10장 불량률관리도와 불량개수관리도

김남형

가천대학교 응용통계학과

nhkim@gachon.ac.kr

계수형 관리도

불량품(nonconformings)과 결함(nonconformities)에 대한 관리

장점

데이터 수집 용이

비용과 시간이 절약

공정 전반의 품질수준 파악에 효과적

여러 항목들을 동시에 관리할 수 있음

단점

공정의 변화를 민감하게 탐지하지 못함

2

계수형 관리도의 종류

Data 종류

Control Chart 설명

계수치

P (불량률 관리도)

불량비율을 알고 싶을 때, 표본크기가 다양하고, 보통 50개 이상일 때

np (불량개수 관리도)

불량개수를 알고 싶을 때, 표본크기가 일정하고, 보통 50개 이상일 때

C (결점수 관리도)

결점의 수를 알고 싶을 때, 표본크기가 일정할 때

U (단위당 결점수 관리도)

단위당 결점 수를 알고 싶을 때, 표본크기가 일정하지 않을 때

3

제1절 불량률(p)관리도

• 양적인 측정이 불가능하여 계수치로만 나타낼 수 밖에 없는 경우

제품을 양품과 불량품으로 분류할 경우

불량품(nonconforming unit) : 적어도 하나의 결함을 가지는 제품

제대로 작동하지 않는 공구

시동이 안 걸리는 자동차

고객이 좋아하지 않는 서비스

불량률 관리도

표본의 불량률(�̂�𝑝)을 타점

4

불량률(p) 관리도

p관리도를 효과적으로 이용하기 위해서는 데이터가 충분히 층별로 모아져야 함.

검사개수 n과 불량개수 pn은 알고 있어야 함

사용목적

평균품질수준을 결정하는데 사용. 합격․불합격과 같은 계수치의 의미로써 공정능력을 알 수 있게 함.

경영자로 하여금 평균과 비교해서 어떤 변화(증가/감소)가 일어나게 되는지를 쉽게 알 수 있게 함

제품품질 개선.

작업자와 경영자 개인의 품질활동 성과를 평가.

관리도를 적용하기 위해 예비적인 조사분석.

고객에게 인도하기 전 제품의 허용기준을 결정.

5

표본불량률(proportion nonconforming) 크기 n의 표본을 임의로 골라 검사하였을 때 불량품이 x

개였다고 할 때 표본불량률

모집단 불량률 p의 안정상태 여부 판단

표본 크기는 보통 몇 백개 단위의 큰 표본 정확성 있는 비율 구할 수 있음

6

이항확률변수 X

X : 표본의 불량품 수

불량품의 수는 이항확률변수라 할 수 있음

평균=np

분산=np(1-p)

7

표본비율 의 분포

평균 =

분산 =

표준편차 =

8

9

표본비율 의 분포

평균 = 모비율(p)

표준편차 =

단, 모비율 p ≈

10

불량률(p) 관리도

관리상한 =

중심선 =

관리하한 =

�̅�𝑝 + 3�̅�𝑝(1 − �̅�𝑝)

𝑛𝑛

�̅�𝑝

�̅�𝑝 − 3�̅�𝑝(1 − �̅�𝑝)

𝑛𝑛

<표1> 표본불량률 표본

번호

표본

크기 x

불량률

(p)

표본

번호

표본

크기 x

불량률

(p)

1 100 3 0.03 11 100 3 0.03

2 100 5 0.05 12 100 8 0.08

3 100 12 0.12 13 100 10 0.10

4 100 10 0.10 14 100 8 0.08

5 100 6 0.06 15 100 5 0.05

6 100 5 0.05 16 100 7 0.07

7 100 7 0.07 17 100 3 0.03

8 100 3 0.03 18 100 11 0.11

9 100 2 0.02 19 100 7 0.07

10 100 9 0.09 20 100 13 0.13

합계 2,000 137 1.37

평균 0.0685( ) 11

12

중심선= = 0.0685

표본비율의 평균

관리상한(UCL) = 0.1443

중심선(CL) = 0.0685

관리하한(LCL) = 0

13

14

[예제1]

p관리도. 청바지를 만드는 L기업. 높은 품질 유지위하여

생산공정 모니터하는 p관리도 작성하고자 함.

모집단의 불량률은 알 수 없음. 임의로 20 표본, 청바지

(n=100). 자료는 <표2>와 같을 때 공정관리를 위한 p 관리

도 작성

15

<표2> 불량률 표본

번호

표본

크기

불량

개수

(x)

불량률

(p)

표본

번호

표본

크기

불량

개수

(x)

불량률

(p)

1 100 1 0.01 11 100 2 0.02

2 100 4 0.04 12 100 0 0

3 100 2 0.02 13 100 1 0.01

4 100 2 0.02 14 100 2 0.02

5 100 1 0.01 15 100 1 0.01

6 100 4 0.04 16 100 2 0.02

7 100 3 0.03 17 100 3 0.03

8 100 2 0.02 18 100 4 0.04

9 100 4 0.04 19 100 2 0.02

10 100 8 0.08 20 100 2 0.02 16

17

<풀이>

CL= = 0.025

p 관리도

18

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

불량률(p)

UCL=0.066

CL=0.022

LCL=0

그런데, 표본번호 10이 불량률 0.08로 관리상한을 초과하

므로, 그 원인을 찾아서 교정하여 표본번호 10을 제거하

고 다시 계산한다.

19

20

중심선(CL)= = 0.022

공정관리를 위한 p관리도

관리상한(UCL)= 0.066

중심선(CL) = 0.022

관리하한(LCL)= 0

21

p관리도

10번째 데이터 제거

22

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

불량률(p)

UCL=0.066

CL=0.022

LCL=0

표본크기가 다를 때

표본 번호

표본 크기

불량 개수 (x)

불량률(p)

표본 번호

표본 크기

불량 개수 (x)

불량률(p)

1 170 8 0.047 11 240 11 0.046 2 170 5 0.029 12 185 9 0.049 3 170 10 0.059 13 270 13 0.048 4 170 12 0.071 14 270 16 0.059 5 200 11 0.055 15 230 10 0.043 6 230 15 0.065 16 250 9 0.036 7 85 4 0.047 17 200 6 0.030 8 80 5 0.063 18 310 14 0.045 9 80 0 0.000 19 310 16 0.052

10 120 6 0.050 20 200 10 0.050

23

표본크기가 다를 때

표본마다 관리한계선을 달리한다.

표준화된 p관리도를 사용한다.

�̂�𝑝 대신 다음과 같은 표준점수를 타점 𝑧𝑧 = (�̂�𝑝 − �̅�𝑝)/ �̅�𝑝(1 − �̅�𝑝)/𝑛𝑛

이 때 관리한계선은 ±3

표본 크기의 평균을 사용하여 근사한계선 정한다.

24

p 관리도(표본크기 다를 때)

25

-0.020

0.000

0.020

0.040

0.060

0.080

0.100

0.120

0.140

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

불량률(p)

UCL

CL

LCL

표본마다 관리한계선을 달리한 경우

p 관리도(표본크기 다를 때)

26

표준화된 p관리도를 사용한 경우

-4.000

-3.000

-2.000

-1.000

0.000

1.000

2.000

3.000

4.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920

z

UCL

CL

LCL

p 관리도(표본크기 다를 때)

27

표본 크기의 평균(197)을 사용한 경우

-0.020

0.000

0.020

0.040

0.060

0.080

0.100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

불량률(p)

UCL

CL

LCL

p 관리도의 표본크기 경제적인 측면과 통계적인 측면 함께 고려

통계적인 측면만을 고려한 기준 세가지

기준1

표본을 100번 뽑을 때 불량품수가 한 개 이상인 표본이 적어도 90번 정도는 나오도록 표본 크기를 정한다.

𝑃𝑃 𝑋𝑋 ≥ 1 ≥ 0.9

28

예제: 공정불량률이 p=0.02인 공정에서 표본을 100번 뽑을 때 불량품수가 한 개 이상인 표본이 적어도 90번 정도는 나오도록 하려

면 표본의 크기는 얼마가 되어야 하는가?

풀이: 이항분포의 Poisson 근사 이용 𝑃𝑃 𝑋𝑋 ≥ 1 = 1 − 𝑃𝑃 𝑋𝑋 = 0 = 1 − exp −𝑛𝑛𝑝𝑝 ≥ 0.9

np ≥ ln (10)

n ≥ ln (10)/𝑝𝑝

n ≥2.30258

0.02= 115.129

표본크기는 116이상이어야 함.

29

기준2

공정불량률이 d 만큼 증가하였을 때 1회의 표집으로 이를 탐

지할 확률이 0.5이상이 되어야 한다.

𝑃𝑃 𝑝𝑝 + 𝑑𝑑 ≥ 𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈 ≥ 0.5

즉,

𝑃𝑃 𝑝𝑝 ≥ 𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈 − 𝑑𝑑 ≥ 0.5

이 관계를 만족하려면 UCL-d ≤CL이어야 한다. 따라서

𝑑𝑑 ≥ 𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈 − 𝑈𝑈𝑈𝑈 = 3 𝑝𝑝 1 − 𝑝𝑝 /𝑛𝑛

n ≥ 3d

2𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝)

30

예제: 공정불량률이 p=0.02에서 0.05로 증가할 때, 1회의 표집으

로 이를 탐지할 확률이 0.5이상이 되게 하려면, 표본의 크기는 얼마가 되어야 하는가?

풀이: d=0.03 이므로

n ≥3d

2

𝑝𝑝 1 − 𝑝𝑝 =3

0.03

2

0.02 1 − 0.02 = 196

표본크기는 196이상이어야 함.

31

기준3

불량률 관리도에서 품질향상을 탐지할 수 있으려면 LCL이 0보

다 커야 한다. 즉

𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈𝑈 = 𝑝𝑝 − 3𝑝𝑝 1 − 𝑝𝑝

𝑛𝑛> 0

이로부터

n > 9 1 − 𝑝𝑝 /𝑝𝑝

32

예제: p=0.02일 때 불량률 관리도에서 품질향상을 탐지할 수 있으

려면 표본 크기가 얼마가 되어야 하는가?

풀이:

n > 9 1 − 𝑝𝑝 /𝑝𝑝 = 9 1 − 0.02 /0.02 =441

표본크기는 441 보다 커야 함.

33

제2절 불량개수(np) 관리도

표본의 크기 n이 매번 일정할 때 사용

불량품의 개수를 세어 타점

사용이 간편

관리도의 의미는 p관리도와 동일

34

불량품 개수의 분포

모비율 p이고 표본크기 n일 때, 불량품 개수 X는 이항확률

변수

기대값 = np

표준편차 = 𝑛𝑛𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝)

단, 모비율 p를 모를 땐 표본비율의 평균 �̅�𝑝로 대치할 수

있음

35

36

불량개수(np) 관리도

관리상한 =

중심선 =

관리하한 =

𝑛𝑛�̅�𝑝 + 3 𝑛𝑛�̅�𝑝(1 − �̅�𝑝)

𝑛𝑛�̅�𝑝

𝑛𝑛�̅�𝑝 − 3 𝑛𝑛�̅�𝑝(1 − �̅�𝑝)

<표3> 불량품개수

37

표본

번호

표본

크기

불량

개수

(x)

불량률

(p)

표본

번호

표본

크기

불량

개수

(x)

불량률

(p)

1 100 3 0.03 11 100 3 0.03

2 100 5 0.05 12 100 8 0.08

3 100 12 0.12 13 100 10 0.10

4 100 10 0.10 14 100 8 0.08

5 100 6 0.06 15 100 5 0.05

6 100 5 0.05 16 100 7 0.07

7 100 7 0.07 17 100 3 0.03

8 100 3 0.03 18 100 11 0.11

9 100 2 0.02 19 100 7 0.07

10 100 9 0.09 20 100 13 0.13

합계 2,000 137 1.37

평균 6.85

(�̅�𝑥 )

0.0685

(�̅�𝑝 )

중심선(CL) =

38

표본비율의 평균

39