10. Übung – Algorithmen I - KIT – ITI Algorithmik IIalgo2.iti.kit.edu/documents/algo1-2014/uebung_10.pdf · 8 Graphrepräsentation 1736 fragt L. Euler die folgende touristische

1 Julian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag10. Übung – Algorithmen I

Fakultät für InformatikInstitut für Theoretische Informatik

INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, PROF. SANDERS

10. Übung – Algorithmen IJulian Arz, Timo Bingmann, Sebastian Schlag

KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg undnationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu

Übersicht



Wiederholung Vorlesung

Vorlesung: Beschleunigungstechniken für Routenplanung

Graphentheorie

Eulersche und Hamiltonsche Kreise

Bäume

Graphpartitionierung



Wiederholung der Vorlesung

Sanders: Algorithmen IJuly 8, 2013 295

8 Graphrepräsentation

� 1736 fragt L. Euler die folgende

“touristische” Frage:

� Straßen- oder Computernetzwerke

� Zugverbindungen (Raum und Zeit)

� Soziale Netzwerke (Freundschafts-, Zitier-, Empfehlungs-,. . . )

� Aufgabenabhängigkeiten scheduling Probleme

� Werte und arithmetische Operationen Compilerbau

� . . .


9 Graphtraversierung

Ausgangspunkt oder Baustein fast jedes nichtrivialen Graphenalgorithmus


BFS←→ DFS

pro BFS:

� nichtrekursiv

� keine Vorwärtskanten

� kürzeste Wege, „Umgebung“ forward

backward

cross

stree

pro DFS

� keine explizite TODO-Datenstruktur (Rekursionsstapel)

� Grundlage vieler Algorithmen


10 Kürzeste Wege

Eingabe:Graph G= (V,E)

Kostenfunktion/Kantengewicht c : E→ RAnfangsknoten s.

Ausgabe:für alle v∈V

Länge µ(v) des kürzesten Pfades von snach v,

µ(v) := min{c(p) : p ist Pfad von snach v}mit c(〈e1, . . . ,ek〉) := ∑k

i=1c(ei).

Oft wollen wir auch „geeignete“ Repräsentation der kürzesten Pfade.

3.0 km


Edsger Wybe Dijkstra 1930–2002

1972 ACM Turingpreis

THE: das erste Mulitasking-OS

Semaphor

Selbst-stabilisierende Systeme

GOTO Statement Considered Harmful


Allgemeine Definitionen

Wie bei BFS benutzen wir zwei Knotenarrays:

� d[v] = aktuelle (vorläufige) Distanz von snach v

Invariante: d[v]≥ µ(v)

� parent[v] = Vorgänger von v

auf dem (vorläufigen) kürzesten Pfad von snach v

Invariante: dieser Pfad bezeugt d[v]

Initialisierung:d[s] = 0, parent[s] = s

d[v] = ∞, parent[v] =⊥

Kante

Kante

Kante

v

s

d[v]pare

ntpa

rent

pare

nt


Kante (u,v) relaxieren

falls d[u]+c(u,v)< d[v]

vielleicht d[v] = ∞setze d[v] := d[u]+c(u,v) und parent[v] := u

Invarianten bleiben erhalten!

Beobachtung:d[v] Kann sich mehrmals ändern!

u

u′

v

s

d[u′]d[u]

d[u]+c(u,v)

d[u′]+c(u′,v)

parent


Dijkstra’s Algorithmus: Pseudocode

initialize d, parent

all nodes are non-scanned

while ∃ non-scanned node u with d[u]< ∞u := non-scanned node v with minimal d[v]

relax all edges (u,v) out of u

u is scanned now

Behauptung:Am Ende definiert d die optimalen Entfernungen

und parent die zugehörigen Wege


Beispielcb

d e f

s

cb

d e f

s

2

19

3 2

8

70

50

102

4

a5

10

c

d e f

s

b

f

s

b

ed

c

c

fed

c

d f

b

e

2

19

3 2

8

70

50

102

4

a5

6 6

7

2

19

3 2

8

70

50

102

4

a5

6 6

7

s

b

2

19

3 2

8

70

50

102

4

a5

6 6

7

s1

9

3 2

8

70

50

102

4

a

10

2

2

19

3 2

8

70

50

102

4

a5

10 6

7


Korrektheit Annahme: alle Kosten nicht negativ!

Wir zeigen: ∀v∈V :

� v erreichbar =⇒ v wird irgendwann gescannt

� v gescannt =⇒ µ(v) = d[v]


Implementierung?

initialize d, parent

all nodes are non-scanned

while ∃ non-scanned node u with d[u]< ∞u := non-scanned node v with minimal d[v]

relax all edges (u,v) out of u

u is scanned now

Wichtigste Operation: finde u


Prioritätsliste

Wir speichern ungescannte erreichte Knoten in

addressierbarer Prioritätsliste Q.

Schlüssel ist d[v].

Knoten speichern handles. oder gleich items


Function Dijkstra(s : NodeId) : NodeArray×NodeArray

d = {∞, . . . ,∞}; parent[s]:= s; d[s] := 0; Q.insert(s) // O(n)

while Q 6= /0 dou := Q.deleteMin // ≤ n×foreach edge e= (u,v) ∈ E do // ≤m×

if d[u]+c(e)< d[v] then // ≤m×d[v]:= d[u]+c(e) // ≤m×parent[v] := u // ≤m×if v∈Q then Q.decreaseKey(v) // ≤m×elseQ.insert(v) // ≤ n×

return (d,parent)

Insgesamt

TDijkstra = O(m·TdecreaseKey(n)+n· (TdeleteMin(n)+Tinsert(n)))


Laufzeit

Bessere Implementierung mit Binary-Heapprioritätslisten:

� insert O(logn)

� decreaseKey O(logn)

� deleteMin O(logn)


TDijkstraBHeap = O(m· logn+n· (logn+1))

= O((m+n) logn)


Laufzeit

(Noch) besser mit Fibonacci-Heapprioritätslisten:

� insert O(1)

� decreaseKey O(1) (amortisiert)

� deleteMin O(logn) (amortisiert)


TDijkstraFib = O(m·1+n· (logn+1))

= O(m+nlogn)

Aber: konstante Faktoren in O(·) sind hier größer!



Vorlesung: Beschleunigungstechniken fürRoutenplanung


Mehr zu kürzesten Wege

Viele Arbeiten zu besseren Prioritätslisten O(m+nlog logn)

[Thorup 2004]

Verallgemeinerungen

� Mehrere Zielfunktionen abwägen

� Mehrere Ziele in beliebiger Reihenfolge anfahren siehe auch

Optimierungskapitel

� Mehrere disjunkte Wege

Fast alles schwierig (NP-hart)


Straßennetzwerke

Wir konzentrieren uns auf Straßennetzwerke.

� mehrere nützliche Eigenschaften die sich ausnutzen lassen

� viele reale Anwendungen

� einige Techniken: anwendbar für öffentliche Verkehrsmittel

� die meisten Techniken: unklar wie nützlich sie für weitere Graphtypen sind


Straßennetzwerke

Eigenschaften

� groß, z.B. n=18 000 000 Knoten für Westeuropa

� dünn besetzt, z.B., m= Θ(n) Kanten

� beinahe planar, d.h., wenige Kanten kreuzen sich (Brücken)

� inhärente Hierarchie, schnellste Pfade benutzen wichtige Straßen


10.8 Distanz zu einem Zielknotent

Was machen wir, wenn wir nur die Distanz von szu einem bestimmten

Knoten t wissen wollen?

Trick 0:

ts

Dijkstra hört auf, wenn t aus Q entfernt wird

Spart “im Durchschnitt” Hälfte der Scans

Frage: Wieviel spart es (meist) beim Europa-Navi?


Ideen für Routenplanung

mehr in Algorithmen II, Algorithm Engineering

� Vorwärts + Rückwärtssuche

ts

� Zielgerichtete Suche

ts

� Hierarchien ausnutzen

s t

� Teilabschnitte tabellieren

s z

Meist zentrale Idee: Vorberechnungamortisiert über viele Anfragen


1. Approach

Transit-Node Routing

[with H. Bast and S. Funke]

s t


X XX XBeispiel:Karlsruhe→ Copenhagen


X XX XBeispiel:Karlsruhe→ Berlin


X XX XBeispiel:Karlsruhe→ Vienna


X XX XBeispiel:Karlsruhe→ Munich


X XX XBeispiel:Karlsruhe→ Rome


X XX XBeispiel:Karlsruhe→ Paris


X XX XBeispiel:Karlsruhe→ London


X XX XBeispiel:Karlsruhe→ Brussels


X XX XBeispiel:Karlsruhe→ Copenhagen




X XX XBeispiel:Karlsruhe→ Vienna


X XX XBeispiel:Karlsruhe→ Munich


X XX XBeispiel:Karlsruhe→ Rome


X XX XBeispiel:Karlsruhe→ Paris


X XX XBeispiel:Karlsruhe→ London


X XX XBeispiel:Karlsruhe→ Brussels


Erste Beobachtung

Für langeStrecken:benutzen

nur wenige ‘wichtige’ Zugänge zum Fernverkehrsnetzwerk,

access points

( wir können alle Zugangspunkte vorberechnen

[in Europa: etwa 10 Zugangspunkte pro Knoten im Mittel]








Zweite Beobachtung

Jeder Zugangspunkt ist für mehrere Knoten relevant.

Gesamtmenge aller Zugangspunkte ist klein,

Transitknotenmenge

( wir können alle Abstände zwischen allen Transitknoten speichern)

[in Europa:≈ 10 000 Transitknoten]



Preprocessing:

� Identifiziere Transitknoten T ⊆V

� Berechne |T |× |T | Abstandstabelle

� Für jeden Knoten: identifiziere Zugangsknoten (Abbildung

A : V→ 2T ),

Speichere Abstände

Query (geg. Start sund Ziel t): berechne

dtop(s, t) := min{d(s,u)+d(u,v)+d(v, t) : u∈ A(s),v∈ A(t)}



Lokalitätsfilter :

lokale Fälle ausfiltern ( Spezialbehandlung)

L : V×V→{true, false}

¬L(s, t) impliziert d(s, t) = dtop(s, t)


Beispiel


Experimente� sehr schnelle queries

(4 µs, > 1 000 000 mal schneller als DIJKSTRA)

� Gewinner der 9. DIMACS Implementation Challenge

� erträgliche Vorberechnungszeiten (1:15 h) und

Speicherbedarf (247 bytes/Knoten)

s t


Offene Fragen

� Wie bestimmt man die Transitknoten?

� Wie bestimmt man die Zugangsknoten effizient?

� Wie bestimmt man die Lokalitätsfilter?

� Wie handhabt man lokale Anfragen?


Open Questions

� Wie bestimmt man die transit nodes?

� Wie bestimmt man die access points efficiently?

� Wie bestimmt man die locality filter?

� Wie handhabt man lokale Anfragen?

Antwort:

� Andere Routenplanungstechniken benutzen!



Graphentheorie

Adjazenz- und Inzidenzmatrix



v4 v5

v2 v3

v1

e1 e2

e3

e4 e5e6

e7

A =

0 1 1 0 01 0 1 1 11 1 0 0 10 1 0 0 10 1 1 1 0

H =

1 1 0 0 0 0 01 0 1 1 1 0 00 1 1 0 0 1 00 0 0 1 0 0 10 0 0 0 1 1 1

Adjazenzfelder



1

2

3

4 5

V

E

Adjazenzfelder



1

2

3

4 5

V 1 2 4 7 7 9

E 2 3 5 2 4 5 3 4

Graphen als MatrizenSymmetrie



Ungerichteter Graph→ symmetrische Adjazenzmatrix A = AT

1 2

3

4

0 1 0 11 0 1 00 1 0 01 0 0 0

Graphen als MatrizenDAG



DAGs lassen sich als obere Dreiecksmatrix repräsentieren

3 5

4

1 2

0 0 0 0 00 0 0 0 01 1 0 0 00 0 1 0 11 1 0 0 0

Graphen als MatrizenDAG



DAGs lassen sich als obere Dreiecksmatrix repräsentieren

2 3

1

4 5

0 1 1 0 00 0 0 1 10 0 0 1 10 0 0 0 00 0 0 0 0

Graphen als MatrizenZusammenhangskomponenten



Pro Zusammenhangskomponente ein Block in der Matrix

3 2

54

6

1 0 0 0 0 0 10 0 0 0 1 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 01 0 0 0 0 0

Graphen als MatrizenZusammenhangskomponenten



Pro Zusammenhangskomponente ein Block in der Matrix

1 2

34

5

6 0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 01 0 0 0 0 00 0 0 0 0 10 0 0 0 1 0

Unter- oder Teilgraphen



Definition: Ein Graph G′ = (V ′,E ′) ist ein Untergraph oder Teilgraphvon G = (V ,E), geschrieben G′ ⊆ G, wenn V ′ ⊆ V , E ′ ⊆ E und für alle{v1, v2} ∈ E ′ sowohl v1 ∈ V ′ als auch v2 ∈ V ′.

Definition: Ist G = (V ,E) ein Graph und V ′ ⊆ V eine Knotenmenge,dann heißt der Graph G[V ′] := (V ′,E ′) mitE ′ = {{v1, v2} ∈ E | v1, v2 ∈ V ′} der durch V ′ knoten-induzierteTeilgraph von G.

Definition: Ist G = (V ,E) ein Graph und E ′ ⊆ E eine Kantenmenge,dann heißt der Graph G[E ′] := (V ′,E ′) mit V ′ =

⋃{v1,v2}∈E ′

{v1, v2} derdurch E ′ kanten-induzierte Teilgraph von G.

Wege, Kreise und Zusammenhang



Ist G = (V ,E) ein ungerichteter Graph, dannheißt eine Folge (v0,e1, v1,e2, . . . , vn−1,en, vn) mit vi ∈ V und ei ∈ Eeine Kantenfolge, ein Kantenweg oder nur Weg (path), wenn

ei = {vi−1, vi} für i = 1, . . . ,n .

Alternativ, kann man in Graphen ohne Mehrfachkanten eineKantenfolge auch durch die Knotenspur (v0, . . . , vn) beschreiben.heißt eine Kantenfolge ein Kantenpfad oder nur Pfad (simple path),wenn alle besuchten Knoten verschieden sind.heißen zwei Knoten x , y ∈ V verbindbar (connected), wenn eseinen Weg mit x = v0 und y = vn gibt.heißt der Graph G zusammenhängend (connected), wenn jedesPaar (x , y) ∈ V × V verbindbar ist.

Wege, Kreise und Zusammenhang



Ist G = (V ,E) ein ungerichteter Graph, dannheißt ein Kantenfolge (v0,e1, v1,e2, . . . , vn−1,en, vn) ein Kantenkreisoder Kantenzyklus (cycle), wenn v0 = vn,ein Kantenkreis einfach (simple), wenn alle besuchten Knotenaußer v0 und vn verschieden sind, undder Graph G kreisfrei, kreislos oder zykelfrei (cycle free), wenn Gkeinen Kantenkreis enthält.




Ein Kantenkreis heißt Eulersch,wenn er alle Kanten desGraphen genau einmal enthält.

Ein Kantenkreis heißtHamiltonsch, wenn eralle Knoten des Graphengenau einmal enthält (Beginnund Ende einmal gezählt).

Ein Graph heißt Eulersch/Hamiltonsch, wenn er einenEulerschen/Hamiltonschen Kreis enthält.




Ein Kantenkreis heißt Eulersch,wenn er alle Kanten desGraphen genau einmal enthält.

Ein Kantenkreis heißtHamiltonsch, wenn eralle Knoten des Graphengenau einmal enthält (Beginnund Ende einmal gezählt).

Ein Graph heißt Eulersch/Hamiltonsch, wenn er einenEulerschen/Hamiltonschen Kreis enthält.

Satz von Euler (Graphen)



Satz: Ein Graph G = (V ,E) mit E 6= ∅ ist genau dann Eulersch, wennG zusammenhängend ist und alle Knoten geraden Knotengrad haben.





Beweis: „=⇒“Klar, denn G muss zusammenhängend sein und beim Passieren einesKnoten wird dieser durch eine Kante betreten und durch eine andereverlassen.Da jede Kante genau einmal verwendet wird, muss der Knotengrad allerKnoten gerade sein.





Beweis: „⇐=“Angenommen der Graph hat diese Eigenschaften, so betrachtet maneine Kantenpfad P = (v0,e1, v1,e2, . . . , vr−1,er , vr ) maximaler Länge, indem also keine Kante zweimal vorkommt.

Behauptung 1: v0 = vr .





Beweis: „⇐=“Angenommen der Graph hat diese Eigenschaften, so betrachtet maneine Kantenpfad P = (v0,e1, v1,e2, . . . , vr−1,er , vr ) maximaler Länge, indem also keine Kante zweimal vorkommt.

Behauptung 1: v0 = vr .

Wäre v0 6= vr , dann ist v0 zu einer ungeraden Anzahl Kanten in Pinzident.Da v0 aber geraden Knotengrad hat, gibt es eine inzidente Kantee /∈ P.Der Pfad P kann mit e verlängert werden, ist also nicht maximal!Widerspruch =⇒ v0 = vr , also ist P ein Kreis.





Beweis: „⇐=“Angenommen der Graph hat diese Eigenschaften, so betrachtet maneine Kantenkreis C = (v0,e1, v1,e2, . . . , vr−1,er , v0) maximaler Länge,in dem also keine Kante zweimal vorkommt.

Behauptung 2: E(C) := {ei | i = 1, . . . , r} = E .







Angenommen E(C) 6= E , so betrachten wir G′ := (V ,E \ E(C)).Da G zusammenhängt, muss G′ und C einen gemeinsamen Knotenw mit degG′(w) > 0 haben.







Angenommen E(C) 6= E , so betrachten wir G′ := (V ,E \ E(C)).Da G zusammenhängt, muss G′ und C einen gemeinsamen Knotenw mit degG′(w) > 0 haben.Alle Knoten in G′ haben geraden Knotengrad, also kann man in G′einen Kreis C′ finden, der durch w geht.







Angenommen E(C) 6= E , so betrachten wir G′ := (V ,E \ E(C)).Da G zusammenhängt, muss G′ und C einen gemeinsamen Knotenw mit degG′(w) > 0 haben.Alle Knoten in G′ haben geraden Knotengrad, also kann man in G′einen Kreis C′ finden, der durch w geht.C kann an Knoten w mit C′ verlängert werden. Widerspruch zurMaximalität =⇒ E(C) = E .

Algorithmus: Eulersche Kreise



Idee: Erweitere einen Kantenpfad solange, bis er Eulersch wird.Überprüfe, ob jeder Knoten geraden Grad hat.Wähle v0 ∈ V beliebig, setze P := (v0).Sei P = (v0,e1, v1, . . . ,ei , vi) der bisher konstruierte Pfad undG′ = (V ,E \ E(P)) der Restgraph.

Ist E = E(P) so ist P ein gesuchter Eulerscher Kreis. Fertig.Sonst wähle eine zum Knoten vi inzident Kante ei+1 ∈ E \ E(P),wobei Kanten bevorzugt werden, die keine Brücken sind.Eine Kante ist keine Brücke, wenn G′ und(V ,E \ {e1, . . . ,ei ,ei+1}) gleich viele Komponenten haben.Verlängere P mit der Kante ei+1 und wiederhole diesen Schnitt.



Bäume

Warum Bäume?



C C C C C C C C

H H H H H H H H

H

HHHHHHHH

H

Oktan

C

C

C C

C

C

C

C

HH H

H H H

H

HH

H H HHHH

H

H

H

ein Isooktan

C

C

C

C

CC C C

H

H H

H

H H H

H

H

H

H

H

HH H

H H H

ein anderes Isooktan

Charakterisierung von Bäumen



Definition: Ein ungerichteter Graph heißt Baum, wenn es von jedemKnoten zu jedem anderen Knoten genau einen Kantenpfad gibt.

Satz: Für einen ungerichteten Graphen G = (V ,E) sind äquivalent:1 G ist ein Baum.2 G ist zusammenhängend und |E | = |V | − 1.3 G ist zusammenhängend und kreislos.4 G ist kreislos und |E | = |V | − 1.5 G ist maximal kreislos: G ist kreislos und jede zusätzliche Kante

zwischen nicht-adjazenten Knoten ergibt einen Kreis.6 G ist minimal zusammenhängend: G ist zusammenhängend und

bei Entfernen einer beliebige Kante zerfällt G.

Sätze zu Bäumen



Lemma: Jeder Baum mit mindestens zwei Konten hat mindestens zweiRandknoten, die man auf Blätter nennt.

Lemma: Löscht man von einem Baum mit n ≥ 2 Knoten ein Blatt, soentsteht ein Baum mit n − 1 Knoten.

Aufspannende Bäumen



Definition: Ist G ein Graph und T ⊆ G ein Untergraph, der alle Knotenvon G enthält und selbst ein Baum ist, dann heißt T ein den Graph Gaufspannender Baum.

Satz: Sei G ein zusammenhängender Graph. Sind T1 und T2 zwei Gaufspannende Bäume und ist e ∈ T1 \ T2, dann gibt es eine Kantef ∈ T2 \ T1, so dass sowohl T1 − e + f als auch T2 − f + e zwei Gaufspannende Bäume sind.

Satz von Cayley



Ist G = (V ,E) ein zusammenhängender ungerichteter Graph, dannheißt ein Untergraph (V ,E ′) mit E ′ ⊆ E ein G aufspannender Baum,wenn dieser ein Baum ist.

Satz von CayleyIm vollständigen Graph Kn gibt es genau nn−2 verschiedene Knaufspannende Bäume.

Beispiel: K4 hat folgende 16 aufspannende Bäume:



GraphpartitionierungEin kleiner Einblick

GraphpartitionierungWas ist Graphpartitionierung?



Geben G und k > 1, teile V in k Blöcke V1,V2, ...Vk so dass:1 alle Mengen disjunkt, und die Vereinigung gerade V ist2 alle Mengen ungefähr gleich groß3 Anzahl der Kanten wird minimiert

Anwendungen



Rn×n 3 Ax = b ∈ Rn

Notation



ungerichter Graph G = (V ,E , c, ω), n = |V |,m = |E |Knotengewichte c : V → R>0, Kantengewichte ω : E → R≥0

Erweiterung auf Mengen1 c(V ′) :=

∑v∈V ′ c(v)

2 ω(E ′) :=∑

e∈E′ ω(e)

Schnittkanten Eij := {{u, v} ∈ E : u ∈ Vi , v ∈ Vj}

Notation





∑v∈V ′ c(v)

2 ω(E ′) :=∑

e∈E′ ω(e)


Notation





∑v∈V ′ c(v), c(Grün) = 11

2 ω(E ′) :=∑

e∈E′ ω(e)


Notation





∑v∈V ′ c(v)

2 ω(E ′) :=∑

e∈E′ ω(e)


Notation





∑v∈V ′ c(v)

2 ω(E ′) :=∑

e∈E′ ω(e), ω(Eij) = 5


GraphpartitionierungFormaler



Geg.: Graph G = (V ,E , c, ω)c : V → R>0ω : E → R≥0k ∈ N, ε ∈ R>0.

Ges.: Blöcke V1, ...,Vk ⊆ V , V =⋃

i Vi und Vi ∩ Vj = ∅ (i 6= j)Balancebedingung: c(Vi) ≤ (1 + ε) c(V )

k + maxv c(v) ∀iKantenschnitt =

∑i<j ω(Eij) minimal

Notation




c :≡ 1, ω :≡ 1, Kantenschnitt = 17Balancebedingung?

Notation




c :≡ 1, ω :≡ 1, Kantenschnitt = 17Balancebedingung? ε = 0.25: 7, 8, 10, 8 ≤ (1+ε)

k c(V ) = 10.31

BeispielFinite Element Methode



Multilevelframework



input graph

match

... ...local improvement

uncontractcontract

outputpartition

part.

initial

Multilevelframework



match

... ...local improvement

uncontractcontract

outputpartition

input graph

partitioning

initial

Breitensuchen!

AbstraktionBreitensuchen



Initial Partitioning



Rekursive Bipartitionierung, z.B. mit BFSfinde Knoten die weit entfernt sind

1 wähle zufälligen Startknoten, iteriere Breitensuchen2 bis Konvergenz

wechselseitige Breitensuchen mit Zuweisung zu Blöcken

BubblingBesser



1: procedure bubbling(Graph G, k ∈ N)2: centers[1..k] : Array of Vertices3: centers = initializeCenters(G, k)4: do5: growRegions(G, centers)6: findNewCenters(G)7: while( !stop-condition )8: return

BubblingBeispiel / Init Centers



BubblingBeispiel / Grow Regions



























Multilevelframework



input graph

...

initial

...

outputpartition

local improvement

partitioning

match

contract uncontract

später

Lokale OptimierungFiducia and Mattheyses - Anwendung von Heaps



Berechne Verbessung füralle v ∈ V

Verbesserungg(v) = dext(v)− dint(v)speichere Verbesserungenin zwei Heaps




Berechne Verbessung füralle v ∈ VVerbesserungg(v) = dext(v)− dint(v)

speichere Verbesserungenin zwei Heaps




Berechne Verbessung füralle v ∈ VVerbesserungg(v) = dext(v)− dint(v)speichere Verbesserungenin zwei Heaps




bewege immer die Knotendie größte Verbesserungliefernjeder Knoten darf nur einmal bewegt werdenVerbessungswerte derNachbarn müssenaktualisiert werden

Schritt: 0Kantenschnitt: 5





Schritt: 0 1Kantenschnitt: 5 4





Schritt: 0 1 2Kantenschnitt: 5 4 6





Schritt: 0 1 2 3Kantenschnitt: 5 4 6 8




stop nachdem bestimmteAnzahl Knoten besuchtwurdenimm besten Kantenschnitt,der Balancebedingung

Schritt: 0 1 2 3Kantenschnitt: 5 4 6 8

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10. Übung – Algorithmen I - KIT – ITI Algorithmik IIalgo2.iti.kit.edu/documents/algo1-2014/uebung_10.pdf · 8 Graphrepräsentation 1736 fragt L. Euler die folgende touristische