10. září 2012VY_32_INOVACE_110208_Reseni_rovnic_s_faktorialy_DUM

10. září 2012 VY_32_INOVACE_110208_Reseni_rovnic_s_faktorialy_DUM

ŘEŠENÍ ŘEŠENÍ ROVNIC ROVNIC

S FAKTORIÁLY S FAKTORIÁLY

Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Daniel Hanzlík.Obchodní akademie a Střední odborná škola logistická, Opava, příspěvková organizace.

Materiál byl vytvořen v rámci projektu OP VK 1.5 – EU peníze středním školám,registrační číslo CZ.1.07/1.5.00/34.0809.

Řešení rovnic s faktoriályJaké druhy rovnic obsahující faktoriály se dají v kombinatorice počítat ?

Odpověď nám dává následující prezentace!obr.1

Faktoriál číslaKe stručnému označení součinu všechpřirozených čísel od 1 do n (n N) jsme zavedli symbol n!, který se čte n faktoriál. Definuje se tedy:

Je účelné dodefinovat taky:

! 1 2 ... ,n n n N

0! 1

obr.2

Řešení rovnic s faktoriályV kombinatorických úlohách (při řešení příkladů na variace,

permutace, kombinace) se dostáváme k pojmu faktoriálu čísla.

Tyto úlohy zpravidla vedou k řešení různých typů rovnic. Při řešení některých rovnic stanovujeme podmínky, pro

které jsou výrazy v rovnicích definovány. Dodržujeme zásady pro počítání s rovnicemi.

O tom, zda kořeny rovnice vyhovují rovnici, se v příkladech, u nichž na začátku nestanovujeme podmínky, přesvědčíme zkouškou.

Řešení rovnic s faktoriály V následujících šesti početních příkladech si

ukážeme základní typy rovnic s faktoriálem čísla a

způsoby jejich řešení. Faktoriál čísla se objevuje

i v logaritmických rovnicích. V této prezentaci je

uvedeno řešení rovnice, která v sobě spojuje

logaritmus i faktoriál čísla.

Příklad 1Řešte rovnici:

7 !14 44 0

5 !x

xx

obr.1

Řešení příkladu 1Stanovíme podmínky, za nichž jsou výrazy v rovnici definovány: 7 5 5; 4; 3;...x x x

Následně řešíme rovnici, upravujeme výraz s faktoriály:( 7)!

14 44 0( 5)!x

xx

( 7).( 6).( 5)! 14 44 0( 5)!

x x x xx

2 7 6 42 14 44 0x x x x

2 2 0x x

Pro výpočet kořenů kvadratické rovnice použijme Viétovy vzorce. Oba kořeny vyhovují podmínce.

1 2 1 2 1 2. 2; 1 2; 1x x x x x x

2; 1K

obr.2

Příklad 2 Řešte rovnici:

1 !

2. 9 31 !

xx

x

obr.1

Řešení příkladu 2Stanovíme podmínky, za nichž jsou výrazy v rovnici definovány:

1 1x x x N

Poté řešíme rovnici a upravujeme výraz s faktoriály:( 1)!2. 9 3( 1)!x xx

( 1). .( 1)!2. 9 3 0

( 1)!x x x

xx

22 2 9 3 0x x x

22 7 3 0x x

Po úpravách vzniká úplná kvadratická rovnice, dořešíme ji přes diskriminant D.

obr.2

Řešení příkladu 2 - pokračování 27 4.2.3

49 2425

D

DD

5D

1,27 52.2

x

Odtud dostaneme 2 řešení: 1

2

30,5

xx

Naší podmínce vyhovuje kořen x1 = 3, kořen x2 = 0,5 nevyhovuje. 3K

obr.2


5 ! 3 !3

4 ! 4 !x xx x

obr.1

Řešení příkladu 3Stanovíme nejdříve podmínky platnosti výrazů v rovnici:Následně řešíme rovnici a upravujeme výrazy s faktoriály:

5 ! 3 !3

4 ! 4 !x xx x

5 4 3 5;6;7;...x x x x

5 ! 3 . 4 !3

4 . 5 ! 4 !x x x

x x x

13 3

4x

x

1 6 .( 4)4

x xx

1 6 ( 4)x x obr.2

Řešení příkladu 3 - pokračování

Následně vznikne kvadratická rovnice, kterou dořešíme:

Užitím Viétových vzorců platí:

Ze vzorců vychází jediný dvojnásobný reálný kořen:

Kořen x = 5 vyhovuje podmínce platnosti a je řešením rovnice.

21 6 24 4x x x 2 10 25 0x x

1 2 25x x 1 2 10x x

1,2 5x

5K


(2, 4) 6V x

obr.1

Řešení příkladu 4Levou stranu rovnice upravíme pomocí vzorce na výpočet počtu variací bez opakování:

Užitím Viétových vzorců kvadratickou rovnici dořešíme:

O tom, zda kořeny vyhovují rovnici, se přesvědčíme zkouškou.

(2, 4) 6V x ( 4) 5 6x x

2 4 5 20 6x x x 2 9 14 0x x

1 2 1 2 1 214 9 7; 2x x x x x x

obr.2


Zkouška:

Pro n = - 2 nejsou variace definovány.Kořen x2 = 2 nevyhovuje.

Řešení rovnice je: x = 7

(7) (2,7 4) (2,3) 3.2 6(7) 6(7) (7)(2) (2,2 4) (2, 2)

L V VPL PL V V

7K

obr.2


(2, 6) 6K x

obr.1

Řešení příkladu 5Při řešení rovnice použijeme vlastnosti kombinačních čísel a dále upravujeme

známými způsoby:

Na dořešení kvadratické rovnice opět použijeme Viétovy vzorce:

O tom, zda oba kořeny vyhovují rovnici se opět přesvědčíme zkouškou.

(2, 6) 6K x 6

62x

6 76

2 1x x

2 13 42 12x x 2 13 30 0x x

1 2 1 2 1 230 13 10; 3x x x x x x

obr.2


Zkouška:

Pro n = - 3 nejsou kombinace definovány.Kořen x2 = 3 nevyhovuje.

Řešení rovnice je: x = 10.

4 3(10) (2,10 6) (2,4) 6

2 1(10) 6(10) (10)(3) (2,3 6) (2, 3)

L K K

PL PL K K

10K

obr.2


6 6log ( 4)! log ( 2)! 1x x

obr.1

Řešení příkladu 6Na začátku stanovíme podmínky platnosti výrazů v rovnici:

Z definice logaritmu si nahradíme číslo 1: 1 = log66

Při řešení rovnice využijeme větu o logaritmu podílu:

4 2 1;0;1;...x x x

log log loga a axx yy

6 6log 4 ! log ( 2)! 1x x 6 6

4 !log log 6

2 !xx

6 6

4 3 2 !log log 6

2 !x x x

x

obr.2


Po odstranění logaritmů úloha vede k vyřešení kvadratické rovnice:

Přes Viétovy vzorce pro výpočet kořenů kvadratické rovnice zjistíme oba její kořeny x1,x2:

Kořen x1 = - 6 nevyhovuje podmínce platnosti výrazů v rovnici. Řešením rovnice je: x = - 1.

4 3 6x x 2 7 12 6x x 2 7 6 0x x

1 2 1 2 16 7 6x x x x x 2 1x

1K

CITACE ZDROJŮPoužitá literatura:1) HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky

pro střední odborné školy, střední odborná učiliště a nástavbové studium. Havlíčkův Brod: Prometheus, spol. s. r. o., 2000, s. 200-201, 205. ISBN 80-7196-165-5.

2) POLÁK, Josef. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus spol. s. r. o., 1998, s. 291. ISBN 80-85849-78-X

CITACE ZDROJŮPoužité obrázky:1) People - Stick Figures - Stick blueman 202 01 - Public Domain Clip Art.

Http://www.pdclipart.org [online]. [cit. 2012-09-10]. Dostupné pod licencí Public domain z:

http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=93&pos=11 2) People - Stick Figures - Stick blueman 103 02 - Public Domain Clip Art.

Http://www.pdclipart.org [online]. [cit. 2012-09-10].Dostupné pod licencí Public domain z: http://www.pdclipart.org/displayimage.php?album=93&pos=2

Všechny úpravy psaného textu byly prováděny v programu MS PowerPoint 2010.

Konec prezentace.Konec prezentace.

Děkuji Vám za Děkuji Vám za pozornost.pozornost.

Mgr. Daniel HanzlíkMgr. Daniel Hanzlík

Documents

10. září 2012VY_32_INOVACE_110208_Reseni_rovnic_s_faktorialy_DUM