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Tema da aula 09
Pesquisa Operacional:Programação Linear
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Programação Linear (PL)
É um modelo de programação matemática que auxilia na tomada de decisão para problemas de várias áreas do mundo real.
Escassez (produto ou matéria prima)Dificuldade de produção ou obtenção
Recursos?
MaximizarLucro, Receita, Produçao, etc.
MinimizarCusto, Refugo,Turnover, etc.
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Programação Linear (PL)
Aplicações:
• Determinação de mix de produtos;• Escalonamento de produção;• Roteamento e logística;• Planejamento financeiro;• Carteiras de investimento;• Análise de projetos;• Alocação de recursos de mídia;• Designação de equipes.
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Programação Linear (PL)
A formulação do problema a ser resolvido por programação linear segue alguns passos básicos:
• Definir o objetivo básico do problema(Maximizar lucro ou desempenho, Minimizar custos, perdas, ou tempo)que será representado por um função objetivo (Maximizar ou Minimizar)
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Programação Linear (PL)
• Definir as variáveis de decisão envolvidas(Classes de investimento, máquinas, etc.)
• Definir as restrições(Equipamentos disponíveis, valor total mínimo para investimento, etc.)
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Programação Linear (PL)
O problema geral de programação linear pode ser definido por: Maximizar ou Minimizar.
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Programação Linear (PL)
Quando o problema envolve apenas duas variáveis, a solução ótima de um problema de PL pode ser encontrada graficamente.
Uma empresa de comida canina produz 2 tipos de ração: TOBI e REX. Para produzir a ração são utilizados cereais e carne. Sabendo-se que:
Consumo matéria prima TOBI REXCarne 1 Kg 4 KgCereais 5 Kg 2 Kg
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Programação Linear (PL)
TOBI REXPreço do pacote de ração $ 20 $ 30Custo Kg da carne $ 4Custo Kg de cereal $ 1Qtde carne/mês 10.000 KgQtde cereais/mês 30.000 Kg
Objetivo: Maximizar o lucro (Z), a partir da quantidade de ração TOBI (X1) e de ração REX (X2).
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Programação Linear (PL)
Cálculo do lucro unitário de cada ração:
TOBI REXCusto da carne 1Kg . $4 = $4 4Kg . $4 = $16Custo dos cereais 5Kg . $1 = $5 2Kg . $1 = $2
Custo total→ $ 9 $ 18Preço do pacote de ração $ 20 $ 30Lucro da ração (20 – 9) =
$ 11(30 – 18) =
$ 12
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Programação Linear (PL)A função objetivo por ser escrita como:Maximizar o lucro (Z) = 11X1 + 12X2,
onde X1 = TOBI e X2 = REX, 11 e 12 são os respectivos lucros.Sujeito as restrições:Restrição carne: 1X1 + 4X2 ≤ 10.000Restrição cereais: 5X1 + 2X2 ≤ 30.000Positividade das variáveis X1, X2 ≥ 0
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Programação Linear (PL)
Solução gráfica1)Traça-se um gráfico com os eixos compostos
pelas variáveis X1 e X2.
X1
X2
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Programação Linear (PL)
Solução gráfica1)Traçam-se as retas referentes as restrições do
problema e delimita-se a região viável.
Cálculo do ponto X1 e X2 para a 1ª equação
/4 P1 = (0, 2500)P2 = (10.000, 0)
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Programação Linear (PL)
Representação gráfica para a 1ª restrição
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Programação Linear (PL)
Cálculo do ponto X1 e X2 para a 2ª equação
P1 = (0, 15.000)P2 = (6.000, 0)
Solução gráfica
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Programação Linear (PL)
Representação gráfica para a 2ª restrição
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Programação Linear
Região viável – solução ótima
Z = 11X1 + 12X2
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Programação Linear (PL)
Exemplo 2Uma marcenaria deseja estabelecer uma programação diária de produção. Atualmente, a oficina faz apenas dois produtos: mesa e armário, ambos de um só modelo. Para efeito de simplificação, vamos considerar que a marcenaria tem limitações em somente dois recursos: madeira e mão-de-obra, cujas disponibilidades diárias são mostradas na tabela a seguir.
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Programação Linear (PL)
Exemplo 2
O processo de produção é tal que, para fazer uma mesa a fábrica gasta 2 m2 de madeira e 2 H.h de mão-de-obra. Para fazer um armário, a fábrica gasta 3 m2 de madeira e 1 H.h de mão de obra.
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Programação Linear (PL)
Exemplo 2Além disso, o fabricante sabe que cada mesa dá uma margem de contribuição para o lucro de $ 4 e cada armário dá uma margem de contribuição para o lucro de $ 1.
O problema é encontrar o programa de produção que maximiza a margem de contribuição total para o lucro.
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Programação Linear (PL)
Exemplo 2Definição das variáveis de decisão:X1 = qtde de mesas a produzir;X2 = qtde de armários a produzir.Relações matemáticas:
Mesa ArmárioMadeira 2 m2 3 m2
M. Obra 2 H.h 1H.hLucro $ 4 $ 1
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Programação Linear (PL)
Exemplo 2Relações matemáticas:RestriçõesMadeira = 2X1 + 3X2 ≤ 12M. Obra = 2X1 + 1X2 ≤ 8
X1, X2 ≥ 0
Função objetivo: Max lucro (L)L = 4X1 + X2
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Programação Linear (PL)
Exemplo 2
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Memória de aula
1. Formulação de um problema utilizando modelos matemáticos.
2. Determinação das variáveis do modelo.3. Determinação da função objetivo.4. Determine a função objetivo e restrições para o
problema
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Memória de aula
Produto A = x1 e Produto B = x2
Maximizar Z = 12 x1 + 8 x2
Sujeito a Maq1 = 3 x1 + 2 x2 ≤ 42Maq 2 = 2 x1 + 2 x2 ≤ 30Maq 3 = 2 x1 + 4 x2 ≤ 48 x1, x2 ≥ 0
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Bibliografia indicada
LISBOA, Erico Fagundes Anicet. Rio de Janeiro, 2002. versão digital disponível na Internet (http://www.ericolisboa.eng.br).
MURIOLO, Afrânio Carlos. Pesquisa operacional. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2004.
CORRAR, Luiz J.; THEÓPHILO, Carlos Renato. Pesquisa operacional para decisão em contabilidade e administração. Contabilometria. São Paulo: Atlas, 2004.
