10. 2端子回路の直列接続10. Serial Connection of Two-Terminal Circuit

講義内容

1. インピーダンスの直列接続2. インピーダンスとアドミタンスの直列接続3. 直列回路・直並列回路の例題

インピーダンスの直列接続 2

a

I

V

1Z

2Z

3Z

1 1V Z I=

b

2 2V Z I=

3 3V Z I=

( )1 2 3

1 2 3 1 2 3

V V V V

Z I Z I Z I Z Z Z I

= + +

= + + = + +

各インピーダンスの端子電圧

a-b間の 合成 インピーダンス

a

I

V Z

b

( )1 2 31 2 3

Z Z Z IVZ Z Z Z

I I

+ + = = = + +　

直流回路と本質は同じ

合成インピーダンス 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

( )

( )

Z Z Z Z

R R R

j X X X

= + +

= + +

+ + +

1R

1Z

1θ1jX

2Z

2R

2jX2θ

3θ

3R

3jX3Z

各インピーダンス図を合成 させて

合成インピーダンス図を作成する

1 1 1 1 1 1 1 1 1cos sinZ Z θ Z θ j Z θ R jX= = + +

2 2 2 2 2 2 2 2 2cos sinZ Z θ Z θ j Z θ R jX= = + +

3 3 3 3 3 3 3 3 3cos sinZ Z θ Z θ j Z θ R jX= = + +

合成インピーダンス 4

1R

1Z

1θ

1jX2Z

2R

2jX2θ

3θ

3R

3jX3Z

Z 1 2 3( )jX j X X X= + +

Zθ

1 2 3R R R R= + +

リアクタンスは誘導 性なら正(＋)容量 性なら負(－)

合成 インピーダンスの大きさ

2 2 1TanX

Z R jX R XR

−= + = +

例題1：合成インピーダンス 5

a b1 20[Ω]R =　 　

1 0.05[H]L =　 　

2 30[Ω]R =　 　

2 0.1[H]L =　 　

3 50[Ω]R =　 　

100[μF]C = 　

1Z 2Z 3Z

I

1V 2V 3V

50[Hz]f = 　

1 1 1 20 2 50 0.05 20 15.71[Ω]Z R jωL j π j= + = + = + 　

2 2 2 30 2 50 0.1 30 31.42[Ω]Z R jωL j π j= + = + = + 　

3 2 6

1 150 50 31.83[Ω]

2 100 10Z R j j j

ωC π −= − = − = −

　

1R

1Z

1θ1jX

2R

2Z

2θ2jX

3R

3Z

3θ

3jX

例題1：合成インピーダンス 6

合成インピーダンス：

1R

1Z

1θ

2R

2Z

2θ

2jX

1jX

3R

3Z3jX

3θ

ZjX

R

2 2 1

100 15.30[Ω]

15.30100 15.30 Tan

100

101.2 8.699 [Ω]

Z j

−

= +

= +

=

　

　

キャパシタンス C は含んでいるが誘導性インピーダンスとなる

1 2 3 1 2 3 1 2 3( ) ( )

(20 30 50) (15.71 31.42 31.83)

100 15.30[Ω]

Z Z Z Z R R R j X X X

j

j

= + + = + + + + +

= + + + + −

= + 　

例題1：電圧・電流のフェーザ図 7

a-b間に電圧 を加えたときに流れる電流

100 00.9881 8.699 [A]

101.2 8.699

VI

Z

= = = −

　

100 0V = I

各端子電圧 1V ， 2V ，3V を求める

( )( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( )

1 1

2 2

3 3

0.9881 8.699 25.43 38.15

0.9881 25.43 8.699 38.15

25.13 29.45 [V]

0.9881 8.699 43.44 46.32

0.9881 43.44 8.699 46.32

42.92 37.62 [V]

0.9881 8.699 59.27 32.48

0.

V IZ

V IZ

V IZ

= = −

= − +

=

= = −

= − +

=

= = − −

= ( ) ( )9881 59.27 8.699 32.4858.56 41.18 [V]

− −

= −乗算(×)の場合の角度計算は加算(＋)

2 2 1

1

2 2 1

2

2 2 1

3

15.7120 15.71 Tan 25.43 38.15 [Ω]

20

31.4230 31.42 Tan 43.44 46.32 [Ω]

30

31.8350 31.83 Tan 59.27 32.48 [Ω]

50

Z

Z

Z

−

−

−

= + =

= + =

= + = −

　

　

　

例題1：電圧・電流のフェーザ図 8

Im

I

VRe

0

3V

2V

1V

1 2V V+

29.45∘37.62∘

−41.18∘

−8.699∘

は フェーザ表示で計算できない1 2V V+

と は R-L回路なので誘導性となる1V 2V

は R-C回路なので容量性となる3V

合成 インピーダンスは誘導性なので電流 は電圧 に対して遅れるVI

インピーダンスとアドミタンスの直列接続と例題2 9

a

I

V

1Z

2Y

1 1V Z I=

b

2

2

2

IV

Y

Z I

=

=

アドミタンスをインピーダンスに変換

2 50[Ω]R =　 　

100[μF]C = 　a

1 20[Ω]R =　 　

0.1[H]L = 　

1Z

I

1V

50[Hz]f = 　

2Y

b

2V

1 1

6

2

2

2

2

20 2 50 0.1 20 31.42[Ω]

1 12 50 100 10 0.02 0.03142[S]

50

0.03725 57.52 [S]

1 1 10 57.52 26.85 57.52 [Ω]

0.03725 57.52 0.03725

14.42 22.65[Ω]

Z R jωL j π j

Y jωC j π jR

ZY

j

−

= + = + = + = + = + = +

= = = = − = −

= −

　

　

　

　

　

例題2：合成インピーダンスと端子電圧 10

合成インピーダンス

( ) ( ) ( ) ( )1 2 20 31.42 14.42 22.65 20 14.42 31.42 22.65

34.42 8.770 35.52 14.29 [Ω]

Z Z Z j j j

j

= + = + + − = + + −

= + = 　

( )100 0 100

0 14.29 2.815 14.29 [A]35.52 14.29 35.52

VI

Z

= = = − = −

　

a-b間に電圧 を加えたときに流れる電流100 0V = I

( )( )

( )( )

1 1

2 2

2.815 14.29 37.25 57.52

104.9 43.23 [V]

2.815 14.29 26.85 57.52

75.58 71.81 [V]

V IZ

V IZ

= = −

=

= = − −

= −

　

　

除算 (÷)の場合の角度計算は減算(－)

1

2

20 31.42

37.25 57.52 [Ω]

26.85 57.52 [Ω]

Z j

Z

= +

= = −

　

各端子電圧 1V ， 2V を求める

例題2：各素子に流れる電流 11

2R　

C

a1R　 LI

1V50[Hz]f = 　

b2V

RI

CI

R2 と C に流れる電流 ， を求めるRI CI

( )

2R

2

C 2

75.58 71.811.512 71.81 [A]

50

0.03142 75.58 71.81

0.03142 75.58 90 71.81

2.375 18.19 [A]

VI

R

I jωCV j

−= = = −

= = −

= −

=

　

　

と の位相は 離れているRI CI 90は よりも位相が 進んで いるは よりも位相が 遅れて いる

RI

RICI

CI

90

90

例題2：電圧・電流のフェーザ図 12

V

0

2V

1V

43.23∘

Im

Re−71.81∘ 0

RI

18.19∘

Im

Re

−71.81∘

CI

I−14.29∘

抵抗に流れる電流と抵抗にかかる電圧の位相は常に等しい