(10)

MODEL ANTRIAN

MAGISTER TEKNIK INDUSTRI - ITATS

MODEL ANTREAN

Ilmu pengetahuan utama tentang bentuk antrean, yang sering disebut

teori antrean (queuing theory), merupakan sebuah bagian penting

operasi dan alat yang sangat berharga bagi manajer operasi. Antrean

(waiting line/queue) adalah sebuah situasi umum—sebagai contoh,

lihat bentuk deretan mobil yang menunggu untuk diperbaiki, pekerjaan

fotokopi yang sedang menunggu untuk diselesaikan, atau orang-orang

yang sedang berlibur menunggu untuk masuk wahana Jatim Park.

ANTRE..?

Bagaimana jika…..

Bagaimana jika…..

Karakteristik Sistem Antrian

1. Kedatangan atau masukan sistem. Kedatangan memiliki

karakteristik seperti ukuran populasi, perilaku, dan

sebuah distribusi statistik.

2. Disiplin antrean atau antrean itu sendiri. Karakteristik

antrean mencakup apakah panjangnya antrean terbatas

atau tidak, dan disiplin orang-orangnya atau barang

yang ada di dalamnya.

3. Fasilitas layanan. Karakteristiknya meliputi desain dan

distribusi statistik waktu pelayanan.

Situasi Umum Antrean

Karakteristik Kedatangan

Sumber input yang menghadirkan kedatangan pelanggan bagi sebuah sistem

pelayanan memiliki tiga karakteristik utama :

1. Ukuran populasi kedatangan.

2. Perilaku kedatangan.

3. Pola kedatangan (distribusi statistik).

Ukuran Populasi (Sumber) Kedatangan dibagi menjadi tidak terbatas atau

terbatas. Jika jumlah kedatangan pengunjung atau kedatangan pada waktu

tertentu hanyalah sebagian kecil dari semua kedatangan yang potensial, maka

populasi kedatangan dianggap sebagai populasi yang tidak terbatas.

Contoh populasi yang tidak terbatas adalah mobil yang datang ke sebuah tempat

pencucian mobil, para pengunjung yang tiba di sebuah supermarket, dan para

siswa yang datang untuk mendaftarkan diri di sebuah universitas besar. Sebagian

besar model antrean berasumsi bahwa populasi kedatangan tidak terbatas.

Sebuah contoh, populasi terbatas ditemukan dalam sebuah

toko percetakan yang memiliki delapan mesin cetak. Setiap mesin cetak

merupakan seorang “pelanggan” potensial yang mungkin rusak dan memerlukan

pemeliharaan.

Pola Kedatangan pada Sistem

Pelanggan tiba di sebuah fasilitas pelayanan baik karena memiliki jadwal tertentu

(sebagai contoh, 1 pasien datang setiap 15 menit atau 1 siswa datang setiap

setengah jam) atau yang datang secara acak. Kedatangan dianggap sebagai

kedatangan acak apabila kedatangan tersebut tidak terikat satu sama lain dan

kedatangannya tidak dapat diperkirakan dengan tepat. Biasanya, jumlah

kedatangan setiap satuan waktu dapat diperkirakan dengan sebuah probabilitas

(kemungkinan) distribusi yang dikenal dengan distribusi Poisson (Poisson

distribution). Untuk setiap waktu kedatangan (seperti 2 pelanggan per jam atau 4

truk per menit), sebuah distribusi Poisson yang berlainan dapat ditetapkan

menggunakan rumus e-λ λx

Dua contoh distribusi Poisson pada waktu kedatangan.

Perilaku Kedatangan

Hampir semua model antrean menggunakan asumsi bahwa

pelanggan yang datang adalah pelanggan yang sabar.

Pelanggan yang sabar adalah orang atau mesin yang mau

menunggu dalam antrean sampai mereka dilayani dan tidak

berpindah antrean. Sayangnya, hidup sangatlah rumit karena

orang-orang biasanya menolak dan keluar dari antrean.

Pelanggan dapat menolak untuk mengantre karena merasa

terlalu lama mendapatkan keperluan mereka. Pelanggan

yang keluar dari antrean adalah mereka yang mengantre,

tetapi menjadi tidak sabar dan meninggalkan antrean tanpa

menyelesaikan transaksi mereka. Namun, kedua situasi ini

baru menunjukkan kebutuhan teori antrean dan analisisnya

saja.

Karakteristik Antrean

Barisan antrean itu sendiri merupakan komponen kedua dari sebuah

sistem antrean. Panjangnya sebuah antrean bisa tidak terbatas

ataupun terbatas.

Karakteristik antrean yang kedua berkaitan dengan aturan antrean.

Aturan

antrean ini mengacu pada aturan pelanggan yang akan menerima

pelayanan dalam barisannya. Sebagian besar sistem menggunakan

aturan disiplin antrean yang dikenal dengan aturan first-in, first-out

(FIFO).

Namun, di dalam ruang darurat rumah sakit atau kasir jalur cepat pada

sebuah pasar swalayan, terdapat beragam prioritas lain yang dapat

memotong jalur FIFO. Pasien yang mengalami luka kritis akan

mendapatkan prioritas pengobatan yang lebih tinggi dibandingkan

dengan pasien yang jari atau hidungnya patah.

Karakteristik Pelayanan

Desain Dasar Sistem Antrean

Sistem layanan umumnya digolongkan menurut jumlah saluran yang

ada (contoh: jumlah penyedia) dan jumlah tahapan (contoh: jumlah

penghentian layanan yang harus dibuat). Sebuah sistem antrean jalur

tunggal (single channel queuing system) dengan satu kasir biasanya

merupakan pos yang dilewati kendaraan (drive-in bank) dengan hanya

satu kasir yang dibuka. Di sisi lain, jika bank memiliki beberapa kasir

yang sedang bertugas dengan setiap pelanggan menunggu dalam satu

jalur antrean umum dengan kasir pertama yang dapat melayani, maka

sistem itu disebut sistem antrean jalur majemuk (multiple channel

queuing system). Saat ini, sebagian besar bank menerapkan sistem

antrean banyak jalur, sebagaimana halnya di tempat pangkas rambut

yang besar, agen tiket penerbangan, dan kantor pos.

Distribusi Waktu Layanan

Pola pelayanan serupa dengan pola kedatangan di mana pola ini konstan

ataupun acak. Jika waktu layanannya konstan, maka waktu yang diperlukan

untuk melayani setiap pelanggan adalah sama. Contoh kasus ini adalah dalam

operasi pelayanan yang menggunakan mesin, seperti pencucian mobil

otomatis. Waktu layanan biasanya terdistribusi secara acak. Dalam banyak

kasus, dapat diasumsikan bahwa waktu layanan acak dapat dijelaskan dengan

distribusi probabilitas eksponensial negatif (negative exponential

probability distribution).

Menghitung Kinerja Antrean

Model antrean membantu para manajer membuat keputusan untuk

menyeimbangkan biaya pelayanan dengan menggunakan biaya

antrean. Dengan menganalisis antrean, kita dapat memperoleh banyak

perhitungan kinerja sebuah sistem antrean berikut.

1. Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam antrean.

2. Rata-rata panjang antrean.

3. Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem (waktu

tunggu ditambah waktu pelayanan).

4. Jumlah pelanggan rata-rata sistem.

5. Kemungkinan fasilitas layanan akan kosong.

6. Faktor kegunaan sistem.

7. Kemungkinan beberapa pelanggan di dalam sistem.

Biaya Antrian

Keragaman Model Antrian

Model A (M/M/1): Model Antrean Jalur Tunggal dengan Kedatangan

Berdistribusi Poisson dan Waktu Pelayanan Eksponensial

1. Kedatangan dilayani atas dasar first-in, first-out (FIFO), dan setiap

kedatangan menunggu untuk dilayani, terlepas dari panjangnya antrean.

2. Kedatangan tidak terikat pada kedatangan yang sebelumnya, tetapi

jumlah kedatangan rata-rata tidak berubah terhadap waktu.

3. Kedatangan digambarkan dengan distribusi probabilitas Poisson dan

datang dari sebuah populasi yang tidak terbatas (atau sangat besar).

4. Waktu pelayanan berbeda dari satu pelanggan dengan pelanggan

berikutnya dan tidak terikat satu sama lain, tetapi tingkat rata-rata waktu

pelayanannya diketahui.

5. Waktu pelayanan terjadi akibat distribusi probabilitas eksponensial

negatif.

6. Kecepatan pelayanan lebih cepat daripada tingkat kedatangan.

Asumsi-asumsi :

Dalam notasi antrean, huruf pertama menunjukkan kedatangan (dengan M menunjukkan distribusi

Poisson), huruf kedua menunjukkan layanan (dengan M kembali menunjukkan distribusi Poisson, yang

sama dengan kecepatan eksponensial dari layanan—dan D adalah kecepatan layanan konstan); simbol

ketiga menunjukkan jumlah penyedia layanan. Dengan demikian, sistem M/D/I (model C) berarti

kedatangannya Poisson, layanannya konstan, dan terdapat satu penyedia layanan saja.

Contoh sebuah antrean Jalur Tunggal

Tom Jones, seorang montir di Golden Muffl er Shop,

dapat memasang knalpot baru rata-rata sebanyak 3 buah

per jam (atau 1 knalpot setiap 20 menit) berdasarkan

distribusi eksponensial negatif. Pelanggan yang

menginginkan pelayanan ini tiba di bengkel dengan rata-

rata 2 orang per jam, dengan mengikuti distribusi

Poisson. Mereka dilayani dengan aturan first-in, first-out

dan berasal dari populasi yang sangat besar (hampir tak

terbatas).

Rumus Antrean untuk Model A: Sistem Jalur Tunggal disebut juga M/M/1

Restoran McDonald’s yang besar di Moscow menambah 900 tempat duduk,

800 pegawai, dan 80 juta dolar dalam obral tahunannya (kurang dari 2 juta

dolar di outlet di Amerika Serikat). AS mungkin akan menolak keras rata-rata

waktu menunggu selama 45 menit, tetapi masyarakat Rusia terbiasa dengan

antrean yang panjang. McDonald’s menunjukkan layanan yang baik di

MosCow.

Model B (M/M/S): Model Antrean Jalur Majemuk

Bengkel Golden Muffl er memutuskan untuk membuka bengkel kedua dan

mempekerjakan montir kedua untuk memasang knalpot. Pelanggan yang datang

dengan tingkat kedatangan sekitar λ = 2 orang per jam, akan menunggu di jalur

tunggal hingga salah satu dari kedua montir selesai. Setiap montir memasang

knalpot sekitar μ = 3 per jam. Perusahaan ingin tahu perbandingan sistem ini

dengan sistem antrean jalur tunggal yang terdahulu.

Antrean Jalur Majemuk

Jalur antrean yang panjang seperti di Los Angeles International (LAX) merupakan

pemandangan umum di banyak bandara. Ini adalah sebuah model M/M/S, di mana

para calon penumpang menunggu di satu garis antrean dengan satu atau

beberapa pegawai. Berdasarkan tingkat kedatangan yang berbeda tiap jamnya,

petugas penerbangan menambah atau mengurangi penyedia layanan di setiap

loketnya.

Model C (M/D/1): Model Waktu Pelayanan Konstan

Inman Recycling, Inc. mengumpulkan kaleng aluminium dan botol

bekas di Reston, Louisiana. Saat ini, pengemudi truk menunggu

kurang lebih selama 15 menit sebelum mengosongkan isi truk

mereka untuk didaur ulang. Biaya pengemudi dan truk untuk

menunggu dalam antrean adalah $60 per jam. Sebuah mesin daur

ulang kaleng otomatis baru dapat digunakan untuk memproses

muatan truk dengan tingkat tetap, yaitu 12 truk per jam (berarti 5

menit untuk setiap truk). Truk yang datang rata-rata berdistribusi

Poisson 8 kedatangan per jam. Jika mesin baru ini digunakan, maka

biaya akan berkurang sebesar $3 untuk setiap truk yang kosong.

Model layanan konstan

Model D: Model Populasi yang Terbatas

Model populasi terbatas

Data masa lalu menunjukkan bahwa masing-masing dari lima mesin cetak

komputer laser di Departemen Energi, Amerika Serikat di Washington, DC,

memerlukan perbaikan setelah digunakan sekitar 20 jam. Kerusakan mesin

cetak ditentukan mengikuti distribusi Poisson. Seorang teknisi yang bertugas

dapat memperbaiki sebuah mesin cetak rata-rata selama 2 jam dengan

mengikuti distribusi eksponensial. Biaya kerusakan mesin adalah $120 per jam.

Teknisi dibayar sebesar $25 per jam. Apakah Departemen Energi AS perlu

mempekerjakan teknisi kedua?

Contoh Soal 1

Saat ini, Sid Das Brick Distributors mempekerjakan seorang pekerja

yang pekerjaannya memuat batu bata ke dalam truk perusahaan. Rata-

rata, 24 truk datang setiap hari atau 3 truk per jam ke lokasi pemuatan

dengan pola kedatangan sesuai dengan distribusi Poisson. Pekerja

tersebut sanggup memuat batu bata ke atas 4 truk per jamnya dengan

waktu pelayanan mengikuti distribusi eksponensial. Das yakin bahwa

produktivitas perusahaan akan sangat meningkat dengan menambahkan

seorang pemuat batu bata kedua. Ia memperkirakan dua orang kru di

gerbang pemuatan untuk menggandakan pemuatan dari 4 truk per jam

menjadi 8 truk per jam. Lakukan analisis dampak antrean dari perubahan

yang dilakukan dan bandingkan hasilnya dengan yang dicapai oleh

sistem satu pekerja. Berapakah kemungkinan adanya lebih dari 3 truk

yang sedang dimuat atau sedang menunggu?

Jawaban Soal 1

Hasil ini menunjukkan bahwa jika hanya

satu orang yang dipekerjakan, setiap truk

rata-rata harus menunggu selama 45 menit

sebelum dimuati. Selanjutnya, rata-rata

truk yang menunggu dalam antrean adalah

2,25. Situasi ini mungkin tidak dapat

diterima oleh pihak manajemen.

Perhatikan juga adanya penurunan ukuran

antrean setelah pekerja kedua

ditambahkan.

Contoh Soal 2

Sopir truk yang bekerja pada Sid Das (lihat Contoh soal no 1) mendapat

upah rata-rata $10 per jam. Pekerja yang memuat batu bata menerima

upah sekitar $6 per jam. Sopir truk yang sedang menunggu dalam

antrean atau lokasi pemuatan tetap menerima upah. Namun, dari segi

produktivitas, tidak ada yang dikerjakan dan tidak ada pemasukan bagi

perusahaan selama waktu menunggu tersebut. Berapakah penghematan

per jam yang diperoleh perusahaan jika dipekerjakan 2 orang pemuat

batu bata dan bukan hanya 1 orang? Dengan melihat data pada Contoh

Soal no 1, terlihat bahwa jumlah truk dalam sistem rata-rata adalah 3

ketika hanya ada 1 orang pemuat batu bata, dan menjadi 6 jika ada 2

orang pemuat batu bata.

Jawaban Soal 2

Contoh Soal 3

Sid Das sedang mempertimbangkan untuk membangun lokasi pemuatan

kedua untuk mempercepat proses pemuatan batu bata ke truk. Ia berpikir

bahwa sistem ini akan lebih efisien jika dibandingkan dengan

mempekerjakan orang lain untuk membantu pemuat pertama pada

lokasi pemuatan pertama (seperti pada Contoh Soal no 1). Misalkan,

setiap pekerja di setiap lokasi pemuatan mampu memuat 4 truk per jam

dan 3 truk akan terus berdatangan per jamnya. Kemudian, terapkan

persamaan yang sesuai untuk menemukan kondisi operasi antrean yang

baru. Apakah pendekatan baru ini memang lebih cepat dibanding dua

pendekatan yang dipikirkan Das sebelumnya?

Jawaban Soal 3

Dengan melihat kembali Contoh

Soal no. 1, walaupun panjang

antrean dan waktu rata-rata dalam

antrean yang paling rendah adalah

saat lokasi pemuatan kedua dibuka,

rata-rata jumlah truk dalam sistem

dan rata-rata waktu paling kecil yang

dihabiskan untuk menunggu dalam

sistem adalah ketika dipekerjakan

dua pemuat batu bata dengan satu

lokasi pemuatan. Jadi,

pembangunan lokasi pemuatan

kedua kurang disarankan.

Contoh Soal 4

Unit perawatan jantung di St. Elsewhere Hospital menyediakan 5 tempat

tidur yang selalu terisi oleh pasien yang baru melakukan operasi jantung.

Terdapat dua orang perawat yang bertugas dalam 3 giliran kerja yang

lamanya 8 jam. Setiap 2 jam (mengikuti distribusi Poisson), seorang

pasien memerlukan bantuan perawat. Kemudian, perawat akan

menghabiskan waktu sekitar 30 menit (terdistribusi eksponensial) untuk

membantu pasien dan memperbarui catatan medis mengenai

permasalahan dan pemeliharaan yang dilakukan.

Karena pelayanan yang cepat sangatlah penting bagi kelima pasien yang

ada, pertanyaannya adalah berapakah jumlah rata-rata pasien yang

diurus oleh satu perawat? Berapakah waktu ratarata yang dihabiskan

pasien untuk menunggu seorang perawat tiba?

Jawaban Soal 4

Tabel Antrean

terbatas dengan

Populasi N = 5*

PERTANYAAN UNTUK DISKUSI

1. Apakah mengoperasikan aturan first-come, first-served pada toko roti di pasar

swalayan merupakan langkah yang baik atau buruk? Mengapa?

2. Manakah yang lebih besar: Ws atau Wq? Jelaskan!

3. Jelaskan dengan singkat tiga situasi di mana aturan fi rst-in, fi rst-out (FIFO)

tidak dapat diterapkan pada analisis antrean!

4. Jelaskan perilaku sebuah antrean di mana λ > μ! Gunakan intuisi dan analisis!

5. Berikan contoh empat situasi di mana terdapat antrean terbatas!

6. Berapakah Anda menilai diri Anda dalam rupiah untuk waktu yang Anda

habiskan dalam antrean? Berapakah nilai yang teman sekelas Anda berikan

untuk diri mereka? Mengapa terjadi perbedaan?

7. Apakah komponen dari sistem antrean berikut? Gambarkan jelaskan bentuk

setiap konfi gurasi!

a) Tempat pangkas rambut. b) Tempat pencucian mobil.

c) Tempat cuci pakaian otomatis d) Toko kecil yang menjual barang

kebutuhan sehari-hari.

SOAL 1

Para pelanggan tiba di Jonny Andrean Styling Shop sebanyak 3 orang per jam

yang berdistribusi Poisson. Andrean dapat memangkas rambut 5 orang per jam

dengan distribusi eksponensial.

a) Tentukan rata-rata jumlah pelanggan yang menunggu untuk memangkas

rambut!

b) Tentukan rata-rata jumlah pelanggan dalam salon!

c) Tentukan rata-rata waktu seorang pelanggan menunggu gilirannya!

d) Tentukan rata-rata waktu seorang pelanggan menghabiskan waktu di salon!

e) Tentukan persentase waktu sibuk Paul!

SOAL 2

Hanya terdapat satu mesin fotokopi dalam ruang santai mahasiswa sekolah

bisnis. Para mahasiswa datang dengan tingkat kedatangan λ = 40 per jam

(distribusi Poisson). Proses fotokopi rata-rata berjalan selama 40 detik atau μ =

90 per jam (distribusi eksponensial). Hitunglah karakteristik berikut ini!

a) Persentase waktu mesin digunakan.

b) Rata-rata panjang antrean.

c) Rata-rata jumlah mahasiswa dalam sistem.

d) Rata-rata waktu yang dihabiskan untuk menunggu dalam antrean.

e) Rata-rata waktu yang dihabiskan dalam sistem.

SOAL 3

PT. Panggung Elektronik mempertahankan kru pelayanannya untuk

memperbaiki gangguan mesin sebanyak rata-rata λ = 3 per hari (berdistribusi

Poisson). Kru dapat melayani rata-rata μ = 8 mesin per hari dengan waktu

perbaikan berdistribusi eksponensial.

a) Berapakah tingkat utilisasi sistem pelayanan ini?

b) Berapakah waktu rata-rata mesin rusak?

c) Berapakah mesin yang sedang menunggu untuk dilayani?

d) Berapakah kemungkinan terdapat lebih dari satu mesin dalam sistem? Selain

itu, berapakah kemungkinan lebih dari dua mesin rusak dan menunggu untuk

diperbaiki atau sedang dilayani? Lebih dari tiga? Lebih dari empat?

SOAL 4

Tempat pencucian mobil Mesti Kinclong memerlukan waktu konstan selama 4,5

menit untuk satu siklus pencucian mobil. Kedatangan mobil berdistribusi

Poisson sebanyak 10 per jam. Manajemen Mesti Kinclong ingin mengetahui:

a) rata-rata waktu menunggu dalam antrean,

b) panjang antrean rata-rata.

SOAL 5

Toko pembuatan lemari kayu Jati Tuwo, di Tuban, memiliki lima perkakas

otomatis untuk mengebor lubang guna memasang engsel. Mesin ini perlu

disiapkan untuk memenuhi setiap pesanan lemari. Pesanan mengikuti distribusi

Poisson, rata-rata 3/8 jam per hari. Terdapat seorang teknisi yang mengatur

mesin ini. Waktu pelayanan bersifat eksponensial, rata-rata 2 setiap jam.

a) Berapakah faktor layanan sistem ini?

b) Berapakah rata-rata jumlah mesin yang sedang bekerja?

c) Apakah dampaknya pada mesin yang bekerja jika ada seorang teknisi kedua?

SOAL 6

Dua orang teknisi yang bekerja secara terpisah mengawasi 5 komputer yang

menjalankan fasilitas pabrik otomatis. Rata-rata waktu untuk memperbaiki

komputer yang bermasalah adalah 15 menit (berdistribusi eksponensial).

Komputer bekerja selama rata-rata 85 menit (berdistribusi Poisson) tanpa

memerlukan perbaikan. Tentukan karakteristik berikut!

a) Rata-rata jumlah komputer yang menunggu diperbaiki.

b) Rata-rata jumlah komputer yang sedang diperbaiki.

c) Rata-rata jumlah komputer yang tidak bekerja.

SOAL 7

Seorang montir menjalankan 5 mesin bor di sebuah pabrik baja. Mesin

mengalami kerusakan rata-rata satu kali setiap 6 hari kerja, dan kerusakan ini

cenderung mengikuti distribusi Poisson. Montir mampu memperbaiki rata-rata

satu mesin per hari. Pekerjaan perbaikan berdistribusi eksponensial.

a) Rata-rata, berapakah mesin yang menunggu diperbaiki?

b) Rata-rata, berapa mesin bor yang sedang bekerja?

c) Berapakah waktu tunggu yang akan berkurang jika seorang montir kedua

dipekerjakan?

SOAL 8

Suatu pertemuan kontraktor gedung berlangsung di Las Vegas. Terdapat 200

orang yang datang ke bagian registrasi setiap jamnya (berdistribusi Poisson),

dan biaya waktu tunggu di antrean adalah $100 per orang per jam. Las Vegas

Convention Bureau menyediakan pelayan untuk registrasi tamu dengan biaya

$15 per orang per jam. Dibutuhkan waktu satu menit untuk mendaft arkan

seorang pengunjung (berdistribusi eksponensial). Dibuka satu jalur antrean saja

dengan beberapa pelayan.

a) Berapakah jumlah minimum pelayan untuk sistem ini?

b) Berapakah jumlah maksimal pelayan untuk sistem ini?

c) Berapakah biaya sistem per jam untuk jumlah pelayan maksimum?

d) Berapakah tingkat utilisasi pelayan dengan jumlah pelayan minimum?