1. ÇÖZÜM YOLU:

(15)8 = 1.8+5 = 13

13:2 = 6.2+1

6:2 = 3.2+0

3:2 = 1.2+1

En son bölümden başlayarak kalanları

sıralarız. (15)8 = (1101)2

2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında

yazarız.

(15)8 → 5 = 2.2+1 , 2 =1.2+0 , 5 = (101)2

1 = 0.2+1 , 1 = (1)2

(15)8 = (1101)2

163

243+163+83=

(2.8)3

(3.8)3+(2.8)3+83

=23. 83

3383 + 2383 + 83

=23. 83

83(33 + 23 + 1)

=23

33 + 23 + 1

=8

27 + 8 + 1=

8

36=

2

9

3𝑥

22𝑥=

1

5 ⇒

3𝑥

(22)𝑥=

1

5

(3

22)

𝑥

=1

5

(3

4)

𝑥=

1

5

(4

3)

𝑥= 5

Her iki tarafın 1

𝑥 inci kuvvetini alalım.

51𝑥 = ((

4

3)

𝑥

)

1𝑥

⇒ 51𝑥 =

4

3

𝑥 = √54

= 51

4 ⇒ 𝑥2 = (51

4)2

𝑥2 = 51

2 = √5

(x2 – 2 )-1 = (√5 − 2)−1 =1

√5−2

Paydayı rasyonel yapmak için pay ve paydayı

√5 + 2 ile çarpalım.

(𝑥2 − 2)−1 =√5 + 2

(√5 − 2)(√5 + 2)=

√5 + 2

5 − 4= √5 + 2

𝑥(𝑦+𝑧)+𝑧(𝑦−𝑥)

𝑥2+𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑦𝑧=

𝑥𝑦+𝑥𝑧+𝑧𝑦−𝑧𝑥

𝑥(𝑥+𝑦)+𝑧(𝑥+𝑦)

=𝑥𝑦 + 𝑧𝑦

(𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑧)=

𝑦(𝑥 + 𝑧)

(𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑧)

=𝑦

𝑥 + 𝑦

(x+y)2 = x2 + 2xy + y2

= 15 + 2.5 = 15 + 10 = 25

x + y = 5

x3 + y3 = (x+y)(x2-xy+y2)

= 5.(15 – 5 ) = 5.10 = 50

x2 -4y = -7

y2 - 2x = 2 Eşitliklerini toplayalım.

x2 -4y + y2 – 2x = -7 + 2

(x – 1)2 + (y – 2)2 = -5 + 1 + 4

(x – 1)2 + (y – 2)2 = 0

x – 1 = 0 , x = 1 y – 2 = 0 , y = 2

x + y = 1 + 2 = 3

(√7 + √3)𝑥

= 4

(√7 − √3)𝑥

= 𝑡 diyerek çarpalım.

(√7 + √3)𝑥

. (√7 − √3)𝑥

= 4. 𝑡

[(√7 + √3)(√7 − √3)]x = 4.t

(7 − 3)𝑥 = 4. 𝑡

4𝑥 = 4. 𝑡 ⇒ 𝑡 =4𝑥

4= 4𝑥−1

1A + 2A + 3A + … + 9A = 504

Sayıları çözümlersek;

10+A + 20+A + 30+A + … + 90+A = 504

10+20+30+ … + 90 + 9.A = 504 ⇒ 9.10

2. 10 + 9. 𝐴 = 450 + 9. 𝐴 = 504

9.A =504 -450 = 54 ⇒ A = 6

12 = 22.3 ve 27 = 20.33

2a.3b≡ 0 ≡ 12 = 22.3.k1 (mod 12)

2b.3a ≡ 0 ≡ 27 = 20.33.k2 (mod 27)

Eşitlikleri taraf tarafa çarpalım.

2a.3b.2b.3a = 22.3.k1.20.33.k2

2a+b.3a+b = 20+2.31+3.k1.k2

(2.3)a+b = 22.34. k1.k2

k1.k2 = 22 alınırsa;

6a+b = 24.34 =64 olur ki

a+b nin alabileceği en küçük değer 4 tür.

(a=3 ve b=1)

Pozitif bölenlerinin sayısı 3 olan sayılar,

bir asal sayının karesi olan sayılardır.

22, 32, 52, 72 gibi.

1 < n < 50 koşulunu sağlayan 4 tane n tam sayısı vardır.

-1 < y < 0 < x

x, pozitif.

-1 < y ise 0 < y+1 dir.

x.(y+1) > 0 pozitif iki sayının çarpımı

pozitiftir.

I. ve II. x ve y nin her değeri için doğru

olmayabilir.

a∆𝑏 = 𝑎2 + 2𝑏

1∆𝑥 = 12 + 2𝑥 = 1 + 2𝑥

2∆(1∆𝑥) = 2∆(1 + 2𝑥) = 22 + 2(1+2𝑥) = 12

4+2(1+2𝑥) = 12

2(1+2𝑥) = 8 = 23

1 + 2𝑥 = 3

2𝑥 = 2

x = 1

YA DA: 1∆𝑥 = 𝑦 diyerek; 2∆𝑦 = 22 + 2𝑦 = 12 , 2𝑦 = 8 = 23 , y = 3

1∆𝑥 = 12 + 2𝑥 = 3 , 2𝑥 = 2 , x = 1

∀𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝑍 için

x1 ≠ x2 ise f(x1)≠f(x2) dir.

f bire birdir.

(farklı tam sayıları, farklı tam sayılara

eşler)

f(-1)=-1-1=-2 , f(-2)=-2-1=-3 ,

f(-3)=-3-1=-4 , …

f(0)=0+1=1 , f(1)=1+1=2 ,

f(2)=2+1=3 , …

f(x)=0 ve f(x)=-1 eşitliklerini sağlayan x değerleri yoktur. (Örten değil, içine dir.)

Görüntü kümesi; Z\{-1,0} dır.

(gof)(x) = g[f(x)] = g(|2x-5|)

= ||2x-5|+1| = 3

|2x-5|+1 = 3 veya |2x-5|+1 = -3

|2x-5| = 2 veya |2x-5| = -4

2x-5=2 veya 2x-5=-2

2x=7 veya 2x= 3

x=7/2 veya x= 3/2

|2x-5| = -4 Ç = ∅ x1+x2 = 7/2 + 3/2 = 5

I. f(x) < f(x+2)

f(1) < f(1+2) < f(3+2) ise f(1) < f(5) olur.

II. f(-1) < f(-1+2) , f(-1) < f(1) dir. Fakat;

Mutlak değerleri arasında aynı sıralamanın

olduğu söylenemez.

Örneğin: f(x)=x-5 için

f(-1)=-1-5=-6 < f(1)=1-5=-4 , Fakat;

|-6| < |-4| DEĞİLDİR.

III. f(0) < f(2) < f(4)

f(2) ye f(0) ı, f(4) e f(4) ü eklersek

eşitsizlik değişmez.

f(0) + f(2) < 2.f(4) olur.

x∈ 𝐴\(𝐵 ∩ 𝐶) Verilmiş.

x∈ 𝐴 ve x∉ (𝐵 ∩ 𝐶) Doğru.

x∈ 𝐴 ve (x∉ 𝐵 ve x∉ 𝐶) YANLIŞ.

ÇÜNKÜ: x∈ 𝐴 ve x∉ (𝐵 ∩ 𝐶)

Koşulunu sağlayan x elemanı B nin veya

C nin elemanı olabilir.

HATA II NOLU ADIMDADIR.

P(x) polinomunun katsayılar toplamı

P(1) dir.

P(1)=(1+a)(1+b)=15

a,b∈Z+ verildiğinden;

1+a=15 ve 1+b=1 olursa; b=0∉Z+

1+a=5 ve 1+b=3 olursa; a=4 ve b=2 olur. a+b=6

1+a=3 ve 1+b=5 olursa; a=2 ve b=4 olur. a+b=6

1+a=1 ve 1+b=15 olursa; a=0∉Z+

P(x) in kökleri eşit ise; ∆= 0 olmalıdır.

∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = (−2)2 − 4.1. 𝑚 = 0

m = 1 , P(x)=x2-2x+1=(x-1)2

x1=x2=1 , Ortak kök 1.

Q(1)=12+3.1+n=0 , n = -4

m + n = 1 +(-4)=-3

Parabol ile doğrunun bir tek ortak noktası

vardır. Ortak çözümde ∆= 0 olmalıdır.

x2-2(a+1)x+a2-1 = 1

x2-2(a+1)x+a2-2 = 0

∆= [−2(𝑎 + 1)]2 -4.1(a2-2) = 0

8a + 12 = 0 , a = -3/2

2. YOL: y=1 doğrusu parabole tepe noktasında teğettir. k = 1 olmalıdır.

T.N(r,k) ; r = −𝑏

2𝑎=

2(𝑎+1)

2= 𝑎 + 1 ; f(a+1)=(a+1)2-2(a+1)(a+1)+a2-1=1

-2a-2 = 1 , 2a = -3 , a = -3/2

Aynı renkten iki gülü, 5 farklı renk

içinden 5 farklı şekilde seçer.

Diğer bir gülü de kalan 4 renk içinden

4 farklı şekilde seçer.

2 çeşit vazodan 1 vazo 2 farklı şekilde seçilebilir.

Çarpma kuralı gereği; 5.4.2 = 40 farklı şekilde seçim yapılabilir.

2. YOL : C(5,2).C(2,1).C(2,1) = 10.2.2 =40 (5 RENK İÇİNDEN 2 RENK, 2 RENKTEN

BİRİNDEN 2 TANE VE İKİ VAZODAN BİRİ)

Örnek uzayı:(Olabileceklerin tümü)

C(9,3)=9.8.7/3.2.1 = 84

İstenen: (Olay)

2 kırmızı,1 beyaz veya 1 kırmızı, 2

beyaz.

C(5,2).C(4,1)+C(5,1).C(4,2)=10.4+5.6=70

OLASILIK = 70/84 = 5/6

cos 135o = cos(1800-450) = -cos 450 =−√2

2

cos 3300 = cos(3600-300) = cos 300 = √3

2

sin 1500 = sin(1800-300) = sin 300 = 1

2

𝑐𝑜𝑠1300 + 𝑐𝑜𝑠3300

𝑠𝑖𝑛1500=

−√22 +

√32

12

= √3 − √2

m(CAB)=450 Karede köşegen kenarlarla 450

lik açı yapar.

m(BAE) +x = 450

x = 450 – m(BAE)

tan x = tan(450 – m(BAE))

=𝑡𝑎𝑛450−tan (𝑚𝐵𝐴𝐸)

1+𝑡𝑎𝑛450.tan (𝑚𝐵𝐴𝐸) tan(mBAE)=

5

12

=1−

5

12

1+1.5

12

=7

17

sin 2x = 2 sin x. cos x

2 sin x . cos x . cos 2x = 2 sin x .1

16 sin 𝑥

sin 2x . cos 2x = 1

8

1

2. 𝑠𝑖𝑛4𝑥 =

1

8

sin 4x = 1

4

Denklemin kökü, eşitliği sağlayan sayıdır.

(2

3)

2− (𝑠𝑖𝑛 𝑎).

2

3−

1

4(𝑐𝑜𝑠2𝑎) = 0

sin2 a + cos2 a = 1

sin a = m dersek; cos2a = 1-m2 olur.

4

9− 𝑚.

2

3−

1

4(1 − 𝑚2) = 0

9m2-24m+7=0 , (3m-7)(3m-1)=0

3m-7=0 , m=7/3 Olamaz. -1≤ 𝑚 ≤ 1 olmalı

3m – 1 = 0 , m = 1/3 = sin a olur.

)sin.(cos irz sayısı için ;

)sin.(cos ninrz nn

f(z0) = 1 – 2z06

𝑧06 = (𝑐𝑜𝑠 (

𝜋

3) + 𝑖𝑠𝑖𝑛 (

𝜋

3))

6

= 𝑐𝑜𝑠2𝜋 + 𝑖𝑠𝑖𝑛2𝜋 = 1

f(z0) = 1-2.1 = -1

(|z|+z)(|z|-𝑧̅ ) = i

|z|2 - |z|.𝑧̅ + z.|z| - z. 𝑧̅ = i

z=a+bi , 𝑧̅ = a-bi , z. 𝑧̅ = a2+b2 =|z|2

-|z|.𝑧̅ +z.|z|= i

|z|(z-𝑧̅) = i

|z|[a+bi-(a-bi)] = i

|z|(2bi) = i

bi = 1

2|𝑧|𝑖 ⇒ b =

1

2|𝑧|

1 sayısına uzaklığı 2 birim; |z-1|=2

i sayısına uzaklığı 3 birim; |z-i|=3

|a+bi-1|=|(a-1)+bi|=√(𝑎 − 1)2 + 𝑏2=2

|a+bi-i|=|a+(b-1)i|=√𝑎2 + (𝑏 − 1)2=3

Karelerini alır, taraf tarafa çıkarırsak;

a – b = 5/2 bulunur.

log𝑎𝑛 𝑥𝑚 =𝑚

𝑛log𝑎 𝑥

log2 3𝑥 + log22 𝑥2 = 2

log2 3𝑥 +2

2log2 𝑥 = 2

log2 3𝑥 + log2 𝑥 = 2

log2 3𝑥. 𝑥 = 2

log2 3𝑥2 = 2

3𝑥2 = 22 ⇒ 3x2 = 4 ⇒ x2= 43 ⇒ x =

2

√3 ⇒ x =

2√3

3

2𝑥 =1

5 ⇒ log2

1

5= 𝑥 ⇒ 𝑥 = − log2 5

3𝑦 =1

4 ⇒ log3

1

4= 𝑦 ⇒ y = − log3 4

𝑥. 𝑦 = (− log2 5)( − log3 4) = log2 5. log3 4

𝑥. 𝑦 =ln 5

ln 2.ln 4

ln 3=

ln 5

ln 2.ln 22

ln 3=

ln 5

ln 2.2. ln 2

ln 3

𝑥. 𝑦 =2 ln 5

ln 3=

ln 52

ln 3=

ln 25

ln 3

∑ (∏𝑘+1

𝑘

𝑛𝑘=1 )9

𝑛=4

= ∑ (21

.32

.43

…𝑛 + 1

𝑛) =

9

𝑛=4

∑(𝑛 + 1)

9

𝑛=4

= 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 45

9≡ 7 ≡ 1 (mod 2)

a9 = 29 – 1 ve a7 = 27 – 1

8≡ 6 ≡ 0 (mod 2)

a8 = 28 + 1 ve a6 = 26 + 1

𝑎9 − 𝑎7

𝑎8 − 4. 𝑎6=

29 − 1 − (27 − 1)

28 + 1 − 4. (26 + 1)

=29 − 27

28 + 1 − 22. 26 − 22=

27(22 − 1)

28 − 28 − 3

=27. 3

−3= −27

Çevre = 2𝜋𝑟

Çevre toplamı = 2𝜋. 4 + 2𝜋. 2 + 2𝜋. 1 + ⋯

= 2𝜋(4 + 2 + 1 + ⋯ )

= 2𝜋 (4

1−1

2

) = 16𝜋

(𝑎 𝑏0 𝑐

) . (𝑎 𝑏𝑜 𝑐

) = (𝑎. 𝑎 + 𝑏. 0 𝑎. 𝑏 + 𝑏. 𝑐0. 𝑎 + 𝑐. 0 0. 𝑏 + 𝑐. 𝑐

)

(𝑎2 𝑎. 𝑏 + 𝑏. 𝑐0 𝑐2 ) = (

1 20 4

)

a2 = 1 , a = 1

c2 = 4 , c = 2

a.b+b.c =1.b+b.2=3b = 2 , b = 2/3

a + b + c = 1 + 2/3 + 2 = 11/3

(1 03 1

)−1

=1

1.1−3.0(

1 0−3 1

) = (1 0

−3 1)

= (2 1). (1 0

−3 1) . (

14

)

= (2.1 + 1. (−3) 2.0 + 1.1). (14

)

= (−1 1). (14

) = (−1.1 + 1.4) = (3)

(3) = (a) olduğundan a = 3 tür.

(2(2 31 2

) − (1 20 5

)). (𝑥𝑦) = (

10

)

((4 62 4

) − (1 20 5

)) (𝑥𝑦) = (

10

)

(3 42 −1

) (𝑥𝑦) = (

10

)

(3𝑥 + 4𝑦2𝑥 − 𝑦

) = (10

)

3x + 4y = 1

2x – y = 0

𝑠𝑖𝑛3.0

2−√4−0=

𝑠𝑖𝑛0

2−2=

0

0 Belirsizlik.

Hospital; lim𝑥→0

𝑠𝑖𝑛3𝑥

2−√4−𝑥= lim

𝑥→0

3.𝑐𝑜𝑠3𝑥1

2√4−𝑥

=3. 𝑐𝑜𝑠3.0

1

2√4 − 0

=3.1

14

= 12

(1-1).ln(02-1) = 0.ln 0 = 0.∞ Belirsizlik.

lim𝑥→1+

(𝑥 − 1). ln(𝑥2 − 1) = lim𝑥→1+

ln (𝑥2 − 1)

1𝑥 − 1

∞

∞ Belirsizliğine dönüştü. Hospital;

lim𝑥→1+

ln (𝑥2 − 1)

1𝑥 − 1

= lim𝑥→1+

2𝑥𝑥2 − 1

−1(𝑥 − 1)2

= lim𝑥→1+

2𝑥

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1).(𝑥 − 1)2

−1= lim

𝑥→1+

−2𝑥(𝑥 − 1)

𝑥 + 1=

−2.1(1 − 1)

1 + 1=

0

2= 0

lim𝑥→2+

𝑓(2𝑥 − 1) = 𝑓(2. 2+ − 1) = 𝑓(3+) = 1

lim𝑥→2+

𝑓(5 − 𝑥) = 𝑓(5 − 2+) = 𝑓(3−) = 2

lim𝑥→2+

𝑓(𝑥2 − 1) = 𝑓((2+)2 − 1) = 𝑓(3+) = 1

lim𝑥→2+

𝑓(2𝑥 − 1) + 𝑓(5 − 𝑥)

𝑓(𝑥2 − 1)=

1 + 2

1= 3

lim𝑥→1−

𝑓(𝑥) = lim𝑥→1−

(1) = 1

lim𝑥→1+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→1+

(𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏)

= 1 + 𝑎 + 𝑏

lim𝑥→1−

𝑓(𝑥) = lim𝑥→1+

𝑓(𝑥) olmalı.

1+a+b=1 ⇒ a+b = 0 (1)

lim𝑥→3−

𝑓(𝑥) = lim𝑥→3−

(𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏) = 9 + 3𝑎 + 𝑏 , lim𝑥→3+

𝑓(𝑥) = lim𝑥→3+

(5) = 5

lim𝑥→3−

𝑓(𝑥) = lim𝑥→3+

𝑓(𝑥) olmalı.

9+3a+b = 5 ⇒ 3a+b = -4 (2)

(1) ve (2) den 2a = -4 ⇒ a = -2 , b = 2

a – b = -2 -2 = -4

[f(g(x))]’ = 2x +4

g'(x).f’(g(x)) = 2x+4

g’(x) = 1

g(x) = x+a = 0 ⇒ x = -a

1.f’(0) = 2(-a)+4

1.1 = -2a+4 ⇒ a = 3/2

2x+5=6 ⇒ x =1/2 için;

[f(2x+5)]’ = [tan(𝜋

2𝑥)]’

2.f’(2x+5) = 𝜋

2(1 + 𝑡𝑎𝑛2 (

𝜋

2𝑥))

2.f’(6) = 𝜋

2(1 + 𝑡𝑎𝑛2 (

𝜋

2.

1

2))

2.f’(6) = 𝜋

2(1 + 𝑡𝑎𝑛2

𝜋

4) =

𝜋

2(1 + 1)

f'(6) = 𝜋

2

P(x) = a(x-x1)(x-x2)(x-x3)

P(x)=(x+5)(x-2)(x-x3)=(x2+3x-10)(x-x3)

P(x)’in x=0 noktasında bir yerel

ekstremumu olması için,

P’(0) = 0 olmalıdır.

P’(x)=(2x+3)(x-x3)+ (x2+3x-10).1

P’(0) = 3(-x3)-10 = -3x3-10 = 0

x3 = -10/3

x≥ 0 için; f(x) = -2x + c

x< 0 için; f(x) = 3x + c

fonksiyonunun türev fonksiyonudur.

f(2) – f(1) = -2(2)+c-(-2(1)+c)=-4+2=2 D

x < 0 için f’(x) > 0 , x > 0 için f’(x) <0

olduğundan fonksiyonun x=0 noktasında

yerel maksimumu vardır. D

f’(0-) ≠f’(0+) olduğundan grafiktede

görüldüğü gibi 1. Türev tanımsızdır. Bu

yüzden 2. Türev tanımsızdır.

(a,b) noktasındaki normali, (0,1)

noktasından geçmelidir.

f'(x)=-2x , mt=-2a , mn= 1

2𝑎

y-b=1

2𝑎(x-a) Normal denklemi.

1 – b = 1

2𝑎(0 – a) , b =

3

2

2. YOL: (a,b) noktası ile (0,1) noktası arasındaki uzaklığın en küçük olması sağlanır.

u = √(𝑎 − 0)2 + (𝑏 − 1)2 = √𝑎2 + (𝑏 − 1)2 b = 6 – a2 olduğundan;

u = √𝑎2 + (5 − 𝑎2)2 , u’ = 2𝑎+2(5−𝑎2)(−2𝑎)

2√𝑎2+(5−𝑎2)2 =

4𝑎3−18𝑎

√𝑎2+(5−𝑎2)2 = 0 , 4a3 -18a = 0

2a(a2-9

2) = 0 , a1=0 , a2=3/√2 , a3= - 3/√2 , a2 = 3/√2 > o için b = 3/2

f(x) = u dersek; f’(x).dx = du olur.

∫𝑓′(𝑥)

[𝑓(𝑥)]2 𝑑𝑥 = ∫𝑑𝑢

𝑢2

∫ 2𝑑𝑥 = 2𝑥 + 𝑐 yerlerine yazılırsa;

∫𝑑𝑢

𝑢2= 2𝑥 + 𝑐

∫𝑑𝑢

𝑢2= ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢 =

𝑢−2+1

−2 + 1= −

1

𝑢

−1

𝑢= 2𝑥 + 𝑐 ⇒ 𝑢 = 𝑓(𝑥) =

−1

2𝑥+𝑐

f (0) =−1

2.𝑜+𝑐=

−1

𝑐=

1

2 ⇒ c = -2

f(x) = −1

2𝑥−2 , f(3) =

−1

2.3−2=

−1

4

u = arcsin x dersek

arcsin x = u ⇒ x = sin u

⇒ dx = cos u. du

∫(arcsin 𝑥)2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢2. cos 𝑢. 𝑑𝑢

x = y2 + 1 ve y = x2 + 1 fonksiyonları

ters fonksiyon olduklarından x ve y

eksenleri ile oluşturdukları alanlar

eşittir.

A + B + C = 25 ve B = C dir.

x = y2 + 1 ⇒ y = √𝑥 − 1

C = ∫ √𝑥 − 15

1. 𝑑𝑥 = ∫ (𝑥 − 1)

1

2𝑑𝑥5

1

=2

3(𝑥 − 1)

3

2 |51 =

2

3(4

3

2 − 0) =16

3

A + 16

3+

16

3= 25 ⇒ A =

43

3

V = 𝜋 ∫ 𝑥2𝑑𝑦 = 𝜋 ∫9−𝑦2

9𝑑𝑦

3

1

3

1

=𝜋

9(9𝑦 −

𝑦3

3) |

31

=𝜋

9(27 − 9 − 9 +

1

3)

V = 28

27𝜋 br3