10. Aplicaciones de de la integral

Volumen de slidos de revolucin

Definicin

Sea una funcin definida en el intervalo .

Recibe el nombre de slido de revolucin, el slido generado al girar

alrededor del eje , la regin limitada por la grfica de , el eje

y las grficas de y . El eje es un eje de simetra de dicho

slido y una seccin recta perpendicular al eje es un crculo.

Para determinar el volumen de este tipo de slidos, seguiremos un procedimiento similar al

utilizado para el rea de una regin, aproximando el ``volumen'' de un slido de revolucin por

medio de una suma de volmenes de slidos ms elementales, en los que el volumen ya ha sido

definido.

Vamos a considerar discos o cilindros circulares como los slidos elementales, suponiendo que

el volumen de un disco circular es, por definicin, el producto del rea de la base por el

espesor (o altura).

Consideremos una particin del intervalo determinada por el conjunto de nmeros

donde , con .

Sea un aumento de .

Consideremos ahora los discos circulares, cuyos sensores son , y

cuyas bases tienen radios .

El volumen del simo disco es:

La suma

de los volmenes de los discos nos da una aproximacin al volumen del slido de revolucin.

Podemos suponer que mientras ms delgados sean los discos, mayor ser la aproximacin de la

suma anterior al volumen del slido. Se tiene entonces la siguiente definicin:

Si existe un nmero tal que dada exista para la cual

para toda particin de y todo aumento de , y con , este nmero es el

volumen del slido obtenido por revolucin del rea limitada por las grficas de

alrededor del eje .

Si es la funcin dada por para , entonces la suma de aproximacin:

utilizada en la definicin del volumen del slido de revolucin, puede escribirse como:

donde .

Luego, de la definicin de integral y de la definicin de dada, se tiene que

Consideremos ahora dos funciones y continuas en el intervalo cerrado , tales que

para . Sea la regin del plano limitada por las curvas con ecuaciones

y las rectas con ecuaciones .

Deseamos determinar el volumen del slido de revolucin generado al girar la regin

alrededor del eje (note que en este caso no giramos la regin alrededor de una de sus

fronteras).

El slido generado se muestra en la siguiente figura:

Sea una particin del intervalo determinada por el conjunto de nmeros

con para , y sea

un aumento de .

En este caso, los slidos elementales usados para obtener una suma de aproximacin del

volumen del slido de revolucin, sern anillos circulares.

Se muestra a continuacin el simo rectngulo y el simo anillo circular generado al rotar

aquel alrededor del eje .

Luego, el rea del anillo circular es:

por lo que el volumen del simo elemento slido ser:

Entonces, la suma de aproximacin para el volumen del slido de revolucin es:

Puede suponerse que mientras ms delgados sean los anillos circulares, mayor ser la

aproximacin de la suma anterior al volumen del slido.

Definicin

Si existe un nmero tal que dada exista para la cual

para toda particin de y todo aumento de , y con ,

este nmero de es el volumen del slido obtenido por revolucin del

rea limitada por las grficas de , , , ,

alrededor del eje .

Si es la funcin dada por para , entonces la suma de

aproximacin

utilizada en la definicin 8, puede escribirse como:

donde , .

Luego se tiene que:

10 .1. Longitud de curvas

Vamos a calcular la longitud de una curva en un intervalo cuya derivada sea contnua en en

; a esta porcin de grfica se le llama arco .

Para aproximar la longitud del arco s se va a usar ahora segmentos de recta que apromimen la longitud en cada intervalo.

Se hace una particin ( puede ser regular) del intervalo ;

para P y para P de manera que

el segmento P P tiene longitud calculada por el teorema de Ptagoras

Si se suma la longitud de cada segmento, P P P P ,... , P P se obtiene una aproximacin a la

longitud total s .

Para poder ahora tomar el lmite de la suma cuando la norma de la particin ,

utilizaremos que la funcin es derivable y contnua en (condicin que se puso para que fuera un

arco) y por lo tanto lo es en cada subintervalo por lo que satisface el teorema del valor medio.

Luego existe tal que remplazando

s . Si

s

Ejemplo 1:Encontrar la longitud del segmento de parbola en el intervalo

s . Resolviendo ahora con

s ( unidades lineales)

Ejemplo 2 : Encontrar la longitud de la curva

Como y no es contnua en el intervalo propuesto, podemos utilizar el hecho de que la longitud de la

curva ser la misma para ( es prcticamente utilizar la inversa) y ahora

con lo cual s que es la calculada en el ejemplo1.

Ejemplo 3: Calcular la longitud de la curva para

Pero no se puede encontrar antiderivada de por lo tanto se puede

aproximar con algn mtodo numrico como Regla de Simpson con , o (ejercicio)

Si llamamos s(x) la funcin longitud de arco para una arco

s(x) s s

10 .2. Calculo de reas

Ya se dijo que el desarrollo del clculo integral en buena medida se debe al problema de calcular reas de funciones como esta:

Una aproximacin para calcular el rea consiste en dividir el intervalo en otros ms pequeos y calcular el rea de los rectngulos que se forman bien al tomar el valor de la funcin en un extremo del intervalo, bien en otro extremo, es decir:

Figura 11.1: Aproximacin del rea mediante rectngulos ms pequeos que la funcin En este caso, hemos dividido el intervalo mayor en 4 subintervalos ms pequeos y hemos tomado como altura de los rectngulos el valor de la funcin en el extremo superior del intervalo. As la suma de las reas de los rectngulos son ms pequeas que el rea buscada. rea suma rectngulos< rea de la funcin Esta suma, en la que la suma de las reas de los rectngulos es menor que el rea total se denomina suma inferior de la funcin en el intervalo. Pero podramos haber tomado estos otros rectngulos:

Figura 11.2: Aproximacin del rea mediante rectngulos ms grandes que la funcin Ahora la suma del rea de los rectngulos es mayor que el rea total, es decir:

Esta suma, en la que la suma de las reas de los rectngulos es mayor que el rea total se denomina suma superior de la funcin en el intervalo. Por tanto, el rea buscada est entre la suma superior y la suma inferior de la funcin:

Suma inferior rea Suma superior Adems, observemos lo que ocurre cuando los subintervalos que tomamos son cada vez

menores:

Vemos que las sumas inferiores son cada vez mayores y cada vez ms cercanas al rea buscada, a medida que los intervalos son ms pequeos.

Figura 11.3: La aproximacin se mejora al aumentar el nmero de rectngulos Por contra, las sumas superiores son cada vez ms pequeas y tambin cada vez ms cercanas al rea buscada, a medida que los intervalos son ms pequeos. A medida que los subintervalos son menores, las sumas superiores e inferiores se acercan al rea buscada. Para llegar a calcular dicha rea, necesitamos calcular una suma infinita (la de los infinitos rectngulos a medida que estos son ms pequeos), cosa que en matemticas se denomina sumar una serie. Esto excede con mucho los contenidos del curso. Lo que se necesita saber es que tanto las sumas superiores como las sumas inferiores convergen (se acercan) al rea buscada, y dicha suma se representa, si la funcin es f (x) y el intervalo es [a, b], por la

integral: Ahora bien, el siguiente problema es como se calcula esta integral, pues en las integrales indefinidas no habamos incluido ningn intervalo.

10 .3. reas entre curvas

rea de una regin comprendida entre dos curvas

Supongamos que se quiere calcular el rea de la regin limitada por las grficas de las funciones

y en el intervalo de x=-4 hasta x=0 que, como se ve grficamente corresponde a las abscisas de los puntos de interseccin .

En este caso, dado que tanto como son funciones positivas,

Area limitada por la curva , las rectas y el eje

Area bajo la curva entre y

Observamos que restando del rea mayor dada por el rea menor que est dada por

se obtiene el rea que est entre las dos.

Aqu se ilustra la situacin ms sencilla con ambas curvas positivas, pero esta situacin se puede generalizar

Si hacemos una particin del intervalo en un subintervalo cualquiera si

un rectngulo tpico sera ; haciendo la suma de las reas de todos

los rectngulos se obtiene tomando ahora se establece el resultado.

REA DE UNA REGIN ENTRE DOS CURVAS .

Si y g son funciones continuas en y para todo el rea de la

regin limitada por las curvas y , las rectas y es

Pasos a seguir : a) determinar las abcisas de los puntos de interseccin con

b) Si no me dan intervalo donde se va a encontrar el rea este presupone que es entre los valores encontrados en a); de lo contrario se debe establecer cal(es) est(n) en el intervalo dado

c) Es til hacer una grfica; si no se hace grfica se mirar algebricamente cual de las dos curvas es la mayor en ordenada, en que intervalo.

Ejemplo 1: Encontar el rea de la regin comprendida entre las grficas de las curvas

en el intervalo de

1) Puntos de interseccin dan y son los que estn en el intervalo de integracin

2) cosx A

A

A

Area total

=A

Si las dos grficas estn dadas en trminos de y no de los rectngulos que conducen al rea se

toman horizontales en vez de verticales con lo cual la variable de integracin ser se mirar cal

curva es mayor en cuanto a abscisa se refiere para hacer o segn sea el caso

Ejemplo 2:Calcular el rea de la regin limitada por la recta y

1) puntos de interseccin

2) Las de la recta son mayores (estn ms a la derecha) que las de la parbola

3) Area =

Nota: Si se tomaran los rectngulos verticales de base habra que hacer dos integrales donde una

tendra que ver nicamente con la parbola para y la otra si con la

parbola y la recta si

As Area

10 .4. Calculo de volmenes

Al introducir la integracin, vimos que el rea es solamente una de las muchas aplicaciones de la

integral definida. Otra aplicacin importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un

slido tridimensional.

Si una regin de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una regin

tridimensional llamada slido de revolucin generado por la regin plana alrededor de lo que se

conoce como eje de revolucin. Este tipo de slidos suele aparecer frecuentemente en ingeniera

y en procesos de produccin. Son ejemplos de slidos de revolucin: ejes, embudos, pilares,

botellas y mbolos.

Existen distintas frmulas para el volumen de revolucin, segn se tome un eje de giro paralelo al

eje OX o al eje OY . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de

revolucin.

.

2. Volmenes de revolucin: El Mtodo de las arandelas

El mtodo de los discos puede extenderse fcilmente para incluir slidos de revolucin con un

agujero, reemplazando el disco representativo por una arandela representativa. La arandela se

obtiene girando un rectngulo alrededor de un eje. Si R y r son los radios externos e internos de la

arandela, y es la anchura de la arandela, entonces el volumen viene dado por:

Volumen de la arandela = )( 22 rR

Entonces, generalizando de forma anloga como se hizo en el mtodo de los discos, si tenemos

dos funciones continuas f (x) y g (x) definidas en un intervalo cerrado [a,b] con 0 g(x) f(x), y las rectas x = a, y x = b, el volumen engendrado se calcula restando los slidos de revolucin

engendrados por los recintos de ambas funciones, es decir:

=b

a

dxxgxfV ))()(( 22

Si las funciones se cortan, habr que calcular los volmenes de los slidos engendrados en cada

uno de los subintervalos donde se puede aplicar el mtodo anterior.

3. Mtodo de secciones conocidas

En este apartado veremos cmo se calcula el volumen de algunos cuerpos geomtricos cuando

conocemos el rea de las bases de los cilindros parciales en que hemos dividido el slido. Con el

mtodo de discos, podemos hallar el volumen de un slido que tenga una seccin circular cuya

rea sea A = R2. Podemos generalizar este mtodo a slidos de cualquier forma siempre y

cuando sepamos la frmula del rea de una seccin arbitraria, como cuadrados, rectngulos,

tringulos, semicrculos y trapecios.

Consideremos un slido que tiene la propiedad de que la seccin transversal a una recta dada

tiene rea conocida. Esto equivale a decir intuitivamente que en cada corte que hacemos,

conocemos el rea de la seccin correspondiente.

En particular, supongamos que la recta es el eje OX y que el rea de la seccin transversal est

dada por la funcin A(x), definida y continua en [a,b]. La seccin A(x) est producida por el plano a

perpendicular a OX .

Siguiendo un proceso similar al realizado en la definicin de la integral de Riemann:

Elegimos una particin regular de [a,b]:

bxxxxa nn =

=

n

i

iii xxcA1

1))((

siendo:

Siendo ci un punto intermedio del intervalo [xi-1,xi]

= xi -xi-1, la altura de los cilindros parciales

R2 = A(ci) el rea de la base de los cilindros parciales

Si el nmero de cilindros parciales aumenta, su suma se aproxima cada vez ms al volumen del

slido; es decir:

=

=

=n

i

iii

i

xxcAV Lim1

1

1

))((

Por tanto, recordando la definicin de integral definida de Riemann se obtiene que:

=b

a

dxxAV )(

Para hallar el volumen de un slido por el mtodo de las secciones, se procede como se indica a

continuacin:

1. Esbozar la figura, incluyendo un eje perpendicular a las secciones de rea conocida (es decir, un

eje OX)

2. Escoger una seccin perpendicular al eje OX.

3. Expresar el rea A (x) de la base de la seccin en trminos de su posicin x sobre el eje OX.

4. Integrar entre los lmites apropiados.

10 .5. Volmenes de slidos de revolucin

Volmenes de revolucin: Mtodo de capas

En esta seccin estudiamos un mtodo alternativo para el clculo de un volumen de un slido de

revolucin,

un mtodo que emplea capas cilndricas.

Para introducir el mtodo de capas, consideramos un rectngulo representativo, donde:

= anchura del rectngulo (espesor).

h = altura del rectngulo.

p = distancia del centro del rectngulo al eje del giro (radio medio).

Cuando este rectngulo gira en torno al eje de revolucin, engendra una capa cilndrica (o tubo) de

anchura . Para calcular el volumen de esta capa consideramos dos cilindros. El radio del mayor

corresponde al radio externo de la capa, y el radio del menor al radio interno de la capa. Puesto

que p es el radio medio de la capa, sabemos que el radio externo es p + (/2), y el radio interno es

p-(/2). Por tanto, el volumen de

la capa, viene dado por la diferencia:

Volumen de la capa = volumen del cilindro - volumen del agujero=

=

+= hphp22

22

= 2ph = 2(radio medio)(altura)(espesor)

Usamos esta frmula para calcular el volumen de un slido de revolucin como sigue. Suponemos

que la regin plana gira sobre una recta y engendra as dicho slido. Si colocamos un rectngulo de

anchura y paralelamente al eje de revolucin, entonces al hacer girar la regin plana en torno al

eje de revolucin, el rectngulo genera una capa de volumen:

V = 2 [p(y)h(y)]y

Si aproximamos el volumen del slido por n de tales capas de anchura y, altura h( yi), y radio

medio p( yi ), tenemos:

volumen del slido = [ ] [ ] = =

=n

i

n

i

iiii yyhypyyhyp1 1

)()(2)()(2

Tomando el lmite cuando n, tenemos que:

Volumen del slido = [ ] [ ] =

=n

i

d

c

ii

n

dyyhypyyhypLim1

)()(2)()(2

Por tanto, podemos enunciar el mtodo de capas de la siguiente forma:

Para calcular el volumen de un slido de revolucin con el mtodo de capas, se usa una de las dos

siguientes opciones:

Eje horizontal de revolucin: =d

c

dyyhypV )()(2

Eje vertical de revolucin: =b

a

dxxhxpV )()(2

Para hallar el volumen de un slido por el mtodo de capas, se procede como se indica a

continuacin.

1. Esbozar la regin plana que va a ser girada, hallando los puntos de interseccin de las curvas

que la limitan.

2. Sobre el dibujo hallar un rectngulo paralelo al eje de revolucin.

3. Teniendo como base el boceto, escribir el volumen de la capa.

4. Integrar entre los lmites apropiados.

Observacin: Los mtodo de discos y de capas se distinguen porque en el de discos el rectngulo

representativo es siempre perpendicular al eje de giro, mientras que en el de capas es paralelo.

Con frecuencia uno de los dos mtodos es preferible al otro.

Clculo de longitudes:

longitud de revolucin = ( )b

a

dxxf2

longitud de revolucin entre funciones = ( ) ( )[ ]dxxgxfb

a

2

10 .6. Clculo de volmenes por el mtodo de los discos

El Mtodo de los discos

Si giramos una regin del plano alrededor de un eje obtenemos un slido de revolucin. El ms

simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectngulo alrededor

de un eje adyacente a uno de los lados del rectngulo. El volumen de este disco de radio R y de

anchura es:

Volumen del disco =c

Para ver cmo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un slido de revolucin

general, consideremos una funcin continua f (x ) definida en el intervalo [a,b], cuya grfica

determina con las rectas x = a, x = b, y = 0, el recinto R. Si giramos este recinto alrededor del eje OX

, obtenemos un slido de revolucin.

Se trata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un

proceso similar al realizado en la definicin de integral definida.

Elegimos una particin regular de [a, b]:

bxxxxa nn =

=b

a

dxxfV )(2

Adems, si se toma el eje de revolucin verticalmente, se obtiene una frmula similar:

=d

c

dyyfV )(2

10 .7. Calculo de momentos, centros de masa y trabajo

Momentos y Centros de Masa

Suponga que cinco masas puntuales ( esto es terico en realidad ) estn situadas sobre una recta

Sea la distancia dirigida ( quiere decir que es en el sentido habitual, si est a la derecha de

y si est a la izquierda de )

El momento de con respecto a est definido como

o en general con masas y el centro de masa del sistema como

Ejemplo 1: Si las masa son de 1,3,1,2,4 repectivamente y estn localizadas en los puntos (1,0)

( (-2,0) (-3,0) (- ; este es el punto en que se equilibrara el sistema si se sostuviera en ese punto con un alfiler esa recta que no tiene peso y que tiene las masa as distribudas

Si ahora se toman masas puntuales distribuidas en diferentes puntos del plano

Momento con respecto al eje y =

( porque es la abscisa del punto y por lo tanto la distancia

dirigida al eje )

Momento con respecto al eje x

=

( porque es la ordenada del punto y por lo tanto la distancia

dirigida al eje )

= =

( es sel centro de masa del sistema

Ejemplo 2: masas de 2,2,1,3,1,4 gramos estn localizadas respectivamente en los puntos (1,1) (2,3) (4,6) (-3,1) (-2,-2) (-4,-1) . Encontrar el centro de masa del sistema

En el punto se encuentra localizado el centro de masa de este sistema.

Este sera el punto donde se equilibrara, sostenido por un alfiler, el sistema suponiendo que las masas estn distribuidas sobre una lmina extremadamente delgada que no tiene peso.

CENTRO DE MASA DE UNA REGIN PLANA.

La regin plana se va a tomar como una lmina bidimensional de densidad ( en g/cm o kg/m o

lb/p )

Si una regin tiene un ejes de simetra, el centro de masa (si la densidad es uniforme ) estar sobre el o los ejes de simetra: As un circulo tendr su centro de masa en el centro que es el punto de interseccin de los dimetros, un rectngulo en el punto de corte de sus diagonales, o en el punto de interseccin de las rectas que bisectan sus lados.

Sea la regin plana limitada por la curva , las rectas , y el eje . Consideremos una particin del intervalo

Se toma .

Consideremos el rectngulo. Este tiene como base y altura .

El centro de masa de un rectngulo como ese est localizado en

El momento de un rectngulo con respecto al eje es

y

el momento de un rectngulo con respecto al eje es

Por lo tanto

Haciendo el razonamiento usual para cuando la norma de la particin tiende a y para tomar el lmite de cada una de las sumas

, cuando

Como siempre es mejor tratar de manejar el concepto que usar las ``frmulas'' porque as se puede adaptar a otro tipo de situacin por ejemplo para cuando en la regin la curva est dada en trminos

de as como el intervalo de integracin.

La densidad termina simplificndose al ser uniforme y la expresin de cada denominador termina siendo el rea de la regin.

Bibliografa

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WEBER, JEAN E., Matemticas para Administracin y Economa, Cuarta Edicin, Editorial Harla, Mxico, 1984

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Calculus, Volumen I; Tom M. Apostol.

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Apuntes de anlisis matemtico II(del curso del profesor F. Forteza); A. Dieste, C. Pfeif.

Apuntes de anlisis matemtico(de las clases del profesor R. Ciganda); Santiago Michelini.

Problemas y ejercicios de anlisis matemtico; B. Demidovich.