n n
i j i ji i i j i j i j
i i j i j i j
a b a x b x a x b x a b= = = = = = =
� �= ≤ = ∗� �
� �� � � � � � ����
��
��������������V�
��������������������n����1 ,..., nv v��������������������������11 1
1
n
n nn
a a
A
a a
� �� �= � �� �� �
�
� � �
�
�
���( ), ,i j i ja v v=!�������( ),�����������������"����
��������������������������1
n
i ii
v vα=
=�����1
n
i ii
w vβ=
=���������( ) ( ) ( )1 1, ... ...T
n nv w Aα α β β=��������
( ) ( )111 1
1
1
, ...n
n
n nn n
a a
v w
a a
βα α
β
� �� �� �� �= � �� �
� �� �� �� �
�
� � � �
�
���
����
������������A�������������������������������������������!���������������������1 ,..., nw w���V�������
���P����������������������������������11 1
1
n
n nn
b b
B
b b
� �� �= � �� �� �
�
� � �
�
���������( ), ,i j i jb w w=�����������
��TB P AP=�"��� ���
���
�������
���� �� �� �( ) ( )1111 1
1 1
1
... ...j jn
n n i ij ji j
n nn n nj j
aa a
a
a a a
ββα α α α α β
β β
� �� �� �� �� �� � = = =� �� �� �
� � � �� �� �� � � �
���
�
�
� � � � �
�
��
��
( ) ( ) ( ), , , , ,i i j j i i j j i i j j i i j ji j i j i j i j
v v v v v v v v v wα β α β α β α β� � � �
= = = =� � � �� � � �
�� � � � � � ����
��
����������������1 ,..., nw w���V�#�����������������P���*���( )0...1...0 TiP�����������������������iw��������1 ,..., nv v�������j ij i
i
w p v=������������������
( ) ( ) ( ), , 0...1...0 0...1...0 TTi j i j i jb w w P AP= =���������������������
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,0...1...0 0...1...0 0...1...0 0...1...0 ,TT TT
Ti j i ji j i j
P AP P A P w w b� �� �= = =� � � �
� � � ���
����TP AP B=�#��������
2 תליניארי אלגברה – 9 תרגיל
עבור הוקטורים . עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית 3ℝיהא המרחב הוקטורי .1
{(1,1,1), (1, 2,1), (1, .3ℝשמידט וקבלו בסיס אורתונורמלי ל - השתמשו בתהליך גרם−{(2,3
את נגדיר . V תת מרחב של U ויהא כלשהואמרחב מכפלה פנימית ממימד סופי מעל שדה Vיהא .2
} להיות Uהתת מרחב הניצב ל }:( , ) 0U v V v u u U⊥ = ∈ = ∀ רי אוסף כל הווקטורים ק∋ :הוכיחו. Uהניצבים ל
a. U U V⊥ ⊕ =
b. dim dim dimU U V⊥+ =
c. ( )U U⊥⊥ =
)נתון בסיס .3 ) ( )1 22,1 , 1,3v v= 2V ל = = ℝ.
a. מצאו את הבסיס הדואלי ל{ }1 2,v v ב *V .1 מצאו קרי 2,ϕ ϕ כך ש
( ) 10
i j
i jv
i jϕ
==
≠)כלומר מצאו במפורש את . ),i x yϕ.
b. 2ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית עלℝ מצאו את הבסיס הדואלי ל { }1 2,ϕ ϕ ב V .קרי מצאו שני וקטורים
1 2,u u שמקיימים ( ) ( ), ,i iv u v v V iϕ = ∀ ∈ ∀.
4. V פ מעל "מכמרחבℂ .0ל "נתונה טT TTכלומר (עצמו לV נורמלית מ ≠ T T∗ הוכיחו . )=∗0nT כך ש nנילפוטנטית אם קיים נקראת Tכזכור ( לא נילפוטנטיתTש =(.
2ל "טנתונה .5 2:T →ℝ ℝי " ע( ) ( ), 5 8 , 3 4T x y x y x y= + − פ הסנדרטית על " ונתונה המכ+2ℝ . יהא הבסיס( ) ( ){ }1,1 , 0, 2A .2ℝ ל =
a. חשבו אתT ∗.
b. חשבו את[ ]AA
T.
c. חשבו אתA
AT∗ .
d. שני הסעיפים הקודמים עבור רו על חז( ) ( ){ }1,1 , 1, 1A′ = −.
e. הסבירו מדוע[ ]( ) AAA AT T∗ ′′ ∗
′ ′ = אבל [ ]( )
AA
A AT T
∗∗ ≠ .
f. אם קיים בסיסA שעבורו [ ]AA
T אוניטרית האם בהכרח לכל בסיס A′ מתקיים ש [ ]AA
T′
′
?אוניטרית
2 תליניארי אלגברה – 9 תרגיל
פתרון
עבור הוקטורים . עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית 3ℝיהא המרחב הוקטורי .1
{(1,1,1), (1, 2,1), (1, .3ℝשמידט וקבלו בסיס אורתונורמלי ל - השתמשו בתהליך גרם−{(2,3 :פתרון
ווקטורים משמאל לימין ונקבל נבצע גרם שמידט על ה1 1 1
{ (1,1,1), (1, 2,1), ( 1,0,1)}3 6 2
− −.
את נגדיר . V תת מרחב של U ויהא כלשהוא מרחב מכפלה פנימית ממימד סופי מעל שדה Vיהא .2
} להיות Uהתת מרחב הניצב ל }:( , ) 0U v V v u u U⊥ = ∈ = ∀ רי אוסף כל הווקטורים ק∋ :הוכיחו. Uהניצבים ל
a. U U V⊥ ⊕ = :פתרון
vאם U U ⊥∈ ) אז ∩ ), 0v v 0v ולכן = }יהא . = }1
k
i iε
= ונשלים אותו Uנ ל " בסיס א
}נ "לבסיס א }1
n
i iε
=vאזי כל איבר . V לכל המרחב V∈ הוא מהצורה
1 1 1
n k n
i i i i i i
i i i k
a a aε ε ε= = = +
= +∑ ∑ 1k והסכום מ Uהוא ב k כשהסכום עד ∑ U הוא ב + ⊥ . .ל"מש
b. dim dim dimU U V⊥+ =. :פתרון
Wבאופן כללי U V⊕ dim גורר ש= dim dimU W V+ כיוון ש איחוד הבסיסים = .למרחב כולוהוא בסיס
c. ( )U U⊥⊥ = :פתרון
)לפי הגדרה )U U . ומצד שני מסעיף קודם נובע שהם שווי מימד ולכן יש שוויון⊇⊥⊥
)נתון בסיס .3 ) ( )1 22,1 , 1,3v v= 2V ל = = ℝ.
a. מצאו את הבסיס הדואלי ל{ }1 2,v v ב *V .1 מצאו קרי 2,ϕ ϕ כך ש
( ) 10
i j
i jv
i jϕ
==
≠)כלומר מצאו במפורש את . ),i x yϕ.
:פתרון
}לפי הבסיס }1 2,v v ב V ו { ] נקבלℝ ב 1{ ] ( ) [ ] ( )1 21,0 , 0,1ϕ ϕ= מטריצת =
}המעבר מ }1 2,v v לבסיס הסטנטרטי 2 1
1 3
ולהיפך 3 11
1 25
− −
ולכן אם נתרגם
את ייצוג הפונקציונאלים לבסיס הסנדרטי נקבל באופן מפורש
( ) ( )1 23 1 1 2
, , ,5 5 5 5
x y x y x y x yϕ ϕ= − = − +
b. 2ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית עלℝ מצאו את הבסיס הדואלי ל { }1 2,ϕ ϕ ב V .קרי מצאו שני וקטורים
1 2,u u שמקיימים ( ) ( ), ,i iv u v v V iϕ = ∀ ∈ ∀.
:פתרון1 2
3 1 1 2, , ,
5 5 5 5u u
= − = −
4. V פ מעל "מכמרחבℂ .0ל "נתונה טT TTכלומר (עצמו לV נורמלית מ ≠ T T∗ הוכיחו . )=∗0nT כך ש nנילפוטנטית אם קיים נקראת Tכזכור ( לא נילפוטנטיתTש =(.
:פתרוןהיא ℂע שלה שווים אפס וכיוון שהיא נורמלית מעל "ל נילפוטנטית אז כל הע"אם בשלילה הט
-ל אפס זהותית"לכסינה כלומר היא יש בסיס שלפיו היא מיוצגת כמטריצת האפס כלומר זו הט .סתירה
2ל "טנתונה .5 2:T →ℝ ℝי " ע( ) ( ), 5 8 , 3 4T x y x y x y= + − פ הסנדרטית על " ונתונה המכ+2ℝ . יהא הבסיס( ) ( ){ }1,1 , 0, 2A .2ℝ ל =
a. חשבו אתT ∗.
) :פתרון ) ( ), 5 3 ,8 4T x y x y x y∗ = − +
b. חשבו את[ ]AA
T.
:פתרון
[ ]13 16
6 4
A
AT
= − −
c. חשבו אתA
AT
∗ .
:פתרון
2 6
5 7
A
AT ∗
− =
d. הסעיפים הקודמים עבור רו על שני חז( ) ( ){ }1,1 , 1, 1A′ = −.
[ ]7 5
6 2
A
AT
′
′
− =
7 6
5 2
A
AT
′∗
′
= −
e. הסבירו מדוע[ ]( ) AAA AT T∗ ′′ ∗
′ ′ = אבל [ ]( )
AA
A AT T
∗∗ ≠ .
הייצוג לפי בסיס כזה -ווקטורים ניצבים שווי אורך ′Aנ ואילו " אינו בסיס אA :פתרוןל "נ והכפלת המטריצה המייצגת בסקלר שונה מאפס ואותו כנ"הוא כמו ייצוג לפי בסיס א
).עם בדיוק אותו סקלר(לצמודה
f. אם קיים בסיסA שעבורו [ ]AA
Tבסיס אוניטרית האם בהכרח לכל A′ מתקיים ש [ ]AA
T′
′
?אוניטרית :פתרון
לפי הבסיס הסטנדרטי המיוצגת ל "טהדוגמה , לא1 11
1 12
−
ולפי הבסיס
( ) ( ){ }1,1 , 1 נקבל0,2 121 2 1
− −
.
����������� ��������������������������
�! � #"%$'&)(+*-,. /10 0 2)3547698:2;4=0 0 ?�@;/10 0 2)3541698:2)A�@ B)C567@ 47
����������� ������� ��������������������� �!�"�#%$�$�&('*),+.-0/
13254*674*698�:=?;>@BADCFE(GIHJ=?K!L M 8BN 6�OQPSRTKVU U EW;>=X;>@YE[Z]\�^_RT`>=3aTbFCFE(@3`�GIRTCFKS^�R5cdL ef R5@3HJKX`gA�E!\�Z]CFAhL ikj�=X^�`.PSlJA�mon�pq=?R5A�CrZ]=?R%cDc�\�@3KsZL t%u.vxw yz9{?|%698>}~2JL t 8 vxw u8 6�L tq>v 88f A_F;>=?;>@=?oRagCkEh@�`>GIKkCkc5a{t%uFv w y8 6�vg 2 w u8 6Wvg 2t 8Y a{t 8 Fv w u8 vg |tq a{tqFv;>=?;>@BA(Z]CkZ]E!@BZ" | 2 A�\�=XmqiF^7A(=Xj�=_R%cA_7;>=X;>@3@CFn\�Z]=X^�ar�R
m�Z]@3c�R`�=!A�@9Z`>CFACFEhlJ=?=X;>RCkK^R5c"L | 2 =Xj�=R5cDCFn\�Z]=X^aTb1 254V6_4*698 : ;>=X;>@3RCF=XmqiF=XKsZ]E!Z¡Ck=QiF=?^7moA0R�U U i¢R£`¤A�R%��^¥E=XA0CF=?R5^_m�Z]KR�U U i�R£d=QdA_CF=Q�@Z]KS=XEmgL ¦L CkZ]oR%GICF^§.§ b¨v § b § v©%CF=XR%^_m�Z]Kª�R5Z9« § b.v�} § ©5Ck=QiF=?^7moA7PS=QiFKSEWE!=?AA�E!@3AA_\�=?m�iF^_AL «Q} § 8CF=?iF=?^_moA¬�PZ!CF=?m�iF=?KsZ]E®E!=?A°¯±SE�L ¬�v²¥³ ´ ´ | µ },2 PsZJ¯¶v�·¸£¹qº"GIH»=XKL § v¬¼¯�v¯,¬½3ZR%c�CFn\�Z]=?^haI¾À¿,A�»;>=X;>@3@SE°aª¾À¿q{QÁ5Â%�vgÃľ]¡¸ÄÁ¿PJA�E!@BAÅR�U U iFA CFE®aI¾À¿PS@�]^7;>KDL ÆCFn\�Z]=X^�aTb¾À¿ =Qcq@9Z]K[Z]CFKSA�=?ÇR%cDLÈ{Xɨ¾È¿£*ÂËÊ7vdÃľ]Âk¸Ã¿*Ê�CF^7=?=?HJ^_A¼É¨¾È¿.A_\�=?m�iF^_A�=j�==QWR%@3HJKk]E�^L aTb¾È¿ v®aB¿V¾[mo^Z]R£Éb¾È¿ vÉJ¿V¾[=Xj�=R5cÌÍÎqÌËÏFЮÑÍÎ%ÒsÍÎÓ�ЮÑ]Ô3Õ Î£ÑÍÕÓVÒsÍÎÓ�ЮÑÍÕsÒsÔ�ÖÕ Î ÑÍËÎÓsÓ_ЮÑÍÕSÒsÔqÎVÕsÑÍËÎÓsÓ�ÐrÑÍÕSÒsÍÕÓ�ÐrÌÍÕ*ÌËÏLÈ{?Á ¾ 4VÁ ¿ Fv0{?a ¾×¾ {QÁ ¾ 4VÁ ¿ Fvx{?Á ¾ 4VaTb¾×¾ {QÁ ¿ Vkv0{?Á ¾ 4Va ¾×¾ {QÁ ¿ VFvx{?Á ¾ 4qFv(Z]^�
m�Z]CF@(A�n=X\�A�R]Ck=?Kk�R5Z7CF=XmqiF^7=?;gA�KS=?A ØWÙ¶ÚÛdÜÞÝßÝÝàÜáÝÝâÝãÜäå A�\�=Xm�iF^_A�L æL CF=XR%KsZ]n*Z]CFm�Z]E¯,PsZ�Ck=Q`>^_^CF=XKsZ];��R%E~ç�P`èp5 § v诡ç�¯é L êë>{Q69»vx{?6D} ´ ì{?6D}°2 8 P § R£`g=XKS=?=?�Z]E!AÅlJZ]KS=?RqZ]"CFE°E\�^7KkCF=?`>EmL 6 v ´ 4V6 8 vx2¡P»lJ=?=X^_\�c�A¼lJ=Q�moc�AÅCkEhE!\�^_KkªU U GIEe
L �9.v�������{ § } ´ ¹�[v����q{2q4Ä2q4Ä2�,P»lJ=?=X^_\�c�A¼lJ=?@BG9mo^7A¼CFE°E!\�^_KkCkc5L � 8 v�������{ § }ŹoFv�����{254},254q4{2q4V�4},2�f R%@3HJKsZ7j�mooKS@l»=X;>=?;>@3A_^Åj�GIE~R£R%cikj�=X^�`.PSlJA�monJpq=?R%A_Crcq\�@BKL � 8 v���� 88 {254},254q4 �� {2q4Ä2q4Ä} ³ �� �9.v���� uu {2542542���R5Z7CF=?m�iF=XKSZ]EhA�\�=?m�iF^E!=?A¯0SE���Ù Ú�Û�� �� � ÏÏ � ��� �� � � ÏÏ � ��� �� � � � ��ä �å GIHJ=?KFCkc5
f R%@3HJKFSEhç v ¶´ µ 2 2 ]^_;>K!�#"%$_Ù&� Ö Ù Ú�Û'� �� � �� � ��� ÏÏ � � ÏÏ �� �� � �� � � ��ä �å
j�cA_j�=XGI=»E!=?A~ç L «¯é § ¯¢v±ç =?¼Z]KSEmoAhªU U j�@�=?�@3RWZ]^_=?`,©=X;>@3AÅCFmo=?GI@3@(A_=XZ]R%CkZ!A7j�=?GI=[A�KS=?Er¯¥L Z];��R%E!A=?mo@BEhm�j�;è=XZ]KS=Q`è=XjoL Z]R5E7(lJ=?@Bml»=X;>=?;>@Wl»K`>=[L l»=X=?^_\�c�A l»=X@3GImo^_RL =QiFKSE!=?m�ZZ]KS=?EFPSa�Z]KS=?AÅa{¯,VP`è]E�^Z_a{?a{¯Y*)(°a{¯,»�R5Z7a{¯,!(r¯ «À·DL *]E�^7Z[a{Q69�+a,é {S¯,,a{?a{Q6I*.v.-/+°¯0,a{Q69�+¯1,²62+a,é {¯,Y«À·S·L =?iFKSE=Xm�ZZ]K=XEFPSaèZ]KS=XA¼a,é {¯Y*P`lJ=?;>=?;>@ § ¾7v¶1qÁ ¾4353 Á ¾687 :¡Z]=?A�=Z�lJ=QiFKSE!=?m�ZZ]KS=?EFPSalJKS=?A9�B¾SPsZ:�xv 6; ¾=< �3¾I=?GI=?KSK!«À@CF\�=XmqiF^�=j�=¡R%cA�Y;>=X;>@°=XoR¼CFn*\�Z]=?^0aâL �PSR ;>=?;>@ § v?> 6¾=< § ¾ E@� ¾ PSRL lJ=?H�Z]R%@
¦
����������������������
��
��
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
��
������������������:T V V→��( ),Z Tα������ ��������������!�T�����������Vα ∈�������������������������[ ]{ ( ) : }p T p F tα ∈����
� ����������, ,V T α�������������W V⊂����������( ),S Wα�����[ ]{ : ( ) }p F t p T Wα∈ ∈���������������[ ]I F t⊂��������������������"��� ����I������������������ ���������( )p t I∈���[ ]( )q t F t∈�����������( ) ( )p t q t I⋅ ∈���� ����( )p t I∈��������������������[ ]I F t⊂����( )p t������������������������������!I���� �#���������������������������[ ]F t��������( )p t�����I�$��
��
�����������( ),Z Tα��������������!T�����������������������������α������������������W V⊂�������������������������( ),S Wα�����������
����"������������������[ ]F t����������������������������������( ),{0}S α����� ��![ ]( )p t F tα ∈��������T!�� ����α���
��
������������������( )p tα��������������r������1{ , ,..., }rT Tα α α−��� � ��( ),Z Tα��������� �