Click here to load reader

1. Persamaan Diferensial · PDF file contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara

  • View
    10

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of 1. Persamaan Diferensial · PDF file contoh • Perhatikan persamaan berikut: •...

  • Persamaan Diferensial

    Febrizal, MTFebrizal, MT

  • PendahuluanPendahuluan

    dif i l k• Persamaan diferensial merupakan persamaan yang berkaitan dengan turunan dari suatu fungsi atau memuat suku‐suku dari fungsi tersebut dan atau turunannya.

    • Bila fungsi tersebut tergantung pada satu  peubah bebas riil maka disebut Persamaan p Diferensial Biasa (PDB). Sedangkan bila fungsi terdiri dari lebih dari satu peubah bebas makaterdiri dari lebih dari satu peubah bebas maka disebut Persamaan Diferensial Parsial (PDP).

  • ContohContoh

    • Persamaan berikut merupakan PDB dengan peubah bebas x  dan peubah tak bebas y. 

  • ContohContoh

    • Persamaan berikut merupakan PDP

  • Orde Persamaan DiferensialOrde Persamaan Diferensial

    • Orde persamaan diferensial adalah besar turunan tertinggi yang terjadi pada PD gg y g j p tersebut. Dari contoh di atas persamaan Bernoulli mempunyai orde 1 sedangkanBernoulli mempunyai orde 1 sedangkan persamaan Airy, Bessel dan Van Der Pol berorde 2berorde 2.

  • Sifat KelinieranSifat Kelinieran

    • Berdasarkan sifat kelinieran dari peubah tak bebasnya,  persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi PD Linier dan PD tidak linierPD tidak linier.

    • Bentuk umum PD linier orde n diberikan :

  • il f( ) k di b i i• Bila f(x) = 0 maka disebut PD Linier Homogen  sedang bila f(x) ≠ 0 maka disebut PD Linier tak Homogen. 

    • Bila tidak dapat dinyatakan seperti bentuk dip y p atas dikatakan PD tidak Linier. 

    • Dari contoh terdahulu persamaan Airy danDari contoh terdahulu, persamaan Airy dan Bessel merupakan PD Linier ( Homogen )  sedangkan persamaan Bernoulli dan Van Dersedangkan persamaan Bernoulli dan Van Der Pol merupakan PD tidak linier.

  • LatihanLatihan

    • Klasifikasikan PD berikut berdasarkan: Orde, linier atau tidak linier, homogen atau tidak homogen

  • Penyelesaian PD Orde IPenyelesaian PD Orde I

    • Untuk menyelesaikan persamaan diferensial,  kita harus mencari fungsi yang memenuhig y g persamaan tsb, artinya yang membuat persamaan tsb menjadi benarpersamaan tsb menjadi benar. 

    • Hal ini berarti bahwa kita harus mengolah b k hpersamaan tsb sedemikian rupa sehingga

    semua koefisien diferensialnya hilang dan tinggallah hubungan antara y dan x.

  • 1 Integral Langsung1. Integral Langsung

    • Jika suatu PD dapat disusun dalam bentuk , maka persamaan tsb bisa diselesaikan dengan

    i t l d h )(xf

    dx dy

    =

    integral sederhana.

  • S i k li ki i lk f i k• Setiap kali kita mengintegralkan suatu fungsi, konstanta integrasi C harus selalu disertakan. S ti kit k t h i b h il i C tid k d t• Seperti yang kita ketahui, bahwa nilai C tidak dapat ditentukan kecuali jika diberi keterangan tambahan tentang fungsi tsbtentang fungsi tsb.

    • Penyelesaian PD yang masih mengandung konstanta C  tersebut disebut sebagai solusi umum PD.tersebut disebut sebagai solusi umum PD.

    • Jika kita diberitahu nilai y untuk nilai x tertentu, maka konstanta C bisa dihitung. Penyelesaian PD yang g y y g diketahui nilai C nya disebut sebagai Solusi Khusus PD

  • 74 +−= −xey

  • 2 Pemisahan Variabel2. Pemisahan Variabel

    • Seringkali dijumpai pada PD order satu, peubah x dan y dapat dipisahkan sehingga peubah x dapat dikelompokan dengan dx dan peubah y dapat dikelompokan dengan dy pada ruas yangdan peubah y dapat dikelompokan dengan dy pada ruas yang  berbeda. 

    • Sehingga solusi umum PD dapat secara langsung denganSehingga solusi umum PD dapat secara langsung dengan mengintegralkan kedua ruas.

    • Bentuk umum PD yang bisa dipisahkan variabel nya adalah:y g p y

    • Solusi umum PD nya didapat dengan menyelesaikan:

  • LatihanLatihan

  • 3 Dengan Substitusi y = vx3. Dengan Substitusi y = vx

    • Beberapa bentuk PD tak linier order satu dengan peubah tak terpisah namun koefisiennya merupakan f i h d d d di ifungsi homogen dengan order sama dapat dicari solusinya menggunakan metode substitusi sehingga did tk b t k PD b h t i hdidapatkan bentuk PD peubah terpisah.

    • Fungsi F(x,y) disebut fungsi homogen bila terdapat n є h b l k (k k ) k ( ) d b dR sehingga berlaku F(k x,k y) = knF(x, y). n disebut order 

    dari fungsi homogen F(x,y). • Solusi PD dicari dengan mensubstitusikan : y = v x dan dy/dx = v + x dv/dx ke dalam PD sehingga didapatkan bentuk PD dengan peubah terpisah.

  • contohcontoh

    • Perhatikan persamaan berikut:

    • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttpp p p ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor x dan faktor y nya sehingga kita tidak bisa menyelesaikan persamaan tsb dengan cara integral  langsung.

    • Untuk menyelesaikannya kita substitusikan persamaan tsb dengan y = v x dan dy/dx = v + x dv/dx

  • • Sehingga persamaan menjadi:Sehingga persamaan menjadi:

  • • Dalam bentuk yg terahir kita bisa menyele‐• Dalam bentuk yg terahir, kita bisa menyele‐ saikan persamaan tsb dengan cara pemisahan

    i b lvariabel

  • LatihanLatihan

  • 4 Menggunakan Faktor Integral4. Menggunakan Faktor Integral

    bi di l ik d f k i l• PD yang bisa diselesaikan dengan faktor integral  adalah PD linier orde pertama yang berbentuk:  d /d P Qdy/dx + Py = Q .

    • Dengan P dan Q adalah fungsi dari x (atau konstanta. 

    • Cara penyelesaiannya yaitu dengan mengalikan kedua ruas PD tsb dgn faktor integral (FI) yang  berbentuk e∫P dx. 

    • sehingga didapat solusi PD tsb adalah: y.FI = ∫ Q. FI dxy ∫ Q

  • contohcontoh

  • • Sehingga solusi PD nya adalah:

  • LatihanLatihan

  • Penyelesaian PD BernoulliPenyelesaian PD Bernoulli

    • PD Bernoulli adalah PD yang berbentuk 

    dimana P dan Q adalah fungsi x atau konstanta. • Langkah2 penyelesaian:• Langkah2 penyelesaian:

    – Bagi kedua ruasnya dengan yn, sehingga diperoleh

    – Misalkan z = y1‐n

    Sehingga dengan mendiferensialkannya akan diperoleh– Sehingga dengan mendiferensialkannya, akan diperoleh

  • • Jika kita kalikan (ii) dengan (1‐n), maka suku pertamanya  akan menjadi dz/dx. j /

    • Dan persamaan tsb bisa ditulis menjadi: • dz/dx + (1‐n)P1z = (1‐n)Q1/ ( ) 1 ( )Q1 • Sehingga persamaan tsb bisa diselesaikan dengan 

    menggunakan faktor integrasi.

  • contohcontoh

    S l ik l h PD• Selesaikanlah PD  • Jawab:

    k d d 2 h d l h• Bagi kedua ruas dengan y2, sehingga diperoleh:

    • Misalkan z = y1‐n, dlm hal ini z = y1‐2 = y‐1

    • Kalikan persamaan tsb dg ‐1, agar suku pertama menjadi  dz/dx

  • • Persamaan tsb menjadiPersamaan tsb menjadi 

    • Persamaan ini bisa diselesaikan dengan menggunakan• Persamaan ini bisa diselesaikan dengan menggunakan  faktor integrasi.

  • Contoh 2Contoh 2

    • Selesaikan • Jawaban • Pertama‐tama kita haru menuliskannya dalam bentuk

    • Apa yang harus dilakukan?

    • Sehingga diperoleh:

  • • Bagilah persamaan diatas dengan faktor pangkat y yang adaBagilah persamaan diatas dengan faktor pangkat y yang ada  diruas kanan, sehingga diperoleh....

    • Selanjutnya gunakan substitusi z = y1‐n yang dalam contoh ini j y g y y g adalah z = y1‐4 = y‐3

    • z = y‐3, berarti dz/dx = .....

    • Kalikan persamaan dengan ‐3, agar suku pertamanya menjadi  dz/dx, maka kita dapatkan..

  • Contoh 3Contoh 3

    • selesaikannlah

  • Contoh 4Contoh 4

    • selesaikanlah

  • LatihanLatihan

    d xyy dx dy 3* =+

    yey dx dy x 4* =+

    xyy dx dy

    dx 3 )1(2* −=+

    xyxy d dy

    dx 22 tantan2* =− yy

    dx

Search related