1 - Richiami Sulla Teoria Delle Linee

Capitolo 1 - Richiami sulla teoria delle linee

RICHIAMI SULLA TEORIA DELLE LINEE

INTRODUZIONE

Nella figura seguente è riportata una schematizzazione del parco nazionale italiano:

All’interno della parte di generazione la turbina svolge il compito di iniettare potenza attiva nell’alternatore mentre il circuito di eccitazione di iniettare potenza reattiva.Per quanto riguarda la parte di trasmissione, nella tabella sono riportati i valori tipici di tensioni concatenate.Infine, la parte di distribuzione viene suddivisa in base al tipo di utenze, a seconda che sia di alta, media o bassa tensione. La generazione distribuita e le microgrids costituiscono sistemi di generazione posti nelle vicinanze dei punti di utilizzo (produzione fotovoltaica, eolica, ecc.) facenti capo direttamente alla parte di distribuzione.

SCHEMA ELETTRICO A PARAMETRI DISTRIBUITI

Iniziamo la trattazione della teoria delle linee considerando le grandezze tensione e corrente variabili nel tempo, ma non necessariamente in modo sinusoidale con frequenza di 50 Hz. Una linea elettrica viene studiata come formata da una serie di elementi circuitali di lunghezza “ dx” aventi la seguente rappresentazione circuitale (rappresentazione ad elementi distribuiti):

1


Tale tronco infinitesimo di linea è descritto mediante 4 grandezze:

Resistenza per unità di lunghezzaTiene conto delle perdite legate al passaggio della corrente (Joule, prossimità, addizionali, lunghezza topografica della linea minore della lunghezza effettiva)

Induttanza di servizioTiene conto delle perdite legate al passaggio della corrente negli altri conduttori

Conduttanza per unità di lunghezzaTiene conto delle perdite legate alla presenza di una tensione applicata ai conduttori di una linea (effetto corona, correnti di fuga sugli isolatori, perdite dielettriche)

Capacità di servizioTiene conto di ciò che avviene su tutte e tre le fasi

A causa della caduta di tensione dovuta alle impedenze longitudinali, la tensione non sarà la medesima in ogni punto della linea; inoltre, a causa della derivazione di corrente che ha luogo nei rami trasversali, anche la corrente non sarà la medesima in ogni sezione della linea stessa.I fenomeni che si innescano applicando una tensione all’estremità della linea non avranno luogo tutti istantaneamente lungo di essa ma si propagheranno con una certa velocità (vedremo che lungo una linea elettrica le tensioni e le correnti si propagano effettivamente come onde).

EQUAZIONI DELLE LINEE

Per la scrittura delle equazioni delle linee è sufficiente applicare il principio di Kirchhoff delle tensioni e delle correnti alla maglia in figura:

e (x , t )=rdx i ( x , t )+ldx ∂ i( x , t)∂ t

+e ( x ,t )+de (x , t )

i (x , t )=gdx [e ( x , t )+de ( x , t ) ]+cdx ∂∂ t

[e ( x ,t )+de (x , t ) ]+i ( x , t )+di ( x , t )

Effettuando le dovute semplificazioni e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo nel Kirchhoff delle correnti si ottiene:

de (x , t )=−rdx i (x , t )−ldx∂ i(x ,t )

∂ t;di (x , t )=−gdxe (x , t )−cdx

∂e (x , t )∂ t

Derivando entrambe le relazioni rispetto x si ricavano le equazioni delle linee nel dominio del tempo (note anche come equazioni dei telegrafisti):

∂e ( x ,t )∂ x

=−r i ( x ,t )−l∂i ( x ,t )∂ t

∂ i ( x ,t )∂x

=−ge ( x ,t )−c∂e ( x ,t )

∂t

Adottando il metodo simbolico di Steinmetz, ponendo e (x , t )=Ex e i (x , t )=I x , ciò che si ottiene sono le equazioni delle linee nel dominio del frequenza:

d Ex

dx=−r I x− jωl I x

d I x

dx=−g Ex− jωc Ex

2


Definendo ora:

Impedenza longitudinale per unità di lunghezza della linea z=r+ jωl [Ωm−1 ] Ammettenza trasversale per unità di lunghezza della linea y=g+ jωc [ Sm−1 ]

Le equazioni sopra riportate possono essere riscritte nel modo seguente:

d Ex

dx=−z I x(1)

d I x

dx=− y Ex (2)

ANALOGIA CON LE EQUAZIONI DELLE ONDE DI D’ALAMBERT

Introducendo la (2) nella (1) derivata rispetto x si ottiene:

d2Ex

d x2=−z

d I x

dx(2)⇒

d2 Ex

d x2=z y Ex

Considerando per semplicità una linea priva di perdite (r=g=0) si avrà:

d2Ex

d x2= jωl jωc Ex

Essendo jω una derivata prima rispetto al tempo per Steinmetz (avendone 2 si avrà una derivata seconda), ciò che si verifica è una perfetta corrispondenza con l’equazione delle onde di D’Alambert, in quanto:

d2Ex

d x2=lc

d2 Ex

d t 2❑⇔

∂2 f∂ x2

= 1v2

∂2 f∂ t 2

Dove la velocità di propagazione v è:

v= 1

√lcRicordiamo inoltre che la soluzione dell'equazione di D'Alambert può essere espressa come:

f ( x , t )=f 1 ( x−vt )+ f 2 ( x+vt )

Ciò che si ricava è che la generica funzione f ( x , t ) può essere vista come somma di una funzioni: una propagantesi con velocità v in senso diretto (cioè nel verso positivo dell'asse x) ed una propagantesi sempre con velocità v in senso inverso (cioè nel senso negativo dell'asse x).

3


INTEGRAZIONE DELLE EQUAZIONI DELLE LINEE

Siano date le seguenti definizioni:

Costante di propagazione γ=√z y [m−1 ]

Impedenza caratteristica Z0=√ zy

[Ω ]

Introducendo la (1) e la (2) rispettivamente nella (2) e nella (1) derivate rispetto x si ottiene:

d2Ex

d x2=z y Ex ;

d2 I xd x2

=z y I x

Gli integrali generali risultano pertanto:

E x=K1 eγ x+K 2e

−γ x

I x=1Z0

(−K1 eγ x+K 2e

−γ x )

Oppure in forma iperbolica:

E x=C1cosh γ x+C2sinh γ x

I x=1Z0

(−C1 sinh γ x−C2 cosh γ x )

Tali equazioni non risultano indipendenti in quanto accoppiate attraverso γ e Z0.Le costanti K e C vengono determinate fissando le condizioni al contorno. Si supponga, per esempio, di centrare il sistema di riferimento all’inizio della linea e orientarlo nel verso positivo delle x (come da figura). Le condizioni al contorno saranno:

E x|x=0=E p; I x|x=0=I p

Eseguendo tali sostituzioni, le equazioni precedentemente ricavate diventano:

E x=12

(Ep−Z0 I p )eγ x+ 12

(Ep+Z0 I p )e−γ x

I x=12 (I p−E p

Z0 )eγ x+ 12 (I p+

Ep

Z0 )e−γ x

4



E x=Ep cosh γ x−Z0 I p sinh γ x

I x=I p cosh γ x−Ep

Z0sinh γ x

Scegliendo un sistema di riferimento orientato in senso opposto, le condizioni al contorno saranno:

Ex|x=0=Ea; I x|x=0=I a

Eseguendo le medesime sostituzioni viste per il caso precedente si avrà:

E x=12

(Ea+Z0 I a )eγ x+ 12

(Ea−Z0 I a )e−γ x (3)

I x=12 (I a+ Ea

Z0 )eγ x+ 12 ( I a−Ea

Z0 )e−γ x (4 )


E x=Eacosh γ x+Z0 I a sinh γ x

I x=I a cosh γ x+Ea

Z0sinh γ x

Considerando la (3) e la (4) dove il verso assunto positivo per le x è quello orientato dal carico verso il generatore (destra verso sinistra), si può notare che sia la distribuzione della tensione sia quella della corrente possono considerarsi come la risultante di due componenti. La prima componente, proporzionale a eγ x, è detta onda diretta ed è crescente nel verso positivo delle x (cioè decrescente dal generatore al carico); la seconda componente, proporzionale a e−γ x, è detta onda riflessa ed è decrescente nel verso positivo delle x (cioè decrescente dal carico al generatore). Con riferimento alla (3) si può porre:

Ed=Ea+Z0 I a2

; E i=Ea−Z0 I a

2

COSTANTE DI ATTENUAZIONE E COSTANTE DI FASE

La costante di propagazione γ può essere espressa mediante la seguente relazione:

γ=√z y=α+ jβ=√ (r+ jωl ) (g+ jωc )

Si distinguono dunque una parte reale α (costante di attenuazione [m−1 ]) ed una parte immaginaria β (costante di fase o di distorsione [radm−1 ]) i cui valori sono così ricavabili:

α=√ 12 [√ (r2+ω2l2 ) (g2+ω2 c2 )+rg−ω2lc ] ; β=√ 12 [ √( r2+ω2 l2) (g2+ω2 c2 )−rg+ω2lc ]Si osservi che, per una linea priva di perdite, α=0 e β=ω √lc. A 50 Hz la costante di fase assume i seguenti valori:

Linee aeree β=1 ∙10−6 radm−1

Linee in cavo β=3÷5 ∙10−6radm−1

5


La presenza di perdite non modifica apprezzabilmente β ma α , il quale, anziché essere nullo, vale:

Linee aeree α=0,05÷0,5 ∙10−6m−1

Linee in cavo α=0,2÷2∙10−6m−1

LUNGHEZZA D’ONDA E VELOCITA’ DI PROPAGAZIONE

Volendo visualizzare la propagazione di un’onda di tensione alla frequenza di 50 Hz lungo una linea di lunghezza infinita (o adattata) e priva di perdite si avrà:

La lunghezza d'onda λ della propagazione sarà quella per cui dopo λβ i vettori rappresentativi della tensione hanno ruotato di 360 gradi (in riferimento alla figura precedente la distanza tra due massimi successivi); quindi:

λβ=2 π❑⇒λ=2π

β[m ]

Si definisce velocità di propagazione v dell’onda elettrica lungo la linea in funzione della frequenza f la grandezza:

v=λ f=2π fβ

=ωβ

[ms−1 ]

Per una linea aerea priva di perdite (β=ω √lc) la velocità di propagazione vale:

v=ωβ

= ωω√ lc

= 1

√lc= 1

√μ0 ε0=3 ∙108ms−1

Essa coincide con la velocità della luce e non dipende dalle caratteristiche geometriche della linea. Se le perdite non sono trascurabili tale velocità risulterà leggermente inferiore.

La lunghezza d’onda risulta essere inversamente proporzionale alla frequenza:

a 50 Hz λa=vf=3∙10

8

50=6 ∙106m

a 60 Hz λa=vf=3∙10

8

60=5 ∙106m

La presenza di perdite contribuisce a ridurre tali lunghezze di qualche centesimo.

6


CONDIZIONE DI HEAVISIDE

Si consideri ora di abbandonare l’ipotesi di tensione sinusoidale con frequenza 50 Hz e si assuma invece un’onda di tensione di profilo qualsiasi (e quindi caratterizzata da un certo spettro di frequenze). Si osservi che nel caso in cui si verifichi (Condizione di Heaviside):

rg= lc

Risulta:

α=√rgβ=ω √lc

❑⇒v= 1

√ lcAppare chiaro che sia α che v risultano essere indipendenti da ω (inoltre α ≠0 quindi presenza di perdite).In pratica significa che l’onda trasmessa in linea presenta solo attenuazione, non distorsione. Tale osservazione non è rilevante nella trasmissione dell'energia elettrica a frequenza industriale; tuttavia, essa risulta di notevole importanza nella tecnica delle telecomunicazioni.

IMPEDENZA CARATTERISTICA

Si consideri una linea il cui carico sia costituito da un'impedenza uguale a quella caratteristica. Si ha:

Z2=Ea

I a=Z0

La (3) e la (4) diventano:

E x=Eaeγ x ; I x=I ae

γ x

Ex

I x

=Ea

I a=Z0

Se ne conclude che la propagazione delle onde di tensione e di corrente su di una linea chiusa sulla propria impedenza caratteristica avviene come se la linea fosse infinitamente lunga, in quanto il rapporto tra tensione e corrente è in ogni punto costante, e le onde di tensione e corrente che arrivano al carico non subiscono riflessioni.Si ricorda che più che la assenza di riflessioni, ciò che più ha rilevanza nel caso della trasmissione di potenza è che se una linea è chiusa sulla propria impedenza caratteristica, essa è “reattivamente compensata”.

Per una linea priva di perdite (r=g=0) l'impedenza caratteristica diventa reale, ed il suo valore è espresso dalla relazione:

Z0=√ zy=√ r+ jωl

g+ jωc=√ l

c[Ω ]

In tal caso l'impedenza caratteristica prende il nome di impedenza d'onda.

Considerando una linea aerea priva di perdite costituita da una terna di conduttori come da figura si ha:

l ≅(0,46 ∙ log 2Dd )∙10−6 [Hm−1 ]

c ≅ 24,2

log2Dd

∙10−6 [F m−1 ]

7


L’impedenza d’onda varrà dunque:

Z0=√ (0,46 ∙ log 2Dd ) ∙10−6

24,2

log2Dd

∙10−6≅ 138 ∙ log 2D

d

Da notare che se si considera il prodotto l ∙c anziché il rapporto l /c i logaritmi si semplificano. Questo è in linea con le considerazioni fatte in precedenza, ovvero che i termini ai quali corrisponde il prodotto l ∙c (precisamente β e v) sono indipendenti dalla geometria della linea.

Considerando infine una linea aerea con conduttori a fascio l’impedenza d’onda varrà:

Z0≅ 138 ∙ log [ n√2 Dd ( da )n−1n ]

Nella tabella seguente vengono riportati i valori delle grandezze caratteristiche delle linee trifasi aeree ed in cavo (f=50 Hz):

8


Da notare che l’induttanza l è maggiore per le linee aeree rispetto a quelle in cavo in quanto, per le prime, D risulta molto maggiore (D è al numeratore nella formula della l). Viceversa, la capacità c risulta minore per le linee aeree rispetto a quelle in cavo in quanto D (sempre maggiore) si trova al denominatore nella formula della c.Ne consegue che la Z0 è minore per le linee in cavo proprio perché per esse è maggiore l’induttanza l e minore la capacità c.

POTENZA CARATTERISTICA E POTENZA NATURALE

Supponiamo una linea chiusa all'arrivo su un'impedenza Za uguale alla propria impedenza caratteristica . La potenza complessa all'arrivo è data da:

S0a=P0a+ j Q0a=3 Ea I a=3 Ea

Ea

Za

=V a2

Z0 (cosψ− j sinψ )=V a2

Z0(cosψ+ j sinψ )

L'argomento ψ di Z0 è negativo (vedere tabella); pertanto, tale potenza calcolata (da ora definita potenza caratteristica) ha una componente reattiva negativa (cioè in anticipo). Questa condizione non corrisponde a quella di massimo rendimento (che si avrebbe se la componente reattiva fosse nulla) però risulta vantaggiosa nelle trasmissioni ad alta tensione, a grande distanza e per linee aeree (si è visto infatti che in queste condizioni la linea risulta reattivamente compensata, ovvero funziona con fattore di potenza costante in ogni suo punto).

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Per una linea priva di perdite (r=g=0) la potenza caratteristica risulta semplicemente:

P0=V a2

Z0

In tal caso la potenza caratteristica prende il nome di potenza naturale. Da notare che in questa condizione la linea trasmette potenza attiva al carico senza assorbire potenza reattiva. La spiegazione è molto semplice dal momento che la linea lavora a fattore di potenza unitario. Infatti, per ogni elemento infinitesimo della linea vale la relazione:

Z02=

Ex2

I x2 =

ωldxωc dx

❑⇒ωldx I x

2=ωc dx Ex2❑⇒

12l I x2=12c Ex

2

Segue dunque che la potenza reattiva dell'elemento infinitesimo induttivo è esattamente uguale alla potenza reattiva dell'elemento infinitesimo capacitivo (in pratica l'energia che l'induttanza fornisce è uguale a quella che la capacità assorbe e viceversa nel semi-periodo successivo). La trasmissione della potenza caratteristica avviene quindi comportando per la linea una perfetta compensazione tra l'energia elettromagnetica e l'energia elettrostatica della linea stessa (la linea è pertanto reattivamente compensata). Tuttavia, la trasmissione alla potenza caratteristica non coincide con quella a massimo rendimento, la quale risulta essere più bassa. Si noti infine che in tali condizioni la linea non ha cadute di tensione.

La potenza caratteristica costituisce pertanto un parametro rilevante per le linee di una certa importanza e la sottostante tabella ne riporta i valori indicativi per alcuni tipi di linee aeree:

Come si può notare, tanto più la tensione aumenta, tanto più è elevata la potenza trasmissibile.

LINEA COME DOPPIO BIPOLO

Considerando una fase della linea come un doppio bipolo passivo ad elementi lineari (vedi figura), essa risulta caratterizzata dalle stesse equazioni di “trasferimento” di quest'ultimo:

Ep=A Ea+B I aI p=C Ea+DI a

(5)

10


Trattasi dunque di un sistema a due gradi di libertà, caratterizzato da due relazioni indipendenti fra le quattro grandezze (tensioni, correnti) che individuano lo stato elettrico delle due coppie di morsetti. Nel caso le grandezze di riferimento siano quelle di entrata (Ep,I p), risolvendo il sistema di equazioni (5) rispetto alle grandezze di uscita (Ea,I a) si ottiene:

Ea=D Ep−B I pI a=−C E p+A I p

Dalle espressioni viste in precedenza:

E x=Eacosh γ x+Z0 I a sinh γ x

I x=I a cosh γ x+Ea

Z0sinh γ x

Le espressioni delle costanti A, B, C, D (dette costanti ausiliarie della linea) per una linea di lunghezza L assumono la seguente forma:

{A=D=cosh γ LB=Z0 sinh γ L

C= 1Z0sinh γ L

(6)

La simmetria presentata dalla linea nei confronti della sua entrata e uscita porta alla condizione A=D, mentre la subordinazione al principio di reciprocità (il doppio bipolo è costituito da elementi costanti e non contiene amplificatori) impone alle quattro costanti ausiliarie la condizione A D−BC=1 1.Ritornando al sistema di equazioni (5), si può constatare facilmente che:

Per la linea a vuoto (I a=0) risulta Ep=A Ea e I p=C Ea

Per la linea in corto circuito (Ea=0) risulta Ep=B I a e I p=A I a

Si constata allora che le costanti ausiliarie A, B, C rappresentano fisicamente:

Costante A: Rapporto tra la tensione di entrata e quella di uscita della linea funzionante a vuoto oppure tra la corrente di entrata e quella di uscita della linea in corto circuito.

A=Ep

Ea|Ia=0

=I pI a|Ea=0

=D

1 Dimostrazione della relazione di reciprocità

Riscrivendo la (5) in forma matriciale si ottiene:

[Ep

I p]=[ A B

C D ][Ea

I a ]Sia I p=0❑

⇒

0=C Ea+D I aEp=A Ea+B I a

❑⇒

Ea=−DC

I a

Ep=−A DC

I a+B I a=−A D−BC

CI a

Sia I a=0❑⇒

I p=C Ea

Ep=A Ea

Dalla definizione di doppio bipolo reciproco si ottiene:

E p

−I a|Ip=0=Ea

I p|Ia=0

❑⇒

A D−BCC

= 1C

❑⇒A D−BC=1

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Essa ha le dimensioni di un numero puro e la indicheremo nella forma binomia come a1+ j a2 (a1<1 ;a2≪1) oppure nella forma esponenziale come Ae j α A

Costante B: Rapporto tra la tensione di entrata e la corrente di uscita della linea in corto circuito.

B=Ep

I a |E a=0

Essa ha le dimensioni di un'impedenza, e la indicheremo nella forma binomia come b1+ jb2 (b1≈rL=R ; b2≈ xL=X) oppure nella forma esponenziale come Be j β B (B≈Z impedenza longitudinale totale della linea, come sarà più chiaro in seguito)

Costante C: Rapporto tra la corrente di entrata e la tensione di uscita della linea funzionante a vuoto.

C=I pEa

|Ia=0

Essa ha le dimensioni di un'ammettenza, e la indicheremo nella forma binomia come c1+ j c2 (c1, molto piccolo, è di solito negativo quando la linea è molto lunga ; c2≈B suscettanza dell'ammettenza Y ) oppure nella forma esponenziale come C e j γC (C≈Y ammettenza trasversale totale della linea, come sarà più chiaro in seguito)

Delle costanti ausiliarie si può dare uno sviluppo in serie che deriva da quello delle funzioni iperboliche. Si definiscono:

Impedenza longitudinale totale della linea Z=z L [Ωm−1 ] Ammettenza trasversale totale della linea Y= y L [S m−1 ]

Dalla (5), dopo aver sviluppato e raccolto, si ottiene:

{ A=D=cosh γ L=1+ ZY2 !

+Z2Y 2

4 !+⋯

B=Z0 sinh γ L=Z (1+ Z Y3 !

+ Z2Y 2

5!+⋯)

C= 1Z0sinh γ L=Y (1+ Z Y

3 !+ Z2Y 2

5 !+⋯)

Il numero dei termini dello sviluppo in serie da conservare dipenderà dalla approssimazione che si vorrà raggiungere in relazione all'importanza della linea (tensione nominale, potenza attiva trasportata) e dal peso che i termini contenenti il fattore ZnY n (n=1,2,…) hanno rispetto all'unità (risulta ora più comprensibile che B≈Z e C≈Y ). Il fattore ZY dipende direttamente dal quadrato della lunghezza L della linea (ZY=z y L2; per linee aeree senza perdite si ha z y=−ω2lc ≈−1,1∙10−12m−2 a 50 Hz). Infatti, i parametri Z e Y sono più o meno grandi a seconda della lunghezza L della linea. Inoltre, dire che una linea è lunga significa implicitamente affermare che la tensione è elevata; tali sviluppi in serie andranno pertanto troncati a seconda della lunghezza della linea o del livello di tensione.

DOPPI BIPOLI A “ π” E A “T”

Un doppio bipolo passivo reciproco è sempre rappresentabile mediante tre impedenze o ammettenze collegate a triangolo (doppio bipolo a “π”) oppure a stella (doppio bipolo a “T”). Nella tabella seguente sono rappresentati questi due tipi di doppi bipoli.

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Nelle colonne 1 e 2 appaiono rispettivamente le espressioni delle costanti ausiliarie A, B, C, D in funzione delle impedenze degli elementi circuitali costituenti il doppio bipolo e quelle che dette impedenze assumono in funzione delle costanti ausiliarie per il caso più generale di doppio bipolo asimmetrico (come è, ad esempio, una linea con trasformatore).Nelle colonne 3 e 4 sono riportate le espressioni delle costanti ausiliarie e delle impedenze degli elementi circuitali dei doppi bipoli nel caso che questi siano passivi, reciproci e simmetrici (è il caso, per esempio, delle linee). In tali condizioni, evidentemente, due dei tre elementi circuitali risultano uguali.

Per comodità, vengono riportate qui di seguito le formule relative al circuito equivalente a “π” di una linea lunga:

Y L=Ytanh ( γ L/2 )

γ L /2

ZM=Zsinh γ Lγ L

Tali formule si ottengono facilmente dal confronto delle espressioni di Za e Zb riportate nella colonna 4 della

tabella con le espressioni delle costanti A, B, C date dalla (6); per il doppio bipolo a “π” vale Y L=1ZL

= 2Za

= 2ZB

.

Si osservi infine che i parametri del circuito equivalente a “π” non sono, in generale, uguali alla impedenza ed alla ammettenza totale delle linea.Per le linee di media lunghezza (in tabella la colonna linee “medie”), cioè per 50÷80 km < L < 200 km, si ha che:

tanh (γ L/2 )≈γ L/2 ;sinh γ L≈ γ L

Da cui si ottiene:

Y L=Y a=Y b=Y

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ZM=Z

N.B.: L’attributo simmetrico si riferisce al circuito (ovvero Za=Zb) e non alla matrice delle costanti ausiliarie.

DIAGRAMMA VETTORIALE DELLA LINEA DI BAUM E PERRYNE Domanda d’esame

Il diagramma riportato in figura, detto di Baum e Perryne, viene costruito supponendo note le grandezze all'arrivo, ovvero la tensione Ea (il cui vettore è posto solitamente in orizzontale) e la corrente I a (in ritardo dell'angolo φa rispetto Ea). Si procede rappresentando la prima equazione della (5), ovvero:

Ep=A Ea+B I a

Il termine A Ea è rappresentato da un vettore ruotato rispetto Ea dell’angolo α a in anticipo (dalle caratteristiche della linea in figura α a=1 °50 ') ottenuto moltiplicando la tensione Ea per la variabile A=cosh γ L≅ 1 2. Posizionato l’asse della potenza attiva p in anticipo rispetto Ea dell’angolo βb (dalle caratteristiche della linea in figura βb=78 ° 50' ), il termine B I a è rappresentato da un vettore con origine sul vertice del vettore A Ea e ruotato rispetto l’asse p dell’angolo φa in ritardo (dove φa rappresenta lo sfasamento tra la corrente I a e la tensione Ea); il suo modulo è ottenuto moltiplicando la corrente I a per la variabile B=Z0sinh γ L≅ Z .Il vettore con origine nell’origine degli assi e vertice nel vertice del vettore B I a rappresenta la Ep.

L'utilità del diagramma di Baum e Perryne, oltre a dare una chiara visione dello stato elettrico della linea, è anche quella di consentire una semplice individuazione delle potenze di arrivo. Infatti, nel riferimento cartesiano ortogonale p,q con origine nel punto 0’, le proiezioni del punto R (Pa e Qa) rappresentano rispettivamente la

2 Il valore di A è tale perché viene considerata la linea a vuoto (I a=0). In queste condizioni, ciò che si verifica è che la tensione di arrivo è maggiore della tensione di partenza (Effetto Ferranti).

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potenza attiva e la potenza reattiva richiesta dal carico (l’asse della potenza reattiva q è chiaramente in quadratura rispetto l’asse p).

Volendo rifasare il sistema, ciò che occorre fare è portare il punto R nel punto R’ (Qa=0). Così facendo si fornisce al carico la potenza reattiva necessaria a rifasarlo pur mantenendo costante la potenza attiva Pa da lui richiesta.Per capire quando vale la caduta di tensione in questa nuova condizione di funzionamento, è sufficiente tracciare la circonferenza con centro in 0 e raggio 0R’; ciò che si ottiene è Ep≅ 1,06 Ea (ovvero con R≡R’ la caduta di tensione è pari a circa un 6%). Per annullare questa caduta di tensione occorrerebbe portare il punto R≡R’ in R’’ (Ep=Ea), ovvero assorbire una potenza reattiva maggiore.Questa ulteriore potenza reattiva (di tipo capacitivo) è dunque necessaria alla linea affinché sia in grado di trasmettere al carico tutta la potenza attiva da lui richiesta senza cadute di tensione.

POTENZE ATTIVE E REATTIVE ALLE ESTREMITA’ DELLE LINEE Domanda d’esame

L’espressione della potenza complessa alla sezione di arrivo in valori assoluti è:

Sa=Pa+ j Qa=3 Ea I a

Sapendo che:

Ep=A Ea+B I a❑⇒ I a=Ep−A Ea

B

Sostituendo:

Sa=3Ea

E p−A Ea

B

Supponendo Ea reale e detto ϑ (angolo elettrico della linea) la differenza di fase di Ep rispetto Ea si ha:

Sa=Pa+ j Qa=3Ea Ep

B−3

Ea Ea AB

=3EaE p

Be− jϑ

e− j βb

−3Ea2 AB

e− j α a

e− j β b

=3EaEp

Be j( βb−ϑ )−3 Ea

2 ABe j (β b−αa )=¿

¿3EaE p

Bcos (βb−ϑ )−3 Ea

2 ABcos (βb−αa )+ j [3 EaE p

Bsin (βb−ϑ )−3 Ea

2 ABsin (βb−αa ) ]

Da cui si ricava che:

Pa=3Ea Ep

Bcos (βb−ϑ )−3 Ea

2 ABcos (βb−α a )

Qa=3Ea Ep

Bsin (βb−ϑ )−3 Ea

2 ABsin (βb−αa )

In modo analogo si ricavano le espressioni delle potenze attive e reattive nella sezione di partenza:

Pp=−3Ea Ep

Bcos (βb+ϑ )+3E p

2 ABcos (βb−α a )

Q p=−3Ea Ep

Bsin (βb+ϑ )+3 Ep

2 ABsin (βb−αa )

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Considerando una linea priva di perdite e di capacità trasversali (α a=0 ; A=1 ; βb=π2;B=X ), le espressioni

viste assumono la seguente forma:

Pa=P p=3EaE p

Xsin ϑ

Qa=3Ea

X(Ep cosϑ−Ea )

Q p=3Ep

X( Ep−Eacos ϑ )

Si può quindi concludere che:

Dal momento che P varia con il seno (ϑ è molto piccolo, pertanto sin ϑ ≅ ϑ ), ogni variazione di ϑ si ripercuoterà proporzionalmente su P (se ϑ raddoppia, P raddoppia). È pertanto possibile modificare la potenza attiva variando l’angolo tra la tensione di partenza e quella di arrivo senza modificarne le tensioni.

Per quanto riguarda la Q invece, variando con il coseno, ogni variazione di ϑ si ripercuoterà su di essa in maniera del tutto trascurabile (essendo ϑ molto piccolo, cosϑ ≅ 1). Per modificarla è dunque necessario variare i moduli delle tensioni, le quali però possiedono dei limiti legati alla tenuta dell’isolamento.Appare chiaro dunque che il problema della regolazione della tensione è legato alla disponibilità di fonti di potenza reattiva. Da notare infine che Qa≠Q p in quanto tra l’inizio e la fine della linea è presente la X.

Si consideri il parallelo di un generatore con una linea (if rappresenta la corrente di eccitazione del generatore):

Variazione della potenza meccanica di turbina (corrente di eccitazione costante)

La corrente del generatore I a, trascurando le resistenza, è data dall’espressione riportata in figura (Ea rappresenta la tensione di eccitazione, V ∞ la tensione di rete e X s la reattanza della macchina sincrona).A seguito di una variazione della potenza di turbina (ad esempio un incremento), ciò che si verifica è un’accelerazione del rotore della macchina sincrona (la corrente di eccitazione if è mantenuta costante) con conseguente rotazione del vettore Ea sul piano di Steinmetz.

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A seguito di questa rotazione aumenterà l’angolo δm (precedentemente chiamato ϑ ) e la corrente I a risulterà sempre perpendicolare al vettore Ea−V ∞.Appare chiaro dunque che un incremento di potenza meccanica a corrente di eccitazione costante dà luogo ad un semplice sfasamento tra le tensioni, quindi ad una variazione della potenza attiva.

Variazione della corrente di eccitazione (potenza meccanica costante)

A potenza meccanica costante, una variazione della corrente di eccitazione if comporta una variazione della fase di Ea ma soprattutto una variazione del suo modulo (nella figura sono riportati alcuni casi indicati dal diverso apice). Infatti, affinché venga rispettata la condizione di potenza meccanica costate, occorre che Ea si mantenga sempre sulla retta tratteggiata.Appare chiaro dunque che una variazione della corrente di eccitazione a potenza meccanica costante dà luogo ad una variazione del modulo di Ea (anche della fase ma è trascurabile), quindi ad una variazione della potenza reattiva.

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1 - Richiami Sulla Teoria Delle Linee