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Progetto CASD Progetto CASD A.A. 2009/2010A.A. 2009/2010

Triangulation PR kd-tree: un indice Triangulation PR kd-tree: un indice spaziale per la modellazione di spaziale per la modellazione di

terreniterreni

Introduzione L’indice spaziale PR kd-tree L’indice spaziale Triangulation PR kd-tree Costruzione di un indice spaziale Triangulation PR kd-tree Localizzazione di un punto (Point location query)

NOTA: questi lucidi sono stati usati per la presentazione in aula del progetto. La descrizione precisa del progetto a cui fare riferimento verrà messa a disposizione su Aulaweb.

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IntroduzioneIntroduzione Obiettivo del progetto

Sviluppo di un prototipo di un sistema informativo geografico per eseguire interrogazioni su modelli di terreno.

Modello di terreno

Dato un insieme V di punti nel piano xy ed un insieme di valori di quota nei punti di V, un modello di terreno consiste in una funzione interpolante lineare a pezzi definita su una mesh M nel piano xy che connette i punti di V.

Griglia M che connette i punti di V

p

P’

33

Introduzione (2)Introduzione (2)

Le operazioni di interrogazione su un modello di terreno corrispondono a interrogazioni su una griglia di triangoli nel piano xy, più semplici da trattare.

Nel progetto, consideriamo operazioni su una griglia di triangoli nel piano xy, detta modello del terreno proiettato.

Per effettuare le operazioni di interrogazione e di aggiornamento in maniera efficiente, dobbiamo sovraimporre un indice spaziale sulla griglia di triangoli

Griglia Griglia M M nel piano xynel piano xy

p

P’

44

Griglie di triangoliGriglie di triangoli

Una griglia di triangoli (detta anche triangles mesh) è un insieme di triangoli tali che per ogni coppia di triangoli t1 e t2 vale una delle seguenti condizioni:

t1 e t2 non si intersecano; se t1 e t2 si intersecano, l’intersezione deve avvenire esclusivamente in uno

spigolo comune o in un vertice comune.

Una griglia di triangoliUna griglia di triangoliInsiemi di triangoli che non formano una grigliaInsiemi di triangoli che non formano una griglia

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Griglie di triangoli manifoldGriglie di triangoli manifold

Nel progetto useremo griglie di triangoli manifold.

Una griglia di triangoli si dice manifold se per ogni vertice p i triangoli ivi incidenti sono adiacenti a coppie e formano un unico ventaglio di triangoli.

Griglia di triangoli non manifoldGriglia di triangoli non manifoldGriglia di triangoli manifoldGriglia di triangoli manifold

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Il ProgettoIl Progetto

Si richiede di sviluppare l'indice spaziale Triangulation Point-Region kd-tree (spesso abbreviato in Triangulation PR kd-tree), un indice da sovrapporre a triangolazioni.

L'indice spaziale Triangulation PR kd-tree è basato su quello Point-Region kd-tree (spesso abbreviato in PR kd-tree), un indice spaziale gerarchico per insiemi di punti nel piano.

Il progetto consiste nel progettare ed implementare: una struttura dati per l'indice spaziale Triangulation PR kd-tree un algoritmo per costruire un indice spaziale Triangulation PR kd-tree un algoritmo per localizzare un punto in una triangolazione (point location

query)

Su Aulaweb troverete: le specifiche formali e complete del Progetto materiale aggiuntivo per lo svolgimento del Progetto

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La Prima Parte del Progetto La Prima Parte del Progetto

Nella prima parte del Progetto si dovrà costruire l'indice spaziale Triangulation PR kd-tree a partire da una griglia di triangoli fornita in input.

Input: una griglia di triangoli specificata dall'insieme dei suoi vertici e dei suoi triangoli descritto in forma indicizzata:

lista delle coordinate di ogni vertice (in virgola mobile - float) lista dei triangoli, visti come triple di indici dei vertici

I vertici ed i triangoli in input costituiscono una triangolazione manifold corretta.

Il dominio della triangolazione verrà fornito nel file di input.

Output: una rappresentazione delle foglie dell'indice Triangulation PR kd-tree.

Su Aulaweb troverete:

le specifiche complete per i file di input e di output per quanto riguarda questa prima parte del Progetto

il codice C del programma visPart1 per poter visualizzare l’output di questa prima parte del Progetto

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La Seconda Parte del Progetto La Seconda Parte del Progetto

Nella seconda parte del Progetto si dovrà progettare ed implementare l’interrogazione di localizzazione di un punto (detta anche point-location query).

POINT LOCATION QUERY

Input: una griglia di triangoli specificata come per la prima parte del

Progetto; le coordinate del punto p da localizzare (in virgola mobile – float)

Output: la lista dei nodi visitati ed un solo triangolo contenente p (se esiste).

Su Aulaweb troverete:

le specifiche complete dei file di input e di output per quanto riguarda questa seconda parte del Progetto

il codice C del programma visPart2 per poter visualizzare l’output di questa seconda parte del Progetto

Il codice C per la primitiva di localizzazione di un punto in un triangolo.

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Dettagli Organizzativi Dettagli Organizzativi

La consegna del progetto sarà UNICA e a fine corso – 30 GIUGNO 2010

Il voto conseguito sarà valido fino a FEBBRAIO 2011

Si può svolgere a gruppi (max 3 persone), previa iscrizione su Aulaweb o inviando un messaggio al dott. Canino (canino@disi.unige.it)

I linguaggi accettati sono C, C++ e Java

1010

L'indice spaziale PR kd-treeL'indice spaziale PR kd-tree Fornisce una rappresentazione gerarchica di

un insieme di punti nel piano.

Dato un insieme finito di punti S, distribuiti in un dominio D nel piano, un PR kd-tree suddivide D in regioni rettangolari annidate, dette blocchi.

Ogni blocco nella partizione risultante del dominio D è vuoto oppure contiene esattamente un punto di S (condizione di suddivisione).

Il processo di suddivisione si applica fino a quando non si verifica la condizione di suddivisione per ogni blocco.

La suddivisione di un blocco b viene eseguita dividendolo alternativamente in senso verticale oppure orizzontale rispetto al punto centrale (detto anche centroide) del blocco b.

Quindi si creano due nuovi sottoblocchi: la loro definizione deve garantire che un punto appartenga ad un solo blocco della suddivisione.

AABB CC

1111

Suddivisione di un bloccoSuddivisione di un blocco

Sia C = ( xc , yc ) il centroide del blocco b allora: il blocco LEFT (L) contiene tutti i punti P = ( xp , yp ) del blocco b tali che xp <

xc

il blocco RIGHT (R) contiene tutti i punti P = ( xp , yp ) del blocco b tali the xp ≥ xc

il blocco BELOW (B) contiene tutti i punti P = ( xp , yp ) del blocco b tali che yp < yc

il blocco ABOVE (A) contiene tutti i punti P = ( xp , yp ) del blocco b tali che yp ≥ yc

Per convenzione il blocco LEFT (oppure BELOW) viene memorizzato come primo sottoblocco, mentre quello RIGHT( oppure ABOVE) come secondo sottoblocco.

Questo schema di suddivisione impone che un blocco deve contenere solo il suo bordo inferiore e quello sinistro, tranne quando il blocco si trova lungo il contorno del dominio D: in questo caso i bordi dovranno essere chiusi, cioè appartenere al blocco stesso.

1212

Rappresentazione ad albero di Rappresentazione ad albero di un PR kd-treeun PR kd-tree

Un indice PR kd-tree è rappresentato da un albero binario in cui ogni nodo descrive un blocco della suddivisione.

La radice dell'albero descrive l'intero dominio D.

I nodi interni (nodi INTERNAL) rappresentano blocchi che non appartengono alla suddivisione finale di D: ogni nodo interno ha due figli che non contengono punti di S.

I nodi interni di livello pari rappresentano suddivisioni del blocco corrispondente in senso verticale, mentre quelli di livello dispari suddivisioni in senso orizzontale.

Le foglie rappresentano blocchi che contengono un punto (foglie di tipo FULL) o che sono vuoti (foglie di tipo EMPTY).

Nodo Nodo FULLFULL

Nodo Nodo INTERNALINTERNAL

Nodo Nodo EMPTYEMPTY

BB CCAA

BB

LL RR

BB AA

LL RR

AA

CC

1313

Inserimento di un punto in Inserimento di un punto in un PR kd-tree (1)un PR kd-tree (1)

L’inserimento di un punto P=(xp,yp) in un PR kd-tree deve essere eseguito in due fasi.

Fase 1

Bisogna individuare la foglia b che contiene il punto P, visitando l’albero a partire dalla radice (a livello 0) in maniera analoga agli alberi binari di ricerca.

Se il nodo corrente n è di tipo INTERNAL ed il centroide del blocco interno è C=(xc,yc), allora:

se n è a livello pari (cioè la suddivisione del blocco interno è verticale) allora: si prosegue la ricerca nel figlo LEFT, se xp< xc si prosegue la ricerca nel figlio RIGHT, altrimenti

se n è a livello dispari (cioè la suddivisione del blocco interno è orizzontale) allora:

si prosegue la ricerca nel figlio BELOW, se yp< yc si prosegue la ricerca nel figlio ABOVE, altrimenti

Se il nodo corrente n è una foglia, allora possiamo eseguire la Fase 2 .

1414

Inserimento di un punto in Inserimento di un punto in un PR kd-tree (2)un PR kd-tree (2)

Fase 2

Una volta individuata la foglia b che contiene il punto P, bisogna proseguire in base al tipo di foglia trovata:

se la foglia b è di tipo EMPTY si inserisce direttamente P nella foglia b, che diventa una foglia di tipo FULL

se la foglia b è di tipo FULL e contiene già il punto P allora l'inserimento termina

altrimenti bisogna creare un nuovo livello nell'albero, inserendo in maniera ricorsiva nell'indice il punto P ed il contenuto della foglia b, che diventa un nodo interno (cioè di tipo INTERNAL) .

PP

PP

nonookok okok

1515

Mobile

PR kd-tree: un esempioPR kd-tree: un esempio

Chicago

Toronto

Denver

1616

Osservazioni sull'indice PR kd-Osservazioni sull'indice PR kd-treetree

Le foglie FULL o EMPTY possono trovarsi a qualunque livello di un indice spaziale PR kd-tree.

La forma di un PR kd-tree è indipendente dall'ordine in cui punti di S sono inseriti, poiché il processo di suddivisione è effettuato sul centroide del blocco e non sulle coordinate dei punti.

L'altezza di un PR kd-tree costruito su un insieme di punti S è inversamente proporzionale alla distanza minima fra due punti dell'insieme S.

Ulteriori riferimenti per l'indice spaziale PR kd-tree: libro di testo H. Samet - Design and Analyisis of

Spatial Data Structures applets per indici spaziali disponibili presso

http://donar.umiacs.umd.edu/quadtree/index.html

AA

LLLL

BB

AABB CC

RR

BB AA

LL

CC

RR

1717

L'indice spaziale L'indice spaziale Triangulation PR kd-tree (1)Triangulation PR kd-tree (1)

L’indice PR kd-tree gestisce insiemi di punti e quindi NON è adatto alle triangolazioni.

Tuttavia possiamo ridurre una triangolazione ad un insieme di punti associando ad ogni triangolo un punto rappresentativo, che lo identifica univocamente.

La scelta più comunemente adottata è quella di considerare il centroide di un triangolo.

Dato un triangolo avente rispettivamente (x1,y1), (x2,y2) e (x3,y3) come vertici, allora il suo centroide (o anche baricentro) avrà coordinate ( Cx ,Cy ) dove:

Cx = ( x1 + x2 + x3)/3 e Cy = (y1 + y2 + y3)/3

In questo modo, possiamo costruire una particolare versione dell’indice PR kd-tree sui centroidi dei triangoli, detta Triangulation PR kd-tree.

Analogamente a quanto avviene per l'indice PR kd-tree, il dominio della triangolazione viene ricorsivamente suddiviso in regioni rettangolari annidate, dette blocchi.

In un Triangulation PR kd-tree, la regola di suddivisione di un blocco si applica solo ai centroidi dei triangoli ed è la stessa regola usata nel PR kd-tree.

Ad ogni blocco b della suddivisione finale che contiene il centroide di un triangolo t, è associato anche il triangolo t.

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L'indice spaziale L'indice spaziale Triangulation PR kd-tree (2)Triangulation PR kd-tree (2)

La suddivisione del dominio dipende dai centroidi dei triangoli ed è la stessa che si ottiene costruendo un PR kd-tree con i soli centroidi.

1919

Rappresentazione ad albero di un Rappresentazione ad albero di un indice spaziale Triangulation PR kd-indice spaziale Triangulation PR kd-

treetree Un Triangulation PR kd-tree è

rappresentato da un albero binario nel quale ogni nodo descrive un blocco della suddivisione.

Il nodo radice rappresenta il dominio della griglia.

I nodi interni (nodi INTERNAL) corrispondono a blocchi ulteriormente suddivisi che non contengono centroidi dei triangoli della griglia di partenza.

Un nodo foglia può essere di tipo: EMPTY se non contiene alcun centroide; FULL se contiene al più un centroide dei

triangoli della griglia di partenza.Nodi FULLNodi FULL

Nodi Nodi INTERNALINTERNAL

Nodi EMPTYNodi EMPTY

LL RR

BB AA

33 00

LL RR

11 22

BB AA

LL RR

BB AA

LL RR

BB AA

LL RR

BB AA

2020

Costruire un indice Costruire un indice Triangulation PR Triangulation PR kd-treekd-tree

L'algoritmo per costruire un Triangulation PR kd-tree a partire da una triangolazione inserisce in maniera incrementale i triangoli della griglia di partenza.

L'algoritmo per inserire un triangolo è lo stesso usato per inserire un punto in un PR kd-tree (in questo caso il centroide del triangolo).

NOTA: bisogna memorizzare il riferimento ad un triangolo quando si memorizza il suo centroide in una foglia di tipo FULL.

2121

Triangulation PR kd-tree – Proprietà Triangulation PR kd-tree – Proprietà (1) (1)

Le foglie di tipo FULL ed EMPTY possono trovarsi a qualunque livello dell’indice.

La forma di un indice Triangulation PR kd-tree NON dipende dall’ordine di inserimento dei triangoli, visto che la suddivisione di un blocco viene eseguita rispetto al centroide.

L’altezza di un indice Triangulation PR kd-tree è inversamente proporzionale alla distanza minima fra i centroidi.

In un Triangulation PR kd-tree TUTTAVIA:

un triangolo viene univocamente associato ad un solo nodo di tipo FULL

NON è garantito che un triangolo sia interamente contenuto nel blocco di tipo FULL a cui è associato

NON è possibile conoscere quali blocchi vengono intersecati da un triangolo

Dunque, nel processo di indicizzazione NON si tiene conto dell’estensione spaziale di un triangolo, MA solo della posizione del suo baricentro.

LL RR

BB AA BB AA

11 22

LL

33 00

RR

Nodi FULLNodi FULL

Nodi Nodi INTERNALINTERNAL

Nodi EMPTYNodi EMPTY

2222

Triangulation PR kd-tree – Triangulation PR kd-tree – proprietà (2)proprietà (2)

Di conseguenza, NON è garantito che:

Una foglia EMPTY sia effettivamente vuota

Una foglia FULL sia intersecata solo dal triangolo t ad essa associata.

Quindi NON è possibile analizzare SOLO i centroidi

nelle interrogazioni!

2323

Localizzazione di un punto Localizzazione di un punto QUERY Dato un punto p=(xp,yp), si vogliono individuare gli eventuali triangoli della

griglia contenenti p al loro interno o sul loro bordo.

NOTA Se il punto p sta sul bordo di un triangolo allora potrà essere condiviso fra più

triangoli.

2424

Localizzazione di un punto (2)Localizzazione di un punto (2)IDEA di BASE Possiamo limitare la ricerca dei triangoli nella porzione di dominio “più vicina

possibile” al punto p, scartando parti di dominino non significative con un indice.

Soluzione possibile (con un Triangulation PR kd-tree) Individuare la foglia che contiene il punto p visitando l’albero a partire dalla

radice (a livello 0) in maniera analoga agli alberi binari di ricerca.

Se il nodo corrente n è di tipo INTERNAL ed il centroide del blocco b descritto da n è C=(xc,yc), allora:

se n è a livello pari (cioè la suddivisione di b è verticale) allora: si prosegue la ricerca nel figlio LEFT, se xp< xc si prosegue la ricerca nel figlio RIGHT, altrimenti

se n è a livello dispari (cioè la suddivisione di b è orizzontale) allora: si prosegue la ricerca nel figlio BELOW, se yp< yc si prosegue la ricerca nel figlio ABOVE, altrimenti

Se il nodo corrente n è una foglia FULL oppure EMPTY, allora possiamo cercare gli eventuali triangoli che contengono il punto p a partire dal blocco descritto da n.

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Localizzazione di un punto (3) Localizzazione di un punto (3) Tuttavia non è detto che sia possibile individuare tali triangoli: ad esempio, se

siamo in una foglia EMPTY non possiamo fare riferimento ad alcun triangolo oppure una foglia FULL viene intersecata da triangoli differenti da quello memorizzato (non raggiungibili).

Durante la ricerca sono state scartate porzioni significative del

dominio senza verficarne l’importanza nella localizzazione del punto p in input.

2626

Localizzazione di un punto (4) Localizzazione di un punto (4)

TUTTAVIA: è necessario visitare un nodo FULL per poter accedere al triangolo ad esso

associato, altrimenti non verrà mai preso in considerazione è probabile che i triangoli contenenti il punto p siano associati a blocchi FULL il

“più vicino possibile” rispetto a p.

Soluzione proposta Individuare i blocchi della suddivisione in base alla loro distanza dal punto p, a

partire da quelli “più vicini” al punto p in input.

E’ possibile risolvere questo problema, proponendo una opportuna variante della Nearest Neighbor Query.

Dati un insieme S di punti ed un punto Q si vuole trovare il punto in S avente distanza

minima dal punto Q.

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Incremental Nearest Neighbor Incremental Nearest Neighbor Query Query

OBIETTIVO

Costruire in maniera incrementale l’insieme dei nodi dell’indice Triangulation PR kd-tree ordinato in senso crescente rispetto alla distanza dei nodi dal punto p in input (punto da localizzare).

INCREMENTAL NEAREST NEIGHBOR QUERY

In questo Progetto si userà l’algoritmo per la Ricerca Incrementale degli Elementi più Vicini (in inglese Incremental Nearest Neighbor Query) in un PR quadtree, proposto in G. Hjaltason e H. Samet, 1995

Questa tecnica può essere adattata facilmente all’indice Triangulation PR kd-tree.

Sfrutta la struttura dati coda con priorità per memorizzare i nodi da visitare.

In una coda con priorità gli elementi sono associati ad un valore numerico (priorità), che determina l’ordine con cui essi vengono acceduti.

Due primitive fondamentali:

DELETE_MAX: rimuove l’elemento con priorità massima dalla coda

INSERT: inserisce un nuovo elemento nella coda in base alla sua priorità

Dovete fornire una implementazione della coda con priorità!

2828

Distanza di un blocco da un Distanza di un blocco da un puntopunto

Dato un blocco b ed un punto p allora diremo che la distanza del blocco b dal punto p sarà nulla se e soltanto se il punto p appartiene al blocco b.

In caso contrario, dobbiamo capire a quale quadrante appartiene il punto p (rispetto al blocco b) e proseguire come mostrato in figura.

IMPORTANTE: la priorità di un blocco b (e quindi del nodo n che lo descrive) è definita come l’inverso della distanza di b dal punto p.

2929

Incremental Nearest Neighbor Incremental Nearest Neighbor Query - Algoritmo Query - Algoritmo

Nella coda con priorità verranno memorizzati i nodi di un Triangulation PR kd-tree in base alla loro priorità.

Dati un punto p da localizzare e T un indice spaziale Triangulation PR kd-tree, allora:

Passo 1: si inserisce in una coda con priorità Q (inizialmente vuota) il nodo radice di T.

Passo 2: se la coda Q non è vuota, si estrae dalla coda il nodo n con priorità massima e si prosegue in base a n:

se n è di tipo EMPTY, allora non si esegue alcuna operazione;

se n è di tipo INTERNAL, allora si inseriscono i due figli di n nella coda Q;

se n è di tipo FULL, allora si controlla se il triangolo t memorizzato in n contiene il punto p al suo interno: in caso affermativo si memorizza t.

Passo 3: si ripete nuovamente il passo 2.

L’algoritmo viene ripetuto fino a quando la coda con priorità Q non diventa vuota.

3030

Incremental Nearest Neighbor Incremental Nearest Neighbor Query – Esempio 1Query – Esempio 1

Nell’algoritmo appena proposto si visitano i nodi dell’indice Triangulation PR kd-tree a partire da quelli più vicini al punto p da localizzare.

Solitamente, NON richiede la visita di un numero elevato di nodi, se il punto p appartiene ad un triangolo.

3131

Incremental Nearest Neighbor Incremental Nearest Neighbor Query – Esempio 2Query – Esempio 2

Nel caso peggiore (quando il punto p da localizzare è esterno alla triangolazione), dobbiamo visitare tutti i nodi dell’indice prima di concludere.

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Approfondimenti Approfondimenti

G. Hjaltason e H. Samet, Ranking in Spatial Databases, In Proceedings of the 4° Symposium on Spatial Databases, volume 951 of Lecture Notes in Computer Science, pagine 83-95, Portland, Maine, USA, Agosto 1995, Springer-Verlag

G. Hjaltason e H. Samet, Distance Browsing in Spatial Databases, ACM Transactions on Database Systems, Volume 24, numero 2, pagine 265-318, 1999

H. Samet, Foundations of Multidimensional and Metric Data Structures, Morgan Kaufmann Publisher, Agosto 2006