1

I. Signaux et Systèmes 1 - Signaux Temps Continu et Temps Discret

2 - Transformation de la variable indépendante

3 - Signaux exponentiel et sinusoïdaux

4 - Impulsion unité et fonction échelon unité

5 - Systèmes Temps Continu et Temps Discret

6 - Propriétés de bases des systèmes

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I.1. Signaux Temps Continu et Temps Discret A) Exemples de signaux et représentation mathématique

signal = toute entité qui véhicule une information

Exemples: onde acoustique Musique,

parole, ...

onde lumineuse source lumineuse (étoile, gaz, …) ...

courant électrique délivré par un microphone

courant électrique délivré par un spectromètre

suite de nombres Mesures physiques

Photographie ...

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3

Signaux Temps Continu:

Signal = fonction d ’une ou plusieurs variables indépendantes:

ex: (Voix) Pression Acoustique = f(temps)

(Image) Luminosité= f(x,y:variables spatiales)

par la suite: 1 seule variable indépendante = temps

Représentation mathématique:

La variable indépendante est continue t

ex: la voix en fonction du temps,

la pression atmosphérique en fonction de l ’altitude

Signaux Temps Discret:

Définis seulement pour des temps discrets

La variable indépendante est un ensemble discret de valeurs n

ex: indice Dow-Jones du marché boursier

études démographiques ...

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Remarques:

Exemples: a) d ’un signal continu x(t) b) d ’un signal discret x*n+:

x[n] n ’est défini que pour des valeurs entières de n.

x[n] : signal Temps Discret ou séquence Temps Discret.

2 types de signaux discrets:

a) Signaux représentant un phénomène dont la variable indépendante est discrète

b) Signaux provenant d ’une opération d ’échantillonnage:

x[n] représente les échantillons successifs d ’un phénomène pour lequel la

variable indépendante est continue (niveau quantifié ou non...)

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3 Classes de signaux:

B) Energie et puissance d ’un signal

Définition: par analogie avec les signaux électriques

Energie

dttxEx

2

Puissance moyenne

T

TT

x dttxT

P2

2

1lim

Temps Continu Temps Discret

2

nxEx

N

NnN

x nxN

P2

12

1lim

- Signaux à Energie finie - Signaux à Puissance moyenne finie - Signaux à Energie et Puissance moyenne infinies

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6

- Signaux à Energie finie

- Signaux à Energie et Puissance Moyenne infinies

t 0 1

1

- Signaux à Puissance moyenne finie

0

... ...

4

n

t

1

1

0 xx PE

xx EP

xx EP

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I.2. Transformation de la variable indépendante

A) Exemples de transformations

Décalage temporel

t 0 < 0 : AVANCE n 0 > 0 : RETARD

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Changement d ’échelle

Inversion temporelle

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B) Signaux périodiques

)()( Ttxtx

xx EP

Remarques:

Nnxnx

T0 = période fondamentale = plus petite valeur possible de T

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C) Signaux Pairs et Impairs

Pairs Impairs

nxnx

txtx

)()(

nxnx

txtx

)()(

Propriété:

Tout signal se décompose en la somme: - d ’un signal pair xpair(t) et - d ’un signal impair ximpair(t)

txtxtx

txtxtx

impair

pair

2

1

2

1

)()()( txtxtx impairpair

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I.3. Signaux exponentiels et sinusoïdaux

A) En Temps Continu

Signaux à exponentielle réelle:

Signaux à exponentielle complexe périodiques et signaux sinusoïdaux:

réelsaetCavecatCetx )(

tjetx 0)(

TjtjTtjtjeeee 0000 )(

10 Tj

e

0

00

22

Tf

tjjtjj

tj

e

eeA

eeA

tA

eAtAtx

00

0

22cos

cos

0

)(

0

xE

phénomènes physiques

0a 0a

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Remarques :

- Signaux à exponentielle complexe périodiques appelés aussi signaux harmoniques

- Ensemble d ’exponentielles harmoniquement reliées =

Ensemble d ’exponentielles périodiques ayant en commun la période T0 :

,...2,1,0,0 kettjk

k

Signaux à exponentielle réelle et complexe :

jat eCetx CCetjraavec 0

)(

0r 0r

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B) En Temps Discret

Signaux à exponentielle réelle: réelsetCavecnCnx

1 10

01 1

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Signaux à exponentielle complexe et sinusoïdaux: )cos( 00 nAnxenx nj

Propriétés liées au Temps Discret:

njnjnjnjeeee 000 22

njnjnjeee

42 000

0 < 0 < 2 0 < f0 < 1

1)

même signal pour des pulsations différentes!...

nje 0

Le taux d ’oscillations de n ’augmente pas en fonction de 0 !…

Basses fréquences k20

Hautes fréquences 120 k

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15

Sinusoïdes Temps Discret à différentes fréquences www.almohandiss.com

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16

2) Périodicité: Pas toujours!...

10

00 )(

Nj

njTnj

eSi

ee

N

m

2

0

Alors

m

0 Fréquence fondamentale

Signal périodique si 0 / 2 est un entier ou une fraction rationnelle

6/cos nnx Non périodique!

périodique périodique non périodique

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Signaux à exponentielle réelle et complexe : jjn eeCnx CCetavec 0

3) Exponentielles reliées harmoniquement

,...1,0

2

kn

Njk

k en

neeen k

njn

Njkn

NNkj

Nk

2

22)(

seulement N exponentielles distinctes...

1 1

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I.4. Impulsion unité et fonction échelon unité

A) En Temps Discret

0,1

0,0

n

nn

Impulsion Unité:

0

1

n

Echelon Unité:

0,1

0,0

n

nnu

n

1

0 n

...

nu

Relations:

1 nunun

0k

knnu

nxnnx 0

000 nnnxnnnx

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B) En Temps Continu

Impulsion Unité ou Dirac:

Echelon Unité:

0,1

0,0

t

ttu

u(t)

t

dt

tdut On veut: Problème!...

tt

0

lim

Signal Pulse

Impulsion de Dirac

t

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Propriétés du Dirac:

Modélisation mathématique issue de la théorie des Distributions (Laurent Schwarzt)...

- (t) n ’a pas de durée, sa hauteur est infinie et son aire est égale à l ’unité

1

dtt

- (t) peut être pondéré par un scalaire

- représentation de (t): (t)

t

1

k. (t) a une aire de k

fonction singulière

Besoin des physiciens: (t) modélise par exemple le courant i(t) d ’un filtre RC lors de la charge d ’un condensateur...

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txttx 0

0xdtttx

dttu

0

000 tttxtttx

00 txdttttx

dt

tdut

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22

I.5. Systèmes Temps Continu et Temps Discret

Système Temps Continu

x(t) y(t) Système Temps Discret

x[n] y[n]

x(t) y(t) x[n] y[n]

Exemples:

- Relation entre la tension aux bornes d ’un condensateur et la tension d ’entrée

- Relation entre la vitesse d ’un véhicule et la force appliquée

- Evolution d ’un compte bancaire

équations différentielles linéaires du 1er ordre: tbxtay

dt

tdy

nxnyny 101.1

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Interconnexions de systèmes

Idée: des systèmes complexes peuvent être construits en interconnectant des sous ensembles plus simples...

Interconnexion Série Interconnexion Parallèle

Interconnexion Rétro-actionnée

Systèm

e 1 Systèm

e 2 E S

Systèm

e 1

Système 2

+ E S

Systèm

e 1

Systèm

e 2

+ E S

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I.6. Propriétés de base des systèmes

Système sans mémoire:

La sortie y à l ’instant t ou n ne dépend que de l ’entrée x à ce même instant

Système inversible:

Des entrées distinctes conduisent à des sorties distinctes

Système

Système inverse

x[n] y[n]

w[n]=x[n]

Système causal:

La sortie à n ’importe quel instant ne dépend que des valeurs de l ’entrée aux instants présent et passés

n

nxny ][][ ]1[][][ nxnxny ][][ nxny

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Système stable:

A une entrée bornée: |x(t)| M t correspond une sortie bornée |y(t)| N t

Système temporellement invariant :

n

nxny ][][)1()()( txtxty

Système

x[n-n0] y[n-n0] Système

x(t-t0) y(t-t0)

Système linéaire: Propriété de superposition

)()(

)()(

22

11

tytx

tytx

Soit

nynx

nynx

22

11

Alors )(.)(.)(.)(. 2121 tybtyatxbtxa

][.][.][.][. 2121 nybnyanxbnxa

Un décalage temporel sur le signal d ’entrée entraîne le même décalage temporel sur le signal de sortie

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