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Docente: Célia Nunes
2
3
Fenómenos aleatórios – fenómenos sujeitos à influência do
acaso e, como tal, fora do alcance do observador.
Experiência aleatória – todo o procedimento que verifica as
seguintes características:
1.1 Experiências aleatórias e acontecimentos
– pode repetir-se um grande número de vezes nas mesmas
condições ou pelo menos em condições semelhantes;
– a sua realização dá um resultado de entre um conjunto de
resultados possíveis w1,w2, ...,wN;
– cada um dos resultados da experiência é imprevisível mas é
possível considerar “estabilidade na frequência da sua
ocorrência”.
4
lançamento de um dado e registo do número de pontos que
sai;
Exemplos
lançamento de uma moeda e observação da face que fica
voltada para cima;
lançamento de dois dados ;
tempo de vida de uma pessoa, em anos;
tempo de trabalho de uma máquina até à primeira avaria.
5
Espaço de resultados - todos os resultados possíveis
associados a uma experiência aleatória.
Para os exemplos anteriores tem-se
Evento ou Acontecimento aleatório - qualquer subconjunto
do espaço de resultados de uma experiência aleatória, isto é,
qualquer subconjunto de .
6 ,5 ,4 ,3 ,2 ,1
coroa cara,
)6,6(),5,6(),...,3,1(),2,1(),1,1(
IN
IR
6
Sejam A e B dois eventos, isto é, sejam A e B dois conjuntos
de resultados com e . Serão então também
eventos os conjuntos
A B
BA BA A BA \
Diz-se que se realizou se o resultado, , da experiência é
um elemento de A, isto é, .
A A
, diz-se A subacontecimento de B, se e só se a
realização de A implica a realização de B.
BA
B
A
7
, diz-se união de A com B e é o acontecimento que
consiste na realização de pelo menos um deles.
BA
B A
, diz-se intersecção de A com B e é o acontecimento
que se realiza se e só se A e B se realizam conjuntamente.
BA
B A
8
A ou chama-se acontecimento complementar de A e é o
conjunto de todos os elementos de que não estão em A.
A
cA
A A
Os acontecimentos A e B dizem-se mutuamente exclusivos, ou
incompatíveis, se e só se a realização de um implica a não
realização do outro, isto é, se . OBA
B A
realize.
BA
10
1.2 Conceitos de probabilidade
Se:
1.2.1 Definição clássica de probabilidade
Na sua origem, a teoria da probabilidade esteve associada aos
jogos de azar (por exemplo, de dados ou de cartas).
Desta associação nasceu a definição clássica de
probabilidade.
o espaço de resultados associado a uma experiência
aleatória for finito;
os resultados da experiência igualmente prováveis, então:
11
a probabilidade de um acontecimento A é o quociente entre o
número de resultados (casos) favoráveis à ocorrência de A e o
número de resultados possíveis.
possíveis casos de totalnúmero
A ntoacontecime ao favoráveis casos de número)( AP
Admita-se o acontecimento A: “Saída dos números 3 ou 4 num
único lançamento de um dado não viciado”. Tem-se:
Exemplo
)(AP
A probabilidade de não sair um 3 ou um 4 será 1-1/3=2/3.
3
1
6
2
12
A definição clássica de probabilidade não pode ser utilizada no
cálculo da probabilidade de acontecimentos associados à
realização da maioria das experiências com interesse prático,
às quais a simetria e a equiprobabilidade dos resultados não
se aplicam.
1.2.2 Definição frequencista de probabilidade
Considere-se que, no decurso de realizações de uma
experiência, um acontecimento qualquer, A, ocorre vezes
Então
N
AN
).0( NNA
.lim)(N
NAP A
N
13
Se em 1000 lançamentos de uma moeda resultam 529 caras, a
frequência relativa de caras é de
Exemplo
529.01000
529
Se noutros 1000 lançamentos resultam 493 caras, a frequência
relativa no total dos 2000 lançamentos é de
511.02000
493529
Repetindo o processo, e de acordo com a definição acima,
poder-se-á finalmente chegar cada vez mais próximo de um
número que será denominado probabilidade de ocorrer uma
cara no único lançamento de uma moeda.
14
Na abordagem moderna descrevem-se as regras formais
(axiomas) de manipulação da probabilidade qualquer que seja
a definição que se adopte.
1.2.3 Definição axiomática de probabilidade
Axioma 1
Para qualquer acontecimento A, 1)(0 AP
Axioma 2
A probabilidade associada ao acontecimento certo é 1)( P
Axioma 3
Se dois acontecimentos A e B forem disjuntos, então
)()()( BPAPBAP
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Com base nos axiomas adoptados podem deduzir-se as
seguintes propriedades:
)(1)( APAP c
0)( OP
)()( BPAPBA
1)( AP
(a probabilidade de um acontecimento
impossível é zero)
)()()( BAPAPBAP
)()()( BPAPBAPAB Se
16
)()()()( BAPBPAPBAP
Sejam acontecimentos mutuamente exclusivos
então nAA ,...,1
n
i
i
n
i
i APAP11
Reunião de acontecimentos:
)( BAP
OBA )()()( BPAPBAP
OBA )()()()( BAPBPAPBAP
17
Exercício 1
)4,5(),3,5(),2,5(),1,5(
),5,4(),3,4(),2,4(),1,4(),5,3(),4,3(),2,3(),1,3(
),5,2(),4,2(),3,2(),1,2(),5,1(),4,1(),3,1(),2,1(
R:
Uma caixa contém 5 lâmpadas das quais 2 são defeituosas. As
lâmpadas defeituosas são numeradas de 1 a 2, enquanto que
as boas são numeradas de 3 a 5. Extraem-se duas lâmpadas
ao acaso, uma a seguir à outra, sem repor a primeira na caixa.
a) Indique o espaço de resultados associado a esta
experiência aleatória.
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b) Determine a probabilidade dos seguintes acontecimentos:
A – “Saída de uma lâmpada defeituosa na 1ª tiragem.”
R:
5
2
20
8)( AP
B – “Saída de uma lâmpada defeituosa na 2ª tiragem.”
5
2
20
8)( BP
R:
19
R:
10
1
20
2)( CP
10
3
20
6)( DP
C – “Saída de duas lâmpadas defeituosas.”
D – “Saída de nenhuma lâmpada defeituosa.”
R:
20
Exercício 2
Do conjunto de empresas que actuam num dado sector
industrial, 25% possuem departamento de investigação, 50%
realizam lucros e 20% possuem departamento de investigação
e realizam lucros. Calcule a probabilidade de uma empresa,
escolhida ao acaso, do referido conjunto, estar nas seguintes
condições:
a) Possuir departamento de investigação ou realizar lucros.
R:
DI – “Empresa possui departamento de investigação”
L – “Empresa realiza lucros”
25.0)( DIP 5.0)( LP 2.0)( LDIP
21
)( LDIP 55.0
L DI
b) Não possuir departamento de investigação.
L DI
)(DIP 75.0
22
c) Não possuir departamento de investigação nem realizar
lucros.
L DI
)( LDIP 45.0
d) Não possuir departamento de investigação ou não realizar
lucros.
L DI
)(___
LDIP 8.0
23
e) Possuir departamento de investigação e não realizar lucros.
DI )( LDIP 05.0
f) Não possuir departamento de investigação e realizar lucros.
)( LDIP 3.0
L
L DI
24
Exercício 3
Uma colecção de 100 programas de computador foi
examinada para detectar erros de “sintaxe”, “input/output” e de
“outro tipo” diferente dos anteriores.
Desses 100 programas, 20 tinham erros de “sintaxe”, 10
tinham erros de “input/output”, 5 tinham erros de “outro tipo”, 6
tinham erros de “sintaxe” e de “input/output”, 3 tinham erros de
“sintaxe” e de “outro tipo”, 3 tinham erros de “input/output” e de
“outro tipo” e 2 tinham os três tipos de erros considerados.
Um programa é seleccionado ao acaso desta colecção.
Determine a probabilidade de que o programa seleccionado
tenha:
a) Exclusivamente erros de “sintaxe".
25
R:
S – “O programa tem erros de sintaxe”
IO – “O programa tem erros de input/output”
OT – “O programa tem erros de outro tipo”
20.0)( SP 10.0)( IOP 05.0)( OTP
06.0)( IOSP 03.0)( OTSP 03.0)( OTIOP
02.0)( OTIOSP
S IO
OT
13.0)(______
OTIOSP
26
b) Pelo menos um dos três tipos de erros.
S IO
OT
25.0)( OTIOSP
Exercício 4
Sejam A e B dois acontecimentos tais que e xBPAP )()(
. Determine em função de x e de y a
probabilidade de:
yBAP )(
27
a) Não se realizar nenhum dos acontecimentos;
)( BAP )(1 yx
b) Que se realize um e um só dos acontecimentos ;
)()( BABAP yx 2
c) Que se realize pelo menos um dos acontecimentos ;
)( BAP yx
d) Que se realize quando muito um dos acontecimentos ;
)()()( BABABAP y1
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Suponha-se que uma urna contém 3 bolas brancas e 2 bolas
pretas. Se tirarmos uma bola preta e não a colocarmos dentro
da urna, a probabilidade da 2ª bola ser pretas será:
Definição
Chama-se Probabilidade condicional de A dado B ou
probabilidade de A se B e representa-se por a )|( BAP
)(
)()|(
BP
BAPBAP
Exemplo
4
1)|( 12 PPP
1.3 Probabilidade condicional e independência
29
Exemplos: tiragens com reposição, lançamentos de um dado,
lançamentos de uma moeda,…
Teorema das Probabilidades compostas
Se , tem-se 0)( AP 0)( BP
)|()()|()()( BAPBPABPAPBAP
Definição
Dois acontecimentos A e B dizem-se mutuamente
independentes se e só se
)()()( BPAPBAP
30
Da definição conclui-se que se A e B são independentes então
0)()()|( BPAPBAP se
0)()()|( APBPABP se
Teorema
Se A e B são independentes então
BA e
BA e
BA e
também são independentes.
31
Intersecção de acontecimentos:
)( BAP
)()()( BPAPBAP
)|()()|()()( BAPBPABPAPBAP
A e B são
independentes
A e B não são
independentes
32
Exercício 5
A execução de um projecto de construção de um edifício no
tempo programado está relacionada com os seguintes
acontecimentos:
E – “escavação executada a tempo”
F – “fundações executadas a tempo”
S – “superestrutura executada a tempo”
Supostos independentes e com probabilidades iguais a,
respectivamente, 0.8, 0.7 e 0.9. Calcule a probabilidade de:
33
a) O edifício ser terminado no tempo previsto, devido ao
cumprimento dos prazos nas três actividades referidas.
E – “Escavação executada a tempo”
F – “Fundações executadas a tempo”
8.0)( EP 7.0)( FP 9.0)( SP
)( SFEP 504.0
S – “Superestrutura executada a tempo”
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b) O prazo de execução ser cumprido para a escavação e não
ser cumprido em pelo menos uma das outras actividades
SFEP 296.0
024.0 SFEP
c) O prazo de execução ser cumprido para a escavação mas
não ser cumprido para nenhuma das outras actividades.
35
Exercício 6
a) Tomada uma peça ao acaso verifica-se que é defeituosa.
Determine a probabilidade de que seja porosa.
R:
Depois de inúmeras experiências com peças de vulcanite
moldada, obtiveram-se os resultados da tabela seguinte, onde
se estabelece a classificação das peças segundo dois critérios:
porosidade e dimensão:
porosa" é peça a" -A
"defeituoso mentodimensiona tem peça a" -B
Porosas (A) Não Porosas Total
Dimensionamento defeituoso (B) 2,10% 4,90% 7%
Dimensionamento não defeituoso 18,10% 74,90% 93%
Total 20,20% 79,80% 100%
)(B
)(A
36
)|( BAP 3,0
b) Dado que a peça é porosa, determine a probabilidade de
não ser defeituosa .
)|( ABP 896,0
Exercício 7
Um aparelho electrónico tem duas componentes, e ,
montadas em paralelo, como se indica no esquema seguinte: 1C
2C
37
)(AP211 PP
Sabendo que as componentes e funcionam
independentemente e que a probabilidade de falharem é e ,
respectivamente, determine a probabilidade de o aparelho
funcionar.
1C2C
1P 2P
R: funciona" aparelho o" -A
1C
2C
38
1.4 Teorema da probabilidade total
Sejam acontecimentos definindo uma partição
sobre , isto é: nAAA ,...,, 21
nAAA ...21
)(0 jiAA ji
Se ,então para qualquer acontecimento 0)( iAP Btem-se
n
i
ii ABPAPBP1
)|()()(
39
Exemplo
B1A2A
3A
4A5A
)(...)()( 521 ABABABB
)()|(...)()|()( 5511 APABPAPABPBP
40
O seguinte Teorema formaliza a seguinte questão: pretende-se
calcular a probabilidade de um acontecimento à prióri, à custa
da informação à posteriori.
1.5 Teorema de Bayes
Sejam acontecimentos definindo uma partição
sobre . Seja B um outro acontecimento de . Então
para tem-se
nAAA ,...,, 21
nk ,...,1
n
i
ii
kkk
ABPAP
ABPAPBAP
1
)|()(
)|()()|(
41
Exercício 8
calcule:
Dados dois acontecimentos A e B tais que
4/1)( AP
3/1)( BP
2/1)( BAP
a) )|( BAP4
3
b) )|( BAP
4
3
42
Exercício 9
Numa determinada fábrica existem 3 máquinas. A máquina A
produz 30% dos artigos, a máquina B produz 25% dos artigos
e a máquina C os restantes. A probabilidade de um artigo da
máquina A ser defeituoso é 0,01, da B é 0,012 e da C é 0,02
a) Se num determinado dia são produzidos 10000 artigos, qual
a probabilidade de um artigo escolhido ao acaso ser
defeituoso?
R: A – “O artigo é produzido pela máquina A”
B – “O artigo é produzido pela máquina B”
C – “O artigo é produzido pela máquina C”
D – “O artigo é defeituoso”
43
3.0)( AP 25.0)( BP 45.03.025.01)( CP
a) )(DP
01.0)|( ADP 012.0)|( BDP 02.0)|( CDP
015.0
b) )|( DAP 2.0
b) Se um artigo escolhido ao acaso for defeituoso, qual a
probabilidade de ter sido produzido pela máquina A? E pela B?
E pela C?
44
Exercício 10
O Instituto Português da Qualidade é o organismo responsável
pela certificação da qualidade dos produtos. Existem dois
conjuntos de testes associados às normas ISO9000 e ISO
9002, as quais conferem ao produto o certificado de qualidade. Cada produto só pode ser submetido aos testes de uma das
normas. Dos produtos submetidos aos testes 60% são
analisados pela norma ISO9000. A probabilidade de um
produto ser certificado sabendo que foi submetido aos testes
das normas ISO9000 e ISO9002 é 0.8 e 0.95, respectivamente.
a) Determine a probabilidade de um produto não ser
certificado.
45
6.0)( AP 4.0)( BP
)(CP
8.0)|( ACP 95.0)|( BCP
14.0
)|( CAP 558.0
b) Se um produto foi certificado, qual a probabilidade de ter
sido submetido aos testes da norma ISO9000?
R: A – “O artigo foi submetido aos testes segundo a norma Iso
9000” B – “O artigo foi submetido aos testes segundo a norma Iso
9002”
C – “O artigo é certificado”
46
Exercício 11
Em 1980, uma inspecção do parque informático de certa
empresa revelou os seguintes dados: todos os computadores
tinham capacidade para processar texto; 20% tinham
capacidade para processar imagem e de entre estes 15%
tinham igualmente capacidade para processar som; verificou-
se ainda que 10% dos computadores eram capazes de
processar som mas não imagem.
a) Determine a percentagem de computadores capazes de
processar som.
S – “O computador tem capacidade para processar som”
2.0)( IP 15.0)|( ISP 1.0)( ISP
I – “O computador tem capacidade para processar imagem”
47
2.0)( IP 15.0)|( ISP
)(SP
1.0)( ISP
13.0
)( ISP 3.0
c) )|( SIP 77.0
R:
b) Determine a percentagem de computadores capazes de
processar som ou imagem.
c) De entre os computadores capazes de processar som,
determine a percentagem dos que não são capazes de
processar imagem.
48
Exercício 12
Num estudo de mercado efectuado a utilizadores de Internet,
verificou-se que 60% das ligações à rede são asseguradas
pelo fornecedor A, enquanto as restantes são efectuadas por
outros fornecedores. O resultado mais preocupante do estudo
foi constatar que 25% dos utilizadores se queixam de
dificuldades de ligação e de excessiva lentidão das
comunicações. Verificou-se ainda que entre os clientes do
fornecedor A 24% estão insatisfeitos.
a) Se um dado utilizador está insatisfeito, qual a probabilidade
de ser cliente do fornecedor A?
A – “A ligação é assegurada pelo fornecedor A”
Q – “O utilizador queixa-se da ligação”
49
6.0)( AP 25.0)( QP
)|( QAP 576.0
24.0)|( AQP
)|( AQP 265.0
R:
b) Determine a percentagem de utilizadores insatisfeitos de
entre os que não são clientes do fornecedor A.
R:
50
Exercício 13
Numa determinada população 20% das pessoas têm instrução
superior. Destas 80% usam a Internet e 60% têm acesso à T.V.
por cabo. Sabe-se ainda que entre os indivíduos que têm
instrução superior e usam a Internet, 62,5% têm acesso à T.V.
por cabo. Por outro lado, das pessoas que não têm instrução
superior, apenas 30% usam a Internet e 10% têm acesso à T.V.
por cabo.
a) Determine a percentagem de indivíduos que utilizam a
Internet.
R: S – “Pessoa tem instrução superior”
I – “Pessoa usa a internet”
T – “Pessoa tem acesso à tv cabo”
51
2.0)( SP 8.0)|( SIP 6.0)|( STP
625.0)|( ISTP 3.0)|( SIP 1.0)|( STP
)(IP 4.0
b) Sabendo que um indivíduo utiliza a internet, determine a
probabilidade de ter instrução superior.
)|( ISP 4.0
52
c) Escolhida uma pessoa ao acaso nesta população, determine
a probabilidade de que tenha instrução superior, acesso à T.V.
por cabo e utilize Internet.
)( ITSP 1.0
d) De entre os indivíduos que têm instrução superior, determine
a percentagem dos que utilizam a Internet ou têm acesso à T.V.
por cabo.
)|( STIP 9.0
