工業数学Ⅰ第7章多変数関数の微分

1. Rnにおける曲線千葉大学工学部 機械工学コース担当者 武居昌宏

教科書

工科系の数学 (4) [単行本]

マイベルク・ファヘンアウア著

及川正行 訳

出版社: サイエンス社 (1996/12)

ISBN-10: 4781907814

第7章多変数関数の微分1 Rnにおける曲線1.1 パラメータ表示

●関数の記述

xはベクトル(太字)->多変数関数fもベクトル (太字)->ベクトル値関数

要素(列ベクトルx)と集合(定義域D)を区別関数fは集合Dを集合Rmに写像

n >1, m>1の場合 P82 4節 で述べる※定義域がスカラー値(n=1)の場合、集合Dではなくて I (アイ)で表記

●スカラー関数とベクトル値関数

※注意 fはスカラーなので細字、xはベクトルなので太字

● n=3, m=1の3変数のスカラー関数の例

図 スカラー関数の例定常流の管内圧力分布

x=[x1,x2,x3]T∈R3

から一つの実数 f(x)∈R への写像

n:原空間の次元 m:像空間の次元 関数の表記 関数の名称

n=1 スカラー m=1 スカラー f(x) スカラー関数

n=2以上ベクトル m=1 スカラー f(x) 多変数スカラー関数

n=1 スカラー m=2 ベクトル f(x) ベクトル値関数n=2以上ベクトル m=2 ベクトル f(x) 多変数

ベクトル値関数

●像空間のスカラー量: 温度、質量、圧力、pHなど

http://www.rccm.co.jp/development/fluid/fluent.html

図ベクトル値関数の例 n=N, m=2

場所を固定すれば、風速度uは時間t(スカラー値)に関するベクトル

室内の2次元空間位置xにおける、ある時間の2次元速度ベクトルf(x)(温度もスカラー値で同時に表示)

● n=1, m=2 の例

図ベクトル値関数の例n=1, m=2● n=N(空間解像度), m=2 の例

※注意 時間はスカラーなので細字、風速度uはベクトルなので太字

※注意 fもxもベクトルなので太字※参照 P82 4節 ベクトル値関数

●像空間のベクトル量: 加速度、速度、変位、力、重力、運動量など

𝒖 = 𝒇 𝑡 =𝑓1(𝑡)𝑓2(𝑡)

x=[x1, x2, x3 , … xN]T

𝒇 𝒙 =𝑓1(𝒙)𝑓2(𝒙)

http://www.tf-eng.com/solution_05.html

f1 :x方向の速度スカラーf2 :y方向の速度スカラー

●位置ベクトルxのパラメータ表示

●多変数の極限 多変数の極限や微分は、各要素で考える

※ 𝒙 𝑡 と 𝒙′(𝑠)の違いに注意

↓・がある

I:定義域(Dではない)

𝒙 𝑡 =

𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)

⋮𝑥𝑛(𝑡)

, 𝑡 ∈ 𝐼

O

t=t1t=t2

t=t3

t=t0

x(t)

●ベクトル値関数における導関数の公式

●部分曲線と正則

図158 曲線

※ 𝒙 𝑡 =0 正則ではない -> 運動が止まる

始点

終点

●弧長 s(t)とその時間微分

: [a,t]にわたる部分曲線

●弧長要素ds と弧長要素ベクトルdx

:曲線x(t)の時間微分の大きさでもある

(3)

(4)

(5)

x(t)がわかればスキーヤー自身が速度や距離を測れる!!

時間tの位置x(t)の速度

GPS速度計:

アンドロイドのスピードメーター

https://play.google.com/store/apps/details?id=de.meditgbr.android.tacho&hl=ja

O

)(ax)(tx

時間t=aの位置x(a)の速度

ds

s(t)

dx

http://tiski.exblog.jp/m2012-11-01/

𝒙 𝑎

𝒙 𝑡

●単位接線ベクトル

λは任意の実数

1.2 動標構、曲率、ねじれ率

(6)

)( 0tT

O )(x

)( 0tx

O

x(t)

T(t):接線ベクトルTangential

N(t):主法線ベクトルNormal

B(t):従法線ベクトルBinormal

接平面

x(b)

x(a)

T(t)

N(t)

B(t)

x(t0)における曲線の接線の方程式のパラメータ表示は、

)(tT

O

),( r

)(tx)(tN

)(tB

●単位主法線ベクトル 単位従法線ベクトル

(T(t), N(t), B(t))●動標構 ※右手系(T(s), N(s), B(s))※弧長sをパラメータとして表すこともある

●曲線x(t)を微分⇒接線ベクトルT(t) ●単位接線ベクトルT(t)を微分⇒主法線ベクトルN(t) ● T(t)とN(t)との外積⇒従法線ベクトルB(t) 定理1.1(後述)で B(t)を曲線x(t)で表す。

●接平面 r (λ, μ)

λ ,μ∈Rλ とμは任意の実数

(7)

x(t)を通りT(t)とN(t)によって張られる平面

T(t1)

T(t1)

s(t1)

s(t)T(t)

T(t1)

O

A

B

C 𝑻 𝑡 s(t1)

●曲率κ(t)

曲率κ(t) :弧長s(t)の時間微分または曲線のx(t)の時間微分の大きさに対する 接線ベクトルT(t)の時間微分の大きさ

接線ベクトル向きの変化大⇒κ(t)大接線ベクトル向きの変化小⇒ κ(t)小※単位長さ{Δs(t)の微分}=OA=OB(単位時間 OCではない!! もし緑の速度が速いと・・・)、つまり、弧長の

変化率 𝑠(𝑡)が基準

(8)

極限がポイント⇒単位長さOA=OBにするため!!

ここはOAとOCになっている!!

http://tiski.exblog.jp/m2012-11-01/

O

)(tx

)(tT

…(9)

𝒙 𝑎

●速度・加速度と動標構(接線ベクトルT(t)主法線ベクトルN(t))との関係

式(6)単位接線ベクトルの定義 𝒙 𝑡 = 𝒙 𝑡 𝑻(𝑡)

式(4) 弧長 s(t)の時間微分

𝒙 𝑡 = 𝑠(𝑡)𝑻(𝑡)さらにtで微分

𝒙 𝑡 = 𝑠(𝑡)𝑻(𝑡) + 𝑠(𝑡) 𝑻(𝑡)

式(7)単位主法線ベクトルの定義 𝑻 𝑡 = 𝑻 𝑡 N(t)

𝑻 𝑡 = 𝜅 𝑡 𝑠(𝑡)

xのtに関する二回微分は、

𝒙 𝑡 = 𝑠(𝑡)𝑻(𝑡) + 𝑠(𝑡)2𝜅 𝑡 N(t)

式(8)曲率の定義

𝑻 𝑡 = 𝜅 𝑡 𝑠(𝑡)N(t)

…(9)

BN①速度ベクトル 𝒙 𝑡 = 𝒙 𝑡 𝑻(𝑡)は

質点軌道に接する。②速度ベクトルの大きさ 𝒙 𝑡 は瞬間的な速さ 𝑠 𝑡 に等しい。③加速度ベクトル 𝒙 𝑡 は接線加速度 𝑠(𝑡)𝑻(𝑡)と法線加速度 𝑠(𝑡)2𝜅 𝑡 N(t)との合成

(ただし 𝒙 𝑡 ≠ 0)

( )tN

●曲率κ(t)と従法線ベクトルB(t)をx(t)で表す

※ 式(10)と式(11)を導出できること!!

𝒙 𝑡 × 𝒙 𝑡 = 𝑠 𝑡 3𝜅 𝑡 𝑩(𝑡) 𝒙 𝑡 × 𝒙 𝑡 = 𝑠 𝑡 3𝜅 𝑡

𝑩(𝑡) = 1

…(10)

…(11)

T外積は0

外積はB(t)

…(9)

速度 𝒙 𝑡 と加速度 𝒙 𝑡 との外積は?

T

BN

N

T B

曲がっているけどねじれていない線。⇒T,Nは場所により変化 BはTN面に対して直交で場所の変化なし

曲がっていてねじれている線。⇒ Bは場所によって異なる。

●ねじれの直感的な意味

動標構の動画※Bが平面曲線の場合とは違うことに注意

ねじれ⇒Bの変化を考えればよい

※反時計回りを正

x(t=0)の点

x(t)が平面曲線であるための必要十分条件⇔ねじれ率τ(t)=0

B

N

T

余談:時計回りの蚊取り線香は世界でKINCHOだけらしい。

https://joshi-spa.jp/287778

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●ねじれベクトル 𝑩 𝑡 / 𝑠 𝑡 とねじれ率τ(t)

ねじれベクトル: 孤長s(t)の時間変化率に対するB(t)の時間変化率

τ(t):ねじれ率マイナスがつく

lim𝑡1→𝑡

𝑩 𝑡1 − 𝑩 𝑡

𝑠 𝑡1 − 𝑠(𝑡)=

𝑩(𝑡)

𝑠(𝑡)

式(2)より𝑩 ∙ 𝑩 = 𝟏 より𝑑 𝑩 ∙ 𝑩

𝑑𝑡= 𝑩 ∙ 𝑩 + 𝑩 ∙ 𝑩

= 𝟐 𝑩 ∙ 𝑩=𝟎

𝑩はBに直交

𝑩∟𝑩⇒ 𝑩はNかTに平行

𝑩 =𝑑 𝑻 × 𝑵

𝑑𝑡= 𝑻 × 𝑵 + 𝑻 × 𝑵

定義より 𝑻 𝑡 = 𝑻 𝑡 𝑵 𝑡

なので 𝑻 × 𝑵=0

𝑩はTに直交

𝑩∟𝑻⇒ 𝑩はNかBに平行

𝑩(𝑡)

𝑠(𝑡)= −𝜏 𝑡 𝑵(𝑡)

…(12)

𝑩はNに平行

𝑩はNに平行N

T

B

κ

τ

κ

N+𝑑𝑵

𝑑𝑠

B+𝑑𝑩

𝑑𝑠

□はあとで説明注)sで微分

𝑩はBとTに直交τ

T+𝑑𝑻

𝑑𝑠

𝑩

x(t)

𝑻

T

x(t)だけで表し

たいので、N(t)の定義式(7)と違うので注意

定義式(6)より

式(10)より

式(11)より

式(13)より、詳細は後ほど

定理1.1 3回微分可能な曲線 x:[a,b]->R3の 𝒙(𝑡) × 𝒙(𝑡) ≠ 𝟎を満たす各パラメータtに対して次の公式が成立

…(13)

フレネ・セレの公式から証明●ねじれ率

●つる巻きばねを用いた例題

このとき、T(t), N(t), B(t), κ, τを、r, h, tを用いて求めよ。さらに、ばねの軸を作用線とする負荷F=-Fe3による各点x(t)のモーメントm(t)をr, F, tを用いて求めよ。またさらに、 m(t)をねじれ成分T方向、曲げ成分B方向に分解せよ。

𝒆3 =001

例) つる巻きばねの中立線は、

𝒙(𝑡) =𝑟cos𝑡𝑟sin𝑡ℎ𝑡

, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋𝑛

(tは角度[rad]⇒時間と見なす)で記述される。ここで、rは半径、2πhは螺旋ピッチ、nは旋回数

2πh

r

*3要素の外積の求め方 たすき掛けで演算

*detの求め方(前置きのPPT参照)サラスの公式 余因子展開

𝒙 =x1

x2

x3

𝒚 =

y1

y2

y3

𝒙 × 𝒚 =

x2y3 − x3y2

x3y1 − x1y3

x1y2 − x2y1

定理1.1参照

𝑵 𝑡 = 𝑩 𝑡 × 𝑻 𝑡

曲率

ねじれ率

x(t)

T(0)

N(0)

B(0)

mT(0) ねじれ

-zがFの作用線

mB(0) 曲げ

𝒆3 =001

𝒙(𝑡) =𝑟cos𝑡𝑟sin𝑡ℎ𝑡

rとFは定数

O

x(t)がFより前－がつく理由右動画

ばねの軸を作用線とする負荷F=-Fe3による各点x(t)のモーメント

T,N,Bの各成分は2ページ前参照

𝒎 𝑡 = 𝑟𝐹sin𝑡

−cos𝑡0

ねじれ成分 曲げ成分

3次元ベクトルmを𝑇,𝑁,𝐵方向に分割𝑇,𝑁,𝐵の大きさは1なので成立

𝒎 𝑡 = −𝒙 𝑡 × 𝑭

動標構(T,N,B)に分解

TとBが張る面

𝒎(𝑡) = −𝐹𝑟2

𝑅𝑻 +

𝐹𝑟ℎ

𝑅𝑩

ばねの場合のxは逆なので－必要ねじ棒が斜め⇒曲げ成分(B成分)が出現

F

FB

FT x(t)

T(t)

B(t)

x(0)F

モーメントx＋方向定義

←m

https://ja.wikipedia.org/

xO

1.3 自然パラメータとフレネー・セレの公式●パラメータを時間tではなく孤長sで表す

●孤長パラメータsのときy’’,T’とκの関係

曲率κのもう一つの定理: y’’ = κ N

…(A)

曲線 y:[0,L]->R3, y(s):=x(t(s))

弧長へのパラメータ変換によって正則曲線から生じた曲線

𝒚′ 𝑠 =𝑑𝒚(𝑠)

𝑑𝑠=

𝑑𝒙(𝑡(𝑠))

𝑑𝑠

=𝑑𝒙(𝑡)

𝑑𝑡

𝑑𝑡(𝑠)

𝑑𝑠=

𝒙 𝑡(𝑠)

𝑠 𝑡(𝑠)

= 𝒙 𝑡(𝑠)

𝒙 𝑡(𝑠)= 𝑻 𝑡 𝑠 = 𝑻

…式(4)

…(7)

Nの定義:

κの定義:

𝒚′′ =𝑑𝑻

𝑑𝑠=

𝑑𝑻

𝑑𝑡

𝑑𝑡

𝑑𝑠=

𝑻 𝑡

𝑠 𝑡=

𝑻 𝑡 N

𝑻 𝑡 /𝜅= 𝜅N

…(8)

y(s1)

s1

s=0T(s=0)

T(s1)T’(s=0)=κ(0)N

y(s=0)

AB

O

①パラメータがsのときはその表記をしない⇒ T=T(s)の意味②曲線y(s)のsに関する微分は長さ1

となる⇒式(6)と比較 𝑻(𝑡) = 𝒙 𝑡

𝒙 𝑡

●孤長パラメータsのときの B’ とτの関係

𝑩′ 𝑠 =𝑑𝑩

𝑑𝑠=

𝑑𝑩

𝑑𝑡

𝑑𝑡

𝑑𝑠=

𝑩(𝑡)

𝑠(𝑡)= −𝜏𝑵

ねじれ率τ

N = B×T をsで微分

式(1)c)

●孤長パラメータsのときのN’とκ、τの関係

…(B)

𝑵′ 𝑠 =𝑑𝑵

𝑑𝑠=

𝑑(𝑩 × 𝑻)

𝑑𝑠=

𝑑𝑩

𝑑𝑠× 𝑻 + 𝑩 ×

𝑑𝑻

𝑑𝑠

…(12)

𝑵′ 𝑠 = −𝜏𝑵 × 𝑻 + 𝑩 × 𝜅𝑵

…(A)𝑻′ = 𝜅N

𝑩′ 𝑠 = −𝜏𝑵 …(B)

𝑵′ 𝑠 = −𝜅𝑻 + 𝜏𝑩 …(C)

B

NT

=-B =-T

𝑻′ 𝑠𝑵′ 𝑠𝑩′ 𝑠

=0 𝜅 0−𝜅 0 𝜏0 −𝜏 0

𝑻 𝑠𝑵 𝑠𝑩 𝑠

…(A)

…(B)

…(C)

…(14)𝑑𝑩

𝑑𝑠= −𝜏𝑵

● 定理1.2 フレネー・セレの公式曲率κ(s)が0でない3回連続微分可能な弧長をパラメータとする曲線y:[0,L]->R3に対して

𝑑𝑻

𝑑𝑠= 𝜅N

𝑑𝑵

𝑑𝑠= −𝜅𝑻 + 𝜏𝑩

𝑻 𝑡 𝑵 𝑡 𝑩 𝑡

= 𝑠 𝑡0 𝜅 0−𝜅 0 𝜏0 −𝜏 0

𝑻 𝑡𝑵 𝑡𝑩 𝑡

tバージョンの導出

𝑑𝑻

𝑑𝑠=

𝑑𝑻

𝑑𝑡

𝑑𝑡

𝑑𝑠=

𝑻 𝑡

𝑠 𝑡

𝑑𝑵

𝑑𝑠=

𝑑𝑵

𝑑𝑡

𝑑𝑡

𝑑𝑠=

𝑵 𝑡

𝑠 𝑡

𝑑𝑩

𝑑𝑠=

𝑑𝑩

𝑑𝑡

𝑑𝑡

𝑑𝑠=

𝑩 𝑡

𝑠 𝑡

23

det 𝒂, 𝒂 + 𝒃, 𝒂 + 𝒃 + 𝒄= det 𝒂, 𝒂, 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + det 𝒂, 𝒃, 𝒂 + 𝒃 + 𝒄

𝒄 ∙ 𝒂 × 𝒃 =𝑐1 𝑎1 𝑏1

𝑐2 𝑎2 𝑏2

𝑐3 𝑎3 𝑏3

スカラー三重積を行列式表記

det 𝒂, 𝒂, 𝒂 + 𝒃 + 𝒄= det 𝒂, 𝒂, 𝒂 + det 𝒂, 𝒂, 𝒃 + det 𝒂, 𝒂, 𝒄

det 𝒂, 𝒃, 𝒂 + 𝒃 + 𝒄= det 𝒂, 𝒃, 𝒂 + det 𝒂, 𝒃, 𝒃 + det 𝒂, 𝒃, 𝒄

det 𝒂, 𝒂 + 𝒃, 𝒂 + 𝒃 + 𝒄= det 𝒂, 𝒃, 𝒄

det 𝒂 + 𝒄, 𝒃= det 𝒂, 𝒃 +det 𝒄, 𝒃

●スカラー三重積と行列式の多重線形性

2次の行列式の例

3次の行列式の例

※ここしか残らない

=𝑎1 𝑎2

𝑏1 𝑏2+

𝑐1 𝑐2

𝑏1 𝑏2

𝑎1 + 𝑐1 𝑎2 + 𝑐2

𝑏1 𝑏2

= 𝑎1 + 𝑐1 𝑏2 − 𝑎2 + 𝑐2 𝑏1

= 𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1 + 𝑐1𝑏2 − 𝑐2𝑏1

※同じベクトルがあるとスカラー三重積は0行列式も 0となる。

積分変数を変えるときに威力

𝑵′ 𝑠 = −𝜅 𝑠 𝑻 𝑠 + 𝜏 𝑠 𝑩 𝑠

(13)式の証明 フレネ-セレ式より、

☜両辺にB(s)を内積

𝜏 𝑠 = 𝑵′ 𝑠 ∙ 𝑩 𝑠 ☜ B(s) 定義

𝜏 𝑠 = 𝑵′ 𝑠 ∙ 𝑻 𝑠 × 𝑵 𝑠

𝜏 𝑠 = 𝑻 𝑠 ∙ 𝑵 𝑠 × 𝑵′ 𝑠

●sバージョンのねじれ率τの特徴

☜玉突き法則を一回⇒理由はあと 𝒚

𝑻 𝑠 ∙ 𝑩 𝑠 = 0 𝑩 𝑠 = 1

…(F)

⇐行列式の多重線形性

𝜏 𝑠 =1

𝜅2det 𝒚′, 𝒚′′, 𝒚′′′

Nが二つなのでこのdetは0

𝒚′ = 𝑻

𝒚′′ = 𝜅N

𝒚′′′ =𝑑 𝜅N

𝑑𝑠= 𝜅′ N +𝜅 N′

𝒄 ∙ 𝒂 × 𝒃 =𝑐1 𝑐2 𝑐3

𝑎1 𝑎2 𝑎3

𝑏1 𝑏2 𝑏3

スカラー三重積を行列式表記𝜏 𝑠 = det 𝑻 𝑠 ,𝑵 𝑠 ,𝑵′ 𝑠

…(A)

3ページ前参照

𝜏 𝑠 =1

𝜅2 det 𝒚′, 𝒚′′, 𝒚′′′

− 𝜅′det 𝒚′, 𝒚′′, 𝑵

𝜏 𝑠 =1

𝜅2det 𝒚′, 𝒚′′, 𝒚′′′ − 𝜅′𝑵

B

NT

𝜏 𝑡 =det 𝒙(𝑡), 𝒙 𝑡 , 𝒙 𝑡

𝜅 𝑡 2 𝑠 𝑡 𝟔

𝜏 =1

𝜅(𝑠(𝑡))2det 𝒚′, 𝒚′′, 𝒚′′′

𝒚′ = 𝒙 𝑡 𝑠

𝑠 𝑡 𝑠= 𝑻

𝒚′′ =𝑑𝑻

𝑑𝑠=

𝑑𝑻

𝑑𝑡

𝑑𝑡

𝑑𝑠=

𝑻 𝑡

𝑠 𝑡

𝒚′′′ =𝑑

𝑑𝑠

𝑻 𝑡

𝑠 𝑡=

𝒙 𝑡

𝑠 𝑡 𝟑+ ⋯

●yとxの1～3階微分の関係

𝜏 𝑡 =det 𝒙(𝑡), 𝒙 𝑡 , 𝒙 𝑡

𝒙(𝑡) × 𝒙 𝑡 2

𝑻(𝑡) = 𝒙 𝑡 𝑠 𝑡 − 𝑠(𝑡) 𝒙 𝑡

𝑠 𝑡 𝟐

●sバージョンのねじれ率τの特徴#2

𝑻′ 𝑠 = 𝜅 𝑠 𝑵 𝑠

●sバージョンの曲率κの特徴☜両辺に𝑵 𝑠 の内積𝑵 𝑠 = 1なので

𝜅 𝑠 = 𝑻′ 𝑠 ∙ 𝑵 𝑠 𝜅 𝑠 = 𝑻′ 𝑠 = 𝒙′′ 𝑠 = 𝒚′′

𝑵 𝑠 =𝑻′ 𝑠

𝜅 𝑠

※行列式の多重線形性

𝒚′′ = 𝒙 𝑡 𝑠 𝑡 − 𝑠(𝑡) 𝒙 𝑡

𝑠 𝑡 𝟑=

𝒙 𝑡

𝑠 𝑡 𝟐− ⋯

𝑵 𝑡 = 𝑠 𝑡 −𝜅(𝑡)𝑻 𝑡 + 𝜏 𝑡 𝑩 𝑡(13)式の証明 フレネ-セレ式より、

☜両辺にB(t)を内積して

𝑠 𝑡 𝜏 𝑡 = 𝑵 𝑡 ∙ 𝑩 𝑡 B(t) 定義とスカラー3重積の性質より

𝑠 𝑡 𝜏 𝑡 = 𝑵 𝑡 ∙ 𝑻 𝑡 × 𝑵 𝑡

= 𝑻 𝑡 ∙ 𝑵 𝑡 × 𝑵 𝑡

= det 𝑻 𝑡 , 𝑵 𝑡 , 𝑵 𝑡

●tバージョンのねじれ率τの特徴

𝒄 ∙ 𝒂 × 𝒃 =𝑐1 𝑐2 𝑐3

𝑎1 𝑎2 𝑎3

𝑏1 𝑏2 𝑏3

スカラー三重積を行列式表記玉突き法則を一回⇒理由はあと 𝒚

𝑻 𝑡 ∙ 𝑩 𝑡 = 0 𝑩 𝑡 = 1

𝒙 𝑡 = 𝑠(𝑡)𝑻(𝑡)

𝒙(𝑡) = 𝑠(𝑡)𝑻(𝑡) + 𝑠 𝑡 𝑻 𝑡 + 𝑠 𝑡 𝑻 𝑡 + 𝑠(𝑡) 𝑻(𝑡)

𝒙 𝑡 = 𝑠(𝑡)𝑻(𝑡) + 𝑠(𝑡) 𝑻(𝑡)

この後、自分でトライ!!

27

「見えない」を「視える」にTakei Laboratory

Laboratory on Multiphase Flow and Visualization