SECCIÓN 1.3 Medidas de tendencia central

Medidas de tendencia central

En la presente el alumno:

Conoce las propiedades de las medidas de tendencia central. Calcula la media aritmética, la mediana y la moda para datos agrupados y no

agrupados. Argumenta la elección de una medida de tendencia central para describir el

comportamiento de un conjunto de datos.

Señale la necesidad de poder “describir numéricamente una muestra estadística”.

Consideremos la muestra estadística en la que cada representa un número, surgen las preguntas:

¿alrededor de qué número se agrupan?¿qué número aparece más veces?¿qué número divide a la muestra en dos partes iguales? ¿qué tan dispersos, respecto a un número específico se encuentran?

Las tres primeras preguntas se responden definiendo los promedios (medidas de tendencia central), la última mediante la definición de las medidas de dispersión.

Figura 1.10 Representación gráfica de una medida de tendencia central o promedio .

Presente formalmente la definición de promedio, así como los promedios más comunes utilizados en la descripción de una muestra.

Definición 1.5 Promedios Un promedio (o medida de tendencia central o medida de centralización) es un número alrededor del que se agrupan los datos de la muestra.

En la estadística descriptiva se definen diversos promedios para una muestra , sin embargo, solo trataremos los de mayor uso en su descripción.

46

UNIDAD 1 Estadística descriptiva

Definición 1.6 Media aritmética

La media aritmética de la muestra de tamaño de , es igual a la suma de los

datos divididos por el número total de ellos, es decir

ó .

El símbolo , letra griega sigma mayúscula, se utiliza para abreviar una suma; en la

definición 1.10 representa la suma de todos los datos de la muestra.

Ejemplo 1.12La muestra , corresponde al número de cigarrillos que fumó, por día, cierta persona durante la última semana, luego, la media aritmética es:

.

Lo que significa que en promedio, la persona, fumó cigarrillos por día.

La media aritmética (de una muestra) se ve afectada significativamente por la presencia de datos relativamente muy grandes o muy pequeños comparados con los restantes datos de la muestra (datos atípicos o aislados), si éste es el caso, la media aritmética suele no ser confiable. Un promedio que no presenta la desventaja anterior es la mediana ; la mediana muestral es el

número, que corresponde al valor central de la muestra , cuando los datos han sido ordenados de menor a mayor.

Definición 1.7 MedianaEl número que divide a la muestra en dos partes de manera que la mitad

de los datos es menor que y lo otra mitad es mayor que se llama mediana.

La figura 1.11 muestra el significado de la mediana.

Figura 1.11 Mediana de la muestra ordenada .

Para determinar la mediana de la muestra , ordenada crecientemente, se procede utiliza la relación:

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SECCIÓN 1.3 Medidas de tendencia central

los corchetes representan la posición (en la muestra ordenada) de los datos a utilizar.La mediana puede no pertenecer a la muestra, es decir, puede ser un número distinto a todos

los datos de la muestra. La mediana de una muestra no se ve afectada por la existencia de datos extremos; en una muestra el número de datos mayores que la mediana es igual al número de datos menores que ella, sin embargo sus propiedades algebraicas regularmente resultan complicadas.

Ejemplo 1.13Determine la mediana.a. .b. .Solucióna. La muestra ordenada crecientemente es: , puesto que , luego

, así la mediana es el dato que se encuentra en la tercera posición, es decir

.

b. Ahora , ordenemos los datos de menor a mayor:,

así

y , luego .

Por otra parte, el promedio que se utiliza para describir ó destacar atributos de una muestra es la moda.

Definición 1.8 ModaLa moda de la muestra , es el dato que más se repite.

La muestra puede no tener moda o en su caso tener dos modas o más modas.

Ejemplo 1.14a. En el dato más frecuente es el , luego la moda es .

b. En ningún dato se repite, por tanto no existe la moda.

c. La muestra es bimodal puesto que son modas: y .

48

UNIDAD 1 Estadística descriptiva

Es necesario que el estudiante conozca y comprenda qué promedio es el que conviene utilizar en una situación específica.

Ahora surge la pregunta ¿cuál es el promedio a elegir al requerirse un número representativo de una muestra? Comparemos los promedios antes descritos con el fin de adquirir una idea básica del más indicado de ellos bajo condiciones específicas.

La media aritmética es el promedio más utilizado ya que se puede calcular con exactitud y se basa en el total de las observaciones. Se emplea preferentemente en distribuciones simétricas (aquellas que carecen de datos extremos) y es el promedio que presenta menores fluctuaciones al variar la composición de la muestra; la media aritmética, es especialmente útil para cálculos posteriores de otros valores estadísticos. Presenta el inconveniente de ser afectada por valores extremos, cosa que no ocurre con los otros promedios.

La mediana, es más conveniente que los otros promedios, cuando la distribución de los datos es asimétrica, y cuando los valores extremos están tan alejados que distorsionan el significado de la media aritmética; también se utiliza en aquellas situaciones en que existen datos sin determinar. La principal característica de la mediana es que no se ve afectada por los valores extremos. Tiene el inconveniente de que se presta menos a operaciones algebraicas que la media aritmética.

La moda es una medida que se emplea poco, a no ser que haya tal concentración de datos en la muestra que un valor destaque claramente sobre todos los demás. Puede servir también para cuando se desee estimar de una forma rápida, aunque no muy precisa, un promedio. La moda, al igual que la mediana, no se ve afectada por los valores extremos de la muestra; también es poco susceptible de efectuar con ella operaciones algebraicas.

Ejemplo 1.15Suponga que queremos describir de una forma breve y precisa los resultados en la puntualidad obtenidos por un conjunto de trabajadores de una empresa; diríamos:a. El retardo medio es de minutos.b. La mitad de los trabajadores han obtenido un retardo inferior a minutos.c. La nota de retardo que más veces se repite es el de minutos.En la expresión a., se utiliza como promedio la media aritmética. En b. se emplea como medida la mediana, que es el valor promedio que deja por debajo de ella la mitad de las notas y por encima la otra mitad. En c. se usa el valor de la moda que más veces se ha repetido.

Extienda los conceptos de promedio y los promedios antes definidos a una tabla de frecuencias.

Las relaciones utilizadas para calcular los promedios a partir de una tabla de frecuencias son similares al caso en que la muestra se encuentra sin tratar. Veamos la forma de calcularlos.

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SECCIÓN 1.3 Medidas de tendencia central

Suponga que la muestra es equivalente a la tabla de frecuencias Dato

Peso o frecuencia

y que cada dato tiene dado por , entonces:

a. La media aritmética se calcula con la relación .

b. Para determinar la mediana, note que el tamaño de la muestra es , luego

agregue a la tabla de frecuencias la columna de las frecuencias acumuladas; en otra columna indique los índices de los datos que pertenecen a cada medida .

Si es impar ubique el dato con índice , para ello sume las frecuencias hasta la fila de

en que la suma sea ó sea rebasado el dato de índice , luego la mediana es el dato

correspondiente a la fila seleccionada. Si es par ubique los datos de índices y

y luego calcule la media aritmética de ellos: .

c. La moda es el dato (o datos) que tiene asociada la mayor frecuencia.

Ejemplo 1.16En la siguiente tabla corresponde al número de materias reprobadas por estudiantes del

CCH.Dato

Frecuencia

Luego, la media aritmética es .

Para calcular la mediana completemos la tabla de frecuencias:

50

UNIDAD 1 Estadística descriptiva

Dato Frecuencia

Frecuencia acumulada

Desde hasta

En número de datos es , entonces y son los índices de los datos

centrales, por consiguiente y , así la mediana es .

La fila en que la frecuencia es máxima corresponde al dato , luego la moda es .

Ejemplo 1.17Suponga que el profesor de estadística da al examen final un peso cuatro veces mayor al valor que tienen los exámenes parciales. a. ¿Cuál es la media aritmética que obtiene un estudiante si las calificaciones de sus exámenes fueron , , y la del examen final fue ?b. Determine la mediana y la moda.SoluciónLa tabla siguiente ilustra la situación

Calificación

Peso Calificación

Peso

Frec. acumulada

Desde hasta

a. La media aritmética es: .

b. Dadas las características del problema es posible considerar que , el dato central es el de

índice , por tanto .

La moda es (dato más frecuente).

Extienda los conceptos de promedio y los promedios antes definidos a una distribución de frecuencias.

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SECCIÓN 1.3 Medidas de tendencia central

A partir de la distribución de frecuencias es posible efectuar una estimación adecuada de los promedios de la muestra, así, la media aritmética se calcula con la relación:

con y representa la marca de clase de la clase .

La mediana de la distribución de frecuencias es:

si el número de datos es impar.

si el número de datos es par.

En las relaciones anteriores:

La clase mediana es aquella que contiene al dato si el número de datos es impar y

cuando el número de datos es par. es el límite real inferior de la clase mediana.

es la medida o ancho del intervalo de la clase mediana.

es la frecuencia de la clase mediana.

es la frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase mediana.

La moda de la distribución de frecuencias es: .

En donde: la clase modal se define como la clase en donde es máxima.

es el límite inferior del intervalo de clase modal.

es la medida o ancho del intervalo de la clase modal.

es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase contigua

anterior. Es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la frecuencia de la clase contigua

posterior.

Ejemplo 1.18Si

Clases

Límites de clase

Límites reales

Frec. Frec. Acum.

Marca de clase

A

B

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UNIDAD 1 Estadística descriptiva

C

D

E

F

G

H

El tamaño de la muestra es datos. La media aritmética es

.

Para determinar la clase mediana localizamos el dato número con índice , mismo

que se encuentra en el intervalo de la clase , luego la clase mediana es la clase y así

, , y , en consecuencia .

La clase modal es el intervalo de frecuencias de la clase puesto que ella el valor de es

máximo, consecuentemente , , y .

.

Los ejercicios de apoyo 1.3 pueden serle útiles en el desarrollo de su curso y en consecuencia en la concreción de los propósitos y aprendizajes señalados en los planes y programas de estudio.

EJERCICIOS DE APOYO 1.3

1. Los periodos de tiempo, en horas, que víctimas esperaron en una delegación de policía antes de ser atendidos fueron:

, , , , , , , , , .Determine:a. La media aritmética.b. La mediana.c. La moda.

2. Los tiempos de reacción de individuos sujetos a un estimulante fueron (en segundos):

, , , , , , , ,

.Calcule:a. La media aritmética.b. La mediana.c. La moda.

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SECCIÓN 1.3 Medidas de tendencia central

3. Los empleados de una escuela local realizaron las siguientes donaciones, en pesos, a un compañero que sufrió un fuerte robo, , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , .Calcule:a. La media aritmética.b. La mediana.c. La moda.

4. Los pesos de lechones al nacer fueron

, , , , , , ,

,

, , , , , , ,kilogramos. Calcule:a. La media aritmética.b. La mediana.c. La moda.

5. Un artículo elaborado por la sección de medicina deportiva de la UNAM, reportó los siguientes datos sobre el esfuerzo realizado por un solo brazo en el levantamiento de una pesa.

, , , , , , ,

, , , , , , .a. Determine la media aritmética, la moda y la mediana.b. Cambie el primer dato por . ¿Cómo cambia la mediana?c. Calcule una mediana recortada al eliminar los datos mínimo y máximo. ¿Cuál es el correspondiente porcentaje de ajuste?

6. La propagación de grietas por tiempo de uso en diversas partes de los autobuses ha sido objeto de un profundo estudio en años recientes. Los datos que aparecen a continuación muestran el tiempo

en que su propagación (horas de recorrido/ )

hasta llegar a un tamaño de grieta considerado peligroso:

, , , , ,

,

, , , , ,

,

, , , .a. Calcule la media aritmética y la mediana.b. ¿En cuanto se puede reducir el dato mayor, sin afectar el valor de la mediana?

7. En un reporte científico, sobre el estudio del grueso de la capa de nieve en los distintos continentes, se incluyeron las siguientes diez observaciones de la capa de nieve en octubre,

, , , , ,

, , , , centímetros cuadrados.

a. Calcule los promedios.b. ¿Qué promedio reportaría como valor representativo, o típico, de la capa de nieve en octubre y qué le sugirió esta respuesta?

8. Se seleccionó una muestra de automóviles, y cada uno se sometió a una prueba de choque a una velocidad de kilómetros por hora. Si se

denota un automóvil sin daños visibles por (por

éxito), y uno con daños por , los resultados son

como sigue: , , , , , , , , , . ¿Cuál es el valor de la proporción muestral de

éxitos ? Sustituya cada con un y cada

con un . Luego calcule . ¿Cómo se compara

con ?

9. Un estudio sobre la relación entre la edad y el grueso de la piel, reporta las siguientes

observaciones (en ):

, , , , , ,

, , , , , ,

, , , , .

10. Los siguientes datos corresponden a los tiempos (en segundos) utilizados, en una competencia por personas de edad madura

en recorrer metros.

, , , , ,

, , , , .

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UNIDAD 1 Estadística descriptiva

a. Calcule . Sume cinco a cada dato y calcule del grupo de datos así obtenido, compare sus resultados.b. Multiplique por cada dato y calcule del grupo de datos así obtenido; compare sus resultados con los del inciso anterior.

a. Calcule .

b. Reste a cada dato y calcule . c. Compare los resultados obtenidos en los incisos anteriores.d. Reste a cada uno de los datos y calcule . e. Compare los resultados obtenidos antes.

11. Si y

, , , , , ,

, , , , , .

Calcule , y .

12. a. Si y , calcule .

b. Si y , calcule .

13. Sea:a.

Calcule , y .

b. Agregue a cada dato y calcule .

c. Compare en los incisos anteriores, ¿qué concluye?

14.

a. Calcule , y .

b. Multiplique por cada dato y calcule .

c. Compare en los incisos anteriores, ¿qué concluye?

15. a.

Calcule , y .

b. Agregue a cada dato y calcule .

c. Compare en los incisos anteriores, ¿qué concluye?

16. Considere la siguiente tabla de frecuencias:

a. ¿Cuál es el valor de si ?

b. ¿Cuál es el valor de si ?

c. ¿Cuál es el valor de si ?

17. En la siguiente tabla de frecuencias:

a. ¿Cuál es el valor de si ?

b. ¿Cuál es el valor de si ?

c. ¿Cuál es el valor de si ?

18. Para la distribución de frecuencias:Límites reales Frecuencia

Calcule: La media aritmética, la mediana y la moda.

19. A continuación se muestra la distribución de los tiempos necesarios para transcribir un conjunto de notas taquigrafiadas.

20. La siguiente distribución corresponde a los pesos de los alumnos del grupo de Estadística.

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SECCIÓN 1.3 Medidas de tendencia central

Límites reales Frecuencia

Calcule la media aritmética, la mediana y la moda.

Límites Frecuencia

Calcule la media aritmética, la mediana y la moda.21. La distribución de frecuentas de la variable “Estás mejor aquí que allá enfrente”, se muestra a continuación:

Calcule la media aritmética, la mediana y la moda.

22. Las velocidades de ciclistas que participaron en una carrera se midieron mediante un dispositivo de radar en una de las vías rápidas de de la Ciudad de Monterrey. La distribución de frecuencias se muestra a continuación.

Límites reales Frecuencia

Calcule la media aritmética, la mediana y la moda.

Puede implementar algunas de las actividades 1.3 en el desarrollo para la concreción de los propósitos y aprendizajes señalados en los planes y programas de estudio.

ACTIVIDADES DE APOYO 1.3

Clase

Límites reales

Frecuencia

A

B

C

D

E

F

G

H

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UNIDAD 1 Estadística descriptiva

ACTIVIDAD G1Investigación de campo (tercera parte)Pregunte a por lo menos sesenta de sus compañeros el número de direcciones que se encuentran en su celular y con la información obtenida construya la distribución de frecuencias. Luego trace los gráficos correspondientes. Calcule los promedios tratados en la sección.

ACTIVIDAD G2Investigación de campo (tercera parte)Pregunte a sus compañeros la altura de sus padres, anótelas y con la información obtenida construya la distribución de frecuencias correspondiente. Luego trace los gráficos correspondientes. Calcule los promedios tratados en la sección.

ACTIVIDAD G3Investigación de campo (tercera parte)Consiga un “flexómetro”, mida la envergadura de sus compañeros de grupo (en centímetros), anótelas y con la información obtenida construya la distribución de frecuencias correspondiente. Trace los gráficos correspondientes. Calcule los promedios tratados en la sección.

ACTIVIDAD G4Investigación de campo (tercera parte)Anote las placas de los siguientes 80 automóviles que observe, con la información obtenida construya la distribución de frecuencias correspondiente, luego trace los gráficos vistos en la presente sección. Calcule los promedios tratados en la sección.

ACTIVIDAD A cada dato del conjunto , agregue unidades y

calcule los promedios descritos en la presente sección ¿cómo cambian estos? ¿Puede establecer una propiedad general regla?Reste ahora unidad a cada dato y calcule los promedios ¿cómo cambian estos? ¿Puede establecer una propiedad general?

ACTIVIDAD Multiplique los datos del conjunto por y calcule los

promedios ¿cómo cambian éstos? ¿Puede establecer una regla general? ACTIVIDAD

Construya una tabla de frecuencia con las calificaciones que obtuviste en los semestres anteriores y después determina los promedios.

ACTIVIDAD Construya una tabla de frecuencia con las edades de tus compañeros y posteriormente calcula los promedios.

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