1. Vektorit

1.1 Vektorin kasiteFysikaalisten suureiden spesifioimiseksi ei useinkaanpelkka suureen koko ole riittava. Esimerkiksi liikettakuvattaessa on yleensa tarpeen kertoa myos liikkeensuunta kolmiulotteisessa avaruudessamme. Liikkeenpuolestaan aiheuttaa johonkin suuntaan vaikuttava jonkinsuuruinen voima. Tallaisia suureita kuvaamaan on luotuvektorit.Vektori on suure, jolla on suunta ja suuruus. Skalaaripuolestaan on suure, jolla on vain suuruus.Graafisesti vektori esitetaan nuolena, jonka karki osoittaavektorin suunnan ja pituus vektorin suuruuden.

x

y

z A = ( A x , A y , A z )

A x

A y

A z

B = ( B x , B y , B z )

B x

B y

B z

C = ( C x , C y , C z )

C x

C y

C z

Kuva 1.1 Vektorin esitysMaaritelman mukaan vektorin paikalla avaruudessa ei olemerkitysta. Esimerkiksi kuvan 1.1 kaikki kolme vektoriaovat samoja, ts.

A = B = C.

Merkintoja

Tekstissa vektoreita merkitaan tavallisesti (mm. tassa esityksessa)lihavoitetuilla symboleilla (A, r,β, . . .). Kasin kirjoitettaessavektoreiden paalle piirretaan useimmiten ylaviiva, A, joskus nuoli,~A.

Valitussa koordinaatistossa vektori voidaan spesifioidaesim.

• antamalla kaksi suuntakulmaa, vaikkapa vektorin jaz-akselin valinen kulma seka vektorin xy-tasollaolevan projektion ja x-akselin valinen kulma, javektorin pituus.

• antamalla vektorin koordinaattiakseleilla olevienprojektioiden pituudet (merkki huomioiden).

Kaytamme aluksi lahes yksinomaan jalkimmaista esitysta.Vektorin A spesifioivat siis sen projektiotkoordinaattiakseleille: kolmiulotteisessa avaruudessareaalilukukolmikko (Ax, Ay, Az),

A = (Ax, Ay, Az).

Projektioita Ax, . . . sanotaan vektorin koordinaateiksi taikomponenenteiksi. Puhutaan myos vektorinkomponenttiesityksesta.Koska vektorin paikalla ei ole merkitysta, voisimmesiirtaa kaikki vektorit valitsemamme koordinaatistonorigoon, jolloin vektoria kuvaisivat sen karjenkoordinaatit. Kaantaen, mita tahansa avaruuden pistettavoidaan pitaa origosta lahtevan vektorin karkena. Talloinpuhutaan usein paikka- eli radiusvektorista.

r = P ( x , y , z ) = ( x , y , z )

x

y

z

Kuva 1.2 Paikkavektori

Esimerkiksi massapisteen paikkaa avaruudessa voisikuvata paikkavektori

r = (x, y, z).

Jos piste on liikkeessa, niin sen koordinaatit x, y ja z ovatajan funktioita, joten paikkavektorin r karkikin liikkuuajan myota:

r = r(t) = (x(t), y(t), z(t)).

r ( t 0 ) r ( t 1 )

Kuva 1.3 Liikkuva piste

Liikkuvan pisteen nopeus v maaraytyy ilmeisestikin senkoordinaattien muutosnopeuksista

.x(t),

.y(t) ja

.z(t), ts.

v(t) = (.x(t),

.y(t),

.z(t)).

Jos viela sovimme, etta vektori derivoidaan derivoimallasen komponentit, voimme kirjoittaa ytimekkaasti

v(t) =.r(t).

Vektorin maaritelman perusteella vektorit a = (ax, ay, az)ja b = (bx, by, bz) ovat yhtasuuria jos ja vain jos niidenvastinkomponentit ovat yhtasuuria, ts. jos ja vain josax = bx, ay = by ja az = bz. Talloin merkitaan a = b.

1

Vektorin ajatellaan olevan jotakin absoluuttista; vektori onolemassa ja pysyy samana kaytettiinpa millaista koordinaatistoatahansa tai toimittiinpa ilman koordinaatistoa. Vektorin esityskomponenttimuodossa sen sijaan riippuu valitustakoordinaatistosta. Mittakaava ja koordinaattiakseleiden suunnatvaikuttavat vektorin komponentteihin. Esimerkiksi vektoreidenyhtasuuruudesta paatettaessa on pidettava huoli siita, etta neesitetaan samassa koordinaatistossa.

Maaritellaan nollavektori siten, etta

= (0, 0, 0). (1.1)

A y

A x

( Ax2 + A

y2 ) 1 / 2

A z

( A x2 + A

y2 + A

z2 )1 / 2 A

Kuva 1.4 Vektorin pituus

Vektorin suuruus on sama kuin vektorin pituus. Kutenkuvasta 1.4 nahdaan, on vektorin A = (Ax, Ay, Az)pituus |A| Pythagoraan lauseen mukaan

|A| =√

A2x +A2

y +A2z. (1.2)

Hyvin usein vektorista kaytetty symboli ilmanvektorimerkintaa tarkoittaa ko. vektorin pituutta, esim.A = |A|.Ilmeisestikin A = jos ja vain jos |A| = 0. Taman vuoksihyvin usein jatetaan vektorimerkinta pois nollavektorista.

1.2 Vektorialgebra

Skalaarilla kertominen

Olkoon A = (Ax, Ay, Az) jokin vektori ja λ jokinreaalinen vakio. Silloin λA on vektori

λA = (λAx, λAy, λAz). (1.3)

Skalaarilla λ kerrottaessa vektori siis sailyttaa suuntansajos λ > 0 tai kaantyy vastakkaiseen suuntaan jos λ < 0.Vektorin pituus muuttuu vakiolla λ kerrottaessa kuten

|λA| = |λ||A|.

Yhteen- ja vahennyslasku

Vektorien A = (Ax, Ay, Az) ja B = (Bx, By, Bz) summanmaarittelee yhtalo

A+B = (Ax +Bx, Ay +By, Az +Bz). (1.4)

ja erotuksen yhtalo

A−B = A+ (−1)B= (Ax −Bx, Ay −By, Az −Bz).

(1.5)

A

B

B

A

A + B

A

B

A - B

Kuva 1.5 Vektorien yhteen- ja vahennyslasku

Graafisesti kahden vektorin A ja B summa siismuodostetaan siirtamalla esim. vektori B siten, etta senkanta yhtyy vektorin A karkeen. Summa- eliresultanttivektori A+B on silloin vektorin A kannastavektorin B karkeen ulottuva vektori. Erotusvektorivoidaan puolestaan muodostaa siten, etta siirretaanmolempien vektorien kannat samaan kohtaan. ErotusA−B on nyt vektorin B karjesta vektorin A karkeenulottuva vektori.

Laskutoimitusten ominaisuuksia

Suoraan maaritelmista on helppo todeta, etta

• Vektoreiden yhteenlasku on kommutatiivinen, ts.

A+B = B+A.

• Vektoreiden yhteenlasku on assosiatiivinen, ts.

A+ (B+C) = (A+B) +C.

Sulut voidaan siis taman kaltaisissa lausekkeissajattaa merkitsematta.

• Skalaarilla kertominen on distributiivinen, ts.

λ(A+B) = λA+ λB.

Yksikkovektorit

Yksikkovektori on sellainen vektori, jonka pituus on yksi.Esim. Vektorin A = (5, 3,

√2) suuntainen yksikkovektori

Vektorin A pituus A on

A = |A| =√

52 + 32 +√22=

√36 = 6.

Talloin vektori

a =1

AA =

1

6(5, 3,

√2) = (

5

6,1

2,

1

3√2)

on vektorin A suuntainen. Se on ilmeisestikin myosyksikon mittainen, silla

|a| =∣

∣

∣

∣

1

AA

∣

∣

∣

∣

=1

A|A| = 1

AA = 1.

2

Yksikkovektorit erotetaan usein kirjoittamalla ˆ-merkki vektorin

ylapuolelle, kuten esim. b. Jos samassa yhteydessa puhutaan

myos vektorista b, niin silloin b tarkoittaa yleensa vektorin bsuuntaista yksikkovektoria.

Koordinaattiakseleiden suuntaisia yksikkovektoreitasanotaan yksikkokoordinaattivektoreiksi tai lyhyestikantavektoreiksi. Niita merkitaan usein kuten

ex = (1, 0, 0)ey = (0, 1, 0)ez = (0, 0, 1).

(1.6)

. Toinen hyvin paljon kaytetty merkitsemistapa on

i = ex, j = ey ja k = ez. (1.7)

Koska vektori voidaan kirjoittaa kuten

A = (Ax, Ay, Az)

= (Ax, 0, 0) + (0, Ay, 0) + (0, 0, Az)

= Ax(1, 0, 0) +Ay(0, 1, 0) +Az(0, 0, 1),

saadaan sille komponenttiesitykset

A = Axex +Ayey +Azez

= Axi+Ayj+Azk.

1.3 Vektoreiden tulot

1.3.1 Pistetulo

Vektoreiden A = (Ax, Ay, Az) ja B = (Bx, By, Bz)Pistetulon eli skalaaritulon A ·B maarittelee kaava

A ·B = AxBx +AyBy +AzBz. (1.8)

Merkinta A2 tarkoittaa vektorin A skalaarituloa itsensakanssa eli

A2 = A ·A = A2x +A2

y +A2z

= |A|2.

Vektorin pituus on siis ilmaistavissa skalaaritulon avullakuten

|A| =√A ·A =

√A2.

Suoraan maaritelmasta nahdaan, etta pistetulo

• on kommutatiivinen, ts. A ·B = B ·A.

• on distributiivinen: A · (B+C) = A ·B+A ·C.

• skalaarilla kerrottaessa toteuttaa relaatiotλ(A ·B) = (λA) ·B = A · (λB).

Esim. Cauchy-Schwartzin epayhtaloOlkoot A ja B nollasta poikkeavia vektoreita ja λmielivaltainen skalaari. Tarkastellaan vektoreiden λA jaB resultanttia λA+B ja erikoisesti sen pituuden neliota

q(λ) = |λA+B|2.

Kuten naimme, vektorin pituuden nelio on vektorinskalaaritulo itsensa kanssa, ts.

q(λ) = (λA+B) · (λA+B)

= λ2A ·A+ λA ·B+ λB ·A+B ·B= λ2|A|2 + 2λA ·B+ |B|2

= |A|2(

λ2 + 2λA ·B|A|2

)

+ |B|2,

missa olemme kayttaneet hyvaksi skalaaritulonominaisuksia (distributiivisuus, kommutatiivisuus jne.).Taydennetaan sulkujen sisalla oleva lauseke nelioksi jasaadaan

q(λ) = |A|2(

λ2 + 2λA ·B|A|2 +

(A ·B)2

|A|4)

− (A ·B)2

|A|2 + |B|2.

Hieman sieventaen ja ryhmittaen voimme kirjoittaaedellisen lausekkeen muotoon

q(λ) = |A|2(

λ+A ·B|A|2

)2

+1

|A|2(

|A|2|B|2 − (A ·B)2)

Taman muodon ensimmainen termi on neliona ainaei-negatiivinen, joten funktiolla q(λ) on minimi kunneliotermi on minimissaan. Valitsemalla λ = −A ·B/|A|2saadaan neliotermi haviamaan joten funktion q(λ) minimiqmin on sama kuin jalkimmainen termi. Pituuden nelionaq(λ) ei voi olla negatiivinen olipa λ mita hyvansa, jotenmyos sen minimille taytyy olla voimassa qmin ≥ 0. Siis on

|A|2|B|2 − (A ·B)2 ≥ 0.

Tama on kirjoitettavissa Cauchy-Schwartzin epayhtalonatunnettuun muotoon

|A ·B| ≤ |A||B|. (1.9)

Oletimme, etta A 6= ja B 6= 0. Jos nyt jompi kumpi taimolemmat ovat nollia, niin epayhtalo on edelleenkinvoimassa (yhtasuuruutena).Esim. KolmioepayhtaloVektorit A, B ja A+B muodostavat kolmion, jonkasivujen pituudet ovat |A|, |B| ja |A+B|. Kaantaen,

3

jokainen kolmio voidaan esittaa kahtena vektorina janiiden resultanttina.

B

A

A + B

Kuva 1.6 Kolmioepayhtalo

Nyt on

|A+B|2 = (A+B) · (A+B)

= |A|2 + 2A ·B+ |B|2≤ |A|2 + 2|A ·B|+ |B|2≤ |A|2 + 2|A||B|+ |B|2= (|A|+ |B|)2,

missa viimeista edellisessa muodossa olemme soveltaneetCauchy-Schwarzin epayhtaloa. Paadymme sitenkolmioepayhtalona tunnettuun relaatioon

|A+B| ≤ |A|+ |B|, (1.10)

joka kertoo sen tutun tosiasian, etta kolmiossa kahdensivun summa on aina suurempi tai yhtasuuri kuin kolmassivu.

Pistetulon geometrinen merkitys

Tarkastellaan nyt vektoreiden A, B ja A−B

muodostamaa kolmiota.

AB

A - B

qA c o s q

B - A c o s qh

Kuva 1.7 Pistetulon geometrinen merkitys

Sivun A−B pituuden nelio on

|A−B|2 = (A−B) · (A−B)

= |A|2 + |B|2 − 2A ·B= A2 +B2 − 2A ·B,

missa A ja B tarkoittavat vektoreiden A ja B pituuksia.Kuviosta 1.7 nahdaan, etta vektoreiden A, B ja A−B

muodostaman kolmion korkeuden h nelio on

h2 = A2 −A2 cos2 θ,

missa θ on vektoreiden A ja B valinen kulma.

Edelleen Pythagoraan lausetta soveltaen saamme

|A−B|2 = h2 + (B −A cos θ)2

= A2 −A2 cos2 θ

+B2 +A2 cos2 θ − 2AB cos θ

= A2 +B2 − 2AB cos θ.

Vertaamalla tata aikaisempaan suureen |A−B|2lausekkeeseen naemme, etta

A ·B = AB cos θ. (1.11)

Kuviosta 1.7 on luettavissa myos tulkinnat: A ·B on

• vektorin A projektion pituus vektorilla B kertaavektorin B pituus tai

• vektorin B projektion pituus vektorilla A kertaavektorin A pituus.

Vektoreiden valisen kulman θ kosini on lausuttavissapistetulon avulla kuten

cos θ =A ·B|A||B| . (1.12)

Ilmeisestikin vektorit A ja B ovat kohtisuorassa toisiaanvastaan jos A ·B = 0 ja yhdensuuntaisia josA ·B = |A||B|. Erikoisesti kantavektoreille i, j ja k onvoimassa

i · j = i · k = j · k = 0

eli ne ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa, ts.ortogonaalisia. Koska viela on

i · i = j · j = k · k = 1,

sanotaan naiden kantavektoreiden olevan ortonormaalisia.Kirjoitetaan vektori A komponenttimuodossa

A = Axi+Ayj+Azk.

Kantavektoreiden ortonormaalisuuden perusteella on mm.

A · i = Axi · i+Ayj · i+Azk · i = Ax

Vektorin komponentit voidaan siten lausua skalaarituloina

Ax = A · i, Ay = A · j ja Az = A · k.

Kantavektoreiden ortonormaalisuudesta seuraa samoin se,etta muodossa A = Axi+Ayj+Azk jaB = Bxi+Byj+Bzk esitettyjen vektoreiden skalaarituloon

A ·B = AxBx +AyBy +AzBz

4

eli yhtapitava maaritelman (1.8) kanssa.

a bg

i

j

k

A

Kuva 1.8 Suuntakulmat

Vektorin ja yksikkovektorin i valisen kulman eli vektorinja x-akselin valisen kulman α kosini on

cosα =A · i|A||i| =

Ax

A,

missa A = |A|. Vastaavat lausekkeet saadaan vektorin jay-akselin valisen kulman β seka vektorin ja z-akselinvalisen kulman γ kosineille. Naemme siis, etta vektori onkirjoitettavissa suuntakulmiensa α, β ja γ avulla mm.muodossa

A = A(cosα, cosβ, cos γ).

Olkoon nyt a vektori

a =1

AA.

Ensinnakin on

a · a =1

A2A2 = 1

ja toiseksi vektorien a ja A valiselle kulmalle θaA onvoimassa

cos θaA =a ·A|a||A| =

1

AA ·A 1

A= 1,

joten a on vektorin A suuntainen yksikkovektori.Vektorin B projektio p vektorin A suuntaan voidaan nytlausua yksikkovektorin a avulla kuten

p =1

AA ·B = a ·B.

Esim. Vektorin A = i− 2j+ k projektio vektorilleB = 4i− 4j+ 7kVektorin B suuntainen yksikkovektori on

b =B

B=

4i− 4j+ 7k√

42 + (−4)2 + 72

=4

9i− 4

9j+

7

9k.

Vektorin A projektio tahan suuntaan on

p = A · b = (i− 2j+ k) · (49i− 4

9j+

7

9k)

= (1)(4

9) + (−2)(−4

9) + (1)(

7

9) =

19

9.

Esim. Voiman F = 2i− j− k tekema tyo sen siirtaessakappaletta vektorin r = 3i+ 2j− 5k kannasta karkeenMaaritelman mukaan voiman tekema tyo on siirroksensuuntainen voima kerrottuna siirron pituudella.

q r

F

F c o s qKuva 1.9 Voiman tekema tyo

Kuvan mukaisesti voiman F tekema tyo onW = (F cos θ)r. Pistetulon avulla tama saadaankirjoitettua muotoon

W = F · r.

Tassa tapauksessa tyo on siis

W = (2i− j− k) · (3i+ 2j− 5k)

= (2)(3) + (−1)(2) + (−1)(−5)

= 6− 2 + 5 = 9.

Esim. Vektoria A = 2i+ 3j+ 6k vastaan kohtisuorassaolevan ja vektorin B = i+ 5j+ 3k karjen kautta kulkevantason yhtalo

A

r

B

B - r

O

Kuva 1.10 Tason yhtalo

Olkoon r jokin tason piste. Talloin vektori B− r onjonkin vektoreitten r ja B karkien kautta kulkevan tasonsuuntainen. Koska tason piti olla kohtisuorassa vektoria A

vastaan, taytyy vektorin B− r olla kohtisuorassa vektoriaA vastaan osoittipa r mihin tahansa tason pisteeseen.Saamme siis ehdon

(B− r) ·A = 0

5

tason pisteille r. Sijoittamalla tahan r = xi+ yj+ zkseka vektoreiden A ja B eksplisiittiset lausekkeet saadaan

0 = ((1− x)i+ (5− y)j+ (3− z)k)

·(2i+ 3j+ 6k)

= −2x− 3y − 6z + (1)(2) + (5)(3) + (3)(6)

= −2x− 3y − 6z + 35.

Kysytyn tason yhtalo on siis

2x+ 3y + 6z = 35.

1.3.2 Ristitulo

Vektoreiden A = (Ax, Ay, Az) ja B = (Bx, By, BZ)ristitulon eli vektoritulon A×B maarittelee kaava

A×B = (AyBz −AzBy, AzBx −AxBz, AxBy −AyBx).(1.13)

Vektoritulon muodostamista auttanee muistisaanto:Tulo A×B lasketaan siten, etta kolmirivisendeterminantin ylimmaksi riviksi kirjoitetaan kantavektoriti, j ja k (tassa jarjestyksessa), keskimmaisen rivinmuodostavat vektorin A komponentit Ax, Ay ja Az (tassajarjestyksessa) seka alimman rivin vektorin B

komponentit Bx, By ja Bz (tassa jarjestyksessa), ts.

A×B =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

Ax Ay Az

Bx By Bz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

. (1.14)

Determinanteista

Determinantit ovat muotoa∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.

.

.. . .

.

.

.an1 an2 · · · ann

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

olevia taulukoita. Niissa siis sarakkeiden ja rivien lukumaara onsama. Puhutaan n× n-determinanteista tai n-rivisisistadeterminanteista. Determinanteilla on lukuarvo.

Meidan tarkoituksiimme riittavat kaksi- ja kolmirivisetdeterminantit. Kaksirivisen determinantin arvon maarittelee kaava

∣

∣

∣

a11 a12a21 a22

∣

∣

∣= a11a22 − a12a21,

ts. kaksirivisen determinantin arvo saadaan vahentamalla

lavistajaalkioden tulosta sivulavistajaalkioiden tulo.

Kolmirivinen determinantti lasketaan helpoimmin kehittamalla sealideterminanttien avulla:

1. kuhunkin determinantin alkioon liittyy merkki taulukon∣

∣

∣

∣

∣

+ − +− + −+ − +

∣

∣

∣

∣

∣

mukaisesti.

2. valitaan jokin vaaka- tai pystyrivi.

3. kuhunkin valitun rivin tai sarakkeen alkioon liittyy2× 2-alideterminantti, joka muodostetaan alkuperaisestadeterminantista pyyhkimalla siita pois ko. alkion kauttakulkeva vaaka- ja pystyrivi.

4. kaydaan lapi kaikki valitun rivin tai sarakkeen alkiot kertoenkeskenaan alkio varustettuna siihen liittyvalla merkilla jasen alideterminantti. Muodostettujen termien summa ondeterminantin arvo.

Esim. Determinantti

D =

∣

∣

∣

∣

∣

2 1 −21 −2 34 −3 4

∣

∣

∣

∣

∣

Kehitetaan vaikkapa oikeanpuoleisimman sarakkeen mukaan.Taman ylimpaan alkioon −2 liittyy merkki +. Vastaavaalideterminantti saadaan pyyhkimalla pois ylin rivi jaoikeanpuoleisin sarake. Paadymme termiin

+(−2)

∣

∣

∣

1 −24 −3

∣

∣

∣= (−2)[(1)(−3)− (4)(−2)] = −10.

Vastaavasti kehityssarakkeen toinen alkio antaa termin

−(3)

∣

∣

∣

2 14 −3

∣

∣

∣= −3[(2)(−3)− (1)(4)] = 30

ja alin alkio termin

+(4)

∣

∣

∣

2 11 −2

∣

∣

∣= 4[(2)(−2)− (1)(1)] = −20.

Determinantin arvo D on naiden termien summa eli

D = (−10) + (30) + (−20) = 0.

Determinantteihin liittyy useita laskusaantoja. Tassa vaiheessameille riittanee tieto siita, etta

• determinantin merkki vaihtuu vaihdettaessa kaksi vaakarivia(tai kaksi pystyrivia) keskenaan.

• determinantti on nolla, jos sen kaksi vaakarivia (tai kaksipystyrivia) ovat samoja.

Kehitetaan determinantti (1.14) ylimman rivin mukaan,jolloin

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

Ax Ay Az

Bx By Bz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= i

∣

∣

∣

∣

Ay Az

By Bz

∣

∣

∣

∣

− j

∣

∣

∣

∣

Ax Az

Bx Bz

∣

∣

∣

∣

+k

∣

∣

∣

∣

Ax Ay

Bx By

∣

∣

∣

∣

= (AyBz −AzBy)i

−(AxBz −AzBx)j

+(AxBy −AyBx)k.

Nahdaan, etta tama todellakin yhtyy maaritelmaan(1.13).Determinanttiesityksesta nahdaan mm. ominaisuus

A×B =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

Ax Ay Az

Bx By Bz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

Bx By Bz

Ax Ay Az

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −B×A.

6

Siten ristitulon merkki vaihtuu vaihdettaessa tekijoidenjarjestysta:

A×B = −B×A. (1.15)

Ristitulo ei siis ole kommutatiivinen. Ominaisuudesta(1.15) seuraa mm.

A×A = −A×A,

joten vektorin ristitulo itsensa kanssa on nolla,

A×A = 0. (1.16)

Suoraan maaritelmasta nahdaan vektoritulondistributiivisuus

A× (B+C) = A×B+A×C. (1.17)

Skalaarilla kerrottaessa ristitulo noudattaa yhtaloa

λ(A×B) = (λA)×B = A× (λB). (1.18)

Katsotaan, millaisia ovat yksikkovektoreiden ristitulottoistensa kanssa. Lasketaan esimerkkina

i× j = (1, 0, 0)× (0, 1, 0) = (0− 0, 0− 0, 1− 0)

= (0, 0, 1) = k.

Samalla tavoin voimme todeta, etta muutkin kaavoista

i× j = k

j× k = i

k× i = j

(1.19)

pitavat paikkansa. Koordinaatistoa, jonka kantavektorittoteuttavat relaatiot (1.19) sanotaan oikeakatiseksi.

x

y

z

Kuva 1.11 Oikeakatinen koordinatisto

Oikeakatisessa xyz-koordinaatistossa z-akselin suuntainenoikeakatinen ruuvi postiiviseen kiertosuuntaankierrettaessa (kierretaan lyhinta kautta positiiviseltax-akselilta positiiviselle y-akselille) etenee positiivisenz-akselin suuntaan. Sama asia voidaan ilmaista myos ns.oikean kaden kolmisormisaantona:oikean kaden peukalon osoittaessa x-akselin suuntaan jaetusormen y-akselin suuntaan osoittaa keskisormiz-akselin suunnan.

Ristitulon geometrinen merkitys

Vektorin A×B pituuden nelio on

|A×B|2 = (AyBz −AzBy)2 + (AzBx −AxBz)

2

+(AxBy −AyBx)2.

Suoraviivainen lasku osoittaa, etta tama voidaankirjoittaa muotoon

|A×B|2 = (A2x +A2

y +A2z)(B

2x +B2

y +B2z )

−(AxBx +AyBy +AzBz)2.

Tama taas on sama kuin

|A×B|2 = A2B2 − (A ·B)2,

missa jalleen A ja B tarkoittavat vektoreiden A ja B

pituuksia. Kirjoitetaan pistetulo vektoreiden valisenkulman θ avulla, jolloin

|A×B|2 = A2B2(1− cos2 θ) = A2B2 sin2 θ.

Naemme siis, etta ristitulovektorin A×B pituus on

|A×B| = AB| sin θ|.Vektoreiden A×B ja A skalaaritulo on

A · (A×B) = Ax(AyBz −AzBy)

+Ay(AzBx −AxBz)

+Az(AxBy −AyBx)

= 0.

Samoin nahdaan, etta B · (A×B) = 0. Vektori A×B onsiis kohtisuorassa molempia tekijoitaan vastaan elikohtisuorassa tekijoiden muodostamaa tasoa vastaan.Tulovektorin suunta on paateltavissa yksikkovektoreittenristituloista (1.19):Vektoreiden A ja B ristitulo on

A×B = (|A||B| sin θ)n, (1.20)

missa θ on vektoreiden valinen kulma ja n vektoreidenmuodostamaa tasoa vastaan kohtisuorassa oleva sellainenyksikkovektori etta vektoreiden A, B ja n kolmikko (tassajarjestyksessa) muodostaa oikeakatisen systeemin. Oikeankaden kolmisormisaanto lienee havainnollisempi: Jos A

osoittaa oikean kaden peukalon suuntaan ja B etusormensuuntaan niin A×B osoittaa keskisormen suuntaan (jaon kohtisuorassa vektoreita A ja B vastaan).

A

B

A ´ B

q| A ´ B |

Kuva 1.12 Ristitulon geometrinen merkitys

7

Kuvassa 1.12 vektoreiden A ja B muodostaman kolmionkorkeus on B sin θ jos kolmion kantana pidetaan vektoriaA. Taman kolmion pinta-ala on siten 1

2AB sin θ, jotenristitulo on suuruudeltaan tekijavektoreidenmuodostaman suunnikkaan pinta-ala.Esim. A = 2i− 3j− k ja B = i+ 4j− 2k, a) A×B, b)B×A ja c) (A+B)× (A−B)a)

A×B =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

2 −3 −11 4 −2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= i

∣

∣

∣

∣

−3 −14 −2

∣

∣

∣

∣

− j

∣

∣

∣

∣

2 −11 −2

∣

∣

∣

∣

+ k

∣

∣

∣

∣

2 −31 4

∣

∣

∣

∣

= 10i+ 3j+ 11k.

b)

B×A =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

1 4 −22 −3 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= i

∣

∣

∣

∣

4 −2−3 −1

∣

∣

∣

∣

− j

∣

∣

∣

∣

1 −22 −1

∣

∣

∣

∣

+ k

∣

∣

∣

∣

1 42 −3

∣

∣

∣

∣

= −10i− 3j− 11k = −A×B.

c)

(A+B)× (A−B) = A× (A−B)

+B× (A−B)

= A×A−A×B

+B×A−B×B

= −A×B−A×B−

= −2A×B

= −20i− 6j− 22k.

q

Fr

M

r si nq P

Kuva 1.13 VaantomomenttiEsim. Vaantomomentti: Maaritelman mukaan voimanF vaantomomentti pisteen P suhteen on suuruudeltaan Fkertaa pisteen P kohtisuora etaisyys voimanvaikutussuorasta. Olkoon nyt r pisteesta P voimanvaikutuspisteeseen suunnattu vektori ja θ taman vektorinja voiman valinen kulma. Kuvasta nahdaan, etta pisteenP kohtisuora etaisyys vaikutussuorasta on r| sin θ|, jotenvaantomomentti on suuruudeltaan

M = Fr| sin θ| = |r× F|.

Vaantomomentin suunnasta on sovittu, etta voimankiertama vaikutuspisteeseen asetettu vaikutustasoa(vektoreiden r ja F muodostama taso) vastaankohtisuorassa oleva oikeakatinen ruuvi eteneevaantomomentin suuntaan. Voimme siis kirjoittaa

M = r× F.

w

q r

v

O

r s i n q

P

w

Kuva 1.14 Kulmanopeus ja lineaarinen nopeusEsim. Lineaarinen nopeus pyorivassakappaleessa: Oletetaan, etta kiintea kappale pyorii origonO kautta kulkevan akselin ω ympari kulmanopeudella ω.Vektori ω orientoidaan siten, etta vektorin suuntaankatsottuna kappale pyorii myotapaivaan. Tarkastellaankappaleen pistetta P . Kappaleen pyoriessa piste P seuraasellaisen ympyran kehaa, joka on kohtisuorassakeskipisteensa kautta kulkevaa vektoria ω vastaan. Josnyt r on pisteen P paikka seka θ vektorien r ja ω valinenkulma, niin taman ympyran sade on r sin θ.Ympyraliikkeen lineaarinen nopeus on suuruudeltaanympyran sade kertaa kulmanopeus, ts. rω sin θ.Lineaarisen nopeuden suunta taas on ympyran tangentinsuuntainen eli nyt kohtisuorassa vektoreita ω ja r

vastaan. Oikean kaden kolmisormisaannon perusteellavoimme siten kirjoittaa

v = ω× r.

1.3.3 Kolmitulot

Skalaarikolmitulo

Tarkastellaan muotoa A · (B×C) olevia kolmen vektorintuloja. Vektoreiden A ja B×C pistetulona tama onskalaari. Siksi sita nimitetaankin skalaarikolmituloksi.Skalaarikolmitulon geometrinen merkitys selvinnee allaolevasta kuvasta.

B

C

A

B × C

h

Kuva 1.15 Skalaarikolmitulo

8

Vektoreiden A, B ja C muodostaman suuntaissarmiontilavuus on pohjasuunnikkaan pinta-ala |B×C| kertaasarmion korkeus h. Korkeus taas on vektorin A projektiopohjatasoa vastaan kohtisuoralle suunnalle, esim.vektorille B×C. Sarmion tilavuus V on siis

V = |A · (B×C)|. (1.21)

Komponenttimuodossa skalaarikolmitulo on

A · (B×C) = (Axi+Ayj+Azk) ·∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

Bx By Bz

Cx Cy Cz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (Axi+Ayj+Azk) ·(

i

∣

∣

∣

∣

By Bz

Cy Cz

∣

∣

∣

∣

− j

∣

∣

∣

∣

Bx Bz

Cx Cz

∣

∣

∣

∣

+k

∣

∣

∣

∣

Bx By

Cx Cy

∣

∣

∣

∣

)

= Ax

∣

∣

∣

∣

By Bz

Cy Cz

∣

∣

∣

∣

−Ay

∣

∣

∣

∣

Bx Bz

Cx Cz

∣

∣

∣

∣

+Az

∣

∣

∣

∣

Bx By

Cx Cy

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Ax Ay Az

Bx By Bz

Cx Cy Cz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

eli

A · (B×C) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Ax Ay Az

Bx By Bz

Cx Cy Cz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

. (1.22)

Koska vaihdettaessa kaksi rivia keskenaan determinanttivaihtaa merkkinsa, saamme

A · (B×C) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Ax Ay Az

Bx By Bz

Cx Cy Cz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Cx Cy Cz

Bx By Bz

Ax Ay Az

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Cx Cy Cz

Ax Ay Az

Bx By Bz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= C · (A×B).

Koska skalaaritulo on kommutatiivinen, voimmekirjoittaa taman myos muotoon

A · (B×C) = (A×B) ·C (1.23)

eli skalaarikolmitulossa pisteen ja ristin paikan voi vaihtaa(sulkumerkkien paikat toki vaihtuvat tassa operaatiossa).

Vektorikolmitulo

Vektorikolmitulolla tarkoitetaan kolmen vektorinristituloja A× (B×C) ja (A×B)×C. Nama ovatyleensa erisuuria, joten sulkumerkit ovat oleellisia.Kasitellaan edellista muotoa olevia kolmituloja(jalkimmaisen kasittely menee samalla tavoin). Koskakyseessa on vektoreiden A ja B×C vektoritulo, ontuloskin vektori. Lasketaan naytteeksi sen x-komponentti:

(A× (B×C))x= i · (A× (B×C))

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 0Ax Ay Az

∣

∣

∣

∣

By Bz

Cy Cz

∣

∣

∣

∣

−∣

∣

∣

∣

Bx Bz

Cx Cz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Bx By

Cx Cy

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= Ay(BxCy −ByCx) +Az(BxCz −BzCx)

= Bx(AxCx +AyCy +AzCz)

−Cx(AxBx +AyBy +AzBz)

= (A ·C)(B · i)− (A ·B)(C · i)= i · [(A ·C)B− (A ·B)C] .

Samalla tavoin voisimme laskea niin taman kolmitulonmuut komponentit kuin myos jalkimmaisen muodonkomponentit jolloin paatyisimme yhtaloihin

A× (B×C) = (A ·C)B− (A ·B)C(A×B)×C = (A ·C)B− (B ·C)A.

(1.24)

Muistamista helpottanee molempiin tapauksiin soveltuvasaanto:vektorikolmitulo = (kauempi·ulko)lahempi-(lahempi·ulko)kauempi,missa ”ulko”tarkoitaa sulkujen ulkopuolista tekijaa,”lahempi”lahempana ja ”kauempi”kauempana”ulko”-tekijasta olevaa sulkujen sisapuolista vektoria.

9

Lineaarinen riippumattomuus

Vektorit v1, v2, . . .vn ovat lineaarisesti riippumattomia,jos

n∑

k=1

akvk = 0 vain jos a1 = . . . = an = 0 (1.25)

Muussa tapauksessa vektorit ovat lineaarisesti riippuvia.Kolmiulotteisessa avaruudessa on enintaan 3 vektorinjoukko keskenaan lineaarisesti riippumaton.Esim. kantavektorit i, j, k ovat lineaarisestiriippumattomia:

a1i+ a2j+ a3k = 0

vain jos a1 = a2 = a3 = 0.Esim. v1 = i, v2 = j, v3 = i+ j ovat lineaarisestiriippuvia:

v3 = v1 + v2 ⇒ v1 + v2 − v3 = 0

Jos vektorit ovat lineaarisesti riippuvia, ainakin yksivektoreista voidaan kirjoittaa lineaarikombinaationamuista.Skalaarikolmitulon ja lineaarisen riippumattomuudenvalilla on seuraava yhteys:Vektorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippumattomia jos javain jos a · (b× c) 6= 0.Esim. i · (j× k) = 1, joten i, j, k ovat lineaarisestiriippumattomia.Esim. a = (1, 0, 1), b = (1, 2, 3), c = (3, 2, 5):

a · (b× c) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 11 2 33 2 5

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 1

∣

∣

∣

∣

2 32 5

∣

∣

∣

∣

− 0

∣

∣

∣

∣

1 33 5

∣

∣

∣

∣

+ 1

∣

∣

∣

∣

1 23 2

∣

∣

∣

∣

= 4− 0− 4 = 0

Vektorit eivat ole lineaarisesti riippumattomia. Helpostinahdaan etta a = (c− b)/2.Huom: jos meilla on kolme lineaarisesti riippumatontavektoria v1, v2, v3, niin mielivaltainen vektori voidaanesittaa naiden lineaarikombinaationa:a = a1v1 + a2v2 + a3v3. Sanotaan etta vektorit vi

virittavat 3-ulotteisen avaruuden.Tutuin esimerkki naista on tietysti i, j, k.

2. Raja-arvo ja derivaatta

2.1 Raja-arvon maaritelmaFunktiolla f(x) on raja-arvo f0 pisteessa x0 jos f(x)lahestyy arvoa f0 kun x lahestyy arvoa x0.Merkitaan

f(x) → f0 kun x→ x0 (2.1)

tai

limx→x0

f(x) = f0. (2.2)

Raja-arvo matemaattisemmin:

Intuitiivisesti raja-arvon kasite on varsin selva. Matemaattisesti semaaritellaan seuraavasti: funktiolla f(x) on raja-arvo f0 pisteessax0, jos

∀ǫ ∃δ > 0 siten etta |f(x)− f0| < ǫ

jos 0 < |x− x0| < δ

Tassa merkinta “∀: kaikille”, “∃: on olemassa”.

Eli: f on mielivaltaisen lahella f0:aa, jos x on riittavan lahellax0:aa.

Raja-arvo on selkea esim. tapauksissa

limx→1

x2 + x = 2, limx→π/4

sinx = sinπ/4 = 1/√2,

limx→∞

1

x= 0, lim

x→∞xa

ex= 0, a ∈ R

(Huom: eksponenttifunktio pesee minka tahansapotenssin!)Kavalia ovat esim. tapaukset jotka lahenevat muotoa

0

0, 0×∞,

∞∞ , ∞−∞, 00, . . .

Esim:

limx→∞

2x4 + x2 + 1

−x4 + x3= lim

x→∞2x4

−x4 = −2 (2.3)

Suurin potenssi voittaa kun x→ ∞. (vastaavasti pieninjos x→ 0).Usein raja-arvojen laskemisessa auttavat seuraavatapproksimaatiot, kun |x| on pieni:

sinx = x− 1

6x3 +O(x5) (2.4)

cosx = 1− 1

2x2 +O(x4) (2.5)

(1 + x)a = 1 + ax+O(x2) (2.6)

ln(1 + x) = x+O(x2) (2.7)

ex = 1 + x+O(x2) (2.8)

Tassa merkinta O(xn) tarkoittaa etta kaikissa lopuissatermeissa x:n potenssi on vahintaan n.Esim.

√1 + x = 1 + x/2 +O(x2)

10

Esim.

limx→0

sinx

x= lim

x→0

x− x3/6 +O(x5)

x

= limx→0

(1− x2/6 +O(x4)) = 1.

Maaritellaan viela oikeanpuoleinen raja-arvo:

f0 = limx→x0+

f(x) (2.9)

tai f(x) → f0, kun x→ x0+. Merkinta tarkoittaa etta xlahestyy arvoa x0 oikealta (positiiviselta) puolelta.Vastaavasti vasemmanpuoleinen:

f0 = limx→x0−

f(x) (2.10)

Eli x lahestyy arvoa x0 vasemmalta (negatiiviselta)puolelta.Epajatkuvalla funktiolla oikeanpuoleinen javasemmanpuoleinen raja-arvo voivat olla erilaiset:Esim. askelfunktio eli Heavisiden funktio:

θ(x) =

1, x > 01/2, x = 00 x < 0

(2.11)

Ilmeisesti limx→0+ θ(x) = 1, mutta limx→0− θ(x) = 0.Huom: askelfunktiolla ei ole tavallista raja-arvoa pisteessax = 0!Huom: merkitaan myos ilmeiset raja-arvot

limx→0+

1

x= ∞, lim

x→0−1

x= −∞, lim

x→∞x = ∞

2.2 Jatkuva funktioFunktio f(x) jatkuva pisteessa x0, jos f on maariteltyjossain pisteen x0 ymparistossa ja

limx→x0

f(x) = f(x0) (2.12)

Fysiikassa funktiot ovat jatkuvia (melkein) kaikkialla.Esim. Heavisiden askelfunktio (2.11) ei ole jatkuvapisteessa x = 0, mutta on jatkuva kaikissa pisteissa x 6= 0.Esim. Funktio f(x) = 1/x2 ei ole jatkuva pisteessa x = 0(ei edes maaritelty)Raja-arvoille patevat myos seuraavat ominaisuudet: josfunktioilla f(x) ja g(x) on raja-arvot kun x→ x0, niin

limx→x0

[f(x) + g(x)] = limx→x0

f(x) + limx→x0

g(x)

limx→x0

[f(x)g(x)] = limx→x0

f(x) limx→x0

g(x)

limx→x0

[f(x)/g(x)] = limx→x0

f(x)/ limx→x0

g(x)

missa viimeisin edellyttaa etta limx→x0g(x) 6= 0.

2.3 Derivaatan maaritelmaFunktion f(x) derivaatalla f ′(x0) pisteessa x0tarkoitetaan raja-arvoa

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0(2.13)

= limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h(2.14)

Geometrisesti derivaatta on funktion kuvaajan tangentinkulmakerroin derivointipisteessa.

a

y = f ( x )

x 0 x 1 x 2 x 3

f ' ( x 0 ) = t a n a

Kuva 2.1 Derivaatan geometrinen tulkinta

Maaritelmassa (2.14) ei ole spesifioitu lahestymissuuntaa,ts. voi olla joko x > x0 tai x < x0. Molempienlahestymistapojen taytyy johtaa samaan lopputulokseen.Raja-arvo (2.14) ei valttamatta aina ole yksikasitteinentai sita ei ole olemassa. Tallaisessa tapauksessaderivaattaa ei ole maaritelty. Jos raja-arvo (2.14)on(yksikasitteisena) olemassa, sanotaan, etta funktio onderivoituva pisteessa x0.Esim. funktio f(x) = |x| on jatkuva kaikilla x ∈ R. Josx > 0, on

f ′(x) = limy→x

f(y)− f(x)

y − x= 1,

ja vastaavasti jos x < 0 on f ′(x) = −1. Pisteessa x = 0 eiraja-arvoa ole olemassa (on vain vasemman- jaoikeanpuoleiset raja-arvot), eika |x| ole derivoituvapisteessa x = 0.

Merkintoja

Olkoon y = f(x) jokin derivoituva funktio. Derivaattaa f ′(x)merkitaan usein myos

f ′(x) = y′ =d

dxf(x) =

df(x)

dx= Dy = Df(x).

Monesti jatetaan funtion f argumenttikin merkitsematta. Kunhalutaan painottaa, etta derivaattafunktio f ′(x) halutaan laskeanimenomaan pisteessa x0, merkitaan joskus

f ′(x0) =df(x)

dx

∣

∣

∣

x=x0

.

Kun kyseessa on derivointi ajan suhteen, kaytetaan fysiikassausein merkintaa

d

dtf(t) =

.f(t).

Leibnitzin merkintatapa dfdx on intuitiivisin:

funktion muutos

muuttujan muutoskun muutos → 0

11

Huom:f ′(x) = 0: funktio vaakasuora pisteessa xf ′(x) = 1: funktion kulmakerroin = 1 (45) pisteessa x)f ′(x) → ∞: funktio lahestyy pystysuoraa

2.4 Derivaattojen lasku

Derivaatta suoraan maaritelmasta

Lasketaan esimerkiksi potenssifunktion f(x) = xn

derivaatta. Maaritelman mukaan derivaatta f ′(x) onraja-arvo

f ′(x) = limy→x

f(y)− f(x)

y − x

= lim∆x→0

f(x+∆x)− f(x)

∆x.

Tassa tapauksessa on siis laskettava raja-arvo

f ′(x) = lim∆x→0

(x+∆x)n − xn

∆x.

Kayttaen (1 + δ)a = 1 + aδ +O(δ2) (2.6) saamme

(x+∆x)n = xn(1 +∆x

x)n = xn[1 + n

∆x

x+O((

∆x

x)2)]

joten

lim∆x→0

(x+∆x)n − xn

∆x= lim

∆x→0[nxn−1 + xn−1O(

∆x

x)]

= nxn−1.

Siis saimme dxn

dx = nxn−1.Kasitellaan toisena esimerkkina funktion f(x) = sinxderivaatan laskua. Nyt

sin(x+∆x) = sinx cos∆x+ cosx sin∆x,

joten derivaatan maaritelman mukaan on

f ′(x) = lim∆x→0

sin(x+∆x)− sinx

∆x

= lim∆x→0

sinx cos∆x+ cosx sin∆x− sinx

∆x

= lim∆x→0

[

sinxcos∆x− 1

∆x+ cosx

sin∆x

∆x

]

,

missa olemme kayttaneet sinin ja kosininyhteenlaskukaavoja.Pienilla argumentin arvoilla trigonometriset funktiotkayttaytyvat kuten (2.4,2.5):

sin δ = δ − 1

6δ3 +O

(

δ5)

cos δ = 1− 1

2δ2 +O

(

δ4)

,

joten

lim∆x→0

cos∆x− 1

∆x= lim

∆x→0

− 12 (∆x)

2 +O(

(∆x)4)

∆x= lim

∆x→0O (∆x)

= 0

ja

lim∆x→0

sin∆x

∆x= lim

∆x→0

∆x−O(

(∆x)3)

∆x

= lim∆x→0

[

1−O(

(∆x)2)]

= 1.

Derivaataksi saamme siis

d

dxsinx = cosx.

Trigonometristen funktioiden yhteenlaskukaavoja

Sini- kosinifunktiot toteuttavat yhteenlaskukaavat

sin(x+ y) = sinx cos y + cosx sin ycos(x+ y) = cosx cos y − sinx sin y.

Koska

tanx =sinx

cosx,

voidaan tangentin yhteenlaskukaava kirjoittaa mm. muotoon

tan(x+ y) =sinx cos y + cosx sin y

cosx cos y − sinx sin y=

tanx+ tan y

1− tanx tan y.

Erikoistapauksena saadaan kaksinkertaisille kulmille kaavat

sin 2x = 2 sinx cosxcos 2x = cos2 x− sin2 xtan 2x = 2 tan x

1−tan2 x.

Pythagoraan lauseen perusteella on

sin2 x+ cos2 y = 1.

Kaksinkertaisen kulman kosini voidaan siten kirjoittaa myosmuotoihin

cos 2x = 2 cos2 x− 1 = 1− 2 sin2 x.

Muutamien tavallisimpien funktioiden derivaattoja onesitetty taulukossa

f(x) Df(x)c (vakio) 0

xn nxn−1

ex ex

lnx 1/xsinx cosxcosx − sinxtanx 1/cos2 x = 1 + tan2 x

. (2.15)

12

Derivaatan laskusaantoja

Olkoot f ja g derivoituvia funktioita ja a ja b vakioita.Talloin on voimassa

d

dx[af(x) + bg(y)] = af ′(x) + bg′(x). (2.16)

Derivointi on lineaarinen operaatio. Funktioiden tulof(x)g(x) derivoidaan kuten

d

dx[f(x)g(x)] = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x) (2.17)

ja osamaara f(x)/g(x) kuten

d

dx

f(x)

g(x)=f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

g2(x). (2.18)

Tulon derivointi

Osoitetaan tulon derivoimissaanto. Suoraan derivaatanmaaritelmasta nahdaan

f(x+ h)− f(x) = hf ′(x) +O(h2)

Nyt

d

dx(f(x)g(x))

= limh→0

f(x+ h)g(x+ h)− f(x)g(x)

h

= limh→0

(f(x) + hf ′(x))(g(x) + hg′(x))− f(x)g(x) +O(h2)

h

= limh→0

h(f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)) +O(h2)

h

= f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

Yhdistetyn funktion f(g(x)) derivointiin soveltuuketjusaanto

d

dxf(g(x)) = f ′(g(x))g′(x). (2.19)

Tama tulee erityisen selvaksi kayttaen Leibnitzinnotaatiota: jos merkitaan y = f(z) ja z = g(x), saadaan

d

dxf(g(x)) =

dy

dx=

dy

dz

dz

dx= f ′(g(x))g′(x)

Taman avulla nahdaan muun muassa etta

d

dx[f(x)]µ = µ[f(x)]µ−1f ′(x)

d

dxef(x) = ef(x)f ′(x)

d

dxln f(x) =

f ′(x)

f(x)

Esimerkkeja:

d

dxex

2

= ex2 d

dxx2 = ex

2

2x

d

dxsin ex = cos(ex)

d

dxex = cos(ex)ex

d

dxxx =

d

dxex ln x = ex ln x d

dxx lnx

= xx(1 lnx+ x1

x) = xx(1 + lnx)

Kaanteisfunktion derivaatta

Olkoon meilla funktion y = f(x), kaanteisfunktiox = f−1(y). Nyt kaanteisfunktion derivaatta saadaanfunktion derivaatan avulla seuraavasti:

Df−1(y) =1

f ′(f−1(y))=

1

f ′(x). (2.20)

Leibnitzin notaatiolla tama on yksinkertaisesti

dx

dy=

1dydx

(2.21)

(miten todistetaankin kaanteisfunktion derivoimissaanto,kun ajatellaan raja-arvoja ∆x, ∆y.)Esim. Johdetaan logaritmin derivoimissaanto. Nyty = ex, x = ln y:

d ln y

dy=

dx

dy=

1dydx

=1

dex

dx

=1

ex=

1

y

tai D ln y = 1/(Dex) = 1/ex = 1/y.

Syklometriset funktiot

Trigonometrisilla funktioilla ei ole yksikasitteistakaanteisfunktiota. Esimerkiksi yhtalon

sinx =1

2

ratkaisee mika tahansa aarettoman joukon

x =

π6+ 2nπ

5π6

+ 2nπ,n kokonaisluku

luvuista. Kun rajoitetaan sinin argumentti valille −π

2≤ x ≤

π

2,

on yhtalolla sinx = a yksikasitteinen ratkaisu, jota nimitetaanarkussiniksi ja merkitaan

x = arcsin a, −π

2≤ x ≤

π

2.

Arkussini on siis se sinin kaanteisfunktio, jonka arvoalue on

rajoitettu valille −π

2≤ x ≤ +

π

2. Kosinilla puolestaan on

yksikasitteinen arkuskosiniksi sanottu kaanteisfunktio, kunrajoitetaan kosinin argumentti valille 0 ≤ x ≤ π. Tasta kaytetaanmerkintaa

x = arccos z, 0 ≤ x ≤ π.

Tangentin kaanteisfunktio on nimeltaan arkustangentti. Senarvoalue on

y = arctanx, −π

2≤ y ≤

π

2.

Koska sinin ja kosinin arvoalueet kattavat valin [−1, 1], voivatarkussinin ja arkuskosinin argumenttit olla vailla [−1, 1].Arkustangentin argumentti taas voi olla mika tahansa reaaliluku,silla tangentin arvoalueena on koko reaaliakseli.

13

Joskus halutaan maaritella trigonometristen funktioidenkaanteisfunktiot monikasitteisiksi, esim. halutaan ettaz = arcsinx antaa kaikki ne arvot z, joilla sin z = x. Talloin

arvoalueelle −π

2≤ arcsinx ≤

π

2rajattua arkussinia sanotaan ko.

funktion paahaaraksi. Paahaarasta kaytetaan merkintaa arcsinx.Vastaavat nimitykset ja merkinnat ovat kaytossa muillekintrigonometrisille kaanteisfunktioille.

Trigonometristen funktioiden kaanteisfunktioita sanotaansyklometrisiksi funktioiksi tai useimmiten niiden nimen mukaisestituttavallisesti arkus-funktioiksi.

Lasketaan esimerkkina funktion arcsinx derivaatta. Nytarcsin on sinifunktion kaanteisfunktio, ts. jos x = sin yniin y = arcsinx. Saannon (2.20) perusteella on

Darcsinx =1

D sin y=

1

cos y.

Trigonometristen funktioiden ominaisuuksien perusteellavoidaan kirjoittaa

cos y =

√

1− sin2 y =√

1− x2,

joten saamme

d

dxarcsinx =

1√1− x2

. (2.22)

Samoin voidaan osoittaa

d

dxarctanx =

1

1 + x2. (2.23)

Kaavat (2.22,2.23) ovat hyodyllisia integraalien laskuissa.

2.5 Korkeamman kertaluvun derivaatatJos funktion f(x) derivaatta f ′(x) on myoskinderivoituva, voimme laskea senkin derivaatan:

Df ′(x) = lim∆x→0

f ′(x+∆x)− f ′(x)

∆x. (2.24)

Sanomme, etta funktio f(x) on kahdesti derivoituva jasuure Df ′(x) funktion f(x) toinen derivaatta. Jos vielatama toinen derivaattakin on derivoituva, voisimmeedelleen maarata sen derivaatan DDf ′(x) jne. Vastaavastifunktion sanotaan talloin olevan kolmesti, . . ., n kertaa,derivoituva ja puhutaan kolmansista, . . ., n:staderivaatoista.

Merkintoja

Olkoon funktio f(x) n-kertaisesti derivoituva. Sen n:ttaderivaattaa merkitaan mm. kuten

f (n)(x) = Dnf(x) =dnf(x)

dxn.

Alhaisen kertaluvun derivaatoista voidaan myos kayttaa sellaisiamerkintoja kuin

f (2)(x) = f ′′(x) = DDf(x).

Jos kyseessa on derivointi ajan suhteen, merkitaan usein

d2f(t)

dt2=..f (t).

2.6 SovelluksiaDifferentiaalilaskennan lukemattomista kayttokohteistakasitellaan muutamia fysiikan kannalta ehka tarkeahkojasovelluksia.

Suureiden muodostus

Intuitiivisesti nopeudella ymmarretaan aikayksikossakuljettua matkaa. Matemaattisen tasmalliseksi nopeudenkasite saadaan maarittelemalla se rajarvona

v(t) = lim∆t→0

x(t+∆t)− x(t)

∆t, (2.25)

kun oletetaan tarkasteltavan objektin liikkuvan pitkinx-akselia ja sen olevan paikassa x(t) hetkella t.Derivaatan maaritelmasta (2.14) nahdaan, etta nopeusv(t) hetkella t on

v(t) =dx(t)

dt=.x(t). (2.26)

Kiihtyvyys puolestaan on nopeuden muutos aikayksikossa.Derivaattojen avulla ilmaistuna on siis pitkin x-akselialiikkuvan kappaleen kiihtyvyys a kirjoitettavissa kuten

a(t) = dv(t)dt = d2x(t)

dt2

=.v(t) =

..x(t).

(2.27)

Muista lukemattomista derivaattojen avulla maaritellyistafysiikan kasitteista mainittakoon vaikkapa sahkovirta

I =dQ

dt

sahkovarauksen Q muuttuessa ajan t funktiona tai teho

P =dW

dt,

missa W on hetkeen t mennessa tehty tyo tai, kolmantenaesimerkkina kappaleen tilavuuden V muutoksestaaiheutuvasta paineen P muutoksesta kertovapuristusmoduuli (kompressibiliteetti)

B = − 1

V

dP

dV.

Approksimaatio

Derivaatan maaritelmasta (2.14)

f ′(x) = lim∆x→0

f(x+∆x)− f(x)

∆x

voidaan ratkaista f(x+∆x) likimaaraisesti:

f(x+∆x) ≈ f(x) + f ′(x)∆x. (2.28)

Tama relaatio on sita tarkempi mita pienempi ∆x on.

14

Valiarvolause

Tarkasti ottaen on voimassa ns. valiarvolause:

Olkoon f derivoituva funktio. Talloin pisteiden x ja x+∆xvalissa on olemassa sellainen piste x0 etta

f ′(x0) =f(x+∆x)− f(x)

∆x.

Lauseen mukaan on siis tarkasti voimassa

f(x+∆x) = f(x) + f ′(x0)∆x,

missa x < x0 < x+∆x (olettaen, etta ∆x > 0).

Esim. sinx kun x on pieniKaavan (2.28) mukaan on

sinx ≈ x sin′ 0 = x cos 0 = x.

Esim. Newton-Raphsonin menetelmaTehtavana on etsia funktion f(x) nollakohta, ts. ratkaistayhtalo

f(x) = 0.

Oletetaan, etta f(x) on derivoituva. Olkoon x0 jokinlikiarvo ratkaisulle (saatu esim. arvaamalla tai piirtamallafunktion kuvaaja). Approksimoidaan funktiota pisteen x0laheisyydessa (ks. kuva 2.2) lineaarisella kuvaajalla

f(x) ≈ f(x0) + f ′(x0)(x− x0).

Taman suoran ja x-akselin leikkauspiste

x1 = x0 −f(x0)

f ′(x0)

on (yleensa) parempi nollakohdan likiarvo kuinalkuperainen x0.

f ( x )

xx 0x 1

x 2

Kuva 2.2 Newton-Raphsonin iteraatio

Toistetaan sama menettely kayttaen pistetta x1lahtoarvona, jolloin saadaan taas (toivottavasti) parempilikiarvo x2. Jatketaan samalla tavoin iteroiden, ts.lasketaan likiarvosta xn likiarvo

xn+1 = xn − f(xn)

f ′(xn),

niin kauan kunnes f(xn) on halutulla tarkkuudella nollatai kunnes xn+1 poikkeaa riittavan vahan edellisestaarvosta xn.

Aariarvot

Funktion maksimikohta on sellainen piste, ettapoistuttaessa siita mihin tahansa suuntaan funktion arvopienee. Vastaavasti minimikohdasta poistuttaessafunktion arvo kasvaa. Maksimi (minimi) on paikallinen elilokaali, jos funktiolla on muita arvoltaan tatakinsuurempia (pienempia) maksimeja (minimeja). Joskyseessa on funktion suurin (pienin) arvo, puhutaanglobaalista tai absoluuttisesta maksimista (minimista).Esim. kuvassa 2.3 minimi kohdassa x0 ja maksimikohdassa x1 ovat paikallisia. Kohdan x2 minimi saattaisiolla globaali.

f ( x )

xx 0 x 1 x 2 x 3

Kuva 2.3 Funktion aariarvot

Derivoituvan funktion f(x) aariarvokohdissa, ts.maksimeissa ja minimeissa funktion tangentti onx-akselin suuntainen (ks. kuva 2.3) eliDerivoituvan funktion derivaatta aariarvopisteissa onnolla.

Tarkasti ottaen derivaatta haviaa sellaisissa aariarvopisteissa,jotka sijaitsevat funktion maarittelyalueen sisalla. Jos esim.funktio f(x) on maaritelty siten, etta

f(x) = x2, kun − 1 ≤ x ≤ 1,

maksimit (arvoltaan 1) sijaitsevat reunapisteissa x = ±1.

Pisteita, joissa derivaatta haviaa sanotaan kriittisiksipisteiksi. Derivaatan haviaminen on siis aariarvonvalttamaton ehto. Se ei kuitenkaan ole riittava. Esim.kuvassa 2.3 kohdan x3 vasemmalla puolen funktio onpienempi ja oikealla puolen suurempi kuin pisteessa x3.Jos funktio on kahdesti derivoituva, voimme toisestaderivaatasta paatella kriittisen pisteen luonteen:

• Jos toinen derivaatta on negatiivinen, siirryttaessapisteen yli vasemmalta oikealle ensimmainenderivaatta pienenee positiivisesta negatiiviseksi, ts.kyseessa on maksimi.

• Jos toinen derivaatta on positiivinen, siirryttaessapisteen yli vasemmalta oikealle ensimmainenderivaatta kasvaa negatiivisesta positiiviseksi, ts.minimi.

• jos toinen derivaatta on nolla kriittisessa pisteessa,taytyy tarkastella korkeampia derivaattoja: jos pieninnollasta poikkeava derivaatta on:

15

A) parillista kertalukua (2,4,. . . ), kyseessa onmaksimi/minimi jos derivaatan etumerkki on -/+.

B) pariton (1,3,. . . ), kyseessa ei ole aariarvo.

Esim. Funktion f(x) = 3x4 − 4x3 kriittiset pisteetDerivaatta on nyt

f ′(x) = 12x3 − 12x2 = 12x2(x− 1).

Kriittiset pisteet saadaan asettamalla f ′(x) = 0, ts.ratkaistaan yhtalo

12x2(x− 1) = 0.

Kriittiset pisteet ovat siten 0 ja 1. Funktion toinenderivaatta on

f ′′(x) = 36x2 − 24x,

joten f ′′(0) = 0 ja f ′′(1) = 12. Piste 1 on siis minimi.mutta piste 0 ei ole maksimi eika minimi.

l’Hospitalin saanto

Hyvin monesti raja-arvoja laskettaessa paadytaanmuotoa 0/0, ∞/∞ tai 0 · ∞ oleviin lausekkeisiin. Joskyseessa ovat derivoituvat funktiot, voidaan useimmitensoveltaa l’Hospitalin saantoaJos

limx→a

f ′(x)

g′(x)= A

ja jos joko

f(x) → 0 ja g(x) → 0 kun x→ a

taig(x) → ±∞ kun x→ a,

niin

limx→a

f(x)

g(x)= A.

Perusteluja

Tarkastellaan esimerkkina tapausta, missa a on aarellinen ja missaseka f(a) = 0 etta g(a) = 0. Voimme siis kirjoittaa

limx→a

f(x)

g(x)= lim

x→a

f(x)− f(a)

g(x)− g(a).

= limx→a

[f(x)− f(a)]/(x− a)

[g(x)− g(a)]/(x− a).

=limx→a[f(x)− f(a)]/(x− a)

limx→a[g(x)− g(a)]/(x− a).

=f ′(x)

g′(x)

jos derivaatat ovat olemassa.

Esim. limx→0 sinx/xSeka osoittaja etta nimittaja lahestyvat nollaaargumentin lahestyessa nollaa ja funktiot ovatderivoituvia. Voimme siis soveltaa l’Hospitalin saantoa:

limx→0

sinx

x= lim

x→0

cosx

1=

1

1= 1.

Esim. limx→0 sin2 2x/x2

l’Hospitalin saanto on ilmeisestikin sovellettavissa jasaamme

limx→0

sin2 2x

x2= lim

x→0

4 sin 2x cos 2x

2x

= limx→0

sin 2x

x2 cos 2x = lim

x→02sin 2x

x.

Paadymme siten edelleen muotoa 0/0 olevaanlausekkeeseen. Sovelletaan tahan uudelleen l’Hospitalinsaantoa, jolloin saadaan

limx→0

2sin 2x

x= lim

x→04cos 2x

1= 4.

Esim. limx→0+ x lnxTassa merkinta x→ 0+ tarkoittaa, etta x lahestyy nollaapositiiviselta puolelta. Tama rajoitus on asetettu, jottalogaritmifunktio olisi maaritelty. Nyt x→ 0 jalnx→ −∞, joten l’Hospitalin saannon soveltamiseksikirjoitetaan raja-arvo muotoon

limx→0+

x lnx = limx→0+

lnx1x

.

Nyt seka osoittaja etta nimittaja lahestyvat aaretonta jal’Hospitalin saanto on jalleen kayttokelpoinen:

limx→0+

x lnx = limx→0+

1x

− 1x2

= limx→0+

(−x) = 0.

Implisiittinen derivointi

Joskus funktiota y(x) maaritellaan esim. ehdolla

F (x, y) = F (x, y(x)) = c, (2.29)

missa c on vakio. Periaatteessa tasta yhtalosta voitaisiin(ehka) ratkaista muuttuja y. Tama ratkaisu riippuisitietenkin muuttujasta x. Voimme siis ajatella, etta yhtalo(2.29) maaraa implisiittisesti funktion y(x).Funktion y(x) derivaatta voidaan usein ratkaista suoraanderivoimalla ehtoa F :

d

dxF (x, y(x)) = 0 (2.30)

ja ratkaisemalla y′(x).Esim. Tason origokeskeinen ympyra x2 + y2 = a2

maarittelee implisiittisesti funktion y(x).Nyt

d

dx(x2 + y(x)2) = 2x+ 2y(x)y′(x) = 0

⇒ y′(x) = −x/y

mika on ympyran tangentin kulmakerroin.

16

Esim. Muodosta implisiittisesti derivaatta dydx yhtalosta

sin(xy) + y = xTassa tapauksessa siis F (x, y(x)) = sin(xy)+ y− x = 0, ja

d

dxF (x, y(x)) =

d

dx(sin(xy) + y − x)

= cos(xy)

(

y + xdy

dx

)

+dy

dx− 1

= 0

Hieman ryhmittaen voidaan kirjoittaa

(1 + x cos(xy))dy

dx= 1− y cos(xy),

josta saamme derivaataksi

dy

dx=

1− y cos(xy)

1 + x cos(xy).

Parametrisesti annetun funktion derivaatta

Esim. x = cos t ja y = sin t maarittelee parametrisestifunktion (yksikkoympyran kaari) y(x) (kun 0 ≤ t ≤ π).Yleisemmin: olkoon annettu x = g(t) jay = f(t) = f(g−1(x)). Nyt ketjusaannon mukaan

dy

dx= f ′(t)

d

dxg−1x = f ′(t)

1

g′(t)=y′(t)

x′(t)(2.31)

Tai yksinkertaisesti

dy

dx=

dydtdxdt

(2.32)

Ympyralle siis

dy

dx=

cos t

− sin t= −

√1− x2

x

3. Potenssisarjoja

3.1 Aarettomat sarjatOlkoon an jokin lukujono. Summaa

S =

∞∑

n=0

an = a0 + a1 + a2 + · · ·+ an + · · · (3.1)

sanotaan aarettomaksi sarjaksi. Lukuja

Sn =

n∑

k=0

ak

kutsutaan osasummiksi. Aarettoman sarjan, tai lyhyestivain sarjan, sanotaan suppenevan (konvergoituvan) josraja-arvo limn→∞ Sn on olemassa. Jos raja-arvoa ei ole,sarja hajaantuu (divergoi).

Alkaako sarja nollannesta, ensimmaisesta, toisesta tai jostakinmuusta termista on vain numerointikysymys. Summat

∑∞

k=1ak,

∑∞

k=2ak, . . . tai lyhyemmin

∑∞

1ak,∑∞

2ak, . . . ovat myoskin

(aarettomia) sarjoja.

Katsotaan esimerkkina geometrista sarjaa∑∞

0 xn.Osasummat ovat

Sn =

n∑

0

xk = 1 + x+ · · ·+ xn

=1− xn+1

1− x

=1

1− x− xn+1

1− x.

Tiedamme, etta xn+1 → 0 kun |x| < 1. Talloin siis

limSn =1

1− x.

Toisaalta sarja selvastikin hajaantuu kun |x| ≥ 1.Olemme siis saaneet tuloksen

∞∑

0

xn =1

1− x, kun |x| < 1. (3.2)

Se, etta sarjan termit lahestyvat nollaa, ei takaa sarjansuppenemista. Esimerksi harmoninen sarja

∞∑

n=1

1

n= 1 +

1

2+ · · ·+

1

n+ · · ·

hajaantuu.

On olemassa useita testeja, joilla sarjojen suppenemistavoi tutkia. Naista ehka kaytetyin on suhdetesti:Olkoon

∑

an sellainen positiivisten termien sarja, ettaraja-arvo

limn→∞

an+1/an = q

on olemassa. Silloin

17

• jos q < 1, niin sarja suppenee,

• jos q > 1, niin sarja hajaantuu ja

• jos q = 1, niin sarja voi supeta tai hajaantua.

Vaikka suhdetesti kasitteleekin vain positiivitermisiasarjoja, sita voidaan soveltaa yleisempiinkin tapauksiin.Sanotaan etta sarja

∑

an suppenee itseisesti jos sarja∑ |an| suppenee. Voidaan osoittaa, etta sarjan supetessaitseisesti myos itse sarja suppenee. Jos siis suhdetestillatodetaan sarjan suppenevan itseisesti niin voidaanpaatella sarjan suppenevan sellaisenaankin.

Esim. Osoita, etta sarja∑∞

1(−1)nn

2n suppeneeKyseessa on ns. vuorotteleva sarja: joka toinen termi onpositiivinen ja joka toinen negatiivinen. Osoitetaan, etta

sarja suppenee itseisesti, ts. etta∑∞

1

∣

∣

∣

(−1)nn2n

∣

∣

∣ suppenee.

Nyt an = n2n ja

an+1

an=

(n+ 1)2n

n2n+1=

1

2

(

1 +1

n

)

→ 1

2< 1.

Suhdetestin mukaan sarja suppenee itseisesti ja niin ollensuppenee sellaisenaankin.

3.2 PotenssisarjatGeometrinen sarja (3.2)

∑

0 xn esittaa funktiota

1/(1− x). Itseasiassa hyvin monet funktiot voidaanesittaa tyyppia

∞∑

0

an(x− x0)n

olevina potenssisarjoina. Jatkossa kasittelemmeenimmakseen tapauksia, joissa x0 = 0, silla vaihtamallamuuttujaan x′ = x− x0 mika tahansa potenssisarjasaadaan muotoon ∞

∑

n

anx′n.

Potenssisarjan suppeneminen riippuu yleensa muuttujanx arvosta. Voidaan osoittaa, ettaOn olemassa sellainen luku R ≥ 0 (mahdollisesti +∞,etta potenssisarja

∑

n anxn suppenee itseisesti, kun

−R < x < R ja hajaantuu kun |x| > R.Lukua R sanotaan suppenemissateeksi.Tarkein suppenemissateen maaraamismenetelma onjalleen suhdetesti:Olkoon sarja

∑

n anxn sellainen, etta raja-arvo

lim |an+1/an| = q on olemassa. Suppenemissade on silloinR = 1/q.

Suhdetestin mukaan sarja∑

nanxn suppenee itseisesti, jos

termien suhteelle on voimassa

lim

∣

∣

∣

∣

an+1xn+1

anxn

∣

∣

∣

∣

= lim

∣

∣

∣

an+1

an

∣

∣

∣|x| < 1.

Sarja siis suppenee, jos muuttuja x toteuttaa ehdon

|x| <1

lim∣

∣

an+1

an

∣

∣

= lim

∣

∣

∣

an

an+1

∣

∣

∣,

joten suppenemissade R on

R = lim

∣

∣

∣

an

an+1

∣

∣

∣.

Esim. Sarjan∑

n xn/n! suppenemissade

Nyt∣

∣

∣

∣

an+1

an

∣

∣

∣

∣

=n!

(n+ 1)!=

1

n+ 1,

joten suhdetestin q on 0. Suppenemissade on niin ollenaareton eli sarja suppenee kaikilla muuttujan x arvoilla.Esim. Sarjan

∑∞1

10n

n xn suppenemissadeSuhdetesti antaa

∣

∣

∣

∣

anan+1

∣

∣

∣

∣

=10n

n10n+1

n+1

=n+ 1

n· 1

10→ 1

10=

1

q= R.

Kuten todettua potenssisarjoja voidaan pitaaargumenttinsa funktioina. Potenssisarjafunktioilla on mm.ominaisuudet:Suppenemissateen sisalla sarjan

∑

anxn esittama funktio

• on jatkuva,

• voidaan integroida integroimalla sarja termeittain,

• voidaan derivoida (mielivaltaisen monesti)derivoimalla sarja termeittain.

3.3 Taylorin sarjatOlkoon funktio f(x) aarettoman monta kertaaderivoituva pisteen x0 ymparistossa. Talloin se voidaanesittaa Taylorin sarjana pisteen x0 suhteen kehitettynasuppenemissateen sisalla:

f(x) =∞∑

n=0

f (n)(x0)

n!(x− x0)

n (3.3)

Tassa siis f (n)(x0) on funktion n:s derivaatta pisteessax0, ja f

(0)(x0) = f(x0). Luku

n! ≡ n(n− 1)(n− 2) . . . 1, 0! ≡ 1

on n:n kertoma.Jos x0 = 0, Taylorin sarja saadaan usein esiintyvaanmuotoon

f(x) =

∞∑

n=0

f (n)(0)

n!xn (3.4)

18

Todistus: Olkoon meilla potenssisarja

f(x) =

∞∑

n=0

an(x− x0)n.

Asettamalla x = x0 vain ensimmainen termi on nollastapoikkeava, ja nahdaan heti a0 = f(x0) = f (0)(x0).Potenssisarjojen ominaisuuksien mukaan sarjaa voidaanderivoida termeittain. Silloin ensimmainen derivaattasuppenemissateen sisalla on

f ′(x) =∞∑

0

and

dx(x− x0)

n =

∞∑

1

ann(x− x0)n−1.

Asettamalla tassa x = x0 nahdaan a1 = f ′(x0) = f (1)(x0).Derivoimalla k kertaa saamme

f (k)(x) =

∞∑

n=0

andk

dxk(x− x0)

n

=

∞∑

n=k

ann(n− 1) . . . (n− k + 1)(x− x0)n−k

mista jalleen seuraa f (k)(x0) = k!ak, mika jo osoittaakintuloksen (3.3).Esim. Kosinifunktion Taylorin sarjaNyt

d

dxcosx = − sinx

d2

dx2cosx = − cosx

d3

dx3cosx = sinx

d4

dx4cosx = cosx

...d2n

dx2ncosx = (−1)n cosx

d2n+1

dx2n+1 cosx = (−1)n+1 sinx

...

Nahdaan, etta tassa tapauksessa parittomat derivaatatf (2n+1)(0) haviavat ja jaljelle jaavat ainoastaan parillisetf (2n)(0) = (−1)n.Funktion cosx Taylorin sarja on niin ollen

cosx = f(0) + f (1)(0)x+f (2)(0)

2!x2

+f (3)(0)

3!x3 +

f (4)(0)

4!x4 + · · ·

= 1− 1

2x2 +

1

4!x4 + · · ·

=∞∑

n=0

(−1)nx2n

(2n)!.

Suhdetestin avulla todetaan helposti, etta taman sarjansuppenemissade on aareton.

Tarkasti ottaen suhdetestilla maarataan sarjan∑

nanxn

suppenemissade. Sarja∑

nanxβn saadaan muuttujan vaihdolla

y = xβ suhdetestille sopivaan muotoon∑

nanyn. Tama sarja

suppenee kun muuttuja y on itseisarvoltaan pienempi kuin testinantama suppenemissade R. Muuttujalle x = y1/β

suppenemissade on niin ollen R1/β .

Kaantaen, jos tunnetaan funktion f(x) Taylorin sarja

f(x) =∑

n

anxn

ja sen suppenemissade R, niin funktion f(xβ) Taylorin sarja onyksinkertaisesti

f(xβ) =∑

n

anxβn

ja sen suppenemissade R1/β .

Katsotaan nyt, miten muodostaisimme logaritmifunktionTaylorin sarjan. Koska sen jokainen derivaatta,

dn

dxnlnx = (−1)n−1 (n− 1)!

xn; (n > 0),

divergoi kun x = 0, emme voi origon (x0 = 0)ymparistossa Taylorin sarjaa muodostaa.Kehittamalla sen sijaan Taylorin sarja (3.3) pisteenx0 = 1 ymparistossa, saame sarjan

lnx = ln 1 + (x− 1)− (x− 1)2

2

+(x− 1)3

3− (x− 1)4

4+ · · ·

=∞∑

n=1

(−1)n−1 (x− 1)n

n.

mika on tapana esittaa muodossa (y = x− 1)

ln(1 + y) =

∞∑

n=1

(−1)n−1 yn

n

Naiden sarjojen suppenemissade on 1 (suppenee jos|y| = |x− 1| < 1)

Taylorin sarjat funktioiden approksimaatioina

Kirjoitetaan funktion f Taylorin sarja muotoon

f(x) = f(0) + f (1)(0)x+ · · ·+ f (n)(0)

n!xn +R(x).

Intuitiivisesti on ilmeista (ja voidaan osoittaa), etta mitapienempi on argumetti x ja mita suurempi on n sitapienempi on jaannostermi R(x). Taman perusteella

19

voimme approksimoida funktioita katkaistuilla Taylorinsarjoilla:

f(x) ≈ f(0) + f (1)(0)x+ · · ·+ f (n)(0)

n!xn. (3.5)

Approksimaatio on siis sita tarkempi mita pienempi on xtai mita suurempi on n. Yleensa approksimoitaessatyydytaan lineaarisiin tai neliollisiin termeihin.Katkaistaessa yleistetty Taylorin sarja (3.3) tarkkuus onvastaavasti sita parempi mita lahempana argumentti onkehityspistetta. Jotta tarkkuus olisi sita parempi mitapienempi argumentti on, useimmiten muutetaantarkasteltavaa funktiota sen sijaan etta kehitettaisiinorigosta poikkeavassa pisteessa.Esimerkiksi logaritmifunktion tapauksessa saadaanapproksimaatio

ln(1 + x) = x− x2

2+x3

3+O(x4)

tai sinille

sinx = x− x3

6+O(x5).

Alla olevaan taulukkoon on keratty muutamia useintarvittavia Taylorin sarjoja.

f(x)∑

anxn

ex∑

0xn

n!

sinx∑

0(−1)n x2n+1

(2n+1)!

cosx∑

0(−1)n x2n

(2n)!

sinhx∑

0x2n+1

(2n+1)!

coshx∑

0x2n

(2n)!

ln(1 + x)∑

1(−1)n−1 xn

n , |x| < 1

tanx x+ x3

3 + 215x

5 + · · · , |x| < π2

(3.6)

Naista saamme suoraan aiemmin esitetyt approksimaatiot(2.4–2.8).Eksponenttifunktion sarjasta

ex =∑

0

xn

n!

seuraa ddxe

x = ex, jos sita ei muuten tunnettaisi:

d

dx

∑

n

xn

n!=

∑

n

nxn−1

n!

=∞∑

n=1

xn−1

(n− 1)!=∑

k

xk

k!

missa k = n− 1.Toistuvasti derivoimalla saadaan myos sarja

(1 + x)µ = 1 + µx+µ(µ− 1)

2!x2 + . . .

=∞∑

n=0

µ(µ− 1) . . . (µ− n+ 1)

n!xn

Jos µ on positiivinen kokonaisluku, sarjassa on aarellinenmaara termeja (n = 0 . . . µ). Muussa tapauksessa sarjansuppenemissade on |x| < 1.

20

4. Integraalilaskentaa

4.1 IntegraalifunktioFunktio F on funktion f integraalifunktio (integraali), jos

F ′(x) = f(x). (4.1)

Integraalifunktion laskeminen (integrointi) on siisderivoinnin kaanteisoperaatio. Integraalifunktiosta ontapana kayttaa merkintaa

F (x) =

∫

f(x) dx (4.2)

Funktiota f sanotaan integroitavaksi.Integraalifunktio ei ole yksikasitteinen: Olkoon fintegroituva funktio, jonka eras integraalifunktio on F .Talloin jokainen funktion f integraalifunktio on muotoaF (x) + C.

Todistus:

1. (F (x) + C)′ = F ′(x) = f(x), joten F (x) + C onintegraalifunktio.

2. Olkoon G(x) toinen f(x):n integraalifunktio. Nyt(F (x)−G(x))′ = F ′(x)−G′(x) = f(x)− f(x) = 0, jotenF (x)−G(x) on vakio.

Yleisesti integrointi on huomattavasti vaikeampaa kuinderivointi: alkeisfunktioiden derivaatat ovatalkeisfunktioita, mutta alkeisfunktioiden integraalit eivatyleisesti ottaen ole!Koska derivointi on lineaarinen operaatio, myosintegrointi on lineaarinen, ts.∫

[αf(x) + βg(x)] dx = α

∫

f(x) dx+ β

∫

g(x) dx, (4.3)

missa α ja β ovat vakioita.

Etenkin fysiikassa kaytetaan usein merkintaa missa dxtulee valittomasti integraalimerkin jalkeen, siis

∫

dxf(x) ≡∫

f(x) dx

4.1.1 Tavallisia integraaleja

Johto seuraaville: derivoimalla!∫

xµ dx =xµ+1

µ+ 1+ C, µ 6= 1

∫

a dx = ax+ C, a vakio

∫

1

xdx = ln |x|+ C = ln |Ax|, missa C = ln |A|.

∫

ex dx = ex + C

∫

ax dx =ax

ln a+ C

∫

sinx dx = − cosx+ C

∫

cosx dx = sinx+ C

∫

tanx dx = − ln | cosx|+ C

∫

coshx dx = sinhx+ C

∫

sinhx dx = coshx+ C

Usein esiintyvat myos∫

1

1 + xdx = ln |1 + x|+ C

∫

1

1 + x2dx = arctanx+ C

∫

1

1− x2dx =

1

2ln

∣

∣

∣

∣

1 + x

1− x

∣

∣

∣

∣

+ C

∫

1√1− x2

dx = arcsinx+ C

∫

1√x2 ± 1

dx = ln |x+√

x2 ± 1|+ C

4.2 Integraalien laskuToisin kuin derivointi integrointi ei yleensa olesuoraviivainen mekaaninen toimenpide. Laheskaan kaikkialkeisfunktioista muodostetut funktiot eivat oleintegroituvia alkeisfunktioiden avulla! Integraalifunktionetsinnassa on kaytossa lukuisia menetelmia, joistatarkeimmat ovat muuttujan vaihto ja osittaisintegrointi.

Polynomit ja sarjat

Koska integrointi on lineaarinen operaatio, voimme laskeaesim. minka tahansa polynomin integraalin. Jos polynomion muotoa,

P (x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · · anxn,

on sen integraali∫

P (x) dx = C+a0x+1

2a1x

2+ · · ·+ 1

n+ 1anx

n+1. (4.4)

Samoin jos tunnemme funktion Taylorin sarjan,f(x) =

∑

n anxn, saamme valittomasti integraalifunktion

sarjan∫

f(x) dx = C +∑

n

ann+ 1

xn+1 (4.5)

Tama sarja ei valttamatta vastaa mitaan alkeisfunktiota.

4.2.1 Ketjusaannon kaytto

Derivoinnin ketjusaannon (2.19)

d

dxg(f(x)) = g′(f(x))f ′(x)

21

mukaan on∫

g′(f(x))f ′(x) dx = g(f(x)). (4.6)

Jos g(x) = x2, saadaan usein esiintyva

∫

f ′(x)f(x) dx =1

2f(x)2 + C (4.7)

Tai jos g(x) = lnx,

∫

f ′(x)

f(x)dx = ln |f(x)|+ C (4.8)

Yleisemmin∫

f ′(x)(f(x))n dx =1

n+ 1(f(x))n+1+C, n 6= −1 (4.9)

Esimerkkeja:

∫

sinx cosx dx =

∫

sinx(sinx)′ dx =1

2sin2 x+ C

∫

sinx

cosxdx =

∫ −(cosx)′

cosxdx = − ln | cosx|+ C

4.2.2 Muuttujan vaihto

Ketjusaantoon perustuu myos muuttujanvaihto- elisijoitustekniikka. Olkoon F funktion f integraalifunktio,joka siis toteuttaa relaation

d

dxF (x) = f(x).

Oletetaan nyt etta x on parametrin t funktio, x(t).Ketjusaannon mukaan on

d

dtF (x(t)) = F ′(x(t))x′(t) = f(x(t))x′(t).

Integroimalla yhtalo puolittain saadaan siten

F (x(t)) =

∫

f(x(t))x′(t) dt,

jonka voimme myos kirjoittaa muotoon

∫

f(x) dx =

∫

f(x(t))x′(t) dt. (4.10)

Lyhyesti, tama vastaa sijoitusta

dx =dx

dtdt

eli siis muuttuja x “ylennetaan” muuttujan t funktioksi.Muuttujan vaihdon jalkeen integraali voi olla helpompilaskea. Tulos on t’n funktio, mutta saadaan x:n funktioksikaantamalla x = x(t).

Valaistaan muuttujan vaihtoa esimerkilla: integroidaan∫

lnx

xdx.

Sijoitetaan t = lnx, jolloin dt = 1/x dx eli

dx = xdt.

Integraali on siten∫

lnx

xdx =

∫

t

xx dt =

∫

t dt

=1

2t2.

Sijoitetaan takaisin t = lnx, jolloin saadaan lopulta∫

lnx

xdx =

1

2ln2 x.

Integroinnin tulos kannattaa yleensa tarkistaa derivoimalla.Askeisessa esimerkissa derivointi antaa

d

dx

[

1

2ln2 x

]

=1

22 lnx

1

x=

lnx

x

kuten pitaakin.

Ongelma: kuinka loytaa sopiva sijoitus t(x)? Loytyylukuisia saantoja, mutta yleispatevaa ei. Kannattaayrittaa tunnistaa sopiva kokonaisuus integroitavastafunktiosta.

Esimerkkeja tyypillisista sijoituksista:∫

(ax+ b)µdx:kokeillaan t = ax+ b, dt = adx, joten

∫

(ax+ b)µdx =

∫

tµdt

a

=tµ+1

a(µ+ 1)+ C =

(ax+ b)µ+1

a(µ+ 1)+ C

Esim.∫

(5x− 6)6dx. Sijoitetaan t = 5x− 6,dt = 5dx⇒ dx = dt/5, ja∫

(5x− 6)6dx =

∫

t61

5dt =

1

5

1

7t7 + C =

1

35(5x− 6)7 + C

Viimeisessa vaiheessa sijoitetaan x takaisin.∫ √

a2 − x2dx:kokeillaan x = a sin t, dx = a cos tdt. (Miksi tama sijoitus?

Syy:√a2 − x2 =

√

a2 − a2 sin2 t = |a cos t|.)∫

√

a2 − x2dx =

∫

a cos t a cos tdt

= a2∫

cos2 tdt =a2

2

∫

(1 + cos 2t)dt

=a2

2(t− 1

2sin 2t) + C

=a2

2

(

arcsinx

a− 1

2sin(2 arcsin

x

a)

)

+ C

=a2

2

(

arcsinx

a+x

a

√

1− x2

a2

)

+ C

22

missa viimeisessa kaytettiin cos 2t = 2 cos2 t− 1 ja

sin 2t = 2 sin t cos t = 2 sin t√

1− sin2 t.∫ √

a2 + x2dx:

Tassa toimii x = a sinh t, silla√

1 + sinh2 x = coshx(vertaa edelliseen).∫

1ex+e−x dx:

Kokeillaan y = ex, dy = exdx ja∫

1

ex + e−xdx =

∫

1

y + 1/y

1

ydy

=

∫

1

1 + y2dy = arctan y + C = arctan ex + C

∫

3x√1− 2x2dx:

Kokeillaan u = 1− 2x2, du = −4xdx⇒ xdx = − 14du

∫

3x√

1− 2x2dx = −3

4

∫ √udu

= −3

4

2

3u3/2 + C = −1

2(1− 2x2)3/2 + C

Huom: sijoitukset eivat useinkaan ole yksikasitteisia.Esim. ylla voidaan kokeilla myos t =

√1− 2x2,

dt = −2x(1− 2x2)−1/2dx = − 2xt dx⇒ xdx = − 1

2 tdt:

∫

3x√

1− 2x2dx =

∫

3t(−1

2t)dt

= −1

2t3 + C = −1

2(1− 2x2)3/2 + C

Vinkki: juurilausekkeen sisaltavassa integraalissakannattaa kokeilla uudeksi muuttujaksi joko juurensisapuolta tai juurilauseketta kokonaisuudessaan∫

dx√1+x

:

Kokeillaan s =√1 + x, ds = 1

2 (1 + x)−1/2dx ja

∫

dx√1 + x

=

∫

2ds = 2s+ C = 2√1 + x+ C

Usein juurilausekkeita sisaltavat funktiot eivat olekuitenkaan integroitavissa alkeisfunktioiden avulla.∫

x+2√x+1+1

dx:

sijoitus t =√x+ 1 ⇒ x = t2 − 1, dx = 2tdt:

∫

x+ 2√x+ 1 + 1

dx =

∫

t2 − 1 + 2

t+ 12tdt

= 2

∫

t3 + t

t+ 1dt

Koska rationaalilausekkeen osoittaja on korkeampaakertalukua kuin nimittaja, voimme “jakaa” lausekkeenmuotoon polynomi + jakojaannos. Tasta tarkemminrationaalifunktioiden integroinnin yhteydessa.Tarkistamalla nahdaan etta integraali on

= 2

∫ (

t2 − t+ 2− 2

t+ 1

)

dt

= 2(1

3t3 − 1

2t2 + 2t− 2 ln(t+ 1) + C

=2

3(x+ 1)3/2 − (x+ 1) + 4(x+ 1)1/2

−4 ln(√x+ 1 + 1) + C

4.2.3 Osittaisintegrointi

Integroimalla tulon derivointisaannon

d

dx[f(x)g(x)] = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

saamme osittaisintegrointisaannon∫

f ′(x)g(x) dx = f(x)g(x)−∫

f(x)g′(x) dx. (4.11)

Sovelletaan osittaisintegrointia integraaliin∫

x lnx dx.Olkoon saannon (4.11) f ′(x) = x ja g(x) = lnx. Silloin onf(x) = 1/2x2 ja g′(x) = 1/x ja saamme

∫

x lnx dx =1

2x2 lnx− 1

2

∫

x21

xdx

=1

2x2 lnx− 1

2

∫

x dx

=1

2x2 lnx− 1

4x2.

Kuten nahtiin, funktiot “f” ja “g” taytyy valitahuolellisesti etta osittaisintegrointi johtaisi helpomminratkeavaan integraaliin! Vaara valinta johtaa vainhuonompaan lopputulokseen.Esim.

∫

arctanxdx. Valitaan nyt g(x) = arctanx jaf ′(x) = 1! Tasta seuraa g′(x) = 1/(1 + x2) ja f(x) = x, ja∫

arctanxdx = x arctanx−∫

x

1 + x2dx =

x arctanx− 1

2ln(1 + x2) + C

missa x/(1 + x2) on muotoa 12u

′(x)/u(x). Tapaus f ′ = 1on yleisesti kaytetty osittaisintegroinnissa.Esim.

∫

lnxdx: valitaan jalleen f ′ = 1, g = lnx, jolloinf = x, g′ = 1/x, ja∫

lnxdx = x lnx−∫

x1

xdx = x lnx− x+ C.

Esim.∫

x cosxdx: valitaan f ′ = cosx, g = x, jolloinf = sinx, g′ = 1 ja paasemme eroon x:n potenssista. Siis∫

x cosxdx = x sinx−∫

1 sinxdx = x sinx+cosx+C.

Esimerkin vuoksi katsotaan mita tapahtuisi jos valitaanf ′ = x, g = cosx: nyt f = x2/2, g′ = − sinx ja∫

x cosxdx =1

2x2 cosx+

∫

1

2x2 sinxdx

Saatu integraali on pahempi kuin alkuperainen! Funktiotsiis kannattaa valita huolella.Osittaisintegrointia voi joutua toistamaan:Esim.

∫

x2 sinxdx:kuten edella, otetaan f ′ = sinx,g = x2, joten f = − cosx, g′ = 2x ja

23

∫

x2 sinxdx = −x2 cosx+

∫

2x cosxdx =

−x2 cosx+ 2x sinx+ 2 cosx+ Cmissa saatu integraali laskettiin jo edella.Yleisesti: Muotoa∫

xm sinxdx,

∫

xm cosxdx,

∫

xmexdx

olevat integraalit voidaan laskea osittaisintegroimalla mkertaaEsim.

∫

sin2 xdx: otetaanf ′ = g = sinx⇒ f = − cosx, g′ = cosx ja∫

sin2 xdx = − cosx sinx+

∫

cos2 xdx = − cosx sinx+∫

(1− sin2 x)dx = − cosx sinx+ x−∫

sin2 xdx

Saimme siis alkuperaisen integraalin, joka voidaanratkaista yhtalosta:

∫

sin2xdx =1

2(− cosx sinx+ x) + C

(Taman olisi nahnyt nopeamminkin kayttamallasin2 x = 1

2 (1− cos 2x))Yleisemmin: tyyppia

∫

sinn xdx olevat integraalit voidaanlaskea palautuskaavan avulla: valitaan f ′ = sinx,g = sinn−1 x, joten f = − cosx, g′ = (n− 1) sinn−2 x cosx

∫

sinn xdx

= − cosx sinn−1 x+ (n− 1)

∫

cos2 x sinn−2 xdx

= − cosx sinn−1 x+ (n− 1)

∫

(1− sin2 x) sinn−2 xdx

= − cosx sinn−1 x+ (n− 1)

∫

sinn−2 xdx

−(n− 1)

∫

sinn xdx

Saimme siis jalleen alkuperaisen integraalin.Ratkaisemalla se saamme∫

sinn xdx = − 1

ncosx sinn−1 x+

n− 1

n

∫

sinn−2 xdx

Nain siis sinn x:n integraali saatiin palautettua sinn−2 x:nintegraaliksi. Toistamalla tata paastaan aina n = 1 tai 0,ja sin1 x ja sin0 x integraalit tunnetaan.Samalla menetelmalla saamme cosn x:n integraalillepalautuskaavan.Nain esim.∫

sin4 xdx = −1

4cosx sin3 x+

3

4

∫

sin2 xdx =

−1

4cosx sin3 x+

3

4(−1

2cosx sinx+

1

2

∫

sin0 xdx) =

−1

4cosx sin3 x− 3

8cosx sinx+

3

8x+ C

4.2.4 Trignonometristen funktioiden integrointi:

jos integroitava funktio sisaltaa sinx, cosx, se voidaan

usein integroida standardisijoituksella

t = tanx

2(4.12)

Talloin

dt = (1 + tan2x

2)1

2dx⇒ dx =

2

1 + t2dt,

cosx = cos 2x

2= cos2

x

2− sin2

x

2

= cos2x

2(1− tan2

x

2) =

1− tan2 x2

1 + tan2 x2

=1− t2

1 + t2

sinx = 2 sinx

2cos

x

2= 2 tan

x

2cos2

x

2

= 2tan x

2

1 + tan2 x2

=2t

1 + t2

Talla ratkeavat kaikki sinx, cosx rationaalifunktiot.Esim:∫

1

sinxdx =

∫

1 + t2

2t

2

1 + t2dt =

∫

1

tdt = ln |t|+ C =

ln | tan x2|+ C

Helpompia sijoituksia usein kuitenkin ovat t = sinx,t = cosx, t = tanx, joita voi myos kokeilla.Monet trigonometrisia funktioita sisaltavat integraalitvoidaan laskea helpommin kompleksilukujen ja Eulerinkaavan avulla:

cosx =1

2(eix + e−ix) (4.13)

sinx =1

2i(eix − e−ix) (4.14)

eix = cosx+ i sinx (4.15)

Naiden kaytto nojautuu siihen etta ex:n integraalit ovathelppoja laskea. Imaginaariyksiko i on vakio, jokatoteuttaa i2 = −1. Tasta puhutaan tarkemminkompleksilukujen yhteydessa.Esim.

∫

sin ax cos bxdx

=

∫ (

eiax − e−iax

2i

eibx + e−ibx

2

)

dx

=1

4i

∫

(ei(a+b)x + ei(a−b)x − e−i(a−b)x − e−i(a+b)x)dx

=1

4i

(

ei(a+b)x

i(a+ b)+ei(a−b)x

i(a− b)+e−i(a−b)x

i(a− b)+e−i(a+b)x

i(a+ b)

)

+ C

= −1

2

cos(a+ b)

a+ b−

1

2

cos(a− b)

a− b+ C

24

4.2.5 Rationaalifunktion integrointi

Viimeisena menetelmana tarkastelemme muotoa

R =Pn

Qm

olevien murtolausekkeiden integrointia, kun Pn ja Qm

ovat asteen n ja m polynomeja (siis suurimmat niissaesiintyvat potenssit ovat m ja n). Jos osoittaja onasteluvultaan suurempi kuin nimittaja, voidaan tehdapolynomien jakolasku ja paadytaan lausekkeeseen

R = Tn−m +S

Qm,

missa Tn−m on astetta n−m oleva osamaarapolynomi jaS jakojaannospolynomi. Polynomi Tn−m on helppointegroida, joten jaljelle jaa jalleen muotoa Pn/Qm olevamurtofunktio, missa nyt on n < m.Kaikki muotoa

R =Pn

Qm; (n < m)

olevat rationaalifunktiot voidaan integroida, mikalitunnetaan polynomin Qm nollakohdat. Talloinrationaalifunktio voidaan hajoittaa osamurtoihin.

Polynomien jakolasku

Kuinka polynomit jaetaan? Esim. jakokulmassa, kutennumerotkin. Esim:

P (x)

Q(x)=x2 + 5x− 3

x− 1=?

x+ 6x− 1 x2 + 5x− 3– x2 − x

6x− 3– 6x− 6

3Jakolaskun tulos on siis

x2 + 5x− 3

x− 1= x+ 6 +

3

x− 1

mika on helppo tarkistaa laventamalla.Toinen esimerkki:

2x4 + 6x2 + 2

x2 + x+ 1=?

2x2 − 2x+ 6x2 + x+ 1 2x4 + 6x2 + 2

– 2x4 + 2x3 + 2x2

−2x3 + 4x2 + 2– −2x3 − 2x2 − 2x

6x2 + 2x+ 2– 6x2 + 6x+ 6

−4x− 4

Siis

? = 2x2 − 2x+ 6 +−4x− 4

x2 + x+ 1

Polynomi in valittomasti integroitavissa. Entajakojaannoksenja jaava rationaalifunktio?

Jako osamurtoihin

1-kertaiset reaalijuuret: Oletetaan etta yhtalollaQ(x) = 0 on vain 1-kertaisia reaalijuuria; olkoon namajuuret x1, x2, . . .xn (huom: Q:n asteluku on n, jotenloytyy n juurta.)Talloin voimme jakaa rationaalilausekkeen osamurtoihin

P (x)

Q(x)=

n∑

i=1

Ai

x− xi(4.16)

missa Ai ovat vakioita. Selvasti oikea puoli voidaan nytintegroida.Esim: jaetaan 4/(x2 − 1) osamurtoihin: nimittajannollakohdat ovat x = ±1, mitka ovat reaalisia jayksinkertaisia (x2 − 1 = (x− 1)(x+ 1)). Siis

4

x2 − 1=

a

x− 1+

b

x+ 1

ja maaraamme vakiot a ja b siten, etta yhtalo onvoimassa kaikilla muuttujan x arvoilla. Kerrotaan yhtalo(x+ 1)(x− 1):lla, joten

4 = a(x+ 1) + b(x− 1) = (a+ b)x+ (a− b)

Jotta tama olisi yhtasuuri alkuperaisen lausekkeen kanssa,taytyy olla a+ b = 0 ja a− b = 4, joten a = 2 ja b = −2.Osamurtojen avulla integraali

∫

4

x2 − 1dx.

on heti laskettavissa:∫

4

x2 − 1dx =

∫

2

x− 1dx−

∫

2

x+ 1dx

= 2 ln |x− 1| − 2 ln |x+ 1|+ C

= ln(x− 1)2 − ln(x+ 1)2 + C

= ln

(

x− 1

x+ 1

)2

+ C.

Sovelletaan edellista integraaliin

F (x) =

∫

x3 − 2

x2 − 1dx

Osoittaja on korkeampaa kertalukua, joten tehdaan ensinpolynomien jakolasku. Nahdaan etta

x3 − 2

x2 − 1= x+

x− 2

x2 − 1

25

Jaannoslausekkeen nimittajan nollakohdat ovat x = ±1,1-kertaisia. Siis voimme jakaa

x− 2

x2 − 1=

a

x− 1+

b

x+ 1⇒

x− 2 = a(x+ 1) + b(x− 1) = (a+ b)x+ (a− b)

⇒ a+ b = 1, a− b = −2

⇒ a = −1/2, b = 3/2

Siis

F (x) =

∫ [

x+−1/2

x− 1+

3/2

x+ 1

]

dx

=1

2x2 − 1

2ln |x− 1|+ 3

2ln |x+ 1|+ C

=1

2x2 +

1

2ln

∣

∣

∣

∣

(x+ 1)3

x− 1

∣

∣

∣

∣

+ C

Moninkertainen juuri: Yleisemmassa tapauksessapolynomilla voi olla moninkertaisia juuria (joiden edelleenoletamme olevan reaalisia). Yleisesti polynomi Q(x)voidaan kirjoittaa muotoon

Q(x) = A(x− x1)n1(x− x2)

n2 . . .

missa xi ovat polynomin nollakohtia, ni nollakohdan xikertaluku ja A vakio. Tassa tapauksessaosamurtolausekkeella on yleinen muoto

P (x)

Q(x)=

n1∑

k=1

ak(x− x1)k

+

n2∑

k=1

bk(x− x2)k

+ . . .

missa ak, bk . . . ovat vakioita.Esim.

1

(x− 1)2(x+ 2)=

a1x− 1

+a2

(x− 1)2+

b

x+ 2

x = 1 on 2-kertainen nollakohta, ja x = −2 1-kertainen.Maarataan vakiot kertomalla (x− 1)2(x− 2):lla:1 = a1(x− 1)(x+ 2) + a2(x+ 2) + b(x− 1)2

Tasta voidaan ratkaista vakiot vaatimalla etta yhtalonkaikkien x:n potenssien kertoimet ovat samat molemminpuolin (x0, x1, x2). Kuitenkin usein nopeampi menetelmaon sijoittaa x 7→ xi:x = 1 ⇒ 1 = a2(1 + 2) ⇒ a2 = 1

3x = −2 ⇒ 1 = b(−2− 1)2 = b9 ⇒ b = 1

9a1 saadaan esim. x2:n kertoimista: 0 = a1 + b⇒ a1 = − 1

9 .Esimerkki: integroidaan

F (x) =

∫

3x2 − 37x+ 83

(x− 2)3(x+ 5)

Osoittaja (2) on alempaa astetta kuin nimittaja (4), jotenvoidaan jakaa suoraan osamurtoihin. Nimittajannollakohdat ovat

x1 = 2, 3-kertainen

x2 = −5, 1-kertainen

Siis

3x2 − 37x+ 83

(x− 2)3(x+ 5)=

a1x− 2

+a2

(x− 2)2+

a3(x− 2)3

+b

x+ 5

Lavennetaan nimittajat pois:

3x2 − 37x+ 83 = a1(x− 2)2(x+ 5)

+a2(x− 2)(x+ 5) + a3(x+ 5) + b(x− 2)3

Tasta tulee 4 yhtaloa 4 vakiolle (x:n potenssit x0 . . . x3),jotka ovat suoraan ratkaistavissa.Maarataan kuitenkin vakiot jalleen kayttamalla“pikamenetelmaa” ja sijoitetaan nollakohdat:x = 2: 3 · 4− 37 · 2 + 83 = a37 ⇒ a3 = 3x = −5: 3 · 25 + 37 · 5 + 83 = −b73 ⇒ b = −1Muut vakiot vaativat muita ehtoja, helpoin lienee x:nkorkeimman potenssin kerroin, mika voidaan lukeasuoraan:x3: 0x3 = a1x

3 + bx3 ⇒ a1 = −b = 1Jaljelle jaa a2. Taman saa esim x2:n kertoimesta taisijoittamalla esim.x = 0: 83 = a14 · 5− a22 · 5 + a35− b8 ⇒ a2 = −4Siis saimme a1 = 1, a2 = −4, a3 = 3, b = 1, ja

F (x) =

∫ [

1

x− 2+

−4

(x− 2)2+

3

(x− 2)3+

−1

x+ 5

]

dx

= ln |x− 2|+ 4(x− 2)−1 − 3

2(x− 2)−2

− ln |x+ 5|+ C

=4

x− 2− 3

2

1

(x− 2)2+ ln

∣

∣

∣

∣

x− 2

x+ 5

∣

∣

∣

∣

+ C

Kompleksijuuret: Yleisimmassa tapauksessa polynominQ(x) juuret ovat kompleksisia. Esim.

x2 + 1 = 0 ⇒ x = ±i

Kompleksijuurisen rationaalifunktion integraalin voilaskea ylla olevia saantoja noudattaen, ottaen vainhuomioon etta joistain kertoimista tulee kompleksilukuja.Naita varten voidaan myos johtaa omatintegrointisaannot. Tata ei kasitella MAPU I:llatarkemmin.

4.3 Maaratty integraaliTarkastellaan suljetulla valilla [a, b] maariteltyapaloittain jatkuvaa rajoitettua funktiota f(x). Jaetaanvali [a, b] n yhtasuureen h-mittaiseen osaan,

h =b− a

n(4.17)

ja merkitaanxk = a+ kh, (4.18)

ts.

x0 = a, x1 = a+ h, x2 = a+ 2h, . . . , xn = b. (4.19)

26

x 0 = a x 1 x 2 x 6b = x 7

f ( x )

x

h

f ( x 4 )

A 4

Kuva 4.1 Porrassumma

Jakoon (4.19) liittyva porrassumma on

Sn = h

n−1∑

k=0

f(xk). (4.20)

Geometrisesti summan jokainen termi

Ak = hf(xk)

esittaa suorakaiteen, leveydeltaan h ja korkeudeltaanf(xk), pinta-alaa. Koska jakovalin pituus h onpositiivinen, pinta-ala Ak on positiivinen jos f(xk) onpositiivinen ja negatiivinen jos f(xk) on negatiivinen.Summa Sn (4.20) approksimoi siten valilla [a, b] kayrany = f(x) ja x-akselin valiin jaavaa pinta-alaa siten, ettax-akselin ylapuolinen osa lasketaan positiivisena jaalapuolinen osa negatiivisena. Tama approksimaatio onilmeisestikin sita tarkempi mita tiheampi jako on, ts. mitapienempi on h tai mita suurempi on n.Voidaan osoittaa, etta jaon (4.19) tihentyessa summa(4.20) lahestyy aarellista raja-arvoa, ts. raja-arvo

S = limn→∞

Sn

on olemassa ja aarellinen. Tata raja-arvoa sanotaanfunktion f(x) maaratyksi integraaliksi valilla [a, b]. Sitamerkitaan kuten

∫ b

a

f(x) dx = limn→∞

h

n−1∑

k=0

f(xk). (4.21)

Geometrisesti maaratty integraali on ilmeisestikin kayrany = f(x) ja x-akselin valiin jaava pinta-ala.

4.3.1 Maaratyn integraalin ominaisuuksia

Tyhja integroimisvali

Olkoon integrointivali [a, a], ts. se sisaltaa vain yhdenpisteen. Talloin on

∫ a

a

f(x) dx = 0, (4.22)

silla integraalin maaritelmassa (4.21) jakovalih = (a− a)/n on aina nolla riippumatta jakopisteidenlukumaarasta.

Integrointirajojen vaihto

Maarittelimme (4.21) integraalin ”vasemmalta oikealle”eliintegroimisvalissa [a, b] oli a ≤ b. Talloin jakovalih = (b− a)/n on positiivinen. Voimme myos ajatellaintegrointia ”oikelta vasemmalle”, jolloin jakovalista(4.17) tulee negatiivinen. Taman huomioonottaenmaarittelemme

∫ b

a

f(x) dx = −∫ a

b

f(x) dx. (4.23)

Additiivisuus

Jos c on integroimisvalin [a, b] sisapiste, nahdaanmaaritelmasta (4.21) etta voimme koostaa integraalinpaloista, kuten

∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx. (4.24)

Ottaen huomioon rajojen vaihto-ominaisuuden (4.23)naemme, etta additiivisuus (4.24) on voimassa olivatpa a,b ja c mita tahansa funktion maarittelyalueen pisteita.

Lineaarisuus

Integraalin maaritelmasta (4.21) nahdaan, etta integrointion lineaarinen operaatio, ts.

∫ b

a

[αf(x) + βg(x)]dx = α

∫ b

a

f(x) dx+ β

∫ b

a

g(x) dx.

(4.25)

Integroimismuuttujan vaihto

Integraalin∫ b

af(x) dx arvo (kayran ja x-akselin valinen

pinta-ala) ei ilmeisestikaan riipu muuttujasta x. On siisaivan samantekevaa, milla symbolilla funktionargumenttia merkitaan, ts.

∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

a

f(s) ds. (4.26)

4.3.2 Kertymafunktio

Funktion f kertymafunktio K on

K(x) =

∫ x

a

f(t) dt. (4.27)

Ilmeisestikin pisteessa a kertymafunktio on nolla, silla

K(a) =

∫ a

a

f(t) dt = 0.

Kertymafunktio (4.27) ilmoittaa kayran ja x-akselinvalisen pinta-alan kohdasta a kohtaan x. Annetaankertymafunktion argumentille (pieni) lisays ∆x.

27

Vastaava kertymafunktion muutos

∆K = K(x+∆x)−K(x)

on silloin suuruudeltaan likimain kuvan 4.2 varjostetunalueen pinta-ala ∆A = ∆xf(x), ts.

K(x+∆x)−K(x) ≈ ∆xf(x).

a x x + D x

f ( x )

K ( x ) D A

Kuva 4.2 Kertymafunktion derivaatta

Tama relaatio on ilmeisestikin sita tarkempi mitapienempi ∆x on, joten saamme

lim∆x→0

K(x+∆x)−K(x)

∆x= f(x)

eli

K ′(x) =d

dx

∫ x

a

f(t) dt = f(x). (4.28)

Taten siis kertymafunktio K(x) on f(x):nintegraalifunktio, katso (4.1), riippumatta maaratynintegraalin alarajasta a. Kertymafunktiokin on siismuotoa

K(x) =

∫ x

a

f(t) dt = F (x) + C.

Integroimisvakio C maaraytyy nyt alkuehdosta

K(a) = F (a) + C = 0

eliC = −F (a),

joten saamme yhteyden maaratyn integraalin(kertymafunktion) ja integraalifunktion valille:

∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a). (4.29)

Tama ominaisuus on ilmeisestikin voimassa olipa F mikahyvansa funktion f integraalifunktio.Maarattyja integraaleja laskettaessa kaytetaan useinsijoitusmerkintaa:

∫ b

a

f(t) dt =b

/aF (t) = F (b)− F (a). (4.30)

Esim.∫ b

a

exdx =b

/aex = eb − ea

Esim.

∫ 2π

0

sinxdx = −2π

/0cosx = − cos 2π + cos 0 = 0

Huom: koska ddx

∫ x

af(t)dt = f(x), on ketjusaannon

mukaan

d

dx

∫ g(x)

a

f(t)dt =dg

dx

d

dg

∫ g

a

f(t)dt = f(g(x))g′(x)

Esim.

d

dx

∫ 2x

0

sinxdx = sin(2x)d2x

dx= 2 sin 2x

Epaoleellinen integraali on maaratty integraali jossaainakin toinen raja = ∞:

∫ ∞

a

f(x)dx ≡ limL→∞

∫ L

a

f(x)dx (4.31)

Jos raja-arvo on olemassa, sanotaan etta integraalisuppenee, muuten hajaantuu.Esim.

∫ b

a

1

x2dx =

b/

a

−1

x=

1

a− 1

b

∫ ∞

1

1

x2dx =

∞/

1

−1

x= 1

∫ ∞

1

1

xdx =

∞/1lnx hajaantuu

Esim.

∫ ∞

1

dx√x=

∞/

1

2√x = lim

L→∞(2√L− 2) hajaantuu

∫ 1

0

dx√x=

1/

0

2√x = 2

Huom: kuten edella, maaratty integraali voi olla olemassavaikka integroitava → ∞ jossain pisteessa!Esim. Seuraava kaunis tulos patee (ei nayteta tassa)

∫ ∞

−∞e−x2

=√π

Esim. Oletetaan p 6= −1:

∫ ∞

1

xpdx =

∞/

1

xp+1

p+ 1=

1

p+ 1( limL→∞

Lp+1 − 1)

28

=

∞ jos p > −11/(p+ 1) jos p < −1

∫ 1

0

xpdx =

1/

0

xp+1

p+ 1=

1

p+ 1(1− lim

a→0ap+1)

=

1/(p+ 1) jos p > −1∞ jos p < −1

4.3.3 Muuttujan vaihto maaratyssa integraalissa

Integrointimenetelmat maaratylle integraalille ovat samatkuin integraalifunktiollekin, mutta lisaksi tulee ottaahuomioon kuinka integroimisalueen rajat kayttaytyvat!Integraalissa

I =

∫ b

a

f(x)dx

sijoitetaan x = g(t), jolloin dx = g′(t)dt ja kun x = a taib, on

a = g(ta) ⇒ ta = g−1(a)

b = g(tb) ⇒ tb = g−1(b)

Siis

I =

∫ g−1(b)

g−1(a)

f(g(t))g′(t)dt =

∫ tb

ta

f(g(t))g′(t)dt (4.32)

Rajojen vaihto on helppo muistaa seuraavasti: jos x:nrajat ovat a, b, niin korvataan ne vain niita vastaavilla t:narvoilla.Esim. I =

∫ 1

0

√1− x2dx:

sopiva sijoitus on x = sin t, ja dx = cos tdt. Nyt kunx = 0, on t = 0, ja kun x = 1 on t = π/2. Siis

I =

∫ π/2

0

√

1− sin2 t cos tdt =

∫ π/2

0

cos2 tdt =

∫ π/2

0

1

2(cos 2t+ 1)dt =

π/2/

0

1

2(1

2sin 2t+ t) =

π

4

4.3.4 Maaratyn integraalin osittaisintegrointi

Kuten arvata saattaa, on osittaisintegrointisaantomaaratylle integraalille

∫ b

a

f ′(x)g(x)dx =b

/af(x)g(x)−

∫ b

a

f(x)g′(x)dx (4.33)

Esim. I =

∫ ∞

0

xe−xdx:

olkoon f ′ = e−x, g = x, joten f = −e−x, g′ = 1:

I =∞/

0

x(−e−x)−∫ ∞

0

(−e−x)dx = (0− 0)−∞/

0

e−x =

−(0− 1) = 1

Esim. I =

∫ 1

0

lnxdx:

valitaan f ′ = 1 ja g = lnx, joten f = x ja g′ = 1/x:

I =1

/0x lnx−

∫ 1

0

x1

xdx = (0− 0)−

1

/0x = 1

Huomaa etta tassa on kaytetty “0 ln 0 = 0”, sillalima→0

a ln a = 0.

Derivointi parametrin suhteen

Usein nappara keino integraalien sieventamisessa onderivoida integroitavaa jonkun parametrin suhteen: josf(x, t) on kahden muuttujan funktio, voimme maaritella

I(x) =

∫ b

a

f(x, t)dt

jolloin

I ′(x) =

∫ b

a

∂f(x, t)

∂xdt

Tassa osittaisderivaatta ∂f(x, t)/∂x tarkoittaa etta fderivoidaan muuttujan x suhteen pitaen t vakiona.Esim. halutaan integroida

∫ ∞

0

t2e−atdt

Taman voisi integroida osittain, mutta vaihtoehtoisestivoimme maaritella

I(a) ≡∫ ∞

0

e−atdt =

∞/

0

−e−at

a=

1

a

I ′(a) =

∫ ∞

0

(−te−at)dt = − 1

a2

I ′′(a) =

∫ ∞

0

t2e−atdt =1

a3

Derivointi parametrin suhteen korvaa useinosittaisintegrointia, mutta voi olla huomattavastinopeampi.

Kayran pituus

Funktio y = f(x) maarittelee (x, y) -tason kayran kunx ∈ [a, b]. Kun x muuttuu dx:n verran, y muuttuudy = dy

dx = f ′(x)dx:n verran.

dx

dyds

Kuva 4.3

Tasta saadaan kayran pituuden differentiaali

ds =√

(dx)2 + (dy)2 =√

1 + [f ′(x)]2dx

ja siis koko kayran (funktion kuvaajan) pituus

L =

∫ b

a

√

1 + [f ′(x)]2dx

29

Esimerkki: olkoon y =√1− x2, kun 0 ≤ x ≤ 1 (ympyran

neljannes). Mika on kaaren pituus?

L =

∫ 1

0

√

1 + y′(x)2dx

=

∫ 1

0

√

1 +( −x√

1− x2

)2

dx

=

∫ 1

0

√

1 +x2

1− x2dx

=

∫ 1

0

dx√1− x2

=1

/0arcsin(x) =

π

2

mika on tietysti tunnettu tulos.

Pyorahdyskappaleen pinta-ala ja tilavuus

x

y

zr

Oletetaan etta kayra r = f(x) > 0 pyorahtaa x-akselinympari. Kun rajoitutaan a ≤ x ≤ b, kayra rajaapyorahdyskappaleen pinnan, paadyissa x = a, x = bolevien ympyroiden kanssa. Nyt kayran pyyhkaisemanpinnan alan differentiaali on

dA = 2πrds = 2πf(x)√

1 + [f ′(x)]2dx

joten alaksi saadaan

A =

∫ b

a

2πf(x)√

1 + f ′(x)2dx+ πf(a)2 + πf(b)2

Samoin pyorahdyskappaleen tilavuuden differentiaali on(ympyrakiekon tilavuus)

dV = πr2dx = πf(x)2dx

ja tilavuudeksi tulee

V =

∫ b

a

π[f(x)]2dx

Esim. Ympyran kaari r =√R2 − x2, −R ≤ x ≤ R,

pyorahtaa x-akselin ympari maaritellenpyorahdyskappaleen (mika on tassa tapauksessa tietystipallo). Sen pinta-ala on

A =

∫ R

−R

2π√

R2 − x2

√

1 +( −x√

R2 − x2

)2

dx

=

∫ R

−R

2πRdx = 2πRR

/−R

x = 4πR2

ja tilavuus

V =

∫ R

−R

π[

√

R2 − x2]2

dx = π

∫ R

−R

(R2 − x2)dx

= π

R/

−R

(R2x− 1

3x3) =

4

3πR3

Integroinnin apuvalineet

Kun omat neuvot eivat riita, voi turvautua apuvalineisiin.Integraaleja on taulukoitu lukuisiin kirjoihin, joista paras jatunnetuin lienee Gradshteyn and Ryzhik: Table of Integrals,

Series, and Products.

Toinen mahdollisuus on kayttaa symboliseen laskentaan tehtyjatietokoneohjelmia. Naista tunnetuimpia ovat Maple jaMathematica. Nama osaavat huomattavasti enemmanintegrointitemppuja kuin MAPUlla on kuvattu.

Jos naita ei ole saatavilla, loytyy Mathematicaan pohjautuvailmaiseksi kaytettava “laskin” www-sivultawww.wolframalpha.com (ainakin v. 2010). Tamakin tunteekaikki integointitemput mitka Mathematicakin, ja sen avullakannattaa muun muassa tarkistaa MAPUn kotitehtavat.

30

4.3.5 Numeerinen integrointi

puolisuunnikassaannolla

Usein integraalifunktiota ei osata (tai voida) laskea, vaanjoudutaan turvautumaan integraalin numeeriseenlaskemiseen. Lasku perustuu maaratyn integraalintulkintaan pinta-alana, lasketaan siis porrassummankaltainen summa aarellisella askelvalilla. Porrassumma(4.20) ei kuitenkaan ole kaytannossa suositeltava tapalaskea integraalia, silla se on hyvin tehoton.Yksinkertaisin suositeltava tapa on kayttaa ns.puolisuunnikassaantoa: Olkoon laskettavana integraali

∫ b

a

f(x)dx

• Jaetaan integroimisvali (a, b) N :aan tasavaliinx0, x1, . . . xN (tassa x0 = a ja xN = b). Yhden valinpituus on siis h = (b− a)/N .

f(x)

x

y

x x xx0 1 2 N

Kuva 4.4

• Approksimoidaan integraalia summaamalla kunkinvalin ala puolisuunnikkaan pinta-alan avulla:

∫ xi+1

xi

f(x)dx ≈ h1

2[f(xi) + f(xi+1)]

xi xi+1

xi

xi+1f( )

f( )

Kuva 4.5 Puolisuunnikkaan ala

• Nain siis koko integraaliksi tulee

∫ b

a

f(x)dx ≈ h

2f(x0) + h

N−1∑

k=1

f(xk) +h

2f(xN )

Kuinka suuri virhe tehdaan? Tata voidaan estimoidakehittamalla yhden valin virhe Taylorin sarjaksi (olkoon

tassa x1 = xi, x2 = xi+1):

V (h) =

∫ x2

x1

f(x)dx− h

2[f(x1) + f(x2)]

=

∫ x1+h

x1

[f(x1) + f ′(x1)(x− x1)

+1

2f ′′(x1)(x− x1)

2 + . . .

−h2[f(x1) + [f(x1) + f ′(x1)h

+1

2f ′′(x1)h

2 + . . .]

]

= f(x1)h+ f ′(x1)1

2h2 +

1

2f ′′(x1)

1

3h3

−h2[2f(x1) + f ′(x1)h+

1

2f ′′(x1)h

2] +O(h4)

= − 1

12h3f ′′(x0) +O(h4)

Siis virhe yhden valin pinta-alassa on O(h3). Kokosummassa virhe tulee siis olemaan

V = NO(h3) = O(Nh3) = O(1

N2)

silla h = (b− a)/N = O(1/N).Siis: jos lisaamme jakopisteiden maaraa tekijalla 2(N → 2N), virhe pienenee tekijalla 4.Harjoitustehtava: mika virhe tulee jos arvoidaanintegraalia summalla suorakaiteita, eli

∫ xi+1

xi

f(x)dx = hf(xi) ?

Hiven tarkempi tulos integroinnissa saadaan joskaytetaan puolisuunnikassaannon sijasta Simpsoninsaantoa: siina arvoidaan funktiota sovittamalla siihenparabeli (toisen asteen kayra). Tassa tapauksessa virhekoko integraalissa on vain O(1/N4).Viela hienostuneemmat menetelmat eivat jaaintegroimisaluetta tasavaleihin, vaan tihentavat jakoaniissa kohdissa missa funktio muuttuu nopeimmin.Lisatietoja numeerisesta integroinnista saa erinomaisestakirjasta Numerical Recipes (Cambridge UniversityPress), ja sen verkkosivulta www.nr.com. Tama kirja onjokaisen numeriikkaa harrastavan perusteos!

31

5. Kompleksiluvut

5.1 Lukualueen laajennus

Luonnolliset luvut N : 1, 2, 3, . . .

Luonnollisille luvuille on maaritelty

• yhteenlasku: a+ b ∈ N , kun a, b ∈ N .

• kertolasku: a · b ∈ N , kun a, b ∈ N .

Kysymys: Loydetaanko aina sellainen x ∈ N , ettaa+ x = b kun a, b ∈ N ?Vastaus: ei aina (esim. a = 5, b = 2).Laajennetaan lukualuetta lisaamalla 0 ja negatiivisetluvut.

Kokonaisluvut Z : . . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .

Kokonaisluvuille on maaritelty

• yhteenlasku: a+ b ∈ Z, kun a, b ∈ Z.

• vahennyslasku: a− b = a+ (−b) ∈ Z, kun a, b ∈ Z.

• kertolasku: a · b ∈ Z, kun a, b ∈ Z.

Vahennyslasku a− b vastaa kysymykseen: paljonko on x,jos x+ b = a.Kysymys: Onko olemassa sellainen x ∈ Z, etta a · x = b,kun a, b ∈ Z?Vastaus: ei aina (esim. a = 3, b = 2).Laajennetaan lukualuetta lisaamalla murtoluvut.

Rationaaliluvut Q : ab; a, b ∈ Z, b 6= 0

Rationaaliluvuille on maaritelty

• yhteenlasku: a+ b ∈ Q, kun a, b ∈ Q.

• vahennyslasku: a− b ∈ Q, kun a, b ∈ Q.

• kertolasku: a · b ∈ Q, kun a, b ∈ Q.

• jakolasku: ab ∈ Q, kun a, b ∈ Q ja b 6= 0.

Jakolasku ab vastaa kysymykseen: paljonko on x, kun

x · b = a?Kysymys: Onko olemassa sellainen x ∈ Q, etta x · x = a,kun a ∈ Q ja a > 0?Vastaus: ei aina (esim. a = 2).Laajennetaan lukualuetta lisaamalla irrationaaliluvut.

Reaaliluvut R

Reaaliluvuille on maaritelty

• yhteenlasku: a+ b ∈ R, kun a, b ∈ R.

• vahennyslasku: a− b ∈ R, kun a, b ∈ R.

• kertolasku: a · b ∈ R, kun a, b ∈ R.

• jakolasku: ab ∈ R, kun a, b ∈ R ja b 6= 0.

Reaalilukujen joukosta loytyy myos vastaus kysymykseenpaljonko on x, kun x · x = a ja a ≥ 0.Kysymykseen, onko olemassa sellainen x ∈ R, ettax · x = a kun a < 0, vastaus on edelleenkin kielteinen.Laajennetaan lukualuetta kompleksilukuihin C lisaamallaimaginaariluvut.

5.2 Kompleksilukujen esitys ja algebra

5.2.1 Imaginaariyksikko

Maaritellaan imaginaariyksikko i siten, etta

i2 = −1. (5.1)

Jos nyt a ∈ R on jokin reaaliluku, niin ia onimaginaariluku, joka toteuttaa relaation

(ia)2 = i2a2 = −1 · a2 = −a2.

Kompleksiluku z ∈ C voidaan esittaa mm. reaaliluvun jaimaginaariluvun summana

z = a+ ib, (5.2)

missa a, b ∈ R. Sanotaan, etta a on luvun z reaaliosa ja bsen imaginaariosa. Kompleksiluvun reaaliosaa jaimaginaarisosaa merkitaan kuten

Re z = aIm z = b,

(5.3)

kun z = a+ ib.Tutustuimme kompleksilukuun 2. asteen yhtalonratkaisuissa: yhtalon

ax2 + bx+ c = 0

ratkaisut ovat

x =1

2a(−b±

√

b2 − 4ac)

Jos b2 ≥ 4ac, ratkaisut ovat reaalisia.Jos b2 < 4ac, niin (

√)2 < 0 ja

x =1

2a(−b±

√

−(4ac− b2)) =1

2a(−b± i

√

4ac− b2)

Esim.z2 − 2z + 5 = 0

ratkaisut ovatz = 1

2 (2±√4− 20) = 1

2 (2±√−16) = 1± 2i.

Kompleksiluku z on (puhtaasti) reaalinen, jos Im z = 0 ja(puhtaasti) imaginaarinen, jos Re z = 0.Kompleksiluvut ovat yhtasuuria, jos niiden reaali- jaimaginaariosat ovat yhtasuuria, ts. u = v tarkoittaa, ettaReu = Re v ja Imu = Im v. Kompleksiluku on nolla jos ja

32

vain jos sen reaali- ja imaginaariosat ovat nollia, ts. z = 0on sama kuin Re z = Im z = 0.Kompleksiluvun z = a+ ib liittoluku elikompleksikonjugaatti z∗ on

z∗ = a− ib, (5.4)

ts. konjugoitaessa vaihdetaan imaginaariosan merkki.Kompleksiluvun z normi |z|2 on

|z|2 = zz∗ = (Re z)2 + (Im z)2. (5.5)

Normi on siis aina ei-negatiivinen ja nolla vain jos lukuitse on nolla.

z∗ on fyysikoiden kayttama merkinta. Matemaatikot piirtavatkompleksikonjugoidun suureen paalle viivan, z.

Normiksi kutsutaan silloin talloin myos suuretta√

|z|2, jolloinsiita kaytetaan merkintaa |z|.

Insinoorit puolestaan merkitsevat imaginaariyksikkoa symbolilla j.

5.2.2 Algebra

Kompleksilukujen algebra saadaan soveltamallareaalilukujen algebraa summiin z = a+ ib muistaenkuitenkin, etta i2 = −1. Tarkastellaan kompleksilukujau = a+ ib ja v = c+ id.

Yhteenlasku

Summa u+ v voidaan muodostaa kuten

u+ v = a+ ib+ c+ id = (a+ c) + i(b+ d),

eliRe (u+ v) = Reu+Re vIm (u+ v) = Imu+ Im v.

(5.6)

Vahennyslasku

Vastaavasti vahennyslasku antaa

u− v = a+ ib− c− id = (a− c) + i(b− d)

eliRe (u− v) = Reu− Re vIm (u− v) = Imu− Im v.

(5.7)

Kertolasku

Kahden kompleksiluvun tulo puolestaan on

u · v = (a+ ib)(c+ id)

= ac+ (ib)(id) + (ib)c+ a(id)

= ac+ i2bd+ i(bc+ ad)

= (ac− bd) + i(ad+ bc)

tai

Re (uv) = (Reu)(Re v)− (Imu)(Im v)Im (uv) = (Reu)(Im v) + (Re v)(Imu).

(5.8)

Jakolasku

Jakolasku on hieman monimutkaisempi. Lavennetaanensin murtolauseke u/v nimittajankompleksikonjugaatilla, jolloin paadytaan reaaliseen (japositiiviseen) nimittajaan:

u

v=a+ ib

c+ id=

(a+ ib)(c− id)

(c+ id)(c− id).

Normin laskusaannon (5.5) mukaan nimittaja on nyt

|v|2 = vv∗ = (c+ id)(c− id) = c2 + d2 ∈ R

ja osoittaja

(a+ ib)(c− id) = ac+ bd+ i(bc− ad).

Taman jalkeen jakolasku on helppoa, jaetaan vainosoittajan reaali- ja imaginaariosat reaalisellanimittajalla, ts.

Reu

v=

(Reu)(Re v) + (Imu)(Im v)

|v|2

Imu

v=

(Imu)(Re v)− (Reu)(Im v)

|v|2 .(5.9)

Vastaavasti kompleksiluvun z kaanteisluku z−1 = 1z

saadaan seuraavasti: jos z = x+ iy, niin

z−1 =1

x+ iy=

x− iy

(x+ iy)(x− iy)

=x− iy

x2 + y2=

x

|z|2 − iy

|z|2

Esim. Luvun z = 1 + 2i kaanteisluku on

z−1 =1

1 + 2i=

1− 2i

(1 + 2i)(1− 2i)=

1

5− i

2

5

Esim. Olkoot u = 3− i2 ja v = −1 + i. Laske u+ v,u− v, uv ja u/vYhteen- ja vahennyslasku antavat

u+ v = 3− i2 + (−1 + i) = 3− 1 + i(−2 + 1)

= 2− i

ja

u− v = 3− i2− (−1 + i) = 3 + 1 + i(−2− 1)

= 4− 3i,

Kertolasku taas antaa

uv = (3− i2)(−1 + i) = −3 + 3i+ 2i− 2ii

= −1 + 5i

33

ja jakolasku

u

v=

3− 2i

−1 + i=

3− 2i

−1 + i· −1− i

−1− i=

−3− 3i+ 2i− 2

1 + i− i+ 1

=−5− i

2= −5

2− 1

2i.

5.2.3 Kompleksitaso

Kompleksiluku voidaan esittaa myos x, y-tason pisteina(vektoreina): z = x+ iy 7→ (x, y) = (Re z, Im z). Tassa siisy-akselin yksikkona on i.Tasoa, jossa kompleksilukuja esitetaan sanotaankompleksitasoksi. Tason akseleita kutsutaan yleensareaali- ja imaginaariakseleiksi. Kaantaen, jokaista(kompleksi)tason pistetta vastaa kompleksiluku.

x

y z = ( x , y )

R e z

I m z

r

Kuva 5.1 Kompleksitaso

Kuvassa 5.1 r on pisteen etaisyys origosta. Pythagoraanteoreeman mukaan on

r2 = x2 + y2 = |z|2

ja

r = |z| =√

(Re z)2 + (Im z)2 =√zz∗. (5.10)

Suure

|z| =√zz∗ =

√

|z|2

on kompleksiluvun z itseisarvo, luvun suuruus. Joskuspuhutaan myos modulista ja kaytetaan merkintaa|z| = modz.Kun z on puhtaasti reaalinen, on

|z| =√

(Re z)2 = |Re z|

eli itseisarvon maaritelma yhtyy tassa tapauksessareaaliluvun itseisarvon maaritelmaan.Huom: kompleksikonjugointi z → z∗ vastaa heijastustax-akselin suhteen: iy → −iy.Kompleksitason pisteiden esityksessa voidaan kayttaa

myos napakoordinaatteja, ns. polaariesitysta:

z = ( r c o s f , r s i n f )

R e z

I m z

rf

x = r c o s f

y=r sin f

Kuva 5.2 Polaariesitys

Polaariesityksessa (r, φ)

• r on kompleksiluvun itseisarvo |z| = modz,

• φ on luvun z vaihekulma eli argumentti.

Polaariesityksessa kompleksiluvun z = x+ iy koordinaatitovat

r = |z| =√

x2 + y2

φ = arctan yx .

(5.11)

Jotta reaali- ja imaginaariosien merkit saataisiin oikein,on talla kertaa arkustangenttia pidettavamonikasitteisena funktiona. Kaikista mahdollisistakulman φ = arctan y

x arvoista on valittava se, jolla sekacosφ ja x keskenaan etta sinφ ja y keskenaan ovat samanmerkkisia. Kaantaen napakoordinaateista (r, φ) paastaanluvun z = x+ iy karteesisiin koordinaatteihin kaavoilla

x = r cosφy = r sinφ,

(5.12)

ts.z = x+ iy = r cosφ+ ir sinφ = reiφ (5.13)

missa viimeisessa kohdassa kaytettiin Eulerin kaavaa

eiφ = cosφ+ i sinφ. (5.14)

Tama osoitetaan myohemmin.Esim. Luku 2 + 2

√3i polaariesityksessa

Nyt moduli on

r = |2 + 2√3i| =

√4 + 12 = 4.

Vaihekulma on

φ = arctan2√3

2= arctan

√3 =

π

3.

Nyt siis

2 + 2√3i = 4eiπ/3 = 4 cos

π

3+ 4i sin

π

3.

Esim. Luku −2 + 2√3i polaariesityksessa

Kuten edella, moduli on r = 4. Vaihekulma on nyt

φ = arctan2√3

−2= arctan(−

√3).

34

Tangetille on voimassa

tan(φ+ nπ) = tanφ.

Jos siis φ = arctanx, niin on myos φ+ nπ = arctanx.Vaihekulmaa maarattaessa on naista mahdollisistaarvoista valittava sellainen, etta reaali- jaimaginaarisosien merkit tulevat oikein. Nyt vaihekulma on

φ = arctan(−√3) + nπ = −π

3+ nπ.

Reaaliosa on negatiivinen ja imaginaariosa positiivinen,joten vaihekulma on valilla π/2 ≤ φ ≤ π, ts. on valittavan = 1 eli

φ =2π

3.

Polaariesitys on siis

−2 + 2√3i = 4ei2π/3 = 4 cos

2π

3+ 4 sin

2π

3i.

Huom: polaariesitys helpottaa kompleksilukujen kerto- jajakolaskuja:Olkoon z1 = r1e

iθ1 ja z2 = r2eiθ2 . Nyt

z1z2 = r1r2ei(θ1+θ2)

normaalien eksponenttifunktioiden laskusaantojenmukaan. Samoin

z1z2

=r1r2ei(θ1−θ2)

Myos potenssit ovat helppoja:

zn = (reiθ)n = rneinθ

Sen sijaan yhteen- ja vahennyslasku on hankala suorittaapolaariesityksessa.Huom: jos z = reiθ, niin z∗ = re−iθ.z∗z = re−iθreiθ = r2 = |z|2.

5.3 KompleksifunktiotTarkastellaan funktiota f(z), joka kuvaa kompleksiluvunz kompleksiluvuksi w, ts.

w = f(z).

Sanotaan, etta f(z) on

• yksiarvoinen funktio, jos ja vain jos jokainen zkuvautuu tasmalleen yhdeksi luvuksi w.

• moniarvoinen funktio, jos ja vain jos jotkinmuuttujan z arvot kuvautuvat useammaksi kuinyhdeksi luvuksi w.

Esimerkiksi w = f(z) = z2 on yksiarvoinen. Funktiow = f(z) = z1/2 on puolestaan moniarvoinen(kaksiarvoinen), mm. piste z = 1 kuvautuu pisteiksiw = ±1.Ellei toisin mainita, funktio tarkoittaa jatkossayksiarvoista funktiota.

Tulkinta

Olkoon w = f(z) jokin kompleksifunktio. Kirjoitetaan

w = u+ iv, u, v ∈ R

ja

z = x+ iy, x, y ∈ R.

Nyt

w = u+ iv = f(z) = f(x+ iy),

ts. funktion reaali- ja imaginaariosat,

u = u(x, y) ja v = v(x, y),

ovat muuttujien x ja y funktioita. Voidaan siis ajatella,etta kompleksifunktio kuvaa kompleksitason (z-tason)pisteen (x, y) toisen kompleksitason (w-tason) pisteeksi(u, v).

Funktion reaali- ja imaginaariosat

Tehtavana on nyt jakaa funktio f(z) reaali- jaimaginaariosiinsa. Polynomien ja polynomienmurtolausekkeiden tapauksessa kompleksilukujen algebramaaraa jaon. Esimerkiksi w = z2 jakautuu reaali- jaimaginaariosiinsa kuten

w = u+ iv = (x+ iy)2 = x2 − y2 + 2ixy,

joten

u = x2 − y2

v = 2xy.

Usein halutaan jatkaa (analyyttisesti) reaalimuuttujanreaaliarvoinen funktio kompleksitasoon siten, ettaalkuperainen ja jatkettu funktio yhtyvat reaaliakselilla.Jos reaalifunktio f(x) voidaan esittaa Taylorin sarjana(3.3), korvataan sarjassa reaalimuuttuja xkompleksimuuttujalla.Koska kompleksiluvut noudattavat samoja laskusaantojakuin reaaliluvut, sailyttaa analyttinen jatkaminenfunktionaaliset ominaisuudet. Esimerkiksi jatkettueksponenttifunktio toteuttaa edelleenkin relaation

ez1+z2 = ez1ez2 , z1, z2 ∈ C.

Samoin trigonometristen funktioiden yhteenlaskukaavatovat voimassa jatketuillekin funktioille.

35

Eulerin kaava

Tarkastellaan eksponenttifunktiota w = ez. Koskajatkaminen sailyttaa funktionaaliset ominaisuudet, on

w = ex+iy = exeiy.

Tassa ex on vanha tuttu reaalinen eksponenttifunktio.Selvitetaan siis, mita on eix, kun x ∈ R.Eksponenttifunktion Taylorin sarja (3.6) on

ez = 1 + z +z2

2!+z3

3!+z4

4!+z5

5!+ · · · . (5.15)

Sijoitetaan tahan z = ix. Imaginaariluvun ix potenssitovat

(ix)2 = i2x2 = −x2(ix)3 = ix(ix)2 = −ix3(ix)4 = ix(ix)3 = −i2x4 = x4

(ix)5 = ix(ix)4 = ix5

...

(ix)2n = (−1)nx2n

(ix)2n+1 = i(−1)nx2n+1

...

Sijoitetaan nama potenssit Taylorin kehitelmaan (5.15),jolloin saadaan

eix = 1 + ix− x2

2!− i

x3

3!+x4

4!+ i

x5

5!+ · · ·

= 1− x2

2!+x4

4!+ · · ·

+i

(

x− x3

3!+x5

5!+ · · ·

)

.

Vertaamalla reaali- ja imaginaariosia Taylorin sarjoihin(3.6) todetaan niiden esittavan kosini- ja sinifunktioita.Paadymme Eulerin kaavaan

eix = cosx+ i sinx. (5.16)

Yleisesti kompleksinen eksponenttifunktio on siten

ez = ex(cos y + i sin y), (5.17)

kun z = x+ iy.Muistetaan, etta polaariesityksessa (5.13) kompleksilukuz voitiin kirjoittaa muotoon

z = r cosφ+ ir sinφ.

josta, Eulerin kaavaa (5.16) soveltaen saammestandardimuodon polaariesitykselle:

z = reiφ, (5.18)

missa siis r = |z| ja φ = arctan Im z/Re z. Kuten edellamainittiin, polaariesityksen avulla kompleksilukujenkerto- ja jakolaskut ovat suoraviivaisia:

z1z2 = r1r2ei(φ1+φ2)

= r1r2 (cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2))

ja

z1z2

=r1r2ei(φ1−φ2)

=r1r2

(cos(φ1 − φ2) + i sin(φ1 − φ2)) .

Potenssifunktiot

Kertolaskun erikoistapauksena saadaanpotenssiinkorotukselle De Moivren kaavana tunnettulauseke

zn = rn(cosφ+ i sinφ)n = rneniφ

= rn(cosnφ+ i sinnφ).(5.19)

Polaariesityksen napakulma ei ole yksikasitteinen. Josnimittain φ on luvun z napakulma, niin on myos mikatahansa muotoa φ+ n2π, n = 0,±1,±2, . . . , oleva kulma,silla Eulerin kaavan mukaan on

ei(φ+n2π) = eiφei2nπ

= eiφ(cos 2nπ + i sin 2nπ)

= eiφ(1 + i0)

= eiφ.

Kompleksiluku z voidaan siis esittaa kuten

z = reiφ+i2nπ, n = 0,±1,±2, . . . .

Luvun z n:s juuri w = z1/n on se luku mika toteuttaawn = z. Kayttaen polaariesitysta

w = ρeiφ, z = reiθ

nahdaan etta on oltava voimassa

ρn = r ⇒ ρ = n√r

ja

einφ = eiθ ⇒ nφ = θ + k 2π, k ∈ N

koska ei k 2π = 1. Siis saamme

z1/n = n√rei(θ/n+k 2π/n), k ∈ N (5.20)

Helposti nahdaan, etta vain luvut k = 0, 1, . . . (n− 1)tuottavat erisuuruisen tuloksen:

e0, ei2π/n, ei4π/n, . . . , ei2(n−1)π/n (5.21)

36

Toisaalta positiivinen kokonaisluku k voidaan ainakirjoittaa muodossa k = qn+ r, missa q on jakolaskunk/n osamaara ja r, 0 ≤ r < n, sen jakojaannos. On siisvoimassa

ei2kπ/n = ei2rπ/nei2qπ = ei2rπ/n,

joten jokainen muotoa exp(i2kπ/n), k ≥ 0, olevakompleksiluku on joukossa (5.21). Samalla tavoin voidaantodeta, etta myos luvut exp(i2kπ/n) kokonaisluvun kollessa negatiivinen ovat nekin joukossa (5.21). Siis,kompleksiluvulla z = reiφ, r 6= 0, on tasmalleen nerilaista n:tta juurta:

z1/n = r1/neiφ/n, r1/nei(φ+2π)/n,r1/nei(φ+4π)/n, . . . ,r1/nei(φ+2(n−1)π)/n.

(5.22)

Esim. Luvun 2 neljannet juuretKirjoitetaan Eulerin kaavaa kayttaen

2 = 2e0i = 2e2πi = 2e4πi = 2e6πi.

Naemme, etta neljannet juuret ovat

21/4, 21/4eπi/2, 21/4eπi ja 21/4e3πi/2.

Eulerin kaavan mukaan on mm.

eπi/2 = cos1

2π + i sin

1

2π = i

Samoin voimme todeta, etta exp(πi) = −1 jaexp

(

32πi)

= −i. Kysytyt juuret ovat niin ollen

21/4, 21/4i, −21/4 ja − 21/4i.

Huomattakoon, etta jonossa seuraava termi,2 = 2 exp(8πi), antaisi neljanneksi juureksi21/4 exp(2πi) = 21/4. Tama esiintyy jo juurilistassamme.

Trigonometriset funktiot

Eulerin kaavan (5.16)

eiφ = cosφ+ i sinφ

mukaan on

e−iφ = cos(−φ) + i sin(−φ) = cosφ− i sinφ.

Ratkaistaan naista yhtaloista sini- ja kosinifunktiot:

cosφ = 12

(

eiφ + e−iφ)

sinφ = 12i

(

eiφ − e−iφ)

.(5.23)

Voimme itse asiassa tasta lahtien pitaa naita lausekkeitasini- ja kosinifunktioiden maaritelmina. Namamaaritelmat ovat voimassa siinakin tapauksessa, ettaargumenttikulma φ on kompleksinen.

Hyperboliset kosini- ja sinifunktiot maaritellaan kaavoilla

coshx = 12 (e

x + e−x)sinhx = 1

2 (ex − e−x) .

(5.24)

Myos tangenttifunktio voidaan kirjoittaa eksponenttienavulla:

tanφ =sinφ

cosφ=

eiφ − e−iφ

i(eiφ + e−iφ). (5.25)

Analogisesti hyperbolinen tangentti maaritellaan kuten

tanhx =sinhx

coshx=ex − e−x

ex + e−x. (5.26)

Trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden valillavallitsee yhteys

cosh iφ = cosφsinh iφ = i sinφtanh iφ = i tanφ.

(5.27)

37

Kompleksiluvun logaritmi:

ln z = w ⇔ z = ew

Jos nyt z = reiθ = reiθein2π, missa n ∈ Z, niin saadaan

w = ln z = ln r + iθ + in2π, n ∈ Z

Logaritmi on siis aarettoman moniarvoinen funktio.Helposti nahdaan etta ew = z kaikilla n.Logaritmin paahaaraksi sanotaan valintaa n = 0 ja0 ≤ θ < 2π:

lnz = ln r + iθ, 0 ≤ θ < 2π

Jos nyt z ∈ R, ja z on positiivinen (> 0):lnz = ln rJos taas z on negatiivinen reaaliluku,lnz = ln r + iπEsim. (paahaara-arvot):ln(−1) = ln eiπ) = iπln i = ln eiπ/2 = iπ2ln(1 + i) = ln(

√12 + 12eiπ/4) = 1

2 ln 2 + iπ4

6. DifferentiaaliyhtaloistaNewtonin toisen lain mukaan kappaleeseen vaikuttavavoima on yhtasuuri kuin kappaleen massa kerrottuna senkiihtyvyydella. Korkeudella h putoamisliikkeessa olevan

kappaleen kiihtyvyys on d2hdt2

ja siihen vaikuttavagravitaatiovoima −mg, kun kappaleen massa on m.Newtonin lain mukaan on siis

md2h

dt2= −mg

taid2h

dt2= −g.

Tama on korkeutta h hallitseva differentiaaliyhtalo, ts.siina esiintyy tuntemattoman funktion derivaattoja.Differentiaaliyhtalon ratkaisemisella tarkoitetaan yhtalontoteuttavan funktion etsimista.Putoamisliikkeen tapauksessa ratkaisu on helppo loytaa.Integroidaan differentiaaliyhtalon

d2h

dt2= −g

molemmat puolet, jolloin saadaan

dh

dt= −gt+ c1.

Tama on edelleenkin differentiaaliyhtalo ja edelleenkinvoimme integroida sen puolittain. Paadymme ratkaisuun

h = −1

2gt2 + c1t+ c2.

Terminologiaa

Putoamisliikkeen ratkaisussa on kummastakinintegroinnista aiheutuneet integrointivakiot otettumukaan. Vakioiden arvot maaraytyvat alkuehdoista.Tassa tapauksessa tieto kappaleen korkeudesta janopeudesta alkuhetkella t = 0 riittaa.Kun yhtalossa on jonkin muuttujan derivaattoja jonkintoisen muuttujan suhteen, sanotaan edellista muuttujaariippuvaksi ja jalkimmaista riippumattomaksi (vapaaksi).Riippuva muuttuja on siis sama kuin funktio mikahalutaan ratkaista.Jos differentiaaliyhtalossa esiintyy derivaattoja vainyhden riippumattoman muuttujan suhteen, puhutaantavallisesta differentiaaliyhtalosta. Jos yhtalossa onosittaisderivaattoja useamman kuin yhden vapaanmuuttujan suhteen, kyseessa onosittaisdifferentiaaliyhtalo.Esimerkiksi differentiaaliyhtalo

d2x

dt2+ a

dx

dt+ kx = 0

38

on tavallinen. Sen riippuva muuttuja on x ja riippumatont. Yhtalo

∂u

∂x+∂u

∂y= x− 3y

on puolestaan osittaisdifferentiaaliyhtalo, jonkariippumattomat muuttujat ovat x ja y. u on tamanyhtalon riippuva muuttuja.Yhtalon kertaluku on korkein siina esiintyvienderivaattojen kertaluvuista. Esimerkiksi yhtalon

d2h

dt2= −g

kertaluku on 2.Differentiaaliyhtalo on lineaarinen, jos riippuva muuttuja(y) ja sen derivaatat esiintyvat yhtalon kaikissa termeissajoko ensimmaisessa potenssissa tai ei ollenkaan. Josdifferentiaaliyhtalo ei ole lineaarinen, sen sanotaan olevanepalineaarinen. Esimerkiksi yhtalo

d2y

dx2+ y = x4

on lineaarinen mutta yhtalot

d2y

dx2+ sin y = 0, y′ + 2yy′ = 0 ja y′ =

x

y

ovat epalineaarisia.Mika tahansa kertaluvun n tavallinen differentiaaliyhtaloon kirjoitettavissa muotoon

F

(

x, y,dy

dx, . . . ,

dny

dxn

)

= 0.

Olkoon I jokin lukuvali ((a, b), [a, b], . . .).Jos sijoitettaessa y = f(x) yhtaloon

F

(

x, y,dy

dx, . . . ,

dny

dxn

)

= 0

se toteutuu kaikilla x ∈ I, sanotaan etta f(x) on ko.yhtalon ratkaisu valilla I.Esim. Yhtalon y′′ − 2

x2 y = 0 ratkaisu on f(x) = x2 − x−1

Nyt derivaatat f ′(x) = 2x+ x−2 ja f ′′(x) = 2− 2x−3 ovatmaariteltyja aina kun x 6= 0. Sijoitetaan f yhtaloon,jolloin saadaan

(2− 2x−3)− 2

x2(x2 − x−1)

= (2− 2x−3)− (2− 2x−3)

= 0.

Yhtalo siis toteutuu kun x 6= 0 eli f(x) = x2 − x−1 onyhtalon ratkaisu alueissa (−∞, 0) ja (0,∞).

Esim. φ(x) = c1e−x + c2e

2x on yhtalon y′′ − y′ − 2y = 0ratkaisuNyt φ′(x) = −c1e−x + 2c2e

2x ja φ′′(x) = c1e−x + 4c2e

2x.Sijoitetaan nama yhtaloon, jolloin

(c1e−x + 4c2e

2x)− (−c1e−x + 2c2e2x)

−2(c1e−x + c2e

2x)

= (c1 + c1 − 2c1)e−x + (4c2 − 2c2 − 2c2)e

2x = 0.

Tama on ilmeisestikin voimassa koko reaaliakselilla, jotenφ(x) = c1e

−x + c2e2x on yhtalon ratkaisu valilla (−∞,∞)

olivatpa c1 ja c2 mita tahansa vakioita.Esim. Yhtalon (1 + xexy)dydx + 1 + yexy = 0 ratkaisumaaraytyy yhtalosta x+ y + exy = 0Suoraviivainen menettely olisi ratkaista y yhtalostax+ y + exy = 0 ja sijoittaa tama differentiaaliyhtaloon.Valitettavasti vain emme osaa tata ratkaisua muodostaa.Derivoidaan sen sijaan yhtalo x+ y + exy = 0implisiittisesti, jolloin

1 +dy

dx+ exy

(

y + xdy

dx

)

= 0.

Uudestaan ryhmittaen voidaan kirjoittaa

(1 + xexy)dy

dx+ 1 + yexy = 0,

joten yhtalo x+ y + exy = 0 todellakin maaraaimplisiittisesti ko. differentiaaliyhtalon ratkaisun.Osoittautuu, etta kertalukua n oleviendifferentiaaliyhtaloiden ratkaisuihin liittyy aina nmielivaltaista vakiota. Useimmissa tapauksissa vakiotovat maarattavissa, jos tunnetaan funktio ja sen n− 1ensimmaisen derivaatan arvot jossakin ratkaisuvalin Ipisteessa.Differentiaaliyhtaloon

F

(

x, y,dy

dx, . . . ,

dny

dxn

)

= 0

liittyva alkuarvoprobleema kuuluu: Etsi valilla I sedifferentiaaliyhtalon ratkaisu, joka pisteessa x0 ∈ Itoteuttaa n ehtoa

y(x0) = y0dy

dx(x0) = y1

...dn−1y

dxn−1 (x0) = yn−1,

missa suureet y0, y1, . . . , yn−1 ovat vakioita.

Nimitys alkuarvo on peraisin mekaniikasta, missa y(x0) = y0tarkoittaa usein kappaleen paikkaa alkuhetkella x0 ja y′(x0) = y1sen nopeutta samalla hetkella.

39

Esim. Maaraa se yhtalon y′′ − y′ − 2y = 0 ratkaisu, jokatoteuttaa alkuehdot y(0) = 2 ja y′(0) = −3Aiemmin naimme, etta φ(x) = c1e

−x + c2e2x on ko.

yhtalon ratkaisu olivatpa vakiot c1 ja c2 mita tahansa.Maarataan nama kertoimet siten, etta alkuehdottoteutuvat:

φ(0) = c1e0 + c2e

0 = 2

φ′(0) = −c1e0 + 2c2e0 = −3,

eli

c1 + c2 = 2

−c1 + 2c2 = −3.

Yhtaloryhman ratkaisuna saadaan c1 = 7/3 ja c2 = −1/3.Alkuarvot toteuttava ratkaisu on siis

φ(x) =7

3e−x − 1

3e2x.

tavallisimmat differentiaaliyhtalot:Seuraavat differentiaaliyhtalot esiintyvat usein fysiikassaja muissa sovelluksissa:

dy

dx= ay, a ∈ R ⇒ y = Ceax

d2y

dx2= a2y, ⇒ y = C1e

ax + C2e−ax

d2y

dx2= −a2y, ⇒ y = C1 cos(ax) + C2 sin(ax)

= D1eiax +D2e

−iax

Viimeinen yhtalo on esim. harmonisen varahtelijanyhtalo: jos kappale liikkuu x-akselia pitkin voimanF = −kx vaikutuksessa, Newtonin lain mukaan (F = ma)

F = −kx =d2x

dt2

6.1 Ensimmaisen kertaluvun yhtalotEnsimmaisen kertaluvun differentiaaliyhtaloille voidaantodistaa olemassaolo- ja yksikasitteisyyslause:Olkoot funktio f(x, y) ja sen osittaisderivaatta ∂f

∂x (x, y)jatkuvia pisteen (x0, y0) sisaltavassa suorakaiteessa

R = (x, y)|a < x < b, c < y < d.

Silloin alkuarvoprobleemalla

dy

dx= f(x, y), y(x0) = y0

on yksikasitteinen ratkaisu φ(x) jollakin valillax0 − h < x < x0 + h, missa h > 0.

Vastaavanlaisia lauseita on olemassa myos korkeammankertaluvun differentiaaliyhtaloille.Lause siis kertoo, milloin ratkaisu on loydettavissa ja ettaratkaisun loydyttya ei tarvitse etsia muita ratkaisujakoska niita ei ole olemassa. Graafisesti olemassaolotarkoittaa, etta lauseen suorakaiteen jokaisen pisteenkautta kulkee jokin ratkaisu ja yksikasitteisyys sita, ettakunkin pisteen (x0, y0) kautta kulkee tasmalleen yksiratkaisu. Tasta johtuen ratkaisujen kuvaajat eivatkoskaan leikkaa toisiaan. Valitettavasti lause kertoo vainetta ratkaisu on olemassa pisteen x = x0 ymparistossa,mutta ei kerro taman ympariston suuruutta.

Fysiikan mallintamisessa alkuarvotehtavan ratkaisun olemassaoloja yksikasitteisyys ovat ensiarvoisen tarkeita. Ensinnakintodellisessa maailmassa ”jotakin tapahtuu”joten mallinnettaessamaailmaa aluarvoprobleemoina olisi ratkaisujen syyta ollaolemassa. Toiseksi, jos saman kokeen toisto samoilla ehdoillajohtaa aina samaan tulokseen, taytyy kokeeseen liittyvanmallinkin olla yksikasitteinen. Mekaniikka on hyva esimerkkideterministisesta mallista: tulevaisuus maaraytyy tarkasti josalkutila tunnetaan tarkasti.

6.1.1 Separoituvat yhtalot

Jos differentiaaliyhtalo voidaan kirjoittaa muodossa

dy

dx= q(x)p(y) (6.1)

ts. oikea puoli on kirjoitettavissa kahden funktion tulona,joista toinen riippuu vain muuttujasta x ja toinen vainmuuttujasta y, sanotaan etta yhtalo on separoituva taietta yhtalon muuttujat ovat erotettavissa.Luonnollisesti myos muotoa

dy

dx=q(x)

p(y)tai

dy

dx=p(y)

q(x)(6.2)

ovat separoituvia.Separoituva yhtalo

dy

dx=q(x)

p(y)

ratkeaa muuttujien separoinnilla:kerrotaan molemmat puolet funktiolla p(y) jadifferentiaalilla dx, jolloin

p(y) dy = q(x) dx,

ja integroimalla nain saatu yhtalo,

∫

p(y) dy =

∫

q(x) dx. (6.3)

Jos integraalit osataan laskea, voidaan ratkaista y = f(x).

Naytetaan etta (6.3) antaa oikean ratkaisun: Olkoot P (y)ja Q(x) funktioiden p(y) ja q(x) integraalifunktioita, ts.

P ′(y) = p(y), Q′(x) = q(x)

40

Talloin yhtalo (6.3) on ekvivalentti yhtalon

P (y) = Q(x) + C

kanssa. Kirjoittamalla y = y(x) ja derivoimalla x:nsuhteen saamme

d

dxP (y(x)) = P ′(y(x))y′(x) =

d

dxQ(x) ⇒

p(y)y′ = q(x)

mika oli alkuperainen differentiaaliyhtalo.Esim. Ratkaise dy

dx = x−5y2

Kerrotaan yhtalo puolittain tekijalla y2dx, jolloin saadaan

y2dy = (x− 5) dx.

Integrointi molemmin puolin antaa

∫

y2dy =

∫

(x− 5) dx

eliy3

3=x2

2− 5x+ C.

Ratkaistaan y:

y =

(

3x2

2− 15x+ 3C

)1/3

.

Koska vakio C voi olla mielivaltainen reaaliluku niinsellainen on myos 3C. Voimme siis aivan hyvin korvatasen vaikkapa symbolilla K:

y =

(

3x2

2− 15x+K

)1/3

.

Esim. Ratkaise alkuarvotehtava dydx = y−1

x+3 kun y(−1) = 0Muuttujien erottaminen johtaa yhtaloon

dy

y − 1=

dx

x+ 3.

Taman integrointi antaa

ln |y − 1| = ln |x+ 3|+ C.

Eksponentioidaan yhtalon molemmat puolet ja saadaan

eln |y−1| = eln |x+3|+C

eli|y − 1| = eC |x+ 3| = K|x+ 3|,

missa olemme merkinneet K = eC > 0. Riippuenmuuttujien y ja x arvoista on |y − 1| = ±(y − 1) ja|x+ 3| = ±(x+ 3). Voimme siis kirjoittaa

y − 1 = ±K(x+ 3) tai y = 1 + (±K)(x+ 3).

Merkitaan vakiota ±K jalleen symbolilla C, joka voi nytsiis olla mielivaltainen reaaliluku. Saamme silloindifferentiaaliyhtalon ratkaisuksi y = 1 + C(x+ 3).Alkuehto oli y(−1) = 1 + C(−1 + 3) = 0 eli C = −1/2.Alkuarvotehtavan siis ratkaisee funktio

y = −1

2− 1

2x.

6.1.2 Lineaariset yhtalot

Ensimmaisen kertaluvun lineaarinen yhtalo on muotoa

a1(x)dy

dx+ a0(x)y = b(x), (6.4)

missa kertoimet a1(x), a0(x) ja oikea puoli b(x) voivatriippua vain vapaasta muuttujasta x mutta eivatriippuvasta muuttujasta y.Esimerkiksi yhtalo

x2 sinx− (cosx)y = (sinx)dy

dx

on selvastikin lineaarinen. Yhtalo

ydy

dx+ (sinx)y3 = ex + 1

sen sijaan ei ole lineaarinen, silla sen lisaksi ettaderivaatan kertoimena on riippuva muuttuja y esiintyyyhtalossa muuttujan y kuutiollinen termi.Olettaen, etta kerroin a1(x) yhtalossa (6.4) ontarkasteltavalla valilla nollasta poikkeava, ensimmaisenkertaluvun yhtalo on kirjoitettavissa standardimuotoon

dy

dx+ p(x)y = q(x). (6.5)

Jos asetetaan q(x) = 0 yhtaloa sanotaan homogeeniseksi,alkuperaista taydelliseksi. Homogeenisen yhtalon kaikissatermeissa esiintyy siis ainoastaan y:n tai y′ ensimmaistapotenssia.Ratkaisussa kannattaa lahtea liikkeelle homogeenisenyhtalon ratkaisusta:I) Homogeeninen yhtalo (HY):

dy

dx+ p(x)y = 0

Ratkeaa separoimalla:

dy

y= −p(x)dx

⇒ ln |y| = −∫

p(x)dx+A

⇒ y = C exp

[

−∫

p(x)dx

]

missa C = ±eA on integroimisvakio. Tama on HY:nyleinen ratkaisu.

41

II) Taydellinen yhtalo (TY):Nyt riittaa loytaa joku ratkaisu TY:lle, olkoon se y0(x).Talloin TY:n yleinen ratkaisu on HY:n ja TY:nratkaisujen summa,

yTY(x) = yHY(x) + y0(x)

missa yHY on ylla lasketty HY:n yleinen ratkaisu.Todistus:1. yTY(x) on selvasti TY:n ratkaisu2. Olkoon y1(x) TY:n mielivaltainen ratkaisu. Talloiny1(x)− y0(x) on selvasti HY:n joku ratkaisu, joteny1(x) = yHY(x) + y0(x).Kuinka TY:n ratkaisu loydetaan?Arvaus: toimii usein, mutta pitaa keksia!Esim. y′ + xy = x: selvasti yksi TY:n ratkaisu on y = 1.Vakion variointi: Etsitaan ratkaisua niin etta HY:nratkaisun vakio “ylennetaan” x:n funktioksi:

y = C(x)e−∫

p(x)dx

y′ = C ′e−∫

pdx − Cpe−∫

pdx

= C ′e−∫

pdx − py

Sijoitetaan tama TY:hyn:

C ′e−∫

pdx − py + py = q

⇒ C ′ = qe∫

pdx

⇒ C =

∫

qe∫

pdx dx

Siis TY:n yleinen ratkaisu saadaan muotoon

y(x) = e−∫

pdx

[

C +

∫

qe∫

pdx dx

]

(6.6)

Tassa C -termi on HY:n yleinen ratkaisu. Tata muotoa eikannata muistaa, menetelma kylla!Esim. Etsi yhtalon 1

xdydx − 2y

x2 = x cosx yleinen ratkaisuYhtalo on lineaarinen, joten kirjoitetaan se ensinstandardimuotoon kertomalla se tekijalla x:

dy

dx− 2

xy = x2 cosx.

Nyt homogeeninen yhtalo on siis y′ − 2xy = 0, joka

ratkeaa separoimalla:

dy

y=

2

xdx⇒ ln |y| = 2 ln |x|+A⇒ y = Cx2

Taydellinen yhtalo ratkeaa vakion varioinnilla:

y = Cx2 ⇒ y′ = C ′x2 + C2x

ja TY:

C ′x2 + C2x− 2

xCx2 = x2 cosx⇒ C ′ = cosx⇒ C = sinx

Siis TY:n yleinen ratkaisu on siis naiden kahden ratkaisunsumma:

y = (C + sinx)x2

Vakio C maaraytyy nyt alkuehdosta.Esim. Etsi yhtalon y′ − 2y = 2 yleinen ratkaisuYhtalo on lineaarinen:HY:

dy

dx− 2y = 0

⇒ dy

y= 2dx

⇒ ln |y| = 2x+A⇒ y = Ce2x

TY: Taydellisen yhtalon ratkaisu voidaan etsia vakionvarioinnilla, mutta tassa tapauksessa nahdaan helpostietta y = −1 toteuttaa TY:n. Siis yleinen ratkaisu on

y = Ce2x − 1 .

Esim. Putoava kappale:kappale jonka massa on m putoaailmassa maan vetovoiman vaikutuksesta. Hetkella t = 0kappale on levossa. Mika on kappaleen nopeus ajanfunktiona?Kappaleeseen vaikuttavat voimat:maan vetovoima: mgilmanvastus: −kv (pitaa paikkansa jos nopeus v on pieni).Newtonin liikelaki

F = ma ⇒ mdv

dt= mg − kv

Kyseessa on lineaarinen 1. kertaluvun differentiaaliyhtalo.HY on

mv′ = −kv ⇒ 1

vdv = − k

mdt

⇒ ln |v| = − k

mt+A⇒ v = Ce−kt/m

TY:n yksittaisratkaisu saadan vakion varioinnilla, taijalleen arvaamalla: selvasti v = mg/k toteuttaa TY:n,joten yleinen ratkaisu on

v(t) = Ce−kt/m +mg/k

Hetkella t = 0 nopeus v(0) = 0 ⇒ C = −mg/k, jotenalkuehdon toteuttava ratkaisu on

v(t) =mg

k(1− e−kt/m)

Kun t on pieni (t≪ m/k), kappaleen nopeus v ≈ gt,mutta kun t→ ∞, nopeus lahestyy raja-arvoa mg/k.

42

6.2 Lineaariset toisen kertaluvun yhtalotToisen kertaluvun differentiaaliyhtalot ovat tuntuvastihankalampia ratkaista kuin ensimmainen.Kasittelemmekin tassa vain tarkeinta erikoistapausta,toisen kertaluvun lineaarista ja vakiokertoimistadifferentiaaliyhtaloa.Toisen kertaluvun lineaarinen differentiaaliyhtalo onmuotoa

a2(x)d2y

dx2+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = b(x),

ts. se sisaltaa enintaan y:n toista derivaattaa (toinenkertaluku) ja sen termit ovat verrannollisia ainoastaan y1

tai y0 (lineaarinen differentiaaliyhtalo). (siina ei siisesiinny termeja y2, y′y, ey jne.)Jos kertoimet a0, a1 ja a2 ovat vakioita, sanotaan yhtalonolevan vakiokertoimisen.Lineaarisen toisen kertaluvun yhtalon standardimuoto on

d2y

dx2+ p(x)

dy

dx+ q(x)y = g(x), (6.7)

missa p(x) = a1(x)/a2(x), q(x) = a0(x)/a2(x) jag(x) = b(x)/a2(x) (olettaen, etta a2(x) 6= 0tarkasteltavalla valilla).Standardimuotoon (6.7) liittyva homogeeninen yhtalo on

d2y

dx2+ p(x)

dy

dx+ q(x)y = 0. (6.8)

Jos standardimuotoisessa yhtalossa (6.7) g(x) 6= 0,sanotaan yhtalon olevan ei-homogeeninen tai taydellinen.

2. kertaluvun lineaarisen dy:n ratkaisujen

ominaisuuksia

Toisen kertaluvun lineaarisen differentiaaliyhtalonratkaisu etenee samaan tapaan kuin ensimmaisenkertaluvun:

1. Etsitaan homogeenisen yhtalon yleinen ratkaisu,yHY(x).

2. Etsitaan taydellisen yhtalon joku ratkaisu y0(x). Nyttaydellisen yhtalon yleinen ratkaisu on muotoayTY(x) = yHY(x) + y0(x).

Tama ominaisuus seuraa samalla perusteella kuten 1. kl:nyhtalollakin.Voidaan osoittaa, etta homogeenisen yhtalon (HY) (6.8)yleinen ratkaisu (jossain joukossa x ∈ I) voidaankirjoittaa muodossa

yHY(x) = C1y1(x) + C2y2(x) (6.9)

missa C1, C2 ovat vakioita jotka voidaan kiinnittaaalkuehdoista ja y1(x) ja y2(x) ovat kaksi mielivaltaista

lineaarisesti riippumatonta HY:n ratkaisua. Tassatapauksessa lineaarinen riippumattomuus tarkoittaa etta

a1y1(x) + a2y2(x) = 0 vain jos a1 = a2 = 0

kaikilla x ∈ I.Helposti nahdaan etta jos y1 ja y2 ovat HY:n ratkaisujaniin yHY on myos ratkaisu.

Normaalisti ratkaisujen lineaarinen riippumattomuus on selvaa.Tarkemmin se voidaan laskea Wronskin determinantista:

W [y1, y2](x) =

∣

∣

∣

y1(x) y2(x)y′1(x) y′2(x)

∣

∣

∣

= y1(x)y′2(x)− y2(x)y′1(x)(6.10)

on = 0 jos ja vain jos y1 ja y2 ovat lineaarisesti riippuviaratkaisuja.

Kaytannossa lineaarista riippuvuutta ei useinkaan testatataWronskin determinantilla, ei ainakaan silloin kun on kyse tutuistafunktioista. On helppo nahda, etta esimerkiksi kaikki eripotenssifunktiot (xr, potenssit r erisuuria) ovat toisistaanlineaarisesti riippumattomia. Tasta seuraa se, etta kaikki erieksponenttifunktiotkin (erx, eri kertoimet r) ovat toisistaanriippumattomia sen lisaksi, etta ne ovat riippumattomia myospotenssifunktioista. Samoin sini- ja kosinifunktiot ovat toisistaanrippumattomia. Sen sijaan esim. kosinifunktio riippuu lineaarisesti(kompleksisista) eksponenttifunktioista (Eulerin kaava:cosx = 1

2(eix + e−ix)). Tasta voidaan toisaalta paatella, etta

funktiot cos rx (kertoimet r itseisarvoltaan erisuuria) ovatriippumattomia seka toisistaan etta funktioista sin rx.

Esim. Funktiot y1(x) = e2x cos 3x ja y2(x) = e2x sin 3xratkaisevat homogeenisen yhtalon y′′ − 4y′ + 13y = 0. Etsiratkaisu, joka toteuttaa alkuehdot y(0) = 2 ja y′(0) = −5y1 ja y2 ovat lineaarisesti riippumattomia. Yleinenratkaisu on siis

y(x) = c1e2x cos 3x+ c2e

2x sin 3x

Taman derivaatta on

y′(x) = c1(2e2x cos 3x− 3e2x sin 3x)

+c2(2e2x sin 3x+ 3e2x cos 3x).

Asetetaan y(0) = 2 ja y′(0) = −5, jolloin saadaan yhtalot

c1 = 2

2c1 + 3c2 = −5.

Ratkaisut ovat c1 = 2 ja c2 = −3. Alkuehdot toteuttavadifferentiaaliyhtalon ratkaisu on siten

y(x) = 2e2x cos 3x− 3e2x sin 3x.

6.2.1 Vakiokertoimiset toisen kertaluvun

homogeeniset lineaariset yhtalot

MAPUlla rajoitumme ratkaisemaan vakiokertoimisia 2.kertaluvun differentiaaliyhtaloita. Nama ratkaistaanratkaisemalla ensin homogeeninen yhtalo (HY), mika onmuotoa

ay′′ + by′ + cy = 0, (6.11)

43

missa a, b ja c ovat vakiota ja a 6= 0. Yhtalon mukaan siisvakioilla kerrotun funktion ja sen derivaattojen summanpitaisi olla identtisesti nolla. Ratkaisua kannattaisivarmaankin etsia sellaisten funktioiden joukosta, joidenderivaatat ovat keskenaan ja itse funktion kanssa samaamuotoa, mahdollisesti vakiotekijoilla kerrottuna. Ratkaisusaattaisi siten loytya funktioiden erx joukosta (r vakio).Sijoitetaan tama yrite yhtaloon (6.11), jolloin saadaan

ar2erx + brerx + cerx = 0.

Koska eksponenttifunktio erx on aina nollasta poikkeava,voimme jakaa yhtalon silla ja paadytaan ns.karakteristiseen yhtaloon

ar2 + br + c = 0. (6.12)

Toisen asteen yhtalona karakteristinen yhtalo on helpporatkaista:

r1 =−b+

√b2 − 4ac

2a

r2 =−b−

√b2 − 4ac

2a.

Funktiot y1 = er1x ja y2er2x ratkaisevat siten

differentiaaliyhtalon (6.11).

Tapaus 1: b2 > 4ac:

Tassa tapauksessa karakteristisen yhtalon ratkaisut r1 jar2 ovat reaalisia, ja r1 6= r2. Talloin e

r1x ja er2x ovatlineaarisesti riippumattomia. (Nahdaan myos Wronskindeterminantista). Yleinen ratkaisu y on naidensuperpositio

y(x) = c1er1x + c2e

r2x.

Esim. Yhtalon y′′ + 5y′ − 6y = 0 yleinen ratkaisuKarakteristinen yhtalo on nyt

r2 + 5r − 6 = 0

ja sen ratkaisut

r1,2 =−5±

√25 + 24

2=

1−6.

Yleinen ratkaisu on siten

y(x) = c1ex + c2e

−6x.

Esim. Alkuarvotehtava y′′ + 2y′ − y = 0, kun y(0) = 0 jay′(0) = −1Karakteristisen yhtalon r2 + 2r − 1 = 0 ratkaisut ovatr1 = −1 +

√2 ja r2 = −1−

√2. Yleinen ratkaisu on niin

olleny(x) = c1e

(−1+√2)x + c2e

(−1−√2)x.

Alkuehdot johtavat yhtaloihin

0 = y(0) = c1e0 + c2e

0 = c1 + c2

−1 = y′(0) = (−1 +√2)c1e

0 + (−1−√2)c2e

0

= (−1 +√2)c1 + (−1−

√2)c2,

joiden ratkaisuina ovat c1 = −√2/4 ja c2 =

√2/4.

Alkuarvoprobleeman siis toteuttaa funktio

y(x) = −√2

4e(−1+

√2)x +

√2

4e(−1−

√2)x.

Tapaus 2: b2 < 4ac

Nyt karakteristisen yhtalon

ar2 + br + c = 0

juuret ovat kompleksiset:

r1,2 =1

2a(−b± i

√

|b2 − 4ac|) ≡ α± iβ

missa α = −b/(2a) ja β =√4ac− b2/(2a) ovat reaalisia.

Juuret ovat siis toistensa liittolukuja, r1 = r∗2 . Nyt siisdifferentiaaliyhtalon yleinen ratkaisu saadaan edelleeneksponenttifunktioiden summasta

y = C1er1x + C2e

r2x

= eαx(C1eiβx + C2e

−iβx)

= eαx(A cosβx+B sinβx)

missa nyt A = C1 + C2 ja B = iC1 − iC2. Ylla viimeisinmuoto antaa reaalisen ratkaisun (y(x) ∈ R), jos A,B ∈ R.Esim. Yhtalon y′′ + 2y′ + 4y = 0 yleinen ratkaisuKarakteristisen yhtalon r2 + 2r + 4 = 0 ratkaisut ovat

r =−2±

√4− 16

2= −1± i

√3.

Silloin funktiot

y1(x) = e−x cos√3x ja y2(x) = e−x sin

√3x

ovat yhtalon lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja.Yleinen ratkaisu on siten

y(x) = c1e−x cos

√3x+ c2e

−x sin√3x.

Esim. Vaimennettu harmoninen varahtelijaOlkoon meilla kappale (massa m) joka liikkuu x -akseliapitkin ja joka on kiinnitetty jousella kiintopisteeseen.Olkoon kappaleen paikka x(t). Jousi aiheuttaakappaleeseen harmonisen voiman Fjousi = −kx (k > 0),missa x = 0 on piste missa kappale on levossa. Lisaksikappaleeseen vaikuttaa nopeuteen verrannollinenkitkavoima γv = −γx′(t).

44

Newtonin lain mukaan F = ma = mx′′ ⇒

−kx− γx′ = mx′′

Tama on 2. kertaluvun lineaarinen homogeeninenvakiokertoiminen differentiaaliyhtalo. Karakteristinenyhtalo on

−k − γr = mr2 ⇒ r =1

2m(−γ ±

√

γ2 − 4mk)

Jos γ2 < 4km (pieni vaimennus), ratkaisu on

x(t) = e−γt/(2m)(A cosωt+B sinωt)

missa ω =√

4mk − γ2/(2m). Kappale siis varahteleevaimenevasti taajuudella ω. Jos γ = 0, varahtely eivaimene.Jos taas γ2 > 4km (voimakas vaimennus), ratkaisu on

x(t) = Aer1t +Ber2t

missa

r1,2 =1

2m(−γ ±

√

γ2 − 4mk) < 0

ovat reaalisia.

Tapaus 3: b2 = 4ac

Karakteristisen yhtalon

ar2 + br + c = 0

juuret ovat yhtasuuret, jos b2 − 4ac = 0. Ainoa juuri ontalloin reaalinen ja suuruudeltaan

r0 = − b

2a

ja er0x on siten ainoa muotoa erx oleva ratkaisu.Tiedamme toisaalta, etta toisen kertaluvun yhtalolla onaina kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua.Etsitaan toinen ratkaisu vakion varioinnilla: yrite

y(x) = v(x)er0x

vie differentiaaliyhtalomme

ay′′ + by′ + cy = 0.

Sijoitamme tahan yritteemme ja derivaatat

y′ = v′er0x + r0ver0x

y′′ = v′′er0x + 2r0v′er0x + r20ve

r0x.

Hieman ryhmittaen saadaan

(

av′′ + (2ar0 + b)v′ + (ar20 + br0 + c)v)

er0x = 0.

Funktion v taytyy siis toteuttaa yhtalo

av′′ + (2ar0 + b)v′ + (ar20 + br0 + c)v = 0.

Sijoitetaan tahan r0 = −b/2a ja nahdaan etta

2ar0 + b = −2ab

2a+ b = 0

ja

ar20 + br0 + c = ab2

4a2− b

b

2a+ c = − b2

4a+ c

= −b2 − 4ac

4a= 0,

koska diskriminantti oli b2 − 4ac = 0. Paadymme sitenyhtaloon

av′′ = 0

ratkaisu on v(x) = C1x+ C2. Tasta nahdaan ettay(x) = xer0x on niin ollen eras alkuperaisen yhtalommeratkaisu, ja on helppo nahda, etta tama on lineaarisestiriippumaton ratkaisusta er0x.Olemme saaneet aikaan reseptin:Jos yhtaloon

ay′′ + by′ + cy = 0

liittyvan karakteristisen yhtalon

ar2 + br + c = 0

molemmat juuret ovat yhtasuuret, r0, niin yleinenratkaisu on

y(x) = C1er0x + C2xe

r0x.

Esim. Yhtalon y′′ + 4y′ + 4y = 0 yleinen ratkaisuKarakteristinen yhtalo on

r2 + 4r + 4 = (r + 2)2 = 0,

jonka molemmat juuret ovat −2. Yleinen ratkaisu onsilloin

y(x) = c1e−2x + c2xe

−2x.

Vakion variointi soveltuu yleisemminkin tilanteisiin, missatunnetaan jokin erikoisratkaisu ja pitaisi etsia toinen tastalineaarisesti riippumaton ratkaisu.

Olkoon g jokin yhtalon

y′′ + py′ + qy = 0

ratkaisu. Sijoittamalla tahan y(x) = g(x)v(x) paadytaan yhtaloon

gv′′ + 2g′v′ + g′′v + pg′v + pgv′ + qgv = 0.

Uudelleen ryhmittaen voidaan kirjoittaa

gv′′ + (2g′ + pg)v′ + (g′′ + pg′ + qg)v = 0.

Koska g toteutti alkuperaisen yhtalon, g′′ + pg′ + qg = 0, saamme

gv′′ + (2g′ + pg)v′ = 0.

Tama on funktiolle v′ = u ensimmaisen kertaluvun yhtalo

g(x)du

dx+ [2g′(x) + p(x)g(x)]u = 0.

45

Tama separoitavissa yhtaloksi∫

du

u= −

∫

2g′(x) + p(x)g(x)

g(x)dx,

jolloin saadaan

ln |u| = ln1

[g(x)]2−

∫

p(x) dx.

Eksponenttiointi antaa

v′(x) = u(x) =1

[g(x)]2e−

∫

p(x) dx,

josta viela kerran integroimalla saadaan v.

6.2.2 Epahomogeeninen vakiokertoiminen

lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtalo

Nyt differentiaaliyhtalo (taydellinen yhtalo, TY) onmuotoa

ay′′ + by′ + cy = f(x) (6.13)

Helposti nahdaan etta jos y1 on TY:n joku ratkaisu ja y0on homogeenisen yhtalon (HY, f(x) = 0) joku ratkaisuniin y = y0 + y1 on myos TY:n ratkaisu. Koska 2.kertaluvun lineaarisen yhtalon taydellinen ratkaisuriippuu kahdesta vakiosta, saadaanTY:n taydellinen ratkaisu = HY:n taydellinen ratkaisu +TY:n joku yksittaisratkaisu.Kuinka siis loytaa TY:n yksittaisratkaisu?1. Arvaus/yrite:toimii hyvin etenkin jos f(x) on polynomi. Talloinkannattaa yrittaa y(x) polynomi, jonka asteluku = f :nasteluku.Esim. y′′ + ay′ + by = c: yritetaan y = α, vakio. Siisby = bα = c⇒ α = c/b.Arvaus toimii myos usein jos f(x) = eαx, silla f :n kaikkiderivaatat ovat verrannollisia eαx:aan:

y′′ + ay′ + by = eαx

Yrite: y = Aeαx, sijoitus yhtaloon antaa

A(α2 + aα+ b)eαx = eαx ⇒ A = (α2 + aα+ b)−1

Tama toimii jollei eαx satu olemaan HY:n ratkaisu(jolloin α2 + aα+ b = 0). Talloin kannattaa kokeillayritetta Axeαx, ellei sekin satu olemaan HY:n ratkaisu(talloin α on HY:n karakterisen polynominkaksinkertainen juuri). Siina tapauksessa yrite on Ax2eαx.2. Integrointi kahdessa vaiheessa:Tama on yleisempi menetelma taydellisen yhtalonratkaisuun. Tassa menetelmassa yhtaloa ryhmitellaanmuotoon jossa sita voidaan integroidan suoraan, jahomogeenista yhtaloa ei tarvitse ratkaista erikseen.Kirjoitetaan yhtalo ensin muotoon (jaetaan y′′:nkertoimella, jos tarpeen)

y′′ + ay′ + by = (D2 + aD + b)y = f(x)

missa D ≡ ddx , D

2 ≡ d2

dx2 on merkintatapa.HY:n karakteristinen yhtalo on r2 + ar + b = 0, jonkaratkaisut ovat r1, r2. Naiden juurien avulla voimmekirjoittaa karakteristisen polynomin muotoon

r2 + ar + b = (r − r1)(r − r2)

Taten differentiaaliyhtalokin voidaan kirjoittaa

(D2 + aD + b)y(x) = (D − λ1)(D − λ2)y(x) = f(x)

Maaritellaan nyt u ≡ (D − λ2)y, jolloin saamme dy:n:

(D − λ1)u = f(x)

Tama on lineaarinen 1. kl:n vakiokertoiminen dy, mikaratkeaa edella kuvatulla menetelmalla. Nyt voimme sittenratkaista y:n yhtalosta

(D − λ2)y = u(x)

mika siis antaa alkuperaisen TY:n ratkaisun.Esim. y′′ + y′ − 2y = exHY:n karakteristinen yhtalo on

r2 + r − 2 = 0 ⇒ r =1

2(−1±

√1 + 8) = −1

2± 3

2= 1,−2

Taten voimme kirjoittaa

y′′ + y′ − 2y = (D − 1)(D + 2)y = ex

1.vaihe: olkoon nyt u(x) = (D + 2)y, jolloin u:ndifferentiaaliyhtalo on

(D − 1)u(x) = u′(x)− u(x) = ex

taman HY:

u′ − u = 0 ⇒∫

du

u=

∫

dx⇒ u(x) = Cex

TY:n ratkaisu saadaan vakion varioinnilla:u(x) = C(x)ex ⇒ u′(x) = C ′ex + Cex, joten sijoitus

(C ′ + C)ex − Cex = ex ⇒ C ′ = 1 ⇒ C = x+A

Siis TY:n taydellinen ratkaisu on

u(x) = Cex + xex

2.vaihe: ratkaistaan y yhtalosta

(D + 2)y = y′ + 2y = u(x) = (C + x)ex

HY: y′ = −2y ⇒ y = Be−2x

TY: jalleen vakion varioinnilla B → B(x):y′ = B′e−2x − 2Bex.

46

Sijoitus differentiaaliyhtaloon antaa

(B′ − 2B)e−2x + 2Be−2x = (C + x)ex

⇒ B′ = (C + x)e3x

⇒ B =

∫

(C + x)e3xdx =C

3e3x +

x

3e3x −

∫

1

3e3x

= (C

3− 1

9)e3x +

x

3e3x +D

= Ee3x +x

3e3x +D

missa viimeisessa vaiheessa otettiin kayttoon uusi vakioE = C/3− 1/9.Siis TY:n ratkaisu on

y = (Ee3x +x

3e3x +D)e−2x = De−2x + (E +

x

3)ex

mika onkin myos TY:n yleinen ratkaisu. Vakion variointiantaakin yleisesti koko ratkaisun kaupan paalleyksittaisratkaisun lisaksi, vakioista riippuvat osat ovatHY:n yleinen ratkaisu.Edellisen esimerkin yhtaloon

y′′ + y′ − 2y = ex

voi myos soveltaa arvausmenetelmaa. HY:nkarakteristinen yhtalo on r2 + r − 2 = 0, minka juuretovat r = 1,−2. Koska nyt siis ex on HY:n ratkaisu, TY:nyksittaisratkaisu voidaan loytaa yritteellay = Axex:y′ = A(ex + xex), y′′ = A(2ex + xex)Nyt dy tulee muotoon

A(2 + x)ex +A(1 + x)ex − 2Axex = ex ⇒ 3A = 1

Siis TY:n yksittaisratkaisu on y = x3 e

x, ja TY:ntaydellinen ratkaisu on HY:n taydellisen ratkaisun jaTY:n yksittaisratkaisun summa:

y = Aex +Be−2x +x

3ex

Eksponenttifunktioyritteesta on usein myos hyotya josf(x) ∼ sinx, cosx (esim. varahteleva pakkovoimaharmonisella oskillaattorilla).Esim: y′′ + y′ − 2y = 4 sin 2xTaman voi toki ratkaista integroinnilla kahdessavaiheessa, mutta kirjoitammekin yhtalon muotoonz′′ + z′ − 2z = 4ei2x.Talloin ottamalla imaginaariosa yhtalosta saadaanalkuperainen yhtalo, ja y = Im z.HY:n karakteristinen yhtalo on

r2 + r − 2 = 0 ⇒ r =1

2(−1±

√1 + 8) = 1,−2

joten HY:n ratkaisu on

zHY = C1ex + C2e

−2x

Nyt ei2x ei ole HY:n ratkaisu, joten TY:nyksittaisratkaisu loytyy yrittella z = Aei2x:

A[(2i)2 + 2i− 2]ei2x = 4ei2x

⇒ A =4

−6 + 2i=

2(−3− i)

(−3 + i)(−3− i)=

−3− i

5

Siis TY:n yleinen ratkaisu on

z = C1ex + C2e

−2x +−3− i

5ei2x

ja

y = Im z = A1ex +A2e

−2x − 1

5cos 2x− 3

5sin 2x

missa A1 = ImC1, A2 = ImC2.

47

7. Vektorit ja differentiaalilaskenta

7.1 Yhden muuttujan vektorifunktiotLiikkuvan kappaleen paikka avaruudessa muuttuu ajankuluessa. Matemaattisesti voimme ilmaista tamansanomalla, etta kappaleen paikkaa kuvaava radiusvektorir on ajan t funktio r(t), ts. vektorin

r(t) = x(t)i+ y(t)j+ z(t)k

komponentit x, y ja z riippuvat yhdesta muuttujasta t.Samoin yhden muuttujan, ajan, vektorifunktioita ovatmyos kyseisen kappaleen nopeus ja kiihtyvyys. Useinpuhutaan lyhyesti vain vektorifunktioista kuntarkoitetaan yhden muuttujan vektoriarvoisia funktioita.

7.1.1 Vektorifunktion derivaatta

Olkoon A(u) jokin yhden muuttujan u vektorifunktio

A(u) = Ax(u)i+Ay(u)j+Az(u)k.

A ( u )

A ( u + D u )

A ( u + D u ) - A ( u )

Kuva 7.1 Vektorin derivaatta

Vektorifunktion derivaatta maaritellaan analogisestiskalaarifunktion derivaatan kanssa eli

dA(u)

du= lim

∆u→0

A(u+∆u)−A(u)

∆u. (7.1)

Kirjoitetaan maaritelma (7.1) komponenteittain,

dA(u)

du= lim

∆u→0

[

Ax(u+∆u)−Ax(u)

∆ui

+Ay(u+∆u)−Ay(u)

∆uj

+Az(u+∆u)−Az(u)

∆uk

]

=dAx(u)

dui+

dAy(u)

duj+

dAz(u)

duk,

jolloin nahdaan, etta vektorifunktio derivoidaanderivoimalla sen komponentit.

Esim. Nopeus v, v, kiihtyvyys a ja a kun paikka onr = sin t i+ cos t j+ k

Nopeus on nyt

v =dr

dt=.r =

dx(t)

dti+

dy(t)

dtj+

dz(t)

dtk

= cos t i− sin t j.

Vauhti puolestaan on

v = |v| =√

cos2 t+ sin2 t = 1.

Kiihtyvyys saadaan derivoimalla nopeus,

a =dv

dt=.v =

..r = − sin t i− cos tj,

ja sen itseisarvo on

a = |a| =√

sin2 t+ cos2 t = 1.

Derivaatan ominaisuuksia

Olkoot A(u) ja B(u) muuttujan u vektorifunktioita.Lasketaan pistetulon A ·B derivaatta:

dA ·Bdu

=d

du(AxBx +AyBy +AzBz)

=dAx

duBx +Ax

dBx

du

+dAy

duBy +Ay

dBy

du

+dAz

duBz +Az

dBz

du

=

(

dAx

dui+

dAy

duj+

dAz

duk

)

·

(Bxi+Byj+Bzk)

+(Axi+Ayj+Azk) ·(

dBx

dui+

dBy

duj+

dBz

duk

)

=dA

du·B+A · dB

du.

Naemme, etta pistetulon derivointiin soveltuuskalaarifunktioista tuttu derivointisaanto (2.17) kunhanvain korvataan tavallinen tulo pistetulolla.Yleensakin on helppo todeta, etta luonnollisella tavallamodifioidut tutut saannot ovat voimassa myos vektoreille:

d

du(αA+ βB) = α

dA

du+ β

dB

dud(φA)

du=

dφ

duA+ φ

dA

dud(A ·B)

du=

dA

du·B+A · dB

dud(A×B)

du=

dA

du×B+A× dB

du.

(7.2)

48

Tassa α ja β ovat mielivaltaisia skalaarivakioita ja φ(u)mielivaltainen derivoituva muuttujan u skalaarifunktio.Analogisesti skalaarifunktion differentiaalin kanssamaarittelemme vektorifunktion differentiaalin:

dA = i dAx + j dAy + k dAz.

Koska vektorin komponentit Ai ovat nyt vain yhdenmuuttujan u funktioita, ovat niiden differentiaalit muotoadAi

du du ja vektorin A(u) differentiaali niin ollen

dA = du

(

dAx

dui+

dAy

duj+

dAz

duk

)

=dA

dudu. (7.3)

7.1.2 Avaruuskayrat

Tangentti

Olkoonr(u) = x(u)i+ y(u)j+ z(u)k

muuttujasta u riippuva paikkavektori. Muuttujan ukaydessa lapi arvoalueensa vektorin r karki piirtaakayran kolmiulotteisessa avaruudessamme. Derivaatta dr

duon konstruktionsa perusteella (kuva 7.1) ilmeisestikintaman kayran pisteeseen r(u) piirretyn tangentinsuuntainen. Kayran tangentin suuntainen yksikkovektoriT on niin ollen

T =dr

du/|drdu

|. (7.4)

r ( u )

Td r

Kuva 7.2 Kayran tangentti

Esim. Kayran x = t2 + 1, y = 4t− 3, z = 2t2 − 6tyksikkotangentti kun t = 2Kayran piirtaa vektorin

r = xi+ yj+ zk

= (t2 + 1)i+ (4t− 3)j+ (2t2 − 6t)k

karki kun t kay lapi kaikki arvonsa (kun muuta ei olesanottu, arvoalueena on yleensa koko reaalilukualue).Paikkavektorin derivaatta

dr

dt= i

d

dt(t2 + 1) + j

d

dt(4t− 3) + k

d

dt(2t2 − 6t)

= 2ti+ 4j+ (4t− 6)k

on kayran tangentin suuntainen. Taman vektorin pituuson

∣

∣

∣

∣

dr

dt

∣

∣

∣

∣

=√

(2t)2 + 16 + (4t− 6)2,

joten yksikkotangentti on

T =dr

dt

/∣

∣

∣

∣

dr

dt

∣

∣

∣

∣

=2ti+ 4j+ (4t− 6)k

√

(2t)2 + 16 + (4t− 6)2.

Erikoisesti pisteessa, missa t = 2, yksikkotangentti on

T =4i+ 4j+ 2k√42 + 42 + 22

=2

3i+

2

3j+

1

3k.

Koska derivaatta drdu on yksikkotangentin suuntainen, niin

toki silloin myos differentiaali

dr = dudr

du

on yksikkotangentin suuntainen. Voimme siis kirjoittaa

dr = T ds

missa olemme symbolilla ds merkinneet differentiaalin drpituutta

ds = |dr| =√

dx2 + dy2 + dz2.

Voimme siis kirjoittaa yksikkotangentin myos muodossa

T =dr

ds. (7.5)

Kaaren pituus

Differentiaali ds oli infinitesimaalisen muutoksen drsuuruus. Koska muutos dr oli kayran tangentinsuuntainen, on ds siten kayran kaaren pituuden sinfinitesimaalinen muutos.

s 0 s s + d s

Cd r

Kuva 7.3 Kayran kaaren pituus

Kayran C kaaren pituus s saadaan summaamalla pitkinkayraa laskettuja differentiaalisia kaaren pituuksia.Formaalisti voimme ilmaista taman, kuten

s =

∫

C

ds. (7.6)

49

Kayran ulottuessa aarettomyyteen on yleensa on myosspesifioitava integroinnin alkukohta eli kaaren pituudennollakohta. Kuvassamme tama voisi olla vaikkapa piste s0.Laskettaessa kaaren pituutta kaavalla (7.6) integroinninsuunnaksi otetaan differentiaalin dr suunta eli tangentinsuunta. Pituus s siis kasvaa kun edetaan kayrallatangentin osoittamaan suuntaan. Jos nyt kayran yhtaloon annettu muodossa

r = r(u),

niin tangentti osoittaa vektorin

dr =dr

dudu = r(u+ du)− r(u)

suuntaan eli suuntaan johon u kasvaa. Pituus s on sitenmuuttujan u kasvava funtio ja derivaatta ds

du silloinpositiivinen. Differentiaali ds oli maaritelty itseisarvona|dr|, joten on

ds = |dr| =∣

∣

∣

∣

dr

du

∣

∣

∣

∣

du,

kun du > 0. Toisaalta derivaatta dsdu oli positiivinen, joten

voimme kirjoittaa∣

∣

∣

∣

dr

du

∣

∣

∣

∣

=ds

du. (7.7)

Jos ratkaisemme relaatiosta s = s(u) muuttujan upituuden s funktiona, u = u(s), niin voimme pitaa kayraapiirtavaa vektoriakin kaaren pituuden funktiona: r = r(s).Esim. Kayran x = sin t, y = cos t, z = 0 kaaren pituuslahtien pisteesta, missa t = 0Kayran piirtaa vektori

r = i sin t+ j cos t+ 0k = i sin t+ j cos t.

Differentiaali dr on

dr =dr

dtdt = (i cos t− j sin t) dt

ja differentiaali ds siten

ds = |dr| =√

cos2 t+ sin2 t dt =√1 dt = dt,

kun etenemme muuttujan t kasvavaan suuntaan (dt > 0).Kaaren pituus on siis

s(t) =

∫

C

ds =

∫ t

0

dt = t.

Kaarevuussade

Avaruuskayran r = r(s), s kaaren pituus,yksikkotangentti on kaavan (7.5) mukaisesti

T =dr

ds.

Vektori T on sekin kaaren pituuden s funktio, jotenvoimme laskea derivaatan

dT

ds=

d2r

ds2.

Olkoon nyt N vektorin dTds suuntainen yksikkovektori

N =1

κ

dT

ds,

missa on merkitty

κ =

∣

∣

∣

∣

dT

ds

∣

∣

∣

∣

. (7.8)

Voimme siis kirjoittaa

dT

ds= κN. (7.9)

Suuretta κ sanotaan kayran kaarevuudeksi ja senkaanteisarvoa

ρ =1

κ=

1∣

∣

∣

dTds

∣

∣

∣

(7.10)

kayran kaarevuussateeksi. Yksikkotangentti T on nimensamukaisesti yksikon mittainen, joten on

T2 = T · T = |T|2 = 1.

Derivoidaan relaatio T · T = 1 kaaren pituuden suhteen,jolloin saadaan

d

ds(T · T) =

dT

ds· T+ T · dT

ds= 2T · dT

ds= 2κT ·N = 0,

kun on sijoitettu lauseke (7.9). Paadymme yhtaloon

T ·N = 0, (7.11)

eli vektori N on kohtisuorassa tangenttia T vastaan jasiten myos kohtisuorassa ko. avaruuskayraa vastaan.Taman vuoksi vektoria N sanotaan kayranpaanormaaliksi.Esim. Kayran x = 3 cos t, y = 3 sin t, z = 4tyksikkotangentti, paanormaali, kaarevuus jakaarevuussadeKayran

r = i3 cos t+ j3 sin t+ k4t

eras tangentti on

dr

dt= −i3 sin t+ j3 cos t+ k4.

Normitetaan tama, ts. muodostetaan yksikon mittainensaman suuntainen vektori jakamalla vektori pituudellaan.

50

Tangentin pituus on

∣

∣

∣

∣

dr

dt

∣

∣

∣

∣

=√

(−3 sin t)2 + (3 cos t)2 + 42

=

√

9(sin2 t+ cos2 t) + 16

=√9 + 16 = 5.

Yksikkotangentti on siten

T =−i3 sin t+ j3 cos t+ k4

∣

∣

drdt

∣

∣

= −i3

5sin t+ j

3

5cos t+ k

4

5.

Yksikkotangentiksi saatiin siis

T = −i3

5sin t+ j

3

5cos t+ k

4

5.

Derivoidaan tama muuttujan t suhteen:

dT

dt= −i

3

5cos t− j

3

5sin t.

Toisaalta, koska kaaren pituus s on jokin muuttujan tfunktio, voimme ketjusaannon perusteella kirjoittaa

dT

dt=

dT

ds

ds

dt,

jotendT

ds=

dT

dt

/

ds

dt

Aikaisemmin (kaava (7.7)) totesimme, etta kaarenpituuden derivaatta kayraa parametrisoivan muuttujansuhteen noudattaa kaavaa

ds

dt=

∣

∣

∣

∣

dr

dt

∣

∣

∣

∣

elidT

ds=

dT

dt

/∣

∣

∣

∣

dr

dt

∣

∣

∣

∣

Maaritelman (7.9) mukaan on siis

κN =dT

ds=

dT

dt

/∣

∣

∣

∣

dr

dt

∣

∣

∣

∣

=−i 35 cos t− j 3

5 sin t

5

= −i3

25cos t− j

3

25sin t.

Koska N on yksikon mittainen, on voimassa

∣

∣

∣

∣

dT

ds

∣

∣

∣

∣

= |κ||N| = κ, κ ≥ 0.

Kaarevuus on silloin

κ =

√

(

3

25

)2

(sin2 t+ cos2 t) =3

25

ja kaarevuussade

ρ =1

κ=

25

3.

Esim. YmpyraliikeAjan t funktiona massapisteen paikkavektori olkoonr = r(t). Nopeus on talloin

v =dr

dt=.r.

Kun piste kulkee pitkin origokeskeisen R sateisenympyran kehaa, on vektorin r pituus vakio R: |r| = R tai

r · r = R2.

Taman derivointi antaa

2.r · r = 2v · r = 0.

Nopeus on kohtisuorassa radiusvektoria r vastaan (elikohtisuorassa ympyran sadetta vastaan, ympyrantangentin suuntainen).Tarkastellaan erikoisesti sellaista xy-tason liiketta, missa

r = iR cosωt+ jR sinωt

kun ω on vakio. Nyt

|r| =√

R2(cos2 ωt+ sin2 ωt) = R,

joten kyseessa on ympyraliike.Nopeus on

v =.r = −iRω sinωt+ jRω cosωt.

Kuten todettiin, tama on kohtisuorassa paikkavektoria r

vastaan. Vauhti on nyt

|v| =√

(ωR)2(cos2 ωt+ sin2 ωt) = ωR,

joten liikkeen vauhtikin on vakio. Kiihtyvyys taas on

a =.v = −iRω2 cosωt− jRω2 sinωt.

Vauhdin vakioisuudesta (v · v = ω2R2 = vakio) seuraaetta kiihtyvyys on kohtisuorassa nopeutta vastaan (jasiten joko radiusvektorin suuntainen tai sillevastakkaissuuntainen). Itseasiassa naemme, etta

a = −ω2r.

Kiihtyvyyden suuruus on sekin vakio, silla

|a| = | − ω2r| = ω2R.

51

7.2 Gradientti, divergenssi, roottori

Osittaisderivaatta ja kentat

Olkoon f koordinaattipisteen r = (x, y, z) funktio,f(r) = f(x, y, z). funktion osittaisderivaattaa esim.muuttujan x suhteen merkitaan

∂f(r)

∂x=∂f(x, y, z)

∂x= ∂xf(r)

ja se lasketaan derivoimalla x:n suhteen pitamalla muutmuuttujat vakiona.Esim. Olkoon f(x, y, z) = xyz + x2y. Nyt

∂f

∂x= yz + 2xy,

∂f

∂y= xz + x2,

∂f

∂z= xy

Avaruudessa (x, y, z) ∈ R3 tai sen osajoukossamaariteltya funktiota kutsutaan usein kentaksi.Jos f on reaaliluku, f(r) ∈ R, kyseessa on skalaarifunktioeli skalaarikentta, jos taas funktio on vektori,~v(r) = ivx(r) + jvy(r) + kvz(r) ∈ R3, kyseessa onvektorifunktio eli vektorikentta.Esim. skalaarikenttia (-funktioita) ovat ilman paikallinenlampotila T (r), paine p(r), sahkovarauksen tiheys ρ(r).Vektorikenttia ovat esim. kaasun (nesteen) virtausnopeusv(r), sahkokentta E(r), sahkovirran tiheys J(r). . .

Nabla

Maaritellaan “derivaattavektori” nabla:

∇ ≡ i∂

∂x+ j

∂

∂y+ k

∂

∂z=∑

i

ei∂

∂xi(7.12)

Nabla ∇ on siis yhta aikaa derivaatta ja vektori. Sillavoidaan operoida skalaari- tai vektorifunktioihin:∇f(r) gradientti (vektori)∇ · v(r) divergenssi (skalaari)∇× v(r) roottori (vektori)

7.2.1 Gradientti

Olkoon φ(r) skalaarifunktio. Funktion gradientti onvektorifunktio

∇φ =∂φ

∂xi+

∂φ

∂yj+

∂φ

∂zk =

∑

i

ei∂φ

∂ri(7.13)

Graafisesti: gradientti ∇f(r) on vektori, joka onkohtisuorassa pintaa f(r) = vakio vastaan, ja |∇f | kertookuinka nopeasti funktio muuttuu ko. suuntaan.Viela havainnollisemmin: kartta ja korkeuskayrat(kahdessa ulottuvuudessa): olkoon φ(x, y) maastonkorkeus koordinaattipisteessa (x, y). Nyt yhtaloφ(x, y) = vakio maarittelee korkeuskayran, jossa korkeuson vakio, ja ∇φ osoittaa suuntaan mihin φ kasvaa

jyrkimmin. |∇φ|:n pituus on korkeuden kulmakerroin∇φ:n suuntaan.

vakioφ=

vakioφ=

tangenttitaso

φ∆

Kuva 7.4 Gradientti ∇φ

Todistus: tehdaan pieni muutos r → r+∆r. Nyt

f(r+∆r) = f(x+∆x, y +∆y, z +∆z)

= f(r) +∂f

∂x∆x+

∂f

∂y∆y +

∂f

∂z∆z +O(∆2)

= f(r) + (∇f) · (∆r)

Pistetulosta nakee, etta funktion muutos∆f = f(r+∆r)− f(r)on suurin, kun ∆r ‖ ∇fon = 0, kun ∆r ⊥ ∇f

Siis:– pinnan f = vakio yksikkonormaali on ∇f/|∇f |– pinnan f = vakio tangenttitaso on vektoria ∇fkohtisuoraan– funktion f kasvunopeus suuntaan n on n · ∇f (nyksikkovektori)Naista viimeisimman nakee valitsemalla ylla ∆r ‖ n.Esim. Funktion φ(x, y, z) = 3x2y − y3z2 gradientti ∇φpisteessa (1,−2,−1)Gradientti mielivaltaisessa pisteessa (x, y, z) on

∇φ =

(

i∂

∂x+ j

∂

∂y+ k

∂

∂z

)

(3x2y − y3z2)

= i∂

∂x(3x2y − y3z2) + j

∂

∂y(3x2y − y3z2)

+k∂

∂z(3x2y − y3z2)

= 6xyi+ (3x2 − 3y2z2)j− 2y3zk,

joten pisteessa (1,−2,−1) se on

∇φ = 6(1)(−2)i+ (3(1)2 − 3(−2)2(−1)2)j

−2(−2)3(−1)k

= −12i− 9j− 16k.

Suunnattu derivaatta

Edellisesta esimerkista yleistaen voimme todeta, ettaskalaarikentan φ muutos pituusyksikkoa kohti suunnassa

52

n, |n| = 1, on ∇φ · n. Sanomme, etta suure

n · ∇φ = (∇φ) · n, |n| = 1 (7.14)

on funktion φ suunnattu derivaatta (suuntaan n). Kutenolemme nahneet, suunnattu derivaatta on suurimmillaangradientin suunnassa.Huom: voimme kirjoittaa derivaattaoperaattorinsuuntaan n

n · ∇ =∑

i

ni∂

∂ri

Jos esim. n ‖ i, saamme tavallisen osittaisderivaatan x:nsuuntaan.Esim. Funktion φ = x2yz + 4xz2 derivaatta pisteessa(1,−2,−1) suuntaan 2i− j− 2kGradientti pisteessa (1,−2,−1) on

∇φ = (2xyz + 4z2)i+ x2zj+ (x2y + 8xz)k

= (2(1)(−2)(−1) + 4(−1)2)i

+(1)2(−1)j+ ((1)2(−2) + 8(1)(−1))k

= 8i− j− 10k.

Vektorin A = 2i− j− 2k suuntainen yksikkovektori on

a =A

A=

2i− j− 2k√22 + 12 + 22

=2

3i− 1

3j− 2

3k.

Tahan suuntaan laskettu derivaatta on

∇aφ = ∇φ · a= (8i− j− 10k) · (2

3i− 1

3j− 2

3k)

=16

3+

1

3+

20

3=

37

3.

7.2.2 Divergenssi

Olkoon nyt v(r) = (vx(r), vy(r), vz(r)) vektorikentta.Vektorikentan divergenssi on

∇ · v) = (i∂

∂x+ j

∂

∂y+ k

∂

∂z) · (ivx + jvy + kvx)

=∂vx∂x

+∂vy∂y

+∂vz∂z

Graafisesti: vektorikentan divergenssi on(yksikkotilavuudessa) syntyvan vuon (vesi!) maara:

∇ · v > 0, lahde (source))

∇ · v < 0, nielu (sink)Jos ∇ · v = 0 koko maarittelyjoukossa, sanotaan ettavektorikentta v on lahteeton

Katsotaan esimerkkina nesteen virtausta tarkemmin. Jokaisessaavaruuden pisteessa (ajattelemme nestetta jatkuvastijakautuneena aineena unohtaen sen atomaarisen rakenteen)r = (x, y, z) neste virtaa paikasta riippuvalla nopeudella

v = v(r) = vx(x, y, z)i+ vy(x, y, z)j+ vz(x, y, z)k.

Jos nesteen massatiheys on ρ (kg/m3), massavirtatiheys µ((kg/m3)(m/s)=kg/(m2s)) pisteessa r on

µ = ρv.

m

( x , y , z )

d x

d y

d z

m ( x , y , z + d z / 2 )

m ( x , y , z - d z / 2 )

m x

my

m z

Kuva 7.5 Divergenssin tulkinta

Katsotaan, mita massavirralle tapahtuu pisteen rinfinitesimaalisessa ymparistossa. Kuvitellaan tata tarkoitustavarten ko. piste sijoitetuksi sellaisen suorakulmaisen sarmionkeskelle, jonka sarmien pituudet ovat dx, dy ja dz. Virta µ tuosarmion pohjan kautta materiaa virtatiheydella µz(x, y, z− dz/2),joten kaiken kaikkiaan pohjan lapi virtaa aikayksikossa sarmioonmateriaa maara µz(x, y, z − dz/2)dx dy (kg/s). Vastaavastikannen lapi poistuu aikayksikossa materiamaaraµz(x, y, z + dz/2)dx dy. Naiden virtausten seurauksena sarmionnestemaaran vahenema aikayksikossa on

dmz = µz(x, y, z + dz/2)dx dy

−µz(x, y, z − dz/2)dx dy

=

[

µz(x, y, z) +∂µz(x, y, z)

∂z

dz

2

]

dx dy

−

[

µz(x, y, z) +∂µz(x, y, z)

∂z

(

−dz

2

)]

dx dy

=∂µz

∂zdx dy dz.

Differentiaalien tulo dx dy dz on infinitesimaalisen sarmiomme(infinitesimaalinen) tilavuus

dV = dx dy dz.

Pohjan ja pinnan lapi suuntautuvien virtausten aiheuttamamassan nettomuutos (nettopoistuma) aikayksikossa tilavuudessadV on siten

dmz =∂µz

∂zdV.

Vastaava lasku osoittaa, etta xz- ja yz-suuntaisten pintojen lapikulkevat virrat aiheuttavat aikayksikossa nettopoistumat

dmy =∂µy

∂ydV

dmx =∂µx

∂xdV.

Massan kokonaismuutos aikayksikossa tilavuusalkiossa dV onsiten

dm = dmx + dmy + dmz

=

(

∂µx

∂x+∂µy

∂y+∂µz

∂z

)

dV.

53

Vektorimerkintaa kayttaen voimme kirjoittaa taman muotoon

dm =

(

i∂

∂x+ j

∂

∂y+ k

∂

∂z

)

· (µxi+ µyj+ µzk)dV.

Kun huomaamme, etta skalaaritulon ensimmainen tekija onoperaattori ∇, saamme taman kompaktimpaan muotoon

dm = ∇ ·µ dV.

Massatieyden muutos dm/dV pisteessa (x, y, z)

dm/dV = ∇ ·µ

voi aiheutua mm. siita, etta

• neste puristuu kokoon tai laajenee, jolloin ∂ρ∂t

6= 0,

• ko. pisteeseen ruiskutetaan lisaa nestetta eli pisteessa onlahde tai ko. pisteesta poistetaan nestetta eli pisteessa onnielu.

Massatiheyden muutos (pienennys) voidaan siten ilmaista kahdentermin summana

dm/dV = −∂ρ

∂t+ ψ,

missa jalkimmainen termi ψ kuvaa nielujen ja lahteidenvaikutusta. Nain olemme johtaneet nesteiden (ja kaasujen)virtausta hallitsevan kontinuiteettiyhtalon

∇ · (ρv) +∂ρ

∂t= ψ, (7.15)

muistaen, etta massavirtatiheys oli µ = ρv.

Sahkomagnetismi, Maxwellin yhtalot:

∇ ·E =1

ǫ0ρ

∇ ·B = 0

Tassa E on sahkokentta, B magneettikentta, ρsahkovaraustiheys (lahde sahkokentalle!). Magneettisiavarauksia ei ole olemassa (magneettinen monopoli), jotenmagneettikentan lahdetermi = 0, ja magneettikentta onlahteeton.

7.2.3 Roottori

Vektorikentan v(r) roottori ∇× v lasketaan seuraavasti:

∇× v =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

∂x ∂y ∂zvx vy vz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(7.16)

= i(∂yvz − ∂zvy)− j(∂xvz − ∂zvx)

+ k(∂xvy − ∂yvx) (7.17)

Tama on siis tavallinen ristitulo vektoreille, muttaderivaatta vaikuttaa aina eteenpain, “alariville”:

∣

∣

∣

∣

∂x ∂yvx vy

∣

∣

∣

∣

= ∂xvy − ∂yvx

Roottori kuvaa vektorikentan pyorteisyytta:

Esim. v = xi+ yj+ zk∇ · v = 3 lahde (kaikilla r!)

∇× v = i(∂yz − ∂zy)− j(∂xz − ∂zx) + k(∂xy − ∂yx) = 0Kyseessa on pyorteeton kentta

Esim. v = −yi+ xj∇ · v = 0 lahteeton∇× v = 2k 6= , pyorreEsim. Maxwellin yhtalot:kuvaavat sahkodynamiikkaa

∇ ·E =1

ǫ0ρ ∇×B− 1

c2∂E

∂t= µ0j

∇ ·B = 0 ∇×E+∂B

∂t= 0

E sahko, B magneettikentta, ρ sahkovaraustiheys, jsahkovirrantiheys, c valon nopeus, ǫ0 tyhjionpermittiivisyys ja µ0 permeabiliteetti (vakioita).Vektorikentta v on pyorteeton, jos ∇× v = 0.Esim. r on pyorteeton:

∇× r =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

∂x ∂y ∂zx y z

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

Esim. Gradientti ∇f(r) on pyorteeton:

∇× (∇f) = (∇×∇)f = 0

(nain voidaan tehda, silla ∇:n vektorikomponentitmenevat tavallisen ristitulon tapaan, ja derivaatat kaikkivaikuttavat f :aan.)Huom: usein kaytetaan derivaattaoperaattoreita v · ∇ jav×∇. Naissa ei derivoida v:ta, derivaatta ei ole vielaoperoinut! Siis esim.v · ∇ =

∑

i vi∂iv×∇ = i(vy∂z − vz∂y) + j . . .

Laplacen operaattori

Maaritellaan

∇ · ∇ ≡ ∇2 = ∂2x + ∂2y + ∂2z =∑

i

∂2

∂r2i

Tama on skalaaridifferentiaalioperaattori, jota kaytetaanusein fysiikassa.

Roottori mikroskooppisesti

Tarkastellaan jalleen ρ-tiheyksisen nesteen virtausta. Kunvirtausnopeus pisteessa r = (x, y, z) on v(r), on µ = ρvmassavirtatiheys tassa pisteessa. Tutkitaan talla kertaa, mitenpyorteellista virtaus on. Katsotaan esimerkkina pisteen (x, y, z)ympari kiertyvaa virtausta. Lasketaan erikseen nettokiertymatkunkin koordinaattitason suuntaisissa virtauksissa, esimerkkina

54

xy-tason suuntainen taso.

( x , y )

m x ( x , y - d y / 2 )my(x+

dx/2,y)

m x ( x , y + d y / 2 )

my(x-dx/2,y)

Kuva 7.6 Virtauksen kiertyma

Kuvitellaaan piste (x, y, z) (kuvassa z-koordinaattia ei olemerkitty) sijoitetuksi tassa tasossa dx dy-sivuisen suorakaiteenkeskelle. Suorakaiteen alalaidalla kokonaisvirtaus positiiviseenkiertosuuntaan on µx(x, y − dy/2, z)dx, oikeanpuoleista laidallaµy(x+ dx/2, y, z)dy, ylalaidalla −µx(x, y + dy/2, z)dx javasemmanpuoleisella laidalla −µy(x− dx/2, y, z)dy. z-akselinympari kiertyva kokonaisvirtaus dSz (kg/(ms)) on naiden neljantermin summa

dSz = µx(x, y − dy/2, z)dx+ µy(x+ dx/2, y, z)dy

−µx(x, y + dy/2, z)dx− µy(x− dx/2, y, z)dy

= [µy(x+ dx/2, y, z)− µy(x− dx/2, y, z)] dy

− [µx(x, y + dy/2, z)− µx(x, y − dy/2, z)] dx

=∂µy

∂xdx dy −

∂µx

∂ydy dx

=

[

∂µy

∂x−∂µx

∂y

]

dx dy. (7.18)

Jakamalla tama suorakaiteen pinta-alalla dx dy saamme z-akselinympari aikayksikossa kiertyvaksi massatiheydeksi

sz =dSz

dx dy=∂µy

∂x−∂µx

∂y.

Menettelemme samoin kuin kulmanopeuden tapauksessa jamuodostamme pyorteisyydeksi sanotun vektorisuureen sz , jonkapituus ilmoittaa aikayksikossa kiertyvan massatiheyden maaran jasuunta kiertoakselin, ts.

sz = szk =

[

∂µy

∂x−∂µx

∂y

]

k.

Vastaavasti x- ja y-akseleiden suuntaiset pyorteisyydet ovat

sx =

[

∂µz

∂y−∂µy

∂z

]

i

sy =

[

∂µx

∂z−∂µz

∂x

]

j.

Vektoreiden sx, sy ja sz resultantin s pituus kertoo silloinpisteeseen (x, y, z) asetetun resultanttivektorin ympariaikayksikossa kiertyvan massatiheyden kokonaismaaran.Virtauskentan pyorteisyys on siis

s =

[

∂µz

∂y−∂µy

∂z

]

i+[

∂µx

∂z−∂µz

∂x

]

j

+

[

∂µy

∂x−∂µx

∂y

]

k.

Nahdaan helposti etta s voidaan kirjoittaa determinantin avullamuotoon

s =

∣

∣

∣

∣

∣

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

µx µy µz

∣

∣

∣

∣

∣

= ∇×µ

Siis s on µ:n roottori.

Laskusaantoja

Nablalle on helppo nayttaa mm. seuraavat laskusaannot:∇(a+ b) = ∇a+∇b∇(ab) = (∇a)b+ a(∇b)∇ · (u+ v) = ∇ · u+∇ · v∇ · (au) = (∇a) · u+ a∇ · ~u∇× (u+ v) = ∇× u+∇× v

∇× (au) = (∇a)× u+ a∇× u

∇× (∇a) = ∇×∇a = 0 eli ∇a on pyorteeton∇ · (∇× v) = (∇×∇) · v = 0 eli ∇× v on lahteeton(tassa kaytettiin skalaarikolmituloa,a · (b× c) = (a× b) · cJoskus esiintyy myos∇× (∇× u) = ∇(∇ · u)− (∇ · ∇)umissa kaytettiin vektorikolmitulon laskusaantoa.Siis saanto: derivaattaosa - kayta derivoimissaantoja,vektoriosa - vektoreiden laskusaantoja.Huom: jos kehitat ∇-lausekkeita skalaari- tai kolmitulonavulla, muista jarjestys:Esim: u× (∇× v) = ∇(uc · v)− (u · ∇)vmissa siis uc pidetaan vakiona derivoinnissa.Samoin esim.∇·(u×v) = ∇·(u×vc)+∇·(uc×v) = v·(∇×u)+u·(∇×v).Esim. Olkoon u = xyi+ yzj+ zxk.Nyt

∇×(∇×u) = ∇(∇·u)−∇2u = ∇(y+z+x)−0 = i+j+k

Tai suoraan

∇× u =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

∂x ∂y ∂zxy yz zk

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −iy − jz − kx

ja

∇× (∇× u) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

∂x ∂y ∂z−y −z −x

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= i+ j+ k

Esim. ∇×A pisteessa (1− 1, 1), kunA = xz3i− 2x2yzj+ 2yz4kNyt

∇×A =

(

∂

∂xi+

∂

∂yj+

∂

∂zk

)

×

(xz3i− 2x2yzj+ 2yz4k)

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

xz3 −2x2yz 2yz4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

[

∂

∂y(2yz4)− ∂

∂z(−2x2yz)

]

i

−[

∂

∂x(2yz4)− ∂

∂z(xz3)

]

j

+

[

∂

∂x(−2x2yz)− ∂

∂y(xz3)

]

k

55

= (2z4 + 2x2y)i+ 3xz2j− 4xyzk

= (2(1)4 + 2(1)2(−1))i+ 3(1)(1)2j

−4(1)(−1)(1)k

= 3j+ 4k.

Esim. ∇× (∇×A), kun A = x2yi− 2xzj+ 2yzkNyt

∇× (∇×A) = ∇×

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

x2y −2xz 2yz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= ∇× [(2x+ 2z)i− (x2 + 2z)k]

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

2x+ 2z 0 −x2 − 2z

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (2x+ 2)j.

7.2.4 Paikkavektorin derivaatat

Paikkavektori on

r = xi+ yj+ zk, r =√

x2 + y2 + z2 = |r|

Nyt saamme heti tulokset

∇ · r =∑

i

∂iri =∑

i

1 = 3 (7.19)

∇× r = 0 (ks. aiemmin) (7.20)

∇r =r

r= r r:n suuntainen 1-vektori (7.21)

Viimeisin tulee siita, etta∂xr =

12 (x

2 + y2 + z2)−1/22x = x/r, joten

∇r =∑

i

ei∂ir =∑

i

eirir

=r

r

Jos nyt f(r) on r:n funktio, niin ketjusaanto saa muodon

∇f(r) = f ′(r)∇r = f ′(r)r

r

Tama tulee suoraan tavallisesta ketjusaannosta:i∂xf(r) = if ′(r)∂xr = if ′(r)r/r.Nain esim

∇ · (rf(r)) = ∂x(xf(r)) + ∂y(yf(r)) + ∂z(zf(r))

= 3f(r) + xf ′(r)x

r+ yf ′(r)

y

r+ zf ′(r)

z

r= 3f(r) + rf ′(r)

tai suoraan:

∇ · (rf(r)) = f(r)∇ · r+ r · ∇f(r) = 3f(r) + rf ′(r)

Usein tavataan

∇1

r=

d

dr

(

1

r

)

∇r = − 1

r2r

r= − r

r3

ja

∇2 1

r= ∇ · (∇1

r) = ∇ · ( r

r3) =

3

r3− 3

r

r4· rr= 0

Jos patee ∇2f = 0, funktio f(r) on harmoninen.Samoin edelleen

∇2f(r) = ∇ · ∇f(r) = ∇ · (f ′(r)rr)

= f ′′(r)r

r) · rr+ f ′(r)

3

r− f ′(r)

r

r2· rr

= f ′′(r) +2

rf ′(r)

56

8. Viiva-, pinta- jatilavuusintegrointi

8.1 ViivaintegraaliLuvussa 7.1.2 kasiteltiin viivan pituuden integrointia.Tassa luvussa yleistetaan integrointi avaruuskayraa,viivaa pitkin. Olkoon meilla kayra C, jonka piirtaapaikkavektori

r = r(u) = x(u)i+ y(u)j+ z(u)k.

Oletamme edelleen, etta pistetta A vastaa paikkavektorir(a) ja pistetta B paikkavektori r(b). Kayralla C laskettudifferentiaali dr on

dr = idx+ jdy + kdz =dr

dudu

ja osoittaa, kuten aiemmin olemme nahneet (ks. (7.4)),kayran tangentin suuntaan.Kayraa C pitkin voidaan muodostaa useita viiva- elipolkuintegraaleja:Jos f(r) on skalaarifunktio, saamme f :n integraalinviivan pituuden suhteen

∫

C

f(r)ds =

∫ b

a

f(r)ds

dudu

missa

ds

du=

∣

∣

∣

∣

dr

du

∣

∣

∣

∣

=

√

(drxdu

)2+(drydu

)2+(drzdu

)2

Jos f(r) = 1, integraali antaa kayran C pituuden.Jos nyt F(r) on vektorifunktio, saamme erittain yleisenviivaintegraalin

F

d rr ( a ) r ( b )

r ( u )

O

CA B

Kuva 8.1 Viivaintegraali

∫

C

F(r) · dr

=

∫

C

(Fx dx+ Fy dy + Fz dz) (8.1)

=

∫ b

a

(

Fxdx(u)

du+ Fy

dy(u)

du+ Fz

dz(u)

du

)

du.

Geometrisesti viivaintegraali∫

CF · dr tarkoittaa vektorin

F kayran C tangentin suuntaisten projektioiden summaa.

Integrointitiella on maaratty suunta: kussakin kayranpisteessa etenemissuunta on sama kuin kayralla lasketundifferentiaalin suunta. Kun siis tien C kuvaaja onr = r(u), niin integrointi etenee parametrin u kasvavaansuuntaan. Jos nyt −C on muuten sama kayra kuin Cmutta suunnaltaan painvastainen, niin naemme etta

∫

−C

F · dr = −∫

C

F · dr, (8.2)

silla kayralla C laskettu differentiaali onvastakkaisuuntainen kayralla −C lasketulledifferentiaalille.

C : r ( u )- C : r ( a + b - u )A

B

r ( a ) = r ( a + b - b )

r ( b ) = r ( a + b - a )

Kuva 8.2 Suunnan vaihto

Kuvassa integroinnin alku- ja loppupisteita yhdistava tieon C : r(u). Kuvan mukaisesti pistetta A vastaapaikkavektori r(a) ja pistetta B paikkavektori r(b). Josnyt a > b, niin kayran ja siis integroinnin suunta onpisteesta A pisteeseen B. Integroinnin suunnan kaantovoidaan toteuttaa helposti esimerkiksi vaihtamallaparametri u kayran C kuvaajassa parametriksi a+ b− u,ts. kaannettya integrointisuuntaa vastaava tie on−C : p(u) = r(a+ b− u).Viela selvemmaksi geometrinen merkitys kay, kunkirjoitamme differentiaalin dr muotoon

dr = T(r) ds.

Tassa T on kayran yksikkotangentti ja s kayran kaarenpituus (mitattuna jostakin pisteesta). Viivaintegraalissaesiintyva skalaaritulo on talloin

F(r) · dr = |F(r)||T(r)| cos θ ds = F (r) cos θ ds,

missa θ on vektorin F ja integrointitien tangentin valinenkulma. Viivaintegraali saadaan nyt muotoon

∫

C

F(r) · dr =

∫

C

F (r) cos θ ds.

Tasta muodosta nahdaan esimerkiksi, etta vektorin F

ollessa massapisteeseen vaikuttava voima tarkoittaaviivaintegraali tehtya tyota siirrettaessa massapistettapitkin kayraa C.Esim. Integraali

∫

CF · dr pitkin xy-tason kayraa y = 2x2

pisteesta (0, 0) pisteeseen (1, 2), kun F = 3xyi− y2jParametrisoidaan kayra C siten, etta x = t ja y = 2t2.Talloin alkupisteessa t = 0 ja loppupisteessa t = 1.

57

Differentiaali dr on

dr = dx i+ dy j

=

(

idx

dt+ j

dy

dt

)

dt

= (i+ 4tj)dt.

Viivaintegraali on siis

∫

C

F · dr =

∫

C

(3xyi− y2j) · (dx i+ dy j)

=

∫ 1

0

(3(t)(2t2)i− (2t2)2j) · (i+ 4tj)dt

=

∫ 1

0

(6t3 − 16t5)dt =

1/

0

[

6

4t4 − 16

6t6]

=

[

3

2− 8

3

]

− [0] = −7

6.

Kayraa parametrisoivaksi muuttujaksi voidaan useinottaa jokin muuttujista x, y tai z. Esimerkiksi xy-tasonkayrat esitetaan monesti muodossa

y = y(x).

Esim. Integraali∫

CF · dr pitkin xy-tason kayraa y = 2x2

pisteesta (0, 0) pisteeseen (1, 2), kun F = 3xyi− y2jOtetaan kayraa C parametrisoivaksi muuttujaksi x,jolloin y = 2x2. Alkupisteessa x = 0 ja loppupisteessax = 1. Differentiaali dr on

dr = dx i+ dy j

= dx i+ jdy

dxdx

= (i+ 4xj)dx.

Viivaintegraali on siis

∫

C

F · dr =

∫

C

(3xyi− y2j) · (dx i+ dy j)

=

∫ 1

0

(3x(2x2)i− (2x2)2j) · (i+ 4xj)dx

=

∫ 1

0

(6x3 − 16x5)dx =

1/

0

[

6

4x4 − 16

6x6]

=

[

3

2− 8

3

]

− [0] = −7

6.

Esim. Tehty tyo siirrettaessa kappale xy-tasossa pisteestaA = (0, 0) pisteeseen B = (2, 1), kun kappaleeseenvaikuttava voima on F = xyi− y2jNyt

F · dr = (xyi− y2j) · (dx i+ dy j) = xy dx− y2 dy.

Tehty tyo on

W =

∫

C

F · dr =

∫

C

(xy dx− y2 dy).

a) Otetaan integrointitieksi suora

y =1

2x,

jolloin

dy =1

2dx.

A

B

y = x / 2

Kuva 8.3 Integrointitie a)

Tehty tyo on nyt

Wa =

∫

C

(xy dx− y2 dy)

=

∫ 2

0

[

x1

2x dx−

(

1

2x

)21

2dx

]

=

∫ 2

0

3

8x2dx =

2/

0

x3

8= 1.

b) Integroidaan ensin pitkin y-akselia pisteesta (0, 0)pisteeseen (0, 1) ja sitten x-akselin suuntaisesti pisteesta(0, 1) pisteeseen (2, 1).

A

B

Kuva 8.4 Integrointitie b)

Reitilla (0, 0) → (0, 1) on x = 0 ja dx = 0. Reitilla(0, 1) → (2, 1) taas on y = 1 ja dy = 0. Tyo on siten

Wb =

∫ 1

y=0

((0)y(0)− y2 dy)

+

∫ 2

x=0

(x(1)dx− (1)(0))

58

=

1/

0

(

−y3

3

)

+

2/

0

x2

2= −1

3+ 2 =

5

3.

Konservatiiviset kentat

Edellisen esimerkin tapauksessa tehty tyo riippuisiirtoreitista. Toisaalta hyvin monissa kiinnostavissafysikaalisissa syteemeissa tyo riippuu ainoastaansiirroksen alku- ja loppupisteista mutta ei lainkaan naitapisteita yhdistavasta reitista. Talloin siis pisteita P1 ja P2

yhdistavaa kayraa myoten laskettu voiman F

viivaintegraali

W =

∫ P2

P1

F · dr

on tiesta riippumaton ja voimakentan F sanotaan olevankonservatiivinen.Oletetaan nyt, etta kentta F on konservatiivinen. Silloinpisteita P1 = (x1, y1, z1) ja P = (x, y, z) yhdistavaa tietamyoten laskettu viivaintegraali

φ(x, y, z) =

∫ (x,y,z)

(x1,y1,z1)

F · dr

maarittelee yksikasitteisesti integrointitiestariippumattoman ja vain integroinnin loppupisteesta(pidetaan alkupistetta kiinnitettyna) riippuvanskalaarikentan φ. Olkoon

r = u(t)

jokin sellainen pisteita P1 ja P yhdistava kayra, etta

(x1, y1, z1) = u(t1) ja (x, y, z) = u(t).

Talla kayralla on

dr =du

dtdt,

joten tata kayraa myoten laskettuna kentan φ arvoksisaadaan

φ(x, y, z) =

∫ t

t1

F · dudt

dt.

Kentan φ argumentteja voidaan nain pitaaintegrointimuuttujan t funktioina. Talloin ensinnakinintegraalifunktion maaritelman (4.1) mukaan on

dφ

dt= F · du

dt.

Toiseksi, koska kentan φ differentiaali kayralla r = u(t) on

dφ = ∇φ · du,

derivaatta parametrin t suhteen on kirjoitettavissa myosmuotoon

dφ

dt= ∇φ · du

dt.

Naemme siis, etta kentta φ toteuttaa ehdon

∇φ · dudt

= F · dudt

tai

(∇φ− F) · dudt

= 0.

Koska u(t) oli mielivaltainen pisteita P1 ja P yhdistavakayra, taytyy olla

F = ∇φ.Konservatiivinen kentta on siis esitettavissa jonkinskalaarikentan gradienttina.Oletetaan nyt, etta vektorikentta F on skalaarikentan φgradientti, ts.

F = ∇φ.Lasketaan pisteesta P1 pisteeseen P2 pitkin kayraa Cviivaintegraalia

W =

∫ P2

P1

F · dr =

∫ P2

P1

∇φ · dr.

Skalaarifunktion φ differentiaali on

dφ(x, y, z) = ∇φ · dr,

joten tyo W on kirjoitettavissa muotoon

W =

∫ P2

P1

dφ.

Olkoon nytr = r(t)

sellainen kayran C parametriesitys, etta

(x1, y1, z1) = r(t1) ja (x2, y2, z2) = r(t2).

Talla kayralla kentta φ saa arvot φ(x(t), y(t), z(t)) elivoimme pitaa kayralla kenttaa yhden muuttujan tfunktiona

ψ(t) = φ(x(t), y(t), z(t)).

Kayralla laskettu differentiaali on

dφ = dψ(t) =dψ(t)

dtdt,

eli pitkin kayraa C tehty tyo on nyt

W =

∫ P2

P1

dφ =

∫ t2

t1

dψ(t)

dtdt

=t2/t1

ψ(t) = ψ(t2)− ψ(t1)

= φ(x2, y2, z2)− φ(x1, y1, z1).

Integraalin arvo riippuu nain ollen ainoastaanpaatepisteista eika lainkaan valitusta integrointitiesta.

59

Olemme johtaneet lauseen

Integraali∫ P2

P1F · dr on riippumaton integrointitiesta (ts.

F on konservatiivinen) jos ja vain jos kentta F onesitettavissa jonkin skalaarifunktion φ gradienttinaF = ∇φ.Eras operaattoriin ∇ liittyva ominaisuus oli

∇× (∇φ) = 0

olipa φ mika tahansa skalaarikentta. Jos siis kentta F onkonservatiivinen ja siten ilmaistavissa jonkinskalaarikentan gradienttina, sen roottori haviaa:

∇× F = 0.

Oletetaan nyt etta kentan F roottori on nolla, ts.

∇× F =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

Fx Fy Fz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

(

∂Fz

∂y− ∂Fy

∂z

)

i+

(

∂Fx

∂z− ∂Fz

∂x

)

j

+

(

∂Fy

∂x− ∂Fx

∂y

)

k

= 0.

Kentan komponenttien osittaisderivaatat toteuttavat siisehdot

∂Fz

∂y=∂Fy

∂z,∂Fx

∂z=∂Fz

∂xja∂Fy

∂x=∂Fx

∂y.

Lasketaan viivaintegraali

∫

C

F · dr =

∫

C

(Fxdx+ Fydy + Fzdz)

pisteesta P1 = (x1, y1, z1) pisteeseen P = (x, y, z) pitkinkayraa C. Valitaan erikoisesti taksi kayraksikoordinaattiakselien suuntaiset viivasegmentit pisteesta(x1, y1, z1) pisteeseen (x, y1, y2), siita pisteeseen (x, y, z1)ja tasta lopuksi pisteeseen (x, y, z). Olkoon φ(x, y, z) tatakayraa myoten laskettu viivaintegraalin arvo, ts.

φ(x, y, z) =

∫ x

x1

Fx(x, y1, z1)dx

+

∫ y

y1

Fy(x, y, z1)dy

+

∫ z

z1

Fz(x, y, z)dz.

Tasta esityksesta funktion φ osittaisderivaataksimuuttujan z suhteen saadaan

∂φ

∂z= Fz(x, y, z).

Muuttujan y suhteen osittaisderivaatta on

∂φ

∂y= Fy(x, y, z1) +

∫ z

z1

∂Fz(x, y, z)

∂ydz

= Fy(x, y, z1) +

∫ z

z1

∂Fy(x, y, z)

∂zdz

= Fy(x, y, z1) +z

/z1

Fy(x, y, z)

= Fy(x, y, z1) + Fy(x, y, z)− Fy(x, y, z1)

= Fy(x, y, z),

missa olemme kayttaneet hyvaksi roottorin haviamisestaseuranneita ehtoja.Funktion φ osittaisderivaatta muuttujan x suhteen on

∂φ

∂x= Fx(x, y1, z1) +

∫ y

y1

∂Fy(x, y, z1)

∂xdy

+

∫ z

z1

∂Fz(x, y, z)

∂xdz

= Fx(x, y1, z1) +

∫ y

y1

∂Fx(x, y, z1)

∂ydy

+

∫ z

z1

∂Fx(x, y, z)

∂zdz

= Fx(x, y1, z1) +y

/y1

Fx(x, y, z1) +z

/z1

Fx(x, y, z)

= Fx(x, y1, z1) + Fx(x, y, z1)− Fx(x, y1, z1)

+Fx(x, y, z)− F (x, y, z1)

= Fx(x, y, z),

missa jalleen olemme kayttaneet osittaisderivaattojenvalisia ehtoja.Kentta F voidaan siis kirjoittaa muodossa

F =∂φ

∂xi+

∂φ

∂yj+

∂φ

∂zk = ∇φ.

Skalaarikentan gradienttina kentta F on siten edellisenlauseemme mukaisesti konservatiivinen.Olemme saaneet kentan konservatiivisuudelle katevankriteerin:Vektorikentta on konservatiivinen (ts. esitettavissaskalaarifunktion gradienttina) jos ja vain jos sen roottorihaviaa.

Lausetta johtaessamme muodostimme sellaisia derivaattoja kuin∂∂y

∫

φ(x, y)dx siirtamalla derivoinnin integraalin sisalle, ts.

∂

∂y

∫

φ(x, y)dx =

∫

∂φ(x, y)

∂ydx.

Tama on sallittua silloin kun integraalit ovat kyllin”siisteja”(tasaisesti suppenevia). Fysikaalisissa systeemeissavoidaan useimmiten nain olettaa.

Konservatiivista kenttaa vastaavaa skalaarifunktiotasanotaan kentan potentiaaliksi.

60

Jos integrointitie C on suljettu, ts. integrointitienalkupiste yhtyy loppupisteeseen, on viivaintegraalistatapana kayttaa merkintaa

∮

C

F · dr =

∫

C

F · dr. (8.3)

Jos kentta on konservatiivinen, niin pitkin mita tahansasuljettua kayraa C myoten laskettu viivaintegraali onnolla,

∮

C

F · dr = 0. (8.4)

Tama on voimassa myos toisin pain. Oletetaan siis, ettamita tahansa suljettua kayraa myoten laskettuviivaintegraali haviaa. Olkoot Pa ja Pb kaksi avaruudenpistetta ja C1 jokin pisteesta Pa pisteeseen Pb kulkevakayra. Jos C2 on jokin toinen kayra valilla Pa −→ Pb, niin

∫

C1

F · dr−∫

C2

F · dr =

∮

C

F · dr

= 0,

kun C on yhdistetty suljettu kayra

Pa −→C1

Pb −→−C2

Pa.

Viivaintegraali

∫ Pb

Pa

F · dr =

∫

C1

F · dr =

∫

C2

F · dr

ei siis riipu lainkaan integrointitiesta, joten kentta F onkonservatiivinen.Esim. Onko kentta F = (2xy + z3)j+ x2j+ 3xz2kkonservatiivinen?Lasketaan kentan roottori

∇× F =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

2xy + z3 x2 3xz2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

(

∂(3xz2)

∂y− ∂(x2)

∂z

)

i

+

(

∂(2xy + z3)

∂z− ∂(3xz2)

∂x

)

j

+

(

∂(x2)

∂x− ∂(2xy + z3)

∂y

)

k

= 0,

joten kentta F on konservatiivinen.Esim. Kenttaa F = (2xy + z3)j+ x2j+ 3xz2k vastaavaskalaaripotentiaaliEdellisen esimerkin perusteella F on konservatiivinen,joten on olemassa sellainen potentiaali φ, etta

F = ∇φ.

On siis etsittava sellainen φ, etta

∂φ

∂x= 2xy + z3

∂φ

∂y= x2

∂φ

∂z= 3xz2.

Integroimalla nama lausekkeet saamme

φ =

x2y + xz3 + f(y, z)x2y + g(x, z)

xz3 + h(x, y)

Tulokset ovat yhtapitavia, kun valitsemme f(y, z) = 0,g(x, z) = xz3 ja h(x, y) = x2y. Haettu skalaaripotentiaalion siis

φ = x2y + xz3,

mihin voidaan viela lisata mielivaltainen vakio.Esim. Tehty tyo siirrettaessa massapistetta pisteestaP1 = (1,−2, 1) pisteeseen P2 = (3, 1, 4), kun vaikuttavavoima on F = (2xy + z3)j+ x2j+ 3xz2kKonservatiivista kenttaa F vastaava skalaaripotentiaali onedellisen esimerkin perusteella

φ = x2y + xz3.

Voiman konservatiivisuudesta johtuen tehty tyo on

W =

∫ P2

P1

F · dr = φ(3, 1, 4)− φ(1,−2, 1)

= 201− (−1) = 202.

Muita viivaintegraaleja

Edella kasittelimme integraaleja∫

Cfds

∫

CF · dr.

Muunkinnakoisia yhdistelmia esiintyy:

∫

C

fdr,

∫

C

Fds,

∫

C

F× dr

Nama kaikki muunnetaan tavallisiksi integraaleiksikayraparametrin u yli: r(u) = (x(u), y(u), z(u)). Naistaesim

∫

C

F× dr =

∫ b

a

F× dr

dudu =

∫ b

a

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

Fx Fy Fz

x′ y′ z′

∣

∣

∣

∣

∣

∣

du =

∫ b

a

[i(Fyz′ − Fzy

′) + j . . .]

Esim. (x, y)-tason kayran C rajoittaman alueenala:Olkoon r kayran C koordinaattivektori, ja drdifferentiaali C:n suuntaisesti. Naiden vektoreiden

61

virittaman kolmion ala on 12 |r× dr|. Koko alueen ala

saadaan integroimalla (piirra kuva!)

1

2

∮

C

(r× dr)z =1

2

∮

C

(xdy − ydx)

Tama toimii riippumatta siita onko origo kayran C sisallavai ei.

8.2 Pintaintegraali tasoalueen yliOlkoon meilla funktio f(x, y) jonka haluamme integroidayli tason alueen A:

y (x)

y (x)

1

2

x x1 2

Kuva 8.5 Pintaintegraali

I =

∫

A

f(x, y)da =

∫ ∫

f(x, y)dxdy

=

∫ x2

x1

dx

∫ y2(x)

y1(x)

dyf(x, y)

Tama palautuu siis kahdeksi sisakkaiseksi integraaliksi.Tassa da = dxdy on infintesimaalinen pinta-alaelementti.

Huom: joskus pintaintegraaleja merkitaan kahdella, joskus yhdellaintegraalimerkilla:

∫

fdxdy =∫ ∫

fdxdy. Kaksi integraalimerkkiaon tarpeen jos merkitaan eksplisiittisesti muuttujien rajat. Naissamuistiinpanoissa kaytetaan paasaantoisesti vain yhtaintegraalimerkkia.

On syyta huomata etta∫

. . . dxdy ei spesifioi integrointiensuoritusjarjestysta eika myoskaan kerro eksplisiittisestiintegrointirajoja. Nama valitaan tilanteen mukaan, useistavaihtoehdoista tietenkin helpoimmin laskettava. Usein kaytetaanmyos sellaisia samaa tarkoittavia merkintoja kuin

∫

dx∫

dy . . ..Vastaavia merkintoja kaytetaan myos kolmi- ja useampiulotteisilleintegroinneille.

Esim: Alueen A pinta-ala on∫

Adxdy

Esim: Olkoon A pisteiden (0,0), (1,0), (1,1) maaraamakolmio, ja f(x, y) = x+ y. Nyt

∫

A

fdxdy =

∫ 1

0

dx

∫ x

0

dy(x+ y)

=

∫ 1

0

dx

x/

0

(xy +1

2y2) =

∫ 1

0

dx(x2 +1

2x2)

=1

2

1/

0

x3 =1

2

Huom: jako∫

Ada =

∫

dx∫ y2(x)

y1(x)dy toimii vain jos alue on

riittavan saannollinen, ts. etta suljettu kayra C leikkaa

y-akselin (vakio x) suuntaiset suorat enintaan 2 kertaa.Jos nain ei ole, alue taytyy joko jakaa kahteen taiuseampaan saannolliseen osaan tai vaihtaaintegroimismuuttujia. Usein riitta etta vaihdetaan vain x,y-integrointijarjestysta.

8.2.1 Muuttujien vaihto pintaintegraalissa

Usein kannattaa vaihtaa koordinaatistosysteemi johonkinmuuhun kuin karteesiseen (x, y)-koordinaatistoon,integroimisalueen tai funktion mukaan. (esim. integraaliriippuu vain vektorin r pituudesta, ei suunnasta).1-ulotteisessa tapauksessa muuttujan vaihto x→ utapahtui muuttamalla differentiaalia: du = du

dxdx. Tamayleistyy myos tasolle (tai useampaankin ulottuvuuteen:jos vaihdetaan muuttujat (x, y) ↔ (u, v), niin

y

x

v

u

Kuva 8.6 Koordinaattien vaihto

u = u(x, y)v = v(x, y)

tai kaantaen

x = x(u, v)y = y(u, v)

Differentiaaleille patee

dxdy =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∂x∂u

∂x∂v

∂y∂u

∂y∂v

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

dudv

tai kaantaen,

dudv =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∂u∂x

∂u∂y

∂v∂x

∂v∂y

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

dudv

(||J ||, determinantin itseisarvo). Determinanttiakutsutaan Jacobin determinantiksi.

Osoitetaan tama: tutkitaan kuinka kuvautuu pinta-alandifferentiaali dudv xy-tasolle. Olkoon r = x(u, v)i+ y(u, v)jtason koordinaattivektori.

Jos u→ u+ du, v vakio, r:n muutos on∆ur = ∂urdu = (∂uxi+ ∂uyj)du.Samoin jos v → v + dv, r:n muutos on∆vr = ∂vrdv = (∂vxi+ ∂vyj)dv.

Vektorien ∆ur ja ∆vr virittaman suunnikkaan pinta-ala on

|∆ur×∆vr| = |

∣

∣

∣

∣

∣

i j k∂ux ∂uy 0∂vx ∂uy 0

∣

∣

∣

∣

∣

|dudv = |

∣

∣

∣

∂ux ∂uy∂vx ∂uy

∣

∣

∣|dudv

Siis: jos vaihdetaan muuttujia (x, y) → (u, v), elisijoitetaan x = x(u, v), y = y(u, v),

∫

A

f(x, y)dxdy =

∫

A′

f(x(u, v), y(u, v))|∣

∣

∣

∣

∂(x, y)

∂(u, v)

∣

∣

∣

∣

|dudv

62

missa A′ on sama alue mutta ilmaistu u, v-koordinaateilla.

8.2.2 Napakoordinaatisto

Kaksiulotteisen tason rφ-napakoordinaatistonmaarittelevat yhtalot

x = r cosφy = r sinφ.

(8.5)

f

f = v a k i o

r = v a k i o

( x , y )

x

ye f

e r

Kuva 8.7 Napakoordinaatisto

Taman muunnoksen Jacobin determinantti on∣

∣

∣

∣

∂rx ∂φx∂ry ∂φy

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

cosφ −r sinφsinφ r cosφ

∣

∣

∣

∣

= r

Siis saamme tuloksen dxdy = rdrdθ, ja∫

A

f(x, y)dxdy =

∫

A′

frdrdφ

Esim. Integroidaan f = r =√

x2 + y2 1-ympyran alanyli:1. karteesisissa (x, y)-koordinaateissa:

∫ 1

0

dx

∫

√1−x2

−√1−x2

dy√

x2 + y2 = . . . ei yksinkertainen!

2. napakoordinaatistossa:∫ 2π

0

dφ

∫ 1

0

drrr =2π

3

Helppoa! Kannattaa valita siis koordinaatisto ongelmanmukaan!Esim. Mika on I =

∫∞−∞ e−x2

dx?Kaytetaan tassaseuraava temppua ja muutetaan integraalitasointegraaliksi:

I2 =

∫ ∞

−∞dxe−x2

∫ ∞

−∞dye−y2

=

∫

R2

dxdye−(x2+y2)

=

∫

R2

dθdrre−r2 =

∫ 2π

0

dθ

∫ ∞

0

drre−r2

= 2π

∞/

0

−1

2e−r2 = π

Siis saamme I =√π.

8.2.3 Tilavuusintegraalit

Tilavuusintegraali yleistyy suoraan tasointegraalista:

∫

V

f(x, y, z)dV =

∫ z2

z1

dz

∫ y2(z)

y1(z)

dy

∫ x2(y,z)

x1(y,z)

dxf(x, y, z)

(tai joku muu x, y, z-jarjestys!). Jos f = 1, integraaliantaa suoraan alueen V tilavuuden. Tassa tilavuudendifferentiaali dV = dxdydz.Esim. Maaritellaan tilavuus niin etta x, y, z > 0, jax+ y + z < 1 (tetraedri). Lasketaan taman tilavuus. Nytkiintealla z, 0 < z < 1, patee 0 < y < 1− z. Samoinkiintealla y, z 0 < x < 1− y − z. Siis

∫

V

dV =

∫ 1

0

dz

∫ 1−z

0

dy

∫ 1−y−z

0

dx

=

∫ 1

0

dz

∫ 1−z

0

dy(1− y − z) =

∫ 1

0

dz

1−z/

0

(1− z)y − 1

2y2

=

∫ 1

0

dz[(1− z)2 − 1

2(1− z)2] =

1

6

Muuttujan vaihto: tapahtuu jalleen Jacobindeterminantin avulla, (x, y, z) → (u, v, t):

dxdydz = |∣

∣

∣

∣

∂r

∂u

∣

∣

∣

∣

|dudvdt =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∂ux ∂vx ∂tx∂uy ∂vy ∂ty∂uz ∂vz ∂tz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

dudvdt

Kaksi tarkeaa erikoistapausta: sylinterikoordinaatisto japallokoordinaatisto

8.2.4 Sylinterikoordinaatisto

Sylinterikoordinaatiston ρφz maarittelevat yhtalot

x = ρ cosφy = ρ sinφz = z.

(8.6)

x

y

z

r

f r

z

zr = v a k i o

f = v a k i o

f

rz = v a k i o

f = v a k i o

r = v a k i oz = v a k i o

e r

e fe z

Kuva 8.8 Sylinterikoordinaatisto

63

Kuten kuvasta nahdaan, on ρ pisteen xy-tasolla olevanprojektion etaisyys origosta, φ taman projektionnapakulma ja z pisteen korkeus xy-tasosta mitattuna.Koordinaattikayrat ovat

• ρ-kayrat: z-akselia vastaan kohtisuorat (= xy-tasonsuuntaiset) ja sita leikkaavat suorat.

• φ-kayrat: z-akselikeskeiset ja sita vastaan kohtisuoratympyrat.

• z-kayrat: z-akselin suuntaiset suorat.

Sylinterikoordinaatiston yksikkovektorit nahdaan suoraankuvasta:

eρ = i cosφ+ j sinφeφ = −i sinφ+ j cosφez = k.

(8.7)

Sylinterikoordinaatistossa tilavuuden differentiaali antaaJacobin determinantin

dV = dxdydz = |

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cosφ −ρ sinφ 0sinφ ρ cosφ 00 0 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

|dρdφdz = ρdρdφdz

Siis: dV = ρdρdφdz.Taman nakee myos tutkimalla suoraantilavuuselementtia:

d f d r

rr d f

d zd V

z

Kuva 8.9 Tilavuuselementti sylinterikoordinaatis-tossa

Kuvasta nahdaan, etta sylinterikoordinaattiendifferentiaalisia muutoksia dρ, dφ ja dz vastaatilavuuselementti dV = ρdρdφ dz.Esim. laske

∫

VfdV , kun V on sylinteri 0 ≤ z ≤ 1,

x2 + y2 = ρ2 ≤ 1, ja f = ρ2:

∫

V

ρ2dV =

∫ 2π

0

dφ

∫ 1

0

dz

∫ 1

0

dρρρ2 =π

2

8.2.5 Pallokoordinaatisto

Pallokoordinaatistossa pisteen paikka ilmoitetaanetaisyytena r origosta, paikkavektorin ja z-akselinvalisena korkeuskulmana θ seka paikkavektorin xy-tasolla

olevan projektion ja x-akselin valisena atsimuuttikulmanaφ.

f

q

rcosq

r s i n q

r si n

q co s

f

r s i n q s i n fx

y

z

r

Kuva 8.10 Pallokoordinaatit

Kuvasta nahdaan, etta pallokoordinaateista rθφsiirrytaan karteesisiin koordinaatteihin kaavoilla

x = r sin θ cosφy = r sin θ sinφz = r cos θ.

(8.8)

f

q

x

y

z

r

rq v a k i of v a k i o

r v a k i oq f v a k i o

r v a k i oq v a k i of

Kuva 8.11 Pallokoordinaatistonkoordinaattikayrat

Pallokoordinaatiston koordinaattikayrat ovat

• r-kayrat: origon kautta kulkevat suorat.

• θ-kayrat: origokeskiset ympyrat, joiden halkaisijanaon z-akselin suuntaiset origokeskiset janat (= joidentaso on kohtisuorassa xy-tasoa vastaan).

• φ-kayrat: z-akselikeskeiset ja sita vastaankohtisuorassa olevat (= xy-tason suuntaiset)ympyrat.

Pallokoordinaatistossa Jacobin determinantti on

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∂(x, y, z)

∂(r, θ, φ)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= r2 sin θ

Siis nyt dV = r2 sin θdrdθdφ = r2drd(cos θ)dφ.

64

Esim. Laske integraali∫

VfdV , kun tilavuus V on

pallonkuori 1 ≤ r ≤ 2 ja f = 1/r2:

∫

V

1

r2dV =

∫ 2π

0

dφ

∫ π

0

dθ sin θ

∫ 1

0

drr21

r2= 4π

Usein merkitaan kulmaosia yhdessa avaruuskulmalla Ω:∫

V

dV =

∫

4π

dΩ

∫

drr2

Tassa siis∫

4πdω =

∫ 2π

0dφ∫ π

0dθ sin θ

8.2.6 Nabla sylinteri- ja pallokoordinaatistoissa:

Samoin kuin integaaleja voidaan sylinteri- japallokoordinaateissa, joskus on edullista laskea myosdifferentiaaleja ko. koordinaateissa. Naiden osoittaminenon varsin suoraviivaista mutta tyolasta, joten annetaantassa vain tulokset:

Sylinterikoordinaatisto

• Muunnoskaavat

x = ρ cosφ

y = ρ sinφ

z = z.

• Kantavektorit

eρ = i cosφ+ j sinφ

eφ = −i sinφ+ j cosφ

ez = k.

• Gradientti

∇ψ = eρ∂ψ

∂ρ+ eφ

1

ρ

∂ψ

∂φ+ ez

∂ψ

∂z.

• Divergenssi

∇ ·A =1

ρ

∂

∂ρ(ρAρ) +

1

ρ

∂Aφ

∂φ+∂Az

∂z.

• Laplacen operaattori

∇2ψ =1

ρ

∂

∂ρ

(

ρ∂ψ

∂ρ

)

+1

ρ2∂2ψ

∂φ2+∂2ψ

∂z2.

Pallokoordinaatisto

• Muunnoskaavat

x = r sin θ cosφ

y = r sin θ sinφ

z = r cos θ.

• Kantavektorit

er = i sin θ cosφ+ j sin θ sinφ+ k cos θ

eθ = i cos θ cosφ+ j cos θ sinφ− k sin θ

eφ = −i sinφ+ j cosφ.

• Gradientti

∇ψ = er∂ψ

∂r+

eθ

r

∂ψ

∂θ+

eφ

r sin θ

∂ψ

∂φ.

• Divergenssi

∇ ·A =1

r2∂

∂r

(

r2Ar

)

+1

r sin θ

∂

∂θ(Aθ sin θ)

+1

r sin θ

∂Aφ

∂φ.

• Laplacen operaattori

∇2ψ =1

r2∂

∂r

(

r2∂ψ

∂r

)

+1

r2 sin2 θ

∂

∂θ

(

sin2 θ∂ψ

∂θ

)

+1

r2 sin2 θ

∂2ψ

∂φ2.

8.3 Pintaintegraali yli kayran pinnan

8.3.1 Skalaarifunktion integraalit

Olkoon φ(x, y, z) on jokin skalaarifunktio, A jokinkolmiulotteisen avaruuden pinta ja dA taman pinnaninfinitesimaalinen pinta-alkio. Tehtavana on nyt laskeapintaintegraali

I =

∫

A

φ(x, y, z)dA.

Samalla tavoin kuin tavallisen yhden muuttujanintegraalinkin tapauksessa tama tarkoittaa sita, etta

1. jaetaan pinta A pieniin ∆A suuruisiin palasiin,

2. lasketaan kussakin palasessa funktion φ(x, y, z) arvoja kerrotaan tama palasen pinta-alalla ∆A,

3. summataan yhteen kaikki termit φ(x, y, z)∆A ja

4. annetaan palasten pinta-alan lahestya nollaa.

Pintaintegraali on usein helpompi laskea palauttamalla sekoordinaattien yli suoritettaviksi integroinneiksi. Josesimerkiksi pinta A voidaan esittaa muodossa z = f(x, y),kannattaa yleensa integroida muuttujien x ja y yli, ts.vieda integraali muotoon

I =

∫ y1

y0

[∫ x1

x0

φ(x, y, f(x, y))h(x, y)dx

]

dy.

65

Tassa h(x, y) on skaalaustekija, jolla xy-tason pinta-alkiodA0 = dx dy on kerrottava, jotta saataisiin pinnan alkiodA. Integrointien rajat riippuvat pinnasta. Se,kannattaako ensin integroida muuttujan x (kuten yo.lausekkeessa) vai muuttujan y yli riippuu paitsi pinnastaniin myos funktiosta φ.

d yd x

d A 0

x

y

zn

k

d A

A

g

Kuva 8.12 Pintaintegraali

Kuten kuvasta nahdaan, xy-tason pinta-alkiota dA0 jasita pinnalla A vastaavaa alkiota sitoo toisiinsa relaatio

dA0 = dx dy = dA cos γ, (8.9)

missa γ on pinnan normaalin n ja z-akselin valinenkulma. Tassa tapauksessa pintaintegraali on siiskirjoitettavissa muotoon

I =

∫

A

φ dA =

∫

φ(x, y, z)dx dy

cos γ.

Oletetaan nyt, etta pinnan A yhtalo on annettu muodossa

g(x, y, z) = C.

Kyseessa on siis skalaarikentan g eras tasa-arvopinta.Kuten gradientin yhteydessa naimme, on skalaaringradientti kohtisuorassa tasa-arvopintaa vastaan. Eraspinnan A normaali on niin ollen ∇g ja normaalinsuuntainen yksikkovektori silloin

n =∇g|∇g| .

Taman projektio z-akselille on

n · k = cos γ =∂g∂z

|∇g| .

Pintaintegraalimme on nyt kirjoitettavissa muotoon

I =

∫

φ(x, y, z)|∇g|∂g∂z

dx dy. (8.10)

Jos pinta A on annettu muodossa

z = f(x, y),

niin asettamallag = z − f(x, y)

pinnan yhtalo ong = 0.

Talloin kaavassa (8.10) tarvittavat osittaisderivaatat ovat

∂g

∂x=∂f

∂x,∂g

∂y=∂f

∂yja∂g

∂z= 1

ja pintaelementin skaalaustekija vastaavasti

1

cos γ= |∇g| =

√

(

∂f

∂x

)2

+

(

∂f

∂y

)2

+ 1.

Pinta-integraali I on nyt

I =

∫

φ(x, y, f(x, y))

√

(

∂f

∂x

)2

+

(

∂f

∂y

)2

+ 1dx dy.

(8.11)Esim. Funktion φ = z integraali puolipallonx2 + y2 + z2 = R2, z ≥ 0 pinnan yliNyt

z =√

R2 − x2 − y2 = f(x, y),

jolloin

∂f

∂x= − x

√

R2 − x2 − y2

∂f

∂y= − y

√

R2 − x2 − y2

ja

1

cos2 γ= 1 +

(

∂f

∂x

)2

+

(

∂f

∂y

)2

= 1 +x2 + y2

R2 − x2 − y2

=R2

R2 − x2 − y2.

Integrointialueena xy-tasossa on puolipallon pinnanprojektio eli kehan

x2 + y2 = R2; z = 0

rajoittama ympyra. xy-tason integraali kannattaa tehdanyt napakoordinaatteja kayttaen: ρ2 = x2 + y2:

I =

∫

A

φdA =

∫ 2π

0

dφ

∫ R

0

dρρz1

cos γ

= 2π

∫ R

0

dρρ√

R2 − ρ2

√

R2

R2 − ρ2

= 2πR

/0R1

2ρ2 = πR3

66

8.3.2 Vuointegraalit: vektoreiden pintaintegraalit

Tavallisin tapaus pintaintegraaleista on laskeavektorikentan vuo pinnan lapi: Tarkastellaan pintaa A jasilla pisteessa P (x, y, z) olevaa pinta-alkiota dA.Maaritellaan vektoriaalinen pinta-alkio dA siten, etta

dA = n dA,

missa n on pisteessa P laskettu pinnan normaalinsuuntainen yksikkovektori. Olkoon F(x, y, z) jokin(integroituva) vektorikentta. Eras vektorikentan F

pintaintegraali on∫

A

F · dA =

∫

A

F · n dA. (8.12)

Tama integraali kuvaa vektorin F vuota pinnan A lapi.Huom: jos kyseessa on suljettu pinta, integraaliamerkitaan

∮

A

F · dA.

Jos pinta ei ole suljettu, silla on luonnollisesti reunaviiva.Esim. Nesteen virtausJos ρ on nesteen tiheys ja v sen nopeus, niin

ρv · dA = ρv · n dA

on pintaelementin dA lapi aikayksikossa kulkevan nesteenmaara. Vektorin µ = ρv vuo pinnan A lapi,

∫

Aµ · dA, on

aikayksikossa pinnan A lapi kulkevan nesteen maara.Muunlaisia pintaintegraaleja ovat esim.

∫

A

F× dA =

∫

A

F× n dA;

∫

A

φ dA;

∫

A

φ dA.

Esim. Radiaalikentta pallokuoren yli:Olkoon v = rf(r), ja pallonkuori |r|2 = r2 = R2. Nytn = r/r, ja∮

A

v·dA =

∮

A

f(R)r·r/RdA = f(R)R

∮

A

dA = 4πR3f(R)

missa kaytettiin tietoa pallon ala = 4πR2.Esim. I =

∫

A(∇× F) · dA, kun F = −yi+ xj+ zk, ja A

on puolipallon x2 + y2 + z2 = R2; z ≥ 0 pintaNyt

∇× F =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

−y x z

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 2k.

Pinnan A yhtalo on

g = x2 + y2 + z2 = R2,

joten∇g = 2xi+ 2yj+ 2zk = 2r.

Pallopinnan A yksikkonormaali n on siis

n =∇g|∇g| =

r

r=xi+ yj+ zk

r,

eli radiusvektorin suuntainen yksikkovektori.Edelleen

∇× F · dA = 2k · n dA = 2 cos θ dA,

missa θ on radiusvektorin ja z-akselin valinen kulma.

qd q

r

d f

z

r s i n q

d A

r d q

r s i n q d f

Kuva 8.13 Pintaelementti pallolla

Kuvassa φ radiusvektorin xy-tasolla olevan projektion jax-akselin valinen kulma. Kuten kuvasta nahdaan, pallonpinnalla pallokoordinaattien θ ja φ differentiaalisiamuutoksia dθ ja dφ vastaava pintaelementti dA on

dA = r2 sin θ dθ dφ. (8.13)

Puolipallon pinnalla kulmat θ ja φ saavat arvot

0 ≤ θ ≤ π

20 ≤ φ ≤ 2π.

Integraali I on siis

I =

∫

A

∇× F · n dA

=

∫ π/2

0

dθ

∫ 2π

0

dφ 2 cos θ R2 sin θ

= 4πR2

∫ π/2

0

cos θ sin θ dθ

= 4πR2

π/2/

0

sin2 θ

2= 2πR2.

8.4 Gaussin lauseEdella laskettiin vektorikentan v = rf(r) vuo R-sateisenpallon pinnan lapi, tuloksella

∮

A

v · dA = 4πR3f(R)

Lasketaan nyt ∇·v integroituna pallon tilavuuden yli: nyt

∇·v = ∇·(rf(r)) = f(r)∇·r+r ·f ′(r)∇r = 3f(r)+rf ′(r)

67

Siis

∫

V

∇·vdV =

∫

dΩ

∫ R

0

drr2(3f(r)+rf ′(r)) = 4π

∫ R

0

dr∂r(r3f(r)) = 4πR3f(R)

Saimme siis tuloksen∮

A

v · dA =

∫

V

∇ · vdV (8.14)

missa A on alueen V pinta. Tama tulos patee yleisesti,kaikille vektorikentille ja tilavuuksille, ja sita sanotaanGaussin laiksi: vektorin v normaalikomponentin integraaliyli suljetun pinnan on sama kuin sen divergenssinintegraali pinnan sulkeman tilavuuden yli.Toisin: kentan v vuo suljetun pinnan lapi = kentan v

lahteet pinnan sisalla!Gaussin laki on 3-ulotteinen yleistys 1-ulotteisiaintegraaleja koskevalle totuudelle

∫ b

a

df

dxdx = f(b)− f(a)

Gaussin lauseen tarkempi todistus

Kirjoitetaan vektori F komponenteittain:

F = Fxi+ Fyj+ Fzk,

ja tarkastellaan integraalia∫∫∫

V

∂Fz

∂zdV.

A 2

A 1

n 2

n 1

d xd y R

Kuva 8.14 Gaussin lauseen todistus

Olkoot A1 ja A2 tilavuutta V ymparoivan suljetun pinnan A ala-ja ylapinta, joita esittavat yhtalot

A1 : z = f1(x, y)

A2 : z = f2(x, y).

Olkoon R pinnan A (tai A1 tai A2) projektio xy-tasolla.

Talloin∫∫∫

V

∂Fz

∂zdV =

∫∫∫

V

∂Fz

∂zdzdxdy

=

∫

R

[∫ f2(x,y)

f1(x,y)

∂Fz

∂zdz

]

dxdy

=

∫

R

[Fz(x, y, f2)− Fz(x, y, f1)] dxdy

Olkoon n pinnan A yksikkonormaali, n1 alapinnan A1

yksikkonormaali ja n2 ylapinnan A2 yksikkonormaali. Nyt

alapinnalla: dxdy = −k ·n1 dA1

ylapinnalla: dxdy = k ·n2 dA2

pinnalla: dxdy = k ·n dA,

joten∫

R

[Fz(x, y, f2)− Fz(x, y, f1)] dxdy

=

∫

A2

Fzk ·n2 dA2 +

∫

A1

Fzk ·n1 dA1

=

∫

A

Fzk ·n dA.

Saamme siis∫∫∫

V

∂Fz

∂zdV =

∫

A

Fzk ·n dA.

Vastaavasti voidaan osoittaa, etta∫∫∫

V

∂Fy

∂ydV =

∫

A

Fyj ·n dA

∫∫∫

V

∂Fx

∂xdV =

∫

A

Fxi ·n dA,

joten kaiken kaikkiaan on∫∫∫

V

(

∂Fx

∂x+∂Fy

∂y+∂Fz

∂z

)

dV

=

∫

A

(

Fxi+ Fyj+ Fzk)

·n dA,

eli∫∫∫

V

∇ ·F dV =

∫

A

F ·n dA =

∫

A

F · dA.

Esim. Vektorin r vuo a-sateisen ja h-korkuisen sylinterinpinnan lapiOlkoon A sylinteria rajoittava pinta (mukaan lukienpohjat) ja V sylinterin tilavuus.

ah

x

y

z

Kuva 8.15 Sylinteri

a) Divergenssilauseen perusteella vuo I on

I =

∫

A

r · dA =

∫

V

∇ · r dV.

68

Koskar = xi+ yj+ zk,

on

∇ · r =∂x

∂x+∂y

∂y+∂z

∂z= 3,

joten

I = 3

∫

V

dV = 3V = 3πa2h.

b) Lasketaan vuo pintaintegraalina.(i) Ylapinnalla n = k ja

r · n = r · k = z = h,

joten∫

ylapinta

r · n dA =

∫

h dA = πa2h.

(ii) Pohjalla n = −k ja

r · n = −z = 0,

joten∫

pohja

r · n dA = 0.

(iii) Vaipalla yksikkonormaali on

n =xi+ yj

a,

silla vaipan yhtalo on

f = x2 + y2 = a2,

ja niin ollen vektori

∇f = 2xi+ 2yj

on kohtisuorassa vaippaa vastaan. Nyt

r · n =x2 + y2

a=a2

a= a,

joten∫

vaippa

r · n dA = a

∫

dA = a · 2πah.

Laskemalla kaikki vuot yhteen saadaan

I = 3πa2h.

Esim. Newtonin gravitaatiopotentiaali φ toteuttaayhtalon

∇2φ = 4πGρ,

missa G on gravitaatiovakio ja ρ massatiheys.Maaritetaan gravitaatiokenttavoimakkuuspallosymmetrisessa tapauksessaMerkitaan

K = −∇φ,

jolloin

∇ ·K = −∇2φ = −4πGρ.

Jos tilavuudessa V oleva kokonaismassa on M , niin

∫

V

∇ ·KdV = −4πG

∫

V

ρdV

= −4πGM.

Toisaalta Gaussin lauseen mukaan on

∫

V

∇ ·KdV =

∫

A

K · dA,

kun A on tilavuutta V rajoittava pinta.Oletetaan, etta M -massainen kappale onpallosymmetrinen ja otetaan tilavuudeksi V ko. kappaleensisaansa sulkeva r-sateinen kappalekeskinen pallo. Talloinilmeisestikin |K| on vakio pallon pinnalla ja K onradiusvektorin suuntainen (tai vastakkaissuuntainen), ts.voidaan kirjoittaa

K = K(r)er,

missa er on radiusvektorin suuntainen yksikkovektori.Vektori er on tietystikin myos yksikkonormaali ko. pallonpinnalla, joten

∫

r-sateinen pallo

K · dA =

∫

K(r)er · er dA

= K(r)

∫

dA = K(r) · 4πr2

= −4πGM.

Saamme siis tutun Newtonin gravitaatiolain

K(r) = −GMr2

,

tai vektoriaalisesti

K(r) = −GMr2

er.

8.5 Stokesin lauseRoottorin fysikaalista tulkintaa etsiessamme saimmetuloksen (7.18), jonka mukaan xy-tasossa pisteen (x, y)ympari kiertyva virtaus oli

dSz = µx(x, y − dy/2, z)dx+ µy(x+ dx/2, y, z)dy

−µx(x, y + dy/2, z)dx− µy(x− dx/2, y, z)dy

=

[

∂µy

∂x− ∂µx

∂y

]

dx dy.

69

d x

d y

1

23

4

x

y d A

Kuva 8.16 xy-tason pinta-alkio

Kuvan mukaisesti voimme kirjoittaa taman muotoon

4∑

i=1

µ · dri = (∇× µ)zdx dy,

missa vektoriaaliset differentiaalit ovat dr1 = dx i,dr2 = dy j, dr3 = −dx i seka dr4 = −dy j ja virtatiheys onlaskettava aina vastaavalla infinitesimaalisen suorakaiteensivulla. Yhtalon oikeakin puoli on lausuttavissakompaktimmin, kun otamme kayttoon vektoriaalisenpinta-alkion dA = dx dy k. Nain paadymme relaatioon

4∑

i=1

µ · dr = (∇× µ) · dA,

missa nyt seka dr etta µ on laskettava summausindeksiinliittyvalla suorakaiteen sivulla. Tama yhtalo on tokivoimassa mielivaltaisellekin (differentioituvalle)vektorikentalle F ja miten tahansa orientoituneellepintaelementille dA:

4∑

i=1

F · dr = (∇× F) · dA, (8.15)

missa vasemmalla puolen kierretaan dA vastapaivaan.Tarkastellaan nyt mielivaltaista pintaa A. Jaetaan Ainfinitesimaalisiin palasiin dAi. Kussakin pinta-alkiossa onvoimassa

(∇× F) · dAi =4∑

j=1

F · dr,

missa vasemmalla puolen roottori lasketaan alueen dAi

keskipisteessa ja oikealla puolen seka F etta differentiaalitalueen dAi summausindeksista j riippuvalla reunalla.Summataan yli kaikkien palasten, jolloin

∑

i

(∇× F) · dAi =∑

i

4∑

j=1

F · dr. (8.16)

Tarkastellaan kahta vierekkaista pinta-alkiota, sanotaanalkioita 1 ja 2. Naiden yhteisella reunalla toisensuorakaiteen dr on vastakkainen toisen suorakaiteenvastaavalle differentiaalille kun taas kentta F on sama.

Summassa (8.16) yhteisiin reunoihin liittyvat termitkumoutuvat, joten jaljelle jaavat vain alueen A reunoihinrajoittuvien pinta-alkioiden ulkoreunat eli

∑

i

(∇× F) · dAi =∑

A:n ulkoreuna

F · dr.

Yhtalon vasen puoli on suureen ∇× F pintaintegraali ylipinnan A ja oikea puoli viivaintegraali pintaa Arajoittavan reunakayran C ympari. Koska jokainenpinta-elementti yhtalon (8.15) ja kuvan 8.16 mukaisestikierrettiin positiiviiseen kiertosuuntaan, samaan suuntaankierretaan myos pinta A. Olemme nain paatyneetStokesin lauseena tunnettuun pinta- ja viivaintegraalejasitovaan relaatioon

∮

C

F · dr =

∫

A

(∇× F) · dA. (8.17)

Sanallisesti Stokesin lause on ilmaistavissa muodossaVektorikentan F viivaintegraali pinnan A reunakayran Cympari on sama kuin kentan F roottorinnormaalikomponentin pintaintegraali pinnan A yli.

Huom. Integraalin arvo ei muutu sellaisissaintegrointipinnan deformaatioissa, joissa reunakayrasailyy muuttumattomana.

Esim.∫

A∇× F · dA kun F = −yi+ xj+ zk ja A on

puolipallon x2 + y2 + z2 = a2; z ≥ 0 pinta1) Suoraan pintaintegraalina. Katso edella(pintaintegraalit).2) Viivaintegraalina Stokesin lausetta soveltaen. Nyt

F · dr = (−yi+ xj+ zk) · (dx i+ dy j+ dz k)

= −y dx+ x dy + z dz.

Puolipallon pinnan A reunakayra C on xy-tason ympyra

x2 + y2 = a2; z = 0.

Talla kayralla

x = a cos θ

y = a sin θ

z = 0,

kun θ on vektorin r = (x, y, 0) ja x-akselin valinen kulma.Talloin

dx = −a sin θ dθdy = a cos θ dθ

dz = 0,

joten kayralla C

F · dr = −y dx+ x dy

= a2 sin2 θ dθ + a2 cos2 θ dθ

= a2 dθ.

70

Stokesin lauseen mukaan on

∫

A

(∇× F) · dA =

∮

C

F · dr =

∫ 2π

0

a2 dθ

= 2πa2.

3) Pintaintegraali on sama mille tahansa kayran Crajoittamalle pinnalle. Valitaan xy-tason ympyra. Koska

∇× F = 2k,

on∫

x2+y2≤a2

(∇× F) · dA =

∫

x2+y2≤a2

2k · k dA

= 2A = 2πa2.

Stokesin lauseen perusteella pyorteettomalle kentalle F onvoimassa

∮

C

F · dr =

∫

A

(∇× F) · dA = 0,

olipa C mika tahansa suljettu kayra ja A sen sisaansasulkema pinta. Tahan tulokseen paadyimme joviivaintegraalien yhteydessa konservatiivisiavektorikenttia tarkastellessamme (ks. kaava (8.4).

71

9. Lineaarikuvaukset, matriisit

9.1 VektoriavaruudetAiemmin olemmme puhuneet tason (R2) ja kotiavaruuden(R3) vektoreista. Nama (kuten myos pelkka R) ovatesimerkkeja reaalisista vektoriavaruuksista.Yleisesti vektoriavaruudet ovat joukkoja V joille onmaaritelty1. Yhteenlasku: x+ y ∈ V , jos x ja y ∈ V .2. Skalaarilla kertominen: ax ∈ V , jos x ∈ V ja a ∈ R.Vektoriavaruus sisaltaa yksikasitteisen nollavektorin: ∈ V siten, etta x+ = x.Lisaksi jokaisella alkiolla x ∈ V on vastavektori −x ∈ V :x+ (−x) = .Erilaiset vektoriavaruudet ovat matematiikassa jafysiikassa hyvin yleisia. Rn:n lisaksi usein puhutaanfunktionaalisista avaruuksista, esim. asteluvun npolynomit muodostavat n+ 1-ulotteisenvektoriavaruuden: p(x) =

∑ni=0 aix

i (polynomeja voidaanlaskea yhteen ja kertoa skalaarilla, ja tuloksena on edellenpolynomi).Vektoriavaruuden V aliavaruus S on sellainen V :nalijoukko S, etta:jos x,y ∈ S ja a ∈ R, niinx+ y ∈ S jaax ∈ S

Esim. R3:n aliavaruuksia ovat esim. kaikki origon kauttakulkevat suorat ja tasot. Myos ja R3 ovat R3:naliavaruuksia. Sen sijaan esim. R3:n yksikkovektorienjoukko (|x| = 1) ei ole aliavaruus.Vektoriavaruuksissa Rn on maaritelty muitakinlaskusaantoja, esim. vektorien pistetulo x · y. Oletetaanjatkossa etta pistetulo on maaritelty.

Lineaarinen riippumattomuus

Muistetaan, etta vektorit v1 . . .vk ovat lineaarisestiriippumattomia (eli vapaita), jos

k∑

i=1

aivi = 0

vain jos kaikki a1 = a2 = . . . = ak = 0. Muussatapauksessa vektorit ovat lineaarisesti riippuvia, jaainakin yksi vektori voidaan lausua muidenlineaarikombinaationa.n-ulotteisessa vektoriavaruudessa voidaan valita enintaann:n keskenaan lineaarisesti riippumattoman vektorinjoukko. Kolmiulotteisessa avaruudessa on enintaan 3vektorin joukko keskenaan lineaarisesti riippumaton.Jos vektorit e1, e2. . . en ovat lineaarisesti riippumattomian-ulotteisen vektoriavaruuden V alkioita, sanotaan ettane virittavat V :n: mika tahansa v ∈ V voidaan esittaaniiden lineaarikombinaatioina:

v =

n∑

i=1

aiei ≡ aiei

Huom: yllaolevan kaltainen lineaarikombinaatiovektoreista on niin yleinen, etta siita usein kaytetaanoikeanpuoleista merkintatapaa: toistuvan indeksin ylisummataan automaattisesti (implisiittisesti). Einsteininsummaussaanto.Sanotaan etta vektorit ei muodostavat V :n kannan, jaai:t ovat v:n komponentit tassa kannassa.Kanta ei ole yksikasitteinen. Yksinkertaisin kanta onortonormaali kanta:

ei · ej = δij =

1, jos i = j0, jos i 6= j

Tassa δij on nimeltaan Kroneckerin delta. Siisortonormaalit vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaanja niiden pituus |~ei| = 1.Ortonormaalissa kannassa kahden vektorin a, b pistetuloon

a · b =n∑

i=1

aiei ·n∑

j=1

bjej =n∑

i=1

aibj

Tai lyhyemmin: a · b = aibi.Tutuin esimerkki ortonormaalista kannasta on R3:n kantai, j, k.Palaamme myohemmin siihen miten ei-ortonormaalistakannasta voidaan tehda ortonormaali.Huom: ortonormitetussa kannassa

ej · a =∑

i

aiej · ei =∑

i

aiδij = aj

eli

ai = a · eiKertoimet ai siis ilmaisevat vektorin a projektion eisuuntaan.

9.2 LineaarikuvausOlkoon A kuvaus (funktio) vektoriavaruudesta Vvektoriavaruuteen U : jos nyt

A(x+ y) = A(x) +A(y), A(αx) = αA(x)

kaikilla x,y ∈ V ja α ∈ R, niin A on lineaarikuvaus.Esim. Kuvaus A : R→ R, A(x) = cx, c vakio, onlineaarikuvaus:A(x+ y) = c(x+ y) = cx+ cy = A(x) +A(y)A(αx) = cαx = αA(x)

Esim. Kuvaus B : R→ R, B(x) = cx+ d, d 6= 0, ei olelineaarinen (HT).Lineaarikuvaukset ovat hyvin rajoitettu funktiojoukko, japelkastaan R:n kuvauksina ne ole kovinkaanmielenkiintoisia (tavallisin sovellus: yleisen funktion f(x)approksimaatio lineaarisesti). Useampiulotteisissaavaruuksissa sen sijaan niilla on paljon kayttoa!

72

9.2.1 Tason kuvaus itselleen

Tarkastellaan tason vektorien lineaarikuvausta A, jokamuuttaa tason vektorin v = (x, y) toiseksi tasonvektoriksi v′ = (x′, y′): A(v) = v′, tai

x′ = a11x+ a12yy′ = a21x+ a22y

Tassa aij ovat lukuja, jotka maarittelevat A:n. Kyseessaon todellakin lineaarikuvaus (HT):A(v1 + v2) = A(v1) +A(v2)A(αv) = αA(v)

On katevaa ottaa kayttoon pystyvektorit ja matriisit:Merkitaan nyt

v =

(

xy

)

v′ =

(

x′

y′

)

ja

A =

(

a11 a12a21 a22

)

Tassa notaatiossa merkitaan(

x′

y′

)

=

(

a11 a12a21 a22

)(

xy

)

=

(

a11x+ a12ya21x+ a22y

)

Siis esimerkiksi(

x′

·′)

=

(

a11 a12· ·

)(

xy

)

=

(

a11x+ a12y·

)

Siis: tulosvektorin rivi k lasketaan siten, etta kerrotaanmatriisin rivin k alkiot elementti elementilta alkuperaisenvektorin elementeilla, ja lasketaan yhteen.Viela systemaattisemmin: merkitaan

v =

(

v1v2

)

v′ =

(

v′1v′2

)

Nyt(

v′1v′2

)

=

(

a11 a12a21 a22

)(

v1v2

)

tai lyhyesti ja ytimekkaasti

v′i =∑

j

aijvj = aijvj

Yleinen lineaarikuvaus Rn → Rm

Kuvaus A : Rn → Rm voidaan myos esittaamatriisimuodossa: jos y ∈ Rm ja x ∈ Rn, niin

y = Ax ⇔ yi =

n∑

j=1

aijxj , 1 ≤ j ≤ m

eli eksplisiittisesti

y1y2...ym

=

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

...am1 am2 · · · amn

x1x2...xn

Tassa siis A:n on oltava m vaakarivia ja n pystyrivia,jotta lasku ylla voidaan tehda! A on siis m× n -matriisi.Jos m = n, on A neliomatriisiErikoisasemassa ovat yksikkomatriisi (neliomatriisi)

I =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...0 0 · · · 1

eli Iij = δij . Se kuvaa vektorin itselleen: Ix = x

nollamatriisi:

0 =

0 · · · 00 · · · 0...0 · · · 0

mika kuvaa kaikki vektorit nollavektoreiksi: 0x = .

Rotaatio tasossa

Tarkea tason lineaarikuvaus on rotaatio: vektorien kiertokulman θ verran origon suhteen positiiviseen suuntaan.Matriiseina(

x′

y′

)

=

(

cos θ − sin θsin θ cos θ

)(

xy

)

=

(

cos θx− sin θysin θx+ cos θy

)

eli x′ = R(θ)x.Rotaatio kaantaa vektoria muuttamatta sen pituutta:|x′| = |x|, kuten helposti nahdaan.Vektorien valiset kulmat sailyvat rotaatioissa (pituudenlisaksi): jos x ja y ovat kaksi vektoria, niin(R(θ)x) · (R(θ)y) = x · ykuten suoraviivaisesti nahdaan laskemalla.

Standardikannan kuvautuminen

Rn:n standardikanta e1 . . . en on sellainen jossa

ek =

0...1...0

k:s rivi

eli (ek)i = δki (vektorin ek elementti i).Se kuvautuu lineaarikuvauksessa A seuraavasti:

(Aek)i =∑

j

aij(ek)j =∑

j

aijδkj = aik

eli

Aek =

a1ka2k...ank

73

Tuloksena on siis A:n pystyrivin k alkioista muodostuvavektori.Kaantaen, jos tunnemme kuinka standardikanta kuvautuulineaarikuvauksessa A, saamme A:n matriisiesityksen. Siisjos tiedamme, etta

Aek = fk,

taytyy olla

A =

(f1)1 (f2)1 · · · (fn)1(f1)2 (f2)2 · · · (fn)2...

...(f1)n (f2)n · · · (fn)n

= (f1,f2, · · · ,fn)

missa viimeinen merkintatapa tarkoittaa etta kyseessa onvektoreista fi koottu matriisi.Esim. Etsi R3:n lineaarikuvauksen matriisi, joka viestandardikannan i, j, k vektoreiksi

Ai =

110

≡ f1, Aj =

101

≡ f2, Ak =

001

≡ f3

Edellisen mukaan siis on oltava

A =

1 1 01 0 00 1 1

= (f1,f2,f3)

9.3 Kuvausten yhdistaminen: matriisienkertolaskuKuten yhdistetyissa funktioissa yleensa, matriiseillavoidaan myos tehda yhdistetty kuvaus: olkoonlineaarikuvauksetA : Rs → Rm jaB : Rn → Rs

Nyt yhdistetty kuvaus AB : Rn → Rm on lineaarikuvaus.Kuvauksen AB matriisi on A:n m× s -matriisin ja B:ns× n-matriisin matriisitulo. Sen saamme

(AB)ij =

s∑

k=1

AikBkj = AikBkj

Huom: B:ssa on oltava sama maara vaakariveja kuinA:ssa on pystyriveja (s), muuten matriisituloa ei olemaaritelty!Siis

· · ·· (AB)ij ·· · ·

=

· · · ·Ai1 Ai2 · · · Ais

· · · ·

· B1j ·· B2j ··

... ·· Bsj ·

Eli: tulomatriisin elementti ij, (AB)ij , saadaankertomalla A:n i:s vaakarivi ja B:n j:s pystyrivi alkioalkiolta keskenaan ja laskemalla yhteen.Tama on helppo nayttaa tutkimalla mielivaltaisenvektorin v ∈ Rn kuvausta:

(ABv)i = (A(Bv))i = Aij(Bv)j = AijBjkvk

ja toisaalta (ABv)i = (AB)ikvk.Huom: matriiseille ei yleensa pade AB = BA! Sanotaanetta matriisitulo ei kommutoi.Huom: Jos B on m× 1-matriisi, matriisitulo AB palautuumatriisin ja vektorin tuloksi. Siis vektori = matriisi, jossaon vain yksi pystyrivi.Esim. Olkoon lineaarikuvaukset A : R3 → R2 jaB : R2 → R3, ja niiden matriisiesitykset

A =

(

0 1 01 0 1

)

, B =

1 10 21 0

Nyt

AB =

(

0 1 01 0 1

)

1 10 21 0

=

(

0 · 1 + 1 · 0 + 0 · 1 0 · 1 + 1 · 2 + 0 · 01 · 1 + 0 · 0 + 1 · 1 1 · 1 + 0 · 2 + 1 · 0

)

=

(

0 22 1

)

on kuvaus R2 → R2 ja

BA =

1 1 12 0 20 1 0

on kuvaus R3 → R3.Sen sijaan tulot AA tai BB eivat ole maariteltyja,johtuen siita etta A ja B eivat ole neliomatriiseja.Esim. Rotaatioiden yhdistaminenRotaatiomatriisi tasossa oli

R(θ) =

(

cos θ − sin θsin θ cos θ

)

Jos teemme perakkain kaksi rotaatiota, niin matriisituloaja sinin ja kosinin laskusaantoja kayttaen saamme (HT)

R(θ2)R(θ1) = R(θ1 + θ2)

9.4 MatriisilaskentoaMatriiseille (ja niiden maarittamille lineaarikuvauksille)on maariteltyYhteenlasku: (A+B)ij = Aij +Bij . Tassa A:n ja B:ntaytyy olla samankokoisia (m× n) matriiseja.

74

Skalaarilla kertominen: (λA)ij = λAij.Matriisien kertolasku: (AB)ij = AikBkj , missa A on n× rja B on r ×m matriisi. Jos m 6= n, tule BA ei olemaaritelty.Diagonaalimatriisi: neliomatriisia A sanotaandiagonaaliseksi, jos se on muotoa

A =

A11 0 · · · 00 A22 · · · 0...0 0 · · · Ann

Jos kaikki A11 = A22 = . . . = λ, voidaan A kirjoittaamuotoon A = λI missa I on yksikkomatriisi Iij = δij .Jos A on neliomatriisi, niin AI = IA = A.

Transpoosi AT

Kaikille matriiseille A voidaan maaritella transpoosi AT .Sen elementit ovat

(AT )ij = Aji

(joskus merkitaan AT = A). Siis vaakarivit kaannetaanpystyriveiksi ja painvastoin.Esim.

A =

(

1 2 34 5 6

)

⇒ AT =

1 42 53 6

Jos A on n×m-matriisi, on AT m× n -matriisi.Transpoosille on voimassa seuraava tarkea tulos:

(AB)T = BTAT

Todistus: nyt[(AB)T ]ij = (AB)ji = AjkBki

Toisaalta(BTAT )ij = (BT )ik(A

T )kj = BkiAjk = AjkBki.Huom: viimeisessa vaiheessa jarjestys voidaan vaihtaa,silla Ajk, Bki ovat pelkkia lukuja (matriisin elementteja),eivat matriiseja! Yleensa matriisien jarjestysta ei voidavaihtaa.Olkoon A neliomatriisi. Silloin A onsymmetrinen, jos AT = A eli Aij = Aji. (samat elementitsymmetrisesti diagonaalin molemmin puolin!)antisymmetrinen, jos AT = −A eli Aij = −Aji.Antisymmetristen matriisien diagonaalielementithaviavat, ts. Aii = −Aii = 0.Useimmat matriisit eivat ole symmetrisia eivatkaantisymmetrisia.Ilmeisesti patee:

(AT )T = A, (A+B)T = AT +BT

vektorit: Otetaan nyt kayttoon merkintatapa Rn:npystyvektoreille

x =

x1x2...xn

(ilman lihavointia x, kompaktiuden vuoksi). Tama on siisn× 1 -matriisi. Transponoimalla saamme vaakavektorin

xT = (x1 x2 · · · xn)

(1× n -matriisi!)Jos nyt x ja y ovat Rn:n (pysty)vektoreita, niin

yTx = (y1 · · · yn)

x1...xn

= yixi = y · x

yTx antaa siis vektoreiden pistetulon.Jos taas kerrotaan pystyvektorilla vaakavektori, saadaanmatriisi:

xyT =

x1...xn

(y1 · · · yn) =

x1y1 · · · x1yn...

...xny1 · · · xnyn

tai (xyT )ij = xiyj .Esim. Tason rotaatioille patee RTR = I, mika nahdaansuoraan laskemalla. Sen saa myos siita etta rotaatiotsailyttavat pistetulon:

yTx = (Ry)T (Rx) = yTRTRx⇒ RTR = I

Tassa tapauksessa sanotaan etta RT on R:nkaanteismatriisi.

Konjugaatti A∗

Yleistetaan lineaarikuvaukset kompleksisiin avaruuksiin,ts. olkoon A : Cn → Cm. Nyt A:ta voidaan kuvatamatriisilla jonka elementit ovat kompleksilukuja. Tallematriisille ovat voimassa kaikki samat tulokset kuin yllareaaliselle matriisillekin.Matriisin A konjugaatti A∗ on matriisi jonka kaikkielementit ovat A:n elementtien kompleksikonjugaatteja:

(A∗)ij = A∗ij

Jos patee A∗ = A, matriisi on reaalimatriisi.

Hermiittinen konjugaatti A†

Hermiittinen konjugointi on transpoosin ja konjugoinninyhdistelma:

A† = (A∗)T = (AT )∗, (A†)ij = (Aji)∗

75

A on hermiittinen, jos A† = A, ja antihermiittinen, josA† = −A.Ominaisuuksia:

(A†)† = A, (A+B)† = A† +B†, (AB)† = B†A†

Esim. Paulin spinmatriisit

σ1 =

(

0 11 0

)

, σ2 =

(

0 −ii 0

)

, σ3 =

(

1 00 −1

)

σ1 ja σ3 ovat symmetrisia: σT1 = σ1, σ

T3 = σ3.

σ2 on antisymmetrinen: σT2 = −σ2.

σ1 ja σ3 ovat reaalimatriiseja: σ∗1 = σ1

Kaikki σi ovat hermiittisia, esim. σ†2 = σ2.

Jos x, y ∈ Cn eli ovat n-komponenttisiakompleksivektoreita, niin niiden sisatulo (eli pistetulo)voidaan esittaa muodossa

x†y = x∗i yi, y†x = y∗i xi = (x†y)∗

Kaanteismatriisi A−1

Olkoot A ja B n× n -neliomatriiseja. Jos patee

AB = BA = I

matriisia B kutsutaan A:n kaanteismatriisiksi jamerkitaan A−1. Siis

A−1A = AA−1 = I

Huom. Kaikille neliomatriiseille ei loydykaanteismatriisia.Jos A−1 on olemassa, sanotaan etta A on saannollinen elikaantyvaJos A−1 ei ole olemassa, A on singulaarinen taiei-saannollinen.Kaanteismatriisi on yksikasitteinen: jos seka B etta Covat A:n kaanteismatriiseja, niin valttamatta B = C.Todistus: B(AC) = (BA)C ⇒ BI = IC ⇒ B = C.

76

Kaanteismatriiseille patee

(AB)−1 = B−1A−1

Todistus:(B−1A−1)(AB) = B−1B = I, ja(AB)(B−1A−1) = A−1A = I.Siis (AB)−1 = B−1A−1.Jos kaanteismatriisi on olemassa, niin patee

(AT )−1 = (A−1)T , (A†)−1 = (A−1)†.

Tod. (A−1)TAT = (AA−1)T = IT = I, eli (A−1)T onAT :n kaanteismatriisi.Ei-singulaarisen matriisin kaanteismatriisin loytaminen eiole aina kovin yksinkertaista. Myohemmin palataankonsteihin joilla kaanteismatriisi voidaan loytaa.Suurten matriisien kaanteismatriisien loytaminennumeerisesti onkin oma tieteenalansa, ja yksitarkeimmista numeeristen algoritmien luokasta.Esim. Matriisi

A =

(

1 10 1

)

on saannollinen, sen kaanteismatriisi on

A−1 =

(

1 −10 1

)

AA−1 = A−1A = I (tarkista!)Matriisi

B =

(

1 11 1

)

on puolestaan singulaarinen: jos C on mielivaltainen2× 2-matriisi,

BC =

(

1 11 1

)(

c11 c12c21 c22

)

=

(

c11 + c21 c12 + c22c11 + c21 c12 + c22

)

mika selvastikaan ei voi olla yksikkomatriisi millaan cij :narvoilla.Neliomatriisi on ortogonaalinen, jos

AT = A−1.

ja unitaarinen, josA† = A−1

Ortogonaaliset matriisit sailyttavat reaalivektorienpistetulon:

(Ay)T (Ax) = yTATAx = yTA−1Ax = yTx

ja unitaariset matriisit kompleksivektorien:

(Ay)†(Ax) = y†A†Ax = y†x

Huom: jos A on reaalimatriisi, AT = A†.

Esim. Paulin spinmatriisit ovat kaikki unitaarisia: esim.

σ†1σ1 =

(

0 11 0

)(

0 11 0

)

=

(

1 00 1

)

Samoin σ†2σ2 = I, σ†

3σ3 = I.σ1 ja σ3 ovat myos ortogonaalisia, mutta σ2 ei ole.

9.5 Matriisin jalki TrA ja determinanttidetANeliomatriisien jalki (engl. trace) ja sen determinanttiovat tarkeimpia matriiseja karakterisoivia lukuja. Ne ovatmaariteltyja ainoastaan neliomatriiseille.

9.5.1 Jalki TrANeliomatriisin jalki on sen diagonaalielementtien summa:

TrA = A11 +A22 + . . .+Ann =∑

i

Aii

Jos A on n×m matriisi ja B on n×m-matriisi, niin ABon n× n ja

Tr (AB) =

n∑

i=1

(AB)ii =

n∑

i=1

m∑

j=1

AijBji

BA on taas m×m ja

Tr (BA) =m∑

j=1

(BA)jj =m∑

j=1

n∑

i=1

BjiAij

(Tai lyhyesti Tr (AB) = (AB)ii = AijBji jne.) Siis patee

Tr (AB) = Tr (BA)

mika yleistyy muotoon

Tr (A1A2 . . . Ak) = Tr (AkA1 . . . Ak−1)

eli matriiseja voi permutoida syklisesti ilman etta jalkimuuttuu.Esim. Tr (ABC) = Tr (CAB) = Tr (BAC).Heti nahdaan etta myos

Tr (A+B) = TrA+ TrB

9.5.2 Determinantti detATarkastellaan tason lineaarikuvausta

y = Ax⇔(

y1y2

)

=

(

1 1−1 2

)(

x1x2

)

Tama kuvaa tason neliot suunnikkaiksi (yleinenlineaarikuvausten ominaisuus!). Esim. yksikkoneliokuvautuu seuraavasti:

77

(0, 0) → (0, 0)(1, 0) → (1,−1)(0, 1) → (1, 2)(1, 1) → (2, 1)Nama pisteet muodostavat todellakin suunnikkaan(piirra!). Yksikkonelion pinta-ala on 1, ja suunnikkaanpinta-ala saadaan esim. ristitulosta

|(1,−1)× (1, 2)| =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

1 −1 01 2 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= |1× 2 + 1× 1| = 3

Huomataan myos etta detA = 2 + 1 = 3.Tama tulos patee taysin yleisesti: mielivaltainen 2× 2matriisi A kuvaa pinta-alan a pinta-alaksi a det(A).Tama yleistyy: n× n-matriisi A kuvaa n-ulotteisentilavuuselementin detA-kertaiseksi, missa detA onmatriisin determinantti.Vertaa Jacobin determinanttiin! Se pohjautuu juuri tahantulokseen.Katsotaan nyt kuinka determinantti lasketaan.2× 2 ja 3× 3-matriisien determinantti tuli jo tutuksivektorien kolmitulon yhteydessa. Yleisesti n× n-matriisinA determinantti on

detA =n∑

ijk...=1

ǫijk...A1iA2jA3k . . .

missa indekseja ijk . . . on n kappaletta. Tassa ǫijk... onLevi-Civita symboli:

ǫijk... =

+1, kun ijk . . . on 123 . . . parillinen permutaatio−1, kun ijk . . . on 123 . . . pariton permutaatio0, kun mika tahansa indeksi toistuu

Siis: valitaan matriisin jokaiselta vaakarivilta yksi alkiositen, etta ne ovat aina eri pystyriveilta ja kerrotaankeskenaan. Jos rivit ovat 123. . . :n pariton permutaatiokerrotaan -1:lla. Kaydaan lapi kaikki permutaatiot jasummataan yhteen.Esim. 2× 2-matriisin determinanttiNyt ǫ12 = −ǫ21 = 1,ǫ11 = ǫ22 = 0.

detA = det

(

a11 a12a21 a22

)

=

2∑

ij=1

ǫija1ia2j

= ǫ11a11a21 + ǫ12a11a22 + ǫ21a12a21 + ǫ22a12a22

= a11a22 − a12a21

mika on sama tulos kuin aiemmin. Samoin 3× 3-matriisin determinantti palautuu vanhaan tulokseen.Kirjoitetaan mukavuuden vuoksi matriisi A pystyriviensaAi avulla:

A = (A1, A2, . . . , An)

Determinantin maaritelmasta voidaan suoraviivaisestinahda

det(. . . , Ai, . . . , Aj , . . .) = − det(. . . , Aj , . . . , Ai, . . .)

eli determinantti vaihtaa etumerkkia jos kaksi pystyrivia(tai vaakarivia) vaihdetaan keskenaan.

det(A1, . . . , λAi, . . .) = λ det(A1, . . . , Ai, . . .)

missa λ on reaali- tai kompleksiluku. Tasta seuraa

det(λA) = λn detA

jos A on n× n matriisi.Determinantin kehittaminen vaakarivin suhteen:Determinantti voidaan kehittaa mielivaltaisen vaakarivini suhteen seuraavasti:

detA =

n∑

j=1

AijcofAij

missa kofaktori on

cofAij = (−1)i+jDij (9.1)

ja missa Dij on sen (n− 1)× (n− 1) matriisindeterminantti mika saadaan poistamalla matriisista Avaakarivi i ja pystyrivi j. Tata saantoa kaytettiinaiemmin 3× 3 matriisien determinantteihin.Tama patee myos mielivaltaisille pystyriville j:

detA =

n∑

i=1

AijcofAij

Determinantille patee:detA = 0, jos A:ssa on kaksi samaa vaaka- tai pystyriviadetA ei muutu, jos sen johonkin vaaka/pystyriviinlisataan tai siita vahennetaan muiden vaaka/pystyrivienmielivaltainen lineaarikombinaatioNaita saantoja voidaan kayttaa determinanttien“sieventamiseen” ja oikomaan niiden laskemista.Esim. Lasketaan

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 3 11 2 3 10 1 1 1−1 1 1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

lisaamalla ja vahentamalla lineaarikombinaatioita niinetta 1. vaakarivi tulee nollaksi, paitsi 1. elementti.Vahennetaan 3×(pystyrivi 1) pystyrivista 3, vahennetaanpystyrivi 1 pystyrivista 4, ja kehitetaan 1. vaakarivinsuhteen:

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 0 0 01 2 0 00 1 1 1−1 1 4 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (−1)1+11×

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 0 01 1 11 4 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

78

Kehitetaan jalleen 1. rivin suhteen:

= (−1)1+12

∣

∣

∣

∣

1 14 1

∣

∣

∣

∣

= 2(1− 4) = −6

HUOM: kuten ylla, determinanttia merkitaan useinsamalla merkinnalla kuin itseisarvoa: |A| = detA. Talloindeterminantin itseisarvoa merkitaan ||A||.Matriisien tulon determinantille patee tarkea tulos

det(AB) = detAdetB

Taman nakee suoraviivaisella mutta hieman tyolaallapyorittamisella, ja jatetaan todistus tassa valiin.

Kaanteismatriisi ja determinantti

Determinantti ilmoittaa suoraan onko matriisi Asaannollinen, ts. loytyyko A−1:detA 6= 0 ⇔ A saannollinen ⇔ A−1 olemassaKaanteismatriisin elementit ovat

(A−1)ij =cofAji

detA=

(−1)i+jDji

detA

missa kofaktorit maariteltiin kaavassa (9.1). Huomaaetta kofaktorin indeksit tulevat “vaarassa” jarjestyksessa.

Naytetaan tama: muistetaan etta

detA =∑

k

AikcofAik

Nyt huomataan etta∑

k

AjkcofAik = δji detA

silla jos j 6= i, niin kaavan vasen puoli vastaa sellaisen matriisindeterminanttia mika saadaan A:sta korvaamalla rivi i rivilla j.Koska nyt matriisissa on kaksi samaa vaakarivia, sendeterminantti = 0.

Jakamalla detA:lla saadaan∑

k

AjkcofAik

detA=∑

k

AjkBki = δji

eliAB = I

missa Bki = cofAik/ detA.

Tama naytti etta jos detA on olemassa, kaanteismatriisin lausekesaadaan sen ja kofaktorin avulla.

Naytetaan viela etta jos matriisi A on saannollinen (siisA−1 on olemassa), siita seuraa etta detA 6= 0:

det I = 1 = det(A−1A) = detAdetA−1 ⇒ detA 6= 0.

Lisaksi nahdaan

detA−1 = 1/detA

HUOM: ylla esitetty tapa antaa kaanteismatriisinsuljetussa muodossa. Se ei kuitenkaan ole tavallisesti

vaivattomin tapa laskea sita (suurille matriiseille), vaankaytetaan esim. Gaussin eliminointimenetelmaa(myohemmin).Esim. 2× 2 matriisin kaanteismatriisi: Olkoon

A =

(

a bc d

)

, detA 6= 0

Nyt Dij on se determinantti mika saadaan poistamallaA:sta rivi i ja pystyrivi j. 2× 2 matriiseille tama onyksinkertaisesti

D =

(

d cb a

)

Nyt siis

(A−1)ij =(−1)i+jDji

detA

eli

A−1 =1

detA

(

d −b−c a

)

=1

ad− bc

(

d −b−c a

)

Esim.

A =

(

1 22 3

)

Nyt detA = −1 6= 0, siis A−1 on olemassa. Nyt

D =

(

3 22 1

)

ja

(A−1)ij =1

detA(−1)i+jDji =

eli

A−1 =

(

−3 22 −1

)

9.6 Lineaariset yhtaloryhmatMonissa yhteyksissa tapaamme lineaarisen yhtaloryhman,esim.

A11x1 +A12x2 = b1

A21x1 +A22x2 = b2

eli lyhyestiAx = b

Tassa siis A on joku tunnettu kerroinmatriisi, b annettuvektori ja halutaan ratkaista x.Kukin kahdesta yo. yhtalosta maaraa suoran(x1, x2)-koordinaateissa. Kahden yhtalon yhtaloryhmallasiis pyritaan maaraamaan suorien leikkauspiste.Milloin yo. yhtaloryhmalla on ratkaisu? Jos nytdetA 6= 0, kaanteismatriisi A−1 on olemassa ja

A−1Ax = x = A−1b

79

on yhtalon ainoa ratkaisu.Enta jos detA = A11A22 −A12A21 = 0? Talloin ei yleensaratkaisua ole, ellei sitten kay niin etta ylla molemmatyhtaloista ovat vakiokerrointa vaille samat. Nimittaintalloin A:n ensimmainen ja toinen rivi ovat kerrointavaille samat, ja detA = 0. Tassa tapauksessa yhtalotmaaraavat saman suoran, ja ratkaisuja on aarettomasti:

x2 =1

A12(b1 −A11x1)

Siis:a) jos detA 6= 0, suorat eivat ole yhdensuuntaisia ja ∃ratkaisu x = A−1b.b) jos detA = 0, suorat ovat yhdensuuntaiset. Nytriippuu vektorista b kuvaavatko yhtalot kahtayhdensuuntaista suoraa (ei ratkaisua) vai samaa suoraa(aarettomasti ratkaisuja).Tama kaikki yleistyy luonnollisesti n× n-matriiseihin.Siis, jos detA 6= 0, yhtaloryhmalla

Ax = b

on yksikasitteinen ratkaisu x = A−1b. Erityisesti yhtalolla

Ax = 0

on vain ratkaisu x = 0, jos detA 6= 0. Kirjoittamalla tamamuotoon

∑

j

Aijxj = 0 ⇒∑

j

Ajxj = 0

vain jos xj = 0, ja missa Ai on A:n pystyrivista ikoostuva pystyvektori, niin nahdaan seuraava tulos:detA 6= 0 ⇔ A:n pystyvektorit lineaarisestiriippumattomia.Sama patee myos vaakavektoreille.

9.6.1 Yhtaloryhman ratkaisu

eliminointimenetelmalla

Olkoon meilla yhtalo (detA 6= 0)

Ax = b⇒ x = A−1b

Tassa tapauksessa kaanteismatriisia ei useimmitenkannata laskea, vaan ratkaista yhtaloryhmaeliminointimenetelmalla:Esim.

(

2 11 −2

)(

xy

)

=

(

2x+ yx− 2y

)

=

(

5−5

)

Nyt detA = −5 6= 0, joten yhtalo kaantyy. Pyrkimyksenaon eliminoida jalkimmaisesta yhtalosta x lisaamallaensimmainen yhtalo sopivasti kerrottuna. Lisaksiensimmaisesta eliminoidaan y. Tama voidaasystematisoida seuraavasti:

(

2 11 −2

)(

5−5

)

×1/2

(

1 1/21 −2

)(

5/2−5

)

vah. rivi 1(

1 1/20 −5/2

)(

5/2−15/2

)

×− 2/5(

1 1/20 1

)(

5/23

)

vah. rivi 2 ×1/2

(

1 00 1

)(

13

)

Yhtalon ratkaisu on siis x = (1 3)T , mika voidaan hetitarkistaa.Paamaara on siis lisata ja vahentaa riveja sopivastikerrottuina niin etta vasemmalle saadaan yksikkomatriisi.Esim.

1 −1 11 1 −11 2 −3

xyz

=

01−1

Eliminoidaan

1 −1 11 1 −11 2 −3

01−1

−rv.1−rv.1

1 −1 10 2 −20 3 −4

01−1

+(1/2)rv.2×1/2

−(3/2)rv.2

1 0 00 1 −10 0 −1

1/21/2−5/2

−rv.3×− 1

1 0 00 1 00 0 1

1/235/2

Siis ratkaisu on

x =

1/235/2

Huom: jos matriisin det = 0, eliminointimenetelma kertoosen: ei voida konstruoida I-matriisia.

9.6.2 Matriisin kaantaminen Gaussin

eliminointimenetelmalla

Eliminointimenetelmalla voidaan (lahes) samalla vaivallaratkaista usea muotoa

Ax = bi, i = 1 . . . n

oleva yhtalo: kirjoitetaan vain rinnan

(A)(b1)(b2) . . .

ja eliminoidaan riveja niin etta A:n tilalle tuleeyksikkomatriisi, ja tehdaan sama eliminointi kaikille bi.Lopputuloksena voimme lukea bi:n paikalta yhtaloryhmanAx = bi ratkaisun.

80

Tama toimii myos jos bi = ei, standardikannan vektori.Nyt lopputuloksena saadaan A:n kaanteismatriisi.Esim. Edellisen esimerkin matriisin

1 −1 11 1 −11 2 −3

kaanteismatriisi:

1 −1 11 1 −11 2 −3

1 0 00 1 00 0 1

−rv.1−rv.1

1 −1 10 2 −20 3 −4

1 0 0−1 1 0−1 0 1

+(1/2)rv.2×1/2

−(3/2)rv.2

1 0 00 1 −10 0 −1

1/2 1/2 0−1/2 1/2 01/2 −3/2 1

−rv.3×− 1

1 0 00 1 00 0 1

1/2 1/2 0−1 2 −1−1/2 3/2 −1

Siis kaanteismatriisi on

1/2 1/2 0−1 2 −1

−1/2 3/2 −1

mika nahdaan kokeilemalla.HUOM: joskus diagonaalille uhkaa tulla 0. Tama ei oleongelma, silla tahan riviin voidaan lisata/vahentaasopivasti joku alla olevista riveista niin etta diagonaalilletulee 1. Jos tama ei millaan onnistu, on det = 0.Usein eliminointi on helpompaa tehda niin etta ei tulemurtolukuja.Esim. Matriisin

A =

2 3 51 2 43 1 0

kaanteismatriisi.

2 3 51 2 43 1 0

1 0 00 1 00 0 1

×2− (rv.1)−3× (rv.2)

2 3 50 1 30 −5 −12

1 0 0−1 2 00 −3 1

−3× (rv.2)

+5× (rv.2)

2 0 −40 1 30 0 3

4 −6 0−1 2 0−5 7 1

×3 + 4× (rv.3)−(rv.3)

6 0 00 1 00 0 3

−8 10 44 −5 −1−5 7 1

×1/6

×1/3

1 0 00 1 00 0 1

−4/3 5/3 2/34 −5 −1

−5/3 7/3 1/3

Kaanteismatriisi on siis

A−1 =1

3

−4 5 212 −15 −3−5 7 1

9.7 Ominaisarvot ja -vektoritJos A on n× n-matriisi, ja jos loytyy vektori x 6= 0 sitenetta

Ax = λx

missa λ on skalaari (yleisesti kompleksiluku), sanotaanettax on A:n ominaisvektori jaλ on vektoriin x liittyva ominaisarvo

Ominaisvektorit siis sailyttavat suuntansalineaarikuvauksissa. Ne ovat aina erityisasemassa, javastaavat kuvausten “paaakseleita”.Ominaisarvoille patee: A on saannollinen ↔ A:n kaikkiominaisarvot 6= 0.Tod. Jos λ = 0, niin vastaava ominaisvektori Ax = 0.Koska x 6= 0, tama toteutuu jos ja vain jos detA = 0, siisA ei ole saannollinen.Ominaisvektorit eivat ole yksikasitteisia: ne voidaa kertoavakiolla ja ne ovat edelleen ominaisvektoreita. Samallaominaisarvolla voi myos olla useita lineaarisestiriippumattomia ominaisvektoreita.Esim. Yksikkomatriisi I toteuttaa Ix = x kaikilla x. Siiskaikki vektorit ovat sen ominaisvektoreita ominaisarvolla1.Patee: A:n ominaisarvot ovat yhtalon

det(A− λI) = 0

juuret.Tod. Jos λ on ominaisarvo, onAx = λx = λIx⇒ (A− λI)x = 0. Talla on ratkaisu kunx 6= 0 vain jos det(A− λI) = 0.Jos A on n× n-matriisi, det(A− λI) on n:n asteenpolynomi λ:n suhteen:

det(A−λI) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

A11 − λ A12 · · · A1n

A21 A22 − λ · · · A2n

...An1 · · · Ann − λ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

≡ Pn(λ)

(9.2)Yhtalo

Pn(λ) = 0

on A:n karakteristinen yhtalo, ja sen ratkaisut ovat A:nominaisarvot. Naiden avulla Pn voidaan kirjoittaamuotoon

Pn(λ) = (−1)n(λ− λ1)(λ− λ2) . . . ≡ (−1)nn∏

i=1

(λ− λi)

(9.3)

81

(nahdaan kaavasta (9.2) etta λn:n kerroin on (−1)n).Tasta seuraa etta

Pn(0) =n∏

i=1

λi = detA

Kertalukuun λn−1 on otettava (9.2) diagonaalilta kaikkiλ:t paitsi vuorollaan yksi Aii. Samoin karakteristisenpolynomin ekspansiosta (9.3):

termi λn−1 :∑

i

Aii(−λ)n−1 = (−λ)n−1∑

i

λi

Siis saamme tulokset:

detA = λ1λ2 . . . =n∏

i=1

λi

TrA = λ1 + λ2 + . . . =

n∑

i=1

λi

Esim. Matriisin

A =

(

2 10 1

)

ominaisarvot:

det(A− λI) =

∣

∣

∣

∣

2− λ 10 1− λ

∣

∣

∣

∣

= (2− λ)(1− λ) = 0

minka ratkaisut ovat λ = 2 ja λ = 1. Tassa tapauksessakarakteristinen yhtalo oli yksinkertainen.Esim. Yleinen 2× 2-matriisi

A =

(

a bc d

)

,

Karakteristinen yhtalo on

det(A− λI) =

∣

∣

∣

∣

a− λ bc d− λ

∣

∣

∣

∣

= λ2 − (a+ d)λ+ (ad− bc)

= λ2 − TrAλ+ detA = 0

Huom: tama patee vain 2× 2-matriiseille.Esim. Etsitaan matriisin

A =

2 −2 32 −1 0−1 1 1

ominaisarvot: det(A− λI) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2− λ −2 32 −1− λ 0−1 1 1− λ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (2− λ)

∣

∣

∣

∣

−1− λ 01 1− λ

∣

∣

∣

∣

− (−2)

∣

∣

∣

∣

2 0−1 1− λ

∣

∣

∣

∣

+

3

∣

∣

∣

∣

2 −1− λ−1 1

∣

∣

∣

∣

= −(2− λ)(1 + λ)(1− λ) + 4(1− λ) + 6− 3(1− λ)= −λ3 + 2λ2 − 6λ+ 5 = (1− λ)(λ2 − λ+ 5) = 0Ominaisarvot ovat siis

λ1 = 1, λ2,3 =1

2± 1

2

√1− 20 =

1

2(1± i

√19)

Ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori saadaanyhtalosta

Av = λv

Esim. jos

A =

(

1 12 0

)

niin sen ominaisarvot ovat

det(A− λI) =

∣

∣

∣

∣

1− λ 12 −λ

∣

∣

∣

∣

= λ2 − λ+ 2 = 0

joten ominaisarvot λ1 = 2, λ2 = −1.1. Ominaisvektori:

(

1 12 0

)(

x1y1

)

= 2

(

x1y1

)

⇒

x1 + y1 = 2x12x1 = 2y1

minka ratkaisu on x1 = y1 (molemmista sama ehto). Siisominaisarvoa λ1 = 2 vastaava ominaisvektori

v1 = vakio

(

11

)

2. ominaisvektori:(

1 12 0

)(

x2y2

)

= −1

(

x2y2

)

⇒

x2 + y2 = −x22x2 = −y2 ⇒ y2 = −2x2

Siis ominaisarvoa λ2 = −1 vastaava ominaisvektori

v2 = vakio

(

1−2

)

Ominaisvektorit on usein tapana normittaa: maarataanvakio niin etta |v| = 1. Edella normitetut vektorit ovat siis

v1 =1√2

(

11

)

v2 =1√5

(

1−2

)

Pystyvektorit ovat ortogonaalisia, jos niiden valinenpistetulo (sisatulo) haviaa:

x†y =

n∑

i=1

x∗i yi = 0

Olkoon matriisi A hermiittinen, ts. A† = A. Sille patee

82

Hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaaliset, ja eriominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ortogonaalisetTod. Olkoon Ax = λx. Nyt

x†Ax = λx†x

ja toisaalta

x†Ax = x†A†x = (Ax)†x = (λx)†x = λ∗x†x

Siis λ∗ = λ.Olkoon nyt λ1, λ2 kaksi erisuurta ominaisarvoa, ja niidenominaisvektorit x1, x2. Nytx†2Ax1 = λ1x

†2x1.

Toisaaltax†2A

†x1 = (Ax2)†x1 = λ2x

†2x1

Koska λ2 6= λ1, tama voi pitaa paikkansa vain josx†2x1 = 0.

Liite A. Kreikkalaiset kirjaimetPienet kirjaimet

α alfa θ theta π piβ beta ι iota ρ roγ gamma κ kappa σ sigmaδ delta λ lambda τ tauǫ epsilon µ my υ ypsilonζ zeta ν ny φ fiη eta ξ xi χ khiψ psi ω omega

Isot kirjaimet

Γ Gamma Λ Lambda Σ Sigma∆ Delta Ξ Xi Υ YpsilonΘ Theta Π Pi Φ FiΨ Psi Ω Omega

83

Liite B. Joukko-oppiaJoukko koostuu alkioista (jasenista, elementeista). Kunhalutaan ilmoittaa, etta joukon A alkiot ovat a1, a2, . . .kaytetaan usein merkintaa

A = a1, a2, . . ..

Joukko voi olla tyhja, ts. siina ei ole yhtaan jasenta.Tyhjasta joukosta kaytetaan merkintaa ∅.Jos joukon A jasenet toteuttavat jonkun tietyn ehdon,merkitaan

A = x|ehto x:lle.Esimerkiksi

I = x|0 ≤ x ≤ 1on valilla 0 ja 1 olevien (reaali)lukujen joukko.Merkinta a ∈ A ilmoittaa, etta a on joukon A jasen, akuuluu joukkoon A. Jos kaikki joukon A alkiot ovat myosjoukon B alkioita, merkitaan A ⊂ B (B ⊃ A) jasanotaan, etta A kuuluu joukkoon B tai etta A on joukonB osajoukko.Joukkojen A ja B yhtasuuruus tarkoittaa, ettamolemmissa joukoissa on samat jasenet, ts. A ⊂ B jaB ⊂ A. Luonnollinen merkinta yhtasuuruudelle on A = B.Kahden joukon A ja B yhteisista jasenista koostuvaajoukkoa A ∩B sanotaan leikkaukseksi. Ilmeisestikin onvoimassa A ∩B = B ∩A, A ∩B ⊂ A ja A ∩B ⊂ B.Yhdiste A ∪B on molempien joukkojen A ja B alkioistakoostuva joukko. Se toteuttaa mm. relaatiotA ∪B = B ∪A, A ⊂ A ∪B ja B ⊂ A ∪B.

Liite C. KvanttoritMatematiikassa kaytetaan usein ilmauksia on olemassaja kaikilla. Esimerkkilauseita voisivat olla vaikkapa: onolemassa sellainen reaaliluku x, etta x2 = a kun a ≥ 0taikaikilla reaaliluvuilla x on voimassa x2 ≥ 0.Paastaan hieman vahemmalla kirjoittamisella, kunotetaan kayttoon formaalin logiikan kvanttorit ∃ ja ∀ilmaisemaan olemassaoloa (eksistenssia) jayleispatevyytta (universaalisuutta). Kvanttoreiden avullaesimerkkilauseet voitaisiin kirjoittaa vaikkapa muotoihin∃x ∈ R siten, etta x2 = a kun a ≥ 0jax2 ≥ 0 ∀x ∈ R.Symbolilla R on tassa merkitty reaalilukujen joukkoa.

84

Liite D. Intervalleja, jatkuvuuksia, . . .Reaaliakselin yhtenaisista osista intervalleista kaytetaanusein merkintoja

suljettu vali [a, b] tarkoittaa reaaliakselin valiaa ≤ x ≤ b, ts. alku- ja loppupisteet kuuluvat mukaan.

avoin vali (a, b) tarkoittaa valia a < x < b, ts. alku- jaloppupisteet eivat kuulu valiin.

puoliavoimet valit (a, b] ja [a, b) tarkoittavatvastaavasti valeja, joissa vain toinen paatepistekuuluu joukkoon.

Funktio f(x) on

rajoitettu jos tarkasteltavalla valilla on |f(x)| ≤M ,missa 0 ≤M <∞.

jatkuva jos se ei ”hyppaa”pisteesta toiseen,

paloittain jatkuva funktio jos se on jatkuva muuallapaitsi mahdollisesti aarellisen monessa tarkasteltavanvalin pisteessa.

85