1 Symm

8/20/2019 1 Symm

1/142

http://www.mcs.csuhayward.edu/~malek/August2.htmlhttp://www.mcs.csuhayward.edu/~malek/August2.html

8/20/2019 1 Symm

2/142

8/20/2019 1 Symm

3/142

Simetria

8/20/2019 1 Symm

4/142

Simetria

Motivo: a parte fundamental de um design simétrico que,quando repetido, cria um padrão final

8/20/2019 1 Symm

5/142

Simetria


Operação: alguma ação que reproduz o motivo para criarum padrão

8/20/2019 1 Symm

6/142

Simetria


Operação: alguma ação que reproduz o motivo para criarum padrão

Elemento: uma operação localizada em um ponto particular no espaço

8/20/2019 1 Symm

7/142

Simetria 2-D

Elementos de simetria

1. Rotação

a. Eixo binário

= rotação 360o/2 para reproduzir omotivo em um

padrão simétrico

6

6

um padrão simétrico

8/20/2019 1 Symm

8/142


1. Rotação

a. Eixo binário

= rotação 360o/2 para reproduzir omotivo em um padrão simétrico

= símbolo para um eixo de

simetria (rotação) binário

Motivo

Elemento

Operação

6

6

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

9/142

6

6

primeiro

passo da

operação

segundo

passo da

operação

Simetria 2-D


1. Rotação

a. Eixo binário

= rotação 360o/2

para reproduzir omotivo em um

padrão simétrico

= símbolo para um eixo de

simetria (rotação) binário

8/20/2019 1 Symm

10/142

Elementos de Simetria

1. Rotação

a. Eixo binário

Alguns objetos

têm um simetria

intrínsica

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

11/142


1. Rotação

a. Eixo binário

Alguns objetos

têm um simetria

intrínsica

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

12/142


1. Rotação

a. Eixo binário

Alguns objetos

têm um simetria

intrínsica

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

13/142


1. Rotação

a. Eixo binário

Alguns objetos

têm um simetria

intrínsica

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

14/142


1. Rotação

a. Eixo binário

Alguns objetos

têm um simetria

intrínsica

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

15/142


1. Rotação

a. Eixo binário

Alguns objetos

têm um simetria

intrínsica

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

16/142

8/20/2019 1 Symm

17/142


1. Rotação

a. Eixo binário

Alguns objetos tem

uma simetria

intrínsica

rotação de 180o o torna coincidente

Um segunda rotação de 180o traz

o objeto de volta à sua posição

original

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

18/142


1. Rotação

b. Eixo ternário

= rotação 360o/3

para reproduzir o

motivo em um

padrão simétrico 6

6

6

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

19/142

6

6

6

passo 1

passo 2

passo 3


1. Rotação

b. Eixo ternário

= rotação 360o/3

para reproduzir o

motivo em um

padrão simétrico

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

20/142


1. Rotação

6

6

6

6

6

66

6

6

6

6

6

6

6

6

6

1-fold 2-fold 3-fold 4-fold 6-fold

!" #Z

Eixos de rotação 5 e > 6 não funcionam em combinação com translações nos cristais.

Esta é a razão pela qual foram excluídos aqui.

aidentity

Objectos com simetria:

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

21/142

Eixos 4, 2, e 3 em um cubo

Click on image to run animation

8/20/2019 1 Symm

22/142


2. Inversão (i)

inversão através de umcentro de simetria

reproduz um motivo em

um padrão simétrico

= símbolo para um centro

de inversão

inversão é identica a um eixo

2 em 2-D, mas é única em 3-

D (tente com suas mãos)

6

6

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

23/142

Elementos de simetria3. Reflexão (m)

Reflexão através de um

‘plano de espelho’reproduz o motivo

= símbolo para um plano de espelho (ou

reflexão)

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

24/142

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

25/142

Simetria 2-D

Agora temos 6 únicas operações de simetria 2-D:

8/20/2019 1 Symm

26/142

Simetria 2-D


1 2 3 4 6 m

8/20/2019 1 Symm

27/142

Simetria 2-D


1 2 3 4 6 m

Rotações são operações congruentes

! reproduções são identicas

8/20/2019 1 Symm

28/142

Simetria 2-D


1 2 3 4 6 m

Rotações são operações congruentes

! reproduções são identicas

Inversão e reflexão são operações enantiomórficas

! reproduções são do tipo “esquerdo-direito”

8/20/2019 1 Symm

29/142

8/20/2019 1 Symm

30/142

Para clareza e facilidade de ilustração, continuamos somente comexemplos 2-D

Simetria 2-D

Combinações de elementos de simetria são também possíveis

Para criar uma analise completa da simetria em torno de um ponto

no espaço, devemos tentar todas as combinações possíveis doselementos de simetria

8/20/2019 1 Symm

31/142

Combinando eixo de rotação binário (2) com espelhos(planos de simetria)

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

32/142

Combinando um eixo de rotação 2 com um espelho

Passo 1: refletir

(pode ser qualquer um primeiro)

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

33/142

Simetria 2-DCombinando um eixo de rotação 2 com um espelho

Passo 2: rotacionar

8/20/2019 1 Symm

34/142

Combinando eixo de rotação 2 com um plano de simetria

Passo 1: refletir

Passo 2: rotacionar (tudo)

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

35/142

Combinando eixo de rotação 2 com um plano de simetria

Passo 1: refletir


é tudo??

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

36/142

Combinando um eixo de simetria 2 com um plano de

simetria

Passo 1: refletir


Não! Um segundo espelho énecessário

Simetria 2-D

Si t i 2 D

8/20/2019 1 Symm

37/142

Combinando um eixo de rotação 2 com um plano de

simetria

O resultado é o Grupo pontual 2mm

“2mm” indica 2 espelhos

Os espelhos são diferentes

(não equivalentes por simetria)

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

38/142

Agora combinando um eixo de rotação-4 com um espelho

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

39/142

Simetria 2-DAgora combinando um eixo de rotação- 4 com um espelho

Passo 1: refletir

8/20/2019 1 Symm

40/142

Simetria 2-DAgora combinando um eixo de rotação-4 com um espelho

Passo 1: refletir

Passo 2: rotacionar 1

Si t i 2 D

8/20/2019 1 Symm

41/142

Combinando um eixo de rotação-4 com um espelho

Passo 1: refletir


Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

42/142


Passo 1: refletir


Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

43/142


Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

44/142

8/20/2019 1 Symm

45/142

Combinando eixo de rotação-4 com plano de simetria

Sim, mais dois espelhos

Algum outro elemento?

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

46/142

8/20/2019 1 Symm

47/142


4mm

Nome do Grupo Pontual??


Algum outro?

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

48/142


4mm

Nome do Grupo Pontual??


Algum outro?

Simetria 2-D

Porque não 4mmmm?

8/20/2019 1 Symm

49/142

Eixo de rotação ternário (3) com um espelho cria o grupo pontual 3m

Porque não 3mmm?

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

50/142

Eixo-6 com um plano de simetria cria o grupo pontual 6mm

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

51/142

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

52/142

Qualquer outra combinação é:

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

53/142


Incompativel

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

54/142


Incompativel

(2 + 2 não pode ser feito em 2-D)

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

55/142

8/20/2019 1 Symm

56/142


Incompativel

(2 + 2 não pode ser feito em 2-D)Redundante com outros já tentados

m + m" 2mm porque cria um eixo-2

Simetria 2-D

8/20/2019 1 Symm

57/142


Incompativel

(2 + 2 não pode ser feito em 2-D)Redundante com outros já tentados

m + m" 2mm porque cria um eixo-2

Isso é o mesmo que 2 + m" 2mm

Simetria 2-D

Si i 2 D

8/20/2019 1 Symm

58/142

Os 6 elementos originais mais as 4 combinações criam 10 possibilidades de Grupos Pontuais 2-D:

1 2 3 4 6 m 2mm 3m 4mm 6mm

Qualquer padrão 2-D de objetos que circundam um pontodeve-se enquadrar em um desses grupos de simetria

Simetria 2-D

Si t i 3 D

8/20/2019 1 Symm

59/142

Simetria 3-D

Novos elementos de simetria 3-D

4. Rotoinversão

a. Rotoinversão-1 ( 1 )

8/20/2019 1 Symm

60/142

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

61/142

Simetria 3 D

4. Rotoinversão

a. Rotoinversion ( 1 )

Passo 1: rotacionar 360/1

(identidade)

Passo 2: inverter

Isso é o mesmo que i , portanto

não é uma operação nova

Novos elementos de simetria 3-D

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

62/142

Simetria 3-D Novos elementos desimetria

4. Rotoinversão

b. Rotoinversão-2 ( 2 )

Passo 1: rotacionar 360/2

Note: este é um passo

temporário, o elemento

intermediário do motivo

não existe no padrão final

8/20/2019 1 Symm

63/142

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

64/142

Novos elementos de simetria

4. Rotoinversão

b. Eixo-2 de rotoinversão ( 2 )

O resultado:

Simetria 3-D

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

65/142


4. Rotoinversão

b. Eixo-2 rotoinversão ( 2 )

Isto é o mesmo que m, portanto

não é uma nova operação

Simetria 3-D

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

66/142


4. Rotoinversão

c. Eixo-3 de rotoinversão ( 3 )

Simetria 3-D

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

67/142

Novos elementos desimetria

4. Rotoinversão


Passo 1: rotacionar 360o/3

Novamente, este é um

passo temporário, oelemento do motivo

intermediário não existe

no padrão final pattern

1

Simetria 3 D

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

68/142


4. Rotoinversão


Passo 2: inverter através

do centro

Simetria 3 D

8/20/2019 1 Symm

69/142

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

70/142


4. Rotoinversão


Rotacionar outro 360/3

Simetria 3 D

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

71/142


4. Rotoinversão


Inverter através do centro

Simetria 3 D

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

72/142


4. Rotoinversão


Completa o segundo passo

para criar a face 3

1

2

3

Simetria 3 D

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

73/142


4. Rotoinversão


O terceiro passo cria a

face 4(3" (1)" 4)

1

2

3

4

Simetria 3 D

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

74/142


4. Rotoinversão


Quarto passo cria a face 5(4" (2)" 5)

1

2

5

Simetria 3 D

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

75/142


4. Rotoinversão


O quinto passo cria a face 6

(5" (3)" 6)

Sexto passo retorna a face 1

1

6

5

Simetria 3 D

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

76/142


4. Rotoinversão


Este é único1

6

5

2

3

4

Simetria 3 D

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

77/142


4. Rotoinversão

d. Eixo-4 de rotoinversão ( 4 )

Simetria 3 D

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

78/142


4. Rotoinversão


S et a 3

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

79/142


4. Rotoinversão


1: Rotaciona 360/4

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

80/142


4. Rotoinversão


1: Rotaciona 360/4

2: Inverte

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

81/142


4. Rotoinversão


1: Rotaciona 360/4

2: Inverte

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

82/142


4. Rotoinversão


3: Rotaciona 360/4

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

83/142


4. Rotoinversão


3: Rotaciona 360/4

4: Inverte

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

84/142


4. Rotoinversão


3: Rotaciona 360/4

4: Inverte

8/20/2019 1 Symm

85/142

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

86/142


4. Rotoinversão


5: Rotaciona 360/4

6: Inverte

Simetria 3 D

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

87/142


4. Rotoinversão


Também é uma operação única

Simetria 3 D

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

88/142


4. Rotoinversão


Uma representação mais

fundamental do padrão

Simetria 3 D

8/20/2019 1 Symm

89/142

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

90/142

1


4. Rotoinversão

e. Eixo-6 de rotoinversão ( 6 )

S et a 3

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

91/142

1


4. Rotoinversão


Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

92/142

1

2


4. Rotoinversão


Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

93/142

1

2


4. Rotoinversão


8/20/2019 1 Symm

94/142

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

95/142

1

3

2


4. Rotoinversão


Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

96/142

1

3

4

2


4. Rotoinversão


Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

97/142

1

2

3

4


4. Rotoinversão


Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

98/142

1

2

3

4

5


4. Rotoinversão


Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

99/142

1

2

3

4

5


4. Rotoinversão


8/20/2019 1 Symm

100/142

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

101/142


4. Rotoinversão


Note: isto é o mesmo que um eixo-3 de

rotação perpendicular ao plano do

espelho Top View

8/20/2019 1 Symm

102/142

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

103/142


1 2 3 4 6 i m 3 4 6

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

104/142


1 2 3 4 6 i m 3 4 6

Combinações desses elementos são também possíveis

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

105/142


1 2 3 4 6 i m 3 4 6

Combinações desses elementos são também possíveis

Uma análise completa da simetria em torno de um ponto no espaço

requer que tentamos todas as combinações possíveis desseselementos de simetria

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

106/142

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

107/142

Combinações de elementos de simetria 3-D

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

108/142


a. Eixo de rotação paralelo a um espelho

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

109/142


a. Eixo de rotação paralelo a um espelhoMesmo que 2-D

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

110/142



2 || m = 2mm

8/20/2019 1 Symm

111/142

8/20/2019 1 Symm

112/142

8/20/2019 1 Symm

113/142

8/20/2019 1 Symm

114/142

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

115/142



2 || m = 2mm

3 || m = 3m, também 4mm, 6mm

b. Eixo de rotação # ao espelho

2 # m = 2/m

3 # m = 3/m, também 4/m, 6/m

c. A maioria de outras rotações + m são impossíveis

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

116/142



2 || m = 2mm



2 # m = 2/m

3 # m = 3/m, também 4/m, 6/m

c. A maioria de outras rotações + m são impossíveisEixo-2 a um ângulo qualquer com uma espelho?

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

117/142



2 || m = 2mm



2 # m = 2/m

3 # m = 3/m, também 4/m, 6/m

c. A maioria de outras rotações + m são impossíveisEixo-2 a um ângulo qualquer com uma espelho?

Em alguns casos a 45o ou 30o são possíveis

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

118/142

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

119/142


Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

120/142


Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

121/142


d. Combinações de rotação

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

122/142



Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

123/142



2 + 2 a 90o " 222 (o terceiro 2 requerido a partir da

combinação)

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

124/142




combinação)

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

125/142




combinação)

4 + 2 a 90o " 422 ( “ “ “ )

8/20/2019 1 Symm

126/142

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

127/142




combinação)

4 + 2 a 90o " 422 ( “ “ “ )

6 + 2 a 90o " 622 ( “ “ “ )

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

128/142

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

129/142

Como em 2-D, o número de combinações possíveis élimitado somente pela incompatibilidade e redundância

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

130/142

Como em 2-D, o número de combinações possíveis élimitado somente pela incompatibilidade e redundância

8/20/2019 1 Symm

131/142

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

132/142

Fig. 5.18 of Klein (2002) Manual ofMineral Science, John Wiley and Sons

Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

133/142

Table 5.1 of Klein (2002) Manual of Mineral Science, John Wiley and Sons

Simetria 3-D

Os 32 Grupos Pontuais 3 D

8/20/2019 1 Symm

134/142

Os 32 Grupos Pontuais 3-D


Simetria 3-D


8/20/2019 1 Symm

135/142


Cada padrão 3-D deve se conformar a um deles.


Simetria 3-D


8/20/2019 1 Symm

136/142


Cada padrão 3-D deve se conformar a um deles.

Isto inclui cada cristal, e cada ponto dentro do cristal


Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

137/142


Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

138/142



Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

139/142


Reagrupados por Systemas Cristalinos


Simetria 3-D

8/20/2019 1 Symm

141/142

8/20/2019 1 Symm

142/142

Documents

1 Symm