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PROBABILIDADES

1 - Probabilidades

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Acetatos sobre Probabilidades, Estatística

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  • PROBABILIDADES

  • Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 2

    Introduo

    Um fenmeno pode ser:

    Determinstico:

    A relao funcional entre variveis dependentes e variveis independentes est

    bem definida. possvel prever com exactido os valores das variveis

    dependentes.

    Exemplo: E = mc2

    Probabilstico ou Estocstico:

    O valor das variveis dependentes depende do factor sorte. No possvel prever

    com exactido os valores das variveis dependentes.

    Exemplo: resultado do prximo jogo de futebol entre Porto e Benfica.

    Em estatstica estuda-se os fenmenos probabilsticos.

  • Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 3

    Introduo

    Def: Uma experincia aleatria qualquer processo que pode

    gerar um resultado diferente de cada vez que executado nas

    mesmas condies.

    Exemplo 1: Lanar um dado e observar o nmero da face de cima

    Exemplo 2: Lanar uma moeda 3 vezes e observar o nmero de faces

    obtidas

    Def: Designa-se por observao o resultado de uma experincia

    aleatria.

    Exemplo 1: Sai o nmero 5 (no lanamento do dado)

    Exemplo 2: Saem 2 faces (no lanamento da moeda)

  • Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 4

    Introduo

    Def: O espao amostral, S, o conjunto de todos os resultados

    possveis de uma experincia aleatria. Tambm se designa por

    espao de resultados.

    Exemplo 1: {1,2,3,4,5,6}

    Exemplo 2: {0,1,2,3}

    Def: Um evento ou acontecimento um subconjunto do espao

    amostral.

    Exemplo: A:Sai um nmero par (no lanamento do dado)

    A = {2,4,6}

    A

    S

    Diagrama

    de

    Venn

  • Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 5

    Introduo

    Def: Um evento simples ou elementar um conjunto com apenas

    um dos resultados possveis da experincia aleatria.

    Exemplo: B:Sai o nmero 5 (no lanamento do dado)

    B = {5}

    Def: Um evento composto um conjunto com mais do que um dos

    resultados possveis da experincia aleatria.

    Exemplo: A:Sai um nmero par (no lanamento do dado)

    A = {2,4,6}

    O espao amostral, S, o evento certo.

    O conjunto vazio, , o evento impossvel.

  • Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 6

    Introduo

    Def: O complemento de um evento A (em S) o conjunto ,

    constitudo por todos os elementos de S que no pertencem a A,

    isto

    Exemplo:

    Nota:

    A

    ASA xx :

    6,5,4,3,2,1S

    6,4,3,2,15 BB

    A

    S

    A

    AASS ,,

  • Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 7

    Def: A interseco de dois eventos, A e B, designada por AB, o

    conjunto de todos os elementos comuns a A e a B, isto

    Exemplo:

    Introduo

    BASBA xxx :

    3,2,1A

    5,3,1B

    S

    BA

    A B

    3,1BA

  • Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 8

    Def: Dois eventos, A e B, so mutuamente exclusivos ou disjuntos

    ou incompatveis se no tm elementos comuns, isto

    Exemplo:

    Introduo

    BA

    3,2,1A

    7,5B

    S

    A B

    BA

  • Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 9

    Def: A diferena entre dois eventos, A e B, designada por A-B ou

    A \ B, o conjunto de todos os elementos de A que no pertencem

    a B, isto

    Exemplo:

    Nota:

    Introduo

    BASBA xxx :\

    3,2,1A

    5,3,1B

    2\ BA

    BABA \

    S

    A B

    BA \ AB \

  • Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 10

    Def: A reunio de dois eventos, A e B, designada por AB, o

    conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B, isto

    Exemplo:

    Introduo

    BASBA xxx :

    3,2,1A

    5,3,1B

    S

    A B

    5,3,2,1BA

    BA

  • Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 11

    Introduo

    Leis de De Morgan:

    Def: O cardinal de um conjunto finito, A, designado por #A, o

    nmero de elementos de A.

    Exemplo:

    BABAi )

    BABAii )

    3#3,2,1 AA

  • Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 12

    Def: B1, B2, ..., Br constituem uma partio do espao amostral, S,

    sse:

    Introduo

    rBABABAA 21

    jiBBi ji ,)

    r

    i

    i SBii1

    )

    S

    A

    1B 2B

    3B

    rB

    2BA1BA

    3BA

    rBA

  • Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 13

    Probabilidade de um evento

    Existem vrias definies de probabilidade:

    Clssica (devida a Laplace)

    Geomtrica

    Frequencista

    Axiomtica

    Def. clssica: Seja uma experincia aleatria com N resultados

    possveis mutuamente exclusivos e igualmente provveis. Se um

    acontecimento A contiver NA desses resultados (NA N), ento a

    probabilidade de A dada por

    o n de casos favorveis a A sobre o n de casos possveis.

    N

    NAP A

  • Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 14

    Probabilidade de um evento

    Exemplo: Retira-se uma carta de uma baralho de 40. Qual a probabilidade

    de sair uma espada?

    Exemplo menos trivial: Usando o mesmo baralho de cartas, qual a

    probabilidade de sair uma figura em duas cartas tiradas com reposio.

    10AN

    A: Sai uma espada

    40N

    4

    1

    40

    10AP

    F: Sai uma figura na extraco de uma carta

    40

    28

    40

    122 FFPFFPBP

    FFFFB ,

  • Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 15

    Probabilidade de um evento

    Propriedades:

    10) APi

    10100: APN

    NNNDemo AA

    1) SPii

    1#: N

    NSPNSDemo

    BPAPBAPBAiii :adio da Regra)

    BPAPN

    N

    N

    N

    N

    NN

    N

    BABAP

    NNBABADemo

    BABA

    BA

    #

    #:

    1) APAPiv

    1

    :

    SPAPAPSAA

    APAPAAPAADemo

  • Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 16

    Probabilidade de um evento

    Propriedades:

    0) Pv

    011: PSPPPPDemo

    BAPBPAPBAPvi )

    BAPBPAPBAP

    ABPBAPBPABBAB

    ABPAPBAPABABADemo

    :

    S

    A B

    BA ABBA

  • Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 17

    Probabilidade de um evento

    Propriedades:

    CBAPCBP

    CAPBAPCPBPAPCBAPvii

    )

    CBAPCBPAPCBAP

    CBD

    DAPDPAPDAPDemo

    ento se Logo,

    :

    CABAP

    CBPCPBPAP

    CBAPCAP

    BAPCBPCPBPAP

    S

    B

    1

    A

    C

    1

    1

    2

    223

    CBA

    CBCABACBACBA

    ####

    #### :Nota

  • Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 18

    Exerccio

    Considere que a uma dada experincia aleatria esto associados 2 acontecimentos,

    A e B. A probabilidade de que s A ocorra de 0.3, a probabilidade de que ambos

    ocorram 0.15 e a probabilidade de ocorrncia de B de 0.5. Determine a

    probabilidade de:

    a) ocorrer pelo menos um dos acontecimentos;

    b) nenhum dos acontecimentos ocorrer.

    A: Ocorre o acontecimento A a)

    B: Ocorre o acontecimento B

    3.0 BAP 15.0BAP

    5.0BP

    45.015.03.0 BAPBAPAPBABAA

    8.015.05.045.0 BAPBPAPBAP

    b) 2.08.011 BAPBAPBAP

  • Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 19

    Probabilidade condicional

    Def: A probabilidade condicional de A dado B designa-se por

    P(A|B) e dada por

    Nota: O efeito de saber que B ocorreu B tornar-se o espao amostral.

    0,|

    BPBP

    BAPBAP

    B

    BA

    S

    BS

    BA

    BP

    BAPBAP

    #

    #

    #

    ##

    #

    |

  • Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 20

    Exerccio

    Tira-se uma carta de um baralho de 40.

    a) Qual a probabilidade de ter sado o rei de copas?

    b) Sabendo que saiu copas, qual a probabilidade de ter sido o rei?

    A: Sai o rei de copas a)

    B: Sai copas

    40

    1AP

    b)

    10

    1

    40

    1040

    1

    |

    BP

    AP

    BP

    BAPBAP

    ABAB :Nota A

    Nota: O espao amostral passou a ser B, sendo #B = 10.

  • Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 21

    Independncia de eventos

    Def: A e B so eventos independentes sse

    Teor: Se A e B so eventos independentes, com P(A)>0 e P(B)>0,

    ento

    BPAPBAP

    BPAP

    BPAP

    AP

    BAPABP

    APBP

    BPAP

    BP

    BAPBAP

    BADemo:

    |

    |

    tesindependen so e

    BPABPAPBAP |e|

  • Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 22

    Regra da multiplicao e probabilidade total

    Teorema da regra da multiplicao: A probabilidade conjunta dos

    eventos A e B

    Teorema da probabilidade total: Se os eventos B1, B2, ..., Br

    constituem uma partio do espao amostral S, ento, para qualquer

    evento A, temos

    BAPBPABPAPBAP ||

    r

    i

    ii BAPBPAP1

    |

    rBABABAA 21

    S

    A

    1B 2B

    3B

    rB

    2BA1BA

    3BA

    rBA

    :Demo

    rBAPBAPBAPAP 21

    r

    i

    ii

    r

    i

    i BAPBPBAP11

    |

  • Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 23

    Teorema de Bayes

    Teorema de Bayes: Se os eventos B1, B2, ..., Br constituem uma

    partio do espao amostral S, ento, para qualquer evento A,

    temos

    rk

    BAPBP

    BAPBP

    AP

    ABPABP

    r

    i

    ii

    kkk

    k ,,2,1,

    |

    ||

    1

  • Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 24

    Exerccio

    Num sector industrial, 30% das empresas so de pequena dimenso, 60% so de

    mdia dimenso e as restantes so de grande dimenso. Sabe-se que 50% das

    empresas de mdia dimenso e 20% das empresas de grande dimenso esto em

    situao econmica difcil. A probabilidade de uma empresa escolhida ao acaso ser

    de pequena dimenso e estar em situao econmica difcil 0.25.

    a) Qual a probabilidade de uma empresa deste sector, escolhida aleatoriamente, se

    encontrar em situao econmica difcil?

    b) Escolheu-se, ao acaso, uma empresa daquele sector e verificou-se que est em

    situao econmica difcil. Qual a probabilidade desta empresa ser de pequena

    dimenso?

    A: A empresa de pequena dimenso a)

    B: A empresa de mdia dimenso

    C: A empresa de grande dimenso

    D: A empresa est em situao econmica difcil

  • Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 25

    Exerccio

    Diagrama em rvore:

    A

    B

    C

    AD |

    AD |

    BD |

    CD |

    BD |

    CD |

    DA

    DC

    DB

    DA

    DC

    DB

    3.0

    6.0

    1.0

    5.0

    5.0

    2.0

    8.0

    1.01 BPAPCP

    5.0|1| BDPBDP

    8.0|1| CDPCDP

    8333.03.0

    25.0|

    AP

    DAPADP

    8333.0

    1667.0

    1667.0|1| ADPADP

    3.0AP 6.0BP 5.0| BDP 2.0| CDP

    25.0DAP

    DCDBDAPDP

    DCPDBPDAP

    CDPCPBDPBPADPAP |||

    5700.02.01.05.06.08333.03.0

    4386.0

    5700.0

    8333.03.0||

    DP

    ADPAPDAPb)