1

Structure du système planétaire autour de PSR B1257+12

Laurent Nottale

CNRS

LUTh, Observatoire de Paris-Meudon

http://wwwusr.obspm.fr/~nottale/

WORKSHOP PULSARS THEORIES ET OBSERVATIONS

IAP,16 et 17 Janvier 2006

2

Rappel théorique

3

t

t

t

t

t

t

Mouvement: changement d’échelle de temps

4

Relativité générale:dérivée covariante

Relativité d’échelle:dérivée covariante

Equation des géodésiques: Equation des géodésiques:

Approximation newtonienne:

Relativité générale + d’échelle

Forme quantique

5

Trois représentations

Géodésique (U,V) Schrödinger généralisé (P,)

Euler + continuité ( P, V)

Nouvelle énergie “potentielle”:

6

Méthode

PotentielConditions aux limites

Symétries

Choix du système de coordonnées

Etats des quantités conservatives

Exemple: sphérique ––> E, L2, Lz

Kepler parabolique ––> E, Ly, Ay

demi-grand axe, période

excentricité

Communs aux descriptions

classique et « quasi-quantique »

7

n=3

Solutions: potentiel Képlerien

Polynômes de Laguerre généralisés

8

Simulation de géodésique

Potentiel képlerien GM/rEtat n = 3, l = m = n-1

9

Solutions: potentiel Képlerien

m V T M

10

Solutions: potentiel Képlerien

Energie:

Demi-grands axes, périodes (pic):

Pic de proba:

(3è loi Kepler)

Périhélies (e = 1):

Excentricités (vecteur de Lenz, parabolique):

Moyenne: n2+n/2

11

Prédiction théorique antérieure aux découvertes (exoplanètes, ceinture de Kuiper):

« Nous pouvons espérer que d’autres systèmes planétaires [que le nôtre] soient découverts dans les années à venir, et que des informations nouvelles soient obtenues dans le système solaire très lointain (ceinture de Kuiper, nuage cométaire de Oort,…). A cet égard notre théorie est réfutable, car elle fait des prédictions précises concernant de telles observations dans un futur proche: on s’attend à ce que des [grandeurs] observables telles que la distribution des excentricités, de la masse, du moment angulaire, des positions préférentielles des planètes et astéroïdes, […] soient dans ce cadre de travail des structures universelles partagées par tous les systèmes planétaires. » (trad.*)L.N., (1994) in Chaos and Diffusion in Hamiltonian Systems, (Chamonix, Février 1994), D. Benest and C. Froeschlé Eds., Frontières, p. 173

*"We can expect other [planetary] systems to be discovered in the forthcoming years, and new informations to be obtained about the very distant solar system (Kuiper's belt, Oort cometary cloud...). In this regard our theory is a falsifiable one, since it makes definite predictions about such observations of the near future: observables such as the distribution of eccentricities, mass, angular momentum, the preferred positions of planets and asteroids, or possibly the ratio of distance of the largest gazeous planet and the largest telluric one, are expected in our framework to be universal structures shared by any planetary system. »

L.N., (1993), Fractal Space Time and Microphysics, World Scientific

12

Comparaison aux données d’observation:

Système solaire et

exoplanètes autour d’étoiles de type solaire

13

Système solaire :systèmes interne et externe

SI

J

S

U

N

P

m VT

M HunC

HHil

1

4

9

16

25

36

rank n101 2 3 4 5 6 7 8 9

√a (obs.)

7 49

1

2

3

4

5

6

SE

N

Ref: Nottale 1993, Fractal Space-Time and Microphysics (World Scientific)

Predictions nouvelles

55 UA

0.043 UA/Msol 0.17 UA/Msol

14

Système solaire intramercuriel:anneaux transitoires de poussières IR

Observations: Peterson 67, MacQueen 68, Koutchmy 72, Lena et al. 74, Mizutani 84

216 km/s, n=2

144 km/s, 0.043 UA, n=3

51 Peg: exoplanètes

Base:

Ref: Da Rocha Nottale 03

15

Exoplanètes 2005

Demi-grands axes:

w0=144 km/s126 planètes

telles que n < 0.25

k = e n

Excentricités:

122 planètestelles quek < 0.50

(P = 10-4)

(P ≈ 5 10-7)

Nom

bre

Nom

bre

Mercure Venus Terre Mars Ceres

16

Exoplanètes 2005 Demi-grands axes et excentricités. Analyse combinée.

delta n

delt

a k

delta n

Histogramme:

delta k

w0=144 km/s113 planètes telles que n < 0.25 et k < 0.50

(P ≈ 10-6)

17

Exoplanètes à 0.02 UA/Msol

Validation prédiction théorique d’une nouvelle sous-structure à base w0 = 432 km/s

(vitesse keplerienne au rayon des étoiles de type solaire)Ref: Nottale, Schumacher et Lefèvre, 2000, A&A 361, 379

n432 = 2 a/M = 0.02 UA/Msol

Candidats OGLE OGLE-TR-132: exoplanète confirmée (Bouchy et al)

HD 330075: première détection HARPS (Mayor et al)

OGLE-TR-56

18

Planètes autour du pulsar PSR B1257+12

19

PSR B1257+12

*Découvert par Wolszczan (1990): Prot=6.218 531 938 028 3(2) ms

*Premières planètes extrasolaires (Wolszczan et Frail 1992) (B: 3.4 MT, P=66.5 j; C: 2.8 MT, P=98.2 j)

*Confirmation: perturbation gravitationnelle mutuelle des orbites (Wolszczan 1994)

*Troisième planète (Wolszczan 1994)(A: 0.015 MT, P=25.3 j)

*Confirmation 3è planète (Wolszczan et al 2000)

20

PSR B1257+12 planets: orbital elements

Orbital Elements A B C

Projected semimajor

axis0.0000033(2) 0.0013106(2) 0.0014134(2)

Eccentricity 0 0.0183(3) 0.0264(3)

Orbital Period (d)

25.3144(100) 66.5352(3) 98.2228(5)

Wolszczan et al. 2000 ApJ 528, 907

21

Analyse.1.(i) Since, from Kepler's third law, a1/2 = M1/6 T1/3 ≈ a0

1/2 (n + 1/4) (in Solar System units,

resp. AU,  Msol and yrs) , we expect the T1/3 differences between the three planets to be

quantized in terms of integers (up to very small differences). This first prediction is very well verified, since

(TB1/3 – TA

1/3)/(TC1/3 – TB

1/3) = 1.984, (12)

that differs from n = 2 by only 0.016. This implies that the three planets must rank as nA =

nB – 2, nB, nC = nB + 1. We have assumed for simplicity nC – nB = 1, but any other choice

would be equivalent (it would multiply k by an integer).

(ii) We thus obtain the two following equations:

TA2/3 / TC

2/3 = [ nB2 – (7/2) nB + 3 ] / [ nB

2 + (5/2) nB + (3/2) ] (13A)

TB2/3 / TC

2/3 = [ nB2 + (1/2) nB ] / [ nB

2 + (5/2) nB + (3/2) ] (13B)

Considering period ratios allows us to eliminate the unknown pulsar mass. We find, respectively from Eqs. 13A and 13B:

nB(A,C) = 7.016 ; nB(B,C) = 6.971. (14)

The quantization is once again confirmed with a remarkable precision, yielding nA = 5, nB = 7 and nC = 8 (see Figure).

22

Comparaison prédictions-observations

Nottale L., 1996, A&A Lett. 315, L9 1998, CSF, 9, 1043 (http://wwwusr.obspm.fr/~nottale/arPSR.pdf)

0 0.60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

5

7

8

A

B

C

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.6

a (predicted, AU)

.190 .192.190

.192

.191

.364 .366

.364

.366

.365

.474

.472

.473

.472.474

0.7

x 50

6

9

4

3

21

.

23

Analyse.2.

(iii) We can go even farther: The precision reached by this system is so good that we can expect to be able to make the difference between the 'mean' and 'peak' formulae (this means to test for second order terms in the theory). We find:

(TA1/3/TC

1/3) = 0.63666 while √(52 + 5/2) / √(82 + 8/2) = 0.63593 and (5/8) = 0.62

(TB1/3/TC

1/3) =0.87827 while √(72 + 7/2) / √(82 + 8/2) = 0.87866 and (7/8) = 0.875.

Even though the agreement with the 'peak' formula could already be considered as excellent (relative differences of resp. 0.018 and 0.004), the agreement with our more precise expectation, the 'mean' formula, is more than ten times better (resp. 0.0011 and –0.0004).

The pulsar mass is given by:

M = (w13/2πG) (Tn /(n2 + n/2)3/2) . (16)

Assuming a standard neutron star mass of 1.4 ± 0.1 Msol, we obtain a confirmation of the value of the structuration constant:

k = (w1/144) = 2.96 ± 0.07, (17)

within 0.04 of the quantized value k = 3. We can now compute the pulsar mass. From w0 =

144.7 ± 0.6  km/s, and taking k = 3 strictly, we obtain:

MPSR = 1.48 ± 0.02 Msol .

24

Analyse.3.

Estimate of the probability to get such an observed configuration by chance: *The observed ratios (TA/TC)1/3 and (TB/TC)1/3 fall within ±7.3 10–4 and ±3.9 10–4 of two of the

predicted quantized ratios.

*The number of possible configurations is (Cnm3) = nm (nm – 1)(nm – 2) / 6, where nm is the

maximal reasonable value for the quantum number n.

*Taking nm = 10 yields a probability P =( C103) x 1.46 10–3 x 7.8 10–4 = 1.4 10–4.

*Also accounting for the fact that k falls within 0.1 of an integer using standard neutron star masses, we find a highly significant total probability

P = 3 x 10–5.

Even with the too high and not adopted) choice nm = 20, one would still get the significant

result

P = 3 x 10–4.

25

Systèmes extra-solaires:PSR B1257+12

25 2624 66 67 98 9997

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000 110

Period (days)

days days days

1 2 3 4 5 6 7 8

A B C

Refs: Nottale 96, 98, Da Rocha & Nottale 03

Données:Wolszczan 94, 00

Mpsr =1.4 ± 0.1 Msol --> w = (2.96 ± 0.07) x 144 km/s, i.e. 432 km/s = vitesse keplerienne en Rsol

Proba < 10-5 d’obtenir un tel accord par hasard

Prédiction d’autres orbites: P1=0.322 j, P2=1.958 j, P3=5.96 j

Résidus données Wolszczan 00: P = 2.2 j (2.7 )

26

Prédiction des périodes les plus probables d’autres planètes éventuelles autour de PSR B1257+12

Rank n (Pn/P8)pred Pn(d)pred Pn(d)obs Ppred1/3 = a1/2 Pobs

1/3 = a1/2

1 0.0033 0.322 0.1485

2 0.0199 1.958 2.2? 0.2712 0.28?

3 0.0607 5.960 0.3930

4 0.1362 13.38 0.5145

5 0.2572 25.26 25.34 0.6359 0.6366

6 0.4343 42.66 0.7573

7 0.6784 66.63 66.54 0.8787 0.8783

8 (1) (98.22) 98.22 1 1

9 1.4099 138.48 1.1213

10 1.9188 188.46 1.2426

(moyenne)

27

Recherche d’autres planètes éventuelles

Wolszczan et al, preprint (2000)Observations 430 MHz 1990-1994 (résidus après fit de B et C)

n=6 n=5 n=4

28

Recherche d’une quatrième planète proche

Wolszczan et al 2000: observations journalières pendant un mois (Arecibo, 1999) 430 MHz (blanc), 1130 MHz (noir)Résidus avant et après fit de planète A.

29

Analyse des résidus

PSR 1257+12, donnees Wolszczan 1999Analyse residus post correction de A,B,CMeilleur fit:Periode: 2.22 joursAmplitude 1.1 microsecondeSignification statistique: 2.7 sigmaPeriode predite: n=2: 1.96 jours

Days

0 1 2 3 4 5

-4

-2

0

2

4

Marginal: à confirmer par de nouvelles observations…