Upload
marina-vukanic
View
561
Download
9
Embed Size (px)
Citation preview
266
10. ARMIRANOBETONSKE LJUSKE
10.1.10.1.10.1.10.1. UVODUVODUVODUVOD
Ljuske su noseće konstrukcije formirane od zakrivljenih površi, koje prihvataju opterećenje
primarno silama u ravni (ravnomerno raspodeljenim po debljini ljuske), ali i savijanjem,
posebno u zoni oslanjanja i veze sa drugim elementima. Pogodnim izborom geometrije, sa
malim debljinama, ljuske mogu biti izuzetno racionalni elementi kad je o utoršku materijala
reč.
U opštem slučaju, ljuske mogu biti različitih oblika površi koje karakteriše Gauss-ova mera
krivine, proizvod krivina glavnih pravaca (κα i κβ):
1
Kr rα βα β
κ κ= ⋅ =⋅
, ..................................................................................... (10.1)
gde su rα i rβ poluprečnici krivina. Prema znaku krivine, razlikuju se (Sl. 348):
• Eliptične površi imaju pozitivnu Gauss-ovu krivinu, odnosno, centri oba poluprečnika
glavnih krivina su sa iste strane površi. Ove ljuske ne mogu menjati svoj oblik bez
istezanja srednje površi, zbog čega su vrlo krute.
• Hiperboličke površi imaju negativnu Gauss-ovu krivinu, odnosno, centri poluprečnika
glavnih krivina su na različitim stranama površi. Karakterišu se pravim izvodnicama.
• Parabolične površi imaju nultu Gauss-ovu krivinu. Jedan od poluprečnika glavne
krivine im je beskonačno velik.
Sl. 348. Površine različite Gauss-ove krivine
Kada je debljina ljuske (h) mala u poreñenju sa poluprečnikom krivine (r), ljuska se smatra
tankom, a statički tretman ovih elemenata može biti baziran na teoriji tankih ljuski. Načelno,
ljuska se smatra tankom ukoliko je zadovoljeno:
1
20
h
r≤ . ........................................................................................................ (10.2)
Osnovne pretpostavke tehničke teorije tankih ljuski su:
• Smatra se da prava vlakna upravna na srednju površ ljuske ostaju prava i upravna na
deformisanu srednju površ, ne menjajući svoju dužinu.
10. Armiranobetonske ljuske
267
• Normalni naponi u pravcu normale na srednju površ su zanemarljivi u odnosu na
ostale komponentalne napone.
Analizu sila u preseku ljuske je pogodno sprovesti na delu površi ograničenom linijama
glavnih pravaca (koordinatnim linijama). Glavni pravci su odreñeni maksimalnim i
minimalnim poluprečnicima krivine. U opštem slučaju, postoji deset sila u presečnim
površima ljuske: normalne sile Nα i Nβ, smičuće sile Nαβ i Nβα, transverzalne sile Qα i Qβ,
momenti savijanja Mα i Mβ i momenti torzije Mαβ i Mβα (Sl. 349). Ovih deset veličina, načelno,
nije moguće odrediti samo iz uslova ravnoteže (problem nije statički odreñen), nego se
moraju postaviti i dopunske veze izmeñu napona, deformacija i pomeranja ljuske.
Sl. 349. Sile u presečnim površinama ljuske, opšti slučaj
Opšti problem je, pod odreñenim uslovima, moguće dekomponovati na nezavisne slučajeve
membranskog i fleksionog naprezanja ljuske.
Pretpostavljajući elastično ponašanje ljuski (Hooke-ova hipoteza), ljuska se može analizirati
na način koji podrazumeva njeno naprezanje samo u srednjoj površi, poput membrane koja
ne pruža nikakav otpor savijanju. Od presečnih sila, javljaju se samo normalne sile Nα i Nβ,
smičuće sile Nαβ i Nβα, a ova vrsta naprezanja se naziva membransko naprezanje ljuskimembransko naprezanje ljuskimembransko naprezanje ljuskimembransko naprezanje ljuski, dok
je odgovarajuća teorija proračuna - membranska teorija (Sl. 350a). Membransko stanje
naprezanja se može analizirati i kod ljuski konačne debljine pod sledećim uslovima:
• Granični uslovi oslanjanja moraju biti takvi da reaktivne sile naprežu ljusku samo u
njenoj srednjoj površi. Ovim, mogu biti sprečena samo pomeranja u pravcu tangente
na meridijalnu ivicu na kojoj se ljuska oslanja (Sl. 350b).
• Debljina ljuske mora biti dovoljno mala da se član z/r u izrazima datim na Sl. 349
može zanemariti u odnosu na jedinicu. Ovim i raspodela normalnih i smičućih
napona po visini h preseka postaje konstantna:
N hα ασ= ⋅ , N hβ βσ= ⋅ , N N hαβ βα αβτ= = ⋅ . ............................................. (10.3)
• Srednja površ mora biti glatka i ne sme biti naglih promena u debljini ljuske.
• Opterećenje mora biti kontinualno raspodeljeno, bez skokova ili koncentrisanih
dejstava.
Brujić - Betonske konstrukcije – radna verzija - 9. avgust 2011
268
Sl. 350. Membranske sile i membranski uslovi oslanjanja
Sada, kada je broj nepoznatih veličina samo tri, (10.3), ove se mogu odrediti samo iz uslova
ravnoteže.
Konturni uslovi ljuske su najčešće takvi da ne dozvoljavaju slobodnu membransku
deformaciju kraja – ljuske su po konturi obično kruto vezane (elastično uklještene) za druge
elemente (ljuske, ploče, prstenaste grede...). Ovim i membranski uslovi rada na krajevima
ljuske ne mogu biti ostvareni, nego su „poremećeni“ fleksionim silama. Osim konturnih
uslova, do pojave momenata savijanja dovode i nagle promene debljine ljuske, koncentrisana
opterećenja, skokovi u kontinualno promenljivom opterećenju ili koncentrisana opterećenja.
Sl. 351. Fleksione sile
Pored membranskih, u presečnim ravnima ljuske javljaju se momenti savijanja i torzije, te
transverzalne sile (Sl. 351). Teorija ljuski kojom se analiziraju naponi i deformacije ljuski
uključujući i dejstvo momenata savijanja i transverzalnih sila naziva se fleksiona teorija fleksiona teorija fleksiona teorija fleksiona teorija ljuskiljuskiljuskiljuski.
Nije ni potrebno posebno naglašavati da je danas uobičajen proračun uticaja u ljuskastim
elementima primenom softvera za strukturalnu analizu baziranom na primeni metode
konačnih elemenata. Modeliranje ljuske proizvoljne geometrije kao poliedarske površine
formirane od površinskih konačnih elemenata, mogućnost apliciranja proizvoljnog
opterećenja, mogućnost uticaja na tačnost rezultata gustinom mreže, mogućnost
proračunskog obuhvatanja realnih konturnih uslova... su samo neke od nespornih prednosti
ovog načina proračuna. Ipak, sa stanovišta inženjerskog razumevanja problema, klasični
pristup proračunu je od nemerljivog značaja i dalje.
10.2.10.2.10.2.10.2. ROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKEROTACIONE LJUSKE
Rotacione (rotaciono-simetrične) ljuske su one čija je srednja površ rotaciona površ nastala
obrtanjem ravanske krive linije oko jedne prave, ose obrtanja (Sl. 352). Koordinatne linije
ovako formiranih ljuski su meridijalne krive i paralelni krugovi. U ravni meridijalnih krivih
meri se ugao α, a u ravni kružnica ugao φ. Poluprečnici glavnih krivina su rα i rφ67.
67 Primetiti da rφ nije poluprečnik kružnice (paralele).
10. Armiranobetonske ljuske
269
Sl. 352. Rotaciona ljuska
Pretpostavljajući membranski radmembranski radmembranski radmembranski rad, na elementarnom delu površine rotacione ljuske
opterećenom komponentama površinskog opterećenja u pravcima tangente na glavne
pravce, te normale na srednju površ (px, py, pz), dolazi se do tri uslova ravnoteže (Sl. 353):
dva po sumi sila u pravcu tangenti i jedan po sumi sila upravnih na srednju površ.
Pretpostavljajući, dodatno, i rotacionorotacionorotacionorotaciono----simetričnu distribuciju opterećenjasimetričnu distribuciju opterećenjasimetričnu distribuciju opterećenjasimetričnu distribuciju opterećenja, kada je px
jednako nuli, svi uticaji postaju samo funkcije jednog parametra – ugla α:
Sl. 353. Membransko stanje rotacionih ljuski
( )/zN r p N rφ φ α α= − ⋅ + , 0Nαφ = , ................................................................ (10.4)
( )sin cos / ( sin )y zN r r p p d C rα α α α α α = − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ∫ , ........................... (10.5)
gde je sa r obeležen poluprečnik kružnice (paralele), a integraciona konstanta C se odreñuje
iz konturnih uslova.
Pod dejstvom rotaciono-simetričnog opterećenja ljuska se deformiše i tačke ljuske dobijaju
odgovarajuća pomeranja u pravcu tangente na meridijalnu krivu, v, i u pravcu normale na
površ, w. Koristeći se vezama izmeñu napona i deformacija (ε), iz teorije tankih ljuski je
poznato:
( )1N N
E hα α φε ν= ⋅ − ⋅⋅
, ( )1N N
E hφ φ αε ν= ⋅ − ⋅⋅
. ....................................... (10.6)
Nakon uvoñenja veza izmeñu deformacija i pomeranja, mogu se karakteristična pomeranja –
izduženje poluprečnika paralele, ∆r, i promena ugla tangente na meridijalnu krivu, χ – naći
kao:
Brujić - Betonske konstrukcije – radna verzija - 9. avgust 2011
270
( )rr r N N
E hφ φ αε ν∆ = ⋅ = ⋅ − ⋅⋅
..................................................................... (10.7)
( ) ( )cot 1r rdN N N N N N
E h r r d E hφ φ
α φ φ α φ αα α
αχ ν ν να
= ⋅ − − − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
. ........ (10.8)
Analiza fleksionog naprezanjafleksionog naprezanjafleksionog naprezanjafleksionog naprezanja ljuske, makar i rotacione, je znatno složenije od
membranskog. Za slučaj rotaciono-simetričnog opterećenja polovina presečnih sila je
identički jednaka nuli:
0N Nαφ φα= = , 0M Mαφ φα= = , 0Qφ = . ....................................................... (10.9)
Sl. 354. Fleksiono stanje rotacionih ljuski, rotaciono-simetrično opterećenih
Za preostalih pet sila mogu se postaviti uslovi ravnoteže na elementu površine (Sl. 354).
Suma sila u pravcu tangente na meridijalnu krivu, u pravcu normale na površ, te suma
momenata, respektivno, daju:
( ) cos 0y
dr N r N r Q p r r
d α α φ α ααα
⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ = , .......................................(10.10)
( )sin 0z
dr N r N r Q p r r
dα α φ α ααα
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = , i ......................................(10.11)
( ) cos 0d
r M r M r r Qd α α φ α αα
α⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = . .................................................(10.12)
Veze izmeñu dilatacija i pomeranja su:
1 dv
wr dαα
εα
= ⋅ +
, cotv w
rφφ
αε ⋅ += , 1 dw
vr dα
χα
= ⋅ −
, ..........................(10.13)
a veze izmeñu presečnih sila i pomeranja su date sa:
( )1cot
dvN D w v w
r d rαα φ
ν αα
= ⋅ + + ⋅ +
, 21
E hD
ν⋅=
−, .............................(10.14)
( )1cot
dvN D w v w
r d rφα φ
ν αα
= ⋅ + + ⋅ +
, ( )3
212 1
E hK
ν⋅=
⋅ −, ......................(10.15)
1 1
cotd dw dw
M K v vr d r d r r dαα α α φ
ν αα α α
= − − + −
..............................(10.16)
10. Armiranobetonske ljuske
271
1 1
cotd dw dw
M K v vr d r d r r dφα α α φ
ν αα α α
= − − + −
...............................(10.17)
Jednačine (10.10) do (10.17) predstavljaju sistem od deset jednačina sa deset nepoznatih:
pet presečnih sila, dve komponente pomeranja (v i w) i tri komponente deformacijskih
veličina (εα, εφ i χ). Prkatična rešenja će biti razmatrana na primeru pojedinih tipova ljuski.
U realnim konstrukcijama ljuski, membransko stanje naprezanja, pod rotaciono-simetričnim
opterećenjem, ostvaruje se u većem delu ljuske, osim, najčešće, u okolini konture. Ljuska je
najčešće po svojoj konturi kruto vezana za neki drugi element. Zato, zbog sprečenosti
membranskog deformisanja, na konturi se remeti membransko stanje i u ljusci se javljaju
uticaji od savijanja (Sl. 355).
Sl. 355. Ivični poremećaji cilindrične ljuske kruto spojene sa drugim elementima
Sl. 356. Momenti savijanja poduž izvodnice za dugu i kratku cilindričnu ljusku
Po svom karakteru fleksioni uticaji (poremećajni uticaji) su takvi da se relativno brzo
prigušuju za uobičajene dimenzije ljuski. Njihova veličina se (na makro-nivou posmatrano)
smanjuje sa udaljenjem od ivice. Ako se može smatrati da se poremećajni uticaji na jednom
kraju ljuske „ne osećaju“ (ne utiču na deformaciju) na drugom kraju ljuske, takve ljuske
nazivaju se dugimdugimdugimdugim. U suprotnom, ljuske su kratkekratkekratkekratke. Na Sl. 356 su, za dugu i kratku
cilindričnu, membranski oslonjenu na dnu, ljusku, opterećenu radijalnim horizontalnim
linijskim opterećenjem na obe ivice, prikazani oblici dijagrama momenata savijanja Mα.
Presečne sile kod rotaciono-simetrično opterećenih rotacionih ljuski u sklopu složenije
konstrukcije mogu biti odreñene primenom metode sile. Ukupne vrednosti sila odreñuju se
superpozicijom membranskog rešenja i uticaja dobijenih fleksionom analizom ivičnih
poremećaja. Prvo se veze ljuske sa susednim elementima prekidaju, konstrukcija se
dekomponuje, na način da se pretpostavljaju membranski uslovi oslanjanja pojedinih
elemenata. Ovim je formiran takozvani osnovni sistem, za koji je samo analizom uslova
ravnoteže moguće odrediti membransko rešenje. Na mestu raskinute veze uvode se dve
statički nepoznate veličine: horizontalna sila XH (linijsko opterećenje, kN/m’) i moment
savijanja XM (linijsko opterećenje, kNm/m’) (Sl. 357).
Brujić - Betonske konstrukcije – radna verzija - 9. avgust 2011
272
Sl. 357. Dekompozicija konstrukcije: osnovni sistem i statički nepoznate
Veličine statički nepoznatih veličina odreñuju se iz uslova-pretpostavke da nema
meñusobnog razmicanja elemenata u horizontalnom pravcu u vezi, niti meñusobne promene
nagiba tangente. Skraćeno, krajevi ljuski spojenih u čvoru imaju jednako horizontalno
pomeranje ∆r i obrtanje χ. Uslovne jednačine virtualnog rada, kojima se sumiraju ovi uslovi
imaju poznat oblik, a broj ovih jednačina, N, odgovara broju statički nepoznatih veličina:
1 11 2 12 10
1 21 2 22 20
1 1 2 2 0
... 0
... 0
...
... 0N N N
X X
X X
X X
δ δ δδ δ δ
δ δ δ
⋅ + ⋅ + + =⋅ + ⋅ + + =
⋅ + ⋅ + + =
. .................................................................(10.18)
Pri tome, svaki koeficijent δij čine dva sabirka, odnosno dobija se kao zbir odgovarajućih
pomeranja na oba (prvom i drugom) elementa u vezi:
ij ij ijδ δ δ′ ′′= + . ..............................................................................................(10.19)
Koeficijenti δi0 se odreñuju kao odgovarajuća pomeranja u osnovnom sistemu u pravcu i
smeru usvojenih statički nepoznatih od spoljašnjih opterećenja. I oni predstavljaju zbir
odgovarajućih koeficijenata sa dva u čvoru vezana elementa.
Kod konstrukcija formiranih od dugih ljuski, problem odreñivanja statički nepoznatih se
znatno pojednostavljuje. Uvoñenjem pretpostavke da se ivični poremećaji na jednom kraju
ljuske „ne osećaju“ na drugom, čini odgovarajuće δij koeficijente jednakima nuli. Za
posledicu, umesto jednog sistema jednačina, problem se dekomponuje na više manjih
sistema jednačina (na primer, četiri puta statički neodreñen sistem na Sl. 357, uz cilindričnu
ljusku usvojenu dugom, postaje dva puta po dva puta statički neodreñen – nezavisno je
moguće odrediti statički nepoznate u gornjoj vezi od onih u donjoj).
U slučaju dejstva koncentrisanog (zapravo, linijskog) opterećenja na ljusku, problem se
rešava formiranjem dve nezavisne ljuske, pokazano na Sl. 358. Pri tome je nebitno da li se
samo opterećenje „pripisuje“ gornjoj ili donjoj ljuski, ili se „deli“. Slično se postupa i u
slučajevima ljuski kod kojih postoji skok u debljini (Sl. 359).
Sl. 358. Dekompozicija na mestu koncentrisanog opterećenja
10. Armiranobetonske ljuske
273
Sl. 359. Dekompozicija na mestu skokovite promene debljine ljuske
Treba imati na umu da statički nepoznate veličine izazivaju u presecima ljuske, ne samo
momente savijanja (Mα i Mφ) i transverzalne sile (Qα), nego i aksijalne sile Nα i Nφ, zbog čega
se rezultujuće aksijalne sile odreñuju superpozicijom njihovih membranskih i fleksionih
vrednosti.
Ljuske se, u opštem slučaju, dimenzionišu u dva ortogonalna glavna pravca na složeno
savijanje: prstenasta armatura proizilazi kao rezultat dimenzionisanja pravougaonog
poprečnog preseka jedinične širine (1m) na granične vrednosti uticaja Mφ i Nφ, dok se
meridijalna armatura odreñuje iz odgovarajućih graničnih uticaja Mα i Nα. Pri tome, treba
voditi računa o različitim statičkim visinama u dva upravna pravca, te o minimalnim
količinama armature, koje kod ljuski odgovaraju onima za pune ploče.
10.2.1.10.2.1.10.2.1.10.2.1. SFERNE LJUSKE (KUPOLSFERNE LJUSKE (KUPOLSFERNE LJUSKE (KUPOLSFERNE LJUSKE (KUPOLE)E)E)E)
Sferne kupole su najčešće konveksne ljuskaste figure pozitivne Gauss-ove krivine. Primenu
kao armiranobetonske pronalaze još na početku XX veka, uglavnom kao krovne konstrukcije
nad kružnim osnovama, zahvaljujući sposobnosti da premošćavaju velike raspone sa malim
debljinama. U pogledu utroška materijala ovo ih svrstava u red najracionalnijih konstrukcija.
Sa druge strane, racionalnost njihove primene je limitirana pogodnošću i cenom izvoñenja
(skupa oplata i skela).
Najčešće, rotacione sferne kupole se primenjuju za pokrivanje dvorana i hala kružne osnove
i većih raspona, te kao elementi rezervoarskih konstrukcija (Sl. 360). U konstrukcijama se
javljaju u kombinacijama sa drugim elementima: prstenastim nosačima, pločama, drugim
ljuskama...
Sl. 360. Primena sfernih kupola kod hala i rezervoara
Uobičajene debljine kupola su vrlo male – za krovne konstrukcije su izmeñu 5 i 14cm, a za
raspone osnove i preko 100m. Zbog male debljine, a uglavnom pritisnuti, ovi elementi mogu
biti podložni gubitku stabilnosti, zbog čega je preporuka usvajati debljinu ljuske na način da
se membranskim radom iazazvani normalni naponi ograniče na manju vrednost od
dopuštenih (preporuka je 50% dopuštenih)68. Još jedna preporuka u pravcu obezbeñenja od
68 Dopušteni naponi su „zaostatak“ ranije primenjivane „logike“ proračuna armiranobetonskih
konstrukcija, ali je data preporuka i dalje praktično validna.
Brujić - Betonske konstrukcije – radna verzija - 9. avgust 2011
274
suviše malih debljina ljuske je ona kojom bi debljinu valjalo ograničiti sa donje strane u funkciji poluprečnika krivine na sledeći način: / 0.0015d r ≥ (približno 1/600!).
Sl. 361. Sferne ljuske sa otvorom za osvetljenje (lanternom)
S obzirom da su kupole opterećene uglavnom mirnim kontinualnim opterećenjem (sopstvena
težina, izolacija, sneg, tečnost...), to one rade pretežno membranski. Samo u području
oslonaca, zbog veze s drugim elementima (najčešće preko prstenastog nosača) javljaju se
fleksioni poremećaji. Moguće neravnomerno opterećenje vetrom redovno nije od velikog
značaja budući je malo u odnosu na ostala. Otud, kupole se mogu približno proračunavati
kao rotaciono-simetrično opterećene.
Često se krovne kupole izvode sa otvorom za osvetljenje u temenu (Sl. 361). U tom slučaju
gornja ivica ljuske dobija prstenasto ojačanje na koje se pričvršćuju elementi svetlosne
lanterne. Sada se i gornja ivica ljuske karakteriše fleksionim uticajima.
Kako su kod sferne ljuske poluprečnici glavnih krivina jednaki:
r r aα φ= = , sinr a α= ⋅ , ............................................................................(10.20)
to se presečne sile po membranskoj teoriji nalaze lako (videti (10.4) i (10.5)):
( ) ( )2 sin sin cos / siny zN a p p d aα α α α α α = − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ∫ , ........................(10.21)
( )zN a p N aφ α= − ⋅ + . ...............................................................................(10.22)
Karakteristična pomeranja su:
( )( )sin1z
ar a p N
E h αα ν− ⋅∆ = ⋅ ⋅ + + ⋅
⋅, i ........................................................(10.23)
( )1zy
dpap
E h dχ ν
α = ⋅ − + ⋅ ⋅
......................................................................(10.24)
U nastavku je, u formi specifičnog slučaja, analizirano membransko dejstvo sopstvene težine
sferne kupole. Kako je:
sinyp g α= ⋅ i coszp g α= ⋅ ,
to se aksijalne sile dobijaju:
1 cos
a gNα α
⋅= −+
i 1
cos1 cos
N a gφ αα
= ⋅ ⋅ − + .
Raspored i veličina aksijalnih sila prikazani su na Sl. 362. Primetiti da za ugao kupole veći od
51.49º prstenaste sile Nφ prelaze iz pritiska u zatezanje. Takoñe, interesantno je primetiti i
da normalni naponi ne zavise od debljine ljuske.
10. Armiranobetonske ljuske
275
Sl. 362. Promena aksijalnih sila za dejstvo sopstvene težine
Za ravnomerno podeljeno opterećenje po osnovi, kakvo je opterećenje snegom, na primer,
važi:
sin cosyp p α α= ⋅ ⋅ i 2coszp p α= ⋅ ,
te aksijalne sile u obliku (Sl. 363):
0.5N a pα = − ⋅ ⋅ , ( )0.5 cos 2N a pφ α= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Sl. 363. Promena aksijalnih sila za dejstvo ravnomerno podeljenog opterećenja po osnovi
Za karakteristične slučajeve opterećenja (Sl. 364) izrazi za presečne sile se obično mogu
pronaći u obliku tabulisanih alata. NJima se uobičajeno daju i izrazi za karakteristična
pomeranja.
Sl. 364. Neki karakteristični slučajevi opterećenja kupole
Za odreñivanje ivičnih poremećaja kod sferne kupole, jednačine (10.10) do (10.17) se, uz
odreñena zanemarenja malih veličina i konstatovanjem da je py = pz = 0, svode na dve
nezavisne diferencijalne jednačine oblika (k – koef. prigušenja):
4
44
4 0kχ χ
α∂ + ⋅ ⋅ =∂
, 44 0
Qk Qα
αα∂ + ⋅ ⋅ =∂
, ( )23 1a
kh
ν= ⋅ ⋅ − . ..................(10.25)
Sl. 365. Oznake uglova na ivicama kupole
Brujić - Betonske konstrukcije – radna verzija - 9. avgust 2011
276
Uz oznake kao na Sl. 365, zavisno od posmatrane ivice (n = 1, 2), rešenje diferencijalne
jednačine se nalazi u obliku:
( )cosnk wnQ C e k wα ψ− ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ + , ...................................................................(10.26)
gde su C i ψ integracione konstante odreñene uslovima na konturi. Izrazi za sile u
presecima, te integracione konstante za slučajeve ivičnog opterećenja horizonztalnim silama
i momentima, dati su na Sl. 366.
Sl. 366. Izrazi za presečne sile i karakteristična pomeranja
Dati izrazi se odnose na duge ljuske – one kod kojih je zadovoljeno:
( )2 1 6k α α⋅ − ≥ i 30nα ≥ ° . ........................................................................(10.27)
U praksi je, i za fleksione poremećaje, uobičajena primena tabulisanih izraza za sile i
pomeranja. Pri tome, dovoljno je analizirati samo slučajeve prikazane na Sl. 366.
U najvećem delu kupole vlada membransko stanje, pa se i dimenzionisanje u ovom delu
svodi na analizu centrično pritisnutog ili centrično zategnutog pravougaonog preseka
jedinične širine. U ivičnim zonama, u meridijalnom pravcu, preseci se dimenzionišu na
složeno savijanje, prema Mα i Nα. U zoni prostiranja poremećajnih uticaja obično se ljuska
kontinualno zadebljava. Momenat u tangencijalnom pravcu je najčešće prihvaćen već
podeonom armaturom.
Sl. 367. Armiranje sferne ljuske (osnova)
10. Armiranobetonske ljuske
277
Sl. 368. Jednostruko i dvostruko armiranje ljuske
Sl. 369. Armiranje ivičnih delova kupole
Teme ljuske se, kao kod kružnih ploča, armira ortogonalnom mrežom. Ostatak ljuske se
armira meridijalnom i prstenastom armaturom . Kako se razmak meridijalne armature
povećava udaljavanjem od temena (smanjuje se površina armature po jedinici dužine), to je
neophodno (čak zbog održavanja neophodnog minimuma armature ili dopuštenog razmaka
izmeñu šipki) polovljenje razmaka sve kraćim šipkama (Sl. 367). Ljuska se u većem delu
armira mrežom u sredini debljine (za ljuske debljine manje od 7cm) ili simetričnim mrežama
na oba lica (za debljine preko 7cm) (Sl. 368). U zoni ojačanja, obostrano armiranje se u
meridijalnom pravcu najčešće postiže šipkama oblika ukosnica, a tangencijalna armatura u
obe zone ima karakter podeone (Sl. 369).
Tanke ljuske se, po pravilu, zadebljavaju na spoju sa ivičnim elementima (prstenom) u cilju
obezbeñenja mogućnosti prijema poremećejnih momenata savijanja (Sl. 369).
10.2.2.10.2.2.10.2.2.10.2.2. KONUSNE LJUSKEKONUSNE LJUSKEKONUSNE LJUSKEKONUSNE LJUSKE
Konusne ljuske se najčešće koriste (Sl. 370) za levkove silosa i bunkera, kod rezervoarskih
konstrukcija i vodotornjeva, kao stubovi tornjeva, kod dimnjaka... Mogu se izvoditi kao
klasične armiranobetonske ili kao prednapregnute ljuske, najčešće u horizontalnom pravcu.
Kod konusnih ljuski, glavni poluprečnik krivine rα ima beskonačnu dužinu, izvodnica u
meridijalnom pravcu je prava linija.
Sl. 370. Primeri primene konusnih ljuski
Brujić - Betonske konstrukcije – radna verzija - 9. avgust 2011
278
Sl. 371. Membranski uslovi oslanjanja konusne ljuske i geometrijske oznake
Uvoñenjem veza (Sl. 371):
cotr yφ α= ⋅ , dy r dα α= ⋅ , cosr y α= ⋅ , yN Nα → , ...................................(10.28)
mogu se odrediti vrednosti presečnih sila i pomeranja po membranskoj teoriji:
( )cos sin cos
sin cos
y z
y
p p y dyN
y
α α αα α
− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅=
⋅ ⋅∫
, .............................................(10.29)
cotzN y pφ α= − ⋅ ⋅ , .....................................................................................(10.30)
( )coscotz y
yr y p N
E h
α α ν− ⋅∆ = ⋅ ⋅ + ⋅⋅
, .........................................................(10.31)
( )2cotcoty z y
dN y p y p
E h dy
αχ α ν = + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ . ..........................................(10.32)
Za slučaj dejstva sopstvene težine (Sl. 372), komponente opterećenja su:
sinyp g α= ⋅ , coszp g α= ⋅ ,
a vrednosti presečnih sila su:
( )/ 2 sinyN g y α= − ⋅ ⋅ , 2sin cotN g yφ α α= − ⋅ ⋅ ⋅ .
Sl. 372. Promena aksijalnih sila za dejstvo sopstvene težine
Za dejstvo jednako podeljenog opterećenja po osnovi (Sl. 373) biće:
sin cosyp p α α= ⋅ ⋅ , 2coszp p α= ⋅ , 1
cot2yN p y α= − ⋅ ⋅ ⋅ ,
3cos
sinN p yφ
αα
= − ⋅ ⋅
Sl. 373. Promena aksijalnih sila za dejstvo jednako podeljenog opterećenja po osnovi
10. Armiranobetonske ljuske
279
Sl. 374. Neki karakteristični slučajevi opterećenja konusne ljuske
Za karakteristične slučajeve opterećenja (poput onih datih na Sl. 374) izrazi za presečne sile
se obično mogu pronaći u obliku tabulisanih alata. NJima se uobičajeno daju i izrazi za
karakteristična pomeranja.
Neporemećeno membransko stanje je moguće samo ako je ivica ljuske oslonjena na način da
reakcija oslonca dejstvuje u srednjoj ravni ljuske. Normalno, ivica ljuske završava obodnim
prstenom, koji uzrokuje ivične poremećaje. Spoj ljuske i prstena može biti zgloban ili krut
(Sl. 375).
Sl. 375. Sile na spoju konusme ljuske i prstena
Sl. 376. Oznake na krajevima ljuske
Za odreñivanje ivičnih poremećaja kod sferne kupole, jednačine (10.10) do (10.17) se, uz
odreñena uprošćenja, svode na diferencijalnu jednačinu četvrtog reda po nepoznatoj
promeni ugla obrtanja (k – koef. prigušenja):
4
44
4 0ky
χ χ∂ + ⋅ ⋅ =∂
, ( )2tan3 1k
y h
α ν= ⋅ ⋅ −⋅
..............................................(10.33)
Uz oznake kao na Sl. 376, rešenje jednačine se može napisati u obliku:
( )cosn nk dn nC e k dχ ψ− ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ + , ...................................................................(10.34)
gde se konstante C i ψ odreñuju iz konturnih uslova. Vrednosti presečnih sila i
karakterističnih pomeranja su date na Sl. 377. Izrazi važe za duge ljuske, kod kojih je
zadovoljeno:
( )2 1 6k y y⋅ − ≥ ............................................................................................(10.35)
Brujić - Betonske konstrukcije – radna verzija - 9. avgust 2011
280
Sl. 377. Izrazi za presečne sile i karakteristična pomeranja
Konusne ljuske se armiraju u smeru izvodnice i po koncentričnim krugovima. Broj šipki koje
se pružaju po izvodnicama, po jedinici dužine se smanjuje sa približavanjem ivici, što valja
nadomestiti ubacivanjem meñu-šipki. Ljuske deblje od 8cm se armiraju u dve zone celom
površinom. Uz prsten, ljuska se dimenzioniše na ekscentrični pritisak u pravcu izvodnice.
10.2.3.10.2.3.10.2.3.10.2.3. CILINDRIČNE LJUSKECILINDRIČNE LJUSKECILINDRIČNE LJUSKECILINDRIČNE LJUSKE
Armiranobetonski cilindri se koriste kod konstrukcija rezervoara, silosa i bunkera kružne
osnove (Sl. 378). Kod rezervoara, cilindar se sa donje strane zatvara kružnom pločom, koja
je najčešće kruto spojena s cilindrom, ali je moguće i rešenje sa plivajućom varijantom. Sa
gornje strane, cilindar se zatvara ili kružnom pločom ili ljuskom, preko kružnog prstenastog
nosača. Kod vodotornjeva, cilindri se projektuju u sklopu sa ostalim ljuskastim elementima u
cilju formiranja pogodne geometrije. Kod silosa, ćelije kružne osnove su dugački cilindri u
dnu najčešće vezani s konusnom ljuskom levka.
U svim ovim slučajevima, opterećenje na površinu cilindra je po pravilu rotaciono simetrično
(pritisak tečnosti, zrnastog materijala ili tla).
Sl. 378. Primeni primene cilindričnih rotacionih ljuski
Kod cilindrične ljuske je glavni poluprečnik rα beskonačne dužine, a ugao α je 90º, što
meridijalnu krivu transformiše u vertikalnu pravu izvodnicu.
Sl. 379. Membranski uslovi oslanjanja cilindrične ljuske i geometrijske oznake
Uvoñenjem veza:
r aφ = , dy r dα α= ⋅ , yN Nα → , ..................................................................(10.36)
10. Armiranobetonske ljuske
281
izrazi za membranske sile i pomeranja postaju:
y yN p dy= ⋅∫ , ...........................................................................................(10.37)
zN a pφ = − ⋅ (kotlovska formula), ...............................................................(10.38)
( )z y
ar a p N
E hν−∆ = ⋅ ⋅ + ⋅
⋅, .........................................................................(10.39)
zy
dpaa p
E h dyχ ν = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
. ........................................................................(10.40)
Za slučaj delovanja sopstvene težine (Sl. 380a) biće:
yN g y= − ⋅ , 0Nφ = , a g y
rE h
ν ⋅ ⋅ ⋅∆ =⋅
, a g
E h
νχ − ⋅ ⋅=⋅
.
Sl. 380. Dejstvo sopstvene težine i tečnosti
Za dejstvo tečnosti (Sl. 380b) biće:
0yN = , p a y
NLφ
⋅ ⋅= , 2a p y
rE h L
⋅ ⋅∆ =⋅ ⋅
, 2a p
E h Lχ − ⋅=
⋅ ⋅.
Za druge slučajeve opterećenja (poput onih na Sl. 381) izrazi za presečne sile i
karakteristična pomeranja se obično mogu pronaći u obliku tabulisanih alata.
Sl. 381. Karakteristični slučajevi opterećenja
Jednačine fleksione teorije se, uz (10.36) i:
yQ Qα → , yM Mα → , .h const= , .............................................................(10.41)
svode na jednu diferencijalnu jednačinu četvrtog stepena:
4
44
4 0zpd wk w
dy K+ ⋅ ⋅ + = ,
( )23 1k
a h
ν⋅ −=
⋅. ..............................................(10.42)
U opštem slučaju, rešenje je oblika:
( ) ( )0 1 2 3 4cos sin cos sinky kyw w e C ky C ky e C ky C ky−= + + + + , ...................(10.43)
gde je w0 partikularno rešenje, a integracione konstante se odreñuju iz konturnih uslova. Za
duge ljuske, kod kojih je:
6k L⋅ ≥ , .....................................................................................................(10.44)
Brujić - Betonske konstrukcije – radna verzija - 9. avgust 2011
282
ivični poremećaji se odreñuju iz rešenja homogenog dela diferencijalne jednačine, koja se
odnosi na ljusku bez površinskog opterećenja, a za opterećenje samo po konturi:
4
44
4 0d w
k wdy
+ ⋅ ⋅ = . .....................................................................................(10.45)
Rešenje jednačine:
( ) ( )1 2 3 4cos sin cos sinky kyw e C ky C ky e C ky C ky−= + + + ............................(10.46)
predstavlja zbir dve prigušene oscilatorne funkcije. Kad je ljuska duga, uticaji s jednog kraja
se ne prenose na drugi, pa se rešenje svodi na oblik s dve integracione konstante:
( )1 2cos sinkyw e C ky C ky−= + . ...................................................................(10.47)
Sl. 382. Oznake na krajevima ljuske
Uz oznake sa Sl. 382, rešenje se može napisati u obliku:
( )cosnk dnw C e k d ψ− ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ + , ......................................................................(10.48)
gde se konstante C i ψ odreñuju iz konturnih uslova. Vrednosti sila u preseku i
karakterističnih pomeranja su date na Sl. 383.
Sl. 383. Izrazi za presečne sile i karakteristična pomeranja
Za delovanje samo horizontalne sile XH na konturi, integracione konstante su:
22
H
a kC X
E h
⋅ ⋅= ⋅⋅
, i 0ψ = , ..........................................................................(10.49)
dok je za delovanje samo momenta savijanja XM:
2 24
2M
a kC X
E h
⋅ ⋅= ⋅⋅ ⋅
, 4
πψ = . ........................................................................(10.50)
Puno uklještenje cilindričnog zida u temelj (Sl. 384a) rezultira većim poremećajnim
momentima My i manjim aksijalnim silama Nφ u odnosu na slučaj elastičnog uklještenja dna
cilindra (Sl. 384b).
10. Armiranobetonske ljuske
283
Sl. 384. Puno i elastično uklještenje dna cilindričnog zida
Sl. 385. Armiraje donjeg dela cilindra i veza sa oslonačkim elementima
Rotaciono simetrične cilindrične ljuske se u tangencijalnom pravcu dimenzionišu i armiraju
na centrični pritisak ili zatezanje. U pravcu izvodnice, preseci su opterećeni na složeno
savijanje (momenti My i aksijalne sile Ny).
Zatežuće prstenaste sile Nφ se prihvataju prstenastom armaturom, koja se, po pravilu,
postavlja sa unutrašnje strane, budući da ne prihvata momente savijanja. U vertikalnom
pravcu, krak unutrašnjih sila se maksimizira postavljanjem vertikalne armature kao
spoljašnja. Na Sl. 385 prikazan je detalj armiranja cilindra za slučaj punog i elastičnog
uklještenja.
10.3.10.3.10.3.10.3. LJUSKASTI I KROVOVILJUSKASTI I KROVOVILJUSKASTI I KROVOVILJUSKASTI I KROVOVI
Tanke ljuske se danas uspešno primenjuju kao krovne konstrukcije velikih raspona, kod
hangara, hala, stadiona, dvorana... Prostorni rad omogućava značajno smanjenje težine.
Mogu biti prizmatične (cilindrične), konusne, ljuske dvojne zakrivljenosti ili naborane
konstrukcije.
10.3.1.10.3.1.10.3.1.10.3.1. PRIZMATIČNE (CILINDRPRIZMATIČNE (CILINDRPRIZMATIČNE (CILINDRPRIZMATIČNE (CILINDRIČNE) KROVNE LJUSKEIČNE) KROVNE LJUSKEIČNE) KROVNE LJUSKEIČNE) KROVNE LJUSKE
Prizmatičnim se nazivaju one ljuske koje nastaju translacijom prave izvodnice po dvema
identičnim voñicama, najčešće u obliku elipse, parabole ili kružnice. Gauss-ova krivina ovih
ljuski je jednaka nuli, a, da bi zadržale oblik pod opterećenjem, moraju završavati krutim
dijafragmama (Sl. 386a). Kako su, iz uslova na konturi, meridijalne sile Nφ jednake nuli na
podužnim ivicama, to se opterećenje ljuske može prenositi samo savijanjem.
Brujić - Betonske konstrukcije – radna verzija - 9. avgust 2011
284
Sl. 386. Elementi prizmatične krovne konstrukcije i membranske presečne sile
Sl. 387. Poprečni i podužni presek kroz prizmatičnu ljuskastu krovnu konstrukciju
U podužnom pravcu, grubo, ljuska se ponaša kao gredni element raspona l1, a savojna
krutost ovakve „grede“ se uvećava projektovanjem ivičnih elemenata (Sl. 386, Sl. 387).
Ovakve ljuske se najčešće projektuju kao višetalasne, reñanjem jedne uz drugu na način da
dve susedne imaju zajednički ivični element. Kod srednjih ivičnih elemenata ovo rezultira
poništavanjem horizontalnih projekcija membranskih sila Nφ. Kod srednjih ljuski je, ovim,
savijanje u poprečnom pravcu značajno redukovano, a u podužnom pravcu raspodela
normalnih sila Nx približno odgovara onoj kod grednih elemenata. Krajnje ljuske, pak,
zahtevaju složeniji (momentni) proračunski tretman u oba pravca. Alternativa je dodatno
ukrućenje krajnjih ljuski poprečnim dijafragmama u cilju smanjenja poprečnih deformacija.
Na Sl. 388, za jednorasponsku ljusku, prikazan je uticaj poprečnog ukrućenja na deformaciju
ljuske.
Sl. 388. Deformacija ljuske, opterećene sopstvenom težinom, bez i sa poprečnim ukrućenjem
I u podužnom pravcu ljuske mogu biti projektovane kao višerasponske.
Specifičan način primene cilindričnih ljuski, kod šed krovova, prikazan je na Sl. 389.
Sl. 389. Primena cilindričnih ljuski kod šed krovova
Iako je membransko stanje naprezanja karakteristika većeg dela površine ljuske (bar kad je o
opterećenjima od sopstvene težine ili snega reč), na spoju ljuske sa dijafragmama i ivičnim
10. Armiranobetonske ljuske
285
elementima ono je neminovno narušeno i, na ovim mestima, javljaju se poremećajni uticaji.
Njihovo proračunsko odreñivanje je moguće samo korišćenjem klasične momentne teorije
ljusaka ili, danas je to uobičajena praksa, primenom softvera baziranih na metodi konačnih
elemenata.
Ljuske kod kojih je odnos raspona l2 prema l1 veći od 1 (redovno izmeñu 3 i 4) nazivaju se
dugimdugimdugimdugim. Njihov rad u podužnom pravcu je blizak grednom elementu raspona l1 i poprečnog
preseka koji formiraju ljuska i ivični elementi. Raspon dugih ljuski u podužnom pravcu je
uobičajeno izmeñu 20 i 30m. Strela svoda, f, zajedno sa visinom ivičnog elementa, usvaja se
većom od desetine podužnog i šestine poprečnog raspona. Ivični elementi (Sl. 390; date su i
uobičajene dimenzije) mogu biti projektovani različitih oblika, zavisno od intenziteta
pojedinih uticaja, te potrebe prijema horizontalnih i/ili vertikalnih opterećenja s ljuske.
Sl. 390. Mogući oblici poprečnog preseka ivičnih elemenata
Oslonačke dijafragme mogu biti projektovane kao puni zidni nosači, rešetkasti, lučni (sa
zategom) ili okvirni. Na Sl. 391 prikazani su neki oblici oslonačkih dijafragmi i poprečni
preseci ivičnih elemenata višetalasnih ljuski.
Sl. 391. Dijafragme i ivični elementi višetalasnih ljuski
Približni proračun dugih ljuski, za srednja polja višetalasnih dispozicija, može odgovarati
proračunu grednih elemenata čiji poprečni presek formiraju preseci ljuske i ivičnih
elemenata. Položaj neutralne linije odreñuje se za ovako pretpostavljeni homogen presek.
Dodatna aproksimacija može biti pretpostavka linearne raspodele normalnih napona po
visini preseka, kako je na Sl. 392 prikazano za presek ljuske bez ivičnih elemenata.
Sl. 392. Aproksimacija raspodele normalnih i smičućih napona po visini preseka ljuske
Kod krajnjih talasa, ili jednotalasnih ljuski, krajevi preseka se mogu pomerati i horizontalno i
vertikalno, pa prethodna aproksimacija ne može biti efikasno primenjena.
Brujić - Betonske konstrukcije – radna verzija - 9. avgust 2011
286
Presek dugih ljuski se dimenzioniše prema dijagramu normalnih napona σx, glavnih kosih
napona po vrednosti jednakih smičućim τxφ i napona od poremećajnih momenata savijanja.
Zatežuće normalne napone u celini prihvata armatura, čija se potrebna površina odreñuje iz
rezultantne sile zatezanja. Za kružni cilindar Sl. 392, biće:
( )0 0
2sinxg
u gg
r hZ r r y
y
σα α
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ − . .................................................(10.51)
Sl. 393. Opterećenje dijafragme
Smičući naponi (na visini neutralne linije brojno jednaki glavnim kosim naponima) se
odreñuju iz globalne smičuće sile, Tu, na poznat način, usvajajući za širinu preseka
dvostruku debljinu ljuske (S – statički moment površine preseka iznad težišta):
2
ux
T S
I hτ ⋅
=⋅ ⋅
. ...............................................................................................(10.52)
Na dijafragme se opterećenje s ljuske prenosi preko sila Sx, koje tangiraju srednju površ
ljuske (Sl. 393), a odreñuju se iz smičućih napona u ljusci na osloncu. Uz ovo, dijafragme su,
naravno, opterećene i sopstvenom težinom.
Podužna zategnuta armatura (10.51) se, po pravilu, koncentriše u dno ivičnog elementa (na
maksimalnom kraku) i, načelno, njena količina opada od sredine raspona ka osloncima (Sl.
394a). Ljuska se armira mrežom, u podužnom i poprečnom pravcu, po celoj površini, a
ljuske debljine veće od 9cm se armiraju dvostruko. Uz ivične elemente i uz dijafragme,
potreba za armaturom se odreñuje i na osnovu intenziteta poremećajnih uticaja, kada je
ljuska opterećena na savijanje sa aksijalnom silom. Prelaz od ljuske prema ivičnom elementu
često (posebno u slučaju vrlo tankih ljuski) treba projektovati kao zadebljan (vuta). Na spoju
sa ivičnim elementom debljina ljuske je 2 do 2.5 puta veća od one u središnjem delu, a
dužina postepenog povećanja debljine je minimalno 10 debljina ljuske (Sl. 394b).
Sl. 394. Armiranje preseka ivičnog elementa
KratkeKratkeKratkeKratke ljuske su one sa podužnim rasponom manjim od poprečnog. Podužni rasponi su
uobičajeno u granicama izmeñu 5 i 12m, poprečni idu i do 30m, strela luka se usvaja većom
od sedmine poprečnog raspona, a debljine ljuski se usvajaju u granicama izmeñu 6 i 12cm.
Ovakve ljuske prostorno prenose opterećenje i aproksimacije komentarisane kod dugih ljuski
ovde ne mogu biti primenjene. Ljuska preko smičućih napona koji tangiraju srednju površ
10. Armiranobetonske ljuske
287
prenosi opterećenje na dijafragme (samo 4-5% opterećenja ljuske se na dijafragme prenese
preko poprečnih poremećajnih sila).
Sl. 395. Kratka prizmatična ljuska
Približno, zategnuta armatura u ivičnim elementima može se odrediti usvajanjem kraka
unutrašnjih sila jednakim oko 55% visine celog preseka:
( ) ( )2 2
2 1 2 11
8 2 0.55 9u u
av v v v
Z M q l l q l lA
z f a f aσ σ σ σ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +. ...................(10.53)
Ljuska se armira lakom mrežom (na primer prečnikom Ø6 na razmaku 12 ili 15cm), a
maksimalni razmak žica ne sme biti veći od dvostruke debljine niti od 20cm. Iznad
dijafragmi i na spoju ljuske sa ivičnim elementima postavlja se dopunska armatura za prijem
momenata savijanja.
DijafragmaDijafragmaDijafragmaDijafragma kratkih ljuski opterećena je smičućim silama koje deluju tangencijalno na srednju
površ ljuske. U tom, poprečnom, pravcu, ljuska je pritiskujuće napregnuta, a za maksimalnu
silu pritiska dovoljno je tačno odrediti:
N q rφ = − ⋅ , ................................................................................................(10.54)
gde je q ukupno opterećenje, a r poluprečnik zakrivljenosti ljuske. Ukupna sila pritiska za
krajnju i za srednju dijafragmu (podužni pravac) iznosi:
1
1
2N q r l= ⋅ ⋅ ⋅ , 1N q r l= ⋅ ⋅ . ........................................................................(10.55)
Kako ivični elementi ne mogu primiti pritiskujuće sile poprečnog pravca, Nφ, to se ove
postepeno smanjuju od maksimalne vrednosti u temenu do nule na ivicama. Zakon ove
promene se može aproksimirati kvadratnom parabolom (Sl. 396):
( ) 21 2 22 /xN q r l l x x l= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ . za krajnju, i ...................................................(10.56)
( ) 21 2 24 /xN q r l l x x l= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ , za srednju dijafragmu. .................................(10.57)
Sl. 396. Kvadratna parabola
Brujić - Betonske konstrukcije – radna verzija - 9. avgust 2011
288
Smanjenje sile pritiska u ljusci rezultira rastom tangencijalnih sila:
( )122
2
42x
x
dN q r lT l x
dx l
⋅ ⋅ ⋅= = ⋅ − ⋅ . ................................................................(10.58)
Za x = 0, za krajnju, odnosno srednju, dijafragmu, biće:
1max
2
2 q r lT
l
⋅ ⋅ ⋅= , i 1max
2
4 q r lT
l
⋅ ⋅ ⋅= . ...........................................................(10.59)
Uz pretpostavku da se aksijalna sila smanjuje po zakonu sinusa, rezultati za opterećenje
dijafragme su slični, za krajnju, odnosno za srednju, dijafragmu:
1max
22
q r lT
l
π ⋅ ⋅ ⋅=⋅
, i 1max
2
q r lT
l
π ⋅ ⋅ ⋅= . ..........................................................(10.60)
10.3.2.10.3.2.10.3.2.10.3.2. KROVNE LJUSKE DVOJNEKROVNE LJUSKE DVOJNEKROVNE LJUSKE DVOJNEKROVNE LJUSKE DVOJNE ZAKRIVLJENOSTIZAKRIVLJENOSTIZAKRIVLJENOSTIZAKRIVLJENOSTI
Sferne krovne ljuske se mogu izvoditi i ojačane rebrima u vidu rebrastih kupolarebrastih kupolarebrastih kupolarebrastih kupola. Rebra se
pružaju u meridijalnim i prstenastim ravnima i monolitno su vezana s tankom ljuskom. Pri
dnu kupole, rebra se spajaju pomoću ležišnog prstena, koji prima razupiruće sile
meridijalnih rebara. Često se izvode od montažnih elemenata (Sl. 398).
Sl. 397. Rebraste kupole
Sl. 398. Montažni element rebraste kupole i detalj spoja rebrom
Proračun rebrastih kupola je relativno komplikovan već i za rotaciono simetrično
opterećenje, zbog visokog stepena statičke neodreñenosti.
Plitke ljuskePlitke ljuskePlitke ljuskePlitke ljuske nastaju translacijom izvodnice u obliku parabole, elipse ili kružnice po dvema
voñicama koje su takoñe u obliku parabole, elipse ili kružnice. Mogu se zamisliti kao isečak
10. Armiranobetonske ljuske
289
kupole nad ne-kružnom (pravougaonom, trougaonom...) osnovom. Poput ostalih ljuski s
pozitivnom Gauss-ovom krivinom, odlikuju se velikom krutošću, a opterećenje prenose u
dva smera. Otud, njihova primena je karakteristična za velike raspone i površine i u tom
smislu su u prednosti nad prizmatičnim (izmeñu ostalog, i manje debljine ljuske). Plitkima se
nazivaju one ljuske kod kojih odnos strele prema kraćem rasponu nije veći od 1/5.
Mogu biti jednotalasne i višetalasne, kao i kratke i duge. Kratke ljuske u podužnom pravcu
najčešće naležu na dijafragme, a u poprečnom na ivične elemente (Sl. 399a). Krajevi ljuske,
uz spoj sa oslonačkim elementima, se postepeno zadebljavaju do debljine 2 do 2.5 puta
veće od one u središnjem delu, na širini od približno petnaestine do desetine odgovarajućeg
raspona.
Sl. 399. Plitke ljuske
I eksperimentalna ispitivanja potvrñuju membranski rad središnjeg dela ljuske – središnji
deo je izložen dvoosnom aksijalnom pritisku, što implicira konstruktivno armiranje. Podužne
zatežuće sile, kao i momenti savijanja u poprečnom pravcu, se javljaju u zoni ivičnih
elemenata. Smičuće sile su koncentrisane u uglovima ljuske i prihvataju se ivičnim
ojačanjima.
Sl. 400. Pomeranje i aksijalne sile Nx plitke ljuske opterećene sopstvenom težinom
Plitke ljuske se mogu proračunavati samo približno po teoriji ljuski, ali se danas uspešno
proračunavaju primenom numeričkih metoda (MKE). Problematičnost egzaktnog
proračunskog tretmana posebno je izražena u aspektu kontrole izbočavanja, zbog čega ovde
valja biti oprezan i konzervativan.
Ljuska se armira u smeru glavnih napona zatezanja i mrežom koja se postavlja po celoj
površini. Uz ivice, ljuska se obavezno armira dvostruko.
Konoidne ljuskeKonoidne ljuskeKonoidne ljuskeKonoidne ljuske nastaju translacijom prave izvodnice po dvema voñicama, od kojih je prva
prava, a druga je kriva. Kako kriva voñica može biti različitih oblika, to je i velik broj
mogućnosti obrazovanja konoidnih ljuski. Za pokrivanje površina najpogodnije su one
konoidne ljuske kojima je druga izvodnica mimoilazni pravac (hiperbolični paraboloid, Sl.
401a) ili parabola (konoid, Sl. 401b).
Hiperbolični paraboloid je ljuska negativne Gauss-ove krivine (jedan pravac je konveksan,
drugi konkavan), što je čini deformabilnom i zategnutom u jednom pravcu, ali se oplata
može formirati od pravih dasaka, što značajno pojednostavljuje izvoñenje (Sl. 402).
Brujić - Betonske konstrukcije – radna verzija - 9. avgust 2011
290
Sl. 401. Primeri konoidnih ljuski: hiperbolični paraboloid i konoid
Sl. 402. Konkavni i konveksni pravac hiperboličnog paraboloida i prave izvodnice
Može biti oslonjen na samo dva stuba. Ako stubovi podupiru niže uglove, potrebno je
izmeñu stubova projektovati zategu (Sl. 403b). Ako su poduprti viši uglovi, poželjno je
projektovati razupirač, kako je pokazano na Sl. 403a.
Sl. 403. Hiperbolični paraboloid oslonjen na dva stuba
Krovnu konstrukciju je moguće formirati i kombinovanjem više hiperboličnih paraboloida (Sl.
404).
Sl. 404. Kombinovani krovovi od hiperboličnih paraboloida
Sl. 405. Proračunski model hiperboličnog paraboloida
10. Armiranobetonske ljuske
291
Vertikalno opterećen (ravnomerno po osnovi) hiperbolični paraboloid se može jednostavno
proračunati po membranskoj teoriji (drugi izvod po x i y osi je jednak nuli). Jednačina
srednje površi je (Sl. 405):
z C x y= ⋅ ⋅ ..................................................................................................(10.61)
Smičuće sile u presecima paralelnim s ivicama se odreñuju prema:
( ) ( )2 2xyN Z C G C= ⋅ = ⋅ , za Z G= , ......................................................(10.62)
a normalne sile, ondo glavne normalne sile (u dijagonalnim presecima) su:
0x yN N= = , 1 2 xyN N N= − = . ....................................................................(10.63)
Na ivicama ljuske smičuće sile moraju preuzeti ivični elementi ili dijafragme.
Hiperbolični paraboloidi su zbog svoje statičke i konstrukcijske jednostavnosti, te zbog
vizuelnog efekta, vrlo privlačne za primenu. Meñutim, valja biti oprezan kad su njihove mane
u pitanju (negativna Gauss-ova krivina čini ove ljuske vrlo osetljivim na promenljiva lokalna i
na koncentrisana opterećenja, kao i na promenne oblika usled, na primer, izduženja zatege).
Armiraju se ortogonalnom mrežom u jednom ili dva reda, a izmeñu njih se postavlja kosa
armatura za prihvat smičućih sila.
Sl. 406. Isečak konoidne ljuske kao šed-krov
Konoid je racionalna ljuska pretežno naprezana membranskim uticajima, a pogodna za šed
krovne konstrukcije (Sl. 406). U donjem delu konoida se javljaju zatežuće sile i potreba za
zategnutom armaturom. Armatura se postavlja u dva reda u području pritiska, a u
zategnutoj zoni se može armirati jednostrukom mrežom. Izmeñu dva sloja armature, u
uglovima ploče treba postaviti kosu armaturu za prihvatanje glavnih kosih napona zatezanja.
10.3.3.10.3.3.10.3.3.10.3.3. POLIEDARSKEPOLIEDARSKEPOLIEDARSKEPOLIEDARSKE KROVNE KONSTRUKCIJEKROVNE KONSTRUKCIJEKROVNE KONSTRUKCIJEKROVNE KONSTRUKCIJE
Poliedarske površi se formiraju od tankih ravnih ploča monolitno vezanih pod izvesnim
uglom na način da formiraju noseću strukturu. Svaka ivica je oslonac dveju susednih ploča.
Zavisno od oblika pojedinih ploča (pravougaone, trapezne, trougaone) razlikujemo
prizmatične ili piramidalne poliedarske konstrukcije. Ploče poliedara su uglavnom
napregnute u sopstvenim ravnima, ali neizostavno i momentima savijanja i smičućim silama
na ivicama: zbog monolitne veze izmeñu nosećih površina, podužne deformacije u pravcu
pružanja ivice moraju biti jednake, a time i normalni naponi, zbog čega po se ivici javljaju
smičuće sile. Proračun uticaja u presecima površi je danas podrazumevan kao rezultat
primene metode konačnih elemenata.
Rasponi poliedarskih krovnih konstrukcija uobičajeno dostižu raspone reda 20 do 30m, a
kao prednapregnute – i znatno veće (do 60m). Nabori se postavljaju u poprečnim pravcima i
oslanjaju se na dijafragme krute u svojoj ravni (Sl. 407). Zbog jednostavnijeg izvoñenja
(jednostavnija oplata) mogu biti u značajnoj prednosti u odnosu na cilindrične ljuske (uprkos
manjoj ekonomičnosti po pitanju utroška materijala).
Brujić - Betonske konstrukcije – radna verzija - 9. avgust 2011
292
Sl. 407. Neke mogućnosti oblikovanja poliedarskih krovnih konstrukcija
Širina jednog poliedarskog elementa uobičajeno ne prelazi 3.0 do 3.5m i projektuju se
debljine, uobičajeno, 5 do 9cm. Visina krovne konstrukcije je u intervalu izmeñu dvadesetine
i desetine raspona. Često se izvode od montažnih elemenata, a neki od češće korišćenih
oblika poprečnih preseka su prikazani na Sl. 408. Mogu biti jednorasponske ili
višerasponske, a širina talasa, l2, je uobičajeno izmeñu 10 i 12m.
Sl. 408. Često korišćeni preseci montažnih elemenata poliedarskih krovova
Približni proračun prizmatičnih poliedarskih konstrukcija može biti sproveden analogno
cilindričnim (Sl. 409).
Sl. 409. Proračunski model – približni proračun
Neki primeri složenijih poliedarskih krovova, formiranih od trougaonih ploča su prikazani na
Sl. 410.
Sl. 410. Složeni poliedarski krovovi formirani od trougaonih ploča
Šatoraste konstrukcije su poliedarske konstrukcije formirane od monolitno vezanih
trapeznih i trougaonih ploča okrenutih vrhom nagore, najčešće oslonjene u uglovima na
stubove (Sl. 411).
10. Armiranobetonske ljuske
293
Sl. 411. Šatorasti krovovi
Zbog konveksnog oblika, mogu biti racionalne i za blage nagibe, a pri tome minimalno
armirane. Strele šatora su uobičajeno u rasponima L/12 do L/8.
Na Sl. 412a prikazan je karakterističan detalj armiranja u poprečnom preseku nabora. Ploče
se armiraju glavnom armaturom za prijem savijanja u pravcu raspona složene ljuske
(tačkasto prikazana armatura u ivičnoj zoni), te poprečnom armaturom koja, načelno,
obezbeñuje poprečni prenos opterećenja sa ploča na ivične elemente (ivice). U blizini ivice i
dijafragme ploče se armiraju u dva reda radi prihvatanja negativnih momenata savijanja.
Dodatno, na spoju ploče i dijafragme se postavlja armatura za prijem smičućih sila (Sl.
412b).
Sl. 412. Neki detalji armiranja poliedarskih krovova
Za maksimalne dopuštene razmake šipki armature, te za minimalne procente armiranja, važe
iste odredbe kao i za pune ploče.