8/16/2019 100-108

1/8

(7) Sistem A0, meskipun lebih kuat dari A*, masih memenuhi asumsi (I) - (III)

sebagaimana tercantum dalam Bagian 18, sub (11) !apat disimpulkan bah"a

terdapat #$rmula %ang benar, bahkan dalam n$tasi asli dari sistem A, %ang tidak

dapat dibuktikan dalam sistem A0

8/16/2019 100-108

2/8

 &'I !'I+ISI

1 '+.A+&A

/al itu dapat men%ebabkan beberapa keutan bah"a te$ri denisi disaikan dalam

Bab terakhir dari buku ini dan tidak, sesuai dengan tradisi panang, dalam Bab

pertama An$mali ini elas karena #akta bah"a, menurut k$nsepsi k$ntemp$rer,

te$ri denisi mengandaikan met$d$l$gi disiplin ilmu dedukti# %ang, pada gilirann%a,didasarkan pada te$ri deduksi 2alaupun berbagai k$nsep met$d$l$gis telah

dielaskan bersama dengan perlakuan kita terhadap l$gika #$rmal dan aritmatika,

sur3ei singkat dari prinsip-prinsip met$d$l$gi tidak akan keluar dari tempat

(1) Sebuah disiplin & dedukti# ditandai dengan satu himpunan 4 tertentu dari aksi$ma

tertentu dan dengan sistem %ang mendasari l$gika &e$rema dari & adalah kalimat

mereka 5 %ang dapat disimpulkan dari 4 dengan sistem %ang l$gis 6et$de #$rmal

%ang dikembangkan dalam Bab I-I memungkinkan kita untuk memberikan

gambaran %ang tepat dari sistem l$gis dan met$de deduksi %ang mereka "akili

Sesuai dengan praktek saat ini, kita harus mengidentikasi disiplin dedukti# &

dengan himpunan semua te$reman%a ika disiplin & telah di#$rmalkan, maka aksi$ma di 4 akan menampilkan diri sebagai

#$rmula, dan parameter predikat (serta, akhirn%a, k$nstanta indi3idu dan simb$l-

simb$l #ungsi) %ang muncul dalam #$rmula ini sesuai dengan apa %ang disebut

gagasan primitif  & 6isaln%a, aksi$ma (A1-9) dalam Bagian 17 berisi n$tasi dari %ang

sesuai dengan k$nsep nol, penggantinya, penjumlahan, perkalian, dan eksponensial

dimana, karenan%a, merupakan gagasan primiti# 3ersi tertentu dari aritmatika

dimana A merupakan #$rmalisasi &e$rema A diper$leh dari aksi$ma sebesar

pem$t$ngan sesuai dengan l$gika dasar dengan kesetaraan dan istilah!emikian pula, gagasan  terdenisi  dari A %ang diper$leh dari gagasan primiti# 

dengan menggunakan denisi :ntuk sistem l$gis %ang diberikan, denisi harusmemenuhi aturan formal dari denisi

() ertama mari kita pertimbangkan c$nt$h, %aitu, denisi ; dimana dalam Bagian 18,

sub (

8/16/2019 100-108

3/8

 F (t 1, t 2,…, t  k ).

4emudian misalkanU  (v1 , v2 ,... , vk )  adalah sebarang ekspresi (cf. Bagian 8) %ang

han%a berisi parameter predikat (dan, pada akhirn%a, k$nstanta indi3idu dan simb$l

#ungsi) %ang sebelumn%a diperkenalkan 6aka rumus@( v1 ) ( v2 )… (vk )[ F  (v1 , v2 , … , vk )⟷U  (v1 , v2, … , vk ) ]

akan diterima sebagai denisi $rmula ini selanutn%a akan diperlakukan pada

piakan %ang sama dengan aksi$ma di 4 dan sebagai denisi %ang sebelumn%a

diperkenalkan

(¿  adalah m$del untuk semua #$rmula di 4 4ami ingin menunukkan

bah"a M 

  dapat diubah dengan tepat satu cara dalam struktur

 M ❑'  =¿S , A , B , F  >¿   %ang merupakan m$del untuk semua #$rmula di 4 dan, di

samping itu, untuk denisi di atas

(i) 6isalkan dipilih dengan@ predikat akan mempun%ai elemenm

1, m

2,... , mk 

dari S ika dan han%a ika rumus@

U (m1

¿,m

2

¿,… ,m

k 

¿ )

Berlaku untuk 6 6aka elas semua rumus@

 F (

m1

¿, m

2

¿, … , m

k 

¿

)⟷U 

(m

1

¿,m

2

¿, … , m

k 

¿

)

akan berlaku untuk  M ' =¿ S , A , B , F  >¿  dan karenan%a denisi di atas dari uga

akan berlaku untuk 6

(ii) 6isalkan berbeda dari %ang ditandai di ba"ah (i) maka elas beberapa

rumus@

 F (m1

¿, m

2

¿, … , mk 

¿)⟷U (m1

¿,m

2

¿, … , mk 

¿ )

harus salah untuk struktur ¿S , A , B , F '  >¿ !apat disimpulkan bah"a rumus@

( v1 ) ( v2 )… (vk )[ F  (m1¿

,m2

¿, … , mk 

¿ )⟷U  (m1¿

,m2

¿, … , mk 

¿ )]

 uga salah untuk struktur ini ¿S , A , B , F '  >¿  $leh karena itu tidak dapat menadi

m$del bagi denisi !emikian kita memiliki@

Teorema 40 &e$rema C-> dan 8a  untuk l$gika dasar dan berbagai macam

ekstensi %ang masih berlaku ika kita membuat kel$nggaran untuk pengenalan

gagasan terdenisi di ba"ah hukum atas denisi #$rmal

8/16/2019 100-108

4/8

(D) Berbicara dengan benar, te$rema )(ii) %ang diberikan ditutup tableau semantik berubah menadi tabl$ semantik

dibangun dan ditutup di ba"ah skema %ang rele3an

(iii) aksi$ma di 4 dan kesimpulan : E 0- tidak terpengaruh(i3) rumus 2 diganti dengan rumus@

( v1 ) ( v2 )… (vk )[ F  (v1 , v2 , … , vk )⟷U  (v1 , v2, … , vk ) ]

%ang elas merupakan tesis dari l$gika dasar

leh karena itu kesimpulan : E Ú   sudah dapat disimpulkan dari himpunan 4 

sendiri, dan adi k$ntradiksi belum muncul dari pengenalan gagasan terdenisi

Sebalikn%a, ika himpunan 4 k$nsisten, maka himpunan (4, 2) akan k$nsisten uga

(C) !alam memperkenalkan gagasan terdenisi biasan%a tidak menadi perhatian

utama kami bah"a kami harus mematuhi aturan resmi atas denisi Situasi n$rmaldapat lebih dielaskan sebagai berikut 4ami memiliki satu himpunan 4 dari aksi$ma

di mana parameter predikat tertentu A dan B muncul, dan sebuah m$del tertentu

 M =¿ S , A , B>¿  untuk 4 Selain itu, kita memiliki dalam pikiran sebuah predikat

tertentu %ang mengacu pada unsur-unsur di S

8/16/2019 100-108

5/8

4ita sekarang ingin mendenisikan sedemikian sehingga struktur

 M ' =¿S , A , B , F  >¿   menadi m$del himpunan (4, 2) !engan demikian

deftniendum  diberikan dan kita harus mencari deniens : %ang c$c$k () ika

deniens tersebut dapat ditemukan, dikatakan terdenisi di 4 4ami telah bertemu

dengan situasi seperti dalam Bagian 19, sub (C)

22. DEFINABILITY OF HARTA PRIMITIF

!alam asal 1 kami prihatin dengan denisi dimana gagasan baru ,

diperkenalkan ke disiplin dedukti# &, %ang sebelumn%a ditandai dengan satu

himpunan aksi$ma 4 %ang mengandung gagasan primiti# tertentu A, B, F 4$nsepsi

salah gagasan primiti# didenisikan tidak akan masuk ke dalam kerangka diskusi itu

(1) Beberapa k$mentar lebih lanut tentang met$d$l$gi secara umum dapat

mempersiapkan dasar untuk penelasan k$nsepsi ini 4ami biasan%a membutuhkan

aksi$maU 

1,U 

2, ... ,U m   dalam satu himpunan 4 menadi@ (i) konsisten, (ii)

independen, dan (iii) lengkap

ad (i) Satu himpunan 4 dikatakan k$nsisten ika tidak memperb$lehkan deduksi dua

k$ntradiksi #$rmula G dan G /al ini tidak sulit untuk menunukkan bah"a himpunan

4 k$nsisten memperb$lehkan deduksi dari setiap rumus 5 adi, ika diberikan

himpunan 4 tidak memperb$lehkan deduksi #$rmula 5 tertentu, berikut bah"a 4 

k$nsisten cf  &e$rema >Da

ad  (i) Aksi$ma :p  dikatakan independen dari aksi$ma %ang tersisa

U 1

,U 2

, ... ,U  p−1 , U ( p+1) ,... , U m  di 4 ika tidak deducible dari aksi$ma tersebut ika :p

tidak independen, maka himpunan semua te$rema dari & tidak terpengaruh $leh

kelalaian :p dari 4 :ntuk mengembangkan &, kita pertama dapat men%impulkan :pdari himpunan 4 dari semua aksi$ma %ang tersisa, dan kemudian kami dapat,

seperti sebelumn%a , men%impulkan semua te$rema lain dari set (4 , :p) H 4 c# 

 &e$rema 19 dan 0

ad (II) .agasan kelengkapan dapat dipahami dalam berbagai cara %ang berbeda,

dua di antaran%a akan dibahas

(I) !alam arti #$rmal atau sintaksis himpunan 4 dapat dikatakan lengkap ika, setiap

G adalah #$rmula dalam n$tasi &, baik itu rumus G sendiri atau negasi G dapat

disimpulkan dari 4

(II) 6isalkan, di sisi lain, bah"a disiplin & dimaksudkan untuk mempelaari kelas

tertentu struktur  M =¿ S , A , B , . . .>¿ 4emudian 4 akan dikatakan lengkap dalam

arti semantik ika, setiap kali #$rmula G dalam n$tasi & berlaku untuk semua struktur

6 di , itu adalah deducible dari 4

 ika han%a terdiri dari satu struktur 6, maka himpunan semantik lengkap 4 uga

akan secara #$rmal lengkap sebagaimana dimaksud dalam (I) !alam Bab kita

belaar set tertentu A dan B %ang dimaksudkan untuk mempelaari han%a satu

8/16/2019 100-108

6/8

struktur 6, %aitu, himpunan semua bilangan dengan $perasi akrab 4ami

menemukan bah"a tidak ada set ini bisa resmi atau semantik lengkap

() Sekarang misal A, B, , menadi gagasan primiti# disiplin dedukti# & :ntuk

mempelaari pengaruh menghilangkan gagasan primiti# , kita mempertimbangkan

himpunan ke semua te$rema dari & di mana gagasan tidak muncul misalkan 4 

menadi himpunan aksi$ma dimana semua te$rema di & dapat ditarik kesimpulan

dan uga tidak mengandung gagasan

(>) Sesuai dengan aturan #$rmal denisi dalam Bagian 1 sub (>), pengertian kini

bisa kembali diperkenalkan dengan menambahkan 4  denisi 2 dari dalam hal A,

', 6isal & adalah himpunan semua te$rema deducible dari set (4 , 2) 4ami

mempertimbangkan berbagai hubungan %ang mungkin ada di antara & set dan &

 elas situasi berikut dapat diantisipasi@

(i) untuk pilihan %ang c$c$k dari 2, kita memiliki T ' ⊆T 

(ii) tidak mungkin untuk memilih 2 sedemikian rupa bah"a kita akan memiliki

T ' ⊆T  +amun, untuk pilihan %ang c$c$k dari 2 sistem & dan & dapat

digabungkan ke dalam sistem %ang k$nsisten &JJ(iii) untuk setiap pilihan 2 penggabungan & dan & menghasilkan sistem %ang tidak

k$nsisten &

ad (i) !ari W ∈T   dan T ' ⊆T  , berikut bah"a W ∈T  !engan demikian denisi

2 adalah te$rema & !alam hal ini, kita mengatakan bah"a gagasan primiti#

adalah provably denable dalam hal A, B, dan sehubungan dengan & Sekarang

misal G menadi rumus dalam n$tasi & dan misal G  diper$leh dari G dengan

mengganti setiap kemunculan ekspresi () $leh teradin%a deniens n%a : ()seperti %ang diberikan $leh 2 !enisi cara ini aksi$ma himpunan 4 untuk & akan

diubah menadi satu himpunan 4  di mana gagasan tidak lagi muncul Seperti

(dengan argumen %ang digunakan dalam pembuktian kedua &e$rema

8/16/2019 100-108

7/8

ad (i) 6isalkan rumus 2 %ang sesuai adalah te$rema & 4emudian kita bisa dengan

cara di atas membangun sebuah himpunan aksi$ma 4  untuk & dan karena semua

#$rmula di (4 , 2) adalah te$rema &, berarti  K ' ⊆ K  , %ang bertentangan

perkiraan kita +amun, karena semua aksi$ma : di 4 serta te$rema 2 dalam

ekstensi k$nsisten &K dari &, maka bah"a himpunan (4, 2) adalah k$nsisten ika 2adalah sesuai dipilih 4ami mengatakan dalam kasus ini bah"a primiti# gagasan

adalah mensinergikan didenisikan dalam hal A, B, dan sehubungan dengan &

Teorema 43. Sebuah gagasan primiti# adalah mensinergikan didenisikan dalam

hal A, B, dan sehubungan dengan & ika dan han%a ika itu adalah  provably 

deducible dalam hal gagasan ini dan sehubungan dengan ekstensi %ang k$nsisten

sesuai &K dari &

ad (II) 6isalkan adalah mensinergikan didenisikan dalam hal A, B,, dan

sehubungan dengan & 4emudian adalah provably denable dalam hal gagasan ini

dan sehubungan dengan %ang sesuai k$nsisten perpanangan &K dari & 6isalkan 2

adalah denisi %ang sesuai dari dalam hal A, B, Sekarang semua aksi$ma &

%ang terkandung dalam & dan karenan%a di &K, dan begitu uga denisi 2 4arena

semua aksi$ma dalam aksi$ma himpunan (4 , 2) untuk & %ang terkandung dalam

 &K, berikut bah"a T ' ⊆T ' '  karena &K merupakan perpanangan dari &, kami

memiliki T ' ⊆T ' '  leh karena itu, sistem %ang dihasilkan dari penggabungan &

dan & termasuk dalam &K /al berikut bah"a sistem ini harus k$nsisten &api ini

bertentangan perkiraan kita karena itu tidak dapat mensinergikan didenisikan

dalam hal A, B, dan sehubungan dengan & leh karena itu, kita katakan bah"adalam kasus ini gagasan primiti# pada dasarn%a undenable dalam hal A, B,

dan sehubungan dengan &

(

8/16/2019 100-108

8/8

semantik !alam praktek penelitian matematika saat k$neksi ini menampakkan diri

dengan ken%ataan %ang sering kita membangun k$nsistensi aksi$ma himpunan 4 

dengan menunukkan struktur 6 %ang semua #$rmula di 4 adalah benar, dan

kemerdekaan aksi$ma :p  sehubungan dengan aksi$ma

U 1

,U 2

, ... ,U  p−1 , U ( p+1) ,... , U m  dengan memamerkan struktur 6 merupakan rumus

%ang disebutkan terakhir adalah benar sedangkan rumus :p  adalah palsu (cf 

 &e$rema 9 dan >0)

(1) /al ini "aar untuk bertan%a apakah ada met$de %ang sama untuk menunukkan

bah"a gagasan primiti# tertentu independen sehubungan dengan gagasan primiti# 

lainn%a A, B, disiplin dedukti# & Ada memang seperti itu met$de %ang pertama

kali dielaskan dan diterapkan $leh A ad$a (1899)

:ntuk memahami met$de %ang lebih mudah, mari kita kembali ke kasus gagasan

%ang dibuktikan terdenisi !alam hal ini, sistem & bisa diper$leh dari &, bagian

dari & %ang tidak melibatkan gagasan , dengan han%a menambahkan denisi 2%ang sesuai dengan dalam hal A, B, 6ari  M =¿ S , A , B , ..., F >¿   akan ada

m$del & 4emudian elas  M O=¿¿   akan menadi m$del & !an,

sebalikn%a, masing-masing m$del 6 dari & dapat ditrans#$rmasikan dengan tepat

satu cara menadi m$del 6 dari & ini ditunukkan dalam Bagian 1, sub (