1 UN PERCORSO SEMPLIFICATO LUNGO GLI SVILUPPI DELLA TEORIA DEL RISCHIO Rendimento del capitale, rischio e costo del capitale La selezione di un singolo

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UN PERCORSO SEMPLIFICATO LUNGO GLI UN PERCORSO SEMPLIFICATO LUNGO GLI SVILUPPI DELLA TEORIA DEL RISCHIOSVILUPPI DELLA TEORIA DEL RISCHIO

• Rendimento del capitale, rischio e costo del capitale

• La selezione di un singolo titolo

• La selezione di un portafoglio

• La frontiera efficiente

• La selezione del portafoglio “soggettivamente” ottimo

• Il teorema della separazione: il portafoglio “oggettivamente”ottimo

• La scomposizione del rischio: rischio diversificabile e rischio sistematico

• Il C.A.P.M. e l’indice beta

• L’indice beta e la quantificazione del costo del capitale di rischio

PROGETTO DI INVESTIMENTOPROGETTO DI INVESTIMENTO : - IMPORTO 3.000.000- REDDITIVITA’ 15%

COPERTURA FINANZIARIACOPERTURA FINANZIARIA : - AUMENTO DI CAPITALE

N° AZIONI 1.000.000PAY OUT RATIO 100 % UTILI 2.000.000 (in assenza dell’investimento)UTILI PER AZIONE 2UTILI ATTESI 2.450.000 (2 ml + 0,15 * 3 ml)VALORE DELLE AZIONI 10 (valore di mercato)PREZZO DI EMISSIONE 10

IL PROGETTO E’ CONVENIENTE ?IL PROGETTO E’ CONVENIENTE ?

LA REALIZZAZIONE DEL PROGETTO FAREBBE LA REALIZZAZIONE DEL PROGETTO FAREBBE DIMINUIRE IL VALORE DI MERCATO DELLE AZIONIDIMINUIRE IL VALORE DI MERCATO DELLE AZIONI

(= (= distruggerebbe valore )distruggerebbe valore )

CAPITALE NECESSARIO 3.000.000

AZIONI DA EMETTERE 300.000

N° TOTALE AZIONI 1.300.000

UTILI ATTESI 2.450.000

UTILI PER AZIONE 1,88

IL REDDITO PRODOTTO DAL NUOVO INVESTIMENTO NON E’ SUFFICIENTE IL REDDITO PRODOTTO DAL NUOVO INVESTIMENTO NON E’ SUFFICIENTE A GARANTIRE ALLE NUOVE 300.000 AZIONI LO STESSO REDDITO CHE A GARANTIRE ALLE NUOVE 300.000 AZIONI LO STESSO REDDITO CHE L’ATTUALEL’ATTUALECAPITALE INVESTITO OFFRE ALLE VECCHIE AZIONICAPITALE INVESTITO OFFRE ALLE VECCHIE AZIONI

L’ AUMENTO DI CAPITALE SAREBBE L’ AUMENTO DI CAPITALE SAREBBE CONVENIENTE SOLTANTO SE IL NUOVO CONVENIENTE SOLTANTO SE IL NUOVO INVESTIMENTO RENDESSE ALMENO IL 20 %INVESTIMENTO RENDESSE ALMENO IL 20 %

U/P = Ke P = U/Ke

2 /10 = 0,20 1,88 / 10 = 0,18

1,88 / X = 0,20

X = 9,40 1,88 / 9,40 = 0,20

Perché gli investitori dell’esempio pretendono il 20% ?

Perché è il loro costo di opportunità: il mercato finanziarioquota al 20% gli investimenti finanziari che hanno quel livellodi rischio.

20% è il tasso di equilibrio che remunera il valore finanziario del tempo (ip. rischio zero) ed, in aggiunta, il rischio assunto.

Nel sistema finanziariosistema finanziario si trovano (in condizioni di equilibrio) solo investimenti che pagano tempo e rischio, niente di più, (per effetto della concorrenza che tende ad aggiustare gli squilibri).

Le imprese imprese hanno opportunità di investimento che rendono piùdi quanto spiegato dal rischio, perché non tutti sono in grado di replicare gli investimenti di impresa (vantaggi competitivi).

Non è evidentemente il caso dell’esempio. L’impresa propone un investimento che rende meno del tasso-soglia.

INDICATORI INDICATORI

DI RISCHIO E DI RENDIMENTODI RISCHIO E DI RENDIMENTO

la Modern Portfolio Theory (MPT)la Modern Portfolio Theory (MPT)

eeil Capital Asset Pricing Model il Capital Asset Pricing Model

(CAPM)(CAPM)

• La relazione Rischio-RendimentoLa relazione Rischio-Rendimento• La misurazione del rischioLa misurazione del rischio• Dal singolo titolo al portafoglioDal singolo titolo al portafoglio• Come ottimizzare le scelte di Come ottimizzare le scelte di

portafoglioportafoglio• Il modello di Markowitz: le formuleIl modello di Markowitz: le formule• Il modello a due indiciIl modello a due indici• La costruzione del portafoglio La costruzione del portafoglio

efficiente per N titoliefficiente per N titoli

I CONCETTI - CHIAVE I CONCETTI - CHIAVE DELLA LEZIONEDELLA LEZIONE

• Ipotesi fondamentale della MPT: gli investitori sono avversi al rischioavversi al rischio.

• la MPT ipotizza pertanto che esista una relazione positiva tra rendimentorelazione positiva tra rendimento atteso di un investimento e rischioe rischio dell’investimento.

• Sono disponibili numerose conferme empiricheconferme empiriche

La Relazione Rischio RendimentoLa Relazione Rischio Rendimento

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TITOLO Arendimenti attesi probabilità

r 1 0,14 p 1 0,10r 2 0,13 p 2 0,20r 3 0,12 p 3 0,40r 4 0,11 p 4 0,20r 5 0,10 p 5 0,10

TITOLO Brendimenti attesi probabilità

r 1 0,30 p 1 0,10r 2 0,20 p 2 0,20r 3 0,12 p 3 0,40r 4 0,04 p 4 0,20r 5 - 0,06 p 5 0,10

Rma

Rma = 0,011

= 0,095

La Relazione Rischio RendimentoLa Relazione Rischio Rendimento

• a parità di rischio scelgo quella con il rendimento più alto – A è preferibile a B

• a parità di rendimento, scelgo quella con il rischio più basso– C è preferibile a B

Come selezionare singole attività

Non sempre la scelta è possibile: come mi comporto se le due attività hanno rischio e rendimento più elevato? Tra A e C, cosa scelgo ?

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

0% 5% 10% 15% 20%Rischio

(Dev.standard dei tassi di rendimento)

Ren

dim

ento

(M

edia

ari

tmet

ica

dei

tas

si a

nn

ui

di

ren

dim

ento

)

A

B C

11

Titolo CTitolo C 0,140,14 0,1100,110

Titolo DTitolo D 0,100,10 0,0080,008

RmaRma

Titolo ATitolo A 0,120,12 0,0110,011

Non è più possibile scegliere tra A C D senza conoscere Non è più possibile scegliere tra A C D senza conoscere la funzione di preferenza dell’investitore.la funzione di preferenza dell’investitore.

In realtà, il problema è più complesso: nessuno In realtà, il problema è più complesso: nessuno investirebbe in un solo titolo !!investirebbe in un solo titolo !!

Titolo BTitolo B 0,120,12 0,095 0,095 Dominato da ADominato da A

Cosa conviene fare ?Cosa conviene fare ?

a) il titolo B non lo compra nessuno? a) il titolo B non lo compra nessuno? b) cosa succede se investo in una combinazione AB ?b) cosa succede se investo in una combinazione AB ?

esaminiamo l’ipotesi b) data la seguente situazione:

Titolo A r = 12% sigma = 1,1%

Titolo B r = 12% sigma = 9,5%

combiniamo un portafoglio con : 90% A e 10% Bcombiniamo un portafoglio con : 90% A e 10% B

• Il rendimentorendimento atteso del portafoglio è pari alla media ponderata dei rendimenti, cioè 12%

• Il rischiorischio dipende dal coefficiente di correlazione esistente tra i rendimenti

= +1 sigmaport = 1,94% (= media ponderata a e b )

= 0 sigmaport = 1,37%

= -1 sigmaport = 0,0004%0,0004%

sempre a parità di rendimento atteso

La correlazione tra i rendimentiLa correlazione tra i rendimenti

L'EFFETTO CORRELAZIONE

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25

VOLATILITA'

RE

ND

IME

NT

O

coeff. correlazione pari a 1

correlazione pari a 0

coeff. correlazione pari a -1

ATTIVITA' "A"

ATTIVITA' "B"

Dal singolo titolo al portafoglioDal singolo titolo al portafoglio

• Il rendimento di portafogliorendimento di portafoglio è sempre uguale alla media ponderata dei rendimenti delle attività inserite

• Il rischio di portafogliorischio di portafoglio è minore o uguale al rischio medio ponderato delle attività inserite

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In una logica di portafoglio, i criteri di selezione cambiano: il portafoglio migliore

non è quello costituito dai titoli singolarmente meno rischiosi o più redditizi.

Bisogna valutare la correlazione tra i

rendimenti dei diversi titoli.


• 3 titoli: A, B, C• 3 anni: 1, 2, 3• I titoli hanno il seguente rendimento:

• Qual e’ il titolo migliore?

Titolo Anno 1 Anno 2 Anno 3A 5 10 15B 0 10 20C 30 5 -5

Dal singolo titolo al Dal singolo titolo al portafoglioportafoglio

(un altro esempio)(un altro esempio)

• Devo calcolare rendimento medio e rischio dei tre titoli:

• Il rischio è intuitivamente rappresentato dall’intervallo tra i possibili rendimenti nei tre anni

» Il titolo A domina il titolo B» Il titolo B domina il titolo C

Titolo Rendimento medio Rendim. min. max.A 10,0 tra 5,0 e 15,0B 10,0 tra 0 e 20,0C 10,0 tra 30,0 e -5,0


Qual e’ il portafoglio migliore? (NB. coppie di 2 titoli con il medesimo peso: 50%)

Portafogli Anno 1 Anno 2 Anno 3Rendimento

medioAB 2,5 10,0 17,5 10,0BC 15,0 7,5 7,5 10,0AC 17,5 7,5 5,0 10,0

PortafogliRendimento massimo e

minimoAB 2,5 – 17,5BC 7,5 – 15,0AC 5,0 – 17,5

Rendimento

Rischio


• Considerando rischio e rendimento dei tre portafogli:

Titolo Rendimento medio Diff. tra mass. e min.AB 10,0 15,0BC 10,0 7,5AC 10,0 12,5

1) Il portafoglio BC domina tutti gli altri, nonostante il titolo A, il migliore tra i tre, non venga selezionato;

2) L’investitore ha convenienza a selezionare il portafoglio BC rispetto all’acquisto del solo titolo A, nonostante il titolo A domini entrambi gli altri titoli.


Verifica la correlazione tra BC e confrontala con AB e AC Verifica la correlazione tra BC e confrontala con AB e AC (v. slide 19)(v. slide 19)

• La combinazione di due azioni i cui rendimenti presentano una correlazione pari a +1 non comporta alcun beneficio a livello di portafoglio: il rischio rimane pari alla media ponderata.

• Per minimizzare il rischio di un investimento è sufficiente detenere due titoli con rendimenti fra loro indipendenti o correlati negativamente


La diversificazione di La diversificazione di portafoglioportafoglio

ModalitàModalità• Selezione ed immissione in portafoglio

di titoli caratterizzati da una correlazione reciproca diversa dall’unità

EffettoEffetto• In tal caso, il rischio del un portafoglio è

inferiore alla media dei rischi dei singoli titoli considerati

Rischio = Rsistematico + Rspecifico

• Rischio sistematicoRischio sistematico (di mercato) Componente di rischio spiegata dalla sensibilità del prezzo del titolo alle oscillazioni di mercato

• Rischio specificoRischio specifico (diversificabile) Componente di rischio spiegata da fattori specifici dell’azienda emittente (investimenti, dividendi, vicende aziendali, tassi di impiego)


Rischio di portaf.

Rischio totale

Numerosità titoli

Rischio specifico-eliminabile-

Rischio sistematico – non eliminabile-

0


Come ottimizzare le scelte Come ottimizzare le scelte di portafogliodi portafoglio

Presupposti:• conoscenza del grado di avversione al

rischio dell’investitore• selezione dei titoli da immettere nel

portafoglio

Obiettivo Obiettivo Determinare la composizione

ottima del portafoglio titoli

Determinare la composizione

ottima del portafoglio titoli

Il modello di MarkowitzIl modello di Markowitz

Scopo del modello:

• Definire il portafoglio ottimale in grado di offrire il massimo rendimento atteso per un dato livello di rischio o, viceversa, il minimo rischio per un dato valore di rendimento atteso

Il modello di MarkowitzIl modello di Markowitz

Gli input del modello

Correlazione lineare titoli

Rischio titoli (²)

Rendimento atteso titoli

Il modello a due indiciIl modello a due indici

Dato…Dato… un portafoglio P composto dai due titoli A e B con

rendimenti attesi rispettivamente pari a E(RA) e E(RB) e con quote di portafoglio rispettive pari a (X) e (1- X),

Posto...Posto...Xi quota di capitale destinata al titolo i-esimo

(Vincolo di budget i Xi =1 con i=1, 2,...n)


– Il rendimentorendimento complessivo di portafoglio p:

p= E(Rp) = X ∙ E(RA) + (1-X) ∙ E(RB)

– Il rischiorischio indicato dalla varianza ²p:

²p = X²∙²A+(1-X)²∙²B+2∙X∙(1-X∙A∙B∙AB dove ²A : varianza dei rendimenti del titolo A

²B varianza dei rendimenti del titolo B A: deviazione standard del titolo A B: deviazione standard del titolo B AB: correlazione tra i rendimenti RA e RB.

• Al variare della quota di portafoglio del titolo A (X) si ottiene una serie di punti P(,) sul piano , (media varianza), che definisce la regione delle opportunità di mercato.

• Il contorno superiore di tale insieme definisce la frontiera efficientefrontiera efficiente

Titolo A

Titolo B

Rischio () R

en

dim

en

to

A

B

0 ²*

*

A

P*

P* : portafoglio con varianza minima.

B


La composizione di portafogli La composizione di portafogli efficienti con 3 titoliefficienti con 3 titoli

Ipotesi : tre titoli A, B, C

AB: Frontiera efficiente titoli A e B.

BC: Frontiera efficiente titoli B e C.

A

B

C


D

A

B

C



• Se si considera il portafoglio D del tratto AB, è possibile costruire un’altra frontiera efficiente DC tra i titoli C e D.

D

A

B

C



• Gli archi di curva costruiti in base a tutte le possibili ripartizioni tra titoli e portafogli danno vita alla frontiera AC relativa ai tre titoli.

D

A

B

C


Iterando il precedente processo di costruzione N volte, si ottiene la frontiera efficiente della regione delle opportunità ad N titoli, i cui punti hanno coordinate (,²) individuate dalle seguenti formule.

E(Rp) = i E(Ri) ∙ Xi

²p= i Xi²∙²(Ri)+i j Xi∙Xj∙(Ri)∙(Rj)∙ i,j

con i,j=1, 2, …..n

La composizione di portafogli La composizione di portafogli efficienti con N titoliefficienti con N titoli

Nel caso di più titoli, il procedimento è complesso perché vanno ricalcolate tutte le coppie del coefficiente di correlazione

Rischio ()

Rendim

ento

0

P


Ora si pone un altro problema: quale portafoglio è conveniente scegliere tra quelli efficienti ?

Rischio ()

Rendim

ento

0

P


A questo punto dell’analisi, la scelta può essere soltanto soggettiva: dipende da quanto rischio in più si è disposti ad accettare in cambio di una unità di rendimento in più

Rischio ()

Rendim

ento

0

P


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E (R)

Le curve soggettive di indifferenza rischio/rendimento

44

a

b

E (R)

Le curve soggettive di indifferenza rischio/rendimento

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