12Nmeros reales1TRUNCAMIENTO REDONDEO POR EXCESOAPROXIMACIONESERRORES EN LA APROXIMACINNMEROSRACIONALESRELACINDE ORDENNMEROSIRRACIONALESNMEROSREALESMi desconocido amigoLa misiva pareca urgente y el general Pernety, al que le una una profunda amistadcon Sophie Germain, dej a un lado sus despachos y orden a su ayudante que hiciera pasar a su amiga. Tras tomar ambos asiento, el general comenz a hablar:Ahora, Sophie, cuntame qu es eso tan importante.La agitacin volvi a la mujer que, con voz nerviosa, comenz a hablar de manera atropellada:No permitas que le pase lo mismo que a Arqumedes! La guerra no respeta nadie y l no ha hecho ningn mal; su prdida sera irreparable.De qu hablas? la interrumpi el general.No entiendo nada.La guerra con Prusia! El ejrcito imperial invadir la ciudad de Brunswick y all vive un sabio que nada sabe de guerras, se llama Gauss. Protgelo cuando tus tropas entren en la ciudad!Tranquila, me encargar de que ningn mal le suceda a tu amigo.Tiempo despus, tras la campaa, de vuelta en Pars el general Pernety volvi a reunirse con Sophie:Estars contenta, cumpl tu encargo; sin embargo, hubo algo muy extrao, pues cuando le dije quinera su benefactora, l asegur no conocerte. Los matemticos son muy raros!Sophie sonri, le dio las gracias y le explic que solo conoca a Gauss por correspondencia y que ella firmaba sus cartas con otro nombre: Le Blanc.En una de esas cartas aparecen los nmeros primosde Germain, son los nmeros primos tales que su doble ms una unidad tambin es un nmero primo. Encuentra 10 nmeros primos de Germain.Los primeros 10 nmeros primos de Germain son:2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83 y 892 2 2 + 1 = 553 53 2 + 1 = 10714EJERCICIOSIndica, sin realizar las operaciones, qu tipo de expresin decimal tienenestos nmeros.a) c) e)b) d) f)a) Decimal exacto d) Peridico purob) Peridico puro e) Decimal exactoc) Peridico mixto f) Peridico mixtoEscribe dos fracciones que expresen:a) Un nmero decimal exacto.b) Un nmero decimal peridico mixto.a) b)Son racionales todos los nmeros decimales peridicos?S porque se pueden poner en forma de fraccin.Expresa en forma de fraccin los siguientes decimales.a) 3,75 c) 3,75

e) 3,675

b) 0,96 d) 0,96

f) 0,196

Simplifica al mximo las fracciones obtenidas para llegar a la fraccingeneratriz.a) 3,75 = d)b) e)c) f)Expresa en forma de fraccin.a) 3,9

b) 1,9

c) 0,9

A qu equivale el perodo formado por 9?a) 3,9

= b) 1,9

= c) 0,9

=El perodo formado por 9 equivale a una unidad entera.991 =1892 =3694 =0050 196196999,

= 3 753729912433,

= =3 6753 67299913637,.

= = 0 96961002425, = =0 9696993233,

= =375100154=00400356215y1235y00211620361132160143035001Nmeros reales151Completa.a) b)a) b)Encuentra la fraccin generatriz de los nmeros decimales.a) 1,265555 c) 0,225

e) 0,225

b) 3,3331

d) 1,26565 f) 0,225

a) 1,265555 = 1,265

= d) 1,26565 = 1,265

=b) 3,3331

= e) 0,225

=c) 0,225

= f) 0,225

=Sin realizar las operaciones, deduce cul de estas igualdades es cierta.a) c)b) d)El denominador est formado por dos 9 seguidos de un 0; luego es el apartado c).Indica, sin realizar las operaciones, cul de las igualdades es cierta. a) b) c) d)Son ciertas las igualdades de los apartados b) y d).Realiza las siguientes operaciones, ayudndote de la fraccin generatriz.a) (1,2

)2c) 3,2

0,27

b) 1,75

+ 0,57 d) 3,2 : 0,2

a) (1,2

)2=b) 1,75

+ 0,57= 2,3275

c) 3,2

0,27

=d) 3,2 : 0,2

=16529725: =299279929299 == + =5833571007 6813 300..119121812=0100 020299,

= 0 02029,

= 0 0204198,

= 0 0202099,

=0093 4563 422909,.

= 3 4563 422999,.

=3 4563 422990,.

= 3 4563 42299,.

=00820390022399022599925111=29 9989 00014 9994 500....=1 253990. 1 139900.0075 3613425, = 5 6285, =5 3625, =

5 65, =

006SOLUCIONARIO16Considera las races cuadradas de los nmeros naturales desde 1 hasta 20,indica cules de ellas son nmeros racionales y cules son nmeros irracionales.Son racionales:. El resto son nmeros irracionales porque no son cuadrados perfectos.Escribe cuatro nmeros irracionales, explicando por qu lo son.son irracionales porque no son cuadrados perfectos.Indica de qu tipo son los nmeros.a) 1,232323 b) 0,246810 c)a) Racional, peridico puro.b) Racional, decimal exacto.c) Irracional.Razona si estas afirmaciones son ciertas.a) La suma de dos nmeros irracionales es siempre un nmero irracional.b) La raz cuadrada de una fraccin es un nmero irracional.a) Es falso, por ejemplo:b) Es falso, cuando el numerador y el denominador son cuadrados perfectos.Compara los siguientes pares de nmeros.a) yc) y b) y 1,732

d) y 2,2360

a) c)b) < 1,732

d) 2,2360

4,75

> 4,75048GG047G046G18900 2 = ,414904 6 = ,1892 =045GG7 7149003 857450. .=2039022399334999203994044G1511389463=1 5159950533.=383251 37990.043GSOLUCIONARIO24Ordena, de menor a mayor, los siguientes nmeros decimales.a) 7,512 < 7,512

< 7,512

< 7,512

< 7,51

b) 3,61

< 3,615

< 3,61

< 3,6

c) 8,24

< 8,243

< 8,243

< 8,24

d) 7,1412

< 7,141

< 7,14

Escribe un nmero racional comprendido entre:a) 3,4 y 3,40023

b) 5,6 y 5,68

c) 2,52

y 2,52

a) 3,4001 b) 5,62 c) 2,523 051050GG049GGHAZLO ASCMO SE OPERA CON NMEROS DECIMALES PERIDICOS?Haz esta operacin: 12,7 + 7,2

PRIMERO. Se calculan las fracciones generatrices de cada uno de los nmeros deci-males.7,2

SEGUNDO. Serealizanlasoperacionesindicadas,sustituyendolosdecimalesporsus fracciones generatrices.12,7 + 7,2

== 19,92

1 143 650901 79390. . += =12710659127 9 65 1090+ = + ===72 7965912 712710, =Nmeros reales251Opera, utilizando las fracciones generatrices.a) 1,3

+ 3,4 c) 1,36

+ 8,25

e) 3,46

+ 4,295

b) 10,25

5,7

d) 4,5

+ 6,7

f) 3,21

+ 4,312

a)1,3

+ 3,4 =b) 10,25

5,7

=c)1,36

+ 8,25

=d) 4,5

+ 6,7

=e)3,46

+ 4,295

=f) 3,21

+ 4,312

=Realiza las operaciones.a) 1,25 2,5

c) 3,76

4,8

b) 0,03

: 2,92

d) 1,25 : 2,25

a)1,25 2,5

= c)3,76

4,8

=b) 0,03

: 2,92

= d) 1,25 : 2,25

=Utilizando las fracciones generatrices, comprueba si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades. a) 1,9

= 2 c) 1,89

+ 0,11

= 2 e) 0,3

+ 0,6

= 1b) 1,3

: 3 = 0,4

d) 0,11

0,1

= 0a)1,9

= Verdaderab) 1,3

: 3 = 0,4

Verdaderac)1,89

+ 0,11

= Falsad) 0,11

0,1

= Verdaderae)0,3

+ 0,6

= Verdadera39691 + =19190 =171901090181902 + = 129349: = =1892 =054GG5420390225406: =390263903263: =339904492 486135 =. 5423911536 =053GG318994 2699907 4499902 483330+ = =. . .343994 2539907 6869902 561330+ = =. . .4196191029343+ = =135998179995299+ =9239052940390 =431757115+ =052GGSOLUCIONARIO26Escribe 6,8 como suma de dos nmeros decimales peridicos.2,3

+ 4,46

Cul es la vigsimo sexta cifra decimal que obtenemos al expresar en forma decimal? Razona tu respuesta.0,0128

. Como el perodo tiene cuatro cifras, la vigsimo sexta cifra decimal es la segunda cifra del perodo, 1.Qu tipo de decimal se obtiene de la fraccin, si a es un nmero entero?Se obtiene un nmero entero o decimal exacto, ya que el cocientees producto de potencias de 2 y de 5.Razona cules de los siguientes nmeros decimales son racionales y cules son irracionales.a) 2,555 e) 2,5255555b) 2,55 f) 2,525252c) 2,525522555222 g) 2,5522222222d) 2,525225222 h) 2,525a) Racional, peridico puro. e) Racional, peridico mixto.b) Racional, decimal exacto. f) Racional, peridico puro.c) Irracional. g) Racional, peridico mixto.d) Irracional. h) Racional, decimal exacto.Indica cules de los nmeros son racionales y cules son irracionales.a) d) g)b) e) h)c) f) i)Son racionales los nmeros de los apartados b) y h), y el resto son irracionales.Averigua cules de los siguientes nmeros son racionales y cules son irracionales.a) c) e)b) d) f)Son racionales los nmeros de los apartados c), e) y f).Son irracionales los nmeros de los apartados a), b) y d).1658 10 +523 16 5 9 1 2 +060GG7 15 316 5 96 10 2059G058Ga2 52 3057GG1289 999 .=1289 999 .056GGG6 8345736715, = = + =055GGGNmeros reales271Escribe tres nmeros racionales y otros tres irracionales. Explica cmo lo realizas.Los nmeros racionales son el resultado de fracciones de nmeros enteros.2,1; 3,45 y 7,09Los nmeros irracionales son nmeros cuya parte decimal no tiene perodo.1,12345; 1,2121121112; 1,1223334444Escribe un nmero irracional comprendido entre:a) 1 y 2b) 0,2 y 0,25c) 0,47

y 0,475d) 2,3 y 2,35

a) 1,2121121112b) 0,22333444455555c) 0,4732101243d) 2,301001000100001Calcula y determina qu tipo de nmero es, en un tringulo equiltero:a) La altura, si el lado mide 10 cm.b) El rea, si el lado mide 3 cm.c) La altura y el rea si el lado midecm.a) cm Es irracional.b) Es irracional.c) Son irracionales.Ordena, de menor a mayor, ayudndote de la calculadora.22535 1 2 7 8 1 5 2 2 < < < + < < < + < +53228 1 5 +2 2 + 7 1 2 + 5064Gh A = = = == 334943232323 34cm cm2h A = = == 332272327223 27422cm cm 22h= = 10 5 752 23063GG062GG061GSOLUCIONARIOhl28Demuestra quees un nmero irracional.Si, conirreducible, elevando al cuadrado, tenemos que, por lo que a2es divisible por b2, siendo esto imposible porque a y b son nmeros primos entre s.Clasifica los siguientes nmeros reales en naturales, enteros, racionaleso irracionales. Di de qu tipo es su expresin decimal.a) 25,37 e) b) f)c) g)d) h) 5a) Racional, decimal exacto.b) Racional, peridico puro.c) Racional, decimal exacto.d) Irracional.e) Irracional.f) Racional, peridico mixto.g) Entero.h) Entero. 126425790617067G1022=abab10 =ab10 066GGG065Nmeros realesHAZLO ASCMO SE DEMUESTRA QUE UN NMERO ES IRRACIONAL?Demuestra que es un nmero irracional. PRIMERO. Se supone que es un nmero racional, por lo que se puede expresar comouna fraccin irreducible.SEGUNDO. Se eleva al cuadrado en ambos miembros.Es decir, a2es divisible por b2, lo cual es imposible porque a y b son primos entre s. Por tanto,no se puede expresar como una fraccin. 77 722= =abab7 =abab, con irreducible7291Compara estos pares de nmeros.a) 2,1

y 2,111 b) 9 y (3)2c) 3,4

yd)a) 2,1

> 2,111 b) 9 = (3)2c) 3,4

< d)Ordena, de menor a mayor, los siguientes conjuntos de nmeros reales.a) 7,512

7,51234 7,512

7,5112233...b) 3,6

3,667788 3,666777 3,67

c) 8,24

8,244666 8,243

8,24

a) 7,5112233 < 7,512

< 7,512

< 7,51234b) 3,6

< 3,667788 < 3,666777 < 3,67

c) 8,24

< 8,243

< 8,24

< 8,244666Calcula el inverso y el opuesto de:a) 3 d) g)b) 2 e) h) 1,4

c) f) 1,4 i) 0,12

a) Inverso:= 0,3

Opuesto: 3b) Inverso:Opuesto: 2c) Inverso:Opuesto:= 1,3

d) Inverso:= 0,36

Opuesto: e) Inverso:Opuesto: = 3,141592654f) Inverso:= 0,714

285 Opuesto: 1,4g) Inverso:Opuesto: h) Inverso:= 0,692

307 Opuesto: 1,4

i) Inverso:= 8,18

Opuesto: 0,12

9011913 = 3 1 732050808 ,330 577350269 = ,5710 318309886= ,1142 75 = ,41143340 75 = ,=120 5 ,13433 114070G069GG3 43>3293 43y329068GGSOLUCIONARIO30Razona si las afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Hay nmeros enteros que no son racionales.b) Existen nmeros irracionales que no son nmeros reales.c) Un nmero real es racional o irracional.d) Cualquier nmero decimal es un nmero real.a) Falsa, ya que cualquier nmero entero se puede expresar en formade fraccin de nmeros enteros: el mismo nmero dividido entrela unidad.b) Falsa, pues los nmeros irracionales estn incluidos en el conjuntode los nmeros reales.c) Verdadera.d) Verdadera, porque los nmeros decimales son racionales o irracionales,y todos son nmeros reales.Indica si son verdaderas o falsas las afirmaciones. Razona tu respuesta.a) Todos los nmeros decimales se pueden escribir en forma de fraccin.b) Todos los nmeros reales son racionales.c) Un nmero irracional es real.d) Existen nmeros enteros que son irracionales.e) Hay nmeros reales que son racionales.f) Cualquier nmero decimal es racional.g) Un nmero racional es entero.h) Los nmeros irracionales tienen infinitas cifras decimales.i) Todos los nmeros racionales tienen infinitas cifras decimales que se repiten.j) Todos los nmeros racionales se pueden escribir mediante fracciones.a) Falsa, pues solo se pueden escribir como fraccin los nmeros racionales.b) Falsa, ya que los nmeros irracionales no son racionales.c) Verdadera.d) Falsa.e) Verdadera.f) Falsa, porque los nmeros irracionales no son racionales.g) Falsa, ya que es el cociente de dos nmeros enteros.h) Verdadera.i) Falsa, pues los decimales exactos tienen un nmero finito de cifras.j) Verdadera.072GG071GGNmeros reales311Realiza las operaciones, sacando factor comn.a) 11 + 22 + 33 + 44 + 55 + 66 + 77 + 88b) 111 + 222 + 333 + 444 + 555c)d)a) 11 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) = 11 36 = 396b) 111 (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 111 15 = 1.665c)d)Si a y b son dos nmeros reales y a bOpera e indica qu tipo de nmero real resulta.a) 2,7

b) 4,09

1,39

c)a) 2,7

= Racionalb) 4,09

1,39

= Racionalc) RacionalA qu nmero corresponde esta representacin?4 3 25 52 2+ = =076G= =492343336990126902439027102 7 = = = ,25953=1,3

3075GGG1 1a b>074GGG12253293512134456745 + = =51342753521253 + = =251212312293512 + 135 5 4 527 + 073GSOLUCIONARIO50 1 2 3 4 532Representa de forma exacta en la recta numrica, utilizando el teoremade Pitgoras, estos nmeros irracionales.a) b) c) d)a)b)c)d)Ordena, de menor a mayor, y representa estos nmeros. < <