TEMA 3 y 4 – NÚMEROS DECIMALES Y FRACCIONES –

1. ORDENAR NÚMEROS DECIMALES Para ordenar números decimales debemos tener en cuenta la siguiente imagen:

Lo que vamos a hacer es comparar primero la parte entera cifra a cifra a ver si son iguales y si son diferentes veo quien es el más grande. Si toda la parte entera es igual, paso a la parte decimal repitiendo el proceso. Ejemplo: Compara estos números: 1,2375 y 1,2318 U , d c m dm 1 , 2 3 7 5 1 , 2 3 1 8 = = = ≠ La mayor cifra de las dos, me indica que número es mayor. 1,2375>1,2318

2. TIPOS DE NÚMEROS DECIMALES

Decimal exacto: es aquel que tiene un número limitado de cifras

decimales: 5,43

Decimal periódico: hay dos tipos de decimales periódicos:

o Decimal periódico puro: la parte decimal se repite siempre:

5,43434343=

o Decimal periódico puro: solo se repite una parte de la parte

decimal: 5,4333=

Decimal no periódico: es aquel que tiene infinitas cifras decimales:

5,43215647…

3. ENTRE DOS DECIMALES SIEMPRE HAY MUCHOS OTROS DECIMALES.

Debemos saber que entre dos números decimales siempre hay otro decimal. Por ejemplo, entre 1,3 y 1,4 hay muchos decimales. Para nombrar algunos de esos decimales, lo que se hace es añadirle una cifra más al decimal. Entonces entre el 1,3 y el 1,4 se podría decir que está el 1,31 ó el 1,32…

4. NOTACIÓN CIENTÍFICA Los números en notación científica son aquellos que tienen un número decimal multiplicados por una potencia de 10.

El número decimal siempre tiene que ser mayor o igual que 1 y menor que 10.

La potencia de 10, siempre debe tener un exponente entero.

Si el exponente es positivo, se pone la parte decimal sin la coma y se le pone ceros ¿Cuántos? Pues el exponente menos el número de cifras que hay después de la coma.

Si el exponente es negativo, se pone 0, y después ceros y después la parte

decimal sin la coma. ¿Cuántos ceros? Pues el exponente menos el número de cifras que hay después de la coma.

Ejemplos

o 3,845 · 109 = 3.845.000.000 o 9,8 · 10-11= 0,000000000098

5. APROXIMACIÓN POR REDONDEO Nos tienen que decir en primer lugar a que cifra tenemos que aproximar, por eso es importante saber la imagen del apartado 1. Para realizar la aproximación realizamos lo siguiente:

Colocamos el número hasta la cifra que queremos aproximar.

Nos fijamos en la cifra siguiente a la que queremos aproximar:

Si es ≥5 le sumamos 1 a la cifra que hay que aproximar.

Si es <5 dejamos el número como se queda en el primer punto.

3

Ejemplo: 5,32156 (aproximar a las centésimas y a las milésimas) CENTÉSIMAS:

5,32

Me fijo en la siguiente cifra “1”

1<5 Se queda igual5,32 MILÉSIMAS:

5,321

Me fijo en la siguiente cifra “5”

5≥5 Se le suma 15,321 +1

5,322

6. OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES.

4.1 SUMA Y RESTA Se coloca de manera que la coma coincida y quede la coma debajo de la coma. Ejemplo: 5,3027 – 2,715 5,3027 + 2,715 5,3027 5,3027

- + 2,715 2,715

2,5877 8,0177

4.2 MULTIPLICACIÓN

Se multiplica normal, pero se cuenta el número de decimales que hay en cada multiplicando. (Se coloca la coma en esa posición comenzando por la derecha).

Ejemplo: 5,357 x 2,17 5,357 3 decimales

x 2,17 2 decimales 37499 + 5357 10714

11,62469 3+2= 5 decimales

4

4.3 DIVISIÓN SIN DECIMALES NI DIVIDENDO NI DIVISOR

Cuando no queden más cifras por bajar en el dividendo, se bajan ceros y se coloca la coma en el cociente.

SOLO DECIMALES EN EL DIVIDENDO

Cuando me encuentre la coma la coloco en el cociente, si me quedo sin cifras por bajar coloco ceros.

DECIMALES EN EL DIVISOR

Hay que multiplicar tanto dividendo como divisor por un “1” seguido de tantos ceros como decimales tenga el divisor.

7. COMPROBACIÓN DE LA DIVISIÓN

5

8. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIA: Sumar todos los resultados y dividirlo entre el número de

experimentos.

REPARTIR: Dividir MULTIPLICAR: Cuando pregunte cuánto cuesta algo sabiendo lo

que vale x prendas, kilos… REGLA DE 3:Se realiza en ciertos problemas, para ello se distinguen

dos magnitudes, por ejemplo kilogramos y €uros. Se coloca como en dos columnas.

Magnitud 1(Kilos) Magnitud 2 (€) Traducción

1 kg 5€ 1kg vale 5€

X 3,75€ x Kg vale 3,75€

75,3

51

x 1 ·3,75 =5·x 3,75 =5x x=

Kg75,05

75,3

MEDIDAS: -Medio kilo =1/2 kg =0,5 kg

-Cuarto kilo =1/4 kg =0,25 kg

6

9. RAÍZ CUADRADA CON NÚMEROS DECIMALES

- RAÍZ ENTERA PERO NO EXACTA

89294

Si el radicando tiene más de dos cifras, las separamos en grupos de dos por la derecha.

Calculamos la raíz del paquete de la izquierda: 2 x 2 = 4 Lo cogemos porque no se pasa.

8

3 x 3 = 9 No lo cogemos Porque se pasa. Multiplicamos 2x2=4, y el 4 lo ponemos debajo de 8, y bajamos el siguiente paquete. El doble de 2 es 4

Buscamos el valor de “c” que tiene que ser el mismo número, de manera que al resolverlo sea igual o menor que 492. 49 x 9 =441 Y subimos c arriba, es decir, 9.

Repetimos desde el paso 3. Cuando nos quedemos sin cifras por bajar, bajamos dos ceros y ponemos la coma y seguimos el proceso (al hacer el doble no se tiene en cuenta ahora las comas)

7

Cuando nos quedemos sin cifras por bajar, bajamos dos ceros y ponemos la coma y seguimos el proceso (al hacer el doble no se tiene en cuenta ahora las comas)

- RAÍZ DECIMAL Y NO EXACTA

Si el radicando tiene más de dos cifras, las separamos en grupos de dos desde la coma hacía la derecha y desde la coma hacía la izquierda.

8

10. CONCEPTO DE FRACCIONES

Numerador: indica el número de porciones que se toman. Denominador: indica el número total de porciones en que se ha

dividido la unidad

adorDenob

Numeradora

min

5

2

11. FRACCIÓN DE UN NÚMERO

OPCIÓN 1

cdeb

a = (c:b)·a 82)·4(2)·5:20(20

5

2de

OPCIÓN 2

cdeb

a = (a · c): b 85:)40(5:)20·2(20

5

2de

12. COMPARACIÓN DE FRACCIONES

Se realiza la división de ambos números y se comparan.

5

2= 0,4 20 5

0 0,4 0,25 0,4

4

1= 0,25 10 4

4

1<

5

2

20 0,25 0 Se realiza el mínimo común múltiplo y el que tenga mayor

numerador es el número más grande.

M.C.M. Se coge y se descompone los denominadores y se cogen los comunes y no comunes con mayor exponente.

4=22 y 5=5 M.C.M (4,5) = 22·5= 20

4

1 y

5

2

20

2·4

20

1·5y

20

8

20

5y

20

8

20

5

5

2

4

1

13. PASO DE FRACCIÓN A DECIMAL

5

2= 0,4 20 5

0 0,4 0,4

9

14. PASO DE DECIMAL EXACTO A FRACCIÓN

Se coloca el número sin la coma, y se divide entre 1 seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal.

0,75 = 100

75

15. PASO DE DECIMAL PERIÓDICO PURO A FRACCIÓN

Se coloca el número sin la coma, y se le resta la parte no periódica. Se divide eso entre tantos 9 como cifras tenga el periodo.

= 99

153

99

1154

16. PASO DE DECIMAL PERIÓDICO MIXTO A FRACCIÓN

Se coloca el número sin la coma, y se le resta la parte no periódica. Se divide eso entre tantos 9 como cifras tenga el periodo seguido de tantos ceros como tenga la parte decimal no periódica, es decir, el anteperíodo.

= 990

1242

990

121254

17. FRACCIONES EQUIVALENTES

Las fracciones equivalentes son las que se obtiene, al multiplicar o dividir el numerador y el denominador por el mismo número.

4

1 y

8

2

Son equivalentes ya que se multiplica el numerador y denominador por 2

18. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES Toda fracción se debe simplificar al máximo, para ello se divide numerador y denominador entre el mismo número. La fracción que se obtiene al dividir numerador y denominador al máximo se llama Fracción irreducible.

25

1

125

5

625

25 ; Lo que he hecho es dividir por 5.

19. AMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES

Para amplificar se multiplica numerador y denominador por el mismo número

125

5

25

1; Lo que he hecho es multiplicar por 5.

10

20. CÁLCULO DEL TÉRMINO DESCONOCIDO

Se multiplica en cruz igualando los términos. Y luego se despeja x. Para despejar x, lo que hago es pasar el número que se quede con la x, dividiendo.

;6

5

3

x 5·6·3 x ; 303 x ; 10

3

30x

21. OPERACIONES DE FRACCIONES

Sumas y Restas:

a) Igual denominador: se suman o se restan los numeradores y se

mantiene el denominador.

a) Distinto denominador: se hace mcm y se suma o restan

numeradores. Para ello una vez calculado el mcm, dividimos el mcm entre el numerador que había y el resultado lo multiplicamos por el numerador

Multiplicación: Se multiplica numerador por numerador y

denominador por denominador.

División: Se multiplica en cruz, teniendo en cuenta que el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción se coloca arriba.

11

22. TRUCOS PARA LAS OPERACIONES CON FRACCIONES

Si tengo una suma o resta de un “1” con una fracción, el “1” se convierte en una fracción donde el numerador y denominador será igual al denominador de la otra fracción.

𝟏 +𝟐

𝟑=𝟑

𝟑+𝟐

𝟑=𝟓

𝟑

Si tengo una suma o resta de un número con una fracción, el número se convierte en una fracción donde el numerador será igual al denominador de la otra fracción por ese número y el denominador será igual al denominador de la otra fracción.

𝟓 +𝟐

𝟑=𝟏𝟓

𝟑+𝟐

𝟑=𝟏𝟕

𝟑

Cuando no tenga denominador, tengo que saber que en realidad

hay un “1” en el denominador. Y lo puedo resolver como el caso anterior.

𝟓 +𝟐

𝟑=𝟓

𝟏+𝟐

𝟑=𝟏𝟓

𝟑+𝟐

𝟑=𝟏𝟕

𝟑

Cuando tenga una multiplicación de fracciones si algún numerador es igual a algún denominador se cambian por “unos” y después se resuelve.

𝟐

𝟑·𝟓

𝟐=𝟏

𝟑·𝟓

𝟏=𝟓

𝟑

Cuando tenga una división de fracciones si el numerador es

igual al numerador, o el denominador es igual al denominador se cambian por “unos” y después se resuelve.

𝟐

𝟑:𝟐

𝟓=𝟏

𝟑:𝟏

𝟓=𝟓

𝟑

Cuando realizo alguna operación lo primero que hago después

es intentar simplificar ese resultado si se puede, evitando trabajar con números grandes.

(𝟐

𝟑·𝟓

𝟒) ·

𝟑

𝟐=𝟏𝟎

𝟏𝟐·𝟑

𝟐=𝟓

𝟔·𝟑

𝟐=𝟏𝟓

𝟏𝟐=𝟓

𝟒

12

23. FRACCIÓN DE OTRA FRACCIÓN

Para calcular la fracción de otra fracción, se multiplican ambas fracciones:

15

2

3

1

5

2

24. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS CON FRACCIONES

1. POTENCIA DE UNA FRACCIÓN

n

nn

b

a

b

a

4

44

5

3

5

3

2. POTENCIA DE UN PRODUCTO DE FRACCIONES DEL MISMO EXPONENTE

nnn

d

c

b

a

d

c

b

a

225

4

15

2

15

2

5

1

3

2

5

1

3

22

22222

3. POTENCIA DE UN COCIENTE DE FRACCIONES DEL MISMO EXPONENTE

nnn

c

d

b

a

d

c

b

a:

10008

8000

2

20

2

20

1

4

2

5

4

1

2

53

33333

4. PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE

nmnm

b

a

b

a

b

a

243

32

3

2

3

2

3

2

3

25

5532

5. COCIENTE DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE

nmnm

b

a

b

a

b

a:

81

16

3

2

3

2

3

2:

3

24

4437

6. POTENCIA DE EXPONENTE CERO

1

0

b

a 1

3

20

13

7. POTENCIA DE EXPONENTE NEGATIVO

mm

a

b

b

a

32

243

2

3

2

3

3

25

555

m

m

aa

1

32

1

2

1

2

12

5

55

5

8. POTENCIA DE OTRA POTENCIA

nm

nm

b

a

b

a·

64

1

2

1

2

1

2

16

662

3

9. NÚMEROS Y POTENCIAS DE 10

2458= 2 · 103 +4 ·102 +5 ·101+8 ·100

10. JERARQUÍA DE OPERADORES

NOTACIÓN CIENTÍFICA

LOS NÚMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA SON AQUELLOS QUE TIENEN UN NÚMERO DECIMAL (SIEMPRE DE LA FORMA: UNIDAD, DECIMALES) SEGUIDOS DE UNA POTENCIA DE 10.

SI EL EXPONENTE ES POSITIVO, SE MUEVE LA COMA HACIA LA DERECHA TANTOS LUGARES COMO NOS INDIQUE EL EXPONENTE DE LA POTENCIA DE 10.

3,845 *1015 = 3.845.000.000.000.000

SI EL EXPONENTE ES NEGATIVO, SE MUEVE LA COMA HACIA LA IZQUIERDA TANTOS LUGARES COMO NOS INDIQUE EL EXPONENTE DE LA POTENCIA DE 10.

14

SE PONEN TANTOS CEROS COMO INDIQUE EL EXPONENTE Y LUEGO EL NÚMERO SIN DECIMALES. (DESPUES DEL PRIMER CERO SIEMPRE PONEMOS COMA “0,” ).

O 9,8 * 10-11= 0,000000000098 OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA

MULTIPLICACIÓN, SE MULTIPLICAN AMBOS NÚMEROS DECIMALES Y SE SUMAN LOS EXPONENTES DE LA POTENCIA DE 10.

(3,845 *105) · (1,83 *102) = (3,845 *1,83) · (105+2)= 7,03635 · 107

DIVISIÓN, SE DIVIDEN AMBOS NÚMEROS DECIMALES Y SE RESTAN LOS EXPONENTES DE LA POTENCIA DE 10.

(3,845 *105) : (1,83 *102) = (3,845 :1,83) · (105-2)= 2,101092896174863· 103

SUMAS Y RESTAS, SOLO SE PUEDEN SUMAR Y/O RESTAR CUANDO SUS POTENCIAS SON IGUALES. CUANDO TIENEN LA MISMA POTENCIA LO QUE SE HACE ES SUMAR Y/O RESTAR LOS NÚMEROS DECIMALES Y DEJAR LA POTENCIA.

(3,845 *105) - (1,83 *105) = 2,015· 105

SINO OCURRE ESTO ES NECESARIO PASAR AMBOS NÚMEROS A LA MISMA POTENCIA. PARA ELLO SI QUEREMOS SUBIR EL EXPONENTE MOVEMOS LA COMA HACIA LA IZQUIERDA TANTAS VECES COMO NECESITEMOS, MIENTRAS QUE SI QUEREMOS BAJAR EL EXPONENTE MOVEMOS LA COMA HACIA LA DERECHA TANTAS VECES COMO NECESITEMOS.

(3,845 *105) + (1,83 *102) = (3,845 *105) + (0,00183 *105)= 3,84683· 105