1. Persamaan Diferensial · PDF file contoh • Perhatikan persamaan berikut: • Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttp ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara

Persamaan Diferensial

Febrizal, MTFebrizal, MT

PendahuluanPendahuluan

dif i l k• Persamaan diferensial merupakan persamaan yang berkaitan dengan turunan dari suatu fungsi atau memuat suku‐suku dari fungsi tersebut dan atau turunannya.

• Bila fungsi tersebut tergantung pada satu  peubah bebas riil maka disebut Persamaan p Diferensial Biasa (PDB). Sedangkan bila fungsi terdiri dari lebih dari satu peubah bebas makaterdiri dari lebih dari satu peubah bebas maka disebut Persamaan Diferensial Parsial (PDP).

ContohContoh

• Persamaan berikut merupakan PDB dengan peubah bebas x  dan peubah tak bebas y. 

ContohContoh

• Persamaan berikut merupakan PDP

Orde Persamaan DiferensialOrde Persamaan Diferensial

• Orde persamaan diferensial adalah besar turunan tertinggi yang terjadi pada PD gg y g j p tersebut. Dari contoh di atas persamaan Bernoulli mempunyai orde 1 sedangkanBernoulli mempunyai orde 1 sedangkan persamaan Airy, Bessel dan Van Der Pol berorde 2berorde 2.

Sifat KelinieranSifat Kelinieran

• Berdasarkan sifat kelinieran dari peubah tak bebasnya,  persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi PD Linier dan PD tidak linierPD tidak linier.

• Bentuk umum PD linier orde n diberikan :

il f( ) k di b i i• Bila f(x) = 0 maka disebut PD Linier Homogen  sedang bila f(x) ≠ 0 maka disebut PD Linier tak Homogen. 

• Bila tidak dapat dinyatakan seperti bentuk dip y p atas dikatakan PD tidak Linier. 

• Dari contoh terdahulu persamaan Airy danDari contoh terdahulu, persamaan Airy dan Bessel merupakan PD Linier ( Homogen )  sedangkan persamaan Bernoulli dan Van Dersedangkan persamaan Bernoulli dan Van Der Pol merupakan PD tidak linier.

LatihanLatihan

• Klasifikasikan PD berikut berdasarkan: Orde, linier atau tidak linier, homogen atau tidak homogen

Penyelesaian PD Orde IPenyelesaian PD Orde I

• Untuk menyelesaikan persamaan diferensial,  kita harus mencari fungsi yang memenuhig y g persamaan tsb, artinya yang membuat persamaan tsb menjadi benarpersamaan tsb menjadi benar. 

• Hal ini berarti bahwa kita harus mengolah b k hpersamaan tsb sedemikian rupa sehingga

semua koefisien diferensialnya hilang dan tinggallah hubungan antara y dan x.

1 Integral Langsung1. Integral Langsung

• Jika suatu PD dapat disusun dalam bentuk , maka persamaan tsb bisa diselesaikan dengan

i t l d h )(xf

dx dy

=

integral sederhana.

S i k li ki i lk f i k• Setiap kali kita mengintegralkan suatu fungsi, konstanta integrasi C harus selalu disertakan. S ti kit k t h i b h il i C tid k d t• Seperti yang kita ketahui, bahwa nilai C tidak dapat ditentukan kecuali jika diberi keterangan tambahan tentang fungsi tsbtentang fungsi tsb.

• Penyelesaian PD yang masih mengandung konstanta C  tersebut disebut sebagai solusi umum PD.tersebut disebut sebagai solusi umum PD.

• Jika kita diberitahu nilai y untuk nilai x tertentu, maka konstanta C bisa dihitung. Penyelesaian PD yang g y y g diketahui nilai C nya disebut sebagai Solusi Khusus PD

74 +−= −xey

2 Pemisahan Variabel2. Pemisahan Variabel

• Seringkali dijumpai pada PD order satu, peubah x dan y dapat dipisahkan sehingga peubah x dapat dikelompokan dengan dx dan peubah y dapat dikelompokan dengan dy pada ruas yangdan peubah y dapat dikelompokan dengan dy pada ruas yang  berbeda. 

• Sehingga solusi umum PD dapat secara langsung denganSehingga solusi umum PD dapat secara langsung dengan mengintegralkan kedua ruas.

• Bentuk umum PD yang bisa dipisahkan variabel nya adalah:y g p y

• Solusi umum PD nya didapat dengan menyelesaikan:

LatihanLatihan

3 Dengan Substitusi y = vx3. Dengan Substitusi y = vx

• Beberapa bentuk PD tak linier order satu dengan peubah tak terpisah namun koefisiennya merupakan f i h d d d di ifungsi homogen dengan order sama dapat dicari solusinya menggunakan metode substitusi sehingga did tk b t k PD b h t i hdidapatkan bentuk PD peubah terpisah.

• Fungsi F(x,y) disebut fungsi homogen bila terdapat n є h b l k (k k ) k ( ) d b dR sehingga berlaku F(k x,k y) = knF(x, y). n disebut order 

dari fungsi homogen F(x,y). • Solusi PD dicari dengan mensubstitusikan : y = v x dan dy/dx = v + x dv/dx ke dalam PD sehingga didapatkan bentuk PD dengan peubah terpisah.

contohcontoh

• Perhatikan persamaan berikut:

• Sekilas persamaan tersebut tanpak sederhana, ttpp p p ternyata persamaan tsb tidak bisa dipisahkan antara faktor x dan faktor y nya sehingga kita tidak bisa menyelesaikan persamaan tsb dengan cara integral  langsung.

• Untuk menyelesaikannya kita substitusikan persamaan tsb dengan y = v x dan dy/dx = v + x dv/dx

• Sehingga persamaan menjadi:Sehingga persamaan menjadi:

• Dalam bentuk yg terahir kita bisa menyele‐• Dalam bentuk yg terahir, kita bisa menyele‐ saikan persamaan tsb dengan cara pemisahan

i b lvariabel

LatihanLatihan

4 Menggunakan Faktor Integral4. Menggunakan Faktor Integral

bi di l ik d f k i l• PD yang bisa diselesaikan dengan faktor integral  adalah PD linier orde pertama yang berbentuk:  d /d P Qdy/dx + Py = Q .

• Dengan P dan Q adalah fungsi dari x (atau konstanta. 

• Cara penyelesaiannya yaitu dengan mengalikan kedua ruas PD tsb dgn faktor integral (FI) yang  berbentuk e∫P dx. 

• sehingga didapat solusi PD tsb adalah: y.FI = ∫ Q. FI dxy ∫ Q

contohcontoh

• Sehingga solusi PD nya adalah:

LatihanLatihan

Penyelesaian PD BernoulliPenyelesaian PD Bernoulli

• PD Bernoulli adalah PD yang berbentuk 

dimana P dan Q adalah fungsi x atau konstanta. • Langkah2 penyelesaian:• Langkah2 penyelesaian:

– Bagi kedua ruasnya dengan yn, sehingga diperoleh

– Misalkan z = y1‐n

Sehingga dengan mendiferensialkannya akan diperoleh– Sehingga dengan mendiferensialkannya, akan diperoleh

• Jika kita kalikan (ii) dengan (1‐n), maka suku pertamanya  akan menjadi dz/dx. j /

• Dan persamaan tsb bisa ditulis menjadi: • dz/dx + (1‐n)P1z = (1‐n)Q1/ ( ) 1 ( )Q1 • Sehingga persamaan tsb bisa diselesaikan dengan 

menggunakan faktor integrasi.

contohcontoh

S l ik l h PD• Selesaikanlah PD  • Jawab:

k d d 2 h d l h• Bagi kedua ruas dengan y2, sehingga diperoleh:

• Misalkan z = y1‐n, dlm hal ini z = y1‐2 = y‐1

• Kalikan persamaan tsb dg ‐1, agar suku pertama menjadi  dz/dx

• Persamaan tsb menjadiPersamaan tsb menjadi 

• Persamaan ini bisa diselesaikan dengan menggunakan• Persamaan ini bisa diselesaikan dengan menggunakan  faktor integrasi.

Contoh 2Contoh 2

• Selesaikan • Jawaban • Pertama‐tama kita haru menuliskannya dalam bentuk

• Apa yang harus dilakukan?

• Sehingga diperoleh:

• Bagilah persamaan diatas dengan faktor pangkat y yang adaBagilah persamaan diatas dengan faktor pangkat y yang ada  diruas kanan, sehingga diperoleh....

• Selanjutnya gunakan substitusi z = y1‐n yang dalam contoh ini j y g y y g adalah z = y1‐4 = y‐3

• z = y‐3, berarti dz/dx = .....

• Kalikan persamaan dengan ‐3, agar suku pertamanya menjadi  dz/dx, maka kita dapatkan..

Contoh 3Contoh 3

• selesaikannlah

Contoh 4Contoh 4

• selesaikanlah

LatihanLatihan

d xyy dx dy 3* =+

yey dx dy x 4* =+

xyy dx dy

dx 3 )1(2* −=+

xyxy d dy

dx 22 tantan2* =− yy

dx