10. BÖLÜM

10. BÖLÜM10. BÖLÜM

NAVIER-STOKES NAVIER-STOKES DENKLEMİNİN DENKLEMİNİN

YAKLAŞIK ÇÖZÜMLERİYAKLAŞIK ÇÖZÜMLERİ

İÇİNDEKİLERİÇİNDEKİLER• 10.1. GİRİŞ10.1. GİRİŞ

• 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİDENKLEMLERİ

• 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMI

• 10.4. VİSKOZ OLMAYAN AKIŞ BÖLGELERİ İÇİN 10.4. VİSKOZ OLMAYAN AKIŞ BÖLGELERİ İÇİN YAKLAŞTIRIMYAKLAŞTIRIM

• 10.5. DÖNÜMSÜZ AKIŞ YAKLAŞTIRIMI10.5. DÖNÜMSÜZ AKIŞ YAKLAŞTIRIMI

• 10.6. SINIR TABAKA YAKLAŞTIRIMI10.6. SINIR TABAKA YAKLAŞTIRIMI

10.1. GİRİŞ 10.1. GİRİŞ

• Navier-Stokes denklemlerinin literatürde Navier-Stokes denklemlerinin literatürde mevcut bulunan mevcut bulunan analitik çözümlerininanalitik çözümlerinin sayısısayısı fazla değildirfazla değildir. . – Bu çözümlerin sayısı birkaç öğrencinin Bu çözümlerin sayısı birkaç öğrencinin

parmaklarının sayısını geçmez.parmaklarının sayısını geçmez.

• Uygulamadaki akışkanlar mekaniği Uygulamadaki akışkanlar mekaniği problemlerinin büyük bir bölümü analitik problemlerinin büyük bir bölümü analitik olarak çözülemez veolarak çözülemez ve

(1) (1) daha fazla sayıda yaklaştırımdaha fazla sayıda yaklaştırım(2) (2) bilgisayar yardımıbilgisayar yardımı gerektirir. gerektirir.

10.1. GİRİŞ10.1. GİRİŞ

• Navier-Stokes denkleminin kendisi tam Navier-Stokes denkleminin kendisi tam değildir, tersine kendine değildir, tersine kendine özel bir takım özel bir takım yaklaştırımları yaklaştırımları – Newton tipi akışkanNewton tipi akışkan, , – Sabit termodinamik ve transport özelliklerSabit termodinamik ve transport özellikler

vb.vb.içeren bir akış modelidir.içeren bir akış modelidir.

• Mükemmel bir modeldir ve Mükemmel bir modeldir ve modern modern akışkanlar mekaniğinin temeliniakışkanlar mekaniğinin temelini oluşturur. oluşturur.


• Tam çözümTam çözüm: Çözüme NS : Çözüme NS denkleminin bütününden denkleminin bütününden başlanılır.başlanılır.

10.1. GİRİŞ10.1. GİRİŞ• Yaklaşık çözümYaklaşık çözüm: Çözüme : Çözüme

başlamadan önce bile NS başlamadan önce bile NS denklemi akışın bir bölgesinde denklemi akışın bir bölgesinde basitleştirilir:basitleştirilir:– Akışın bir bölgesinden diğerine Akışın bir bölgesinden diğerine

farklılık gösterebilen terim(ler) farklılık gösterebilen terim(ler) problemin türüne bağlı olarak problemin türüne bağlı olarak önceden yok edilir. önceden yok edilir.

– Örnek: Örnek: statik akışkan statik akışkan yaklaştırımındayaklaştırımında atalet ve viskoz atalet ve viskoz terimleri basınç ve yerçekimi terimleri basınç ve yerçekimi terimlerine kıyasla ihmal edilebilir terimlerine kıyasla ihmal edilebilir derecede küçük olduğundan NS derecede küçük olduğundan NS denklemi sadece iki terime denklemi sadece iki terime ((basınç ve yer çekimibasınç ve yer çekimi) ) indirgenir:indirgenir:


• Yaklaştırım çözüme başlangıç için uygun Yaklaştırım çözüme başlangıç için uygun değilse çözüm yanlış olurdeğilse çözüm yanlış olur::– Örneğin bir problemi Örneğin bir problemi sürünme akışı sürünme akışı

yaklaştırımıyaklaştırımı kullanarak çözdüğümüzde akışın kullanarak çözdüğümüzde akışın Reynolds sayısı çok büyükseReynolds sayısı çok büyükse sürünme akışı sürünme akışı yaklaştırımı uygun olmaz ve çözüm fiziksel yaklaştırımı uygun olmaz ve çözüm fiziksel olarak doğru olmaz. olarak doğru olmaz.


• Uygulamadaki çoğu akış probleminde belirli bir Uygulamadaki çoğu akış probleminde belirli bir yaklaştırım, akış alanının bir bölgesinde uygun iken, yaklaştırım, akış alanının bir bölgesinde uygun iken, ancak belki başka bir yaklaştırımın uygun olduğu bir ancak belki başka bir yaklaştırımın uygun olduğu bir diğer bölgede uygun olmayabilir.diğer bölgede uygun olmayabilir.

• Bir yaklaştırımın uygun olup olmadığı hareket Bir yaklaştırımın uygun olup olmadığı hareket denklemindeki çeşitli terimlerin denklemindeki çeşitli terimlerin büyüklük mertebeleri büyüklük mertebeleri karşılaştırılarakkarşılaştırılarak belirlenir. belirlenir.

10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ 10.2. BOYUTSUZLAŞTIRILMIŞ HAREKET DENKLEMLERİHAREKET DENKLEMLERİ

• Süreklilik denklemiSüreklilik denklemi

• Navier-Stokes denklemiNavier-Stokes denklemi


• Boyutsuz değişkenlerBoyutsuz değişkenler


• Boyutsuz süreklilik denklemiBoyutsuz süreklilik denklemi

• Boyutsuz NS denklemiBoyutsuz NS denklemi


• Strouhal sayısı: St=fL/VStrouhal sayısı: St=fL/V

• Euler sayısı: Eu=(pEuler sayısı: Eu=(poo-p-p)/)/VV22

• Froude sayısı: Fr=V/(gL)Froude sayısı: Fr=V/(gL)1/21/2

• Reynolds sayısı: Re=Reynolds sayısı: Re=VL/VL/


• Boyutsuzlaştırılmış süreklilik denklemi Boyutsuzlaştırılmış süreklilik denklemi hiçbir ilave hiçbir ilave boyutsuz parametre içermemektedir.boyutsuz parametre içermemektedir.

• Boyutsuz değişkenler eğer bir uzunluk, hız, frekans vb. Boyutsuz değişkenler eğer bir uzunluk, hız, frekans vb. akış alanının karakteristikleri kullanılarak akış alanının karakteristikleri kullanılarak boyutsuzlaştırılmış iseler bunların boyutsuzlaştırılmış iseler bunların büyüklük büyüklük mertebeleri 1mertebeleri 1’dir: ’dir:

• Bu nedenle boyutsuz NS denklemindeki terimlerin Bu nedenle boyutsuz NS denklemindeki terimlerin göreceli önemi, göreceli önemi, sadece boyutsuz parametreler St, sadece boyutsuz parametreler St, Eu, Fr ve Re’nin göreceli büyüklüklerine Eu, Fr ve Re’nin göreceli büyüklüklerine bağlıdır. bağlıdır.


• Bir model ile bir prototip Bir model ile bir prototip arasındaki dinamik benzerlik arasındaki dinamik benzerlik bu bu 4 sayının da 4 sayının da eşit olmasını eşit olmasını gerektirir:gerektirir:

StStmodelmodel=St=Stprototipprototip

EuEumodelmodel=Eu=Euprototipprototip

FrFrmodelmodel=Fr=Frprototipprototip

ReRemodelmodel=Re=Reprototipprototip


• Eğer Eğer akış daimiakış daimi iseise f=0f=0 olur ve olur ve Strouhal Strouhal sayısı boyutsuz parametreler listesinden sayısı boyutsuz parametreler listesinden çıkarılır (çıkarılır (St=0St=0).).

Strouhal sayısı: St=fL/VStrouhal sayısı: St=fL/V

• Eğer karakteristik frekans Eğer karakteristik frekans f çok küçükse, f çok küçükse, St<<1, St<<1, bu durumdaki akışbu durumdaki akış sanki-daimi sanki-daimi olarak adlandırılır ve akış daimi kabul olarak adlandırılır ve akış daimi kabul edilerek NS denklemindeki bu terim silinir. edilerek NS denklemindeki bu terim silinir.


• Yerçekiminin etkisi yalnızca Yerçekiminin etkisi yalnızca serbest serbest yüzey etkili akışlardayüzey etkili akışlarda önemlidir:önemlidir:– Dalgalar, gemi hareketi, hidroelektrik Dalgalar, gemi hareketi, hidroelektrik

barajların taşma savakları, ırmak akışları barajların taşma savakları, ırmak akışları vb.vb.

• Serbest yüzey etkili olmayan akışlarda Serbest yüzey etkili olmayan akışlarda yerçekimi, akış dinamiğini etkilemez.yerçekimi, akış dinamiğini etkilemez. – tek etkisi, dinamik basınç alanı üzerine bir tek etkisi, dinamik basınç alanı üzerine bir

hidrostatik basınç eklemekten ibarettir. hidrostatik basınç eklemekten ibarettir.


• Hidrostatik basıncı içerisine alan bir Hidrostatik basıncı içerisine alan bir değiştirilmiş basınçdeğiştirilmiş basınç tanımlaması P’ yapılır:tanımlaması P’ yapılır:

• Bu denklemin avantajı herhangi bir Bu denklemin avantajı herhangi bir yerçekimi terimi yerçekimi terimi bulundurmayanbulundurmayan bir NS olmasıdır. bir NS olmasıdır.

• Değiştirilmiş basınçDeğiştirilmiş basınç, serbest yüzeyli akışlarda , serbest yüzeyli akışlarda kullanılmamalıdır. kullanılmamalıdır.

10.3. SÜRÜNME AKIŞI 10.3. SÜRÜNME AKIŞI YAKLAŞTIRIMIYAKLAŞTIRIMI

• Sürünme akışı olarak adlandırılan akışlar Sürünme akışı olarak adlandırılan akışlar için için Stokes akışıStokes akışı ve ve düşük Reynolds düşük Reynolds sayılı akışsayılı akış deyimleri kullanılmaktadır. deyimleri kullanılmaktadır.

• Bu akışta Reynolds sayısı çok küçüktür Bu akışta Reynolds sayısı çok küçüktür ((Re « 1Re « 1).).– Reynolds sayısının tanımından Re = Reynolds sayısının tanımından Re = VL/VL/

• Sürünme akışı ya Sürünme akışı ya çok küçük çok küçük , V, L, V, L değerlerinde ya da değerlerinde ya da çok büyük çok büyük değerinde değerinde (veya bunların bir kombinasyonu halinde) ortaya (veya bunların bir kombinasyonu halinde) ortaya çıkar.çıkar.


• Sürünme akışına ait örnekler:Sürünme akışına ait örnekler:

– Kremayı (çok viskoz bir sıvı) kekin Kremayı (çok viskoz bir sıvı) kekin üzerine dökerken üzerine dökerken

– Süte eklemek için bir kaşığı bal (yine Süte eklemek için bir kaşığı bal (yine viskoz bir sıvı) kavanozuna daldırırkenviskoz bir sıvı) kavanozuna daldırırken

– Tüm çevremizde ve içimizde Tüm çevremizde ve içimizde mikroskobik organizmaların mikroskobik organizmaların hareketlerihareketleri

– Hidrodinamik bir yatağın çok dar Hidrodinamik bir yatağın çok dar kanallarındaki yağlayıcı yağın akışıkanallarındaki yağlayıcı yağın akışı• Hızlar küçük olmayabilir, ancak Hızlar küçük olmayabilir, ancak

aralıklar çok küçüktüraralıklar çok küçüktür (mikronun on (mikronun on katı mertebesinde) ve katı mertebesinde) ve viskozite viskozite göreceli olarak yüksektirgöreceli olarak yüksektir (oda (oda sıcaklığında sıcaklığında ~~1 N.s/m1 N.s/m22). ).


– MikroorganizmalarMikroorganizmalar tüm yaşamlarını tüm yaşamlarını sürünme akışı rejiminde geçirirler. sürünme akışı rejiminde geçirirler.

– Boyutları bir mikron Boyutları bir mikron mertebesindedir mertebesindedir (1 (1 m = l0m = l0-6-6 m), m), “yüksek” viskoziteli akışkan sınıfına “yüksek” viskoziteli akışkan sınıfına zor girebilecek havada hareket zor girebilecek havada hareket edebilirler ve suda yüzebilmelerine edebilirler ve suda yüzebilmelerine rağmen çok yavaş hareket ederler.rağmen çok yavaş hareket ederler.

– Suda yüzen Suda yüzen salmonellasalmonella (zehirlenmeye yol açan bir bakteri (zehirlenmeye yol açan bir bakteri türü) bakterisinin hareketiyle ilgili türü) bakterisinin hareketiyle ilgili Reynolds sayısı 1’den çok küçüktür.Reynolds sayısı 1’den çok küçüktür.


• Sürünme akışındaSürünme akışında– Yerçekimi etkileri ihmal edilebilirYerçekimi etkileri ihmal edilebilir veya veya sadece sadece

düşey bir hidrostatik basınç bileşeni eklenir.düşey bir hidrostatik basınç bileşeni eklenir.

– Akış daimidirAkış daimidir veyaveya Strouhal sayısı 1 Strouhal sayısı 1 mertebesinde veya daha küçük olan salınımlı mertebesinde veya daha küçük olan salınımlı bir akıştırbir akıştır (NS denkleminde daimi olmayan (NS denkleminde daimi olmayan ivmelenme terimi viskoz teriminden daha küçük bir ivmelenme terimi viskoz teriminden daha küçük bir mertebededir). mertebededir).

– Advektif terim 1 mertebesindedir Advektif terim 1 mertebesindedir . .

– Sonuç olarak Sonuç olarak


• Denklemdeki boyutsuz değişkenler 1 mertebesinde Denklemdeki boyutsuz değişkenler 1 mertebesinde olduğundan iki tarafın birbirini dengelemesinin tek olduğundan iki tarafın birbirini dengelemesinin tek yolu yolu Eu sayısının 1/Re ile aynı büyüklük Eu sayısının 1/Re ile aynı büyüklük mertebesinde mertebesinde olmasıdır. olmasıdır.

• Bu ikisi eşitlenirseBu ikisi eşitlenirse

• Sürünme akışı için basınç ölçeğiSürünme akışı için basınç ölçeği

•


• Sürünme akışının iki ilginç Sürünme akışının iki ilginç yönü vardır:yönü vardır:– Birincisi, atalet bakımından Birincisi, atalet bakımından

baskın akışlarda baskın akışlarda VV22 gibi gibi basınç farkları ölçeği basınç farkları ölçeği bulunurken, sürünme bulunurken, sürünme akışında viskozluğun daha akışında viskozluğun daha baskın olmasından dolayı baskın olmasından dolayı V/L V/L gibi bir basınç gibi bir basınç farkları ölçeğifarkları ölçeği bulunmaktadır. bulunmaktadır.

– İkincisi ise İkincisi ise yoğunluğun bir yoğunluğun bir değişken olarak Navier-değişken olarak Navier-Stokes denkleminde yer Stokes denkleminde yer almamasıdıralmamasıdır::


• Yüzerken Yüzerken atalate atalate güvenirsiniz.güvenirsiniz.

• Bir kulaç Bir kulaç atarsınız atarsınız

ve bir diğer ve bir diğer kulacı atmadan kulacı atmadan önce sudaki belirli önce sudaki belirli bir mesafeyi süzülerek bir mesafeyi süzülerek ilerleyebilirsiniz.ilerleyebilirsiniz.

• Yüzerken NS denklemindeki Yüzerken NS denklemindeki atalet terimleriatalet terimleri viskoz terimlerdenviskoz terimlerden çok büyüktürçok büyüktür, çünkü Reynolds sayısı çok yüksektir. , çünkü Reynolds sayısı çok yüksektir.


• Sürünme akış rejiminde yüzen mikroorganizmalarda Sürünme akış rejiminde yüzen mikroorganizmalarda atalet önemsizdiratalet önemsizdir ve bu yüzden hiçbir şekilde ve bu yüzden hiçbir şekilde süzülme olmaz. süzülme olmaz.

• Yunuslarınkine benzer şekilde çırpılan bir kuyruk Yunuslarınkine benzer şekilde çırpılan bir kuyruk mikroorganizmaları hiçbir yere götürmez. mikroorganizmaları hiçbir yere götürmez.

• Sperm örneğinde olduğu gibi, uzun ve dar kuyrukları Sperm örneğinde olduğu gibi, uzun ve dar kuyrukları (kamçıları) (kamçıları) sinüs eğrisi şeklindesinüs eğrisi şeklinde hareket ederek hareket ederek mikroorganizmaların ilerlemelerini sağlar. mikroorganizmaların ilerlemelerini sağlar.

Sperm, hiçbir atalet olmadan kuyruğu hareket etmedikçe Sperm, hiçbir atalet olmadan kuyruğu hareket etmedikçe ilerleyemez. Kuyruğunun hareketi durduğunda ilerleyemez. Kuyruğunun hareketi durduğunda sperm de durur.sperm de durur.

• Sperm veya mikroorganizmalar kısacık bir mesafeyi Sperm veya mikroorganizmalar kısacık bir mesafeyi kat etmek için çok zorlanırlar. Spermin kuyruğu hemen kat etmek için çok zorlanırlar. Spermin kuyruğu hemen hemen iki tam dalga çevrimi tamamlarken, sperm başı hemen iki tam dalga çevrimi tamamlarken, sperm başı yalnızca iki baş uzunluğu civarında sola hareket edebilir. yalnızca iki baş uzunluğu civarında sola hareket edebilir.


• Çocuk, küreler arasında Çocuk, küreler arasında yüzmeye çalıştığında, yüzmeye çalıştığında, ileriye doğru yalnızca ileriye doğru yalnızca yılanımsı şekilde bir yılanımsı şekilde bir kıvrılmakıvrılma hareketi ile hareket edebilir. hareketi ile hareket edebilir.

• Çocuk kıvrılma hareketini Çocuk kıvrılma hareketini durdurduğu anda, ihmal durdurduğu anda, ihmal edilebilir düzeyde atalet edilebilir düzeyde atalet olduğundan olduğundan tüm hareket tüm hareket sona erersona erer. .

• Yüzen çocuk ile sürünme Yüzen çocuk ile sürünme akışı şartlarında yüzen bir akışı şartlarında yüzen bir mikroorganizma arasında mikroorganizma arasında zayıf bir analojizayıf bir analoji vardır. vardır.

Sürünme Akışında Bir Küre Sürünme Akışında Bir Küre Üzerindeki Direnç Üzerindeki Direnç

• Viskozitesi Viskozitesi olan bir akışkan içerisinde olan bir akışkan içerisinde V V hızındaki sürünme akışı şartlarında, üç-hızındaki sürünme akışı şartlarında, üç-boyutlu, L karakteristik uzunluğuna sahip bir boyutlu, L karakteristik uzunluğuna sahip bir cisme etki eden cisme etki eden FFDD direnç kuvveti: direnç kuvveti:

FFDD=sabit.=sabit.VLVL

• Boyut analiziBoyut analizi; cismin şekline, akışkan ; cismin şekline, akışkan içerisindeki yerleştirme biçimine bağlı içerisindeki yerleştirme biçimine bağlı olduğundan, ifadedeki olduğundan, ifadedeki sabitin değeri sabitin değeri hakkında fikir vermezhakkında fikir vermez. .

Sürünme Akışında Bir Küre Sürünme Akışında Bir Küre Üzerindeki DirençÜzerindeki Direnç

• Sürünme akışında bir Sürünme akışında bir küre üzerindeki direnç küre üzerindeki direnç kuvveti: kuvveti:

FFDD= 3= 3..VDVD


• Yoğun ve küçük bir parçacığın sürünme akışı Yoğun ve küçük bir parçacığın sürünme akışı şartlarındaki limit hızı, şartlarındaki limit hızı, akışkanın yoğunluğundan akışkanın yoğunluğundan bağımsız olmasına karşın viskozitesine bağımsız olmasına karşın viskozitesine oldukça bağlıdır. oldukça bağlıdır.

• Havanın viskozitesi yükseklikle sadece % 25 Havanın viskozitesi yükseklikle sadece % 25 civarında değiştiğinden, küçük bir parçacık civarında değiştiğinden, küçük bir parçacık yükseklikten bağımsız olarak yaklaşık yükseklikten bağımsız olarak yaklaşık sabit bir sabit bir hızlahızla yeryüzüne iner.yeryüzüne iner.

• Parçacığın 15000’den deniz seviyesine kadar Parçacığın 15000’den deniz seviyesine kadar düşmesi esnasında düşmesi esnasında hava yoğunluğu 10 kattan hava yoğunluğu 10 kattan fazla artışfazla artış gösterdiği halde bu durum değişmez.gösterdiği halde bu durum değişmez.


• Küresel olmayan üç-boyutlu cisimler Küresel olmayan üç-boyutlu cisimler için için sürünme akışındaki aerodinamik direnç yine sürünme akışındaki aerodinamik direnç yine

FFDD=sabit.=sabit.VL VL

şeklindedir, ancak bu halde denklemdeki şeklindedir, ancak bu halde denklemdeki sabit 3sabit 3 olmayıp, olmayıp,

- hem - hem cismin şeklinecismin şekline - hem de - hem de akış alanındaki akış alanındaki

yerleştirilme yerleştirilme biçiminebiçimine bağlıdır. bağlıdır.

10.4. VİSKOZ OLMAYAN AKIŞ 10.4. VİSKOZ OLMAYAN AKIŞ BÖLGELERİ İÇİN YAKLAŞTIRIMBÖLGELERİ İÇİN YAKLAŞTIRIM


• Eğer net viskoz kuvvetler,Eğer net viskoz kuvvetler, atalet ve/veya basınç atalet ve/veya basınç kuvvetlerine oranla çok küçük kalıyorsakuvvetlerine oranla çok küçük kalıyorsa,, bu bu durumda durumda

denkleminin sağ tarafındaki son terim ihmal edilebilir. denkleminin sağ tarafındaki son terim ihmal edilebilir.

• Bu yalnızca 1/Re’nin küçük olması durumunda Bu yalnızca 1/Re’nin küçük olması durumunda doğrudur. Dolayısıyla viskoz olmayan akış bölgeleri doğrudur. Dolayısıyla viskoz olmayan akış bölgeleri yüksek Reynolds sayısına sahipyüksek Reynolds sayısına sahip bölgelerdir — bölgelerdir — sürünme akışı bölgelerinin tersi. sürünme akışı bölgelerinin tersi.


• Bu tür böIgelerde Navier-Stokes denklemi Bu tür böIgelerde Navier-Stokes denklemi viskoz terimini kaybeder ve viskoz terimini kaybeder ve Euler Euler denklemi’nedenklemi’ne indirgenir: indirgenir:

• Euler denklemi basit olarak Euler denklemi basit olarak viskoz terimi viskoz terimi bulunmayan Navier-Stokes bulunmayan Navier-Stokes denklemidenklemidir ve Navier-Stokes dir ve Navier-Stokes denkleminin bir denkleminin bir yaklaştırımıyaklaştırımıdır. dır.


Euler denklemi, Euler denklemi, çeperlerdençeperlerden ve ve art izlerindenart izlerinden uzakta uzakta net net viskoz viskoz kuvvetlerin ihmal kuvvetlerin ihmal edilebilir olduğu edilebilir olduğu yüksek yüksek Reynolds sayılı Reynolds sayılı akış bölgeleriakış bölgeleri için uygun bir için uygun bir yaklaştırımdır.yaklaştırımdır.


• NS denkleminin Euler yaklaştırımında ihmal edilen NS denkleminin Euler yaklaştırımında ihmal edilen terimiterimi hızın hızın en yüksek mertebeden türevlerinien yüksek mertebeden türevlerini içeren bir terimdir.içeren bir terimdir.

• Bu terimin ortadan kalkması Bu terimin ortadan kalkması sınır şartlarının sınır şartlarının sayısını düşürürsayısını düşürür. .

• Akışkanın çeper içerisinden akamayacağını (çeper Akışkanın çeper içerisinden akamayacağını (çeper geçirgen değildir) hala belirtebilmemize rağmen geçirgen değildir) hala belirtebilmemize rağmen katı katı çeperlerde kaymama şartınıçeperlerde kaymama şartını belirtemeyiz. belirtemeyiz.

• Bu nedenlerle Euler denkleminin çözümleri Bu nedenlerle Euler denkleminin çözümleri katı katı çeperler yakınında fiziksel olarak anlamsızdırçeperler yakınında fiziksel olarak anlamsızdır, , zira akışın burada kaymasına izin verilmiştir. zira akışın burada kaymasına izin verilmiştir.


• Euler yaklaştırımıEuler yaklaştırımı bir sınır tabaka bir sınır tabaka yaklaştırımında yaklaştırımında ilk adımilk adım olarak olarak sıklıkla kullanılır.sıklıkla kullanılır.

• İnce bir sınır tabaka, viskoz etkileri İnce bir sınır tabaka, viskoz etkileri hesaba katmak için çeper ve art izleri hesaba katmak için çeper ve art izleri bölgesine bölgesine bir düzeltme olarakbir düzeltme olarak yerleştirilir. yerleştirilir.

10.5. DÖNÜMSÜZ AKIŞ 10.5. DÖNÜMSÜZ AKIŞ YAKLAŞTIRIMIYAKLAŞTIRIMI• Akışkan parçacıklarının Akışkan parçacıklarının

hiçbir net dönmeyehiçbir net dönmeye sahip olmadığı akış sahip olmadığı akış bölgeleri vardır ve bu bölgeleri vardır ve bu bölgelere bölgelere dönümsüz dönümsüz akış bölgeleriakış bölgeleri denir. denir.

• Dönümsüzlük bir Dönümsüzlük bir yaklaştırımdıryaklaştırımdır ve akışve akış alanının bazı alanının bazı bölgelerinde uygun bölgelerinde uygun olabilir, bazı olabilir, bazı bölgelerinde de uygun bölgelerinde de uygun olmayabilir.olmayabilir.

10.5. DÖNÜMSÜZ AKIŞ 10.5. DÖNÜMSÜZ AKIŞ YAKLAŞTIRIMIYAKLAŞTIRIMI

• Viskoz olmayan bir akış bölgesinin dönümsüz Viskoz olmayan bir akış bölgesinin dönümsüz olmayabileceği (örneğin katı cisim gibi dönme olmayabileceği (örneğin katı cisim gibi dönme hareketi) durumlar mümkünse de, hareketi) durumlar mümkünse de, – genel olarak genel olarak katı çeperlerden ve cisimlerin katı çeperlerden ve cisimlerin

art izlerinden uzakart izlerinden uzak viskoz olmayan akış viskoz olmayan akış bölgeleri dönümsüzdür. bölgeleri dönümsüzdür.

• Buna göre, dönümsüzlük ile tanımlanan akış Buna göre, dönümsüzlük ile tanımlanan akış tipleri için elde edilen çözümler, tipleri için elde edilen çözümler, tam Navier-tam Navier-Stokes çözümlerinin yaklaştırımlarıdırStokes çözümlerinin yaklaştırımlarıdır. . – Matematiksel olarak bu yaklaştırım Matematiksel olarak bu yaklaştırım

çevrintininçevrintinin ihmal edilebilecek kadar küçük ihmal edilebilecek kadar küçük olması demektir: olması demektir:

Süreklilik DenklemiSüreklilik Denklemi

• Eğer bir vektörün curl’ü Eğer bir vektörün curl’ü sıfırsa, bu vektör, sıfırsa, bu vektör, potansiyel fonksiyonpotansiyel fonksiyon adı adı verilen bir skaler verilen bir skaler fonksiyonunun gradyeni fonksiyonunun gradyeni olarak ifade edilebilir. olarak ifade edilebilir.

• Akışkanlar mekaniğindeki Akışkanlar mekaniğindeki V V vektörü, curl’ü çevri vektörü vektörü, curl’ü çevri vektörü olan hız vektörüdür ve bu olan hız vektörüdür ve bu yüzden yüzden ‘ye ‘ye hız potansiyeli hız potansiyeli fonksiyonufonksiyonu adı verilir. adı verilir.


• Dönümsüz bir akış bölgesinde hız vektörü, Dönümsüz bir akış bölgesinde hız vektörü, hız hız potansiyeli fonksiyonupotansiyeli fonksiyonu adı verilen bir skaler adı verilen bir skaler fonksiyonun gradyeni olarak ifade edilebilir:fonksiyonun gradyeni olarak ifade edilebilir:

• Kartezyen koordinatlarda:Kartezyen koordinatlarda:

• Silindirik koordinatlarda:Silindirik koordinatlarda:


• Dönümsüz akış bölgelerine Dönümsüz akış bölgelerine potansiyel potansiyel akış bölgeleriakış bölgeleri adı da verilir. adı da verilir.

• Dönümsüzlük yaklaştırımı Dönümsüzlük yaklaştırımı üç-boyutlu üç-boyutlu akışlarakışlar için de geçerlidir. için de geçerlidir.


Dönümsüz akış Dönümsüz akış bölgelerinde bölgelerinde Laplace denklemiLaplace denklemi geçerlidir:geçerlidir:


• Bu yaklaştırımın Bu yaklaştırımın çekiciliği çekiciliği – bilinmeyen bilinmeyen üç hız üç hız

bileşenininbileşeninin (koordinat sistemi (koordinat sistemi seçimine bağlı seçimine bağlı olarak olarak u, v u, v ve ve w w veya veya uurr,,u,,u, ve u, ve uzz), ), bir tane bir tane bilinmeyen skaler bilinmeyen skaler fonksiyonunda fonksiyonunda toplanması toplanması ve ve

– böylece çözüm için böylece çözüm için iki denklemin iki denklemin ortadan kalkmasıdır. ortadan kalkmasıdır.

Momentum DenklemiMomentum Denklemi• Dönümsüz bir akış Dönümsüz bir akış

bölgesinde hız alanı, bölgesinde hız alanı, Navier-Navier-Stokes denklemini Stokes denklemini kullanmadankullanmadan elde edilebilir. elde edilebilir.

• Ancak, hız potansiyeli Ancak, hız potansiyeli fonksiyonunu kullanarak hız fonksiyonunu kullanarak hız alanını belirledikten sonra alanını belirledikten sonra basınç alanını çözmekbasınç alanını çözmek için için Navier-Stokes denklemini Navier-Stokes denklemini kullanırız.kullanırız.

• Navier-Stokes denklemi, Navier-Stokes denklemi, dönümsüz bir akış dönümsüz bir akış bölgesindeki iki bilinmeyen, bölgesindeki iki bilinmeyen, ve P’nin çözümü için ve P’nin çözümü için gerekli ikinci denklemgerekli ikinci denklemdir.dir.

Momentum DenklemiMomentum Denklemi

Navier-Stokes Navier-Stokes denklemi dönümsüz denklemi dönümsüz akış bölgelerinde akış bölgelerinde Euler denklemineEuler denklemine indirgenir:indirgenir:

Momentum DenklemiMomentum Denklemi

Düzlemsel Dönümsüz Akış Düzlemsel Dönümsüz Akış BölgeleriBölgeleri

Laplace denklemi, Laplace denklemi, potansiyel fonksiyonu potansiyel fonksiyonu için için değil aynı zamanda daimi, değil aynı zamanda daimi, sıkıştırılamaz, dönümsüz, sıkıştırılamaz, dönümsüz, düzlemsel akış düzlemsel akış bölgelerinde, bölgelerinde, akım akım fonksiyonu fonksiyonu için de için de geçerlidir:geçerlidir:


• Sabit Sabit değerlerine ait değerlerine ait eğriler akışın eğriler akışın akım akım çizgilerini,çizgilerini, sabit sabit değerlerine ait eğriler değerlerine ait eğriler ise ise eşpotansiyel eşpotansiyel çizgileriniçizgilerini tanımlar. tanımlar.

• Düzlemsel dönümsüz Düzlemsel dönümsüz akış bölgelerinde akım akış bölgelerinde akım çizgileri eşpotansiyel çizgileri eşpotansiyel çizgilerini çizgilerini dik açıyla dik açıyla keserkeser ve bu durum ve bu durum karşılıklı diklikkarşılıklı diklik olarak bilinir. olarak bilinir.


• Ayrıca Ayrıca ve ve potansiyel fonksiyonları potansiyel fonksiyonları dolaylı olarak birbirleriyle ilgilidir; dolaylı olarak birbirleriyle ilgilidir; her her ikisi de Laplace denklemini sağlarikisi de Laplace denklemini sağlar ve herhangi birinden (ve herhangi birinden ( veya veya ) hız ) hız alanını belirleyebiliriz. alanını belirleyebiliriz.

ve ve ’nin çözümlerine matematikçiler ’nin çözümlerine matematikçiler harmonik fonksiyonlarharmonik fonksiyonlar adını adını verirler ve verirler ve ve ve ’ye birbirlerinin ’ye birbirlerinin harmonik eşleniğiharmonik eşleniği denir. denir.


• Her ne kadar Her ne kadar ve ve birbirleriyle ilişkili olsa birbirleriyle ilişkili olsa da da kökenleri biraz farklıdırkökenleri biraz farklıdır. .

• Belki de en iyisi, Belki de en iyisi, ve ve ’nin birbirlerinin ’nin birbirlerinin tamamlavıcısı (tümleri)tamamlavıcısı (tümleri) olduğunu olduğunu söylemektir:söylemektir:– Akım fonksiyonu süreklilik ile tanımlanır; Akım fonksiyonu süreklilik ile tanımlanır; için için

Laplace denklemi dönümsüzlükten elde edilir.Laplace denklemi dönümsüzlükten elde edilir.– Hız potansiyeli dönümsüzlük ile tanımlanır; Hız potansiyeli dönümsüzlük ile tanımlanır;

için Laplace denklemi süreklilikten elde edilir. için Laplace denklemi süreklilikten elde edilir.


Eksenel Simetrik Dönümsüz Akış Eksenel Simetrik Dönümsüz Akış BölgeleriBölgeleri

• uurr ve u ve uzz sıfırdan sıfırdan farklı farklı

hız bileşenleridir.hız bileşenleridir.

açısına bağımlılık açısına bağımlılık

yoktur.yoktur.


• Laplace denklemi: Laplace denklemi:

• Süreklilik denklemi:Süreklilik denklemi:

• Akım fonksiyonu:Akım fonksiyonu:


• Düzlemsel dönümsüz akış Düzlemsel dönümsüz akış bölgeleribölgeleri için Laplace için Laplace denklemi hem denklemi hem hem de hem de için geçerlidir.için geçerlidir.

• AAncak ncak eksenel simetrik eksenel simetrik dönümsüz akış bölgeleridönümsüz akış bölgeleri için Laplace denklemi için Laplace denklemi için için geçerliyken, geçerliyken, için için geçersizdir.geçersizdir.– Bu nedenle sabit Bu nedenle sabit ve ve

eğrileri, eksenel simetrik eğrileri, eksenel simetrik dönümsüz akış bölgelerinde dönümsüz akış bölgelerinde karşılıklı olarak karşılıklı olarak dik değildir.dik değildir.


Dönümsüz Akış Bölgelerinin Dönümsüz Akış Bölgelerinin SüperpozisyonuSüperpozisyonu

• Laplace denklemi Laplace denklemi doğrusal bir homojen doğrusal bir homojen diferansiyel denklemdiferansiyel denklem olduğundan, bu denklemin olduğundan, bu denklemin iki ya da daha fazla çözümünün doğrusal iki ya da daha fazla çözümünün doğrusal kombinasyonu da bir çözüm olmalıdır.kombinasyonu da bir çözüm olmalıdır.

• Laplace denkleminin iki çözümü Laplace denkleminin iki çözümü 11 ve ve 22 ise, bu ise, bu durumdadurumda– AA11

– (A+ (A+ 11))– ((11+ + 22))– (A(A11+B+B22))

ifadeleri de bir çözümdür (A ve B keyfi sabittir).ifadeleri de bir çözümdür (A ve B keyfi sabittir).

• Laplace denkleminin birkaç çözümü Laplace denkleminin birkaç çözümü toplanabilirtoplanabilir ve ve bu kombinasyon da bir çözümdür. bu kombinasyon da bir çözümdür.


• Bilinen iki veya Bilinen iki veya daha fazla çözümün daha fazla çözümün birbirlerine birbirlerine eklenerek eklenerek daha karmaşık daha karmaşık bir üçüncünün bir üçüncünün elde edilmesi elde edilmesi işlemine işlemine süperpozisyonsüperpozisyon denir. denir.


• Süperpozisyon kavramı faydalı, ancak Süperpozisyon kavramı faydalı, ancak yalnızca yalnızca ve ve ’ye ait denklemlerin ’ye ait denklemlerin doğrusal olduğudoğrusal olduğu dönümsüz akış dönümsüz akış bölgeleribölgeleri için geçerlidir. için geçerlidir.– Örneğin Örneğin bir jetin (hüzmenin) akış bir jetin (hüzmenin) akış

alanıalanı, asla bir giriş veya çıkış serbest-, asla bir giriş veya çıkış serbest-akım akışına eklenmemelidir, çünkü jetin akım akışına eklenmemelidir, çünkü jetin akış alanı viskozitenin şiddetli etkisi akış alanı viskozitenin şiddetli etkisi altındadır ve dönümsüz değildir. Bu altındadır ve dönümsüz değildir. Bu nedenle potansiyel fonksiyonlarla tarif nedenle potansiyel fonksiyonlarla tarif edilemez. edilemez.


• Birleşik akış alanının Birleşik akış alanının potansiyel fonksiyonu, potansiyel fonksiyonu, her bir akış alanının her bir akış alanının potansiyel potansiyel fonksiyonlarının toplamı fonksiyonlarının toplamı olduğundan, birleşik akış olduğundan, birleşik akış alanında her bir alanında her bir noktadaki hız, noktadaki hız, her bir her bir akış alanının akış alanının hızlarının vektörel hızlarının vektörel toplamıtoplamıdır: dır:


Yapıtaşı 1 – Üniform AkımYapıtaşı 1 – Üniform Akım

Yapıtaşı 1 – Üniform AkımYapıtaşı 1 – Üniform Akım

• Üniform akım içinÜniform akım için

• Kartezyen koordinat - silindirik koordinat Kartezyen koordinat - silindirik koordinat dönüşümüdönüşümü

Yapıtaşı 1 – Üniform AkımYapıtaşı 1 – Üniform Akım• u=Vcosu=Vcos ve v=Vsin ve v=Vsin

Yapıtaşı 2 – Çizgisel Kaynak ve Yapıtaşı 2 – Çizgisel Kaynak ve Çizgisel KuyuÇizgisel Kuyu

• Çizgisel kaynaktaÇizgisel kaynakta akım çizgi parçasına akım çizgi parçasına dik tüm yönlerde dik tüm yönlerde dışarı doğru yayılır.dışarı doğru yayılır.

• Çizgisel kuyudaÇizgisel kuyuda ise ise akışkan çizgisel kuyu akışkan çizgisel kuyu eksenine dik olan tüm eksenine dik olan tüm düzlemlerden çizgi düzlemlerden çizgi içerisine doğru akar. içerisine doğru akar.


• Çizgisel kaynak Çizgisel kaynak şiddetişiddeti, birim derinlik , birim derinlik başına hacimsel debiye başına hacimsel debiye eşittir:eşittir:

• r arttıkça ur arttıkça urr

azalmaktadır. azalmaktadır.

• Orijinde uOrijinde urr sonsuzdur ve sonsuzdur ve bu noktaya bu noktaya tekil noktatekil nokta veya veya tekilliktekillik adı verilir. adı verilir.


• Çizgisel kaynak için Çizgisel kaynak için


• Akım çizgileri ve Akım çizgileri ve

eşpotansiyel eşpotansiyel çizgileri, çizgileri,

tekil bir nokta olan tekil bir nokta olan

merkez dışındaki merkez dışındaki

her yerde karşılıklı her yerde karşılıklı

olarak diktir.olarak diktir.


• Merkez dışında bir Merkez dışında bir yere çizgisel kaynak yere çizgisel kaynak yerleştirildiğinde yerleştirildiğinde dikkatli bir dikkatli bir dönüşümdönüşüm yapılmalıdır.yapılmalıdır.

Yapıtaşı 3 – Çizgisel Çevri Yapıtaşı 3 – Çizgisel Çevri (Vorteks)(Vorteks)

• z-eksenine paralel çizgisel z-eksenine paralel çizgisel çevriçevri

• Hız bileşenleri:Hız bileşenleri:

: sirkülasyon veya çevri : sirkülasyon veya çevri şiddetişiddeti


• Merkezdeki çizgisel çevriMerkezdeki çizgisel çevri


• (a, b) noktasındaki (a, b) noktasındaki çizgisel çevri:çizgisel çevri:

Yapıtaşı 4 - İkiliYapıtaşı 4 - İkili

• İkili İkili eşit şiddette bir eşit şiddette bir çizgisel kaynakçizgisel kaynak ile ile bir çizgisel kuyunun bir çizgisel kuyunun

süperpozisyonundansüperpozisyonundanmeydana gelir. meydana gelir.

• Birleşik akım Birleşik akım fonksiyonufonksiyonu


• Merkezden kaynağa ve merkezden Merkezden kaynağa ve merkezden kuyuya olan a mesafesinin sıfıra kuyuya olan a mesafesinin sıfıra yaklaştığını düşünelim.yaklaştığını düşünelim.

• ArctanArctan, çok küçük , çok küçük değerleri için değerleri için ’ya yaklaşır: ’ya yaklaşır:


• Eğer kaynak ve kuyu şiddetlerini Eğer kaynak ve kuyu şiddetlerini koruyarak, a’yı kısaltırsak, koruyarak, a’yı kısaltırsak, a=0 a=0 olduğunda olduğunda kaynak ve kuyu birbirlerini kaynak ve kuyu birbirlerini sönümlersönümler ve hiçbir akış kalmaz. ve hiçbir akış kalmaz.

• Kaynak ve kuyu birbirlerine yaklaştıkça, Kaynak ve kuyu birbirlerine yaklaştıkça, V/L olan şiddetleri, a mesafesi ile ters V/L olan şiddetleri, a mesafesi ile ters orantılı ve a(V/L) çarpımı sabit kalacak orantılı ve a(V/L) çarpımı sabit kalacak şekilde artar.şekilde artar.


• Bu durumda merkeze çok yakın olmayan Bu durumda merkeze çok yakın olmayan herhangi bir P noktasında r>>a olur:herhangi bir P noktasında r>>a olur:

• İkili şiddeti: K=a(V/L)/İkili şiddeti: K=a(V/L)/

• Hız potansiyeli fonksiyonu:Hız potansiyeli fonksiyonu:


Süperpozisyon İle Oluşturulmuş Süperpozisyon İle Oluşturulmuş Dönümsüz AkışlarDönümsüz Akışlar

• Dönümsüz akışlar için olan bir dizi Dönümsüz akışlar için olan bir dizi yapıtaşı kullanılarak yapıtaşı kullanılarak süperpozisyon süperpozisyon tekniğitekniği ile daha ilginç dönümsüz ile daha ilginç dönümsüz akış alanları oluşturulabilir. akış alanları oluşturulabilir.

• Burada sadece Burada sadece xy- düzlemindeki xy- düzlemindeki düzlemsel akışlaradüzlemsel akışlara ait örnekler ait örnekler verilecektir. verilecektir.

Bir Çizgisel Kuyu İle Bir Çizgisel Bir Çizgisel Kuyu İle Bir Çizgisel Çevrinin SüperpozisyonuÇevrinin Süperpozisyonu

• Her ikisi de merkeze Her ikisi de merkeze yerleştirilmiş V/L yerleştirilmiş V/L şiddetinde bir şiddetinde bir çizgisel çizgisel kuyukuyu ile ile şiddetinde şiddetinde bir bir çizgisel çevrininçizgisel çevrinin süperpozisyonusüperpozisyonu– Akışkanın çıkışa doğru Akışkanın çıkışa doğru

dönerek ilerlediği bir dönerek ilerlediği bir kuyukuyu veya veya küvettekiküvetteki üst akış bölgesini üst akış bölgesini temsil eder. temsil eder.


• Süperpozisyon:Süperpozisyon:

• Akım çizgileri:Akım çizgileri:

• Hız bileşenleri:Hız bileşenleri:


• Çevrinin radyal hıza Çevrinin radyal hıza hiçbir katkısının hiçbir katkısının olmaması nedeniyle olmaması nedeniyle radyal hız bileşeni radyal hız bileşeni tümüyle kuyudan tümüyle kuyudan kaynaklanmakta, kaynaklanmakta, – benzer şekilde teğetsel benzer şekilde teğetsel

hız bileşeni de tamamen hız bileşeni de tamamen çevriden çevriden kaynaklanmaktadır.kaynaklanmaktadır.

Bir Üniform Akım İle Bir İkilinin Bir Üniform Akım İle Bir İkilinin Süperpozisyonu – Bir Silindir Süperpozisyonu – Bir Silindir

Üzerinden AkışÜzerinden Akış• VV hızındaki bir serbest akım ile hızındaki bir serbest akım ile

merkeze yerleştirilen K şiddetinde merkeze yerleştirilen K şiddetinde bir ikilinin süperpozisyonubir ikilinin süperpozisyonu

• r=a için r=a için =0 alınırsa yukarıdaki =0 alınırsa yukarıdaki denklemden ikili şiddeti K= Vdenklemden ikili şiddeti K= V a a2 2 olur. olur.

• Böylece akım fonksiyonunun Böylece akım fonksiyonunun alternatif formualternatif formu

elde edilir.elde edilir.


Üzerinden AkışÜzerinden Akış


Üzerinden AkışÜzerinden Akış• Üç boyutsuz parametre Üç boyutsuz parametre

tanımlanırsa tanımlanırsa

elde edilir. elde edilir.

• Boyutsuz akım çizgileri: Boyutsuz akım çizgileri:


Üzerinden AkışÜzerinden Akış• r=a dairesi r=a dairesi sıfır akım çizgisisıfır akım çizgisidir dir

ve bu akım çizgisi sanki katı bir ve bu akım çizgisi sanki katı bir çepermiş gibi düşünülebilir ve çepermiş gibi düşünülebilir ve bu akış bu akış bir silindir üzerinden bir silindir üzerinden olan potansiyel akışıolan potansiyel akışı temsil temsil eder. eder. – Daire içerisindeki akım çizgileri Daire içerisindeki akım çizgileri

çizilmemiştir - gerçekte bu çizilmemiştir - gerçekte bu çizgiler vardır ancak bizi çizgiler vardır ancak bizi ilgilendirmemektedir.ilgilendirmemektedir.

– Birisi silindirin burnunda Birisi silindirin burnunda (önünde) diğeri de arkasında (önünde) diğeri de arkasında olmak üzere iki adet durma olmak üzere iki adet durma noktası vardır.noktası vardır.

– Durma noktaları civarında akış Durma noktaları civarında akış çok yavaş olduğundan akım çok yavaş olduğundan akım çizgileri seyrektir.çizgileri seyrektir.

– Silindir üstü ve altında ise akım Silindir üstü ve altında ise akım çizgileri sıklaşır ve bu durum çizgileri sıklaşır ve bu durum hızlı akış bölgelerini gösterir. hızlı akış bölgelerini gösterir.


Üzerinden AkışÜzerinden Akış• Bir silindir üzerinden Bir silindir üzerinden gerçek akışgerçek akış, silindir , silindir

arkasında arkasında art izi bölgesiart izi bölgesi oluşturur ve oluşturur ve akım akım çizgileri simetrik değildirçizgileri simetrik değildir. .

• Hız bileşenleriHız bileşenleri

• Silindir yüzeyi üzerindeSilindir yüzeyi üzerinde


Üzerinden AkışÜzerinden Akış• Dönümsüz akış Dönümsüz akış

yaklaştırımı yapılırken katı yaklaştırımı yapılırken katı çeperlerdeki kaymama çeperlerdeki kaymama koşulu koşulu sağlanamadığından sağlanamadığından silindir çeperinde silindir çeperinde kaymakayma vardır. vardır.

• Gerçekten de silindir Gerçekten de silindir üstünde (üstünde (=90=90oo) çeperdeki ) çeperdeki akışkan hızı, akışkan hızı, serbest serbest akım hızının iki katıdır:akım hızının iki katıdır:

D’Alembert ParadoksuD’Alembert ParadoksuJean-le-Rond d’Alembert - 1752Jean-le-Rond d’Alembert - 1752

• D’Alembert paradoksuD’Alembert paradoksu: : Dönümsüz akış Dönümsüz akış yaklaştırımı yapıldığında, yaklaştırımı yapıldığında, üniform bir akım içerisine üniform bir akım içerisine bırakılan ve kaldırılmayan bırakılan ve kaldırılmayan gelişigüzel şekilli bir cisim gelişigüzel şekilli bir cisim üzerindeki üzerindeki aerodinamik aerodinamik direnç kuvveti sıfırdirenç kuvveti sıfırdır. dır.

• Bu durum yandaki simetrik Bu durum yandaki simetrik basınç dağılımından basınç dağılımından görülmektedir. görülmektedir. – Bu silindirde Bu silindirde net basınç net basınç

direnci sıfırdırdirenci sıfırdır yani cismin ön yani cismin ön yarısındaki basınç kuvvetleri yarısındaki basınç kuvvetleri arka yarısındakiler tarafından arka yarısındakiler tarafından tam olarak tam olarak dengelenmektedir.dengelenmektedir.


• Gerçek bir akışta bir cismin Gerçek bir akışta bir cismin arka yüzündeki basınç, ön arka yüzündeki basınç, ön yüzündekinden önemli yüzündekinden önemli ölçüde daha düşüktür ve bu ölçüde daha düşüktür ve bu da cisim üzerinde da cisim üzerinde sıfır sıfır olmayan bir dirençolmayan bir direnç oluşturur. oluşturur.

• Bu basınç farkı Bu basınç farkı cisim kütcisim küt ise ise ve ve akış ayrılmasıakış ayrılması var ise var ise şiddetlenir. şiddetlenir.

• Hatta Hatta akım çizgili cisimlerakım çizgili cisimler için bile cismin arkasında için bile cismin arkasında basıncın tamamen basıncın tamamen toparlanması mümkün toparlanması mümkün değildir. değildir.


• Ayrıca cisim yüzeyindeki Ayrıca cisim yüzeyindeki kaymama koşulukaymama koşulu da da sıfırdan farklı bir viskoz sıfırdan farklı bir viskoz dirence neden olur.dirence neden olur.

• Kısaca Kısaca dönümsüz akış dönümsüz akış yaklaştırımıyaklaştırımı– Sıfır basınç direnci veSıfır basınç direnci ve– Sıfır viskoz direnç Sıfır viskoz direnç

gibi iki nedenden dolayı gibi iki nedenden dolayı aerodinamik direnci aerodinamik direnci hesaplamada başarısız hesaplamada başarısız olmaktadır. olmaktadır.

Sıfır Basınç NoktasıSıfır Basınç Noktası

• Cisim yüzeyinin hemen üzerinde hızın en yüksek, Cisim yüzeyinin hemen üzerinde hızın en yüksek, basıncın en düşük olduğu nokta cismin basıncın en düşük olduğu nokta cismin aerodinamik omuzuaerodinamik omuzu olarak adlandırılır. olarak adlandırılır.

• Ön durma noktası ile aerodinamik omuz arasında Ön durma noktası ile aerodinamik omuz arasında basınç katsayısı sıfır olan bir nokta bulunur (basınç katsayısı sıfır olan bir nokta bulunur (ccpp=0=0). ). Bu noktaya “Bu noktaya “sıfır basınç noktasısıfır basınç noktası” denilir. ” denilir.

• Bu noktada cismin yüzeyine dik yönde etkiyen Bu noktada cismin yüzeyine dik yönde etkiyen basınç, cismin akışkan içerisinde ne kadar hızlı basınç, cismin akışkan içerisinde ne kadar hızlı hareket ettiğine bağlı olmaksızın aynıdır (hareket ettiğine bağlı olmaksızın aynıdır (P=PP=P). ).

Sıfır Basınç NoktasıSıfır Basınç Noktası• Balıkların gözü de Balıkların gözü de sıfır basınç sıfır basınç

noktasına çok yakınnoktasına çok yakın yerleştirilmiştir. yerleştirilmiştir. – Balığın gözü Balığın gözü burnuna yakınburnuna yakın olsaydı olsaydı

balık ne kadar hızlı yüzerse gözü balık ne kadar hızlı yüzerse gözü üzerinde o denli yüksek basınç üzerinde o denli yüksek basınç meydana gelirdi.meydana gelirdi.

– Göz daha geriye yani Göz daha geriye yani aerodinamik aerodinamik omuz civarınaomuz civarına yerleştirilmiş olsaydı yerleştirilmiş olsaydı balık yüzdüğünde göz göreceli olarak balık yüzdüğünde göz göreceli olarak emme basıncına maruz kalırdı. emme basıncına maruz kalırdı.

– Ayrıca balıkların solungaçlarının Ayrıca balıkların solungaçlarının arkası aerodinamik omuza yakın arkası aerodinamik omuza yakın yerleştirilerek buradaki emme yerleştirilerek buradaki emme basıncının balığın nefes vermesine basıncının balığın nefes vermesine yardımcı olması, hızlı yüzme yardımcı olması, hızlı yüzme esnasında kalbin strok hacmini esnasında kalbin strok hacmini artırmak için kalpleri de en düşük artırmak için kalpleri de en düşük basınç bölgesine yerleştirilmiştir. basınç bölgesine yerleştirilmiştir.


• Dönümsüz akış yaklaştırımı yapıldığında Dönümsüz akış yaklaştırımı yapıldığında herhangi herhangi bir akım çizgisi katı bir çeperbir akım çizgisi katı bir çeper olarak olarak dönüştürülebilir. dönüştürülebilir.

• Dönümsüz akış yaklaştırımı Dönümsüz akış yaklaştırımı matematiksel olarak matematiksel olarak basittirbasittir ve bu yolla hız ve basınç alanları kolayca ve bu yolla hız ve basınç alanları kolayca elde edilebilir, ancak uygularken dikkatli olunmalıdır.elde edilebilir, ancak uygularken dikkatli olunmalıdır.

• Dönümsüz akış yaklaştırımı özellikle katı çeper Dönümsüz akış yaklaştırımı özellikle katı çeper yakınları gibi yakınları gibi çevrintinin ihmal edilemez olduğu çevrintinin ihmal edilemez olduğu bölgelerdebölgelerde geçersizdir. geçersizdir.– Bunun nedeni, çeperdeki kaymama koşulunun yol açtığı Bunun nedeni, çeperdeki kaymama koşulunun yol açtığı

viskoz gerilmelerin akışkan parçacıklarını döndürmesidir.viskoz gerilmelerin akışkan parçacıklarını döndürmesidir.

10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı

• Navier-Stokes denklemlerindeki Navier-Stokes denklemlerindeki viskoz viskoz terimlerin ihmal edilebilir olduğuterimlerin ihmal edilebilir olduğu en az en az iki akış durumu vardır:iki akış durumu vardır:– Viskoz olmayan akış bölgeleriViskoz olmayan akış bölgeleri: Net viskoz : Net viskoz

kuvvetlerin atalet ve/veya basınç kuvvetlerine kuvvetlerin atalet ve/veya basınç kuvvetlerine göre ihmal edilebilir olduğu bilinen göre ihmal edilebilir olduğu bilinen yüksek yüksek Reynolds sayılı bölgelerReynolds sayılı bölgeler

– Dönümsüz veya potansiyel akış bölgeleri:Dönümsüz veya potansiyel akış bölgeleri: Çevrintinin ihmal edilebilir derecede küçük Çevrintinin ihmal edilebilir derecede küçük olduğu bölgeler.olduğu bölgeler.

10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı10.6. Sınır Tabaka Yaklaştırımı• Her iki durumda da NS denkleminden viskoz Her iki durumda da NS denkleminden viskoz

terimlerin kalkmasıyla terimlerin kalkmasıyla Euler denklemiEuler denklemi elde elde edilir. edilir.

• Viskoz terimlerin yok olmasıyla matematiksel Viskoz terimlerin yok olmasıyla matematiksel işlemler büyük ölçüde basitleşmiş olsa da işlemler büyük ölçüde basitleşmiş olsa da Euler denkleminin pratik mühendislik akışı Euler denkleminin pratik mühendislik akışı problemlerine uygulanması ile ilgili ciddi problemlerine uygulanması ile ilgili ciddi eksiklikler vardır:eksiklikler vardır:– Katı çeperlerde Katı çeperlerde kaymama koşulukaymama koşulunu nu

tanımlayamama tanımlayamama – Katı çeperler üzerinde Katı çeperler üzerinde sıfır viskoz kayma sıfır viskoz kayma

kuvvetlerikuvvetleri ve serbest bir akıntıya daldırılmış ve serbest bir akıntıya daldırılmış cisimler üzerinde cisimler üzerinde sıfır aerodinamik direnç sıfır aerodinamik direnç


• Sınır tabaka Sınır tabaka yaklaştırımıyaklaştırımı, , – Euler denklemiyle NS Euler denklemiyle NS

denklemi arasındaki vedenklemi arasındaki ve– katı çeperlerdeki kayma katı çeperlerdeki kayma

koşulu ile kaymama koşulu ile kaymama koşulu arasındaki koşulu arasındaki boşluğa boşluğa köprüköprü olur. olur.

• Sınır tabaka yaklaştırımı Sınır tabaka yaklaştırımı 1904 yılında 1904 yılında Ludwig Ludwig PrandtlPrandtl tarafından tarafından ortaya atılmıştır. ortaya atılmıştır.


• Sınır tabaka yaklaştırımına Sınır tabaka yaklaştırımına göre bir cisim etrafındaki göre bir cisim etrafındaki akış iki bölgeye ayrılır:akış iki bölgeye ayrılır:– Viskoz olmayan ve/veya Viskoz olmayan ve/veya

dönümsüz olan dönümsüz olan Dış Akış Dış Akış BölgesiBölgesi. .

– Bir katı çeper civarında Bir katı çeper civarında viskoz kuvvetlerin ve viskoz kuvvetlerin ve dönümlülüğün göz ardı dönümlülüğün göz ardı edilemeyeceği çok ince bir edilemeyeceği çok ince bir akış bölgesi olan akış bölgesi olan Sınır Sınır Tabaka BölgesiTabaka Bölgesi olarak olarak adlandırılan iç akış bölgesiadlandırılan iç akış bölgesi


• Dış Akış Bölgesinde hız Dış Akış Bölgesinde hız alanını elde etmek için alanını elde etmek için süreklilik ve Euler süreklilik ve Euler denklemleridenklemleri, basınç , basınç alanını elde etmek için alanını elde etmek için Bernoulli denklemiBernoulli denklemi kullanılır. kullanılır.

• Eğer dış akış bölgesi Eğer dış akış bölgesi dönümsüz ise hız alanını dönümsüz ise hız alanını elde etmek için elde etmek için potansiyel akış potansiyel akış teknikleriteknikleri kullanılabilir. kullanılabilir.

• Sınır tabaka bölgesinde Sınır tabaka bölgesinde Sınır Tabaka Sınır Tabaka DenklemleriDenklemleri kullanılır. kullanılır.


• Sınır tabaka çözümleri, Sınır tabaka çözümleri, bütün NS bütün NS çözümlerinin yaklaştırımlarıdırçözümlerinin yaklaştırımlarıdır ve bunu ve bunu uygularken dikkatli olunmalıdır. uygularken dikkatli olunmalıdır.

• Sınır tabaka yaklaştırımı, Sınır tabaka yaklaştırımı, Euler denkleminin Euler denkleminin bazı önemli eksikliklerinibazı önemli eksikliklerini giderir: giderir:– Çeperler boyunca viskoz kayma kuvvetleri mevcut Çeperler boyunca viskoz kayma kuvvetleri mevcut

hale gelebilir.hale gelebilir.– Serbest bir akıma daldırılan cisimler aerodinamik Serbest bir akıma daldırılan cisimler aerodinamik

dirence maruz kalabilir.dirence maruz kalabilir.– Ters basınç gradyenlerinin olduğu bölgelerdeki Ters basınç gradyenlerinin olduğu bölgelerdeki

akış ayrılmaları daha doğru bir biçimde akış ayrılmaları daha doğru bir biçimde belirlenebilir. belirlenebilir.


• Sınır tabaka kavramı Sınır tabaka kavramı 1900’lü1900’lü yılların büyük kısmında yılların büyük kısmında akışkanlar mekaniğinin lokomotifiakışkanlar mekaniğinin lokomotifi olmuştur.olmuştur.

• 20. yüzyılın ikinci yarısında20. yüzyılın ikinci yarısında, hızlı, pahalı olmayan , hızlı, pahalı olmayan bilgisayarların ve hesaplamalı akışkan dinamiği bilgisayarların ve hesaplamalı akışkan dinamiği yazılımlarının ortaya çıkışı, karmaşık geometrili akışlar yazılımlarının ortaya çıkışı, karmaşık geometrili akışlar için NS denkleminin için NS denkleminin sayısal çözümünüsayısal çözümünü mümkün mümkün kılmıştır. kılmıştır.

• Artık günümüzde akışı, dış akış bölgeleri ve sınır Artık günümüzde akışı, dış akış bölgeleri ve sınır tabaka bölgeleri olarak tabaka bölgeleri olarak ayırmaya gereksinim ayırmaya gereksinim yoktur.yoktur.– Bunun yerine tüm hareket denklem takımını (süreklilik ve NS) Bunun yerine tüm hareket denklem takımını (süreklilik ve NS)

tüm akış alanı boyunca çözmek için tüm akış alanı boyunca çözmek için HAD’ı (Hesaplamalı HAD’ı (Hesaplamalı Akışkanlar Dinamiği)Akışkanlar Dinamiği) kullanabiliriz. kullanabiliriz.


• Çözüme ulaşmak için Çözüme ulaşmak için çok daha az çok daha az zamanzaman alması nedeniyle, yine de alması nedeniyle, yine de sınır tabaka teorisi bazı mühendislik sınır tabaka teorisi bazı mühendislik uygulamalarında faydalıdır. uygulamalarında faydalıdır.

• Ayrıca sınır tabakaları incelemek Ayrıca sınır tabakaları incelemek yoluyla yoluyla akışkanların davranışıakışkanların davranışı hakkında öğrenecek çok şey vardır.hakkında öğrenecek çok şey vardır.


• Sınır tabaka Sınır tabaka kalınlığı, kalınlığı, : : Çepere paralel hız Çepere paralel hız bileşeninin sınır bileşeninin sınır tabaka dışında akan tabaka dışında akan akışkan hızının akışkan hızının %99’una eşit olduğu %99’una eşit olduğu noktanın çepere olan noktanın çepere olan mesafesidir. mesafesidir.


• Verilen bir x konumunda, Verilen bir x konumunda, Reynolds sayısı ne Reynolds sayısı ne kadar yükseksekadar yüksekse sınır sınır tabaka o oranda tabaka o oranda incedir incedir ve sınır tabaka yaklaştırımı ve sınır tabaka yaklaştırımı daha güvenilir hale gelir. daha güvenilir hale gelir.

<<x ise<<x ise (veya boyutsuz (veya boyutsuz olarak olarak /x<<1/x<<1) sınır ) sınır tabaka tabaka inceince olarak kabul olarak kabul edilir. edilir.


• Sınır tabaka profilinin şekli, akışı Sınır tabaka profilinin şekli, akışı görselleştirme yoluyla görselleştirme yoluyla deneysel deneysel olarakolarak elde edilebilir. elde edilebilir.


• Sınır tabaka yaklaştırımı sadece Sınır tabaka yaklaştırımı sadece çeperlerle çevrilmiş akış çeperlerle çevrilmiş akış bölgeleriylebölgeleriyle sınırlı değildir. sınırlı değildir.

• JetlerJetler, , art izleriart izleri ve ve karışım karışım tabakalarıtabakaları gibi serbest kayma gibi serbest kayma tabakalarına da sınır tabaka tabakalarına da sınır tabaka yaklaştırımı uygulanabilir.yaklaştırımı uygulanabilir.– Bu tabakalar ihmal edilemez Bu tabakalar ihmal edilemez

viskoz kuvvetlerin bulunduğu viskoz kuvvetlerin bulunduğu sonlu çevrintilisonlu çevrintili akış akış alanlarıdır. alanlarıdır.


• Sınır tabaka kalınlığı sabit olmayıp aşağı akım Sınır tabaka kalınlığı sabit olmayıp aşağı akım mesafesi x ile değişir. mesafesi x ile değişir. – Düz plaka, jetler, art izleri ve karışım tabakalarında Düz plaka, jetler, art izleri ve karışım tabakalarında (x) (x)

kalınlığı kalınlığı x ile artmaktax ile artmaktadır. dır. – (x)’in x ile azaldığı(x)’in x ile azaldığı, bir çeper boyunca çabuk , bir çeper boyunca çabuk

ivmelenen dış akışlar da bulunmaktadır. ivmelenen dış akışlar da bulunmaktadır.


(x) eğrisi bir akım çizgisi değildir. (x) eğrisi bir akım çizgisi değildir. – Sınır tabaka aşağı akım yönünde kalınlaştıkça, sınır Sınır tabaka aşağı akım yönünde kalınlaştıkça, sınır

tabakadan geçen akım çizgileri kütle korunumunu tabakadan geçen akım çizgileri kütle korunumunu sağlamak için hafifçe yukarı doğru sapar. sağlamak için hafifçe yukarı doğru sapar.

– Yukarı yöndeki bu yer değiştirme Yukarı yöndeki bu yer değiştirme (x)’deki büyümeden (x)’deki büyümeden daha küçüktür. daha küçüktür.


• Düz plaka üzerindeki laminer akıştaDüz plaka üzerindeki laminer akışta sınır tabaka kalınlığı sınır tabaka kalınlığı – V, V, – x, x, – ve ve – ’’nün nün

fonksiyonudur.fonksiyonudur.

(x), (x), ReRexx’in karekökü ile ’in karekökü ile orantılıdır. orantılıdır.


• Serbest akımlı pürüzsüz bir düz plakada türbülansa geçiş Serbest akımlı pürüzsüz bir düz plakada türbülansa geçiş süreci, süreci, kritik Reynolds sayısındakritik Reynolds sayısında başlar ve başlar ve geçiş geçiş Reynolds sayısındaReynolds sayısında tamamen türbülanslı hale geçinceye tamamen türbülanslı hale geçinceye kadar devam eder. kadar devam eder. – Kritik Reynolds sayısı Kritik Reynolds sayısı

ReRex,kritikx,kritik1*101*1055

– Geçiş Reynolds sayısı Geçiş Reynolds sayısı

ReRex,geçişx,geçiş3*103*1066


• Sınır tabaka Sınır tabaka çok incedirçok incedir, , geçiş bölgesi uzun bir geçiş bölgesi uzun bir bölgedirbölgedir: :

– ReRex,geçiş x,geçiş 30 30 ReRex,kritikx,kritik

• Gerçek mühendislik akışlarında türbülansa geçiş Gerçek mühendislik akışlarında türbülansa geçiş genellikle genellikle daha anidaha ani ve sakin serbest akımlı pürüzsüz ve sakin serbest akımlı pürüzsüz düz plaka için verilen değerlerden düz plaka için verilen değerlerden çok daha önceçok daha önce meydana gelir (daha düşük Remeydana gelir (daha düşük Rexx değerinde). değerinde).


• Geçişi şu parametreler etkiler:Geçişi şu parametreler etkiler:– yüzey boyunca pürüzlülükyüzey boyunca pürüzlülük,,– serbest akım bozuklukları, serbest akım bozuklukları, – akustik gürültüakustik gürültü, , – akış kararsızlıkları,akış kararsızlıkları,– titreşimler,titreşimler,– çeper eğriliği,çeper eğriliği,

• Bir sınır tabakanın büyük olasılıkla laminer Bir sınır tabakanın büyük olasılıkla laminer (Re(Rexx<Re<Rex,kritikx,kritik) ya da türbülanslı (Re) ya da türbülanslı (Rexx>Re>Rex,kritikx,kritik) ) olduğunu belirlemede çoğunlukla olduğunu belirlemede çoğunlukla ReRex,krx,kr=5*10=5*1055 olan olan mühendislik kritik Reynolds sayısımühendislik kritik Reynolds sayısı kullanılır. kullanılır. – Bu yaklaşımda geçiş bölgesinin ilk kısmı laminer, kalan Bu yaklaşımda geçiş bölgesinin ilk kısmı laminer, kalan

kısmı da türbülanslı kabul edilir. kısmı da türbülanslı kabul edilir.


• Geçiş süreci çoğunlukla Geçiş süreci çoğunlukla daimi daimi değildirdeğildir ve modern HAD ve modern HAD yazılımlarıyla bile kestirimi yazılımlarıyla bile kestirimi zordur.zordur.

• Bazı durumlarda istenen bir Bazı durumlarda istenen bir konumda akışı geçiş sürecine konumda akışı geçiş sürecine zorlamak için yüzey boyunca zorlamak için yüzey boyunca kalın zımpara kağıdıkalın zımpara kağıdı veya veya engel teliengel teli yerleştirilir. yerleştirilir.

• Engel telinden yayılan girdaplar, Engel telinden yayılan girdaplar, daha iyi yerel karışmaya neden daha iyi yerel karışmaya neden olur ve olur ve çok hızlı şekildeçok hızlı şekilde türbülanslı sınır tabakaya geçişi türbülanslı sınır tabakaya geçişi sağlayan akış bozuklukları sağlayan akış bozuklukları meydana getirir.meydana getirir.


Sınır Tabaka DenklemleriSınır Tabaka Denklemleri

• Yerçekimi etkileri Yerçekimi etkileri ihmal ediliyor.ihmal ediliyor.

• Laminer sınır Laminer sınır tabaka,tabaka,

• Sınır tabaka Sınır tabaka koordinat sistemi koordinat sistemi kullanılıyor.kullanılıyor.


Daimi olmayan terim ve yerçekimi etkileri Daimi olmayan terim ve yerçekimi etkileri ihmal edildiğindeihmal edildiğinde

Sınır Tabaka DenklemleriSınır Tabaka Denklemleri• x için uzunluk ölçeği olarak Lx için uzunluk ölçeği olarak L

• y için uzunluk ölçeği olarak y için uzunluk ölçeği olarak

• Tüm akış alanı için karakteristik hız VTüm akış alanı için karakteristik hız V

• Sınır tabakalar için karakteristik hız USınır tabakalar için karakteristik hız U

(U, sınır tabakanın tam üstündeki (U, sınır tabakanın tam üstündeki

bir konumda, çepere paralel bir konumda, çepere paralel

hız bileşeninin büyüklüğüdür)hız bileşeninin büyüklüğüdür)

• Büyüklük mertebeleriBüyüklük mertebeleri


• Süreklilik denkleminden v hız Süreklilik denkleminden v hız bileşeninin büyüklük bileşeninin büyüklük mertebesimertebesi

• Bir sınır tabaka içerisinde Bir sınır tabaka içerisinde /L<<1/L<<1 olduğundan olduğundan (sınır tabaka çok ince) (sınır tabaka çok ince) v<<uv<<u elde edilir. elde edilir.


• Boyutsuz değişkenler kullanıldığında:Boyutsuz değişkenler kullanıldığında:

• Tüm boyutsuz değişkenler 1 Tüm boyutsuz değişkenler 1 mertebesindedir ve mertebesindedir ve normalleştirilmiş değişkenlerdir. normalleştirilmiş değişkenlerdir.


y yönündeki momentum denklemi:y yönündeki momentum denklemi:


• ReReLL>>1 olduğundan sağ tarafta bulunan ortadaki >>1 olduğundan sağ tarafta bulunan ortadaki terimin büyüklük mertebesi diğerlerinden daha terimin büyüklük mertebesi diğerlerinden daha küçüktür.küçüktür.

• Aynı nedenle sağdaki son terim sağdaki ilk terimden Aynı nedenle sağdaki son terim sağdaki ilk terimden çok küçüktürçok küçüktür. .

• Bu iki terim ihmal edilirse geriye soldaki iki terim ile Bu iki terim ihmal edilirse geriye soldaki iki terim ile sağdaki ilk terim kalır:sağdaki ilk terim kalır:


L>>L>> olmasından dolayı basınç gradyeni teriminin olmasından dolayı basınç gradyeni teriminin büyüklük mertebesi, denklemin solundaki advektif büyüklük mertebesi, denklemin solundaki advektif terimlerden daha büyüktür. terimlerden daha büyüktür.

Bunun sonucunda kalan tek terim basınç terimi Bunun sonucunda kalan tek terim basınç terimi olur: olur:


• Bir sınır tabaka içerisinde Bir sınır tabaka içerisinde

sınır tabakaya dik yönde sınır tabakaya dik yönde

(y-yönü) basınç hemen (y-yönü) basınç hemen hemen sabittir.hemen sabittir.


Bu nedenle bir Bu nedenle bir sınır tabakanın sınır tabakanın dış kenarındaki dış kenarındaki basınç, çeperin basınç, çeperin doğrudan altına doğrudan altına açılan bir açılan bir statik basınç statik basınç deliğideliği ile ile deneysel olarak deneysel olarak ölçülebilir. ölçülebilir.


x- yönündeki NS denklemix- yönündeki NS denklemi


• ReReLL>>1>>1 olduğundan olduğundan – sağ tarafta bulunan ortadaki terimin büyüklük mertebesi sağ tarafta bulunan ortadaki terimin büyüklük mertebesi

• sol tarafta yer alan terimlerinkinden daha küçüktür.sol tarafta yer alan terimlerinkinden daha küçüktür.

• Sağ taraftaki son terim ihmal edilemezSağ taraftaki son terim ihmal edilemez, çünkü ihmal , çünkü ihmal edilirse tüm viskoz terimler atılmış olur ve Euler edilirse tüm viskoz terimler atılmış olur ve Euler denklemine geri dönülmüş olur. denklemine geri dönülmüş olur.

• Diğer tüm terimler 1 mertebesinde olduğundan:Diğer tüm terimler 1 mertebesinde olduğundan:


• Çeper boyunca Çeper boyunca verilen bir akımyönü verilen bir akımyönü konumunda konumunda Reynolds sayısı ne Reynolds sayısı ne kadar yükseksekadar yüksekse, , sınır tabaka da o sınır tabaka da o denli incedenli ince olur. olur.

• Düz bir plaka Düz bir plaka üzerindeki laminer üzerindeki laminer sınır tabakada sınır tabakada , , x’in x’in kareköküyle kareköküyle orantılı olarak orantılı olarak büyürbüyür. .


• x-momentum sınır tabaka denklemi:x-momentum sınır tabaka denklemi:

• y-hız gradyeniy-hız gradyeni genellikle küçük olan genellikle küçük olan kinematik viskozitekinematik viskozite değerini dengelemek değerini dengelemek için yeterince büyük olduğundan, yukarıdaki için yeterince büyük olduğundan, yukarıdaki denklemdeki son terim ihmal edilemez. denklemdeki son terim ihmal edilemez.


Bernoulli denklemiBernoulli denklemi dış akış dış akış bölgesine uygulanabilir:bölgesine uygulanabilir:


Önemli yerçekimi etkilerinin olmadığı, Önemli yerçekimi etkilerinin olmadığı, daimi, sıkıştırılamaz, laminer sınır tabaka daimi, sıkıştırılamaz, laminer sınır tabaka için için hareket denklemlerihareket denklemleri (sınır tabaka (sınır tabaka denklemleri)denklemleri)::


• Matematiksel olarak N-S denklemi Matematiksel olarak N-S denklemi uzayda uzayda eliptiktir.eliptiktir.– Bu, sınır şartlarının akış bölgesinin tüm sınırı Bu, sınır şartlarının akış bölgesinin tüm sınırı

boyunca gerekli olduğu anlamına gelir. boyunca gerekli olduğu anlamına gelir. – Fiziksel olarak akış bilgisi Fiziksel olarak akış bilgisi tüm yönleretüm yönlere, hem , hem

yukarıakıma hem de aşağıakıma iletilir. yukarıakıma hem de aşağıakıma iletilir.


x- momentum sınır tabaka x- momentum sınır tabaka denklemi, denklemi, paraboliktirparaboliktir.. – Bu, sınır şartlarının akış Bu, sınır şartlarının akış

bölgesinin yalnızca üç bölgesinin yalnızca üç tarafında belirtilmesi tarafında belirtilmesi gerektiği anlamına gelir. gerektiği anlamına gelir.

– Fiziksel olarak akış bilgisi Fiziksel olarak akış bilgisi akışa zıt yöndeakışa zıt yönde (aşağı (aşağı akımdan) etkilenmez.akımdan) etkilenmez.

– Aşağıakımda sınır şartı Aşağıakımda sınır şartı belirtilmesibelirtilmesi gerekmez. gerekmez.

– Sınır şartlarının yalnızca Sınır şartlarının yalnızca yukarıakımda, akış yukarıakımda, akış bölgesinin üstünde ve bölgesinin üstünde ve altında belirtilmesi yeterli altında belirtilmesi yeterli olur. olur.


• Bir çeper üzerindeki tipik bir sınır tabaka Bir çeper üzerindeki tipik bir sınır tabaka problemi içinproblemi için– Çeperde kaymama koşulu (Çeperde kaymama koşulu (y=0’da u=v=0y=0’da u=v=0))– Sınır tabaka kenarındaki ve uzağındaki dış akış Sınır tabaka kenarındaki ve uzağındaki dış akış

şartı (şartı (yy için u=U(x) için u=U(x)))– Belirli bir yukarıakım konumunda bir başlangıç Belirli bir yukarıakım konumunda bir başlangıç

profili profili x=xx=xbaşlangıçbaşlangıç için u=u için u=ubaşlangıçbaşlangıç(y)(y)’dir. x’dir. xbaşlangıçbaşlangıç sıfır olabilir ve olmayabilir.sıfır olabilir ve olmayabilir.


Sınır Tabaka DenklemleriSınır Tabaka Denklemleri• Reynolds sayısı yeterince yüksekReynolds sayısı yeterince yüksek

değilse sınır tabaka yaklaştırımı değilse sınır tabaka yaklaştırımı işe yaramaz.işe yaramaz.

ReReLL=1000 için =1000 için /L/L~~%3%3ReReLL=10000 için =10000 için /L/L~~%1%1

• Çeper eğriliği, Çeper eğriliği, ile yakın ile yakın büyüklükteyse, büyüklükteyse, y-yönünde y-yönünde sıfır basınç gradyenisıfır basınç gradyeni kabulü kabulü yapılamaz. yapılamaz. – Bu tür durumlarda akım çizgisi Bu tür durumlarda akım çizgisi

eğriliğinden kaynaklanan eğriliğinden kaynaklanan merkezcil merkezcil ivme etkileriivme etkileri göz ardı edilemez. göz ardı edilemez.


• Reynolds sayısı çok yüksekse, sınır tabaka Reynolds sayısı çok yüksekse, sınır tabaka laminerlaminer olarak kalmaz. olarak kalmaz.

• Akış ayrılmasıAkış ayrılması meydana geliyorsa, meydana geliyorsa, ayrılan akış bölgesinde sınır tabaka ayrılan akış bölgesinde sınır tabaka yaklaştırımı uygun olmaz. yaklaştırımı uygun olmaz.

• Ayrılan akış bölgesinde Ayrılan akış bölgesinde ters akışters akış bulunur bulunur ve sınır tabaka denklemlerinin parabolik ve sınır tabaka denklemlerinin parabolik yapısı kaybolur. yapısı kaybolur.




Yerdeğiştirme KalınlığıYerdeğiştirme Kalınlığı

• Yerdeğiştirme Yerdeğiştirme kalınlığıkalınlığı, sınır , sınır tabakanın tam tabakanın tam dışındaki bir akım dışındaki bir akım çizgisinin sınır çizgisinin sınır tabaka etkisiyle tabaka etkisiyle çeperden uzaklaşma çeperden uzaklaşma mesafesidir. mesafesidir.

• Yerdeğiştirme Yerdeğiştirme kalınlığıkalınlığı


• Sınır tabaka büyüdükçe, yer Sınır tabaka büyüdükçe, yer değiştirme kalınlığı değiştirme kalınlığı x ile artarx ile artar. .

• Laminer düz plakaLaminer düz plaka için yer için yer değiştirme kalınlığı (sayısal Blasius değiştirme kalınlığı (sayısal Blasius çözümü)çözümü)


• Yer değiştirme Yer değiştirme kalınlığıkalınlığı için olan için olan denklem ile denklem ile sınır sınır tabaka kalınlığıtabaka kalınlığı için için olan denklem aynıdır:olan denklem aynıdır:

– Sadece bu denklemdeki Sadece bu denklemdeki sabit farklıdırsabit farklıdır..

– Düz bir plaka üzerindeki Düz bir plaka üzerindeki laminer akış için herhangi laminer akış için herhangi bir x konumunda, yer bir x konumunda, yer değiştirme kalınlığı aynı değiştirme kalınlığı aynı konumdaki sınır tabaka konumdaki sınır tabaka kalınlığının kalınlığının üçte biridir. üçte biridir.


• Viskoz olmayan ve/veya Viskoz olmayan ve/veya dönümsüz akış için yer dönümsüz akış için yer değiştirme kalınlığı, değiştirme kalınlığı, çeper çeper kalınlığındaki hayali veya kalınlığındaki hayali veya görünür bir artışgörünür bir artış olarak olarak düşünülebilir. düşünülebilir. – Düz plaka örneğinde dış Düz plaka örneğinde dış

akış, artık sonsuz ince bir akış, artık sonsuz ince bir düz plaka görmeyecektir.düz plaka görmeyecektir.

– Tersine Tersine sonlu kalınlıkta sonlu kalınlıkta bir plaka şeklibir plaka şekli görecektir. görecektir.

• Yer değiştirme kalınlığı, Yer değiştirme kalınlığı, büyüyen sınır tabaka etkisiyle, büyüyen sınır tabaka etkisiyle, dış akışın dış akışın çeper kalınlığında çeper kalınlığında gördüğü hayali artıştır.gördüğü hayali artıştır.

Yerdeğiştirme KalınlığıYerdeğiştirme Kalınlığı• Üst ve alt çeperde sınır tabakalar büyüdükçe, Üst ve alt çeperde sınır tabakalar büyüdükçe, dönümsüz dönümsüz

çekirdek akışıçekirdek akışı kütlenin korunumunu sağlamak üzere kütlenin korunumunu sağlamak üzere ivmelenmelidir.ivmelenmelidir.

• Çekirdek akışı açısından sınır tabakalar Çekirdek akışı açısından sınır tabakalar kanal çeperlerinin kanal çeperlerinin yakınsamasınayakınsamasına, yani x arttıkça çeperler arasındaki , yani x arttıkça çeperler arasındaki görünür mesafenin azalmasına neden olur.görünür mesafenin azalmasına neden olur.

• Çeperlerden birinin kalınlığındaki hayali artış, yerdeğiştirme Çeperlerden birinin kalınlığındaki hayali artış, yerdeğiştirme kalınlığına eşittir ve kalınlığına eşittir ve çekirdeğin görünür U(x) hızıçekirdeğin görünür U(x) hızı kütlenin korunumunu sağlamak için artmalıdır. kütlenin korunumunu sağlamak için artmalıdır.

Momentum KalınlığıMomentum Kalınlığı

• Plaka üzerinde Plaka üzerinde sürtünmeden sürtünmeden kaynaklanan direnç kuvveti:kaynaklanan direnç kuvveti:

• Momentum kalınlığı Momentum kalınlığı , birim plaka , birim plaka genişliği için plaka üzerindeki viskoz direnç genişliği için plaka üzerindeki viskoz direnç kuvveti ile kuvveti ile UU22 çarpımı birbirine eşit çarpımı birbirine eşit olacak şekilde tanımlanırsa: olacak şekilde tanımlanırsa:



• Momentum kalınlığıMomentum kalınlığı, büyüyen sınır , büyüyen sınır tabakanın varlığından ötürü birim tabakanın varlığından ötürü birim genişlik başına oluşan momentum genişlik başına oluşan momentum kaybının kaybının UU22’ye oranı olarak tanımlanır:’ye oranı olarak tanımlanır:


• Laminer düz plaka için Laminer düz plaka için ((Blasius çözümüBlasius çözümü): ):

• Bu denklem Bu denklem sabiti farklı sabiti farklı olmakolmak üzere sınır tabaka üzere sınır tabaka kalınlığı ve yer değiştirme kalınlığı ve yer değiştirme kalınlığı denklemleri ile kalınlığı denklemleri ile aynıdır. aynıdır.

• Düz bir plaka üzerindeki Düz bir plaka üzerindeki laminer akış için herhangi laminer akış için herhangi bir x konumundaki bir x konumundaki , , ’nın ’nın yaklaşık %13.5’uduryaklaşık %13.5’udur..

Türbülanslı Düz Plaka Sınır Türbülanslı Düz Plaka Sınır TabakasıTabakası

• Türbülanslı akışlar Türbülanslı akışlar kendine özgü biçimde kendine özgü biçimde daimi değildir ve anlık daimi değildir ve anlık hız profilleri hız profilleri zamanla zamanla değişirdeğişir. . – Bu nedenle buradaki Bu nedenle buradaki

tüm türbülans ifadeleri tüm türbülans ifadeleri zaman ortalamalı zaman ortalamalı değerlerdir. değerlerdir.


Türbülanslı düz plaka sınır tabakasının Türbülanslı düz plaka sınır tabakasının zaman-ortalamalı hız profili için yaygın zaman-ortalamalı hız profili için yaygın olan bir ampirik yaklaştırım olan bir ampirik yaklaştırım 1/7’nci 1/7’nci kuvvet yasasıdır:kuvvet yasasıdır:

, laminer akıştaki tanımından farklı olarak , laminer akıştaki tanımından farklı olarak sınır tabaka kalınlığının %99’u sınır tabaka kalınlığının %99’u değildirdeğildir ve sınır tabakanın gerçek ve sınır tabakanın gerçek kenarıdır.kenarıdır.


• Eğer laminer ve Eğer laminer ve türbülanslı sınır türbülanslı sınır tabakalar aynı tabakalar aynı kalınlıkta olsaydı, kalınlıkta olsaydı, türbülanslı olanın türbülanslı olanın laminer olandan laminer olandan daha doludaha dolu olduğu olduğu görülür.görülür.


– Türbülanslı sınır tabaka Türbülanslı sınır tabaka çepere daha yakın çepere daha yakın şekilde tutunur ve böylece şekilde tutunur ve böylece çepere yakın sınır çepere yakın sınır tabaka tabaka daha yüksek hızlı akışla daha yüksek hızlı akışla dolardolar..

– Bunun nedeni, sınır Bunun nedeni, sınır tabakanın tabakanın dış kısmındaki yüksek dış kısmındaki yüksek hızlı akışkanı sınır tabakanın hızlı akışkanı sınır tabakanın aşağı kısmına (veya bunun aşağı kısmına (veya bunun tersi) doğru taşıyan büyük tersi) doğru taşıyan büyük türbülans girdaplarıdır.türbülans girdaplarıdır.


• Başka bir deyişle, bir türbülanslı sınır Başka bir deyişle, bir türbülanslı sınır tabaka laminer sınır tabakaya göre tabaka laminer sınır tabakaya göre çok çok daha büyük karışma daha büyük karışma derecesinederecesine sahiptir. sahiptir. – Laminer durumda akışkan Laminer durumda akışkan viskoz viskoz

difüzyondifüzyon nedeniyle yavaşça karışır. nedeniyle yavaşça karışır.– Türbülanslı akışta Türbülanslı akışta büyük girdaplarbüyük girdaplar çok çok

daha hızlı yayılır ve mükemmel karışma daha hızlı yayılır ve mükemmel karışma meydana gelir.meydana gelir.


• Türbülanslı sınır tabakanın yukarıdaki yaklaşık Türbülanslı sınır tabakanın yukarıdaki yaklaşık hız profili, çepere çok yakın kısımlarda (yhız profili, çepere çok yakın kısımlarda (y0) 0) fiziksel olarak bir anlam taşımaz.fiziksel olarak bir anlam taşımaz.– çünkü y=0 için (çünkü y=0 için (∂u/∂y) eğimini ∂u/∂y) eğimini sonsuzsonsuz

vermektedir. vermektedir.

• Türbülanslı bir sınır tabaka için çeperdeki Türbülanslı bir sınır tabaka için çeperdeki eğim çok büyük olsa daeğim çok büyük olsa da sonsuz değildir.sonsuz değildir. – Çeperdeki bu yüksek eğim, Çeperdeki bu yüksek eğim, çok yüksek bir çeper çok yüksek bir çeper

kayma gerilmesinekayma gerilmesine ve dolayısıyla plaka yüzeyi ve dolayısıyla plaka yüzeyi boyunca boyunca yüksek yüzey sürtünmesineyüksek yüzey sürtünmesine yol açar yol açar (aynı kalınlıktaki laminer sınır tabakaya oranla). (aynı kalınlıktaki laminer sınır tabakaya oranla).



• Yaygın olan diğer bir yaklaştırım Yaygın olan diğer bir yaklaştırım logaritma logaritma yasasıdır: yasasıdır:

• Sürtünme hızıSürtünme hızı::

=0.40-0.41 ve B=5.0-5.5=0.40-0.41 ve B=5.0-5.5


• Logaritma yasasıLogaritma yasası– Yarı-ampirik bir ifadedir. Yarı-ampirik bir ifadedir. – Yalnızca düz plaka sınır tabakaları için değil Yalnızca düz plaka sınır tabakaları için değil

aynı zamanda tam gelişmiş boru akışı hız aynı zamanda tam gelişmiş boru akışı hız profilleri için de geçerlidir. profilleri için de geçerlidir.

– Çeperle çevrili hemen hemen tüm türbülanslı Çeperle çevrili hemen hemen tüm türbülanslı sınır tabakalar için uygulanabilir. sınır tabakalar için uygulanabilir.

– Çepere çok yakın yerlerde işe yaramaz (ln0) Çepere çok yakın yerlerde işe yaramaz (ln0) tanımsızdır.tanımsızdır.

– Sınır tabaka kenarında deneysel değerlerden Sınır tabaka kenarında deneysel değerlerden sapma gösterir. sapma gösterir.

– Hız profilini çeper kayma gerilmesinin yerel Hız profilini çeper kayma gerilmesinin yerel değeriyle ilişkilendirdiği için faydalıdır. değeriyle ilişkilendirdiği için faydalıdır.


• Tüm çeper için geçerli ifade Tüm çeper için geçerli ifade Spalding çeper yasasıdır: Spalding çeper yasasıdır:

Türbülanslı Düz Plaka Sınır TabakasıTürbülanslı Düz Plaka Sınır Tabakası


Basınç Gradyenli Sınır TabakalarBasınç Gradyenli Sınır Tabakalar

• Mühendisler için Mühendisler için gelişigüzel şekilli gelişigüzel şekilli çeperler üzerindeki çeperler üzerindeki sınır tabakalar daha sınır tabakalar daha fazla pratik öneme fazla pratik öneme sahiptir: sahiptir:

dış akışlar dış akışlar ve ve iç akışlariç akışlar


• Basınç gradyeninin sıfır olmadığı sınır Basınç gradyeninin sıfır olmadığı sınır tabakalartabakalar da laminer veya türbülanslı olabilir. da laminer veya türbülanslı olabilir.

• Düz plaka sınır tabaka sonuçları, Düz plaka sınır tabaka sonuçları, türbülansa türbülansa geçiş yeri, sınır tabaka kalınlığı, yüzey geçiş yeri, sınır tabaka kalınlığı, yüzey sürtünmesisürtünmesi vb. şeyler için yaklaşık tahmin vb. şeyler için yaklaşık tahmin olarak kullanılabilir.olarak kullanılabilir.– Ancak daha fazla doğruluk gerektiğinde, sınır Ancak daha fazla doğruluk gerektiğinde, sınır

tabaka denklemleri çözülmelidir. tabaka denklemleri çözülmelidir. – Bu durumda x yönündeki basınç gradyeni terimi Bu durumda x yönündeki basınç gradyeni terimi

(UdU/dx) sıfır olmadığından(UdU/dx) sıfır olmadığından, yapılacak analiz , yapılacak analiz düz plaka için olandan çok daha zordur. düz plaka için olandan çok daha zordur.


• Eğer akış, viskoz olmayan ve/veya Eğer akış, viskoz olmayan ve/veya dönümsüz bir dış akış bölgesinde dönümsüz bir dış akış bölgesinde (sınır tabakanın dışı) ivmeleniyorsa (sınır tabakanın dışı) ivmeleniyorsa U(x) artar, P(x) azalır. Buna U(x) artar, P(x) azalır. Buna elverişli elverişli basınç gradyenibasınç gradyeni denir. denir.– Bu tür ivmelenen bir akışta Bu tür ivmelenen bir akışta sınır sınır

tabaka genellikle incedirtabaka genellikle incedir ve ve çepere çepere sıkıca tutunmuştur.sıkıca tutunmuştur.

– Çeperden Çeperden ayrılmayacak bir yapıdaayrılmayacak bir yapıda olduğundan elverişlidir veya istenir. olduğundan elverişlidir veya istenir.


• Dış akış yavaşlıyorsa (negatif Dış akış yavaşlıyorsa (negatif ivmeleniyorsa) U(x) azalır, P(x) ise ivmeleniyorsa) U(x) azalır, P(x) ise artar. Buna artar. Buna elverişsiz veya ters elverişsiz veya ters basınç gradyenibasınç gradyeni denir. denir.– Bu Bu istenilmeyenistenilmeyen bir durumdur. bir durumdur.– Sınır tabaka genellikle Sınır tabaka genellikle daha kalındırdaha kalındır ve ve

çepere sıkıca tutunmamıştır.çepere sıkıca tutunmamıştır.•Dolayısıyla Dolayısıyla çeperden ayrılmasıçeperden ayrılması çok daha çok daha

muhtemeldir. muhtemeldir.

Basınç Gradyenli Sınır TabakalarBasınç Gradyenli Sınır Tabakalar• Tipik bir dış akıştaTipik bir dış akışta

cismin cismin ön kısmındaki ön kısmındaki sınır tabaka elverişli sınır tabaka elverişli basınç gradyeninebasınç gradyenine maruz kalırken, maruz kalırken, arka arka kısmı ters basınç kısmı ters basınç gradyeninin gradyeninin etkisindediretkisindedir. .

• Eğer ters basınç gradyeni Eğer ters basınç gradyeni (dP/dx=-UdU/dx) (dP/dx=-UdU/dx) yeterince yeterince büyükse sınır tabakanın büyükse sınır tabakanın çeperden ayrılmasıçeperden ayrılması olasıdır.olasıdır.

Basınç Gradyenli Sınır TabakalarBasınç Gradyenli Sınır Tabakalar• (a) şeklinde sınır tabaka, kanadın tüm alt yüzeyi boyunca (a) şeklinde sınır tabaka, kanadın tüm alt yüzeyi boyunca

kanada yapışık kalmakta, ancak üst yüzeyin arkasında bir kanada yapışık kalmakta, ancak üst yüzeyin arkasında bir yerde kanattan ayrılmaktadır.yerde kanattan ayrılmaktadır.– Ayrılma kabarcıklarıAyrılma kabarcıkları denilen denilen sürekli dolanımlı bir sürekli dolanımlı bir

akış bölgesiakış bölgesi oluşmaktadır. oluşmaktadır.

• (b) şeklinde ayrılma noktası kanadın ön kısmına doğru (b) şeklinde ayrılma noktası kanadın ön kısmına doğru hareket etmekte ve ayrılma kabarcığı neredeyse kanadın hareket etmekte ve ayrılma kabarcığı neredeyse kanadın tüm üst yüzeyini kaplamaktadır (tüm üst yüzeyini kaplamaktadır (stol durumustol durumu))– Stol, beraberinde bir kaldırma kaybı ve aerodinamik Stol, beraberinde bir kaldırma kaybı ve aerodinamik

dirençte belirgin bir artış meydana getirir. dirençte belirgin bir artış meydana getirir.


• Ayrılma kabarcığındaki ters akıştan ötürü Ayrılma kabarcığındaki ters akıştan ötürü bir ayrılma noktasının aşağı akımındabir ayrılma noktasının aşağı akımında sınır tabaka denklemleri geçersizdir:sınır tabaka denklemleri geçersizdir:– Bu tür durumlarda sınır tabaka Bu tür durumlarda sınır tabaka

yaklaştırımı yerine yaklaştırımı yerine bütün Navier-bütün Navier-Stokes denklemleriStokes denklemleri kullanılmalıdır. kullanılmalıdır.


• Çeper üzerinde sınır tabaka momentum Çeper üzerinde sınır tabaka momentum denklemini incelemek suretiyle denklemini incelemek suretiyle çeşitli çeşitli basınç gradyenibasınç gradyeni şartlarında hız profilinin şartlarında hız profilinin şekli konusunda çok şey öğrenilebilir.şekli konusunda çok şey öğrenilebilir.

• Sınır tabaka denkleminden Sınır tabaka denkleminden çeperde hız çeperde hız sıfır olduğundan:sıfır olduğundan:


• Elverişli basınç Elverişli basınç gradyenigradyeni şartlarında şartlarında (ivmelenen dış akış)(ivmelenen dış akış)– dU/dx pozitiftir ve dU/dx pozitiftir ve

((22u/u/22y)y)y=0y=0<0 olur.<0 olur.– Sınır tabaka kenarında u Sınır tabaka kenarında u

hızı U(x)’e yaklaştıkça hızı U(x)’e yaklaştıkça 22u/u/22y negatif y negatif kalmalıdır.kalmalıdır.

– Buna göre Buna göre herhangi bir herhangi bir büküm noktası büküm noktası olmaksızınolmaksızın hız profili hız profili yuvarlak bir halyuvarlak bir hal alır. alır.


• Sıfır basınç gradyeniSıfır basınç gradyeni şartlarında şartlarında – dU/dx sıfırdır ve dU/dx sıfırdır ve

((22u/u/22y)y)y=0y=0=0 olur.=0 olur.

– u, y ile doğrusal büyür. u, y ile doğrusal büyür.


• Ters basınç gradyeniTers basınç gradyeni şartlarında şartlarında – dU/dx negatiftir ve dU/dx negatiftir ve

((22u/u/22y)y)y=0y=0>0 olur.>0 olur.

– Ancak sınır tabaka Ancak sınır tabaka kenarında u hızı U(x)’e kenarında u hızı U(x)’e yaklaştıkça yaklaştıkça 22u/u/22y’nin y’nin negatif olması negatif olması gerektiğinden, sınır gerektiğinden, sınır tabaka içerisinde bir tabaka içerisinde bir yerde yerde bir büküm bir büküm noktası (noktası (22u/u/22y=0y=0)) olmalıdır. olmalıdır.


• Çeperde u hızının y’ye göre birinci türevi Çeperde u hızının y’ye göre birinci türevi doğrudan çeper kayma gerilmesi doğrudan çeper kayma gerilmesi ww ile ile orantılıdırorantılıdır [( [(ww==u/u/y)y)y=0y=0]]

ww elverişli basınç gradyenleri için en elverişli basınç gradyenleri için en yüksekyüksek, ters basınç gradyenleri için en düşüktür., ters basınç gradyenleri için en düşüktür.

• Sınır tabaka kalınlığı Sınır tabaka kalınlığı basınç gradyeni işaret basınç gradyeni işaret değiştirdiğinde artmaktadır. değiştirdiğinde artmaktadır.


• Ters basınç gradyeni yeterince Ters basınç gradyeni yeterince yüksekse (yüksekse (u/u/y)y)y=0y=0 sıfır olabilir. sıfır olabilir.

• Çeper boyunca bunun Çeper boyunca bunun gerçekleştiği konum gerçekleştiği konum ayrılma ayrılma noktasıdır. noktasıdır. – Bu noktanın ötesinde ters Bu noktanın ötesinde ters

akış ve ayrılma kabarcığı akış ve ayrılma kabarcığı vardır. vardır.

– Ayrılma noktasının ötesinde Ayrılma noktasının ötesinde ww negatiftir. negatiftir.


Basınç Gradyenli Sınır TabakalarBasınç Gradyenli Sınır Tabakalar• Sınır tabaka yaklaştırımıSınır tabaka yaklaştırımı sadece dış akış çözümünün sadece dış akış çözümünün

başarısı kadar iyi sonuç verir.başarısı kadar iyi sonuç verir.– Eğer ayrılma noktası dış akışı önemli ölçüde değiştiriyorsa, Eğer ayrılma noktası dış akışı önemli ölçüde değiştiriyorsa,

bu durumda sınır tabaka yaklaştırımı hatalı olacaktır.bu durumda sınır tabaka yaklaştırımı hatalı olacaktır.

• Türbülanslı sınır tabakalar, aynı ters basınç gradyenine maruz Türbülanslı sınır tabakalar, aynı ters basınç gradyenine maruz laminer sınır tabakalara kıyasla laminer sınır tabakalara kıyasla akış ayrılmasına karşı akış ayrılmasına karşı daha dirençlidirdaha dirençlidir. .


• Pürüzsüz bir golf topuPürüzsüz bir golf topu, yüzeyindeki laminer sınır , yüzeyindeki laminer sınır tabakayı korur ve sınır tabaka bu şekilde rahatça tabakayı korur ve sınır tabaka bu şekilde rahatça yüzeyden ayrılarak yüksek aerodinamik dirence yüzeyden ayrılarak yüksek aerodinamik dirence neden olur. neden olur.

• Türbülansa erken geçiş sağlamak için golf toplarının Türbülansa erken geçiş sağlamak için golf toplarının üzerinde üzerinde çukurcuklarçukurcuklar (bir tür yüzey pürüzlülüğü) (bir tür yüzey pürüzlülüğü) vardır. vardır.

• Golf topu yüzeyinden akış yine ayrılır ancak bu defa Golf topu yüzeyinden akış yine ayrılır ancak bu defa ayrılma, sınır tabakadaki aşağı akımın çok daha ayrılma, sınır tabakadaki aşağı akımın çok daha uzağında gerçekleşir ve uzağında gerçekleşir ve aerodinamik direncin aerodinamik direncin önemli ölçüde düşmesineönemli ölçüde düşmesine neden olur. neden olur.

Sınır Tabakalar İçin Momentum Sınır Tabakalar İçin Momentum

İntegral Tekniğiİntegral Tekniği

• Momentum integral tekniği,Momentum integral tekniği, yüzeyler yüzeyler boyunca sıfır veya sıfır olmayan basınç boyunca sıfır veya sıfır olmayan basınç gradyeni altındaki sınır tabakalara ait sınır gradyeni altındaki sınır tabakalara ait sınır tabaka kalınlığı, yüzey sürtünme katsayısı gibi tabaka kalınlığı, yüzey sürtünme katsayısı gibi özelliklerin niceliksel yaklaştırımlarını elde özelliklerin niceliksel yaklaştırımlarını elde etmede bir etmede bir kontrol hacmi yaklaştırımıkontrol hacmi yaklaştırımı kullanır. kullanır.

• Momentum integral tekniği Momentum integral tekniği hem laminer hem laminer hem de türbülanslı sınır tabakalarhem de türbülanslı sınır tabakalar için için kullanılabilir. kullanılabilir.

Sınır Tabakalar İçin Momentum Sınır Tabakalar İçin Momentum İntegral Tekniğiİntegral Tekniği

• Karman integral denklemi (KİD):Karman integral denklemi (KİD):

• Karman integral denklemi, alternatif form:Karman integral denklemi, alternatif form:

• Şekil faktörü:Şekil faktörü:

• Yerel yüzey sürtünme katsayısı:Yerel yüzey sürtünme katsayısı:


• Bir yüzey boyunca gelişen, sıfır olmayan basınç Bir yüzey boyunca gelişen, sıfır olmayan basınç gradyenli bir sınır tabakanın söz konusu olduğu gradyenli bir sınır tabakanın söz konusu olduğu genel bir durum için genel bir durum için H ve CH ve Cf,xf,x,, x’in bir x’in bir fonksiyonudurfonksiyonudur..

• KİDKİD, laminer, türbülanslı veya geçiş bölgesindeki , laminer, türbülanslı veya geçiş bölgesindeki bir çeper boyunca bir çeper boyunca daimi sıkıştırılamaz bir daimi sıkıştırılamaz bir sınır tabakasınır tabaka için geçerlidir. için geçerlidir.

• Düz plaka sınır tabakası için KİDDüz plaka sınır tabakası için KİD: :


• KİD’in önemli bir eksiği vardır: KİD’i KİD’in önemli bir eksiği vardır: KİD’i uygulayabilmek için uygulayabilmek için sınır tabaka sınır tabaka profilinin şeklinin bilinmesiprofilinin şeklinin bilinmesi ((veya veya tahmin edilmesitahmin edilmesi) gereklidir. ) gereklidir.

• Basınç gradyenli sınır tabakalarda Basınç gradyenli sınır tabakalarda sınır sınır tabaka şekli x ile değişirtabaka şekli x ile değişir ve bu da ve bu da analizi daha karmaşık hale getirir. analizi daha karmaşık hale getirir.


• ReReLL=0.1 ve sürünme akışı =0.1 ve sürünme akışı yaklaştırımıyaklaştırımı

• Akış alanı önden arkaya Akış alanı önden arkaya hemen hemen hemen hemen simetriktirsimetriktir..

• Plaka sanki Plaka sanki sonlu bir sonlu bir kalınlığa sahipmiş gibikalınlığa sahipmiş gibi akış akış plaka etrafında ıraksamaktadırplaka etrafında ıraksamaktadır– Bunun nedeni viskozite ve Bunun nedeni viskozite ve

kaymama koşulundan kaymama koşulundan kaynaklanan kaynaklanan büyük yer büyük yer değiştirme etkisidir.değiştirme etkisidir.

• Plakanın etkisi, akışın geri Plakanın etkisi, akışın geri kalan kısmı içerisine doğru kalan kısmı içerisine doğru tüm yönlerde plaka boyunun tüm yönlerde plaka boyunun on katına kadaron katına kadar yayılır. yayılır.


• ReReLL=10=10– Bu Reynolds sayısı sürünme Bu Reynolds sayısı sürünme

akışı oluşturmayacak kadar akışı oluşturmayacak kadar yüksek, buna karşın sınır yüksek, buna karşın sınır tabaka yaklaştırımı uygun tabaka yaklaştırımı uygun olmayacak kadar da çok olmayacak kadar da çok düşüktür. düşüktür.

• Akım çizgileri büyük miktarda yer Akım çizgileri büyük miktarda yer değiştirir.değiştirir.

• Plaka önünde ve arkasında Plaka önünde ve arkasında önemli önemli y-hız bileşeniy-hız bileşeni bulunur. bulunur.

• Yerdeğiştirme etkisi şiddetli Yerdeğiştirme etkisi şiddetli değildir ve akış önden arkaya değildir ve akış önden arkaya simetrik olmaktan çıkmıştır.simetrik olmaktan çıkmıştır.

• Akışkan plakayı terk ederken Akışkan plakayı terk ederken ataletin etkisi akışkanın düz plaka ataletin etkisi akışkanın düz plaka arkasında büyüyen art izi içerisine arkasında büyüyen art izi içerisine doğru süpürülmektedir. doğru süpürülmektedir.


• ReReLL=1000=1000

• Atalet etkileri akış alanının Atalet etkileri akış alanının çoğu boyunca viskoz etkilere çoğu boyunca viskoz etkilere baskın olmaya baskın olmaya başlamaktadır ve buna başlamaktadır ve buna (oldukça kalın olsa da) (oldukça kalın olsa da) sınır sınır tabakatabaka denilebilir. denilebilir.

• Sınır tabaka kalınlığı plaka Sınır tabaka kalınlığı plaka boyunun yaklaşık boyunun yaklaşık %15’idir%15’idir..

• Yerdeğiştirme etkileri büyük Yerdeğiştirme etkileri büyük ölçüde azalmış ve herhangi ölçüde azalmış ve herhangi bir izin önden arkaya bir izin önden arkaya simetrisi kalmamıştırsimetrisi kalmamıştır. .


• ReReLL=100000=100000

• Bu yüksek Reynolds sayısında Bu yüksek Reynolds sayısında sınır sınır tabaka yaklaştırımıtabaka yaklaştırımı uygundur. uygundur.

• Dış akış üzerinde kayda değer bir etkiye Dış akış üzerinde kayda değer bir etkiye sahip olmayan sahip olmayan son derece ince bir son derece ince bir sınır tabakadır.sınır tabakadır.

• Akım çizgileri hemen hemen her yerde Akım çizgileri hemen hemen her yerde paraleldir ve plaka arkasındaki paraleldir ve plaka arkasındaki art izi art izi bölgesinibölgesini görmek için yakından görmek için yakından bakmak gerekir. bakmak gerekir.

• Art izi içerisindeki akım çizgileri, akışın Art izi içerisindeki akım çizgileri, akışın öteki kısımlarına kıyasla birbirlerinden öteki kısımlarına kıyasla birbirlerinden hafifçe daha uzaktır. Bunun nedeni hafifçe daha uzaktır. Bunun nedeni art art izi bölgesinde hızın serbest akım izi bölgesinde hızın serbest akım hızından oldukça düşük olmasıdırhızından oldukça düşük olmasıdır. .

• Çok ince bir sınır tabaka içerisinde, Çok ince bir sınır tabaka içerisinde, yerdeğiştirme kalınlığı çok küçük yerdeğiştirme kalınlığı çok küçük olduğundan olduğundan y-hız bileşeni ihmal y-hız bileşeni ihmal edilebiliredilebilir. .

Documents

10. BÖLÜM