10 SECCIONES

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'4:,.',DEINTEGRACIN 111 .Obtenga el volumen del slido de revolucin generado por larotacin, alrededor deleje y,delareginlimitadaporlacurvay= In 2x,el eje xyla recta x- e. !!1.1,uregindelpri mercuadramelimitada 5 - x. p01Incurva y=,, el eJex y elCJe (X+1) 1', girar alrededor del eje x. Obtenga ,. volumendel slido generado. 1111)(),productosqumicos Ay8reaccionan 1111111 l'ormar elproducto qumico C; latasa "''variacin de lacantidadde e espropor-l' illllUI al producto de las cantidades restan-1\'\ de Ay deBen un momento dado. Inicial-llll'lll ehay60 lbdelproduc10AY 60del 111 oducto 8; para formar 5 lb de C sc necesi-t 1111 3 de Ay 2 de B.Despus de una hora, se llll man15 lb de C. (a)Si se forman x libras t11 (' c11 1 horas, encuentre una expresin para \l' ll trminos de t. (b)Calcule la cantidad de e' despus de 3 horas. U1.1Jnwuquet ienelaformadeunslidode lt'VOiucin formado por la rotacin, alrede-dllldelejex,de lareginlimitadaporla l'llrva y- In x, eleje x y las rectas x= e Y 1e2.Si el tanque est lleno de agua, cal-1ulc cl l rabajo realizado para bombear toda l'l ugua hasta laparte superior del tanque.La tl"tnncia se mide en pies y el peso especfico dtlagua es 62.4 lb/ pie3.Tome el eje x como pm111voverticalmentehaciaabajo. Ulll,Oh! cngael centroide de la regin del ejerci-do ')\1. Uh.( 'ulculctancia dirigida delvrtice alfoco,una ecuacin de la parbol.1vrtice en(h.k) y t:on su ejeparaleloaleje x es (y- k ) ~== 4p(x - h) u na parbola con el mismo vrtice yt:on -;iJeje paralelo al eje ytienepo1 cc1t 1 (X- /7)2 :::-1p(y - k) EJEMPLO4Obteneruna ecuacin delaparbolaqueti enepor directtl /l11 y=ypor focoel punto F{- 3, 7). Trazarlagrfica de esta parbola. SolucinYa que la direct ri z es paralela al eje x, el eje ser paralelo al eje .1'.\lit cintendrlaforma(2). Como el vrticeV est a la mitad entre la directriz y elfoco,V tiene las cmlltlt (- 3,4).Ladistancia dirigidadelvrticealfoco es p, Y as ) p =7 - 4=3 Por lotanto,una ecuacin e'> (x+3)2 =12(y - 4) t\1elevar al cuadrado ysimplificar,tenemos x2 +6x - 12y+57=O Lagrfica de estaparbola semuestraen laFigura13. y y= 1 111 ;, X FIGURA13 ':1 dire.:lllt " FIGURA14 1O. 1Laparbola ytraslacinde ejes751 EJEMPLOSDadalaparbolaqueti enepor ecuaciny2 +6x+8y+ 1=O, hallar elvrtice, el foco,una ecuacin dela direct ri z,una ecuacin deleje y lalongi-tuddellado rectoytrazarla grfica. SolucinReescri bimoslaecuacin como y2 +8y=-6x - 1 Completando el cuadrado de lostrminos en yen el lado izquierdo de esta ecuacin y sumando16 enamboslados,obtenemos y2 + By+16=- 6x +15 (y+ 4? =- 6(x- n Comparando esta ecuacincon(1) obtenemos k= -4/=-?!' y 4p=- 6obienp=- i Por lotant o, elvrtice est en (~ ,-4), la ecuacin del eje es y=-4; el foco est en ( 1,- 4);laecuacin de la directriz es x= 4,ylalongitud delladorecto es 6.La gr-fi case muestra enlaFigura14: En la Seccin1.3 se da una explicacin de la ecuacin general deegundo grado en dos variables: Ax2 +Bxy.J.. Cy2 +Dx.J..Ey+F=O(3) donde 8= O yA= C. Entonces lagrfica de (3) esuna ci rcunferencia,unpunto o un conjunto vaco. Cuando la grfica es un punto o dicho conjunto vaco, se di ce que ~ etrata deunacircunferencia degenerada(odegradada).Ahora consideremos (3), donde B= O yA C= O.Ental caso, A= O o bien e= O,pero no ambos son iguales u cero debido a que si los nmeros A, B y e son nulos, (3) no esuna ecuacin de segundo grado.Supngase en (3)queB= O,A= O yC *O; e111onces, Cy2 +Dx+Ey+F=O (4) SiD *O, sta es la ec uacin de una parbola, ya que se puede obtener de ( 1) elevando ul cuadradoycombinandotrminos.Si en(4},D=O,entoncesla ecuacines ey2 + Ey+F= O La grfica de esta ecuacin puede ser dos rectas paralelas, una recta o bien el conjunto 'aco; cualquiera de estas grficas se conoce entonces como una pardbola degenerada (o degradada). EJEMPLOILUSTRATIVO2La grfica de la ecuacin 4y2 .:_ 9= Oes dos rectas paralelas;9y2 + 6y+1= Oes la ecuacin de una recta; y2y2 + y+1= Ose satis-l'aceconvaloresnoreales eley. www.LibrosZ.com www.LibrosZ.comwww.Matematica1.comwww.FisicaA.com79Z SICCIONl '1CONilA::;V COOHOENAOASPOLARES Una explicacinsemejante cabe sien (3),B= O,e = O yA* O.Los seresumen en el teoremasiguiente. 10. 1.6TEOREMA Sienla ecuacin general de segundo grado Ax2 + Bxy+ ey1 +Dx+Ey+P - O B= O y A:::O ye iO obiene = O yAiO,entonces la grfica es una d siguientes:unaparbola,dosrectas paralelas,unarectaoel conjunto vactn Al inicio de esta seccin se indic que una parbola se obtiene eomo secci11n111cuando el planocortante es paralelo auna y slo una generatriz del cono. Sil'lpl cortante contiene el vrtice del cono y solamente una generatriz, como en la 1111 H 1 enlonces se obtiene una linea recta y sta es una parbola degenerada. La parbolu1l nerada que consta de dos rectas paralelasno puede obtenerse como reginpll1111 un cono a menos que un cilindro circular se considere como un cono degenct ;uh 1 su vrtice en elinfinito). En consecuencia, un plano paralelo a los tkl 11dro y el corte de dos elementos distintos produce la parboladegenerada qm 1 1111de dosrectas paralelas. Existe una interesante propiedad de las parbolas, la cual se apl ica en laL' llll 11cin de faros buscadores,faros de automvil y telescopios. En la Figura16,In1 PTes la tangente en elpunto Pala grfica de una parbola. Elpunto Fes t llaparbola y a es la medida del ngulo entre el segmento rectilneo FP Y la11111PT. La recta PR es paralela al eje de la parbola y (3es la medida del ngulo t' ltll y PT.En el ejercicio 48 se pide demostrar que a=(3.Debido aesta igualdad que respecta al espejo parablico de un faro buscador, los rayos de luz desde uttlllt en elfoco se reflejan como recta paralela alLos reflectores parablicos ck lo1 de los automviles se basan en un pr incipio similar.Para elespejo parabltt u ti 1 recta IIOURA15 FIGURA16 1O. 1Laparbolaytraslacinde ejes753 (16,12) telescopioreflejante ocurre una situacin inversa,pues los rayos de luz provenientes de un objeto en el cielo(los cuales llegan al espejo y son paralelos al eje), sonrefleja-dospor el espejoypasanpor elfoco. EJEMPLO6Un espejo parablico tieneuna profundidad de12 cmen el centroy la distancia a lo largo de su parte superior es de 32 cm. Calcular la distancia del vrtice al foco. SolucinVeamos la Figura17.Los ejes coordenados se escogen de tal manera que laparbola tenga como vrticeorigeny sueje alolargo del eje y, y se abra hacia arriba.Por lo tanto,una ecuacinde laparbola esde laforma x2 = 4py donde p(en cm) es ladi stancia delvrtice alfoco.Como elpunto ( J 6,12) est enla parbola,sus coordenadas satisfacenlaecuacin y tenemos 162 = 4p(12} p =lf Por tanto,ladi stancia delvrtice alfocoes de51/Jcm. Existen tambin otras aplicaciones prcticas de las parbolas. La trayectoria de un proyectil es una parbola si se cc5nsidera que elmovimiento est en un plano y se des-precialaresistencia delaire.Los arcos avecestienenforma parablica y el cable de unpuente colgantepende enfo rmade parbola. Lasantenas dediscoque recibensealesde televisinpor satli te tienen tambin formaparablica. una de las parbolas en los ejercicios 1 las coor denadas delfoco, una ecua-111 direc1riz ylalongilud de/ladorec1o. 2.y2 = 6x3.y2 = -8x 4.x2 =- 16y 7.2y2- 9x=O 5.x2 + y = O6.y2 + 5x = O 8.3x2 t4y = O En/os ejercicios 9 a 17, de1ermine una ecuacin de la parbola que 1enga las propiedades indicadas. 9.Foco (S, 0);directriz x= - S. www.LibrosZ.com www.LibrosZ.comwww.Matematica1.comwww.FisicaA.com.p4 SECCIONESCNICASY COORDENADASPOLARES Foco(0,4);directrizy= - 4 . ... 1.Foco (0, - 2); directriz y- 2=O. 1.Foco(- , O);directriz5 - Jx=O. fFoco (';! , O);directri72.x11== O. rFoco (0.3 );directri z 3y+2=O. tVrtice (0,0); se ab e a la izquierda, la longi-tuddel lado rectos 6. Vrtice (0,O);sebre haciaarriba; lalongi-1 tuddellado Jtoes 3. .Vrtice (O(');directriz 2x- - 5. iObtengaunaecuacindelaparbolaque tenga su vrtice en el origen. el eje x como su eje y que pasepor elpunto (2,- 4). /Obtengaunaecuacindelaparbolaque tenga su vrt ice en el origen, el eje ycomo su eje y que pasepor el punto (- 2,-4). Demuestre quelalongiwd delladorecto de una parbolaesl4pJ. tos ejercicios 21a 26,encuemre una nueva ?n de la grfica de la ecuacin_dada despues_ de a traslacin de ejeS al nuevo ongen querndtca. jbuje los ejes originales y los nue1os,ast como la /fica. 1.x2+l + 6x + 4y= 0:( - 3,- 2) z.x2+ y2 - 6x - IOy + 18=O; (3, 5) 3.y2 - 6x+ 9 =O;O) ty2+ 3x - 2y+ 7 = O; ( - 2,1) 5.y_ 4 :=: 2(x - 1)3;(1, 4) 6.(y+l)z=4(x2)3;(2,-1) 11los ejercicios 27 a 32,de1en11ineelvrrice,el 1couna ecuacindeleje yunaecuacin dela re;rri:. de la parbola dada.Tmce lagrfica. 7.x2 + 6x+ 4y+ 8 -O 4x2 - 8x+ Jy - 2 = O :).y2+ 6x+ IO.r+19=O ).3r2- 8x - 12.r - 4 =O 1.2:vz =4.r - 3x t'' =3x2- 3x.. 3 11tos ejercicios 33 a40. obrengauna ec:ul/(_unde , parbolaque tiene laspropiedadesmdtcadas. race la grfica. 3.Vrticeen(l. 4);focoen(- 3, 4). 4.Vrti ce en(1,-3);clirectri; y== l. S.Foco en (- 1.7);directri; y =3. Jfl.Foco en(- , 4);directri z x- -J7.Vrticeen(3.-2);eje,x - 3;IOil f lllld ladorecto, 6. 38.Directriz ..r=-2:eje,y= 4;1alont ltlll ' ladorecto es8. 39.Vrticeen(-4, 2);eje,y=2;P"' '1"'' punto (0,6). 40.Los puntos extremos dellado rect o \1111(1 y(7,3). .u .Los extremos dellado recto de una Pllti son (5,k) y (- 5,k) . Si su vrtice cst:'t 1' 11 11' genyseabrehaciaabajo,determin hl valor de k; (b)una ecuacin delaP'' tl 42.Suponga que elagua que sale por eln ll de un tubo hori zontal que se encuent tll' arriba del suelo, describe una cuna 11111 l lica, estando elvrt ice en el extremo di'! 11 Si en un punto a 2.4 m por debajo dd 11 11tl tubo,elflujodeaguasehacurvad11h afuera 3m ms all de una recta \l:tlhti pasa por elextremo deltubo,a q111' " ciade estavertical llegarelaguaal 1111l43.El cable de unpuente colgante pendl.' l' ll lt de parbola cuando el peso se dbtt lhll formemente enforma horizontal.1 ' ''" 1 cia entre dos torres es de150m, lo.,Plllllt soporte del cable en las wrres, se hal httt tt sobre la calzada, y elpunto ms bao dt l \ se encuemra a 7 m sobre dicha cal; :hl tl11la distancia al cable desde unpunltl rh1 (lepaso a15mlabae di.' tut .t lt 44.Un arcoparablico tiene una altut,t il y una anchura de 36 m en la base.Si 11 de laparbolacs1enlaparte'"'"' 11arco.aqualturasobrelabaw1h 11anchura de18 m? 45.Demuestre que. en una parbola, dp11111cercano alfocoes elvrtice. 46.Larbit a de uncometa es unaP""'"' 1 tiene c.:omo foco al Sol.Cuando de kilmetrodel Sol, el eleje de la parbolay la recta1 cometa es de 45". Emplee eld cicio 25 para determinar la distand111111delcometa al Sol. 47.Untelescopio refleja me tiene un l'' l'' 1 blico en el cual la dist anc.:ia el el \ rtl h C!> de30 Siladistanciaa111 1t11rt edd espejo tiene 64 plg, cul es profundidad del espejo en elcentro? Fnlal' igura 16,dcmuest re que u he los resultados de los ejercicios 51y 52ydetermineunatraslacin de ejes detal manera que laecuacin 1 y= Ji (senx - cos x)- 3 se convierta en y'= sen x' . 54.Cone Y elpunto P( '. 1' 1 1 Figura3 es cualqui erpunto enlaelipse siy slosi IFPI + IPPI = 2a Yaque IFPI = J(x - c)2+ y2 P est enlaeli pse siy slos! J(x - cf + y2 + J(x + c)2 + y2=2a Esta ecuacin se simplifica escribindola primero de modo que un radical t:\ll,11izquierdo y el otro en ellado derecho;ambos mi embrosse elevan al lllllll y setiene 1' z2 J(x - c)2 + y2 = 2a- v(x + e)+ J' (x- c)2 + y2 =4a2 -.4aJ(x + e)2 + )'1 + (x+ e)2 + Y2 1' ? 222+1+2 x2 - 2cx + c2 + l=4a2- 4av(x + e)- + r+ x+exeY 4a J(x + c)2 + y2 =4a2 + 4ex y - e J(;+ c:)z+ Yz= a+x a / r------)x 1e, Ol(f. O).FIGURA3 10.2La elipse757 xz( 1 _+ yz =az_cz (a2_cz)x2+ uz y2=a2(a2_c2) x2yz - +=1 azaz_ez (6) 1 Como a>e,a1 - c2 >O,ypuede establecerse que b2= a2- c2 (7) Alsustituir de (7) en(6) se obt iene x2y2 -+--= ! (12b2(8) Se ha demos trado que las coordenadas (x,y ) de c ualquier punto P en la el ipse satisfa-t't.mlaecuacin (8).Para probar que (8) esuna ecuaciryde la elipse debemos demos-lrar asimismo que cualquier punto ?cuyas coordenadas (x, y) satisfagan(8) est en luelipse.Para lograr esto seini cia con (8)yseinviertenlas etapas para obtener(!). b.'seconcluyequela y (0:5)V y (O,- sv FIGURA7 www.LibrosZ.com www.LibrosZ.comwww.Matematica1.comwww.FisicaA.comol l 1 lllNI 'ltlNII/1',V tOOIHIINADA',I'OLAHES t 1cnc :. \I Nen eleje y. Esta elipsetiene lamisma forma que la del Ejemplo1 1 ices estn en (0,5)y(0,- 5) y losfocos en (0,3)y (0,- 3).La grfica de e'lllt llj .,epresenta en laFigura7. Si el centro de una elipse est en elpunto (h,k) enlugar de en el origen,v ,1, 1 principal es paralelo auno de los ejes coordenados, entonces por medio detllt.t 11 1 cin de ejes, de modo que el punto (h,k) sea el nuevo origen, la ecuacin dtlutll es x2/ a2 + y2/ b2 =1 siel eje principal es horizontal y y2!a2 +x2! b2 = 1 '11 principal es vertical.Ya que x= x - hyy= y- k, estas ecuaciones setramlllll enla sigui''teexpresin enxy y: ""' (x-11)2 (y - k)2 -'-----,2-'-- +?= 1 ab-si el eje principaleshorizontal,y (y - k)2 (x - h)2 _:..::.._2__,__+2=1 ab si el eje principal esvertical. Recordemos quepara la ecuacingeneralde segundo grado con dos va11.thlt Ax2 +Bxy+ey2 +Dx+Ey+F= O cuando B= O yA= e, lagrfica esuna circunferencia obienun caso dq\l' ltlt de una circunferencia, que es una circunferencia-punto obien el conjunto vado. 1\IJ analizaremos esta ecuacin cuando B=O y Ay e no son necesariamente iguah Aes>O..1f.b.'/(13)() 1 se e 1mmanasracc10nesy se com1nan termmos eny14 ,se ohtl\tt ecuacin delaforma Ax2 +ey2 +Dx+Ey+:= O donde A"*e sia "*byA e >O.Puede demostrarse, completando los cuad,,uh \ y y, queuna ecuacindelaforma (15) puedeponerse enlaforma (x - 1!)2(y - k)z 1+1= G Ae SiA e >O,entonces Aye tienen el SiG tiene elmismo Aye, entonces (16)puede escribirse en laforma de ( 13) o ( 14).As, la grfi t'ltrll1 esuna elipse. EJEMPLOILUSTRATIVO2Supongamosque seti enela ecuaci n 6x2 +9y2- 24x- 54y+51=O lut.:ualpuede escribirse como

4x)+9( y2- 6y)=-51 AlcompleLarlos cuadradosen xy yse obtiene 6(x2 - 4x+ 4) + 9(y2 - 6y + 9)=- 51+ 24 + 8 1 6(x- 2)2 + 9(y- 3)2 =54 (x - 2)2 (y - W l.+1= 54 '() 9 10.2Laelipse761 sta esuna ecuacin de laforma de (16).Al dividir en ambos ladospor 54 se tiene (x - 2)2 ( y- 3i 9+6= quetienelaforma de(13). Sien (16) G tiene signo opuesto al.de AyG,entonces (16) no se satisface connin-gnvalor realde xy y .Deaqu que lagrfica de(15) sea el conjunto vaco. EJEMPLOILUSTRATIVO3 ,Supongamos que(15) es 6x2 +9y2- 24x - 54y+115= O Entonces,alcompletarloscuadrados de xy y , obtenemos 6(x- 2)2 + 9(y - 3)2 =- 115+ 24 + 81 , (x - 2)2(y - 3?=- LO ..l+l 69 ( 17) sta es de laforma de ( 16), donde G= -10, A= 6ye= 9.Para todos los valores de x y y, elprimer Jlliembro de (17) esno negativo; en consecuencia, la grfica de (17) esel conjunto vaco. SiG=Oen (16), entonces solamente el punto (h,k) satisface la ecuacin.Por tanto lagrficade (15) es unpunto. EJEMPLOILUSTRATIVO4:Yaquelaecuacin 6x2 + 9y2- 24x - 54y+105= O d 'b.( se puee escn1rcomo (x- 2?(y - 3)2 +1=o 69 lagrfica es elpunto (2,3). Sila grfica de ( 15) es una elipse-punto obien el conjuiuo vaco, se dice que la gr-ficaes degenerada. Si A= e en ( 15), se tiene una circunferencia obien un caso degenerado de una cir-cunferencia, como se mencion con anterioridad.Una circunferencia esuna forma www.LibrosZ.com www.LibrosZ.comwww.Matematica1.comwww.FisicaA.com762SECCIONESCNICASYCOORDENADASPOLARES l mite de una elipse. Este hecho puede demostrarse al considerar la ecuacin qUI' II ciona a,by e para una elipse: b2 =az - c 2 En esta ecuaO,entonces la grfica esuna elipse, un punto o el conjunto VHt f, Adems, si A=C, la grfica es una circunferencia,.un punto o el conjunto\'111 11El caso degenerado de una elipse,un punto, se obtiene como una seccin clll lll el planocortante contiene elvrtice delcono perono contiene una generatri;.,V1,, laFigura8. EJEMPLO3Obtener lagrfica de la ecuacin 25x2 +16y2 +150x- 128y- 1119=O SolucinDel Teorema10.2.3, ya que 8= O yAC >O,lagrfica esuna dip" biensu forma degenerada.Al completar los cuadrados elexy ysetiene 25(x2 + 6x + 9) +16(y2- 8y +16}=1119 + 22'5+ 256 \ 25(x+ W + 4)2 =1600 (x+ 3f(y -'4? _ 64+100= 1 La ecuacin( 18)esde laforma de (14);as,grfica esuna elipse que tiene "1 principalparaleloaleje yysucentro en(-3,4). 11EJEMPLO4Enrelacincon laelipse delEjemplo 3,determi nar losvrtin,, h focosy extremidades delejemenor. laeli psey mostrarlosfocos. SolucinDe ( 18)sededuce que a=10yb= 8.Como el centro delaeliN' l'll en(- 3,4)y el eje principalesvertical,los vrt ices estn enlospuntosV(-3,11110.2Lael ipse763 FI GURA9 V' (- 3,- 6) .Las extrem id acles del ej e menor estn en los puntos 8 (5,4)y8 ' ( - 11,4) . Como b2 =a2- c2 64 = 100- c2 c2 =36 C= 6 -As, la distancia del cent ro aun foco es 6 y as los focos estn en los puntos F(- 3,1O) y F ' (- 3,-2).La elipse ylosfocossemuestran en la Figura 9. EJEMPLOs.Determinaruna ecuacin de la elipse que tiene sus focos en (- 8,2)y (4,2) y para la cual la constante que se mencion en la Definicin 10.2. 1 es 18. Trazar laelipse. SolucinEl centro de la eli pse est en elpunto medio entre los focosy esel punto (- 2,2) .La distancia entre losfocosde una eli pse es 2c y ladistancia ent re (-8, 2)y (4,2) es 12. Por lo tanto, e= La constante q ue se mencion en laDefinicin 10.2. 1 es2a;as,2a=18ya= 9.Ya que b2 =a2- c2 b2 =81 - 36? b2 =45 b =3j5 el eje pri ncipalesparaleloal eje x; de aqu,una ecuacin de laelipse es de laforma de (13).Ya que (h,k) es el punto (2,2), a=9yb=3YS,la ecuacin que se busca es (x + 2f(y - 2)2 81+45= 1 Lagrfica deestaelipse semuestra enlaFigura10. www.LibrosZ.com www.LibrosZ.comwww.Matematica1.comwww.FisicaA.com764 SECCNESCNICASY COORDENADASPOLARES T FI GURA11 La.ipse se puede aplicar en la astronoma puesto que las rbitas de planeta.,y h , lites g1elipses. Tambin se aplican a la construccin de engranes para mquitt.l \l arcose lospuentes algunas vecestienenforma de elipse. Ex:e una propiedad reflectiva de la elipse que es anloga ala que se mue\1111p la par:>ola de la Figura 16 de la Seccin 10.1. Para observar la elipse consulte la1 l1 11, dtde lalnea PTes larecta tangente en Pala grfica de la elipse que tic m111en F Elngulo entre el segmento de recta FP y la tangente PT es et,y d''" entresegmento delarecta F' P ylatangente PT es (3.En elejercicio 31Sl'plt l lectoremuest re que et=(3 . Por lo tanto, un rayo de luz que provenga de unaIHr emiso en un foco de un espejo elptico que choca comra el espejo se lohu de unlnea que pasa por los otros focos.Esta propiedad de las elipses se e111ph. las aslamadas galeras del susurro, donde las bvedas tienen secciones 1111que searcos de elipses con focos comunes.Una persona ubicada en unfoco 1pll escuc.r el susurro de otra persona localizada en otro foco F ' , ya que lasras qtemite la persona que musita algo en F' chocan contra labveda y so11ttll das p1sta hasta el oyente que est en F.u famoso ejemplo de una galera tkl1 rro st1JCuentrabajo lacpula del Capitolio en Washington,D.C. Otro puedttallar en elTabernculo Mormn enSaltLake City. EJERCICIOg0.2 En los ejercicios ,16, obtenga el centro,vrtices, focos y extremo! eje menor de la elipse que se indica.Trazar/alfva ymostrar los focos. l.4x2 + 9y2 = 3.25x2 + 4y2 :00 S.2x2 + 3y2 = 6.64x2 + y2 = 7.16x2 + 4y2 = 2.4x2 + 9y2 = 4 4.16x2 + 9y2 =144 2+ 4y2= 9 9.6x2 + 9y2- 24x- 54y+ 51=O 10.9x2+4y2- 18x+ 16y- Il= 0 11.5x2 + 3y2 - 3y- 12= O 12.2x2 + 2y2- 2x + 18y + 33= O 13.4x2 + 4y2 + 20x- 32y + 89= O 14.3x2 + 4y2- 30x+ 16y + 100 =O 15.3x2 + 5y2- 6x - 12= O 16.2x3 + 3.l - 4x+ 12y+ 2 =O 17 y18.determine si la grfica de tdn dada es una elipse, elipse-punto o bien .. y2- 8x + 2y + 5 =O 13y2+ 8x - 6y-'- 20=O t/l'rcicios 19 a 28,obtenga una ecuacin de que tiene las propiedades que se indican lagrfica respectiva. Vttliccen(-i, 0)y( L 0)yunfocoen . 0). lu.:us en (- 5,0) y (5,0) y para la cual la cons 1111tt' mencionada en laDefinicin10.2.1es JI (0,3) y (0,- 3) y para la cualla cons t lllll' que se menciona en la Definicin10.2.1 11\3. t1111ro en el origen, sus focos sobre eleje x, 11 hlllgitud del eje mayor igual a tres vecesla J,lcje menor y pasapor elpunto (3,3). \ lttil:cs en (2,O)y (-2, O)y pasa por elpunto 11, 1n3). ---\1 r1lees en (0,5) y (0,- 5) y pasa por el punto i \ 5). t1'11110en (4,-2), un vrtice en (9,-2) y un lo11 u en(0,-2). 1 11locoen (2,- 3), un vrtice en (2,4) ycen ltoll.'lleleje x. , ..en (- 1,- 1)y (- 1,7)y eleje semima 111 l'OI1longitudde 8 unidades. en (2,3) y (2,-7) y la longitud del eje ullmcnores dosterciosdelalongituddel lhll'l1gauna ecuacinde larecta tangetite a l'lipse 4x2 + 9y2 = 72 enel punto (3,2). }muestrequeu naecuaci9':1dela Inelipsex2/ a2 +y2/b2 =1 enelpun o (\o, y1)enlaelipseresultaserx0xl a2 + "1'//)2=l. n 1.1 Figura 1 1 demuest re que a={3 . (Suge-nf'la:Elijalosejescoordenados demodo el centro de la elipse est en el origen y los delaelipsese extiendanalolargode ejescoordenados.Luegoutiliceel Teo 111.1 1.6.8.) l111l1bita de la Tierra alrededor del Sol tiene ma de elipse con el Sol enunfoco y un eje 10.2Laelipse765 semimayordelongitudde92.9millonesde millns. Sila distancia entre losfocoses3.16 millones de millas, determine (a)qu tanto se acerca la Tierra al Sol; y (b)la mayor dislan-ciaposible entre la Tierra y elSol. 33.Eltechoenunvestbulode10m deancho tienelaformadeunase;11ielipsc;adems, tiene 9 m de altura en el centro y 6 m de alto enlas paredes laterales.Obtenga laaltura del techo a2m de cualquierpared . 34.Elarco de unpuente tiene laforma de semi elipse que tiene un tramo horizontal de 40 m y una altura de 16m en su centro. Qu altura tiene elarco 9 m a la derecha o a la izquierda delcentro? 35.Suponga quela rbita de unplanetatiene la formadeuna elipseconunejemayor cuya longitud es 500 millones de kilmetros.Si la di stanciaentrelosfocos es400millonesde kilmetros, obtenga una ecuacin de la rbita. 36.Unbalntiene12plg delongitudy una sec-cinplana que contiene una costura esuna elipse con una longitud del eje menor es 7 plg. Calcule el volumen delbaln silapiel estan rgidaquetodaseccintransversalesun cuadrado. 37.Resuelva elejercicio 36 si toda seccin trans-versalesunacircunferencia. 38.LaDefinicin10.2.1daunprocedimiento para trazar la grfica de una elipse. apli carelmtodoalaelipse4x2 +9y2 =36, determine primero los puntos de imerseccin conlos ejes coordenados.Obtenga losfocos sobre el eje x utilizando un comps con su cen tro enuno delospuntos de imerseccincon el eje yy unradio de 3.Luego clave una chin che en cada foco.Tome una cuerda de longi tud 6, que es 2a,y ate cada uno delos extre-mos a una chinche.Apoye un lpiz contra la cuerda yhagaquese tense.Desli ceellpiz manteniendotenalacuerdaytraceuna curva.Esta curva es una elipse puesto que el lpi z traza un conjunto de puntos, la suma de cuyas distancias desde dos puntos de ten sineslaconstant e 6. 39.Para laelipse cuya ecuacines (x - h)2 (y - k)2 - --+---= 1 al,2 www.LibrosZ.com www.LibrosZ.comwww.Matematica1.comwww.FisicaA.com106SI::CCIONESCNICASY COORDENADASPOLARES donde a>IJ>O,obtenga las coordenadas delosfocos entrminos de11.k, a y b. o140 y 41 per1enecen a la Seccin Sup/e-111'11/arlu6. 7. 111.Unaplaca tiene laforma de la regin limitada 11111 ltelipse quetieneunsemiejemayor de l1w de longitud y un semieje menor de 2pie 111' longitud. Silaplaca sesumergeverticai- enun tanque con agua hasta que el eje lncnur quede enla superficie del agua, calcule Int ucrzaproducida en un lado de lapo-rti "uncrgida delaplaca. 11'il1t1 placa delejercicio 40se sumergehasta que el centro quede 3 pie debajo de la super-t !ele delag\.1a, determine la fuerza produci da pnr la presin del agua en unlado de la placa. 1.1ejemenor sigue siendohori zont al. U,1nvi l'l iondo los pasos que sirvieron para obte-II CI' la ecuacin (8) a partir de la ( 1), dernues-tl'c que si P( x, y) es un punto cualquiera cuyas sat isfacen(8),entonces lfPI+ jF'PI = 2a Donde F y F' sonlosfocos de la elipse enla ligura 3.(Sugerencia:Para demostrar la des-10.3LAHIPRBOLA igualdad(9)utilice el hecho de queu O y queparatodopumo (x, y) qlll'" ' ' '1 (8), - asxsa. Para probar la dc\11'111111 (lO) primero muestre que ,j(X+c)'11 e.1' O-rO XSUStiiUyenc 0y por { 1 -y empleando (7). ) 43.Enll}gardeinvertirlospasosQUl'"' 1 11para obtener (8) a partir de la CCUe > Oy cp11 1 wdo punto (x, y) que satisface (8).11a. Cuando el plano cortante de un cono es paralelo a dos generatrices, dicho plauc 11 ambos mantos delcono,y la seccin cnica que se obtiene esuna hiprbol.t , l1 semuestra enlaFigural. 10.3. 1DEFINI CIN 1 \ Una hiprbolaelconjunto de puntOs enunplano demanera que el \' alo1 luto de la diferencia de sus distancias dos puntos fijos sea constante. 1 ,. puntosfijosse denominanfocos. Para obtener una ecuacin el e una se comienza como se hi zo co11l111 haciendo que la distancia nolos focos sea 2c,donde e> O. eligeal eje x comolarectaquepasapor losfocosF y F',y setomaal oript' ll elpunto medio delsegmentoFF'.Consulte laFigura 2.Lospuntos (e,0)'1 son los focos F y F', respectivamente. Sea 2ala constante de la cual seh!to 111 '' en laDefinicin10.3.1.EnlaFigura 2,elpunto P(x, y) representa cualqllll t 1 toen la hiprbola.J!ntonces de laDefinicin10.3.1, setiene IIFPI-IF'PII = 2a 10.3Lahiprbola767 I'C1. y ) !'ara determinarlarelacin que existe entre a y e, seusa elhecho de que.la suma de las longitudes de dos lados cualesqui era deuntringulo esmayor que lalongitud del !creer ladoy se escribenlasdos desigualdades. IF'FI+ IFPI >IF'PIIF'FI + IF'PI >IFPI IQI.> IPPI-IFPIIPFI >IFPI- IF'PI Usando las barras de valor absoluto, estas dos desigualdades pueden escribirse como 1.1 desigualdad IF'FI >IIFPI- F' P1 Yaque IF'Fl=2cyII FP- IF'PII2a,tenemos 2c>2a e>a a,se puedehacer b2=c2 - a 2 Al susti tuirde (4)en(3)se obtiene x2y2 - - -= 1 a 2b2 Se ha demostrado que las coordenadas (x, y) de cualquier punto P en la hiprlmht facen laecuacin (5).Para probar que (5) es una ecuacin de lahiprbola, demostrar asimismo que cualquierpumo Pcuyas coordenadas (x,y) satislutllh est en lahiprbola. Se pide allector efecte esta operacin en elejercicio 41 . 1 1 ceclimiento es anlogo al que se indic en la Seccin 10.2 para la elipse, como d11tr en los ejercicios 42 y 43 de dicha seccin. Esta explicacin nos conduce al "Mili teorema. ). 3. 2TEOREMA Si 2a es la constante que se mencion enla Definicin 10.3.1y una hiprbol111 susfocos en(e,O)y(-e, 0), entoncessi b2 =c2 -a\una ecuacin de lah bola es x2y 2 ? - b2 = Lagrfica de lahiprboladel Teorema10.3.2 se muest raenlaFigura 3.1\11nuacin se indica laforma enque se obtiene esta grfica.Dela ecuacin seoh que la grficaes simtrica con respecto alos ejes x y y. Como sucede conlal'l lp la recta que pasa por los focos se le ll ama ej e principal de lahiprbola.As,p111 11 hiprbola,eleje x eselprincipal.Los puntos donde la grfica corta aleje p1111 se denominan vrti ces;y elpunto que S5!encuentra a la mitad entre los vrtice' 1 el nombre de centro de la hiprbola.Para esta hiprbola, los vrtices estn c111 1 yV ' (- a,0)y el centro est en elorigen.El segmentoV' V del eje1110.3Lahiprbola769 y y FI GURA 4 ,jc transverso de la hiprbola y su longitud es 2a unidades; as, a unidades es la longi-tuddel semiejetransverso. Al sustituir x por O en(6) se obtiene y2 =- b2,queno tiene soluciones reales.En l'Onsecuencia,lahiprbolano corta al eje y.Sinembargo, el segmento derectaque 1icne extremos enlos puntos (0,- b) y(0,b) se denomina eje conjugado de lahi pr-bola y su lo ngitud es 2b unidades. As, bes el nmero de uni dades que tiene de longi-tudel semiejeconjugado. Resolviendo (6)para yentrminosde xse obtiene (7) loicconcluye de {7) queilxl< a,no hay valor real de y . Por lo tanto,no hay puntos (x, y) en la hiprbola para los cuales - a< x< a.Se observa asimismo de (7) que si 1\'1>a, entonces ytiene dos valoresreales. As,lahiprbolatiene dos ramas.Una comiene elvrticeV(a,O)y se exti ende indefinidamente hacia la derecha de V.La otra 1amificacincontieneelvrt iceV' (- a,0)yseextiendeindefinidamentehaci ala 11quierda deV' . Como en elcaso de la elipse, ya que la hiprbolatiene centro, se denomina cnica tcntral. EJEMPLO1Dada lahiprbola. obtener los vrtices,focos ylongit udesde los ej estransverso yconjugado. Trazarla hiprbo laymostra rlosfocos. SolucinLa ecuacin dada esde laforma de (6);as a=3yb=4.Por lotamo, losvrtices sonlospuntosV(J,O)yV' ( - 3,0).Elnmero deunidades delongit ud del eje conjugado es 2b u 8. Ya que de (5) b2 =c2 - a2 tenemos16=c2 - 9; as, e= 5.En consecuencia, los focos estn n F(5,O)yF'(-5, 0).La grfica de la hiprbola y susfocosse muestranenlafigura 4. www.LibrosZ.com www.LibrosZ.comwww.Matematica1.comwww.FisicaA.com770 SECCIONESCONICAS Y COORDENADASPOLARES DelaDefinicin10.3. 1 sededucequesi Pes cualquierpunroen estahi wll'' II FPI- IF'PII=6. EJEMPLOzDeterminaruna ecuacinde lahiprbola que tiene unfob parauna elipse.Es decir,para una hiprbola esposible tener a b, como para la hiprbola del Ejemplo 2, donde a_,J21 yb=2.Sipara una hipr-bola,a=b,emonces se dice que lahiprbola esequiltera. Ahora demostraremos que una hiprbola tiene asntotas y se mostrar laforma en que sepueden obtener las ecuaciones de estas asntotas.Enlas secciones 2.4 y2.5 se definieronlas asntotas verticalesyhorizontales de la grfica deunafuncin.Enla Seccin 4. 7 tambin se anali zaron las asntotas oblicuas de unafuncinracional.Lo que se da a continuacin es una definicin ms general, de la cual las definiciones ante-rioressoncasos especiales. .3DEFINICIN La grficadelaecuacin y== j(x) tiene alare O,j(x) '/- IIIX+ b x- + oo siempre que x>M. (ii)lm[f(x)- (mx+b)]= O,ypara algn nmero M< O,j(x) i: mx +b .\- -oo ysiempre que xO existe unnmeroN>O talque six>NentoncesO O; (iii)una hiprbola siAy e tienen signos opuestos, es decir,siAC 10.4Rotacindeejes781 Con las identidades de seno ycoseno ele diferencias, estas dos ecuaciones se transfor-man en x=r cosOcosa +r sen Oen ayy- r sen Osen a- r cosO sen a "iustituyendo de las ecuaciones (!) enlasecuaciones anterioresseobtiene x=x cosa+y sen ayy=- x sen a+y cosa (2) lasecuaciones (2)para determinar xy yen funcin de \Y y(vease eleJercJcto26),se obtiene x= x cosa- y sen ayy= x sen a+y cosa_ (3) Pstos resultados se enuncianformalmente mediante el siguiente teorema. 1TEOREMA Si (x, Y) un P con rcsp:cto aun conjunto de ejes,y(x , y ) esla representacwn de PdespLes dequelos eJeshangiradoun ngulo aentonces .- 1.' (t)x=xcosa - ysenp- yy= xsena+ ycosa xeos a+y sen ayy= -xscn a:+ ycos a EJEMPLO1Dada laecuacin xy=1 y www.LibrosZ.com www.LibrosZ.comwww.Matematica1.comwww.FisicaA.com782 :,1, !'IONI 't ( t1NIIII'tV 1POLARES (a)Obtener unu ecuacin de la grfica respecto alos ejes x y y, luego de una 1 Olllll de los 111lsn tOsen un ngulo que mide Y.. 1r,radianes.(b) Trazar la grfica ylll los dos conjuntos de ejes. Solucin (a)Tomando a= Y..1ren el Teoremal0.4. l (ii),obtenemos, 111- 1-x= .fix- .fiyyy = .fix+ .fiy De la sustitucin de estas expresiones de xy yenla ecuacin xy= 1,oblt'll"' 1 x2yz - - - = 1 22 (b}sta esuna ecuacin de una hiprbola equiltera cuyas asntotas sonbist'l lll de los cuadrantes en el sistema xy.Por lo tanto, la grfica de la ecuacin\ 1' esuna hiprbola equiltera, situada en el primer y tercer cuadrantes, cuyuN11 1 totas sonlos ejes xy y(vase la Figura 2). En la Seccin 10.3 demostramos que cuando B=O y Ay e no son ult grficade la ecuacin general de segundo grado con dos incgnitas, Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F= O esuna cnica, obien,una cnjca degenerada.Ahora demostraremos que :.t11entonces cualquier ecuacin de la forma (4) se puede transformar, con unaICIIII1 de ejes adecuada,enuna ecuacin de laforma Ax2 + Cy2 + i5x + Ey + F =o donde A y e no son ambas cero.1 Siel sistema xy gira un ngulo de aradianes, entonces para obtener una Cllll l delagrficade(4)conrespectoalsistemaxy,reemplazaremosxpor Ji sen a, y ypor :X sen a+ y cosa. Obtenemos as Ax2 + Bxy + Cy2 + i5x + Ey + F = o/ donde A =A cos2 a + B sen acosa + C sen2 a B =- 2A sen acosa + B(cos2 a- sen2 a) + 2C sen acosa C =Asen2 a - Bsen acosa+ C cos2 a Deseamos encontrar una a tal que la rotacin transforme a (4) enunahlaforma (5).Estableciendo que la expresin de B seaiguala cero se obticnt'. B(cos2 o: - sen2 a)+ (C - 11)(2 sen o:cosa)= O 10.4Rotacindeejes obien,enforma equi valente,conidentidades trigonomtricas, B cos 2a+(e - A) sen 2a=O Como B * O,estonos da A-e cot2a= --8-783 Hemos demostrado que una rotacin de ejes enun ngulo que satisfaga esta ecua-cin, transformar auna ecuacin de la forma (4), con B *O, en una de la forma (5). Ahora se desea demostrar que Aye en(5) no son ambas cero.Para hacerlo, ntese que (6) se obtiene de (4) girando los ejes en un ngulo a. Adems (4) puede obtenerse de (6) girando los ejes en sentidQ contrario un ngulo -a. Si Ay e en (6) son ambas cero,entonceslas sustituciones x=xcos a+ y sen ayy =- xsen a+ y cos a en(6)daranpor resultadola ecuacin D(x cos a + y sen a) + E( - x sen a + y cos a) + F = O lacual es una ecuaciqde primer gradoy por tanto diferente de(4),ya que hemos supuesto que almenosiB *O.Por lotanto, se ha demostrado elsiguiente teorema. .2TEOREMA 1 Si B*O, la ecuacin Ax2 +Bxy+ ey2 +Dx+Ey+ F""Ose puede transfor-marenlaecuacin Ax2 +ey2 +Dx+Ey+F=O,dondeAyC noson linbas cero,por una rotacin de ejes enun ngulo de medida aradianespara el al ,.,___(A- e) cu"-U- B. De los teoremas 10.4.2 y 10.3.6 concluimos que la grfica de una ecuacin de la forma de (4) es una cnica ouna cnica degenerada.Para determinar qu tipo de cnica es la grfica de una cierta ecuacin, se anali zala expresin82 - 4Ae. Se usa elhecho de que A, f! yC de la ecuacin (4)yA, 1Jy e de la (6)satisfacen larelacin B2 - 4A e = 82 - 4A e(7) lo que se puede demostrar sustituyendo las expresiones de A, B ye que se escribieron despus de la ecuacin (6), en el lado derecho de (7). Esto se deja a! lector como ejerci-cio(vase el ejercicio 25). La expresin82 - 4Ae se llama discriminante de la ecuacin (4).La ecuacin(7) expresa que el discriminante de la ecuacin cuadrtica general en dos variables es inva-riante ante una rotacin de ejes.Sielngulo de rotacin se escoge de talforma que B=O, entonces(7)se transforma en B2- 4Ae =- 4Ae(8) www.LibrosZ.com www.LibrosZ.comwww.Matematica1.comwww.FisicaA.comSLCCIONt::S CNI CASY COORDENADASPOLARES Del Teorema10.3.6 concluimos que sila grfica de(5)no es degenerada,eni OIH es una parbola si A e =O,una elipse si A e >O, yuna hiprbola siA e O yO :5O O yb>O tienenalejeY rrcomo eje de simetra. Siuncaracol tienelaecuacin r=a - b cos 8a>O yb>O tal curva apunta en la direccin derr,ysitiene la ecuacin r=a- b sen ()a>O yb>O apunta enla direccindein. EJEMPLO3Trazar lagrfica de cadauno de los sigui entes caracoles: (a)r=3+2 sen O Solucin (b) r=2+2 cos O(e)r=2- sen O (a)La ecuacin r=3+ 2 sen() es de la forma de r=a+ b sen 8 con a- 'V 1 2.Ya que al b=3/2y1O)amedidaque O var a ele() 11 ' 46.Calcule el rea de la interseccin tJ 111 1 nes encerradas por las grficas de las ti' cionesr= acose yr=a(l -

47.Demuestre que la distancia entreti tosP1(r1,01)yP2(r2,82)es ,.)rf+ ri - 2r1r2 cos(02 - 81 ). 48.Halle los puntos de interseccin de 111cas de las ecuaciones r=tan O yr 49.Obtenga una ecuacin polar de la d l i lllll ca concentroen (r0,00)y radio d\'11 11des.(Sugerencia: Apliquelaleyde " " nos aJ!ringulo que tiene vrtices r 11 , (r0,Oo)Y (r, 0)). 50.Calcule elrea encerradapor un"' "' curvar=a sen nO,dondenes1111 positivo. En los ejercicios 51a 54 la ecuacin es fu / cnica que liene un joco en el polo. En cutf, llftrtnine la excentricidad; (b)identifique (e) formule una ecuacin de la direc-a/ joco en el polo; (d)trace 2 senO 4 1 3 coso 1 5 52.r = 33O +sen 4 54.,.=- -::---::-3-2 coso ricios 55 a58,obtenga una ecuacin 111110 que satisfaga las condiciones dadas; lrJflca correspondiente. el polo; vrtices en (2,1r)y(4, 1r). ruco en el polo; un vrtice en (6,V2 ;r); e= loco en el polo; un vrtice en (3,?r 1r); e= rrda r sen O =6 es la directriz corres pon-e alfoco situado enelpolo y e=s. 1/rrclcios 59 y60,simplifique la ecucin por medio de una rotacin yuna tras/a-t/1'\.Trace la grfica ymuestre los tres con-Jxy - y2 - 6y =O 1 Jxy+ y2 - 6x + 12y = O 1'/rcicios 61 y62, (a)determine la excentri-''"focos ylas direclrices de la.cnica cen-/ mce la grfica mostrando la cnica,los ltM directrices. 9r =225 leelvolumen del slido de revolucin 'e genera si la regin limitada por la hipr-x 2/a2 - y2/ b2 = 1 yla recta x= 2a se girar alrededor deleje y. est requelahiprbolax2 - y2 =4 m:Josmismosfocosquelaelipsex2 + = 9. 'atlite viaja alrededor de la Tierra en una hitaelptica que tiene ala Tierra como un y una excentricidad deV! .La distancia cercana que el satlite queda de la Tierra 100 mi. Calcule la distancia ms lejana que atlite se separa de la Tierra. rbita del planeta Mercurio alrededor del tiene forma de elipse con el Sol en un foco, Ejerciciosderop111111 839 un eje semi mayor con longitud dede millas y una excentricidad de 0.20(l. 1h' ll'l mine(a)aqu distancia se acercaMct cutlu del Sol y (b) la mayor distancia posible cnlt c Mercurio yelSol. 67.Un cometa se desplaza en una rbita parab Ji ca al rededor del Sol en el foco F de la par bola.Sehaceunaobservacindelcomclu cuando est en elpunto P1 a.15 mill onesd1 millas del Sol y una segunda observacin dc.:l cometa cuando est en el punto P2,a5 millo nes de millas del Sol.Los segmentos de rec111 FP1 yFP2 sonperpendiculares.Concslu informacin hay dos posibles rbitas para el cometa. Determine a qu distancia del Sol acerca elcometa para cada rbita. 68.El arco de un puente t iene forma de semielipNl' conuna amplitud horizontalde 40 my111111altura de 16m en su centro. A qu al tu m CNII\ el arco 9 maladerechaoala izquicrdu(! l centro? 69.Obtengauna ecuacinpolar de laparholn que contiene el punto (2,V! 1r), cuyo focoen el polo y cuyo vnice est en la proiUII Jlll cin deleje polar. 70.Ladistancia entre las dos directri cesde111111elipse es tres veces la distancia entre tos fm:m, determinelaexcentricidad. 71.Los puntos Ay Bestna1 000 mde disttlll cia y se determina por el sonido de una ex plo sin escuchada en estos puntos en difc1Clllt'\ momentos,que la localidad de la cxplo,il\11 est 600 m ms cerca de Aque de B. Dcmlll'' tre que la localidad de la explosin se 11r auna curva particular y formule su ecuac11\ 1172.Una cuerdafocaldeuncono esdividida''11 dos segmentos por el foco. Demuestre qul' 111suma de los recprocos de lasde dossegmentoseslamisma,indcpcndi clll tmente de la cuerda que se tome. (Su.:er'('ll('/u, Util ice coordenadas polares.) 73.Una cuerda focal de un cono es un segmc11 111de recta que pasa por un foco y tiene su'c\111 mos en la cnica. Demuestre que si do\ l'IH r das focales de una parbola son perpcndllll lares,las umadelos d1 "' longitudesesunaconstante.(Sugennt'/u Emplee coordenadas polares.) www.LibrosZ.com www.LibrosZ.comwww.Matematica1.comwww.FisicaA.com