Upload
rosalie-proust
View
123
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
1
TECHNIQUES QUANTITATIVES TECHNIQUES QUANTITATIVES APPLIQUEES A LA FINANCEAPPLIQUEES A LA FINANCE
44ee ANNEE spécialisation finance ANNEE spécialisation finance
Lyonel BAINAUDLyonel BAINAUD
2
Quelque sites de livres d’occasion
• http://www.abebooks.fr/
• http://www.bookfinder4u.com
• http://www.amazon.fr/
3
• I NOTIONS DE VARIABLES ALEATOIRES
– introduction
– A) Distributions ou lois de probabilité
– B) Fonction de répartition d’une variable aléatoire
– C) Les principaux indicateurs de variables aléatoires
– D) Couples de variables aléatoires
• II LES DISTRIBUTIONS OU LOIS DE PROBABILITE SPECIFIQUES
– A) Les lois de probabilité discrètes
– B) Les lois de probabilité continues
– C) Les lois dérivées de la loi normale (importantes en économétrie).
4
I NOTIONS DE VARIABLES ALEATOIRES
• Le résultat d’une expérience envisagée est un nombre réel, mais a priori inconnu, que l’on appelle : VARIABLE ALEATOIRE, notée X.
Exemple : lancer deux dés est une expérience aléatoire→ 36 événements possibles et équiprobables (1/36)Ω= {ω1;ω2;ω3;… ω36}={(1,1);(1,2);(1,3);…(6,6)}→ 11 résultats possiblesX(Ω)={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} avec
X(ω1)=X(1,1)=2X(ω2)=X(1,2)=3X(ω3)=X(1,3)=4
5
• Variable aléatoire discrète.
– Une variable est dite discrète finie si ses résultats possibles sont finis (limités, cf jeu de 2 dés)
– Une variable est dite discrète infinie si ses résultats possibles sont infinis dénombrables (illimités)
Introduction (suite)
6
• Variable aléatoire continue
– Une variable aléatoire est dite continue si l’ensemble de ses résultats possibles forment un intervalle de valeurs
– on n’a plus de nombres ponctuels et les résultats sont infiniment divisibles)
Introduction (suite)
7
A) Distributions (ou lois) de probabilité
• Définition:
– La distribution de probabilité d’une variable aléatoire décrit comment sont réparties les probabilités en fonction des valeurs de la variable aléatoire
– Les variables aléatoires discrètes et continues se différencient par le calcul des probabilités
8
A) Distributions de probabilité (suite 1)• Cas discret
– La distribution de probabilité est définie par une fonction de probabilité notée f(x)
– Donne la probabilité de chaque valeur que peut prendre la variable aléatoire
– f(x)=proba(X=x) on la note pi avec
– Exemple :
Valeur de X
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Proba(X=x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
1
10
n
ii
i
p
p
9
A) Distributions de probabilité (suite 2)• Cas continu
– La distribution de probabilité est définie par une fonction de densité de probabilité notée f(x) (équivalent en continu de la fonction de proba. dans le cas discret)
– Ne fournit pas directement les probabilités
– C’est l’aire sous le graphique de f(x) correspondant à un intervalle particulier qui donne la proba. pour qu’une VAC X prenne une valeur dans cet intervalle
– On la note :
• Représentation graphique :
0)()( dxxfbXaprobb
a
10
A) Distributions de probabilité (suite 3)
Proba(X=x)
0
0,03
0,06
0,08
0,11
0,14
0,17
0,14
0,11
0,08
0,06
0,03
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Proba(X=x)
Cas discret
11
A) Distributions de probabilité (suite 4)
f(x)
x
)()()()( aFbFdxxfbXaprobb
a
a b
Cas continu
12
13
B) Fonction de répartition d’une variable aléatoire
• Définition
La probabilité pour que X soit inférieure ou égale à une valeur x , notée F(x)=P(X≤x), est la fonction de répartition d’une variable aléatoire X.Elle est toujours définie sur l’intervalle [0;1]
• Cas d’une VA discrète
– Ecriture
• Cas d’une VA continue :
– Ecriture :
• Représentation graphique
xX
xXprobaxfxF )()()(
x
dttfxF )()(
14
B) Fonction de répartition d’une variable aléatoire (suite1)
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Valeur de X
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Proba(X=x)
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
P(X≤x) 1/36 3/36 6/36 10/36 15/36 21/36 26/36 30/36 33/36 34/36 1
Cas discret
15
B) Fonction de répartition d’une variable aléatoire (suite 2)
0,00
0,100,20
0,30
0,400,50
0,60
0,70
0,800,90
1,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Cas continu
16
C) Les principaux indicateurs des variables aléatoires (1)
• Les lois (ou distributions) de probabilité se caractérisent par 3 caractéristiques fondamentales :
– La tendance centrale (l’espérance mathématique)
– La dispersion(la variance et l’écart-type)
– La forme (l’asymétrie et l’aplatissement)
17
C) Les principaux indicateurs des variables aléatoires (2)
• L’espérance mathématique d’une VA X, appelée encore moyenne ou valeur moyenne de X , notée μ
– Cas discret
– Cas continu
– Exemple cas discret (dés) :
E(X)=2*1/36+3*2/36+4*3/36+5*4/36+6*5/36+7*6/36+8*5/36+9*4/36+10*3/36+11*2/36+12*1/36=7
dxxfxXE
pxXEn
iii
)()(
)(1
18
C) Les principaux indicateurs des variables aléatoires (3)
• La variance d’une VA X est l’espérance mathématique du carré de la VA centrée (associée à X) et s’écrit :
– Propriété :
L’écart type d’une VA X se définit comme la racine carré de la variance de cette VA :
2)(2 XEXVar
VA centrée
)(XVar
2)()()(2 2 XEXEXVar
19
C) Les principaux indicateurs des variables aléatoires (4)
– Cas discret :
– Cas continu :
– Ecart-type dans les 2 cas :
n
iii pxXVar
1
22 )()(
dxxfxXVar
)()()( 22
)(XVar
20
C) Les principaux indicateurs des variables aléatoires (5)
• Les caractéristiques de forme d’une distribution de probabilité (TRES IMPORTANT EN FINANCE)
– La skewness étudie l’asymétrie de la distribution par rapport à la moyenne
Le coefficient de skewness mesure le degré d’asymétrie de la distribution :
3
3
32
3 )(
)(
)(
XE
XE
XES
21
– Coefficient d’asymétrie nul (S=0): la distribution est symétrique (cas loi normale)
x
f(x)
22
– Coefficient d’asymétrie positif (S>0): la distribution est asymétrique à droite (queue de distribution étalée vers la droite)
Queue étalée vers la droite : trop de données observées sur la droite par rapport « à la normale »
x
f(x)
23
– Coefficient d’asymétrie négatif (S<0): la distribution est asymétrique à droite (queue de distribution étalée vers la gauche)
Queue étalée vers la gauche : trop de données observées sur la gauche par rapport « à la normale »
x
f(x)
24
C) Les principaux indicateurs des variables aléatoires (5)
– Le coefficient de Kurtosis (K) ou coefficient d’aplatissement est une mesure de l’aplatissement de la distribution de la série.
– La KURTOSIS évalue la dispersion des valeurs « extrêmes » (queues de distribution=FAT TAILS) par référence à la loi normale
– Le coefficient s’écrit :
3
)(3
)(
)(4
4
42
4
XE
XE
XEK
25
C) Les principaux indicateurs des variables aléatoires (6)
– Si K>0 alors la distribution est élevée par rapport à la distribution normale (leptokurtique). On dit également que la distribution est à queue épaisse.
• PRESENCE DE VALEURS EXTREMES
=cas rentabilité des actions
– Si K<0 alors la distribution est aplatie par rapport à la distribution normale (platikurtique).
– Si K=0 alors la distribution est normale
26
-Courbes platikurtique, leptokurtique et normale
Courbe normale
Courbe leptokurtique
Courbe platikurtique
x
f(x)
Queue épaisse
Queue épaisse
Cas société générale
27
D) Couples de variables aléatoires
• Considérons un couple de variables aléatoires défini de la manière suivante :
– Z = aX+bY
• Propriétés de l’espérance mathématique
)()()(
)(
)(
YbEXaEbYaXE
ccE
aXaXE
28
D) Couples de variables aléatoires (2)
• Notion de covariance et de corrélation
– Quand on travaille avec un couple de variables aléatoire, on doit automatiquement étudier la relation entre les deux variables = la covariance/corrélation
– La covariance de X et Y s’écrit :
)()()(),(
)()(((),(
YEXEXYEYXCov
YEYXEXEYXCov
29
D) Couples de variables aléatoires (3)
– Propriétés de la covariance
• Propriétés générales
• Si X et Y sont indépendantes alors
– Cas particulier si « c » est une constante alors
• Si X et Y ne sont pas indépendantes alors 0),( YXCov
0),( YXCov
),(),(
),(),(
)(),(
YXCovbabYaXCov
XYCovYXCov
XVarXXCov
0),( cXCov
30
D) Couples de variables aléatoires (3)
• On appelle coefficient de corrélation linéaire entre X et Y le rapport suivant :
– Il est donc nul quand X et Y sont indépendantes
– Il est donc nul quand on étudie X et une constante « c »
YXxy
YXCov
),(
31
D) Couples de variables aléatoires (4)
• Propriétés de la variance (et écart-type) d’une VA et d’un couple de VA
– Pour une constante on a
– Pour un couple de VA on a
– Si X et Y sont indépendantes le terme Cov(X,Y) est nul
0)( cVar
),(2)()()( YXCovYVarXVarYXVar
)()(2)()()(
),(2)()()(
22
22
YXabYVarbXVarabYaXVar
OU
YXCovabYVarbXVarabYaXVar
XY
32
II LES DISTRIBUTIONS OU LOIS DE PROBABILITE SPECIFIQUES
• A) Les lois de probabilité discrètes
• B) Les lois de probabilité continues
• C) Les lois dérivées de la loi normale (importantes en économétrie).
33
A) Les lois de probabilité discrètes
• Loi de Bernoulli
• Loi Binomiale (utilisée en finance pour les options)
• Loi géométrique
• Loi uniforme discrète
• Loi de poisson
34
B) Les lois de probabilité continues
• Loi uniforme continue
• Loi exponentielle
• Loi gamma
• Loi bêta
• Loi logistique
• Loi de Cauchy
• …
35
B) Les lois de probabilité continues (2)
• Loi normale (loi normale gaussienne ou loi de Laplace-Gauss) : une loi fondamentale
– On dit qu’une VA X, prenant n’importe quelle valeur, suit une loi normale (standard) de moyenne μ et d’écart-type σ avec la densité de probabilité :
– On la note : X~N(μ, σ) et est représentée par une « courbe en cloche » avec un axe de symétrie verticale au point X = μ
2
2
1exp
2
1)(
x
xf
36
B) Les lois de probabilité continues (3)
– Représentation graphique de la loi normale
-0,1000
0,0000
0,1000
0,2000
0,3000
0,4000
0,5000
0,6000
0,7000
0,8000
0,9000
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x
f(x)
N(1;2) N(1;1) N(1;0,5)
37
B) Les lois de probabilité continues (4)
– Cas particulier la loi normale centrée réduite
On dit qu’une VA X suit une normale Centrée Réduite lorsque sa moyenne est nulle et son écart-type de 1 et sa densité de probabilité est donnée par :
– On la note : X~N(0,1) et est représentée par une « courbe en cloche » avec un axe de symétrie verticale au point X = 0
– Sa skewness et sa kurtosis sont nulles
2
2exp
2
1)(
xxf
38
C) Les lois dérivées de la loi normale : khi-deux, student, FS
• La loi du Khi-deux
– Soit X une VA suivant une loi normale centrée réduite.
– Alors le carrée cette VA, Y=X2, suit une loi du khi deux avec 1 degré de liberté. On la note :
2)(
1)(
)1(~ 22
YVar
YE
XY
39
C) Les lois dérivées de la loi normale : khi-deux, student, FS (2)
– GENERALISATION : Soit X1, X2…Xn une suite de n VA indépendantes suivant une loi normale centrée réduite. Alors le carrée la somme du carré de ces VA, notée Z, suit une loi du khi deux avec n degré de liberté. On la note :
nZVar
nZE
nZ
XZn
ii
2)(
)(
)(~ 2
1
2
40
C) Les lois dérivées de la loi normale : khi-deux, student, FS (3)
• La loi de Student (très importante en économétrie)
– Soit X et Z deux VA indépendantes– X suit une loi normale centrée réduite : X~N(0,1)– Z suit une loi du khi-deux notée Z~χ(n)
– Alors on dit que le ratio :
suit une loi de Student à n degrés de liberté notée T~t(n).
Cette loi est tabulée
nZ
XT
41
C) Les lois dérivées de la loi normale : khi-deux, student, FS (4)
• La loi de Fisher-Snedecor (très importante en économétrie)
– Soit Z1, une VA qui suit une loi du khi-deux notée Z1~χ(n1)– Soit Z2, une VA qui suit une loi du khi-deux notée Z2~χ(n2)– Z1 et Z2 sont deux VA indépendantes– Alors on dit que le rapport :
suit une loi de Fisher-S. à n1 et n2 DDL notée F~F(n1,n2)Cette loi est tabulée
2
2
1
1
nZn
Z
F
42
III APPLICATIONS A LA FINANCE
• En gestion, sciences économiques et finance, on cherche à disposer de modèles pour analyser, prévoir et décider
• A partir d’un ensemble de données limitées d’un phénomène, on cherche à déterminer une représentation globale du phénomène
• Autrement dit, à partir des informations données par un échantillon représentatif d’une population, on déduit la (ou les) principales caractéristiques de la population en question.
• C’est l’INFERENCE STATISTIQUE.
43
Introduction
• « En finance, la plupart des données se présentent sous la forme de séries temporelles. (…)Une série temporelle est un ensemble d’observations qui portent toutes sur un même concept, mais à des dates successives
• On suppose qu’à chaque période, la donnée observée est une réalisation (unique) d’une VA spécifique et l’ensemble de VA considérées sur les périodes successives forme un processus stochastique.
• Une série temporelle est une réalisation d’un processus stochastique, au sens où chaque donnée de la série est la réalisation de l’une des VA qui composent le processus stochastique».
• Eric DOR (2004), Econométrie, Pearson, p7.
44
Introduction
• Le statisticien (ou l’économètre) et le temps
temps
t1 T+n T+(n+1)
AnticipationObservation
des réalisations
Prévision
45
A) Rentabilité d’un actif unique
• Définition du taux de rentabilité (Holding Period Return or rate of return)
1,
,
1,
1,,
1,
,1,,,
ti
ti
ti
titi
ti
tititi
P
D
P
PP
P
DPPtRi
Taux de rentabilitéHPR
Taux de plus-value(gain en capital)
Taux de rendementDividend yield(gain en dividende)
46
A) Rentabilité d’un actif unique (2)
• Moyenne (ou espérance mathématique) du taux de rentabilité
• Estimation de la moyenne
– L’observation de réalisations successives de la rentabilité d’un titre sur T périodes nous permet de calculer une estimation de sa moyenne .
– Aussi, on s’attend à ce que la distribution des rendements passés nous donne une représentation du futur.
– L’estimateur de cette moyenne est la moyenne arithmétique des taux de rentabilité :
i
n
iii pRRE
1
)(
T
ttii R
TRER
1
^ 1)(
47
1)R(1 . . . )R)(1R(1
1)R(1R
/n1n21
/n1n
1ttG
48
n
R . . . RRR
n
RR
n321
n
1tt
A