Upload
others
View
33
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
Tehnica frecvenţelor înalte –se referă la studiul şi aplicarea metodelor de generare, transmisie, prelucrare şi măsurare a câmpului electromagnetic, la proiectarea şi implementarea sistemelor electronice cu frecvenţe de operare 300Mhz→ 1 GHz, sau până la 100 GHz - ingineria microundelor
Termenul de microunde oarecum impropriu:• Lungimea de undă corespunzătoare microundelor - λ în
domeniul 1mm (f=300 GHz) - 30 cm (f = 1 GHz) • λ > lungimea de undă ptr. f de THz• λ < lungimea de undă ptr. f radio
Limita dintre RF şi Microunde, este incertă şi în transformare continuă pe măsură ce tehnologia şi metodele de proiectare evoluează
Cursul 1
Conţinutul cursului
• Unda planăecuaţia undei, ortogonalitatea componentelor E şi H, câmpurile fizice, puterea transportată, viteza de fază şi de grup, reflexia şi transmisia, cazuri particulare
• Clasificarea mediilor de propagare• Aspecte ale propagării undei în mediul liber
-polarizarea undei, unde de suprafaţă, ionosferice, troposferice, efectul de umbrire, efectele precipitaţiilor
• Teoria liniilor de transmisie -propagarea undelor electromagnetice pe linii cu si farapierderi, parametrii liniilor de transmisie, regimul de adaptare, undele de tensiune si de curent, cazuri particulare ale liniilor lungi-adaptarea si acordul impedanţelor, utilizarea diagramei Smith-transformatoare de adaptare, rezonanţa serie şi paralel
2
• Ghiduri de undă -solutiile generale pentru modurile TEM, TE, TM-Ghidul de unda rectangular, modurile TE si TM, campurile fizice, puterea transportată, lungimea de undă, viteza de fază şi de grup-Ghidul coaxial (linia coaxială) modul TEM si modurile superioare-Ghidul circular, modurile TE si TM.-Ghidul plat ( stripline si microstrip), constanta dielectrica efectiva-Comportarea ghidurilor sub frecvenţa critică
• Dispozitive pasive-Cuplajul inductiv, capacitiv şi prin fante -Cuploare-Diafragma inductivă şi capacitivă -Fereastra rezonantă şi descărcătorul cu gaz -Comutatoare de antenă ptr. gama undelor centimetrice şi milimetrice
Obiective însuşirea cunoştinţelor şi abilităţilor pentru:
• a face distincţia între problematica circuitelor de joasăfrecvenţă si a celor de microunde
• a înţelege care sunt problemele curente şi tendinţele în propagarea undelor în mediul liber
• a aplica teoria propagării in cazul structurilor de propagare, linii şi ghiduri, utilizate in practică
• a face identificarea componentelor pasive de microunde• a înţelege semnificaţia parametrilor componentelor
pasive din domeniul frecventelor inalte• a înţelege principiile de masură caracteristice domeniului
frecventelor înalte • a dezvolta aplicaţii ale undelor de foarte înaltă frecventa.
3
Cerinţe• Dorinţa de a învăţa• Prezenţă efectivă (nu doar fizică la curs şi laborator)• Minte deschisă• Seriozitate• Să vă străduiţi să comunicaţi corect cu cadrul didactic,
pornind de la premiza că el chiar vrea să vă înveţe ceva util
Ce să nu faceţi• Să nu dormiţi în timpul orelor• Să nu faceţi altceva decât vi se cere• Să nu încercaţi să fraieriţi cadrul didactic • Să nu (vă) minţiţi
Premize
4
Rezultate aşteptate
Bibliografie selectivă
1.Casian-Botez, Irinel, Microunde ,Editura Lumen, Iaşi, 2006,2.D.Cojoc Amplificatoare de frecvenţă înaltă şi tranzistoare,
Ed.Cantemir,1994, Bucureşti3. E. Holzman, Essentials of RF and microwave grounding, Artech
House on Demand, 20064. Erik L. Kollberg, Microwave and milimeter-wave mixers, New York,
Institute of Electrical and Electronics Engineers, 19845. G. Lojewschi, Microunde.Dispozitive şi circuite, Ed.Teora 19956. M.Naforniţă, I.Naforniţă, Microunde, Ed Politehnica, 20027.T.Palade Tehnica microundelor, Ed.Genesis, Cluj Napoca, 19978. G.Rulea, Tehnica microundelor, Ed.Didactică şi pedagogică,19839. D. M Sazonov, Microwave circuits, Mir Publishers, Moscow, 19826.10. E. Tebeanu, Oscilatoare de microunde, Ed. Tehnică Bucureşti,
199011.The RF and microwave handbook, CRC Press, 200112 Microwave principles, Naval education and training professional
development and technology center, USA Navy, 1998
5
Evoluţia fără precedent a telecomunicaţiilor din ultimul deceniu şi noile descoperiri tehnologice au impulsionat dezvoltarea ingineriei microundelor, care era cu precădere un domeniu al apărării.
Industria microundelor a fost revoluţionată de cererea ascendentă a sistemelor de comunicaţii pentru aplicaţii ca:– Telefonia mobilă– Televiziunea prin satelit– Reţelele de comunicaţii prin satelit bazate pe serviciile
BISDN ce includ transmisiile la distanţă de imagine, de voce şi de date (telemedicina, multimedia, videoconferinţa, învăţământul la distanţă)
– Căutare şi transmisie de date - Wireless paging– Sisteme de poziţionare globală Global positioning
system GPS şi Galileo– Radarele automatizate de evitare a coliziunilor aeriene
Două tipuri de arhitecturi pentru sistemele de transmisie prin satelit
6
Comunicaţiile viitorului necesită:
• bandă largă pentru transmisiile multimedia (videoconferinţe, telemedicină, televiziune de înaltă definiţie)
• capacitate mare de transmisie, pentru a face faţă unui număr tot mai mare de utilizatori, cu un trafic tot mai ridicat, cu solicitări crescânde de transfer de informaţie
Tehnologia microundelor este adecvată atât ptr. aplicaţiile recent apărute în comunicaţii cât şi ptr. radiolocaţie, deoarece permite:
• utilizarea unui mare număr de canale independente• o lăţime de bandă semnificativă ptr. comunicaţiile de
mare viteză
Microundele oferă o bandă absolută largă de frecvenţă menţinând relativ redusă variaţia benzii raportate la frecvenţa purtătoarei .
Aceasta permite transmisia mai multor canale de date şi de voce decât ar fi fost posibil cu o purtătoare de frecvenţă mai redusă sau transmisia în banda de bază.
7
• Michael Faraday (1791 - 1867) are meritul de a fi introdus conceptul de câmp şi cel de acţiune, din aproape în aproape, cu viteză finită.
• James Clerk Maxwell (1831 - 1879) a dezvoltat conceptul de câmp, a aplicat ideile lui Faraday în domeniul electromagnetismului, aparţin lui. În 1864 Mawell a dezvoltat ecuaţiile matematice pentru descrierea fenomenelor electromagnetice prin abstractizarea şi generalizarea unor legi experimentale descoperite anterior de Coulomb, Faraday, Gauss1864 Existenţa undelor elmg. prezisă de Maxwell prin ec. sale
• Heinrich Rudolf Hertz (1857 - 1894) a construit în 1888 un aparat care demonstrează existenţa undelor electromagnetice
Spectrul de frecvenţă al undelor electromagnetice şi lungimile de undă asociate
Domeniul microundelor:UHF – ultrahigh frequency 0,3 GHz -3 GHzSHF-super high frequency 3 GHz -30 GHzEHF –extremely high frequency 30 GHz -300 GHz
8
Deasupra frecvenţei de 300 GHz absorbţia radiaţiei electromagnetice de atmosfera pământului este atât de mare încât aceasta poate fi considerată opacă
Atmosfera devine din nou transparentă în domeniul infraroşu şi optic.
Orientate iniţial înspre aplicaţii militare RF şi microundele cunosc în prezent o triplă expansiune în aplicaţii:
• comerciale• ştiinţifice• pentru utilizatori individuali
Aplicaţiile şi-au pus amprenta şi asupra definirii benzilor de frecvenţă
Ca o consecinţă a variatelor aplicaţii , terminologia şi definirea benzilor de frecvenţă nu sunt pe deplin standardizateExistă diferenţe semnificative între notaţii atât în literatură, cât şi practice.
Atribuirea IEEE (de la L la W) are în prezent o largă răspândire în tehnică şi practică, în timp ce cea a armatei americane (de la A la N) nu a câştigat popularitate înafara comunităţii militare.
Pentru banda K există 2 definiţii în uz:• 18 GHz−26,5GHz• 10,9 GHz−36 GHz
Banda L are atribuiri diferite de frecvenţă în opinia IEEE şi a aplicaţiilor militare US:
• 0,39 GHz−2 GHz• 40 GHz−60 GHz
9
Atribuirea benzilor de frecvenţă a) industrială şi IEEE; zonele haşurate indică variaţii găsite în literatură, zonele înnegrite indică frecvenţele ptr. care există un consens larg;Săgeţile indică definiţiile curente IEEE
Atribuirea benzilor de frecvenţă în armata americană
10
Tendinţe
• Reorientarea de la înalta performanţă (aplicaţii militare) indiferent de preţul implicat înspre fezabilitate (ptr. aplicaţii comerciale) şi preţ de cost minim în condiţiile unei performanţe acceptabile
• Diversitatea aplicaţiilor şi mediilor operaţionale, acompaniată de o producţie de masă au împins tot mai sus limitele performanţelor produselor de microunde, la un cost din ce în ce mai redus.
• Reorientarea de la producţia mică la producţia de masă
• Aceasta a atras după sine reducerea costului de implementare a serviciilor cu fir şi fără fir în RF şi microunde.
• Dacă primele sisteme prin satelit erau în banda C (2,4-4,2GHz), proiectarea curentă este orientată spre banda K (Ku şi Ka).
• Aceasta a permis şi răspândirea terminalelor cu apertură redusă şi în zonele în care sistemele celulare nu există, implementarea lor fiind prea scumpă.
• Utilizarea unor tehnologii noi cu mare eficienţă spectrală.
• De exemplu utilizarea unei modulaţii de amplitudine în cuadratură 256-QAM în sistemul Spaceway în locul modulaţiei QPSK ar duce la creşterea vitezei de transmisie la 400Mb/s de la 100Mb/s şi la o capacitate totală de 17,6 Gb/s, faţă de 4,4 Gb/s în prezent adică de 4 ori mai mare pentru o aceeaşi bandă ocupată ca în prezent.
11
• Este de aşteptat pe viitor să se utilizeze frecvenţe din ce în ce mai mari pe măsură ce spectrul de frecvenţă devine tot mai redus.
• Frecvenţele înalte vor permite utilizarea unor terminale mai reduse şi potenţial obţinerea unei mobilităţi mai mari.
Aplicaţii :
1. -istoric, militare de radiolocaţie Lungimile de undă mici permit realizarea unor fascicole înguste, ce pot fi direcţionate practic cu antene de dimensiuni suficient de mici, generând o rezoluţie adecvată a locaţiei ţintei
2.-comunicaţiile terestre la mare distanţă cît şi cele prin satelit, pentru voce şi imagini :
-comunicaţiile fără fir de voce şi de date, atât spre utilizatori individuali cât şi dinspre aceştia;
-protocoalele reţelelor LAN, ex Bluetooth lucrează în banda de 2,4 GHz
-servicii de internet wireless-protocoalele reţelelor MAN metropolitan area networks , ca de
ex. WIMAX (world wide interoperability for microwave acces) – în domeniile de 2,5 GHz şi 3,5 GHz
-protocoale care permit accesul mobil fără fir pe suprafeţe mari wide area mobile broadband wireless acces MBWA ,
12
-comunicaţiile prin cablu, inclusiv sistemele prin cablu coaxial ptr. distribuţie video şi acces digital de bandă largă ;-comunicaţiile prin fibră optică ptr. mare şi mică distanţă ;-sistemele hibride, ca de exemplu cele fibră optică-coaxial ;-computere personale
3-sisteme radar :-în radiolocaţia şi urmărirea ţintei-evitarea aeriană automată a coliziunilor -monitorizarea meteorologică
4-aplicaţii de încălzire dielectrică bazate prin trecerea radiaţiei de microunde prin diferiţi dielectrici, inclusiv alimente:-sisteme industriale (de obicei la f 900 MHz) de uscare şi tehnici de procesare a semiconductoarelor care utilizează microundele pentru generarea plasmei-consum casnic (cuptorul cu microunde f 2450 MHz)
5-transmiterea puterii la distanţă mare – transmiterea energiei solare captate pe sateliţi înspre pământ
6-medicină tratamente
Propagarea undeiConceptul de propagare se referă la modul în care unda
electromagnetică se deplasează de la antena de emisie la recepţie.
-mijlocul de transport al energiei de la emiţător la receptor.
Transmisia informaţiei analogice sau digitale de la un punct la altul este cea mai răspândită aplicaţie în microunde.
Propagarea undei-prin mediul liber şi structuri ghidate:-Linii de transmisie-Ghiduri
13
Avantajele propagării undelor la frecvenţele microundelor :
• Microundele , datorită frecvenţelor înalte permit benzi largi de frecvenţă, fără problemele ridicate de interferenţele în domeniul frecvenţelor joase
• O singură purtătoare poate manipula o cantitate uriaşă de informaţie
• Microundele se propagă de-a lungul unei linii drepte ca razele de lumină şi nu sunt curbate de ionosferă. Propagarea în linie dreaptă face posibilă transmisia prin sateliţi. Satelit de comunicaţii- staţie de retransmisie în microunde care leagă 2 sau mai multe emiţătoare şi receptoare terestre.
• Este posibilă proiectarea unor sisteme cu antene de dimensiuni rezonabile
• Comparativ cu undele elmg. de joasă f. energia microundelor este mai uşor de controlat, concentrat, direcţionat- util în gătit, uscat şi fizica diatermică.
În ingineria frecvenţelor înalte, practica curentă utilizează modelul empiric, bazat pe măsurători rezultat din ec. lui Maxwell.
• Ingineria mu şi RF tratează cazuri speciale ale fizicii particulelor încărcate electric şi interacţiunilor dintre ele prin intermediul undelor electromagnetice. Ramura ştiinţei care descrie fizica particulelor electrice- electromagnetismul.
• Electromagnetismul se ocupă cu forţa electromagnetică şi este bazată pe conceptul vectorilor intensitate a câmpului electric E(x,y,z,t), respectiv, magnetic intensitate H(x,y,z,t), introduşi ptr. a rezolva acţiunea la distanţă a sarcinilor electrice
• Ec. Lui Maxwell descriu câmpul în funcţie de surse sarcini şi curenţii asociaţi.
14
Reprezentarea în domeniul timp a ecuaţiilor lui Maxwell
• În cinstea lui J.C. Maxwell, formele locale ale legilor generale ale fenomenelor electromagnetice sunt denumite ecuaţiile lui Maxwell.
• Studiul microundelor se bazează pe conceptul vectorilor intensitate a câmpului electric E(x,y,z,t) respectiv intensitate a câmpului magnetic H(x,y,z,t)
• conform teoremei lui Helmholtz orice vector al unui câmp poate fi unic definit prin rotorul şi divergenţa sa
Rotorul câmpului electric se notează cuşi se calculează în coordonate carteziene cu relaţia:
Divergenţa câmpului electric, notată ∇ ⋅ E, are în coordonate cartezieneexpresia:
∇ este simbolul operatorului matematic denumit "nabla" este vector şi are expresia formală:
E×∇
∂
∂−
∂
∂+
∂∂
−∂
∂+
∂
∂−
∂∂
=∂∂
∂∂
∂∂
=×∇y
Ex
Ek
xE
zE j
zE
yE i
EEEzyx
kjixyzxyz
zyx
E
zyx ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ kji
z
E
y
E
x
E zyx
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=⋅∇ E
15
Mărimile de stare locale ce caracterizează câmpul sunt:
• intensitatea câmpului electric E, cu unitatea [V/m].
• inducţia magnetică B, cu unitatea [T].• inducţia electrică sau deplasarea electrică D, cu
unitatea [C/m2].• intensitatea câmpului magnetic H, cu unitatea
[A/m].
Mărimile de stare locale ce caracterizează corpurile sunt:
• ρe este sarcina electrică • ρm este sarcina magnetică • Je este densitatea curentului electric• Jm este densitatea curentului magnetic
16
Legea inducţiei electromagneticesau (1.1)
Legea circuitului magneticsau (1.2)
Legea fluxului electricsau (1.3)
Legea fluxului magnetic
sau (1.4)
Aceste relaţii arată că variaţiile în timp ale unui câmp reprezintă sursa celuilalt
eD ρ=⋅∇ eD div ρ=
mB ρ=⋅∇ mB div ρ=
t ∂∂
+=×∇D
eJH
t ∂∂
+=D
eJHrot
t ∂∂
−−=×∇B
mJE t ∂
∂−−=
BmJErot
Ecuaţiile lui Maxwell ptr.vid
ED 0ε= m/F10.842,81036
1 1290
−≅π
≅ε
HB oµ=
t ∂∂
µ−−=×∇H
mJE 0
t ∂∂
ε+=×∇E
eJH 0
0ερ
=⋅∇ eE
0µρ
=⋅∇ mH
m/H10.566,1210..4 77o
−− ≅π=µ
17
Undele electromagnetice sunt o soluţie specială a ec lui Maxwell, pe care se bazează ingineria microundelor. f(z – vt) se “deplasează” sau se “propagă” în timp cu sensul axei z, cu viteza v.
Un fenomen fizic descrisă de o astfel de funcţie poartă denumirea de "undă".
În inginerie, dependent de tehnologie –diferite circumstanţe ale electromagnetismului :
• La un capăt al spectrului sunt dispozitivele în stare solidă, unde legile electromagnetismului se aplică unui nr. restrâns de sarcini, împreună cu mecanica cuantică. Aici forţele aplicate sarcinilor individuale sunt importante
• La celălat capăt- aplicaţii în care lungimea undelor elmg.<< dimensiunile problemei şi elmg. se reduce la optică, unde sunt pe rol fenomenele undei plane
• In mijlocul spectrului sunt abordate structuri cu o dimensiune comparabilă cu lungimea undelor elmg. Câmpul elmg. este abordat ca o problemă matematică riguroasă de valori la graniţa de separare a mediilor.
Majoritatea aplicaţiilor în microunde sunt la mijlocul spectrului, cu conexiuni în ambele direcţii
În domeniul frecvenţelor înalte s-au dezvoltat descriptori de nivel înalt ai electromagnetismului şi discipline specializate : circuite, filtre, antene, ptr. rezolvarea problemelor inginereşti
18
După postularea teoriei speciale a relativităţii nu este necesară nici o modificare a ec. lui Maxwell.Viteza luminii, derivată din aceste ec. este o constantă ptr. toate sistemele inerţiale de referinţă.
De obicei se restrânge investigarea ecuaţiilor lui Maxwell la cazul în care
variaţiile în timp ale câmpului electric şi magnetic sunt armonice
Mărimi vectoriale si fazorii atasati lorForma de variaţie în timp şi în spaţiu a unui câmp electric
monocromatic cu frecvenţa ω poate fi pusă sub forma (1.5)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )zz
yyxx
t cos z ,y ,xEk
t cos z ,y ,xEjt cos z ,y ,xEit,z ,y ,x
φ+ω+
+φ+ω+φ+ω=E
Se preferă funcţiile de tip exponenţială complexă:(1.6)
Vectorului cu componente reale E din rel (1.5) i se poate ataşa vectorul E cu componente complexe:
(1.7)
Între vectorii E şi E există relaţia evidentă [vezi şi relaţia (1.6)]:
(1.8)
(1.9)
( ) ( ) ( ) 1j sin j cose j −=φ+ω+φ+ω=φ+ω ttt
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )z
yx
t z
t y
t x
j
jj
e z ,y ,xEk
e z ,y ,xEje z ,y ,xEit ,z ,y ,xEφ+ω
φ+ωφ+ω
+
++=
( ) ( ) t,z ,y ,xERet,z ,y ,x =E
( ) ( ) ( ) ( )[ ] t j jz
jy
jx ee z ,y ,xEke z ,y ,xEjez ,y ,xEit ,z ,y ,xE zyx ωφφφ ⋅+⋅+⋅=
19
Se introduc notaţiile:
(1.10)
cu ajutorul cărora (1.7) se rescrie sub forma:
(1.11) Vectorul din paranteza dreaptă a relaţiei (1.10) are componentele
complexe şi este un vector complex, nu depinde de variabila timp t
şi se notează cu E(x,y,z) :
(1.12)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) z
yx
jzz
jyy
jxx
ez ,y ,xE z ,y ,xE
;ez ,y ,xE z ,y ,xE ;ez ,y ,xE z ,y ,xEφ
φφ
⋅∆
⋅∆⋅∆
( ) ( ) ( ) ( )[ ] e z ,y ,xEkz ,y ,xEj z ,y ,xE it ,z ,y ,xE t jzyx
ω++=
( ) ( ) ( ) ( ) z ,y ,xE kz ,y ,xE j z ,y ,xE iz ,y ,xE zyx ++=
Vectorul complex , definit prin relaţia (1.12), poartă denumirea de fazor ataşat câmpului electric (cu intensitatea E(x,y,z,t)) . Spre deosebire de câmpul electric E, câmp fizic, fazorul nu depinde de variabila timp
(1.13)
Vectorului H i se ataşează fazorul astfel :
(1.14)
( ) ( ) ( ) ( ) z ,y ,xE kz ,y ,xE j z ,y ,xE iz ,y ,xE zyx ++=
( ) ( ) tzyxtzyx je , , Re , , , ω= EE
( ) ( ) tzyxtzyx je , , Re , , , ω⋅= HH
20
În regim armonic, monocromatic, se pot obţine forme modificate ale ecuaţiilor lui Maxwell, în care intră fazoriiataşaţi mărimilor vectoriale
şi după simplificarea cu , posibilă deoarece rezultă forma complexă a ecuaţiei (1.1),
scrisă pentru fazori:
t
∂∂
−=×∇BE ( ) ( ) tt zyx
tzyx jω jω e , , Re
e , , Re BE
∂∂
−=×∇
( )[ ] ( )
( )[ ] t
tt
zyx
tzyxzyx
jω
jω jω
e , , j Re
e
, , Ree , , Re
B
BE
ω−=
=
∂∂
−=×∇
( )[ ] ( )[ ] tt zyxzyx jω jω e , , j e , , BE ω−=×∇
0e j ≠ω t
t je ω
O formă simplificată de scriere a fazorilor este fără precizarea argumentelor spaţiale x, y şi z.
Ţinand cont şi de existenţa densităţilor de sarcină electrică, respectiv magnetică Je, Jm:
(1.15) (1.17)
(1.16) (1.18)
Ecuaţii- valabile numai în regim armonic monocromatic, cu frecvenţa ω.Ele sunt reprezentarea în domeniul frecvenţă a ecuaţiilor lui Maxwell
( ) ( )zyxzyx ,, j,, BE ω−=×∇
BE jω−=×∇
DJH jω+=×∇ e
eρ=⋅∇ D
mρ=⋅∇ B
BJmE j- ω−=×∇
21
Avantajul utilizării fazorilor în locul vectorilor reali este
faptul că derivatele in timp se reduc la simple multiplicari.
• Vom verifica, mai întâi, că divergenţa rotorului unui vector oarecare
A este nulă:
( )
∂
∂−
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂
∂∂
=
=∂∂
∂∂
∂∂
⋅∇=×∇⋅∇
y
A
x
A
z xz y z
x xyxxyz
zyx
AAA
zA
AAAzy x
kji
A
1
Legea inducţiei electromagneticesau (1.1)
Legea circuitului magneticsau (1.2)
Legea fluxului electricsau (1.3)
Legea fluxului magnetic
sau (1.4)
Aceste relaţii arată că variaţiile în timp ale unui câmp reprezintă sursa celuilalt
eD ρ=⋅∇ eD div ρ=
mB ρ=⋅∇ mB div ρ=
t ∂∂
+=×∇D
eJH
t ∂∂
+=D
eJHrot
t ∂∂
−−=×∇B
mJE t ∂
∂−−=
BmJErot
Cursul 2
Ecuaţiile lui Maxwell ptr.vid
ED 0ε= m/F10.842,81036
1 1290
−≅π
≅ε
HB oµ=
t ∂∂
µ−−=×∇H
mJE 0
t ∂∂
ε+=×∇E
eJH 0
0ερ
=⋅∇ eE
0µρ
=⋅∇ mH
m/H10.566,1210..4 77o
−− ≅π=µ
2
Undele electromagnetice sunt o soluţie specială a ec lui Maxwell, pe care se bazează ingineria microundelor. f(z – vt) se “deplasează” sau se “propagă” în timp cu sensul axei z, cu viteza v.
Un fenomen fizic descrisă de o astfel de funcţie poartă denumirea de "undă".
În inginerie, dependent de tehnologie –diferite circumstanţe ale electromagnetismului :
• La un capăt al spectrului sunt dispozitivele în stare solidă, unde legile electromagnetismului se aplică unui nr. restrâns de sarcini, împreună cu mecanica cuantică. Aici forţele aplicate sarcinilor individuale sunt importante
• La celălat capăt- aplicaţii în care lungimea undelor elmg.<< dimensiunile problemei şi elmg. se reduce la optică, unde sunt pe rol fenomenele undei plane
• In mijlocul spectrului sunt abordate structuri cu o dimensiune comparabilă cu lungimea undelor elmg. Câmpul elmg. este abordat ca o problemă matematică riguroasă de valori la graniţa de separare a mediilor.
Majoritatea aplicaţiilor în microunde sunt la mijlocul spectrului, cu conexiuni în ambele direcţii
În domeniul frecvenţelor înalte s-au dezvoltat descriptori de nivel înalt ai electromagnetismului şi discipline specializate : circuite, filtre, antene, ptr. rezolvarea problemelor inginereşti
3
După postularea teoriei speciale a relativităţii nu este necesară nici o modificare a ec. lui Maxwell.Viteza luminii, derivată din aceste ec. este o constantă ptr. toate sistemele inerţiale de referinţă.
De obicei se restrânge investigarea ecuaţiilor lui Maxwell la cazul în care
variaţiile în timp ale câmpului electric şi magnetic sunt armonice
Mărimi vectoriale si fazorii atasati lorForma de variaţie în timp şi în spaţiu a unui câmp electric
monocromatic cu frecvenţa ω poate fi pusă sub forma (1.5)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )z
yx
φ+ tω cos z y, x,k+
+φ+ tω cos z y, x,j+φ+ tω cosz y, x,i=z y, x,
z
yx
E
E EE
Se preferă funcţiile de tip exponenţială complexă:(1.6)
Vectorului cu componente reale E din rel (1.5) i se poate ataşa vectorulE cu componente complexe:
(1.7)Între vectorii E şi E există relaţia evidentă [vezi şi relaţia (1.6)]:
(1.8)
(1.9)
( ) ( ) ( ) 1j sin j cose j −=φ+ω+φ+ω=φ+ω ttt
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zyx +t z
+t y
+t x
jjj e z ,y ,xk+e z ,y ,xj+e z ,y ,xi=t ,z ,y ,xE φωφωφω EEE
( ) ( ) t,z ,y ,xERe=t,z ,y ,xE
( ) ( ) ( ) ( )[ ] t j jz
jy
jx ee z ,y ,xk+e z ,y ,xj+ez ,y ,xi=t ,z ,y ,xE zyx ωφφφ EEE
4
Se introduc notaţiile:
(1.10)
cu ajutorul cărora (1.7) se rescrie sub forma:
(1.11) Vectorul din paranteza dreaptă a relaţiei (1.10) are componentele
complexe şi este un vector complex, nu depinde de variabila timp t
şi se notează cu E(x,y,z) :
(1.12)
( ) ( ) ( ) ( )[ ] e z ,y ,xEkz ,y ,xEj z ,y ,xE it ,z ,y ,xE t jzyx
ω++=
( ) ( ) ( ) ( ) z ,y ,xE kz ,y ,xE j z ,y ,xE iz ,y ,xE zyx ++=
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) z
yx
jzz
jyy
jxx
ez ,y ,x z ,y ,xE
;ez ,y ,x z ,y ,xE ;ez ,y ,x z ,y ,xEφ
φφ
∆
∆∆
E
EE
Vectorul complex , definit prin relaţia (1.12), poartă denumirea de fazor ataşat câmpului electric (cu intensitatea E(x,y,z,t)) . Spre deosebire de câmpul electric E, câmp fizic, fazorul nu depinde de variabila timp
(1.13)
Vectorului H i se ataşează fazorul astfel :
(1.14)
( ) ( ) ( ) ( ) z ,y ,xE kz ,y ,xE j z ,y ,xE iz ,y ,xE zyx ++=
( ) ( ) t je z ,y ,x ERe=t ,z ,y ,x ωE
( ) ( ) t jez ,y ,x HRe=t ,z ,y ,x ωH
5
În regim armonic, monocromatic, se pot obţine forme modificate ale ecuaţiilor lui Maxwell, în care intră fazoriiataşaţi mărimilor vectoriale
şi după simplificarea cu , posibilă deoarece rezultă forma complexă a ecuaţiei (1.1),
scrisă pentru fazori:
t
∂∂
−=×∇BE ( ) ( ) tt zyx
tzyx jω jω e , , Re
e , , Re BE
∂∂
−=×∇
( )[ ] ( )
( )[ ] t
tt
zyx
tzyxzyx
jω
jω jω
e , , j Re
e
, , Ree , , Re
B
BE
ω−=
=
∂∂
−=×∇
( )[ ] ( )[ ] tt zyxzyx jω jω e , , j e , , BE ω−=×∇
0e j ≠ω t
t je ω
O formă simplificată de scriere a fazorilor este fără precizarea argumentelor spaţiale x, y şi z.
Ţinand cont şi de existenţa densităţilor de sarcină electrică, respectiv magnetică Je, Jm:
(1.15) (1.17)
(1.16) (1.18)
Ecuaţii- valabile numai în regim armonic monocromatic, cu frecvenţa ω.Ele sunt reprezentarea în domeniul frecvenţă a ecuaţiilor lui Maxwell
( ) ( )zyxzyx ,, j,, BE ω−=×∇
BE jω−=×∇
DJH jω+=×∇ e
eρ=⋅∇ D
mρ=⋅∇ B
BJmE j- ω−=×∇
6
Avantajul utilizării fazorilor în locul vectorilor reali este
faptul că derivatele in timp se reduc la simple multiplicari.
• Vom verifica, mai întâi, că divergenţa rotorului unui vector oarecare
A este nulă:
( )
∂
∂−
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂
∂∂
=
=∂∂
∂∂
∂∂
⋅∇=×∇⋅∇
y
A
x
A
z xz y z
x xyzxyz
zyx
AAA
y
A
AAAz y x
kji
A
Avantajul utilizării fazorilor în locul vectorilor reali este
faptul că derivatele in timp se reduc la simple multiplicari.
• Vom verifica, mai întâi, că divergenţa rotorului unui vector oarecare
A este nulă:
( )
∂
∂−
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂
∂∂
=
=∂∂
∂∂
∂∂
⋅∇=×∇⋅∇
y
A
x
A
z xz y z
x xyxxyz
zyx
AAA
zA
AAAzy x
kji
A
7
Efectuând calculele se găseşte imediat că:
Ţinând seamă de proprietatea de inversare a divergenţei şi derivării, cu
A = D obţinem:
Aplicăm proprietatea anterioară relaţiei (1.2):
( ) AA ∀≡×∇⋅∇ 0,
( )AA⋅∇
∂∂
=
∂∂
⋅∇t t
( ) 0DeJ =⋅∇∂∂
⋅∇t
+
0)tD J()H( e =
∂∂
+∇=×∇∇
Ţinand cont de relaţiile dintre vectori şi fazorii corespunzători obţinem:
În mod similar, din relaţia (1.1) obţinem:
Aceste relaţii se numesc ecuaţii de continuitateDe menţionat că:
0eJ =ωρ⋅∇ ej+
0)tB-J()E( m =
∂∂−∇=×∇∇
( ) 0BmJ =⋅∇∂∂
⋅∇t
+
ED=
ε= HB=
µ=
8
Unda plană - model idealizat pentru undă, (când emiţătorul este de dimensiuni mult reduse în comparaţie cu distanţa de la acesta până la punctul în care se investighează câmpul). -dimensiunile considerate în planul perpendicular pe direcţia de propagare să fie mult reduse în comparaţie cu aceeaşi distanţă.
Sensul de propagare al energiei este dat de vectorul Poynting
• Prin tradiţie, ca axă de propagare se alege axa z. • Câmpul nu prezintă modificări în spaţiu după axele x şi y
(deoarece frontul de undă este plan) şi deci operatorii şi sunt identic nuli.
∗= ExH21S
∂∂ x∂
∂ y
(1.20)
9
Fie mediul de propagare caracterizat de ε şi µ şi conductivitatea σ. Existenţa unei conductivităţi nenule
determină apariţia unor curenţi de conducţie.
• Se reaminteşte că operatorul Laplacian, ∇2, notat şi Δ, are în coordonate carteziene expresia:
• Fie ecuaţia (1.15) în care considerăm Jm zero.(1.21)
2
2
2
2
2
22
Δ
zyx ∂∂
+∂∂
+∂∂
==∇
EJ e = σ
HE µω=×∇ -j
Aplicăm rotorul în ambii membrii ai ecuaţiei:
În absenţa sarcinilor libere adică şi ţinând cont de relaţia (1.16) obţinem:
Ecuaţia (1.21) se poate deci rescrie sub forma:
sau:
( ) ( ) ( )xHjEExEx 2 ∇ωµ−=∇−∇∇=∇∇
0 = esρ 0E =⋅∇
0 = j + 22 EEE µσω−µεω∇
0 =
j 1 + 22 EE
εωσ
−µεω∇
( )EjjE2 σ+ωεωµ=∇
10
Se notează:(1.22)
Constanta k se numeşte "număr de undă"Obţinem astfel :
(1.23)
Ecuaţia este cunoscută sub numele de ecuaţia undei.
În mod similar din ecuaţia (1.16) se obţine
(1.24)
j 1 = 22
εωσ
−µεωk
0 = + 22 EE k∇
0 = + 22 HH k∇
În lipsa pierderilor şi
În vid unde ε=ε0 şi μ=μ0 obţinem
Se defineşte constanta de propagare γ prin relaţia:
(1.25)şi deci:
(1.26)
Constanta α, măsurată în [Np/m] sau [dB/m], se numeşte constantă de atenuare. Constanta β, măsurată în [rad/m], se numeşte constantă de fază.
σ = 0 µεω= 22k
00k µεω= 022
j 1 = = 222
εωσ
−µεω−−γ k
j 1 = j + = 2
εωσ
−µεω−βαγ
11
• Fie:
• Având în vedere că şi deci şi
• Ecuaţia (1.23) se scrie sub forma:
• Ecuaţia vectorială este echivalentă cu următoarele trei ecuaţii scalare:
2
2
2
2
2
22
Δ
zyx ∂∂
+∂∂
+∂∂
==∇
0 =
= yx ∂
∂∂∂ 0 =
=
2
2
2
2
yx ∂∂
∂∂
0 = + 22 EE k∇
( ) ( ) EkE jEiEkEjEiz zyxzyx =
22
2
++γ++∂∂
zz
yy
xx E
zE
EzE
EzE 2
2
22
2
22
2
2
=
=
=
γ∂∂
γ∂
∂γ
∂∂
;;
Soluţiile celor trei ecuaţii sunt:
z z
zzz
z y
zyy
z x0
zxx
E = EE
+ E= EE
e E EE
γ−γ−
γ−γ−
γ−γ−
0
+0
0
+0
+ o
e +e
e e +e =
Dar şi deci ,
scade o dată cu creşterea valorii coordonatei z, z > 0.Unda corespunzătoare este unda directă.
Deoarece sau valoare ce creşte
odată cu creşterea valorii coordonatei z, z > 0. Unda corespunzătoare este unda inversă ce apare datorită reflexiei.
zzz j e e = e β−α−γ− zz e = e α−γ−
z zz j e e = e βαγ zz e = e αγ
12
Prima ecuaţie a lui Maxwell, (1.15) poate fi rescrisă sub forma:
dezvoltând determinantul din membrul stâng rezultă
În mediul de propagare infinit, omogen şi izotrop, nu apar
reflexii, şi soluţiile sunt:
(1.26)z
z0zz
y0yz
x0x EEE EEE e = e = e = γ−γ−γ− ;;
( )zyx
zyx
HkHjHi
EEEz
kji
j00 xE ++µω−=∂∂
=∇
j = 0 j = j = zyx
xy HH
zE
Hz
Eµω−µω−
∂∂
µω−∂
∂− ;;
Derivând expresiile (1.26) rezultă:
(1.28)
• Se poate deduce, prin împărţire cu Hx, respectiv cu Hy, din (1.28):
0 = j = j = zyxxy HHEHE ;; µωγµω−γ
j = = γ
µω−
x
y
y
x
HE
H E
(1.29)
13
A doua ecuaţie a lui Maxwell, (1.16), se scrie sub forma particulară:
Singura relaţie interesantă ce se deduce este:
( ) ( ) + j =
0
00 xH zyx
yx
EkEjEi
HHz
kji
++σωε∂∂
=∇
0 = zE (1.30)
Observaţii• Deoarece şi ambele componente
sunt perpendiculare pe axa de propagare 0z.
• O astfel de undă, ale cărei componente E şi H sunt transversale pe direcţia de propagare se numeşte undă TEM transversal electromagnetică sau mod de propagare TEM. Unda plană este deci o undă TEM.
• Câmpurile E şi H sunt ortogonale nu numai pe direcţia de propagare , ci şi între ele.
• Din (1.29) rezultă:
(1.31)
0 = zE 0 = Hz
0 = yyxx H + EHE
14
Cum , relaţia (1.31) este echivalentă cu:
• În unda plană componentele E şi H ale câmpului electromagnetic sunt ortogonale.
• Se pot roti axele de coordonate astfel încât 0x să fie paralelă cu E, iar axa 0y să fie paralelă cu H.
0 = HE ⋅
1
Cum , relaţia (1.31) este echivalentă cu:
• În unda plană componentele E şi H ale câmpului electromagnetic sunt ortogonale.
• Se pot roti axele de coordonate astfel încât 0x să fie paralelă cu E, iar axa 0y să fie paralelă cu H.
0 = HE ⋅
Avem deci:
• Raportul se exprimă în
şi deci are dimensiunea unei impedanţe. Impedanţa intrinsecă a mediului este:
zjz0 eeiEE β−α−=
zjz0 eejHH β−α−=
= AV
= A/mV/m
Ω
yx HE
β+αµω
γµω
jHE = Z
y
xm
j = j =
j -1
1 =
εωσ
⋅εµ=
HE
HE = Z
0
0
y
xm
2
În cazul mediilor fără pierderi α=0 şi deci γ=jβ . şi deci:
• Componentele de câmp ale undei plane devin:
Cu Ym s-a notat admitanţa intrinsecă a mediului
= mZεµ
zj0eiEE β−=
zjmo eYjEH β−=
mm Z
1 = Y
• Impedanţa intrinsecă a vidului are valoarea:
(1.35)
• Pentru a determina câmpurile fizice E şi H ale undei plane vom considera pentru simplificare că E0 ,H0şi Ym sunt mărimi reale.
În conformitate cu relaţiile (1.8) respectiv (1.9) obţinem:
α indică descreşterea cu axa z, deci este constanta de atenuare
Ω≅πε
µ 377 120 = =
0
00m
Z
) ( cose = 0
ztz β−ωα−EiE
) ( cose = 0
ztY zm β−ωα−EjH
3
Reprezentarea repartiţiei spaţiale a câmpurilor fizice poate fi realizată doar la un moment de timp specificat. Pentru
t = 0 rezultă zz cose =E 0
βα−Ei
zYj zm cose =H
0βαE
Componentele Ex şi Hy ale unei unde plane care se propagă fără a fi atenuate
• Termenul e-αz indică descreşterea de-a lungul axei z, motiv ptr care α este constanta de atenuare
• Dacă α = 0 unda este neatenuată în lungul axei z, aşa cum se arată în figura
4
pentru relaţia (1.36) conduce la:
β−
π= α− zz
x 3
cose 0
EE
ωπ
=3
2
t
Lungimea de undă λ
-distanţa măsurată pe axa z între două treceri consecutive ale câmpului prin zero, în acelaşi sens
( ) [ ] 0 = cos = cos λβ−β−ωβ−ω ztzt
( ) ( ) ( )[ ] 0 = + cose = cos e + 0
0
λβ−ω⋅β−ω λα−α− ztzt zz EE
( )π−αα 2 cos = cos βπ
λ2 =
5
• Ptr. un mediu fără pierderi λ-ca distanţă între două maxime consecutive.
• ca distanţă măsurată pe axa z după care modificarea de fază a câmpului este de 2π, la un moment de timp t dat.
• Lungimea de undă în vid se notează cu λo şi ţinând cont de relaţiile
este egală cu0
0
2 = kπ
λ
002
00002 = j = = µεωµεω−γ kk ; με = = 000 ωβ k
•Viteza luminii în vid este dată de :
• Pentru un mediu oarecare, fără pierderi σ=0, cu ε=ε0εr şi μ=μ0μr , lungimea de undă λ va fi diferită de λ0 din vid, egală cu:
• Termenul se numeşte factor de scurtare
• Se utilizează şi o relaţie de calcul adaptată domeniului microundelor (domeniu numit şi “centimetric”):
[ ] [ ] GHz = cm = 30 = ;00
ff
λλ
rrrrrr k µε
λ=
µε
π=
µεµεϖ
π=
εµϖ
π=
βπ
=λ 0
000
2222
m/s 103 με
1 = 8
00
⋅≅c
Termenul
rr
1µε
vT=λ0000
1f2T
2vµε
=µεω
ω=
βω
=βπ
=β
π=
6
Unda plană în vid
• Relaţiile ce permit calculul expresiilor fazorilor E şi H în vid sunt:
• şi deci, expresiile câmpurilor fizice devin:
zkE 0 j0
e = −iE0
0 j
00
1 = e j = 0
mm
zkm Z
YEY ;−H
( ) zk- t ω cosi0
EE0
=
( )zk - tω cos Y 0m00E j =H
Viteza de fază şi viteza de grup
• Viteza de fază este, prin definiţie, viteza cu care ar trebui să se deplaseze un observator pentru a "vedea" aceeaşi fază a undei.
• În cazul propagării undei plane printr-un mediu omogen şi izotrop, fără pierderi (σ = 0),
• viteza de fază, într-un mediu omogen, izotrop şi fără pierderi, nu depinde de frecvenţa ω.
ztt = )( β−ωφ
0 = d d = d zt β−ωφ
βω =
dd =
tzv
f
= µεωβ
1 =µεf
v
7
În vid relaţia devine:
• Viteza de grup este viteza de propagare a energiei. Considerând expresia vectorului Poynting, ea reprezintă energia transportată de undă în unitatea de timp, prin unitatea de suprafaţă.
• Viteza de grup poate fi calculată şi cu relaţia:
• În vid • Se observă că pentru unda plană în vid . În concluzie,
pentru unda plană în vid
m/s 10 3 = =
1 = 8
00
⋅µε
cvf
d d1 =
d d =
ωββ
ωgv
= 00 µεωβ
c1
dd
=ωβ
În concluzie, pentru unda plană în vidadică viteza luminii c
Puterea transportată de unda plană printr-o suprafaţă normală pe direcţia de propagare
ixj=k
c = vv fg =
∗= ExH21S
8
z220m2
1*zjzm0
zjz0 eEkY)eeYjE(x)eeiE(
21S α−β−α−β−α− ==
( )
⋅×=
∫ ∫∫ ∫∆
∆−
∆
∆−∆ ∆
yd xd k 21RekSdxdyRe= P
2x
2x
2y
2y
*yx
x y
HE
Puterea activă P transportată de undă printr-o suprafaţă ∆S=(∆x). (∆y), normală pe direcţia de propagare este
Se substituie Ex şi Hy şi se obţine:
d de 21Re= 2 *
2
2
2
2
*00
α−
∆
∆−
∆
∆−
∫ ∫ yxYEEP zm
x
x
y
y
=2
0*00
EEE mm YY Re = Re *
S e Y Re2
E= y x e Y Re
2E
=P z 2 m
20z 2
m
20 ∆∆∆ α−α−
9
P0 puterea activă în originea axelor de coordonate:
Puterea transportată descreşte exponenţial, constanta de atenuare a puterii având expresia:
Pentru ΔS=1,puterile transportate prin suprafaţa unitară:
S Y Re2
E =P m
20
0 ∆
e P=e P =P z 0
z2 0
pα−α−
2= αα p
m
20z
0 Y Re2
E =P ; e P= P 0(1)
p(1)(1)
α−
În absenţa pierderilor puterea P nu este atenuată şi avem:
• Ym este acum o mărime reală• Un caz particular îl reprezintă propagarea undei prin vid
cu
m
20 Y
2E
=P= P 0(1)(1)
SiemensYm3
0 10653,2120/1 −⋅≅π=
10
Clasificarea mediilor de propagare omogene şi izotrope
EjJd ωε=
Ţinând cont de raportul km, constanta de propagare γ devine:
( ) βα−µεω−µεω−γ j + = k j 1 j = k j 1 = mm2
tDJ d ∂
∂=EJc σ=
jk j 1
1 j = Zm
m γωµ
=−
⋅εµ
=γωµ
= k ;
= j
= k mC
m εωσ
εωσ
εω EE
EJ
În funcţie de valoarea raportului km deosebim următoarele medii de propagare:
1) Dielectricii ideali nu există curenţi de conducţie (σ= 0) şi deci km = 0.
Dielectricul ideal nu prezintă pierderi, iar impedanţa intrinsecă a mediului este reală:
Vidul este un dielectric ideal pentru care şi
µεωβαµεωγ = , 0 = j = ;
µε
εµ = , = mm YZ
mm ZZ = Re
0 = kβ
[ ]Ωπ 120 = = ZZ mom
11
Pentru cazul particular al dielectricilor ideali cu µr = 1, lungimea de undă se calculează cu relaţia:
1 2 =
1
2 =
2 = 2 =
000 rrrr k µεπ
µε⋅
µεωπ
µεωπ
βπ
λ
= 0
rr µε
λλ
0
1 = λε
λr
µεωβµεµεω
ωβω
1 =
dd1 =
1 =
= = gf
v v
Mediile pentru care viteza de fază nu este funcţie de frecvenţă păstrează forma unei unde compuse din mai multe componente armonice-“nedispersive”
Mediile pentru care viteza de fază este o funcţie de frecvenţă, forma undei compuse nu se mai păstrează ca urmare a propagării. Aceste medii
de propagare se numesc “dispersive”.
12
2) Dielectricii cu pierderi mici km << 1.
Ptr.x<< 1- relaţia de aproximare
- au aceeaşi constantă de fază ca şi dielectricii ideali:
- au o atenuare a câmpului α ≠ 0
/2 1 1 xx −≅−
2
j 1 j = 2
j 1 j j 1 j =
εωσ
−µεω
−µεω≅−µεωγ m
mk
k
βαµεωεµσ
≅γ j + = j + 2
µεωβ =
Relaţiile de calcul pentru lungimea de undă, viteza de fază şi de grup rămân aceleaşi ca în cazul dielectricilor ideali.
Impedanţa intrinsecă a mediului - se aplică aproximarea, indicată mai înainte, precum şi aproximarea
valabilă pentru x<<1:
Al doilea termen este mult mai mic în modul decât primul, şi într-o primă aproximaţie
Constanta de atenuare are expresia:
x +1x 1
1≅
−
εµ
εµ
εµ
≅−
⋅εµ
≅ mm
mm kk
kZ 21 j + =
2j + 1
2j 1
1
εµ
≅mZ
2Z
2 mσ
=εµσ
≅α
13
4) Conductorul ideal σ→ ∞ şi km→ ∞
• α = ∞, β = ∞ adâncimea de pătrundere este nulă, δ = 0.
• În conductorul ideal câmpul electromagnetic nu poate pătrunde.
• Impedanţa conductorului ideal este nulă. • Conductorul ideal este un scurtcircuit ideal
pentru câmpul electromagnetic
3.) Conductori reali au conductivitatea σ foarte mare
fiind caracterizaţi de 1<< km < ∞
Cu aproximarea
Cu atenuarea pozitivă:
α şi β sunt f.mari, egale numeric
−
εωσ
⋅µεω≅−−⋅µεω≅γmm
m kkk
2j + 1 j
j
j1 1 j j
2j1 = j −
±−
( ) ( )j + 1 2
2j + 1 j 1
2 j σµω±≅
−σµω±≅γ
mk
2
j + 2
j + σµωσµω=βα≅γ
2
= σµω=βα
14
Exemplu Pentru cupru cu σ≅57,8⋅106 Ω– 1⋅ m–1 şi µr = 1 la frecvenţa
f = 1 GHz :
Adâncimea de pătrundere δ a câmpului electromagnetic este distanţa pentru care câmpul se atenuează de e = 2,1783 ori.
Factorul de atenuare este e–α z, înlocuind z = δ avem e–α z = e–1 :
Pentru cupru, la f = 1 GHz adâncimea de pătrundere este
4769
10 47,8 2
1041057,8102 = ⋅≅⋅π⋅⋅⋅⋅π
=βα−
σµωαδ
2 = 1 =
m 2,1 = m 10 2,1 m 1047,8
1 = 64- µ⋅≅⋅δ −
Pentru 10δ câmpul este practic nul, fiind atenuat cu
Pentru cazul considerat în exemplul numeric 10δ ≅ 21[µm]Impedanţa intrinsecă a unui mediu conductor Zmc
Zmc la f = 1 GHz pentru un conductor de cupru
Mediul conductor poate fi considerat practic ca un "scurtcircuit" pentru câmpul electromagnetic.
( ) ; 10 4,54 e 510 −δ⋅α− ⋅≅
( )j + 1 2 = j
=
j 1
j 11 =
σµω
σµω
−⋅
εµ
≅−
⋅εµ
mmm c kk
Z
( ) ( )
[ ] [ ]ΩΩ⋅≅
⋅≅⋅⋅
⋅π⋅⋅π
− m 11,7 = 10 1,17
j+ 110 0,83 j + 110 57,8 2
10 4 10 2 =
2
2-6
-79
mc
mc
Z
Z
15
0 2 = 2 = →δπβπ
λ
σµω
2 = f
v
σµω
22 =gv
Mediul conductor este dispersiv deoarece vf este funcţie de frecvenţă
Pentru cupru β≅ 47,8.10 4 şi λ ≅ 13.10 – 6 [m] =13 [µm].
1
Observaţii -Materialele pentru care km ∈ (0,1 ÷ 10)- semiconductoare -Acelaşi mediu poate avea comportări diferite în funcţie de frecvenţă.
Comportarea pământului uscat la diferite frecvenţe
dielectric4,5⋅10-31GHz
semiconductor4,51MHz
conductor45001kHz
Clasificare kmf
4 ≅εr 1 ≅µ rσ = 10– 3[Ω– 1m– 1]
Apa de mare are σ ≅ 4 [Ω– 1m– 1], şi
La frecvenţa de 1 MHz valoarea constantei km este:
• Apa de mare este la această frecvenţă, un conductor destul de bun.
• Adâncimea de pătrundere corespunzătoare este δ ≅ 25 [cm].• La frecvenţa de 10 Hz adâncimea de pătrundere în
apa de mare este de
ori mai mare şi este de ~ 79 [m].
80 ≅ε r 1=µ r
1 >> 900 = 80 10
361 10 2
4 = 96 ⋅⋅
π⋅⋅π −
mk
56 10 = /1010
2
Reflexia şi transmisia undei plane
Componentele undei directe, reflectate şi transmise ale câmpului electric, respectiv magnetic (luând în considerare şi sensul de propagare al energiei)
3
Componentele E şi H tangente la suprafaţa de
separare sunt continue
Coeficientul de reflexie Γ la suprafaţa de separare
Coeficientul de transmisie prin suprafaţa de separare
E= + t0r0i0 EE
( ) 2mt0r0i01m Y E EE Y =−
i0
r0
EE
=Γ
i0
t0
EET =
Ecuaţiile de continuitate ale componentelor tangente (z=0)
În absenţa pierderilor şi Aplicând succesiv inegalităţile cunoscute din operaţiile cu
module se deduce valoarea maximă a câmpului electric în mediul 1
T1 =Γ+2m1m TY)1(Y =Γ−Γ
12
12
21
21 = mm
mm
mm
mm
+ ZZ Z Z =
+ YY Y Y −−
Γ
12
2
21
122
mm
m
mm
m
+ ZZ
Z =
+ YY
YT =
11 j = βγ
22 j = βγ
4
Valoarea minimă a câmpului în mediul 1
În mediul 1 apare o aşa numită undă staţionară. Unda staţionară este caracterizată de existenţa unor maxime (ventre) şi minime (noduri) de oscilaţie ale câmpului electromagnetic, de valoare şi amplasare fixe pe axa z.
( ) ( ) + 1 = e + e e +e E = 0
j j 0
1 j 1 j 01
ΓΓ≤Γ ββ−ββ−i
zzi
zzi
EEE
( ) + 1 E =E i0max1 Γ
i0max1 E 2 E ≤
( ) 1 = 1 =
= e e e +e =
00
j j 0
j+ j 01
Γ−Γ−
Γ−≥Γ ββ−ββ−
ii
zzi
zzi
EE
EEE
( ) 0 1 =0min1
≥Γ−i
EE
Raportul de undă staţionară
RUST sau din limba engleză SWR (stationary - wave ratio).
min1
max1
EE
= S
1 1 + 1
= = = min1
max1
min1
max1 ≤ΓΓ−Γ
, H
H
E
ES
[ )∞∈ 1, S
5
Impedanţa de undă:
Aplicând inegalităţile cunoscute de la operaţiile cu module se poate demonstra că:
Minimelor câmpului electric le corespund minime ale impedanţei de undă, respectiv maximelor câmpului electric le corespund maxime ale impedanţei de undă.
Când avem o undă ce se propagă, numită şi undă progresivă, impedanţa de undă este egală cu impedanţa intrinsecă a mediului
zz
zz
mzz
zz
im
i
y
x Z EY
EHE
Z j j
j j
1 j j
j j
01
0
1
11 e e
e +e = e ee +e = = ββ−
ββ−
ββ−
ββ−
Γ−Γ
Γ−Γ
111 1
mmS ZZZ
S≤≤
Cazuri particulare
1. Medii adaptate Două medii de natură diferită care au Zm1= Zm2. Rezultă Γ=0 şi T=1Unda incidentă ajunge integral în mediul 2, astfel încât nu
se formează o undă staţionară. Există doar o undă progresivă.
2. Mediul 2 este un conductor ideal (cazul scurtcircuitului)
σ2→∞ (Zm2=0)
Din continuitatea componentelor tangenţiale şi ţinând cont de valorile coeficienţilor de reflexie şi de transmisie se obţine:
0 T ; 1 ≅−≅Γ
0 TE) 1(E EEE i0i 0r0i 0 01 ==Γ+=+=
6
La suprafaţa unui conductor ideal , componenta tangenţială a câmpului electric este nulă.Deci liniile de forţă ale câmpului electric sunt normale la suprafaţa unui mediu conductor ideal.Din expresia intensităţii câmpului magnetic în mediul 1 obţinem:
• În mediul 1 apare o undă staţionară având câmpurile date de relaţiile:
• Aplicând relaţiilor anterioare formulele lui Euler obţinem:
( ) 0YE2EE Y = H 1mi0r0i01m01 ≠=Γ−
( ) ( ) zzimy
zzix E = Y H = EE ββ−ββ− − j j
01 j j
0e + e ; e e
cos 2 = ; sin j 2 =010
z EYHzE Eimyix ββ−
Câmpurile fizice corespunzătoare fazorilor Ex şi Hy sunt:
unde pentru simplificare am considerat că E0i este o mărime reală şi mediul 1 fără pierderi, adică Ym1 este mărime reală.
( ) ttzEz E it
ix sin j + cos sin j 2 Re = e sin j 2 Re = 0
j0
ωωβ−β− ωE
tz EY tzE imyix cos cos 2 = ; sin sin 2 =010
ωβωβ HE
cos2 Re cos2 Re = 0101
)sin(cos Hy tjωtz EYez EYim
tjim
ω+β=β ω
8
Aspecte ale propagării undeiPolarizarea undei
Polarizarea este specifică undelor transversalePolarizarea este legată de modul în care direcţia de
oscilaţie se modifică în timpTipuri de polarizare
• Liniară sau plană• Circulară• Eliptică• Aleatoare
• Pentru polarizarea liniară orientarea câmpului este constantă în timp şi spaţiu.
• Vectorul câmp electric E oscilează în fiecare punct de pe direcţia de propagare pe o direcţie constantă în timp.
Dacă UEM se propagă în vid sau în mediu omogen şi izotrop fără sarcini libere, oscilaţia se face pe aceeaşi direcţie în
orice punct de pe direcţia de propagare (practic înatmosfera de joasă altitudine.)
Unde cu polarizare liniară:- unde cu polarizare verticală în cazul în care vectorul Erămâne tot timpul perpendicular pe suprafaţa de referinţă, care este, de obicei, pământul-unde cu polarizare orizontală, în cazul în care vectorul Erămâne tot timpul paralel cu suprafaţa de referinţă
Dacă se observă unda în direcţia de propagare , vectorul câmpului electric se deplasează de-a lungul unei linii, de unde şi denumirea.
9
• Pentru polarizarea liniară diferenţa de fază între componentele pe axa x, respectiv pe axa y trebuie să fie un multiplu de π:
)φγ ωcos( Ee ERe 0x)φγ ωj(
0xx xzt ztE x +−== +−
)φγ ωcos( Ee ERe 0y)φγ ωj(
0yy yzt ztE y +−== +−
Nnnxy ∈π=φ−φ=φ∆
Fie două unde ortogonale care se propagă în direcţia axei z.
( ) ( ) ( )[ ] t j jy
jx ee z ,y ,xEjez ,y ,xEit ,z ,y ,xE yx ωφφ ⋅+⋅=
10
• Se demonstrează că între două unde cu polarizare ortogonală, nu apare nici o interacţiune (interferenţă), chiar dacă au o aceeaşi frecvenţă ω. Astfel încât două unde ortogonale având o aceeaşi frecvenţă pot transporta informaţii distincte, fără a se perturba reciproc. Fie un mediu fără pierderi:
e Y E = e YE =
e E = e E = z j
m0y2z j
m0x1
z j 0y2
z j 0x1
β−β−
β−β−
− iHjH
jE iE
Unda rezultată prin suprapunerea celor două unde cupolarizare diferită are componentele date de relaţiile:
Deoarece
( ) ( ) e Y E j+ E i =H e E j + E i = E z j m0y0x
z j 0y0x β−β− −;
( ) ( )
−×× ββ−
2
0y
2
0x
z jm
*0x
*0y
z j 0y0x
*
E + E 21 =
= e Y E + E e E + E = 21
k
jijiHE
m2
0xz j
m*0x
zj 0x
*11 YE k
21 =e Y E j e E i
21 =H E
21 ββ− ××
( ) m
2
0yz j
m*0y
z j 0y
*22 YE k
21 =e Y E i e E j
21 =H E
21 ββ− −××
11
Prin integrarea ultimei expresii se obţine concluzia că Pputerea transportată de unda rezultantă se exprimă prinsuma puterilor P1 şi P2, corespunzătoare celor două undecomponente cu polarizare ortogonală:
• Deoarece în acestă expresie nu apare o putere de interacţiune dintre unde, nu există influenţă reciprocă(interferenţă).
• O undă cu polarizare liniară poate fi generată cu o antenă simplă, ca de ex. un dipol, sau cu lasere.
**2211
* 21 +
21=
21 HEHEHE ×××
21 + PP = P
Undele polarizate circular au o amplitudine constantă a câmpului electric şi orientare a acestuia ce se roteşte
într-un plan transversal pe direcţia de propagare.
Componentele Ex respectiv Ey au aceeaşi amplitudine E0x= E0y şi un defazaj multiplu impar de π/2
Nnn221
xy ∈π+±=φ−φ=φ∆ )(
12
• Cele două componente ale câmpului electric se rotesc în jurul axei de propagare în timp şi spaţiu.
• Oscilaţia rezultantă este constantă în orice moment dar direcţia de oscilaţie se roteşte cu viteza ω; vectorul câmpului electric descrie un cerc adică proiecţia curbei descrisă de vârful vectorului E pe planul x0y este un cerc.
• Dacă vectorul rezultant se roteşte în sens trigonometric, polarizarea circulară se numeşte pozitivă Dacă vectorul rezultant se roteşte în sens invers trigonometric, polarizarea circulară se numeşte negativă
• Dacă se are în vedere faptul că unda se propagă în lungul axei z cu viteza de fază vf constantă, vârful vectorului câmp electric descrie în spaţiu o elice înfăşurată pe un cilindru cu secţiunea circulară.
Undele polarizate circular pot fi generate de antene elicoidale sau de 2 surse liniare orientate perpendicular una pe cealaltă şi alimentate cu curent defazat cu 90 grade.
13
O undă polarizată eliptic are un câmp electromagnetic ce trasează o elipsă în plan transversal, x-y pe măsură ce variază în timp. O undă polarizată eliptic are amplitudinea şi un defazaj multiplu impar de π/2 oyox EE ≠
Nn)n221(xy ∈π+±=φ−φ=φ∆
• Vârful vectorului câmp electric descrie în spaţiu o elice înfăşurată pe un cilindru cu secţiunea eliptică.
• Polarizarea liniară şi circulară sunt cazuri particulare ale polarizării eliptice
• Polarizările prezentate sunt deterministe, adică câmpul electric poate fi descris ca o funcţie de timp şi spaţiu. Dacă câmpul electromagnetic este aleatoriu, polarizarea se numeşte aleatoare.
Ex sunt undele radiate de soare şi stele.
14
Propagarea în atmosferă
Propagarea undei are loc arareori în condiţiile ideale presupuse anterior.
Analiza comunicaţiilor în microunde trebuie să ţină cont de prezenţa
• pământului• ionosferei• precipitaţiilor atmosferice ca ceaţa, ploaia, zăpada şi
grindina• Cele două straturi ale atmosferei importante ptr.
propagarea undelor radio sunt troposfera şi ionosfera.• Troposfera este regiunea atmosferei neionizată, ce se
întinde de la suprafaţa pământului până la 15 km. La f. radar (100MHz-300GHz) troposfera influenţează semnificativ propagarea undelor.
• Ionosfera este stratul superior al atmosferei, de la altitudinea de 50 km până la raza pământului, aprox 6370 km. Aici ionizarea influenţează propagarea.
1
Undele se pot propaga deasupra pământului în mai multe moduri ilustrate şi în figură:
• unde de suprafaţă sau terestre (surface wave) - radiate orizontal, care se propagă de-a lungul suprafeţei Pământului, în păturile inferioare ale atmosferei
• unde radiate sub un unghi oarecare faţă de suprafaţa pământului,care la rândul lor, se subîmpart în:
• unde troposferice, (space wave) care se propagă prin troposferă respectând legea variaţiei câmpului electromagnetic cu distanţa
• unde ionosferice, (sky wave) care sunt puţin absorbite în păturile puţin ionizate ale atmosferei şi ajung la ionosferă unde în anumite condiţii, într-un interval limitat de frecvenţe (aprox.0-50 MHz) se produce refracţia lor
Moduri de propagare ale undelor
2
Undele de suprafaţă• se propagă la frecvenţe joase (2-5MHz aprox) şi sunt
direcţionate de-a lungul suprafeţei pe care se propagă • Intensitatea variază cu frecvenţa şi în funcţie de
caracterul suprafeţei de propagare. • Pentru o frecvenţă dată, unda electromagnetică se
propagă mai departe la suprafaţa mării (2 MHz/0,5 Kw/800 km) decât deasupra pământului (2 MHz/0,5 Kw/320 km).
• Odată cu creşterea frecvenţei, curenţii de valori miciinduşi în mediu cresc, pierderile de căldură cresc şi ele, iar unda se propagă la distanţă mai mică.
• Unda terestră este polarizată vertical, adică câmpul eielectric este perpendicular pe suprafaţa Pământului. Componenta orizontală este absorbită datorităconductibilităţii Pământului.
• Deoarece propagarea undelor de suprafaţă depinde de conductivitatea pământului, unda este mai puternic atenuată decât în mediul liber.
Undele ionosferice
• sunt direcţionate către ionosferă.• sunt absorbite slab în păturile puţin ionizate ale
atmosferei şi ajung la ionosferă care le retransmite către pământ în anumite condiţii şi într-un domeniu de frecvenţă limitat (0-50MHz aprox)
• Propagarea lor este puternic dependentă de condiţiile ionosferei (de nivelul de ionizare) şi de frecvenţa semnalului
• Deoarece în ionosferă, ionizarea şi εr variază treptat, calea undelor radio prezintă o curbură lină şi nu o liniefrântă. Cu cât λ este mai mare şi cu cât ionizarea este mai puternică, cu atât mai curbat va fi traseul undei.
• undele nu sunt numai refractate, dar şi absorbite, absorbţia crescând odată cu λ.
3
• înălţimea şi gradul de ionizare ale păturilorionosferei variază funcţie de zi, noapte, anotimpuri, drumul undelor spaţiale variază şi el, ceea ce explică fenomenul de extincţie al semnalului (fenomenul de „fading”).
• Din diagramele de propagare se poate trageconcluzia că pentru emisiile radio din cursulnopţii trebuie folosite frecvenţe joase. Pentruemisiile din cursul zilei, pentru aceleaşi distanţe, frecvenţa trebuie mărită.
• Atenuarea în atmosferă variază aleator în timp de la zero în atmosferă ideală (limpede) până lazeci de dB. Nivelul semnalului recepţionat suferămodificări, fluctuaţii rapide, numite scintilaţii şi lente (fading).
• Apare depolarizarea determinată de rotirea planului de polarizare al oscilaţiilor UEM la trecerea prin medii ionizate (efect Faraday) şi prin zone cu ploaie şi cristale de gheaţă.
4
• Atenuarea şi depolarizarea sunt determinate de interacţiunea UEM cu particulele componente ale atmosferei: electroni şi ioni liberi, atomi şi molecule, vapori de apă, picături de apă (ploaie, ceaţă), particule de gheaţă, particule în suspensie (fum, freon) etc.
• Aceste interacţiuni depind mult de frecvenţaUEM, devenind deosebit de intense peste 10GHz, cu excepţia efectului Faraday.
Atenuări datorate absorbţiei moleculareO parte din energia UEM este absorbită de
moleculele diverselor gaze şi de apă (vapori) din atmosferă.
La anumite frecvenţe apar fenomene de rezonanţăşi absorbţia creşte foarte mult. Există:
- absorbţii de rezonanţă cu moleculele de apă(vapori) apar la circa 22.235GHz;
- absorbţii de rezonanţă cu moleculele de oxigenapar între 56.5GHz şi 65.2GHz;
- alte absorbţii de rezonanţă apar la peste 100GHz.
In afara frecvenţelor de rezonanţă absorbţiile pot fi neglijate, determinând atenuări sub 1dB.
Evident, frecvenţele de rezonanţă sunt cu maregrijă evitate.
5
Scintilaţiile ionosferice
• La unghiuri de elevaţie mici, de ordinul a 5º, UEM parcurg trasee foarte lungi în ionosferă, zonă cu mari concentraţii de electroni liberi şi în general turbulentă. In ionosferă se producvariaţii rapide ale indicelui de refracţie şi deci direcţiile de propagare se modifică, astfel încât:-se modifică câştigul pe direcţia de propagare, deci nivelul semnalului recepţionat, deoarece antenele sunt directive-apar interferenţe între semnalele defazate (careau parcurs drumuri diferite) cu consecinţe învariaţii ale amplitudinii şi fazei oscilaţiei lareceptor.
• Turbulenţa ionosferică determină şi variaţiirapide ale absorbţiei de energie. Consecinţa acestor fenomene este căputerea semnalului demodulat prezintăvariaţii rapide, scintilaţii ionosferice de ordinul a multipli de 0.1dB.
• Aceste scintilaţii sunt cu atât mai mari cucât antenele sunt mai directive şi unghiurile de elevaţie mai mici.
• Ca urmare, se evită recepţia sub elevaţiimici sau se realizează proiecte speciale.
6
Undele troposferice
• constă dintr-o undă directă şi una reflectată.• Unda directă se propagă de la emiţător la
receptor pe o traiectorie aproape rectilinie, iar unda reflectată se datorează reflexiei de pământ.
• Undele troposferice respectă legile opticii. • Puterea undei scade pe măsură ce este radiată
de la emiţător la receptor, aşa cum s-a dedus anterior pentru unda plană.
kcose Z2E
P mz 2
2
m
0t
α−≈
Antena de transmisie şi cea de recepţie în mediul liber
t
2
rtr Pr4
GGP
πλ
=
Presupunând că antena este în mediul liber sau într-unul fără pierderi, puterea recepţionată de antena de recepţie este dată de ecuaţia de transmisie Friis, valabilă în cazul în care distanţa dintre antene r>2D2/λ, unde D este cea mai mare dimensiune a antenelor :
7
•arată că puterea recepţionată scade cu 20 dB pe decadă proporţional cu distanţa.•Dacă propagarea nu este în mediul liber se introduce un factor de corecţie F, numit factor de atenuare, ptr. a lua în considerare efectele mediului
0
m
EEF =
2t
2
rtr FPr4
GGP
πλ
=
rGGWPWPo rttr π
λ+++=
4log20log10log101/log101/log1
• P este puterea în dB raportată la 1W (10logP(W)/1W)• G este câştigul • L0 este atenuarea în mediul liber• L0 se determină din nomograme sau cu relaţia
m0rttr LLGGPP −−++=Din motive practice, uzual P se exprimă în dB.
λπ
=r4log20L0
Flog -20Lm =
• Lm este atenuarea introdusă de mediu
8
Efectul pământului
Propagarea undei pe căi multiple (multipathpropagation) îndepărtează semnificativ condiţiile de propagare de cazul ideal şi se referă la posibilitatea propagării undei pe diferite traiectorii de la emiţător la receptor.
Există 2 căi de propagare a undei:
• directă prin atmosferă • indirectă prin reflexie şi
refracţie la suprafaţa de separare între atmosferă şi pământ
Componentele reflectate şi refractate sunt uzual separate în:• Componenta coerentă – bine definită din punctul
de vedere al amplitudinii, fazei şi direcţiei de incidenţă.
• respectă legea de reflexie a lui Snell care cere ca unghiul de incidenţă şi reflexie să fie egale şi coplanare.
• Este o undă plană şi deci este unic specificată prin direcţia sa
• Componenta difuză sau incoerentă este determinată de natura aleatorie a suprafeţei de dispersie,care este deci nedeterministă.
• Nu este o undă plană • nu respectă legea de reflexie a lui Snell.
9
Se defineşte factorul de atenuare care evidenţiazădiferenţele faţă de condiţiile propagării în mediul liber
Г este coeficientul de reflexie Fresnel- care ţine cont de proprietăţile electrice ale suprafeţei pământului
Acesta depinde de:• - permitivitatea complexă a suprafeţei εc
• - unghiul de incidenţă ψ• - tipul de polarizare al undei, respectiv polarizare
orizontală sau verticală
∆−θρΓ+= js eDS1F )(
• ρs este coeficientul de rugozitateţine cont de faptul că pământul nu este suficient de neted
pentru a produce o reflexie coerentă decât la un unghi de incidenţă foarte mic. Suprafaţa pământului are dealuri, vegetaţie, păduri , oceane cu valuri. Uzual distribuţia diferitelor obstacole pe suprafaţa pământului este gaussiană.
• D este factorul de divergenţă este semnificativ la unghiuri de incidenţă ψ foarte mici şi
ţine cont de împrăştierea razelor reflectate datorită curburii pământului în raport cu o suprafaţa plată.
10
)RRR(2d21 −+
λπ
=∆
Geometria reflexiei sferice la suprafaţa pământului
• Δ este diferenţa de fază între unda directă şi cea reflectată:
Efectul de umbrire la o incidenţă sub un unghi θ
• S(θ) este o funcţie de umbrire
importantă la un unghi de incidenţă mic şi apare datorită efectului de umbrire geometrică - unda incidentă nu poate ilumina porţiunile umbrite de obiecte înalte
11
Efectele precipitaţiilor
• Particulele de praf din atmosferă şi precipitaţiile influenţează propagarea undelor electromagnetice.
• -neneglijabilă la frecvenţe sub 10GHz -esenţială la frecvenţe mai mari de 10 GHz.
• Ploaia este factorul dominant -determină atenuare, diferenţe de fază, distorsionarea traiectoriei şi depolarizarea undelor electromagnetice.
• Ptr. semnalele analogice -influenţă în special peste 10 GHz, ptr cele digitale sub 3 GHz.
• Ploaia afectează legăturile terestre şi cele pământ satelit • Atenuarea determinată de ploaie:
• R intensitatea ploii (rainfall rate) –cantitatea de apă care cade pe unitatea de suprafaţă în unitatea de timp (măsurată în kg/m2s) sau
• înălţimea stratului de apă colectat în unitatea de timp exprimat în mm/oră
(ploaie slabă R = 0.25mm/oră, la una intensă R = 20mm/oră)
• γ(R) atenuarea specifică (pe unitatea de lungime) măsurată în dB/km, la o intensitate R a ploii;
)()()( RpRlRL em γ=
12
• le este distanţa caracterizată prin ploaie de intensitate R;• p(R) probabilitatea de distribuţie cumulativă - procentul
de timp dintr-un an în care se realizează R mai mare decât o valoare dată (curba excedentului) -dependent de cantitatea totală de apă colectată într-un an (media pe mulţi ani) şi de raportul de apariţie a furtunii.
• Global, pe arii extinse -ploaia se caracterizează prin curbe de egală intensitate şi egală probabilitate (curbe care unesc punctele în care o intensitate dată depăşeşte un procent de timp pe an (de exemplu 0.01%).
• Aceste curbe sunt rezultatul medierii rezultatelor observaţiilor pe mulţi ani.
• Calculele riguroase ţin cont de distribuţia mărimii picăturilor de ploaie, de viteza picăturilor şi de indicele de refracţie.
• O formulă empirică:
baRR =γ )(a şi b sunt constante tabelate (CCIR, Report 564-2, 1982) şi diferă puţin în funcţie de polarizarea=6,9.10-5f2,03 pentru f<2,96GHz; b=0,851.f0,138 pentru f<8,5,GHz
13
Propagarea undei electromagnetice prin structuri ghidate - linii de transmisie şi
ghiduri de undă• la f mari dimensiunile circuitelor devin comparabile cu
lungimea de undă (100 MHz - λ=300 cm)• Localizarea L,C, şi R"pure" nu mai este posibilă, apar
elementele de circuit "parazite". • Elementele "distribuite" în lungul structurii de transmisie.• 2 concepte de abordare:
• teoria liniilor de transmisie - propagarea unidimensională , fiecărei porţiuni infinitezimale de circuit i se asociază un circuit cu parametri concentraţi, cu valori infinit mici
• teoria ghidurilor- propagarea trididimensională, pornind de la ec.lui Maxwell
• Utilizarea segmentelor de linie : -circuite selective rezonante, filtre-circuite de adaptare-cuploare
Linia bifilară simetricăuzual ZC=300Ω
Linia coaxialăuzual ZC=50Ω sau ZC=75Ω
Linia plan paralelă
(microstripasimetrică)
14
Ecuaţiile liniei de transmisie omogene în regim armonic
Linia este caracterizată de:• rezistenţa liniară pe unitatea de lungime R [Ω/m]; • inductivitatea pe unitatea de lungime, L [H/m];• conductanţa pe unitatea de lungime, G
[Siemens/m]; • capacitatea pe unitatea de lungime, C [F/m]
• Linia omogenă are R, G, L, C, σ, ε şi dimensiunile constante de-a lungul său - axa z
• Fie o linie omogenă, fiind date U şi I într-un punct al liniei de transmisie se pune problema determinării acestor variabile într-un punct oarecare pe linie, cunoscând parametrii liniei şi frecvenţa generatorului.
( ) ( ) ( ) ( )t
zCzGt
zLzR U
d + U d = I d ; I
d + I d = d∂
∂−
∂∂
− U
tωtω zz ItzUtz j j e Re = ) ,(I ; e Re = ) ,(U )()(
Se asociază în regimul armonic monocromatic cu frecvenţa ω, tensiunii U(z, t) şi curentului I(z, t), fazorii :
( ) ( ) ( ) ( )tdUzCdUzG
tzLzR
)U(
d + )(U d = I d ; I
d + I d = d∂+∂
+−∂∂
− U
15
(1)
• Se derivează în raport cu z şi rezultă "ecuaţiile telegrafiştilor"
• Se substitue derivatele de ordinul întâi utilizând ecuaţiile anterioare:
(2)
• Se notează cu γ constanta de propagare:
( ) ( ) z UCGIz ILRU d j + = d ; d j = d ω−ω+−
( ) ( )UCG zIILR
zU j + =
d d ; j =
dd ω−ω+−
( ) ( )z
UCGzI
zILR
zU
d d j + =
dd ;
d d j =
dd 2
2
2
2
ω−ω+−
( ) ( ) ICGLRzIUCGLR
zU j + ( ) j =
dd ; j + ( ) j =
dd 2
2
2
2
ωω+ωω+
( ) ( ) j + = j + j = βαωω+γ CGLR
Ecuaţiile diferenţiale ale liniei omogene în regim armonic monocromatic –ecuaţiile undei
• Soluţiile acestor două ecuaţii sunt:
• Se consideră că la z = 0, U = U 0 şi I = I0
IzIU
zU =
dd ; =
dd 2
2
22
2
2
γγ
zzzz CCICCU zz 4
3
2
1
e + e = ; e + e = )()( γγ−γγ−
430210 + = ; + = CCICCU
16
Impunând condiţiile iniţiale în ecuaţiile (1) obţinem:
• Se rezolvă sistemul anterior de ecuaţii cu necunoscutele C1 ÷ C4 şi
se obţin soluţiile:
( ) ( )
( ) ( ) 00 =
4
3
00 =
2
1
j + = e + e
j + = e C + e
UCGCC
ILRC
z
zz
z
zz
ωγγ−−
ωγγ−−
γγ−
γγ−
j + j +
= ; j + j +
=
j + j +
21
= ; j + j +
+ 21
=
2413
002001
LRCGCC
LRCGCC
ICGLRUCI
CGLRUC
ωω
=−ωω
=
ωω
−
ωω
Se defineşte impedanţa caracteristică a liniei şi se notează cu Z c expresia:
CGLRZc j +
j + = ωω
Înlocuind în expresiile constantelor C1 ÷ C4 impedanţa caracteristică
• Substituind soluţiile C1 ÷ C4 în expresiile I(z) şi U(z) obţinem ecuaţiile liniilor de transmisie sub formă exponenţială:
c
c
c
ccc
Z
IZUC
Z
IZUC
IZUC
IZUC
2 = ;
2
+ = ;
2 = ;
2 = 00
400
300
200
1
−−
−+
zczc IZU IZUzU 00 00 e
2 + e
2
+ = )( γγ− −
z
c
cz
c
c
Z
IZU
Z
IZUzI 00 00 e
2 e
2
+ = )( γγ− −
−
(7):
17
Ecuaţiile sub forma hiperbolică:
2eezsh
zz γ−γ −=γ
zsh zch= )( 00 γγ IZUzU c−
zsh
zch
= )( 00 γγcc Z
UZ
UzI −
2eezch
zz γ−γ +=γ
1
Linia de transmisie de lungime infinităSe fixează originea într-un punct arbitrar în care tensiunea
se notează cu Ui şi curentul Ii
Se calculează U(z) şi I(z) aplicând relaţiile (7), U0 şi I0 se înlocuiesc cu Ui şi Ii
Cursul 6
Se evidenţiază partea reală respectiv partea imaginară a
constantei de propagare γ:
• Termenii ce descresc odată cu creşterea distanţei z corespund undelor directe.
• Termenii ce descresc de la sarcină spre generator corespund unor unde inverse, care apar datorită reflexiilor de pe sarcină
zz
c
icizz
c
ici
zzicizzici
Z IZU
Z IZ+U
zI
IZU IZUzU
j j
j j
e e 2
e e 2
= )(
e e 2
+ e e 2
+ = )(
βαβ−α−
βαβ−α−
−−
−
(9):
2
Dacă linia este infinit lungă, nu există undă inversă şi egalând cu zero termenul corespunzător rezultă (10) :
0 = I Z U ici −c
i
i Z= I
U
În consecinţă impedanţa de intrare a liniei de lungime infinită, măsurată spre dreapta în planul AA' -Z c.Substituind (10) în ecuaţiile (9) rezultă:
zz
c
izzi Z
UzI UzU j j e e = )( ; e e = )( β−α−β−α− (11)
ZzIzU
c = )()(
(12)
CONCLUZII
1) O linie infinit lungă prezintă la intrarea sa o impedanţă egală cu impedanţa caracteristică.2) O linie terminată pe impedanţa caracteristică prezintă la intrarea sa, indiferent de lungime,. o impedanţă egală cu impedanţa caracteristică
3
Linia de transmisie de lungime l
• Se consideră originea în sarcină• Se calculează U(z) şi I(z) pentru z = – l
considerând în ecuaţiile (7): U0 = Us, I0 = Is şi z = – l.
( ) l I Z+ l U = e I ZU
+ I Z+U
= scsl scslscs sh γch γ
2e
2lU γ−γ −
( ) l ZU
+ l I = Z
I ZU
ZI Z+U
= lIc
ss
l
c
scsl
c
scs sh γγche2
e2
γ−γ −−
Se consideră o linie fără pierderi, adică R = 0 şi G = 0. Din relaţia (6)
LC = = ωβγ jjCL = Zc
( ) l I Z + l U = I ZU
+ I Z+U
= lU scsl scsl scs β
− β−β sin jcos β e2
e2
jj
( ) l ZU + l I =
ZI ZU
Z
I Z+U = lI
c
ss
l
c
scsl
c
scs ββ−
− β−β sinjcose2
e2
jj
(13)
(14)
În aceste condiţii relaţia (13) devine
4
Impedanţa de intrare, văzută spre dreapta, a segmentului
de linie B-B ' ÷ C-C ' este:
• Deoarece Us / Is = Zs
( ) ( )( ) l tg
IU j + Z
l tg Zj + IU
Z= l sin
ZU j + l cos I
l sin I Zj + l cos U =
lIlU = lZ
s
sc
cs
s
c
c
ss
scs
β
β
ββ
ββ
Se înlocuiesc impedanţele cu admitanţe Y(l) = 1/ Z(l), Yc = 1/ Zc şi Ys = 1/ Zs
( )l Y +Yl Y + Y
Y = lYsc
cs c β
βtgjtgj
(15)
(16)
tgj +
tg j = )(
l ZZl ZZ
ZlZsc
csci β
β+
Parametrii secundari ai liniei
C jG +
L jR + C L =
ωωωγ 1 1j
( ) ( ) j + = j + j = βαωω+γ CGLR
La frecvenţe mari, deoarece1 <<
L R
ω1 <<
C G
ω
ωω
ω≅
ω
ω
ω≅γC
G + L
R + C L C
G + L
R + C L j2j2
1jj2
1j2
1j
Se poate face aproximarea 211 x/ + x + ≅1 << x
.
5
C L LC R +
CLG ω+
≅γ j
21
CL
CG
LR
CL
CG
LR
CL
CG
LR
CL
CGLRZc
≅
ω
−ω
+≅
≅
ω
+
ω
+≅
ω+
ω+
=ωω
jj1
j1:
j1
j1
j1
j + j + =
( ) L C + R YG Z
L CR YG Z cccc ,
2 ; j + +
21 ω≅β≅αω≅γ
Dacă este satisfăcută condiţia:
CG =
LR
L CR YL CLCR
LRL C c j + = j + = j
+ 1 j = 2
ωω
ω
ωγ
G R = RG R =
LC R =Y R c
L CR GL CR G = , = ; j + = ωβαωγ
j1
j1
j + j + =
CL
LR
LR
CL
CGLRZc =
ω+
ω+
=ωω
6
Regimul de adaptare
Fie o linie de transmisie de lungime infinită (pe care nu poate să apară unda inversă). Există numai undele directe de tensiune şi curent. Punând în (11) condiţia de linie de lungime infinită, rezultă:
Expresiile tensiunii şi curentului pe linie, ca funcţie de z şi t sunt:
(17)
zzc
zz YUzIUzU j 0
j 0
e e = )( ; e e = )( β−α−β−α−
În absenţa pierderilor α = 0, Y c este pur real şi cele două relaţii se simplifică la:
( )ztUtz cos = ),(0
β−ωU(18)
( )zt YUtz c cos = ) , (0
β−ωI
Relaţiile (18) corespund regimului de undă "progresivă" sau de "adaptare".
( )z t cos e U = ee e U Re = )t,z(U z 0
tjz j z 0 β−ωα−ωβ−α−
( )z t cos e Y UeeeIRe = )t ,z( z c0
tjzz0I β−ωα−ωβ−α−
Viteza de fază
Viteza de grup
rrf
c = LC1 = = v
µεβω
rrg LC
vµεβ
ω c = 1 = dd =
Lungimea de undă pe linie, λ, se determină cu relaţia:
rrrr
cLC µε
λ
µε⋅
ωπ
ωπ
βπ
λ 0 = 1 2 = 2 = 2 =
Dacă dielectricul dintre conductorii liniei are 1 = rµ
0 1 = λ
ελ
r
Termenul rε1/ Este "factorul de scurtare".
7
Undele de tensiune şi curent pe linia de transmisieFie o linie de lungime finită, terminată pe impedanţa de
sarcină Zs, luând originea în sarcină U0=US ; I0=IS , relaţiile (7) devin:
zz
c
scszz
c
scs
scszz
Z I Z U
Z I + ZU
zI
I Z UzU
j j
z j z j scs
e e 2
e e 2
= )(
e e 2
+ e e 2
I Z+ U = )(
βαβ−α−
βαβ−α−
−−
−
(19)
Se notează:
−− 0
+0
= 2
; U= 2
U I Z U I + ZU scsscs
−−
− 0
0+
0
+0 = =
2 ; = =
2I
ZU
Z I Z U
IZU
Z I + ZU
cc
scs
cc
scs
( ) ( )( ) ( ) z
0 z +
0
z 0
z +0
e I = zI ; e I = zI
; e U = zU ; e U = zU γ−−γ−+
γ−−γ−+
8
(20)
Relaţiile anterioare se scriu sub forma
( ) ( )zI zI = e e I e e I = I(z) z j z 0
z j z +0
−+βα−β−α− −−
Se definesc coeficienţii de reflexie, pentru tensiune şi curent, prin rapoartele
( )
( )
zu
zu U
UzUzUz 2 2
+0
0 e (0) = e
= = )( γγ
−
+
−
ΓΓ
( )( )
z 2i
z 2+0
0z 2
+0
0
i e (0)= e UU = e
I I =
zIzI= )z( γγ
−γ
−
+
−
ΓΓ
( ) ( )z U+ z U= e e U + e e U = )z(U z j z 0
z j z +0
−+βα−β−α−
Deoarece şi
Coeficientul de reflexie al undei de tensiune este egal cu coeficientul de reflexie al undei de curent
Se observă că în absenţa pierderilor avem:
Prezenţa undelor directe şi a undelor inverse conduce, prin suprapunerea lor, la apariţia regimului de undă staţionară-existenţa unor maxime şi minime de oscilaţie, cu poziţie fixă în lungul liniei (al axei z).
( ) ( ) =Γ=Γ zz iu ( )z Γ
( ) ( )z t cos U = e e U Re = t,z 0
t j z j 0U β+ω−ωβ−−
( ) ( )z t cos Y = t,z c 0UI β+ω−−
( ) ( )z t cos U = e e U Re = t,z 0
t j z -j 0U β−ω+ωβ++
( ) ( )z t cos Y = t,z c 0UI β−ω++
cZIU ++ = 00 cZIU −− = 00
9
Se notează coeficientul de reflexie la z = 0, Γ0În absenţa pierderilor, tensiunea şi curentul pe linie rezultă din particularizarea relaţiilor (20)
Deoarece Coeficientul de reflexie va fi în dreptul sarcinii este:
( ) ( ) ( ) e e = )( ; e + e = j 0
j +0
j 0
j +0
zzzz IzIUzU ββ−ββ− Γ−Γ
U / I = Zs s s
( ) scs
cs
scs
scs
+ ZZ ZZ
I + ZU I Z U
Γ−−
ΓΓ−
= = = U
U = 0 = +
0
0
0
( )z
szz
cs
cs
+ ZZ Z Z
z j 2 j 2 0
j 2 e = e =e = βββ ΓΓ−
Γ
(26)
(25)
În absenţa pierderilor, tensiunea şi curentul pe linie rezultă din particularizarea relaţiilor (20)
S-a notat coeficientul de reflexie la z = 0, Γ0. deoareceCoeficientul de reflexie va fi în dreptul sarcinii:
( ) ( ) ( ) e e = )( ; e + e = j 0
j +0
j 0
j +0
zzzz IzIUzU ββ−ββ− Γ−Γ
U / I = Zs s s
( ) scs
cs
scs
scs
+ ZZ ZZ
I + ZU I Z U
Γ−−
ΓΓ−
= = = U
U = 0 = +
0
0
0
( )z
szz
cs
cs
+ ZZ Z Z
z j 2 j 2 0
j 2 e = e =e = βββ ΓΓ−
Γ
10
Deoarece
Modulul coeficientului de reflexie nu se modifică în lungul liniei, ci doar faza acestuia.
Maximele şi minimele tensiunii şi curentului pe linie
1 = e j 2 zβ ( ) = z sΓΓ
( ) ( ) max+0
= + 1 UUzU sΓ≤ ( ) ( )min
+0
= 1 UUzU sΓ−≥
( ) ( ) max+0
= + 1 IIzI sΓ≤ ( ) ( )min
+0
= 1 IIzI sΓ−≥
Se defineşte raportul de undă staţionară
Cazuri particulare1) Linia terminată pe impedanţa caracteristică. Din
(26) se obţine:
Regimul liniei este cel de undă progresivă ca şi la linia de lungime infinită, adică de adaptare.
2) Linia terminată în scurtcircuit
Unda directă se reflectă integral, schimbându-şi faza cu 180° (adicăschimbă semnul).
[ )∞∈Γ−
Γ+=== ,1
11
min
max
min
max
s
s
II
UU
S
0 =0 sΓ=Γ
1 = = 0
−ΓΓ s
11
Rezultă din relaţiile (25)
• Tensiunea pe linie, U(z,t) şi curentul pe linie, I(z,t), devin:
zYUzIzUzU c cos 2 = )( ; sin j 2 = )( +0
+0
ββ−
( ) ( ) tzYUtz tzUtz c cos cos 2 = , ; sin sin 2= , +0
+0
ωβωβ IU
3) Linia terminată în gol
Fazorii de tensiune şi curent pe linie se obţin înlocuind :
Undele de tensiune şi curent de pe linie
Există maxime şi minime de tensiune şi curent. În dreptulgolului din sarcină avem întotdeauna un nod de curent(nul) şi un ventru de tensiune.
Distanţa dintre două noduri de tensiune sau de curent consecutive este λ/2
TEMĂ : Reprezentarea tensiunii U şi curentului I
1 =
lim = = 0 Z + Z
Z ZZ cs
cs
ss
−∞→
ΓΓ
1 = = 0 sΓΓ
zYUzIzUzU c sin j 2 = )( ; cos 2 = )( +0
+0
β−β
tzYUtztzUtz c sin sin 2= ) ,( ; cos cos 2 = ) ,( +0
+0
ωβωβ I U
12
Impedanţa de intrare a liniei de transmisie
Tangenta este periodică cu perioada π :
şi rezultă
tgj +
tg j = )(
l ZZl ZZ
ZlZsc
csci β
β+
( ) ( ) l + l tg= l + l tg)ltg(l tg ∆ββ∆β=π+β=β
π∆β = l πλβ 2 = /2 = λ∆ l
( ) ( ) Ζ n l Y = 2
n + l Y ; l Z = 2
n + l Z iiii ∈∀
λ
λ
Un segment de linie de lungime λ/2 păstreazăvaloarea impedanţei conectată la ieşirea sa, darinversează faza tensiunii şi a curentului din sarcină.
( ) α−πα cos = + cos ( ) α−πα sin = + sin Deoarece
13
Coeficientul de reflexie poate fi scris ca o funcţiede lungimea l, punând în (26) z=-l
Cazuri particulare1) Segmentul de linie terminat în scurtcircuit
Impedanţa caracteristică este în absenţa pierderilor (sau înprezenţa unor pierderi foarte mici), o mărime reală
( ) ( )cs
csss
ls + ZZ
ZZlll
−Γβ−βΓΓΓ β− = ; 2sin j 2 cos = e = j 2
( ) ( )ll =/2+ ΓλΓ
( )∞ = 0 = ss YZ
( )
λπβ
l 2 tgZj =l tgZ j = lZ cci
,
0 > iX
Pentru
Pentru
0 Xi <
caracter inductiv
caracter capacitiv
λλλ
∈4
+ 2
,2
kkl
λλλλ
∈2
+ 2
,4
+ 2
kkl
14
• Dacă rezultă
Un segment de linie de lungime λ/4 terminat prinscurtcircuit are impedanţa de intrare infinită.
( ) N , 4
1 + 2 = ∈λ kkl ∞ = iZ
( )
( )
λπ−β−
β−
l2 ctg = ctg =
ctg j =
cci
ci
YlYlB
lYlY
15
2) Segmentul de linie terminat în golTrecând la limită în relaţia (15) pentru
/8 = λl
cici YYZZ j = ; j = −
∞→ sZ
( )
)l(jXl2 ctg Z
l ctg Zj =lZ
ic
ci
=
λπ−=
=β−
( ) lYlY ci tg j = β
Pentru segmentul de lungime terminat în scurcircuit
3) Variaţia impedanţei de intrare a liniei, la variaţiireduse ∆l ale lungimii l0. 1 << /
0ll∆
.
λ⋅
∆λ
∆∆ 0
00
= ~ ) (
l
lll
lZZ
i
i
Variaţia relativă a impedanţei, la mici modificări ale lungimiiliniei, este proporţională cu variaţia relativă la lungimea de undă pe linie (λ) a variaţiei lungimii liniei (∆l).La aceeaşi variaţie relativă Δl /l0 , cu cât l0 este mai mic, cu atâtvariaţia relativă a impedanţei de intrare este mai redusă.
16
4) Variaţia impedanţei de intrare a liniei la variaţii
reduse Δω/ω0<< 1 ale frecvenţeiDacă pierderile sunt nule sau neglijabile
La aceeaşi variaţie relativă de frecvenţă , variaţia relativă a impedanţei de intrare este cu atât mairedusă cu cât lungimea iniţială a liniei este mai mică .
l ~ )(Z
Z 0
0i
i ω∆ω
∆
L C = ωβ
Diagrama Smith pentru liniile omogene fără pierderi
cn
cn Y
YYZZZ = ; =
1= = ; 1 = = c
cc n
c
cc n Y
YY
ZZ
Z
cncn Y Y = Y Z Z= Z ⋅⋅ ;
tg j + 1 tgj + = )(lZ
lZlZs n
s ni β
β
tg j +
tgj + = )(lY1
lYlYs n
s ni β
β
17
)( + )(
= + )( )(
=)( ; + )( )(
=)( lYYlYY
ZlZZlZ
lZzZZzZ
zic
ic
c i
ci
c i
ci −−Γ
−Γ
)( + 1)( 1
= 1 + )(1 )(
=)( lYlY
lZlZ
li n
i n
i n
i n −−Γ
Deci coeficientului de reflexie nu se modifică prin normalizareaimpedanţelor. El este invariant la normalizare.Normalizarea lungimilor l se obţine prin împărţirea acestora culungimea de undă λ.
)( 1)( + 1 = j + = )(
llXRlZ iii Γ−
Γ
ll j 2 e = )( β−ΓΓ
Se notează:λ
π−β−ϕl 4 = 2 = l
• Se înlocuiesc coordonatele polare (Γ,φ) cu coordonatelecarteziene (x, y) şi se notează:
( )( )
sin j + cos 1
sin j + cos + 1 = X j + R ii ϕϕΓ−
ϕϕΓ (39)
ϕΓϕΓ sin = ; cos = yx
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) 22
22
+ 1 j 2+ 1 =
j + 1 j 1 j + 1 j + + 1 =
= sin j + cos 1
sin j + cos + 1 = j +
yxyyx
yxyxyxyx
XR ii
−−−
−−−−
ϕϕΓ−ϕϕΓ
(40)
( ) ( ) 2222
22
+ 1 2 = ;
+ 1 1 =
yxyX
yxyxR ii −−
−−
( ) ( )
2222
22
22
1 = 1 + 1 2 + 1 + 2
; 1+
+ 1
1 = +
1 + +
1 + 2 22
iii
i
i
i
i
i
i
i
i
XXXyyxx
R
RR
Ry
R
RR
Rxx
−−
+
−−
18
( ) 1 +
1 = + 1 +
22
2
ii
i
Ry
RR
x
−
( ) 2
22 1 =1 + 1
ii XXyx
−−
222 + = yxΓDeoarece sin2φ+cos2φ=1
SS + 1 1 = −
Γ
(43)
(41)
(42)
= + 1 1 = + 2
222 Γ
−
SSyx (44)
19
Cercurile R ct au centrele de coordonateşi razele
Cercurile X>0 ct. au centrele de coordonateşi razele
Cercurile X<0 ct. au centrele de coordonateşi razele
Cercul X=0 are centrul de coordonate
şi rază infinită. El se confundă cu axa xx'.
Punctul A corespunde cel puţin unei valori infinite, este punctul de circuit deschis, adică de gol.
Punctul B corespunde valorilor R=0 şi X=0, reprezintăpunctul de scurtcircuit.
( )( )0 ,1 + ii RR 1 + 1 iR
iX1/
( )iX1/- 1,
( )iX1/ 1,
iX1/
( )∞± 1,
Variaţia unghiului ϕ este
Când Δl creşte, adică ne deplasăm pe liniede la sarcină spre generator Δl este pozitivceea ce înseamnă că Δ ϕ <0.
Unghiul ϕ variază orar (antitrigonometric) atunci când parcurgem linia de la sarcinăspre generator.
Unghiul ϕ variază antiorar trigonometricatunci când parcurgem linia de lagenerator înspre sarcină
l∆β−ϕ∆ 2 =
20
• Cercul x2+y2=1 este cercul de rază maximă care corespunde cercului R=0 şi S infinit.
• Cercul S=1 se reduce la un punct, originea sistemului de coordonate
• Cercul S=a ct este tangent cu cerculR =a =S pe semiaxa pozitivă OX şi este tangent cu cercul R =1/S pesemiaxa negativă OX.
DeoareceO rotaţie completă pe un cerc corespunde uneilungimi normalizate l/λ =0,5 .
λπ−ϕ / 4 = l
21
Exemplul 1
Fie o linie cu Zs=25-j25 Ω şi Zc=50Ω
Să se determine coeficientulde reflexie în dreptulsarcinii şi impedanţa de intrare Zi la distanţa
l=7,5 cm faţă de sarcinăştiind că λ=30cm.
22
Exemplul 2
Fie aceaşi linie cu Zs=25-j25 Ω şi Zc=50Ω, ca în exemplul 1. Să se determine Zi la distanţa l=22,5 cm faţă de sarcină.
1
Cursul 7
Impedanţa de intrare a liniei de transmisie
Tangenta este periodică cu perioada π :
şi rezultă
tgj +
tg j = )(
l ZZl ZZ
ZlZsc
csci β
β+
( ) ( ) l + l tg= l + l tg)ltg(l tg ∆ββ∆β=π+β=β
π∆β = l πλβ 2 = /2 = λ∆ l
( ) ( ) Ζ n l Y = 2
n + l Y ; l Z = 2
n + l Z iiii ∈∀
λ
λ
βlsinIβl-jZcosU-=)+l (sin I Zj+ )+ l β(cos U=/2)+U(l scsc πβπλ
( ) lsinZU
j-lcos-I=)+l ( sin ZU
j + )+l ( cos I = /2+lIc
ss
c
ss ββπβπβλ
Se observă din relaţiile (14) că, deoarece
( ) α−πα cos = + cos ( ) α−πα sin = + sin
2
Un segment de linie de lungime λ/2 păstreazăvaloarea impedanţei conectată la ieşirea sa, darinversează faza tensiunii şi a curentului din sarcină.
Coeficientul de reflexie poate fi scris ca o funcţiede lungimea l, punând în (26) z=-l
Cazuri particulare1) Segmentul de linie terminat în scurtcircuit
Impedanţa caracteristică este în absenţa pierderilor (sau înprezenţa unor pierderi foarte mici), o mărime reală
( ) ( )cs
csss
ls + ZZ
ZZlll
−Γβ−βΓΓΓ β− = ; 2sin j 2 cos = e = j 2
( ) ( )ll =/2+ ΓλΓ
( )∞ = 0 = ss YZ
( )
λπβ
l 2 tgZj =l tgZ j = lZ cci
3
,
0 > iX
Pentru
Pentru
0 Xi <
caracter inductiv
caracter capacitiv
λλλ
∈4
+ 2
,2
kkl
λλλλ
∈2
+ 2
,4
+ 2
kkl
• Dacă rezultă
Un segment de linie de lungime λ/4 terminat prinscurtcircuit are impedanţa de intrare infinită.
( ) N , 4
1 + 2 = ∈λ kkl ∞ = iZ
( )
( )
λπ−β−
β−
l2 ctg = ctg =
ctg j =
cci
ci
YlYlB
lYlY
4
2) Segmentul de linie terminat în golTrecând la limită în relaţia (15) pentru
/8 = λl
cici YYZZ j = ; j = −
∞→ sZ
( )
)l(jXl2 ctg Z
l ctg Zj =lZ
ic
ci
=
λπ−=
=β−
( ) lYlY ci tg j = β
Pentru segmentul de lungime terminat în scurcircuit
5
Un segment de linie de lungime λ/4 terminat pringol are impedanţa de intrare nulă.
( ) 0=2
ctg jZ=4
2 ctg Zj =l ctg Zj =lZ ccci
πλ
λπβ
3) Variaţia impedanţei de intrare a liniei, la variaţiireduse ∆l ale lungimii l0. 1 << /
0ll∆
.
λ⋅
∆λ
∆∆ 0
00
= ~ ) (
l
lll
lZZ
i
i
Variaţia relativă a impedanţei, la mici modificări ale lungimii liniei, este proporţională cu variaţia relativă lalungimea de undă pe linie (λ) a variaţiei lungimii liniei(∆l).La aceeaşi variaţie relativă Δl /l0 , cu cât l0 este mai mic, cu atât variaţia relativă a impedanţei de intrare este mairedusă.
6
4) Variaţia impedanţei de intrare a liniei la variaţii
reduse Δω/ω0<< 1 ale frecvenţeiDacă pierderile sunt nule sau neglijabile
La aceeaşi variaţie relativă de frecvenţă , variaţia relativă a impedanţei de intrare este cu atât mairedusă cu cât lungimea iniţială a liniei este mai mică .
l ~ )(Z
Z 0
0i
i ω∆ω
∆
L C = ωβ
Diagrama Smith pentru liniile omogene fără pierderi
cn
cn Y
YYZZZ = ; =
1= = ; 1 = = c
cc n
c
cc n Y
YY
ZZ
Z
cncn Y Y = Y Z Z= Z ⋅⋅ ;
tg j + 1
tgj + = )(lZ
lZlZs n
s ni β
β
tg j +
tgj + = )(lY1
lYlYs n
s ni β
β
7
)( + )(
= + )( )(
=)( ; + )( )(
=)( lYYlYY
ZlZZlZ
lZzZZzZ
zic
ic
c i
ci
c i
ci −−Γ
−Γ
)( + 1)( 1
= 1 + )(1 )(
=)( lYlY
lZlZ
li n
i n
i n
i n −−Γ
Deci coeficientului de reflexie nu se modifică prin normalizareaimpedanţelor. El este invariant la normalizare.Normalizarea lungimilor l se obţine prin împărţirea acestora culungimea de undă λ.
)( 1)( + 1 = j + = )(
llXRlZ iii Γ−
Γ
ll j 2 e = )( β−ΓΓ
Se notează:λ
π−β−ϕl 4 = 2 = l
• Se înlocuiesc coordonatele polare (Γ,φ) cu coordonatelecarteziene (x, y) şi se notează:
( )( )
sin j + cos 1
sin j + cos + 1 = X j + R ii ϕϕΓ−
ϕϕΓ(39)
ϕΓϕΓ sin = ; cos = yx
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) 22
22
+ 1 j 2+ 1 =
j + 1 j 1 j + 1 j + + 1 =
= sin j + cos 1
sin j + cos + 1 = j +
yxyyx
yxyxyxyx
XR ii
−−−
−−−−
ϕϕΓ−ϕϕΓ
(40)
( ) ( ) 2222
22
+ 1 2 = ;
+ 1 1 =
yxyX
yxyxR ii −−
−−
( ) ( )
2222
22
22
1 = 1 + 1 2 + 1 + 2
; 1+
+ 1
1 = +
1 + +
1 + 2 22
iii
i
i
i
i
i
i
i
i
XXXyyxx
R
RR
Ry
R
RR
Rxx
−−
+
−−
8
( ) 1 +
1 = + 1 +
22
2
ii
i
Ry
RR
x
−
( ) 2
22 1 =1 + 1
ii XXyx
−−
222 + = yxΓDeoarece sin2φ+cos2φ=1
SS + 1 1 = −
Γ
(43)
(41)
(42)
= + 1 1 = + 2
222 Γ
−
SSyx (44)
9
Cercurile R ct au centrele de coordonateşi razele
Cercurile X>0 ct. au centrele de coordonateşi razele
Cercurile X<0 ct. au centrele de coordonateşi razele
Cercul X=0 are centrul de coordonate
şi rază infinită. El se confundă cu axa xx'.
Punctul A corespunde cel puţin unei valori infinite, este punctul de circuit deschis, adică de gol.
Punctul B corespunde valorilor R=0 şi X=0, reprezintăpunctul de scurtcircuit.
( )( )0 ,1 + ii RR 1 + 1 iR
iX1/
( )iX1/- 1,
( )iX1/ 1,
iX1/
( )∞± 1,
Variaţia unghiului ϕ este
Când Δl creşte, adică ne deplasăm pe liniede la sarcină spre generator Δl este pozitivceea ce înseamnă că Δ ϕ <0.
Unghiul ϕ variază orar (antitrigonometric) atunci când parcurgem linia de la sarcinăspre generator.
Unghiul ϕ variază antiorar trigonometricatunci când parcurgem linia de lagenerator înspre sarcină
l∆β−ϕ∆ 2 =
10
• Cercul x2+y2=1 este cercul de rază maximă care corespunde cercului R=0 şi S infinit.
• Cercul S=1 se reduce la un punct, originea sistemului de coordonate
• Cercul S=a ct este tangent cu cerculR =a =S pe semiaxa pozitivă OX şi este tangent cu cercul R =1/S pesemiaxa negativă OX.
DeoareceO rotaţie completă pe un cerc corespunde uneilungimi normalizate l/λ =0,5 .
λπ−ϕ / 4 = l
11
• Un punct din diagramă M, reprezintă uncoeficient de reflexie şi o impedanţă
• Fie
• Dacă impedanţa de normalizare este Zc=50 Ω atunci valoarea denormalizatăcorespunzătoare este
MM
ϕΓ je MMM XRZ j + =
0,825 ON / OMM ==Γ
j 2 + 0,5 =MZ
o51 ≅ϕM
( ) [ ]Ω⋅ 100 j + 25 = 50 j 2 + 0,5 =MZ
Exemplul 1
Fie o linie cu Zs=25-j25 Ω şi Zc=50Ω
Să se determine coeficientulde reflexie în dreptulsarcinii şi impedanţa de intrare Zi la distanţa
l=7,5 cm faţă de sarcinăştiind că λ=30cm.
12
Exemplul 2
Fie aceaşi linie cu Zs=25-j25 Ω şi Zc=50Ω, ca în exemplul 1. Să se determine Zi la distanţa l=22,5 cm faţă de sarcină.
13
Diagrama Smith pentru admitanţă
tgj +
tg j = )(
l ZZl ZZ
ZlZsc
csci β
β+
( )l tg Y j +Yl tg Y j + Y
Y = lYsc
cs ci β
β
tg j + 1
tgj + = )(
lZlZ
lZs n
s ni n β
β
tg j +
tgj + = )(
lY1lY
lYs n
s ni n β
β
1 + )l(Y1 )l(Y
1 + )l(Z1 )l(Z = )l(
i
i
i
i −−=
−Γ
14
Transferul maxim de putere activă de la generator la sarcină
ggg XRZ j + =
sss XRZ j + =
Numitorul minim în raport cumaximizează Ps
( ) ( )22+++
21=
21=
2
2
sgsg
gsss
XXRR
ERI RP
( )2 + sg XX
( )0= + ;
+
21= 2
2sg
sg
sgs XX
RR
REP
Puterea are un extrem acolo unde se anulează derivataexpresiei în raport cu RS adică pentru
Derivata a doua este negativă, puterea are un maximgs RR =
.
15
Maximul se obţine pentru şi are valoarea:
*
2
max = , j = j + ; 4
gsggsss
gs ZZXRXR
R
EP −=
( ) ( )
+
21 =
21 = 22
2
2
sgsg
gsss
BBGG
IGGUP
++
sssggg BGYBGY j + = , j + =
0 = + sg BB gs GG =
*
2
max = , j = j + ; 4
= gsggssg
gs YYBGBG
G
IP −
Şi în domeniul frecvenţelor foarte înalte, condiţiade transfer maxim de putere activă de la generatorla sarcină este aceeaşi. Puterea activă disipată în sarcină în cazul în caregeneratorul este adaptat la linia de transmisie
Maximul se obţine ptr.
Regimul de adaptareutilizarea în exclusivitate a unor
elemente de circuit pur reactive, ce nu disipă putere activă
gc ZZ =
( ) iss PP 1 = 2Γ−
0 = sΓ
csg ZZZ = =
16
Adaptarea cu un singur element reactiv
1
Cursul 8Diagrama Smith pentru admitanţă
tgj +
tg j = )(
l ZZl ZZ
ZlZsc
csci β
β+
( )l tg Y j +Yl tg Y j + Y
Y = lYsc
cs ci β
β
tg j + 1
tgj + = )(
lZlZ
lZs n
s ni n β
β
tg j +
tgj + = )(
lY1lY
lYs n
s ni n β
β
1 + )l(Y1 )l(Y
1 + )l(Z1 )l(Z = )l(
i
i
i
i −−=
−Γ
2
Transferul maxim de putere activă de la generator la sarcină
ggg XRZ j + =
sss XRZ j + =
Numitorul minim în raport cu
maximizează Ps
( ) ( )22+++
21=
21=
2
2
sgsg
gsss
XXRR
ERI RP
( )2 + sg XX
( )0= + ;
+
21= 2
2sg
sg
sgs XX
RR
REP
Puterea are un extrem acolo unde se anulează derivataexpresiei în raport cu RS adică pentru
Derivata a doua este negativă, puterea are un maximgs RR =
.
3
Maximul se obţine pentru şi are valoarea:
*
2
max = , j = j + ; 4
gsggsss
gs ZZXRXR
R
EP −=
( ) ( )
+
21 =
21 = 22
2
2
sgsg
gsss
BBGG
IGGUP
++
sssggg BGYBGY j + = , j + =
0 = + sg BB gs GG =
*
2
max = , j = j + ; 4
= gsggssg
gs YYBGBG
G
IP −
•Şi în domeniul frecvenţelor foarte înalte, condiţia de transfer maxim de putere activă de la generator lasarcină este aceeaşi. Puterea activă disipată în sarcină în cazul în caregeneratorul este adaptat la linia de transmisie
Maximul se obţine ptr.
Regimul de adaptare
-utilizarea în exclusivitate a unor elementele de circuitpur reactive, ce nu disipă putere activă
gc ZZ =
( ) iss PP 1 = 2Γ−
0 = sΓ
csg ZZZ = =
4
Adaptarea cu un singur element reactiv
1
Adaptarea sarcinii cu două elementereactive
2
Adaptarea cu trei elemente reactive
3
Transformatorul de adaptare în λ / 4
Admitanţa de intrare a transformatorulde adaptare în λ / 4
Dacă generatorul este adaptat la linie, YC=Yg atunciadmitanţa segmentului de linie văzută spre stânga este .
2 =
4 2 = = πλ⋅
λπ
βθ t
ttt l ∞±θ
π→θ = tg
/2lim
dr
2t
ttdr t
tttdrti Y
Y = l tgY j + Y l tgY j + Y Y
/2lim = Y
ββ
π→θ
dr
2t
ist YY = Y1 = Y =
4
Admitanţa caracteristică a transformatorului de adaptare
este
drdrstt YYYY = = ⋅
drdrstt ZZZZ = = ⋅
Se pot realiza linii de lungime λ/4 pentru care admitanţa (impedanţa) caracteristică este reală. Deoarece Yst estereală , este necesar să avem şi Ydr reală pentru ca să obţinem Yt reală
5
Segmentul de linie în λ /4 de adaptare, cu admitanţa (impedanţa) reală:
drdrstt YYYY = = ⋅
R ∈drY
0 j + 1/ = 1 SY
0 j + = 2 SY
R 1 = ∈stY
/1 = SYt SZ t =
= SYtSZt 1/ =
Exemplu 5
Ω≅⋅= 61,24 75 50 ZZ=Z drstt
6
Transformatorul în λ/4 realizează teoretic o
adaptare perfectă la frecvenţele la care
2/π)1+n2(=πn + 2π
= lβ tt
Studiul comportării dispozitivului de adaptare în jurul frecvenţei (frecvenţelor) de adaptare "perfectă"
Fie sarcina reală, transformatorul poate fi cuplat deci direct pe sarcină YS=Ydr şi Yt=√ YSCoeficientul de reflexie introdus de transformator ca urmare a variaţiei frecvenţei, în jurul frecvenţelor de adaptare
( )2
1 + 2 π≅θ n
Y + 1Y - 1
= i
i iΓ
tt
tts
tti ll
YY
YY 2 = = tg j + Y tg j + Y
= t
s ⋅λπ
βθθθ
( ) ( )( ) ( )
( )( ) θ
−
θ
θ−−−Γ
tg2 j + + 1 1
= tg + j + + 1 tg j + 1
= + 1 1
= 2
2
sss
ss
tsst
tsst
i
i i YYY
YYYYYYYYYY
YY
1sin ≅θ 1 cos <<θ
( )2
1 + 2 π≅θ n
7
cos 2
+ 1 θΓ≅Γ
c
s s i Y
Y
θ≅θ
cos1 tg ( ) ( )ss s YY + 1 / 1 = −Γ
( ) θ⋅
⋅Γ≅
θ
⋅Γ≅Γ
22 cos1
+ 1 4
+ 1
1 tg
+ 1 2
j + 1
1
s
s s
s
s s i
YY
YY
2 < cos
2 + 1
= πθθ⋅ΓΓ mm
s
ssM Y
Y
( )π
θ−ππ
θ−
π∆ m
m
ff 2 2 =
2
2
2 =
Fie un coeficient de reflexie cu maximul modulului ΓMîn banda de adaptare. Unghiul electric corespunzător θm se obţine ca soluţie a ecuaţiei (51)Banda relativă de frecvenţă Δf/f este dată de relaţia (52)
(52)
(51)
8
Pentru transformatorul din exemplul 5 valoarea normată a admitanţei de sarcină este
Şi valoarea normată a admitanţei transformatorului de adaptare este
Dacă se cuplează sarcina de direct la linia se obţine un coeficient de reflexie în dreptul sarcinii:
Dacă se admite variaţia maximă a coeficientului de reflexie 1% adică
se obţine ecuaţia
2/3 YY
= YC
Ssn =
/36 = tY
0,2 = 50 + 7550 75 = −
Γs
sM ΓΓ 201 =
2 < , cos
36 2
32 + 1
= 201 π
θθ⋅ΓΓ mm ss
Soluţia este:
Banda de frecvenţă relativă în care modulul coeficientului de reflexie nu întrece valoarea de 0,01 este 6,4%.
Concluzia este că transformatorul asigură o adaptare de calitate bună doar într-o bandă de frecvenţe relativ redusă.
Este evident că adaptarea se realizează nu numai la frecvenţa f ci şi la frecvenţele 3f, 5f .... Banda relativă de frecvenţă în care este din ce în ce mai mică.
Astfel la frecvenţa 3f avem
π≅θ 0,484 m
0640,≅∆ ff
Mi Γ≤Γ
0,021 = /30,064 /3 ≅∆ ff % 6,4 < 2,1%
1
Linia de transmisie ca circuit rezonant
Fie pierderile foarte mici, lungimile l ale segmentelor relativ reduse, astfel încât şi se pot utiliza aproximările:
( ) ( )( ) lZlZ
lZ lZZ
lZU
lI
IZlUlIlUlZ
sc
csc
c
ss
scsi sh + ch
sh + ch =
sh + ch
l sh + ch =
=
γγγγ
γγ
γγ
1 <<α l
sin j + cos sh ; sin j + cos ch llll ll ll ββα≅γβαβ≅γ
( )( ) lZl Zl ZZ
lZl Zl ZZZlZ
scsc
cscsci tg + j + +
tg + j + + = ) (
βααβαα
Z = 0s ( )l l
llZll ZZ l Zl Z
ZlZ ccc
ccci tg j + 1
tgj + = tg j +
tg j + =
βαβα
βαβα
1) Rezonanţa seriePentru a obţine rezonanţă serie trebuie să fie îndeplinită
condiţia
În cazul ideal, al pierderilor nule, α=0, Zi=j Zctgβl deci
lungimea trebuie să satisfacă condiţiaDeoarece
se obţine
0 )l(Z rsi ≅
πβ n = l rsrs
0rs
2 = ωλπβ
r r
00
0rs
= ; 2
n = lµε
λλ
λω
ω
2
Factorul de calitate Q se calculează cu relaţia
Se poate demonstra că Zi(ω)= Zs(ω) dacă se notează
Impedanţa unui circuit rezonant serie este în jurul
frecvenţei de rezonanţă ssCL / 1 = 0
ω
( )
2
0
2 4 + 1 =
ωω∆
ω QRZ ss 2 arctg = )( Arg0
ωω∆
ω QZs
R
L =Q
s
s0ω
αα
β lZ= R ; 2
= Q rscrs
Segmentul de linie terminat în scurtcircuit de lungime
cu factorul de calitate invers proporţional cu constanta de atenuare a liniei, α, este echivalent cu un circuit rezonant serie.
2) Rezonanţa paralel Pentru a obţine rezonanţa paralel este necesar ca la
frecvenţa de rezonanţă să fie îndeplinită condiţia
Această condiţie este îndeplinită în absenţa pierderilor α=0,Zi=j Zctgβl→∞ dacă :
2 n = l 0
rsωλ
∞→ )l(Z rpi
2 + n = lrprpπ
πβ
3
Impedanţa unui circuit rezonant paralel este în jurul frecvenţei de rezonanţă :
Unde factorul de calitate este:
Dacă se notează:
( )4
1n2l )0(rp
ωλ+=adică
( ) Q 2 j + 1 G
1 Z
0p
p
ω
ω∆≅ω
p
p0
GC
= Q ω
000
0 2 = ; = ; 2
= β
πωα
α
βcp YlGQ
Se poate demonstra că linia de lungime
terminată în scurtcircuit se comportă ca un circuit rezonant paralel.
Observaţii1. Dacă sarcina liniilor anterior studiate este golul,
circuitele echivalente implementate la rezonanţă se inversează
( ) /4 1 + n2 = l 0rp ωλ
4
1’
2
2’
1
1 1’
1 2
1’ 2’
1 1’
1
1’
1 1’
1 1’
1
1’
Tronsoanele de linie de lungime λ/4 şi λ/2 terminate în gol
sau în scurtcircuit şi circuitele rezonante echivalente.
/ 4λ/ 4λ
/ 2λ/ 2λ
Factorul de calitate este prin definiţie raportul dintre energia electromagnetică medie înmagazinată şi energia disipată într-o perioadă a semnalului, la frecvenţa de rezonanţă .
Există şi următoarele relaţii de calcul:
recomandată ptr. rezonanţa serie
recomandată ptr. rezonanţa paralel
unde X(ω) este reactanţa circuitului rezonant, R0 este rezistenţa de pierderi serie, la frecvenţa de rezonanţă şi B(ω) este susceptanţa circuitului rezonant şi G0 este conductanţa de pierderi paralel, la frecvenţa de rezonanţă .
0 = 0
0 )d(
)( d 2
= ωωω
ωω XR
Q
0 = 0
0 )d()( d
2 =
ωωωωω B
GQ
5
3. Pentru diferitele tipuri de linii, literatura oferă atât relaţii de calcul exacte cât şi aproximări ale parametrilor caracteristici R,L,G şi C.
Tabelul de mai jos prezintă câteva aproximări ale parametrilor liniei ptr. linia (ghidul ) plan paralel, linia bifilară şi linia coaxială.
În relaţii w, a,b, D, b reprezintă dimensiuni în conformitate cu notaţiile din figură, μ, ε, σ se referă la mediul dielectric de separare şi μc, σc se referă la conductor.
Cu RS s-a notat rezistenţa superficială a conductorului, dată de relaţia:
c
cs
fRσµπ
=
6
Aproximări ale parametrilor
c
cs
fRσµπ
=
Linia bifilară simetricăSe utilizează pentru realizarea feederelor (linii de alimentare cu
energie) utilizate la construcţia antenelor
Se poate observa că planul MN este de potenţial nul. Cele două conductoare au, într-un plan de secţiune, potenţiale de valoare absolută egală dar de semne contrare faţă de masă.Curenţii din cele două conductoare au, în planul de secţiune, valori egale dar sensuri opuse.
7
Dacă linia are cei doi conductori situaţi la o distanţă suficient de mare de masă (câteva lungimi de undă) atunci sunt utilizabile următoarele expresii de calcul, pentru dielectricul aer uscat
Dacă conductorii liniei sunt din cupru, atunci :
[ ]Ω 2 log 276 = adZ c
[ ]H/m 2
log 0,921= µadL
[ ]m / pF 2
log
12,06 =
adC
[ ] m / 16,6 = Ωµ
af
R
Linia coaxială este o linie de tip asimetric, potenţialul conductorului
exterior fiind cel al masei (nul). Relaţiile de calcul pentru coaxialul ce utilizează drept material pentru conductori cuprul sunt
[ ]Ωε
ln 138
= abZ
rc
[ ]H/m ln 0,46= µabL
[ ]m / pF log
24,1 =
ab
C rε
[ ] [ ] [ ]m / cm
+ cm
8,3 = Ωµ
ba
fR 11
8
Alte aplicaţii ale liniilor
1.Circuitele de simetrizare - transformatoare "balun" (de la balanced-unbalanced) permit conectarea unor circuite (linii) nesimetrice cu circuite (linii) simetrice.
Ptr. o linie simetrică potenţialele conductorilor sunt egale şi de semne contrare, în timp ce potenţialul conductorului exterior al unei linii asimetrice este nul. Este deci necesară utilizarea un element defazor cu 180 grade ptr. tensiune şi curent ptr. a face trecerea între cele 2 sisteme.
Exemple sunt cuplarea:• liniei bifilare cu linia coaxială;• antenei dipol simetric la o linie de transmisie (feeder)
simetrică;• antenei dipol simetric la o linie de asimetrică;• liniei simetrice la o linie asimetrică prin aşa numitul
pahar de simetrizare în λ/4, cu variantele sale constructive
2.Liniile de întârziere realizează şi adaptarea generatorului şi/sau a sarcinii la linia de transmisie şi au de exemplu aplicabilitate în:
– Osciloscoapele de radiofrecvenţă şi microunde în realizarea unei întârzieri între momentul declanşării bazei de timp a osciloscopului şi aplicării semnalului la plăcile de deflexie pe verticală
– Formarea unor impulsuri scurte de durată stabilă , de obicei se utilizează linii terminat în gol
9
Ghiduri plate
sunt constituite dintr-un substrat de dielectric subţire cuprins între 2 plane de masă, care încorporează conductorul (stripline) sau între conductor şi un singur plan de masă (microstrip)
Conductorcentral
Substratdielectric
Plan de masă
Plan de masă
Conductor
Substratdielectric
Substratul dielectric poate fi :• izotrop ca de exemplu alumină (Al2 O3 care este în mod
uzual utilizată), sticlă• Anizotrop, ca de exemplu safir, cuarţ, GaAs sau Si• cu proprietăţi magnetice –ca de exemplu ferite
Cel mai des utilizate dintre structurile de ghidare deoarecepermit realizarea circuitelor integrate ptr. microunde MIC inclusiv a celor monolitice MMIC
10
• linia microstripuzuală
• ghid plat coplanar coplanar waveguide
• linie tip canal –slotline
• linie coplanară -coplanar stripline
• Odată substratul ales caracteristicile liniei sunt determinate prin lăţimea conductoarelor şi/sau spaţiile libere ale suprafeţelor superioare.
• Controlând dimensiunile metalizărilor se pot realiza -linii de transmisie-circuite de adaptare-componente pasive
• Cel mai des utilizată este linia MICROSTRIP• Ghidurile plate coplanare COPLANAR WAVEGUIDE-
uzuale la frecvenţele microundelor.• Structurile – SLOTLINE şi - COPLANAR STRIPLINE
sunt cel mai puţin utilizate în domeniul frecv. microundelor.
11
În tehnologia microstrip pot fi implementate:• filtre• circuite rezonante• reţele de distribuţie• circuite de adaptare• cuploare• diplexoareSe pot adauga componente active prin conexiuni la stratul
conductor de masă, cu observaţia că la frecvenţe mari acestea introduc inductanţe parazite.
Modul de propagare este cvasi TEM, numit astfel datorită asemănării cu modurile TEM.
Liniile de câmp se închid nu numai prin dielectricul suportului, ci şi prin aer şi majoritatea puterii este concentrată în zona delimitată de lăţimea benzii microstripului
Figura
Exploatarea ghidului de undă microstrip se face numai în domeniul de frecvenţă ptr. care se propagă modul cvasi TEM.
12
• Utilizând un substrat cu permitivitate mare şi ecranare se minimizează radiaţia.
• Impedanţa caracteristică a liniei microstrip este în domeniul 20-125 Ω.
• O impedanţă caracteristică de 50 Ω pe un substrat de alumină de 25 mil poate suporta puteri de ordinul kWîntr-o bandă largă de frecvenţe
• 1mil=25,4 μm unitate de măsură ptr.dimensiuni mici, uzuală în SUA, deci a mia parte dintr-un inch, 1 inch=25,4 mm
Majoritatea metodelor de proiectare utilizează:-o aproximare cvasistatică ptr. Zc la frecvenţe joase-un model de dispersie dependent de frecvenţă Zc(f)
ptr. frecvenţe mariDacă grosimea t a linie i este neglijabilă în raport cu
grosimea h a dielectricului, adică 0,005 t/h ≤
1 hwpentru
hw 1 0,04 +
wh12 + 1
1 2
1 + 2
1 + = 2
rref ≤
−
−εεε
(1)
(2)
Sunt aplicabile relaţiile:
[ ] 1 hwpentru ;
hw 0,25 +
wh 8ln 60 = Z
efc ≤Ω
ε(3)
13
Lungimea de undă pe linie se calculează în funcţie de lungimea de undă în vid şi constanta dielectrică efectivă, cu relaţia:
1 hwpentru ;
wh12 + 1
1 2
1 + 2
1 + = rref ≥⋅
−εεε
[ ] 1 hwpentru ;
1,444 + hwln 0,667 + 1,393 +
hw
1 120 = Zef
c ≥Ω
⋅ε
π(5)
(4)
efε
λλ 0 = (6)
Organigrama procedurii de determinare a ZC şi εef
14
Exemplul 1Se doreşte implementarea unei linii microstrip cu
impedanţa caracteristică Zc=90 Ω la frecvenţa de 10 GHz.
Se alege o linie microstrip cu dimensiunile h=1mm şi w=0,2mm, cu o grosime a metalizării t care îndeplineşte condiţia t/h≤0,005 realizată pe un suport de cuarţ având
Se calculează permitivitatea dielectrică efectivă aplicând relaţia (2) deoarece w/h=0,2<1 :
9,7=ε r
( ) 6,018 0,2 1 0,04 + 5 12 + 1
1 2
1 9,7 + 2
1 +9,7 = 2 ≅
−
⋅−
εef
• Se calculează apoi impedanţa caracteristică cu relaţia (3):
• Întrucât valoarea determinată ptr Zc este mai mare decât cea dorită trebuie mărită dimensiunea w la 0,22 mm, se recalculează εef apoi Zc .
• Se aplică în mod iterativ relaţiile (2) şi (3) pana când impedanţa caracteristică implementată are o eroare acceptabilă.
• Lungimea de undă pe linia microstrip la frecvenţa de 10 GHz este:
( ) [ ]Ω≅⋅⋅ 90,3 0,2 0,25 + 5 8ln 6,01860 = cZ
cm 1,22 6,018
3 ≅≅λ
15
Dacă linia nu este de grosime t neglijabilă adică t/h > 0,005în relaţiile anterior prezentate lăţimea liniei, w, se substituie cu o lăţime "efectivă", wef, calculată cu:
(7)
(8)
Exemplul 2Dacă linia din exemplul 1 are grosimea t=50μmse poate aplica relaţia (7) deoarece
şi minimul dintre h/2 şi w/2 este
≤
π≥
π
2w ,
2hmin t ,
21
hw ;
th 2ln + 1 t + w = wef
≤
π≥
π
π
2w ,
2hmin t ,
21
hw ;
tw 4ln + 1 t + w = wef
π21 > 0,2 =
hw
t > m 100 = m 100 m, 500min µµµ
Cu wef/h=0,275 / 1<1 se calculează cu relaţiile (2) şi (3) εefşi ZC:
mm 0,2 > mm 0,275 = 0,05
1 2ln + 1 0,05 + 0,2 = wef
⋅π
( ) 6,093 0,275 1 0,04 +
0,27512 + 1
1 2
8,7 + 2
10,7 = 2 ≅
−εef
[ ]Ω≅
⋅⋅ 81,98
10,275 0,25 +
0,2751 8ln
6,01860 = cZ
1
Efectele dispersiei Zc(f) şi εef (f) se pot determina utilizând formule de calcul.
În figurile de mai jos sunt reprezentate caracteristicile de dispersie ale impedanţei caracteristice şi permitivităţii dielectrice corespunzătoare ptr. diferite tipuri de linii microstrip pe diferite substraturi, în funcţie de frecvenţă.
Se observă că Zc se modifică mai dramatic în funcţie de
frecvenţă decât εef
Caracteristicile sunt aproximativ plate până la frecvenţa de 10 GHz şi se modifică semnificativ de la frecvenţa de 70 GHz, care reprezintă maximul frecvenţelor de operare cu linii microstrip
Caracteristicile de dispersie ale Zc(f) şi εef (f) ptr. diferite tipuri de linii microstrip, pe diferite substraturi, în funcţie de f
-cu linie continuă ptr.substrat cu εr=2,33, h=31 mils, w=90 mils
-cu linie punctată ptr.substrat cu εr=10,2; h=25 mils, w=23 mils
-cu punct şi linie ptr.substrat cu εr=9; h=2,464; mils, w=2,5 mils
(1mil=0,0254mm=25,4 μm unitate de măsură ptr.dimensiuni mici, uzuală în SUA, deci a mia parte dintr-un inch 1inch=25,4 mm)
2
Pe lângă dispersie la frecvenţe mari se complică proiectarea datorită:– pierderilor prin radiaţie– factorului de calitate redus– propagării şi a altor moduri.
Poate apare un cuplaj între modul cvasi-TEM al liniei microstrip şi cel mai mic mod care se propagă în substrat.
Există o relaţie ce aproximează frecvenţa la care acest cuplaj devine semnificativ.
Vor apare şi moduri superioare TE şi TM peste frecvenţa limită dată de relaţia:
Este posibilă evitarea formulelor prin programarea în CAD.
( )12h2cf
rc −ε
=
Ghiduri plate coplanare• au o linie de semnal şi două linii de masă pe un suport
dielectric cu o metalizare pe o parte.• implementate începând cu 1969 • mai greu acceptate deoarece nici până în prezent nu
există modele simple, de încredere, ca în cazul liniilor microstrip.
• Au caracteristici mai bune decât liniile microstrip. • Integrarea componentelor active este mai simplă,
deoarece nu necesită legături care străbat dielectricul.• Elementele parazite -mai reduse decât în cazul liniilor
microstrip, astfel încât sunt recomandate ptr. utilizare la frecvenţe înalte acolo unde minimizarea lor este principala preocupare în proiectare.
• Suportă 2 moduri fundamentale,unul dorit şi unul nedorit, dacă cele două trasee de masă nu au acelaşi potenţial.
3
Ghiduri de undă
-orice structură fizică care ghidează undele electromagnetice.
-o structură metalică închisă (determinată de paralele la axa z) cu o secţiune fixă, ce conţine dielectric, ca în figura de mai jos.
Clasificarea ghidurilor după forma secţiunii transversale : • plan paralele• dreptunghiulare• circulare• eliptice• coaxiale• plate
-Ghidurile de undă au pierderi de putere mai mici decât la liniile şi sunt capabile să transmită puteri mai mari.
-Dezavantajele sunt masivitatea, greutatea şi banda limitată. Ori de cate ori este posibil se folosesc liniile microstrip- considerate şi ghiduri plate.
-Există o infinitate de soluţii distincte ptr. propagarea undelor elmg, numite moduri.
-Secţiunea şi dielectricul determină caracteristicile modurilor
-Într-un ghid de undă câmpul electromagnetic poate avea o infinitate de structuri.
4
O anumită structură corespunde unor anumite condiţii la limită pe suprafaţa pereţilor şi se numeşte mod.
Fiecare mod este caracterizat de o frecvenţă de la care începe să se propage, într-un anume ghid, numită frecvenţă critică.
Se poate face o clasificare a modurilor ce se propagă în ghiduri în moduri:
• transversal electrice, notate TE (numite şi moduri H) care au componente ale câmpului electric doar în secţiune transversală (Ez =0).
• transversal magnetice, notate TM (numite şi moduri E) au componente ale câmpului magnetic doar în secţiune transversală (Hz =0)
• hibride, de tip EH şi HE- sunt prezente doar în anumite condiţii, ca de exemplu în ghidurile parţial umplute cu dielectric şi au toate componentele nenule. Modurile TE şi TM nu satisfac condiţiile la limită, sunt necesare soluţii mai complexe, ca o sumă dintre o undă TE şi o undă TM
Modurile EH sunt caracteristice câmpurilor transversale care sunt controlate mai mult de Hz decât de Ez- moduri LSE - longitudinal section electric.
Modurile HE sunt caracteristice câmpurilor transversale care sunt controlate mai mult de Ez decât de Hz -moduriLSM - longitudinal section magnetic
Modurile TEM nu se propagă decât în ghidurile coaxiale - deoarece ele necesită ptr. propagare fie mediul liber, fie două conductoare (ghidurile au în cazul general un singur conductor metalic în exterior).
Majoritatea tipurilor de ghiduri considerate în tehnică sunt omogene, astfel încât se vor aborda doar acestea.
• Se consideră un sistem de axe rectangulare- Axa longitudinală a ghidului este axa z. Axele x şi y sunt axele transversale.
• Vectorul Poynting complex este paralel cu direcţia longitudinală, cea în care se consideră că se propagă energia. ( )∗× HE 1/2 = S
5
zt E + E = E
zt H + H = H
434214342143421434210=
*zz
ltransversavector
*zt
ltransversavector
*tz
zdupăvector
*tt
*z
*tzt )xHE(
21
+)xHE(21
+)xHE(21
+)xHE(21
=)H+H(x)E+E(21
=S
(1)
Se reaminteşte că:• Produsul vectorial este un vector normal pe planul
determinat de factori• Produsul vectorial a doi vectori coliniari este nul (sin 90°=0)• Produsul scalar a doi vectori ortogonali este nul (cos 90°=0)
⋅∫ ∫ yd xd k S 21Re= P
a b
0 0
Vectorii transversali din relaţia (1) au proiecţie nulă pe versorul k ,deci produsul lor scalar cu versorul k este nul (cos 90°=0). Primul termen din relaţia (1) este unicul termen care are contribuţie la propagarea puterii şi expresia (2) se reduce la:
(2)
6
Vectorii câmpului electric şi magnetic sunt:
( )
⋅×∫ ∫ yd xd k 21Re= P
a b*tt
0 0
HE (3)
)z ,y ,x( E + )z ,y ,x(E = )z ,y ,x(E zt
)z,y,x( H + )z,y,x(H = )z,y,x(H zt
0 = + 22 EE k∇
0 = + 22 HH k∇
ωεσ
−µεω
j 1 = 22k
(4)
(5)
Dependenţa de axa z este-pentru unda directă:-pentru unda inversă:
Se introduc funcţiile de repartiţie a câmpului electric şi magnetic
zzz j e e = e β−α−γ−
zzz j e e = e βαγ
[ ] zz yxyxzyx +++ e) ,( + ) ,( = ) ,,( γ−eeE
[ ] zz yxyxzyx +++ e ) ,( + ) ,( = ) ,,( γ−hhH
[ ] zyxyxzyx z e) ,( + ) ,( = ) ,,( γ−−− eeE
[ ] zz yxyxzyx e) ,( + ) ,( = ) ,,( γ−−− − hhH
7
Ipoteze simplificatoare:• pereţii ghidului sunt perfect conductori • în ghid există un mediu dielectric omogen şi izotrop, cu
pierderile caracterizate de α, o valoare de cele mai multe ori neglijabilă fără sarcini electrice libere (ρv =0).deci ε şi μ sunt mărimi scalare, constante în timp.
• semnalul care se propagă este armonic (ca funcţie de ejωt) deci
yxzzyx tt +
= ;
+ =
+
+
=
∂∂
∂∂
∇∂∂
∇∂∂
∂∂
∂∂
∇ jikkji
2
2
2
22
2
22
2
2
2
2
2
22
+
= ;
+ =
+
+
=
yxzzyxtt
∂
∂
∂
∂∇
∂
∂∇
∂
∂
∂
∂
∂
∂∇
γ−≡∂∂ z ( ) ( ) 2
2
2
=
γγ−⋅γ−≡∂
∂
zPentru unda directă:
ω=∂∂ jt
( ) ( ) ( ) zz
zzt
e + j = e + γ−γ− µω−×γ−∇ hheek
( ) ( ) ( ) ( ) zz
zzt
e + j + = e + γ−γ− ωεσ×γ−∇ eehhk (11)
Hμω=E×•Ţ -j(10)
( ) ( ) 0 = e + zzt
γ−⋅γ−∇ eek
( ) ( ) 0 = e + zzt
γ−⋅γ−∇ hhk
Eωε=H×•Ţ j
0=Eε•Ţ.
0=Hμ•Ţ.
Legea inducţiei electromagnetice
Legea circuitului magnetic
Legea fluxului magnetic
Legea fluxului electric
(12)
(13)
8
j- j = e( -e)( -
versalprod.trans0
z
ltransversa produs32143421321321321
zdupaprodus
Z
=coliniari.vect.prodltransversaprodus
ztzdupaprodus
t hμωhμω)×kγ xe•Ţ+×kγ xe•Ţ
Relaţia (15) se poate pune şi sub forma:
zt he j = µω−×∇
heke j = µω−×γ−×∇ zt
zz e = ke ( ) ( )ztzt ee = ∇×−×∇ kk
(14)
(15)
( ) he kk j= + e zt µω×γ∇× (16)
A doua ecuaţie a lui Maxwell (11) :
( ) ( ) ( )zzt + j = + eehhk εω×γ−∇
e j e j = )hk( xhh)k( xhzdupaprodus
Zal transversprodus0coliniari.vect.prod
z
ltransversaprodus
ztal transversproduszdupaprodus
t 32132132132143421321εω+εω×γ−∇+×γ−∇
=
9
După axa z se separă :
Ţinând cont de faptul că şizt e j = h εω×∇
zz h = kh
( ) ( )ztztzt h k = h k = h ∇×−×∇×∇
( ) e j = h k + h k zt εω−×γ∇×
(18)
(19)
Se dezvoltă ecuaţia (12):
Ţinând cont de faptul că:ze = e = zz kkke ⋅⋅
0)ke.k()e.k(ee z0lariperpendicuvectori0lariperpendicuvectori
ztt =γ−γ−∇+∇==
Similar se dezvoltă relaţia (13) şi ţinând cont de faptul că
zt e = γ⋅∇ e (20)
zzz hh = = kkkh ⋅⋅
Ecuaţiile (16), (17), (18), (19), (20) şi (21) pot fi particularizate pentru cele trei tipuri de moduri, TE, TM şi TEM.
Ecuaţia undei pentru câmpul electric este:
zt h = γ⋅∇ h (21)
( ) ( ) ( ) 0 = e e + e k + e e + e z z
2z z
22t
γ−γ−γ−∇
10
( ) 0 = e + k + e z22
z2t γ∇
( ) 0 = e + k + e 222t γ∇
(23)
( ) ( ) ( ) 0 = e + + e + 2 22 zz
zzt k γ−γ−γ−∇ hhhh
În mod similar pentru câmpul magnetic din ecuaţia undei se obţine:
0 = + 22 hh ct k∇
( ) 0 = h + k + h z22
z2t γ∇
(24)
(25)
(26)
Moduri transversal electrice, TE
Se notează expresia de mai jos cu kc , numărul de undă critic :
EcuaţiIe (26) şi (25) devin:
Aplicăm relaţiei (18) operatorul rotor transversal, la stânga, şi dezvoltăm dublul produs vectorial, ţinând cont de faptul că :
22222c + = + k = k γµεωγ
0 = h k + h z2cz
2t∇
0 = + 22 hh ct k∇
0 = ze
( ) ( ) 0 = = 2 hhh ttttt ∇−⋅∇∇×∇×∇
(29)
(30)
(31)
11
Din relaţia (21):
Din (29):
Separând componentele transversale după axa x şi y, relaţia (30) se poate pune sub forma:
zt h = γ⋅∇ h
= 22 hh ct k−∇
( )ztc
hk
= 2
∇γ
−h (30)
xh
kh z
2c
x ∂∂γ
−=
yh
kh z
2c
y ∂∂γ
−=
(31)
(32)
Se pune în relaţia (19) şi se obţine
Această relaţie se multiplică vectorial la stânga cu versorul k şi se dezvoltă dublul produs vectorial:
0 = ze hek j = µω×γ
Deoarece şi se obţine:
( ) ( ) ( )[ ] hkkkeekkekk j = = ×µω⋅−⋅γ××γ
0 = ek ⋅ 1 = kk ⋅
( )h ke ×γ
µω− j = (33)
( ) ( )xyyxyx h i h j j = h j + h i xk j = e j + e i −γ
µω−
γµω
−
hx
y
y
x Zhe
he
= j = = γ
µω− (34)
12
Se poate constata ortogonalitatea componentelor transversale e şi h din unda TE:
Raportul componentelor câmpurilor transversale este impedanţa de undă a modului TE sau a undei H:
Toate componentele câmpului electromagnetic pot fi exprimate în funcţie de o componentă, hz, singura componentă după axa z.
Rezolvarea unui mod TE direct, se face astfel: - se determină hz din relaţia (28). - din (30) se determină h- se determină e din (33).
0 = + = yyxx hehe h e ⋅ (35)
j = j = 22 kk
Zc
h−
µωγ
µω(36)
Pentru unda directă menţionând explicit semnul "+", se pot scrie:
Pentru a determina undele inverse se înlocuieşte în relaţiile (28), (30) şi (33) cu deoarece factorul de undă este
0 = + +2+2zczt hkh∇
( )+2
+ = ztc
hk
∇γ
−h
( )++ j = h ke ×γ
µω−
(37)
(38)
(39)
−γ γ+ z +e γ
0 = + 22 −−∇ zczt hkh
( )−− ∇γ
ztc
hk
= 2h
(40)
(41)
(42)( )−− ×γ
µω h ke j =
13
Dacă se înlocuieşte în (38)
Comparând (41) cu (43) se obţine:
+ = ee− + = hh −−
+ = hh −−
( )+− ∇γ
− zt2c
h k
- = h (43)
( ) ( )−∇γ
−∇γ
− ztc
ztc
hk
hk
= = 2+
2+h
h = hz z+−
( )
γ−
γ−
z
z
z
+
+
e =
e =
h + hH
eE
( )
− γ−
γ−
z
z
z
e =
e =
h + hH
eE(44) (45)
1
Ghiduri de undă cu secţiune dreptunghiularăun conductor tubular cu secţiune dreptunghiulară, ai cărui
pereţi se realizează dintr-un material de înaltă conductivitate:
-aluminiu -cupru -cupru argintat pe suprafaţa interioară
• mediul interior dintr-un dielectric de bună calitate, vid sau aer uscat.
• Grosimea t a pereţilor este determinată doar din considerente de rezistenţă mecanică, adâncimea de pătrundere a câmpului electromagnetic fiind neglijabilă
•Utilizate curent în construcţia emiţătoarelor şi receptoarelor de microunde
• Se numesc ghiduri "normale" cele care au raportul dimensiunilor ghidului :
Se consideră:• ghidul de lungime infinită• cu pereţii realizaţi dintr-un conductor ideal• în interiorul ghidului se presupune că este dielectric aerul
uscat, fără pierderi• constanta de atenuare este nulă, şi deci constanta de
propagare este pur imaginară:
• Din relaţia (27) se obţine
βγ j =
2 20
2 00
22 k = = β−β−µεωck
βγ−−µεωβ j = ; = = 220
200
2cc kkk
(46)
(47)
2 = ba
2
• GUD poate propaga doar modurile TE, TM sau modurile hibride deoarece are o singură suprafaţă conductoare, ele. Nu poate propaga un mod TEM.
Condiţiile la frontieră sunt:• La suprafaţa unui conductor ideal , liniile de forţă ale
câmpului electric sunt normale • Componenta tangenţială a câmpului electric este nulă. • La suprafaţa unui conductor liniile de forţă ale câmpului
magnetic sunt tangenţiale.
• Componenta normală a câmpului magnetic este nulă.
Moduri TE în ghiduri de undă cu secţiune dreptunghiulară
Ecuaţia (26) ce permite determinarea componentei hz:
Datorită formei frontierei domeniului în care există unda , un dreptunghi cu laturile paralele cu axele, se caută o soluţie hz de forma:
0 = +
+
22
2
2
2
zczz hk
yh
xh
∂
∂
∂
∂ (48)
)( )( = ) ,( ygxfyxhz ⋅
0)( )( d
)(d )( + d
)(d )( 22
2
2
2
=+ ygxfky
ygxfx
xfyg c
3
Se împarte ecuaţia anterioară cu produsul f(x)g(y) :
• Primul termen al ecuaţiei de mai sus este o f numai de x• cel de-al doilea termen o funcţie numai de y. • Suma termenilor este o constantă, deci fiecare termen
trebuie să fie o constantă:
22
2
2
2
= d
)(d )(
1 + d
)(d )(
1ck
yyg
ygxxf
xf−
22
22
2
2
= d
)(d )(
1 ; = d
)(d )(
1yx k
yyg
ygk
xxf
xf−−
222 = + cyx kkk
(50)
(51)
Soluţiile ecuaţiilor (50) sunt:
ykCykCxkCxkCxf yyxx sin + cos = g(y) ; sin + cos = )( 4321(52)
( ) ( ) )( )(sin + cossin + cos=) ,( 421 ygxfykCykCxkCxkCyxh yy3xxz ⋅= (53)
Se impun condiţiile la limită la pereţii ghidului. Componenta de repartiţie transversală a câmpului magnetic nu poate avea componente normale la fiecare dintre pereţii ghidului 0 = h.nunde n este normala la frontiera domeniului, dirijată spre
interiorul ghidului, spaţiul unde există câmpul .
x
nnnn
y
a0
b
4
( ) ( )
[ ]by
ygxfxfygk
hk
xc
xztc
x
0,
0= )(' )( +)(' )( j= j= 0 = 20 = 20 =
∈∀
⋅β
−∇⋅β
−⋅ jiiihn
( ) ( ) [ ]bygxfxfygk
x = ac
x = a 0,y 0,= )(' )( +)(' )( j = 2
∈∀⋅−β
−⋅ jiihn
Pentru că i.i=1 şi i.j=0 în expresia de mai sus termenul al doilea este nul şi rămâne doar :
0)x(f)y(g0x
' ==
0)x(f)y(gax
' ==
a=xpentru- Deoarece i=n
Dacă se exprimă h cu relaţia (30) şi se ţine cont că pentru x=0, n=i, se obţine relaţia:
0 = )(' = (x)' 0 = x = ax xff
021021 =+−=+−=== axxxxxxxxxx
' xcosCkxksinCkxcosCkxksinCk)x(f
Deoarece g(y) ≠0, relaţiile anterioare se reduc la:
( ) [ ] 0, 0,= )(' )( +)(' )( j = 0 = 20 = axygxfxfygk
yc
y ∈∀⋅β
−⋅ jijhn
0=ypentruj Deoarece =n
5
( ) ( ) [ ]axygxfx fygk
y = bc
y = b 0, 0,= )(' )( +)(')( j = 2
∈∀⋅−β
−⋅ jijhn
0 = )(' = )(' 0 = y = by ygyg
În expresia de mai sus primul termen este nul şi condiţia se reduce la:
0)x(f)y(g0y
' ==
Expresia de mai sus are primul termen este nul şi condiţia se reduce la:
0)x(f)y(gby
' ==
Deoarece f(x)≠0 relaţiile anterioare se reduc la:
043043 =+−=+−=== byyyyyyyyyy
' ykcosCkyksinCkykcosCkyksinCk)y(g
b=ypentruj- căPentru =n
0 = k C + aksin C- ; 0 = k C x2x1x2
0 =k C + bksin C- ; 0 = k C y4y3y4
0 = = 42 CC 0 = bksin C= aksin C y3x1
0 = C = C 31 nu poate fi acceptată – câmp identic nulSoluţia
NN n ,b n = k ; m ,
a m = k yx ∈π∈π
222c mn b
n +a m = k
π
π
axmcosC)x(f 1
π=
byncosC)y(g 3
π=
Ecuaţiile anterioare se reduc la următoarele:
Soluţiile celor două ecuaţii de mai sus sunt
Unde m şi n sunt numerele de mod
6
Se notează cu H0 intensitatea câmpului magnetic 031 HCC =
b
y n cos a
x m cos H = )y ,x(h 0zππ
x h
k j = h z2c
x ∂∂β−
by n cos
ax msin
a m
kj H = )y ,x(h 2
c0x
πππβ
y h
k j = h z2c
y ∂∂β
− by nsin
ax m cos
b n
kj H = )y ,x(h 2
c0y
πππβ
xhyyhx hZe hZe − = ; =
by nsin
ax m cos
b n
kj Z H = )y ,x(e 2
ch0x
πππβ
by n cos
ax msin
a m
kj Z H = )y ,x(e 2
ch0y
πππβ−
(57)
(56)
(59)
(58)
(55)
Aplicând relaţiile (31) şi (32) şi considerând γ=jβ
• Condiţia de propagare a undei este ca faza ei să fie de forma:
• Această formă se obţine numai dacă β este o mărime reală, nenulă, adică dacă
• Din punctul de vedere al propagării unui mod, ghidul se comportă ca un filtru trece sus. Se introduce noţiunea de frecvenţă critică ωc prin relaţia
22
0022
c mn20 mn b
n a
m = k k =
π
−
π
−µεω−β
zt β−ω
22
0022
c mn20 b
n + a m > ; k > k
π
π
µεω
22
002c mn
2c mn b
n + a
m = =k
π
π
µεω
00
1cµε
=22
c mnc mn b n +
a m c = c k =
π
π
ω
7
Condiţia de propagare prin ghid a unei unde cu frecvenţa f :
• Modul TE, caracterizat de numerele naturale m şi n se numeşte mod TEmn sau undă Hmn.
• Se observă, analizând relaţiile (55)-(59), că pentru m=n=0 se anulează toate componentele de câmp, cu excepţia componentei hz. Deoarece un câmp magnetic variabil în timp implică existenţa unui câmp electric variabil în timp se poate concluziona că în GUD nu se poate propaga modul TE00.
• Cea mai scăzută frecvenţă critică se obţine pentru m=1 şi n=0 şi corespunde modului TE10
22
c mnc mn
c mn b n +
a m
2c = k
2c =
2 =f
ππω
c mnc mn002c00
2 f >f > > ωωµεωµεω
În domeniul de frecvenţe:
acf
ac < < 2
se poate propaga numai modul TE10. Ecartul de frecvenţă în care se propagă acest singur mod este de o octavă. Octava este un domeniu de frecvenţă cuprins între o frecvenţă şi dublul acesteia. De exemplu: între 1 KHz şi 2 KHz, între 1 MHz şi 2 MHz, între 10 GHz şi 20 GHz.
8
b n +
a m
2 = k2 =
fc =
22c mnc mn
c mn
πλ
ac 2 = 10λ
bc 2 = 01λ
/2= = 1001 cc a λλ
/2= = 1020 cc a λλ
Lungimile de undă critice corespunzătoare primelor patru moduriîn GUDN sunt date de relaţiile:
c mn0 < λλ
Lungimea de undă în ghid a modulului TEmn, la frecvenţa f,ce satisface condiţia de propagare
2
c mn
02
c mn
0
2
0
c mn0
2c mn
20n m
g mn
1
2=
f f 1
=
=
k k 1k
2 =kk
2=2=
λλ
−
π
−
λ
−
π
−
πβ
πλ
2c mn
0g mn
ff 1
=
−
λλ 2
c mn
0
0g mn
1
=
λ
λ−
λλ (64)
9
=
k k 1k
=kk j
j=Z2
0
c mn0
02c mn
20
0h mn
−
µω
−
µω
2c mn
0
02
c mn00
0
f f 1
1 =
f f 1
=
−
εµ
−µεω
µω
π=εµ 120 = Z
0
00 m
2c mn
2c mn
0mh mn
f f 1
120 =
f f 1
Z =Z
−
π
−
(65)
• Se poate observa, analizând relaţiile (64) şi (65), că atunci când frecvenţa f descreşte apropiindu-se indefinit de mult de fcmn, lungimea de undă în ghid, λgmn şi impedanţa de undă Zhmn tind spre infinit. În concluzie unda nu se propagă pentru f<fcmn.
• Componentele fazorilor câmpurilor E şi H pot fi scrise, atât pentru unda directă, cu indicele (+), cât şi pentru unda inversă, cu indicele (-), ţinând cont de relaţiile (44), (45) şi (55)−(59).
10
z j 2c
0x e b
y n cos a
x msin a m
k jH = H β± πππβ
± m
z j 2c
0y e b
y nsin a
x m cos b n
k jH = H β± πππβ
± m
z j 0z e
by n cos
ax m cos H = H β± ππ m
(66)
z j 2c
h0y e b
y n cos a
x msin a m
k j ZH = E β± πππβ
− m
z j 2c
h0x e b
y nsin a
x m cos b n
k j ZH = E β± πππβ m
Modulul dominant, TE10
ax cosH= h 0z
π
Deoarece sunt cunoscute doar solicitările electrice maxim admise (nu şi cele magnetice), se face notaţia:
aYEHaZHE hh
j = j = 0000 βπ
⇒πβ
−
axaZ
ax
aa
Ze hhy sin j H sin j H = 020
ππβ
−=ππ
π
β−
axaH
ax
aa
Hhx sin j sin j = 020
ππβ
=ππ
π
β
11
ax sin E = e 0y
π
ax sin Y E = h h0x
π−
ax cos
a j Y E = h h0z
πβ
π(68)
220 =
π
−βa
k
cc f ff 2<< ( )acff cc 2/ = = 10
Condiţia de propagare a modului TE10 :
e ax sin E =E z j
0yβ± π m
z j h0x e
ax sin YE = H β± π mm
z j h0z e
ax cos
a jY E = H β± π
βπ m
Componentele fazorilor câmpurilor E şi H din modul dominant sunt:
(71)
12
Reprezentarea liniilor de forţă ale câmpurilor E şi H este posibilă numai fixând momentul de timp. La momentul de timp t=0 Expresiile (72) ale câmpurilor fizice sunt
Expresiile câmpurilor fizice ale undei directe se scriu considerând E0 real
( ) z -t cosax
sin E= 0y βωπ
E
( )
z - t cos ax sin Y E = h0x βω
πH
( )z - t sin ax cos
a Y E= h0z βω
πβπ
H
z cosax
sin E= 0y βπ
E
z cos ax
sin Y E = h0x βπ
H
z sin ax
cos a
Y E= h0z βπ
βπ
H (73)
Expresiile (73) nu sunt dependente de variabila y, deci componentele câmpului electromagnetic sunt constante pe axa Oy. Structura de câmp este periodică în lungul axei y cu perioada . Ea se deplasează în sensul pozitiv al axei z, cu viteza de fază vf
1
1.Lungimea de undă în ghid, impedanţa de undă şi variaţia lor cu frecvenţa
20
20
010g
a f 2c 1
=
a 2 1
=
−
λ
λ
−
λλ
0
10gmo
210c
mo10h
Z =
ff 1
Z = Zλ
λ
−
• Se observă din relaţii că pe măsură ce frecvenţa creşte,
propagarea se apropie tot mai mult de cea din spaţiul liber şi unda din ghid are tot mai mult caracteristicile unei unde TEM.
ExempluFie un ghid dreptunghiular normal a=5cm. Să se determine
λ0 , λg şi Zh la frecvenţele de 3,5 GHz, 5,9 GHz şi10GHz.Frecvenţa critică a modului dominant este 3 GHz. Modul dominat se propagă singur în domeniul de frecvenţă
de la 3 la 6 GHz.
010g λ→λ mo10h Z Z →
2
2. Viteza de fază şi viteza de grup
• Se reaminteşte că viteza de fază este, prin definiţie, viteza cu care ar trebui să se deplaseze un observator pentru a "vedea" aceeaşi fază a undei, adică:
βω
==dtdzv f
( ) ( )c
ff
c
kkkkkv
ccc
f > / 1
= / 1
=
= = 22
00 22
0−−
ω
−
ωβω
• Viteza de grup este viteza de propagare a energiei transportate de unda electromagnetică şi este egală cu viteza de propagare a amplitudinii undei.
• Pentru medii dispersive viteza de grup nu se identifică cu viteza de fază şi este dependentă de frecvenţă.
• Se consideră una dintre componentele campului electromagnetic modulată în amplitudine.
tcos)tcosm1(EE 0 ωω∆+=
•ω este pulsaţia semnalului purtător•Δω este pulsaţia semnalului modulator•m este gradul de modulaţie în amplitudineSe descompune oscilaţia în trei componente armonice :
( )[ ] ( )[ ]t cos2
m E +t cos2
m E+t cosE= E 000 ω∆+ωω∆−ωω
3
• Se presupune că aceste oscilaţii se propagă în ghid. Cele trei armonici au frecvenţe diferite, ω, ω-Δω şi ω+Δω , deci şi constante de fază diferite, respectiv
β, β-Δβ şi β+Δβ.• Unda corespunzătoare este de forma:
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] z t cos2
m E +
+ z t cos2
m E+ z t cosE= E
0
00
β∆+β−ω∆+ω
β∆−β−ω∆−ωβ−ω
Într-o formă sintetică se poate scrie:
( ) ( ) ( )z t cos z t cosm E + z t cosE=E 00 β∆−ω∆β−ωβ−ω
( )[ ] ( )z t cos z t cos m + 1E= E 0 β−ωβ∆−ω∆
• Viteza de grup este viteza de propagare a amplitudinii undei, adică a anvelopei de modulaţie.
• Viteza de grup este viteza cu care ar trebui să se deplaseze un observator astfel încat să se constate o fază constantă a semnalului cand cele trei componente ale undei modulate se suprapun. Anvelopa are faza
0 = zd td ⋅β∆−⋅ω∆
Relaţia anterioară este valabilă numai la limită când deviaţia de frecvenţă dω este infinit mică, respectiv la o variaţie infinit mică a constantei de fază dβ
β∆ω∆
→ω∆→ω∆
lim= dtdz = v
00
g
4
• În concluzie, viteza de grup adică viteza de transport a informaţiei de către unda modulată cu deviaţia de frecvenţă dω este:
• Pentru propagarea undei prin GUD se derivează expresiaconstantei de fază în raport cu ω şi se obţine:
ωββω
/dd1 =
dd = gv
220 = ckk −β
( ) ( )200
200
002
002
00
/1
d
/1
d
d d
ffffk ccc −
ωµε=
−µεω
ωµεω=
−µεω
ωµεω≅β
( ) cffcv cg < / 1 = dd = 2−
βω
• Viteza de grup este mai mică decât viteza luminii, ceea ce este în conformitate cu teoria relativităţii.
Observaţii• 1.Se observă că atunci cândşi deci propagarea se apropie, şi din acest
motiv, de propagarea undei prin spaţiul liber.
• 2.Pentru ceea ce corespunde faptului că unda cu
frecvenţa fc nu se mai poate propaga prin ghid.
∞→ f cvg →
cff → 0 →gv
5
3.Puterea transmisă prin ghidul de secţiune dreptunghiulară în modul dominant
( )
⋅×∫ ∫a b
xy yxP0 0
* d d Re 21 = kHE
( )
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
π−π
⋅×
π−
π ββ−
a bh
a bh
a
o
b
o
zh
z
yxaxYEyx
axYE
yxaxYE
axEP
0 0
20
0 0
22
0
j *0
j 0
d d 2
/ 2 cos 1 2
= d d sin 2
=
= d d e sin e sin e R 21 = kij
220
20 1
4
= 4
=
−
ff
ZEa b
ZEa bP c
moh
Puterea transportată de unda directă a modului dominat, prin secţiunea transversală a ghidului:
Se notează cu Pm puterea maximă ce poate fi transmisă prin ghid:
mom Z
Ea bP
4
= 2
0
(74)
2
1 =
−
ff
PP cm
6
Concluzii practice:
Din relaţia anterioară se observă că pentru:• f>fc adică în banda de trecere a ghidului, puterea este reprezentată
prin puterea activă transmisă de-a lungul ghidului• f=fc puterea se anulează• f<fc nu se transmite putere activă în GUD. Puterea este reactivă
Exemplu• Să se determine puterea maximă ce poate fi
transmisă printr-un ghid dreptunghiular normal cu dimensiunea a=5cm, ştiind că dielectricul interior este aerul uscat, care se străpunge la .
kV/cm 27 0 ≅strE
( ) MW 6 = W 10 6 10 27 377 42,5 5 = 623 ⋅≅⋅⋅
⋅⋅
mmP
( ) MW 4,8 = 3/5 110 6 = 26 −⋅mP
mo
20
m Z 4 E a b
= Pξ
• Dacă se depăşeşte acest nivel de putere apare o descărcare electrică în ghid, la x=a/2, acolo unde intensitatea câmpului este maximă.
• În instalaţiile tehnice nu se ia în considerare E0str de 27 kV/cm, ci se adoptă un coeficient de siguranţă ξ
Pentru un coeficient de siguranţă de 0,2 se obţine Pmm=240kW. La f =5GHz Pm =192kW.
7
4) Curenţii de deplasare şi de conducţie superficială
zyd a
xEt
j = E = D
= J β−πεωεω
∂∂ j
000 esinjj
π/2j ej = şi π/2= βλ/4 densitatea Jd se poate scrie şi:
( ) ( )/4λ z jβ 00
2 βj00 esinesin g/z
d yd axE
axEJ −−π−− π
εωπ
εω j= j= j=J
8
La momentul t=0 la z=3λg/4, curenţii de deplasare sunt de intensitate maximă şi de sens contrar axei Oy. Deplasând
structura de câmp electric cu λg/4 în sensul pozitiv al axei z se obţin liniile curentului de deplasare indicate în figura de mai jos .
Pe lângă curenţii de deplasare din dielectric, în pereţii conductori apar curenţi de conducţie superficială.
Fie o secţiune în peretele ghidului de undă S=ΔhΔl limitată de un contur închis C conform figurii de mai jos.
∫∫ ⋅⋅SABCD
Sd J = d H l
La suprafaţa unui mediu conductor componenta normală a campului magnetic este nulă, campul fiind tangenţial. În conductor datorită valorii mari a conductivităţii campul magnetic se atenuează rapid. Deci se poate considera campulmagnetic la adincimea de patrundere a curenţilor superficiali nul (HDC=0).
9
Curenţii de conducţie superficială închid curenţii de deplasare din dielectric, adică formează curbe închise. Densitatea de curent superficial se măsoară în [A/m].
lJl h) (Jlim l H S0h∆=∆∆=∆⋅
→∆
HnJ = ×S
Pentru conturul ABCD, cu AB =∆l şi BC = ∆h, foarte mici, astfel încât H şi J să fie constante se poate scrie:
Deoarece curentul J este refulat spre suprafaţă şi el devine curent "superficial. Deci H=Js şi
10
Moduri TE superioare în ghidurile de undă cu secţiunea dreptunghiulară
Particularizarea ecuaţiilor (66) permite calculul câmpurilor fizice E şi H ale oricărui mod TEmn.
Modurile TEmo se obţin din modul TE10 prin multiplicarea cu m pe axa Ox. De exemplu modul TE20 se obţine prin multiplicarea cu 2 pe axa Ox a structurii campului TE10:
zchzz
zhx
zx
zy
z
chy
axakYEH
axHH
axYEH
ax
aHH
axEE
ax
akZHE
j 2
00
j 0
j 2c
0
j 0
j 2o
e 2 cos 2
j = ; 2 cos =
e 2sin = ; e 2sin 2 k j =
e 2sin = ;e 2sin 2 j =
β−
β−β−
β−β−
πβπ
π
π−
ππβ
πππβ−
Cu E0 real, la momentul t=0 expresiile câmpurilor fizice sunt :
zsa
xakYE
;zca
xYE;za
xE
chz
hxy
in 2cos 2
=H
os 2 sin = cos 2sin =
2
0
00HE
βπ
βπ
βπ
−βπ
12
Moduri TM în ghidurile de undă cu secţiune dreptunghiulară
Modurile TM au funcţia de repartiţie şi hz=0. În ecuaţiile campului se substituie hz=0 şi se determină ez
(x,y) unica componentă a campului diferită de zero în direcţia de propagare, din ecuaţia:
0 = ) ,( +
) ,( +
) ,( 2
2
2
2
2
yxeky
yxex
yxezc
zz
∂∂
∂∂
(78)
0 ≠ze
)( )( = ) ,( ygxfyxez
care introdusă în (78) conduce, după împărţirea cu f(x)g(y)
0 = d
)(d )(
1 + x
)( )(
12
2
2
2
yyg
ygdxfd
xf
22
22
2
2
= d
)( d )(
1 ; = d
)( d )(
1yx k
yyg
ygk
xxf
xf−−
222 = + cyx kkk
Soluţiile ecuaţiilor (79) sunt de forma:
ykCykCygx kCxkCxf yyxx sin + cos = )( ; sin + cos = )( 4321
( )( )ykCykCxkCxkCyxe yyxxz sin + cos sin + cos = ) ,( 4321
13
Se impun condiţiile la limită la pereţii ghidului. Pentru x=0, ez(0,y)=0 în calitate de componentă electrică tangenţială la suprafaţa conductorului ideal:
[ ] 0 = 0, , 0 = )( = ) (0, 11 CbyygCyez ⇒∈∀
0 = ] [0, , 0 = )( = 0) ,( 33 CaxxfCxez ⇒∈∀
Pentru y=0, ez(x,0)=0 în calitate de componentă electrică tangenţială la suprafaţa conductorului ideal:
yksin xksin E = )y ,x(e yx0z
Impunând condiţia la limită pentru x=a şi y=b se obţin
[ ] 0 = sin 0, 0 = sin sin = ) ,( 0 akby yk akEyae xyxz ⇒∈∀
[ ] 0 = sin 0, 0 = sin sin = ) ,( 0 bkax bk xkEbxe yyxz ⇒∈∀
N N n , b n = k ; m ,
a m = k yx ∈
π∈
π
b n +
a m = k
222c mn
π
π
b
y nsin a
x msin E = )y,x( e 0zππ
(81)
Pentru γ=jβ şi ez dat de (81) rezultă:
∂∂
∂∂β
− y e j+
x e i
k j = e j + e i zz
2c
yx
by nsin
ax m cos
am
k jE = )y ,x(e 2
c0x
πππβ−
byn
axm
bkEyxe
cy
cos
sin
n
j = ) ,( 20
πππβ−
14
by n cos
ax msin
bn
k jY E = )y ,x(h 2
ce 0x
πππβ
byn
axm
am
kYEyxh
ce y
sin
cos
j = ) ,( 20
πππβ−
b
n a
mμ = k k = 22
oo22
mn c2omn
π
−
π
−εω−β
bn
am
2c =c = f ; f > f
22
c mnc mnc mn
+
λ
2c mn
0g mn
ff 1
=
−
λλ
f
f1
Y=
f
f1 με
=k k
= j j=Y
2c mn
mo2
c mn00
02c mn
20
00e mn
−
−ω
εω
−
εωβεω
( )2c mnm oe mn f/f 1 Z = Z −
15
z j 2c
0x e b
y nsin a
x m cos a
m k jE = E β± πππβ
− m
z j 2c
0y e b
y n cos a
x msin b
n k jE = E β± πππβ
− m
z j 0z e
by nsin
ax msin E = E β± ππ± m
z j 2c
e0x e b
y n cos a
x msin b n
k j YE = H β± πππβ
± m
z j 2c
e0y e b
y nsin a
x m cos a m
k jYE = H β± πππβ mm
Modul dominant TM11
În cazul modurilor TM nici unul din numerele de mod nu poate fi nul, după cum rezultă analizând relaţiile ce permit calculul componentelor câmpurilor E şi H. Modul cu cea mai mică frecvenţă este TM11
5 2
= 4 + 1 2
= 1 + 1 2
= 222211 ac
aac
bacfc
( )
sin sin cos=
sin sin cos
20
20
zby
ax
akE
ztby
ax
akE
cx
cx
βπππβ
−
β−ωπππβ=
E
E
16
( )
sin cos sin=
sin cos sin=
20
20
zby
ax
bπ
kE
ztby
ax
bkE
cy
c y
βππβ
−
β−ωπππβ
E
E
( )
cos sin sin =
cos sin sin =
0
0
zby
axE
ztby
axE
z
z
βππ
β−ωππ
E
E
( )
sin cos sin=
sin cos sin=
20
20
zby
ax
bkYE
ztby
ax
bkYE
cex
cex
βπππβ
β−ωπππβ
−
H
H
( )
sin sin cos=
sin sin cos=
20
20
zby
ax
akYE
ztby
ax
akYE
cey
cey
βπππβ
−
β−ωπππβ
H
H
17
Ghidul de undă coaxial• Este un ghid cu două
conductoare distincte, motiv pentru care poate propaga modul transversal electric şi magnetic, TEM.
• Ghidul coaxial sau linia coaxială sunt de fapt identice.
• Atunci când tratăm coaxialul ca şi ghid de undă, urmărim determinarea componentelor câmpului electro-magnetic din dielectric.
• Se consideră dielectricul din ghid omogen şi cu constanta dielectrică εr.
• Nu se ţine cont de proprietăţile magnetice ale dielectriculuiμ=μ0
Ghidul coaxial
φ 2b
z
x
y
V0
φ 2a
Modul TEM în ghidul coaxial
Operatorii divergenţa şi Laplace pot fi exprimaţi şi în coordonate cilindrice:
ϕ∂∂
∂∂
∇∂∂
∇∂∂
ϕ∂∂
∂∂
∇ ϕϕ 1 +
= ;
+ =
+
1 +
=
rrzzrr rttr aakkaa
2
22
2
2
2
2
22
22
+ =
+
1+
1+
=
zzrrrrt
∂
∂∇
∂
∂
ϕ∂
∂∂∂
∂
∂∇
2
2
22
22
1+
1+
=
ϕ∂
∂∂∂
∂
∂∇
rrrrt
18
Se caută o soluţie a câmpului electromagnetic având ambele funcţii de repartiţie longitudinală nule ez=0, hz=0
În conformitate cu relaţia (33)
zt hμ ω j = −×∇ e
0 = e×∇ t
Deoarece rotorul unui gradient este nul câmpul transversal poate fi exprimat ca şi gradientul unei funcţii potenţial Φ(r,φ)
Φ∇− = te (90)
Se introduce relaţia (90) în ecuaţia undei (24) se obţine:
( ) ( ) 0 = Φ + Φ 0 = + 2222tcttc kkt ∇−∇−∇⇒∇ ee
Operatorii şi sunt liniari şi deci, succesiunea în care se
aplică poate fi schimbată
2t∇ t∇
( ) ( ) ( ) 0 = Φ + Φ 0 = Φ + Φ 2222ctctt kk tt ∇∇⇒∇∇∇
Deoarece zt e j = β⋅∇ e
( ) 0 = Φ 0 = ttt ∇−⋅∇⇒⋅∇ e
(91)
(92)0 = 2Φ∇ t
Introducând rezultatul obţinut în (91) se obţine:
( ) 0 = 2Φ∇ ct k
ceea ce înseamnă că funcţia kc2Φ(r,φ) este o constantă
19
Funcţia de repartiţie Φ(r,φ) nu poate fi o constantă deoarece s-ar
reduce la zero câmpul E şi singura soluţie posibilă este
0 = 2ck 0 = = = 2
0022 22 β−εµεωβ− rc kk (93)
kk rr = = = 000 εεµεωβ
S-a considerat numai soluţia cu semnul "+", cealaltă soluţie cu semnalul "–", corespunzând undei inverse. Valoarea nulă a numărului de undă critic conduce la valoarea nulă a frecvenţei critice :
0 = 2
= cc kcfπ
(94)
(95)
Valoarea deosebită a ghidului coaxial (şi a ghidurilor cu două conductoare în general) este că poate propaga unde electromagnetice cu orice frecvenţă f>0, ca şi spaţiul liber
Câmpul radial nu depinde de φ ci doar de r , astfel încât funcţia potenţial nu depinde de , ci doar de r:
Φ(r,φ)= Φ(r) Relaţia (92), scrisă în coordonate cilindrice, cu operatorul identic nul
ϕ∂∂
0 = d
)( d + d
)( d 0 = d
)( d 1 +
d)( d
2
2
2
2
rr
rrr
rr
rrr ΦΦ
⇒ΦΦ
0 = d
)( d dd
Φ
rrr
r
Derivata unei constante este nulă, deci:
rC =
r d)r( dsau C =
r d)r( d r 1
1ΦΦ (96)
20
Dacă se integrează relaţia anterioară (96) se obţine:
21 + ln = )( CrCrΦ
Conductorul exterior, de rază r=a, este conectat la masă, deci potenţialul său este nul. Se notează cu V0 potenţialul conductorului interior, de rază r=b. Punând aceste condiţii la limită în soluţia (96), obţinem sistemul de ecuaţii ce permite calculul constantelor C1 şi C2:
0 = + ln = )( 21 CaCaΦ
021 = + ln = )( VCbCbΦ
Soluţiile sistemului sunt:
ab
aVC
ab
VC
ln
ln = ;
ln = 0
20
1 −
Relaţia (90) se poate pune sub forma:
abar
Vrln
ln = )( 0Φ
0 d
)( Φ d = + r r ⋅−− ϕϕϕ a aaar
reer
din care se deduce că eφ=0
bar
V
abr
Vr
Cr
rerln
1 = ln
1 = = d
)( d = 001 −−Φ
− (98)
În coordonate cilindrice relaţia (87) se poate scrie sub forma:
hr
r Zhe
he
= j = = γ
µω− ϕ
ϕ
21
mo0
0
00
0
0
00 1 = 1 =
=
= j j
= Zkh
e
rrrr
r
εε
µ
εεµεω
µω
ε
µω
β
µω
ϕ
bar
VYh r
ln 1 = 0
moεϕ
Componentele câmpurilor E şi H din unda directă şi din unda inversă sunt:
e ln
ε = ; e
ln = 00 ε j mo0 ε j 0 zkrrzkr
rr
bar
YV
bar
V mmϕ
±ϕ
± ± aHaE
(99)
(100)
Câmpurile fizice ale undei directe sunt date de expresiile:
( )zkt
bar
Vr r cos
ln = 0
0 ε−ωE
( )zkt
bar
YVr
mo cos ln
= 00 ε−ωϕH
Hϕ
Er
x
y
Repartiţia câmpului din coaxial, în modul TEM
0 = t
/2 = gz λ
În figura sunt reprezentate liniile de forţă ale celor două câmpuri la momentul t=0 şi z=λg/2
şi
22
• Prin conductorul interior, respectiv exterior, circulă curenţi de radiofrecvenţă, refulaţi la suprafaţa conductorilor la r=a respectiv r=b . Sensul lor este evident opus, aşa cum este cazul celor doi conductori ai liniei de transmisiune.
• Densitatea de curent superficial, pentru conductorul interior, la r=beste:
zkrr
zkrrrsb
bab
YVbab
YVb
0
0
j mo0
j mo0
e ln
=
eln
=)(=
ε−
ε−ϕϕ
ε
ε××
k
aaHnJ
Hϕ(b)
µ = µo
Jsb b
Curentul superficial din conductorul interior
zrrzkrr
ba
YVb
bab
YV k j mo02
0
j mo0 00 e ln
2 = d e
ln = (z)I ε−
πε−+ επ
ϕε
∫
zkrV j 0
0e = (z) U ε−+
ln 138 22ln 138 ln 60 = ln
2 =
(z)I(z)U =
dD
ba
ba
baZ
Zrrrr
moc ε
=ε
≅εεπ+
+
Integrand Jsb pe conturul conductorului de rază b se obţine unda de curent directă
23
( ) 20
rmoa
b
2
0 2
rmo2
0a
b
2
0
*re V
baln
Y 2
21 == dr d
ba ln r
YV
21 = d r d r k H E R
21 = P
επϕ
ε
ϕ⋅× ∫ ∫∫ ∫ππ
ϕ
cZ
VP
2
0
21 =
rg
rg k ε
λλλ
επ
βπ
λλ 0
0
= = ; 2 = 2 = =
1
Cursul 14Comportarea ghidurilor sub frecvenţa critică
1fff2 1
kkk = k k =
2
0
c00
2
0
cc
20
2c α=−
µεπ=−
−γ
1ffc >Dacă
Dintre cele două soluţii posibile doar cea cu "+" este admisă, pentru că unda scade cu distanţa faţă de locul de excitare. Fazorii câmpului au ca factor e-αz , o mărime reală şi faza câmpurilor fizice va fi ωt=2πft şi nu ωt-βz. Deci toate punctele considerate în lungul axei z vor fi în aceeaşi fază de oscilaţie la un moment dat.
tjzyy eeeE ω−α−= t cosee= t-
yy ωαE
2
Dacă se introduce o antenă în câmp la o distanţă faţă de sursă în ea se induce o tensiune electromotoare, invers proporţională cu distanţa (deoarece campul este variabil în timp).
Dacă fc>>f raportul fc/f>>1 şi constanta de atenuare devine independentă de frecvenţă
ff
cfπ2α c.≅
Pe acest principiu se construiesc atenuatoarele subcritice, ca cel reprezentat în figură. El este format din 2 ghiduri coaxiale şi o porţiune circulară, de lungime variabilă.
Dacă se alege diametrul ghidului cilindric astfel încat frecvenţa sa critică să fie mult mai mare decat cea mai mare frecvenţă de lucru se obţine un atenuator subcritic liniar, deoarece
zλ
π2
0
ceEE −
=
[ ] elogzλπ2
EE
log20dBAc0
=−=
Atenuator subcritic
3
De exemplu, dacă se alege fc a modului TM01 ce se excită în ghidul cilindric
şi se lucrează la o frecvenţă maximă de 2GHz, se poate obţine un atenuator liniar. Raza ghidului cilindric se obţine .
Atenuatoarele subcritice nu disipă puterea undei incidente, ci doar o reflectă, motiv ptr. care se numesc atenuatoare de reflexie.
GHz 20 fc ≥
cm6,320/405,2.30a =≥
Dispozitive pasive reciproce pentru microunde
Dispozitivele reciproce sunt cele pentru care sensul de circulaţie al puterii este indiferent, adică ele pot transmite putere în ambele sensuri:
• -excită câmp electromagnetic • -extrag energia
La interconectarea (excitarea) ghidurilor de undă de diferite tipuri se respectă două principii:
• -se utilizează un excitator ce produce un câmp electric (sau magnetic) într-o secţiune transversală a ghidului astfel încât liniile de câmp să coincidă ca direcţie cu cele ale modului dorit;
• -excitatorul generează în pereţii ghidului curenţi având o distribuţie şi o direcţie identică cu a curenţilor generaţi de unda ce se propagă în modul dorit
4
Pentru excitarea ghidurilor de undă se pot utiliza• cuplajul capacitiv• cuplajul magnetic- inductiv• cuplajul prin fante de cuplaj
Cuplajul capacitiv
zcos axsinE=
0y βπE
5
Dimensionarea cuplajului capacitiv
Conductorul central al coaxialului este amplasat la x=a/2 , deoarece ptr. modul TE10 câmpul electric Ey este acolo maxim şi are adâncime de pătrundere d<b.
• Cuplajul se amplasează într-un maxim şi de-a lungul axei z, astfel încat faţă de scurtcircuit să avem
4λ
)1n2(l g+=
zcos axsinE=
0y βπE
Din punctul de vedere al ansambului generator cablu coaxial, radiaţia de putere a antenei poate fi echivalată cu disiparea de putere într-o rezistenţă R0. Se poate demonstra că rezistenţa de radiaţie văzută la capătul coaxialului, echivalentă ansamblului antenă ghid este:
Se poate demonstra că rezistenţa de radiaţie văzută la capătul coaxialului, echivalentă ansamblului antenă ghid este:
2dktg)l(sin
abkZ2R o22
20
h0 β=
Pgen
Prad
Prefl Pgen
Prad= Pdis
Prefl
R0
6
Se impune R0 la frecvenţa de lucru, astfel încât să se realizeze adaptarea rezistenţei de radiaţie cu cablul coaxial R0=Zc, adică cu impedanţa caracteristică a coaxialului.
Pentru a avea adaptare de putere şi la celălalt capăt al coaxialului ar trebui să se îndeplinească şi condiţia Zg=Zc.
În aceste condiţii puterea reflectată este nulă şi toată puterea generatorului este radiată înspre ghid.
Fiind alese R0 şi poziţia l în lungul ghidului se determină din expresia lui R0 adâncimea de pătrundere d a firului central al coaxialului
• Dacă se modifică frecvenţa generatorului se modifică k0, Zh şi deci R0 se îndepăr-tează de condiţia de adaptare, deoarece sinβl devine diferit de valoarea 1.
• Coeficientul de reflexie devine:
• Dacă se cunoaşte puterea radiată în ghid se poate determina amplitudinea câmpului electric din relaţia
c0
c0
ZRZRΓ
+−
=
220
20 1
4
= 4
=
−
ff
ZEa b
ZEa bP c
moh
7
Expresiile câmpului electromagnetic în ghid ptr. undele directe cu funcţiile de repartiţie ale modului TE10
ax sin E = e 0y
π
ax sin Y E = h h0x
π−
ax cos
a j Y E = h h0z
πβ
π
Realizarea adaptării într-o bandă mai largă prin utilizarea a 2 pistoane de scurtcircuitare
8
Dezavantajul major al acestor cuplaje este că produc intensificări locale ale câmpului electric, în special între vârful cuplajului şi peretele opus. La puteri mari aceasta creşte riscul conturnării.
De aceea se utilizează o formă rotunjită, ca o ciupercă sau ca un papuc.
Pgen
Prad
Prefl
Pentru excitarea unor moduri superioare se utilizează grupuri de excitatoare alimentate corespunzător ca fază, ca exemplul din figura de mai jos, pentru modul TE20.
9
Cuplajul magnetic• Riscul intensificării câmpului electric la puteri mari şi
spaţii mici poate fi evitat prin utilizarea unor cuplaje inductive, sub forma unor semispire de dimensiuni neglijabile, amplasate acolo unde liniile câmpului magnetic ptr. un anume mod sunt maxime.
• Pentru TE10 cuplajul inductiv este amplasat ca în figură la x=a/2, y=b/2 şi z=0.
Cuplajul inductiv • nu poate asigura impedanţe mari şi deci adaptarea sa la
cablu coaxial este dificilă. • nu se poate regla ca dimensiuni în vederea adaptării
într-o bandă largă.
Astfel de cuplaje se folosesc la magnetroane ptr. extragerea energiei.
10
Cuplajul prin fantă de cuplaj
n00ne Er32EP ε=α= tg
30tgm Hr
34HM −=α−=
O fantă de cuplaj de dimensiune r0 <<λg<λ0 se poate echivala cu un dipol electric de moment electric P şi un dipol magnetic de moment magnetic M, date de relaţiile următoare:
Momentul electric P radiază un camp electromagnetic ca o antenă de tip vergea, adică radiaţia dipolului electric este omnidirecţională.
La o anumită distanţă, intensitatea câmpului electric este aceeaşi, indiferent de direcţie.
Fanta circulară se comportă ca un ghid circular exploatat subcritic. Pentru a nu se introduce atenuări mari este necesar ca grosimea t<<λ0.
11
Ghiduri cuplate prin fantă circulară şi schema lor echivalentă; Y este admitanţa fantei
β−≅ 3
0r8ab3jY
Cuplarea unei cavităţi rezonante printr-o fantă de cuplaj
12
Cuploareformate din alăturarea a 2 ghiduri, unul prin care se injectează semnal, numit principal şi altul prin care se extrage semnal, numit secundar. Cele două ghiduri sunt cuplate prin fante de cuplaj
i
cd
PP
C =[ ]
i
cd
PPlog10dBC −=
[ ]ci
cd
PPlog10dBD =
ci
cd
PP
D =
i
tt P
PA = [ ]
i
tt P
Plog10dBA −=
[ ] DCPPlog10
PPlog10dBI
ci
cd
i
cd +=+−=
ci
i
PP
I =
Parametrii cuplorului
13
Cuplorul-dispozitiv reciprocDacă se injectează semnal în portul 2, portul 4
devine port cuplat direct şi portul 3 devine port cuplat invers
Cuploare: • direcţionale – extrag energia într-un singur sens• bidirecţionale – extrag energia în ambele direcţii-
utilizate în radare şi sisteme de comunicaţii
Cuplorul ideal are • D=∞, Pci=0 ptr. toate frecvenţele• C, D, At constante într-o bandă cat mai largă de
frecvenţe
În funcţie de numărul şi forma fantelor de cuplaj există cuploare:
• Cu o fantă circulară (numit cuplor Bethe)• Cu 2 fante cap cruce (numit şi cuplor Moreno)• Cu fante multiple circulare • Cu fante de dimensiune λ/2• Implementate cu liniii microstrip
14
Cuplorul direcţional
Unda incidentă într-un cuplor destinat să eşantioneze undele incidente
Unda reflectată într-un cuplor destinat să eşantioneze undele reflectate
15
Unda reflectată într-un cuplor direcţional
Cuplor bidirecţional
16
Cuplorul Bethe
adπsinjEE 0n =
+−=
adπcos
aπjk
adπsiniEH 0tg
+++ +=21
CCC
−−− += 21 CCC
0C =+ 0C ≠−
Efectul de directivitate se obţine în două condiţii :
Sau0C ≠+ 0C =−
10c10cf2ff ≤<
10cf32f ≥
Cuplorul Bethe
2
20
30
2K
3r4
ba20C
β+θ⋅
⋅⋅
⋅β
−= coslog
2
20
2
20
2K2K
20D
β−θ
β+θ
=cos
coslog
O versiune a cuplorului Bethe ptr. care se obţine directivitatea de orice tip, este cel care are axele rotite la unghiul θ şi fanta de cuplaj la x=a/2. Rotirea nu afectează polarizabilitatea electrică ci doar momentul magnetic.
17
Exemple de cuploare
Model 58x2-E Dual Flanged
Model 58x4-N Quad Non-Flanged
General Specifications:
• Frequency:2 - 250 MHz• Coupling Range:40 - 55 dB; other values by request• Directivity:30 dB standard; 40 dB available by request• Typical VSWR:1.05 : 1• Output:RF standard; Average power DC and peak
power DC available by request• Loads:included in RF couplers
18
Cuplor în tehnologie microstrip
Diafragama inductivă (A)
Diafragama capacitivă (B)
0
adπsin
11aλ
B2
gl <
−=
b2dπsin
1lnλb4B
2gC =
19
Fereastra rezonantă (C)
20
20
a21
1ba
a21
1ba
λ−
=
λ−
'
'
'
Dacă este îndeplinită condiţia
∞=ech
Z
FIGURE 6.14 Discontinuities. Waveguide discontinuities:(a) capacitive E-plane discontinuity, (b) inductiveH-plane discontinuity, (c) symmetrical inductive H-plane discontinuity, (d) inductive post discontinuity, (e) resonant
window discontinuity, (f) capacitive post discontinuity, (g) diode post mount, and (h) quarter-wave impedancetransformer; microstrip discontinuities: (i) quarter-wave impedance transformer, (j) open microstrip stub, (k) step,
(l) notch, (m) gap, (n) crossover, and (o) bend.