30
Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης 100 Επαναληπτικά Θέματα Εξετάσεις 2013 2 0 1 3

100 θέματα

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 100 θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης

100

Επαν

αληπ

τικά

Θέμ

ατα

Εξετάσεις 2013

2 0 1 3

Page 2: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 1 -

Θέμα 1 Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β και οι μιγαδικοί αριθμοί z, w με:

20082008

20082008

αz β z 2009

βz α z 2009w

α. Να αποδείξετε ότι 1ww

β. Να βρείτε τη γραμμή, στην οποία κινείται η εικόνα Μ του w, όταν ο z μεταβάλλεται στο IR .

γ. Αν (3 3i) 1z , να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή

του z w Θέμα 2

Δίνεται ότι ο μιγαδικός αριθμός 11 i 3

2z είναι ρίζα της

εξίσωσης z2+βz+γ=0, όπου β και γ πραγματικοί αριθμοί.

α. Να αποδείξετε ότι β= –1 και γ=1. β. Να αποδείξετε ότι 3

1 1z γ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού

αριθμού w, για τον οποίο ισχύει: 1 1w z z

Θέμα 3 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί ,z w με 0z w για τους οποίους

ισχύει: z w z w

Να αποδείξετε ότι: α. Re(z ) 0w β. ο αριθμός z

w είναι φανταστικός

γ. 2222 wz2wzwz δ. το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των ,z w στο μιγαδικό

επίπεδο και την αρχή O των αξόνων, είναι ορθογώνιο στο O .

Προτεινόμενα Θέματα

Page 3: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 2 -

Θέμα 4 Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z και w ισχύουν

i+2 2 z 6 και (1 i) (3 3i)w w τότε να βρείτε:

α. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z . β. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w .

γ. την ελάχιστη τιμή του |w| δ. την ελάχιστη τιμή του z w

Θέμα 5 Δίνονται οι μιγαδικοί z,w με |z+3|=|z-3i | και |w-5|=1 α. Να βρεθεί το σύνολο των σημείων Μ που παριστάνουν οι μιγαδικοί αριθμοί z,w. β. Να βρεθούν οι μιγαδικοί z,w για τους οποίους το |z-w| γίνεται ελάχιστο γ. Να βρεθεί ποιος μιγαδικός w δίνει τη μέγιστη τιμή στην παράσταση |w-(2-i)|. Θέμα 6 Έστω z μιγαδικός αριθμός με z 0 για τον οποίο ισχύει

2z 1 z 2 α. Να αποδείξετε ότι z 1 .

β. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός 1w z+z

είναι πραγματικός.

γ. Να αποδείξετε ότι 4 z+3+4i 6

Θέμα 7

Δίνεται ο μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει: 3

122z2009

α. Να αποδειχθεί ότι: |z|=1 β. Αν z=x+yi x,y IR να βρεθεί ο μιγαδικός z1=(y-xi)2009

γ. Να αποδειχθεί ότι ο μιγαδικός z2=z1z είναι φανταστικός ενώ

ο μιγαδικός z1zz3 είναι πραγματικός

Page 4: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 3 -

Θέμα 8 Έστω z1,z2,z3 μιγαδικοί αριθμοί με z1+z2+z3 0 ,|z1 |=|z2 |=|z3 |=1 και 0zzz 2

322

21 . Να αποδειχθεί ότι:

α. 3

32

21

1z1z,

z1z,

z1z

β. 321

2321 z

1z1

z12zzz

γ. 2zzz 321 Θέμα 9 i. Αν z μιγαδικός αριθμός z i να αποδείξετε ότι ισχύουν:

z i 1 zz+i

και z i 1 m(z)>0z+i

ii. Αν για τους μιγαδικούς ν1 2z , z ,..., z i με 1 2 νz z ... z i

ισχύει ν1 2

1 2 ν

z iz i z i ... 1z +i z +i z +i

να αποδείξετε ότι: α. Κανένας από

ν1 2z , z ,..., z δεν είναι πραγματικός.

β. 1 2 ν

1 2 ν

z z ... z i 1z z ... z +i

Θέμα 10

Έστω z ,w μιγαδικοί αριθμοί με 3zz2w και |z|=1

α. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του w β. Να βρεθεί το ελάχιστο και μέγιστο του μέτρου |z-w|. Θέμα 11 α. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του μιγαδικού z=-λ+(1+λ)I λ πραγματικός β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του μιγαδικού w που ικανοποιεί τη σχέση: i1w2i2w γ. Να βρεθούν τα z και w για τα οποία το |z-w| γίνεται ελάχιστο καθώς και η ελάχιστη τιμή του.

Page 5: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 4 -

Θέμα 12 Έστω z ,w μιγαδικοί οι οποίοι συνδέονται με την ισότητα :

iz,1iziz2w

α. Να αποδείξετε ότι: 1)iz()i2w( β. Αν η εικόνα του z κινείται στον κύκλο με εξίσωση x2+(y-1)2=1 να βρείτε τη γραμμή πάνω στην οποία κινείται η εικόνα του w. γ. Να βρεθούν αν υπάρχουν , η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή του |z-w| δ. Να αποδείξετε ότι: |z+w| 3 Θέμα 13

Αν iz*,IR,iz

izw

τότε να αποδείξετε ότι:

α. Ο w είναι φανταστικός , αν και μόνο αν ,ο z είναι φανταστικός. β. Ισχύει |w|=1 αν και μόνο αν ο z είναι πραγματικός γ. Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων του z ώστε w πραγματικός Θέμα 14 Έστω z1,z2 μιγαδικοί αριθμοί με z1,z2 0 και (z1+z2)2009=(z1-z2)2009 Να αποδείξετε ότι:

α. 0zz

zz

2

1

2

1

β. Το πηλίκο 2

1

zz είναι φανταστικός αριθμός

γ. Το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών z1, z2 και 0+0i είναι ορθογώνιο Θέμα 15 α. Να βρεθεί ο Γ.Τ. της εικόνας του μιγαδικού z για τον οποίο ισχύει: |z-2i|=3|z+2i|

β. Αν για τους μιγαδικούς z1,z2 -2i ισχύει 3i2zi2z

i2zi2z

2

2

1

1

να βρεθεί η μέγιστη τιμή του |z1-z2 |

Page 6: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 5 -

Θέμα 16 Δίνονται οι μιγαδικοί z1=2006+i ,z2=1-2006i α. Να δείξετε ότι: i

zz

2

1

β. Να δείξετε ότι: 0izz 20072

20071

γ. Αν Α, Β οι εικόνες των μιγαδικών 20071z και 2007

2z αντίστοιχα και (0,0) η αρχή των αξόνων, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές

δ. Θεωρούμε τον μιγαδικό αριθμό w= 1IR,zzizz

22

21

Να δείξετε ότι για κάθε λ 1IR ισχύει w=1

2

zz

Θέμα 17 A. Αν z1,z2 μιγαδικοί αριθμοί και ισχύει: z1z2=w2 , να αποδείξετε

ότι: 212121 zzw

2zzw

2zz

Β. Αν οι z1,z2 είναι ρίζες του f(z)=z2-2(1+i)z-1 να υπολογίσετε το άθροισμα |z1 |+|z2 | Θέμα 18 Έστω οι μιγαδικοί z1,z2 για τους οποίους ισχύει: 0zz 2

221

Να αποδείξετε ότι: α. z1=iz2 ή z1=-iz2 καθώς και |z1 |=|z2 | β. 0zz 10

2101

γ. 0zz 22

21 όπου ν περιττός φυσικός

δ. |z1-z2 |= 2 |z1 |= 2 |z2 | Θέμα 19 Αν z3=1 και z IR να αποδείξετε ότι:

α. z1z φανταστικός

β. |z+1|=1 γ. (iz)2010+(1+z2)2009-(iz)2008=0

Page 7: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 6 -

Θέμα 20 Δίνονται οι μιγαδικοί z1,z2,z3 τέτοιοι ώστε να ισχύουν: i73z,i5326z,i31z 4

332

21

α. Να βρείτε τα μέτρα τους β. Να αποδείξετε ότι: z1+z2+z3 0

γ. 6zzz

zz2zz9zz2

321

323121

Θέμα 21 Α. Δίνεται η εξίσωση : z2-2(1+συν2α)z+2(1+συν2α)=0, α IR α. Να λυθεί η εξίσωση β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των ριζών της. Β. Να αποδειχθεί ότι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης z2ν=|z|ν(z+2)ν, z 0 είναι σημεία συνευθειακά Γ. Να αποδειχθεί ότι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης (3z)ν-(z+4)ν=0 είναι ομοκυκλικά σημεία Θέμα 22 Δίνεται ο μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει: (7+i)ν(z-2009i)κ-(5+5i)ν(z-2009)κ=0. κ, ν α. Να βρεθεί ο Γ.Τ. της εικόνας του μιγαδικού z β. Να βρεθεί ο μιγαδικός z του οποίου η εικόνα έχει την ελάχιστη απόσταση από την εικόνα του μιγαδικού w=2+6i . Θέμα 23 Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z για τους οποίους ισχύει: |z-1+i|=|z-4i |. Τότε να βρεθεί: α. Ο γ.τ των εικόνων Μ των μιγαδικών z. β. Η ελάχιστη τιμή του |z| γ. Ο μιγαδικός z με το ελάχιστο μέτρο. δ. Έστω f(w)=|w-1+i|+|w-4i|. Τότε να βρεθεί ο γ.τ. των μιγαδικών w ώστε η παράσταση f(w) να παίρνει την ελάχιστη τιμή ε. Από τους μιγαδικούς w του ερωτήματος δ). να βρείτε αυτόν για τον οποίο ισχύει |w-1+i|=|w-4i |.

Page 8: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 7 -

Θέμα 24 Δίνονται οι διαφορετικοί μεταξύ τους μιγαδικοί z1, z2, z3 με (z1-z2)2+(z2-z3)2+(z3-z1)2=0 Να αποδείξετε ότι: α. (z1-z2)2=(z2-z3)(z3-z1) β. Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z1, z2, z3 είναι κορυφές ισόπλευρου τριγώνου Θέμα 25 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί α, β, γ με α+β+γ 0 ,α2+β2+γ2=0 και α|=|β|=|γ|=1 . Να αποδείξετε ότι: i. |αβ+βγ+γα|=|α+β+γ|

ii. |α+β+γ|=2 και 21)Re(

iii. |α-β| 2 , |β-γ| 2 , |γ-α| 2 Θέμα 26 Δίνονται οι μιγαδικοί z ,w με |z-1-2i|= 2 και |w-4-5i|= 2 α. Να βρείτε τους γεωμετρικούς τόπους των μιγαδικών z,w β. Να βρείτε τους μιγαδικούς z,w ώστε η παράσταση Α=|z-w| να είναι: ι). Ελάχιστη ιι). Μέγιστη Θέμα 27

Στο μιγαδικό επίπεδο έστω η διανυσματική ακτίνα ενός

μιγαδικού 0z1 και

OB η διανυσματική ακτίνα του μιγαδικού

wzz 12 όπου i23

21w .

α. Να αποδείξετε ότι: w3=-1 β. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόπλευρο. γ. Να αποδείξετε ότι: 3

132 zz και 21

22

21 zzzz

δ. Αν η εικόνα του z1 διαγράφει τον μοναδιαίο κύκλο να δείξετε ότι η εικόνα του z2 διαγράφει τον ίδιο κύκλο.

Page 9: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 8 -

Θέμα 28

Έστω ο μιγαδικός z με z 0 και ο μιγαδικός w=z21 . Αν ο w

είναι φανταστικός τότε: α. Να βρεθεί ο Γ.Τ. της εικόνας του z.

β. Να αποδείξετε ότι: 0)1z

1zIm(

γ. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του 2

2

w13wu

βρίσκονται

στον πραγματικό άξονα. Θέμα 29 Έστω ο μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει: |z-3-3i|=2. Να βρεθεί: α. Ο γ.τ. των εικόνων Μ των μιγαδικών z β. Η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή του |z|. γ. Οι μιγαδικοί z με το ελάχιστο και το μέγιστο μέτρο δ. Αν για τους μιγαδικούς z1,z2 ισχύει |z1-3-3i |=|z2-3-3i|=2 να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης |z1-z2 | Θέμα 30 Έστω οι μιγαδικοί z1,z2 με εικόνες εσωτερικά σημεία του μοναδιαίου κυκλικού δίσκου εκτός του Ο(0,0) και η συνάρτηση f(x)=|z1 |x+2|z2 |x-3 α. Να δείξετε ότι |z1-z2 |<2 β. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται γ. Να λυθεί η ανίσωση: 3x

2x4

1x4

23x

122

|z|2|z||z|2|z| Θέμα 31 Έστω οι μιγαδικοί z,w οποίους ισχύει |z-3-2i |+|w-5-9i |=0 και η συνάρτηση f : IRIR γνησίως μονότονη . α. Να βρείτε τις εικόνες Α ,Β των z ,w. β. Αν η f διέρχεται από τα Α ,Β να βρείτε το είδος της μονοτονίας γ. Να λύσετε την εξίσωση f(2+f-1(x2+x))=9 δ. Να λύσετε την ανίσωση f(f-1(x2-8x)-2)<2 όταν γνωρίζετε ότι f και f-1 έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας

Page 10: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 9 -

Θέμα 32 Έστω η συνεχής συνάρτηση f: IRIR για την οποία ισχύει :

x1xx)x(fx 2 για κάθε x 0 .

α. Να βρείτε τον τύπο της f β. Να υπολογίσετε το ).x(flim

x

γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει μια τουλάχιστον θετική ρίζα. Θέμα 33 Έστω ότι οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο IR. Αν η σύνθεση της g με την f είναι 1-1 και ισχύει f2(0)+f2(1)+4=4f(0) να αποδείξετε ότι: α. η g είναι 1-1. β. f(1)=0 , f(0)=2 γ. η εξίσωση g(f(x)-x)=g(1-x2) έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (0, 1). Θέμα 34 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο (0,2] με f(2)= -7 και ισχύει 2x1)x(fx41 για κάθε 2,0x α. Να εξετάσετε αν η f είναι αντιστρέψιμη. β. Να λύσετε την εξίσωση 2)8x(f 1 . γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει μία ακριβώς ρίζα στο (0,2). Θέμα 35 Έστω f:IR IR με f3(x)+3f(x)=e2x-1, για κάθε xIR. α. Να βρείτε το f(0). β. Να δείξετε ότι 1e)x(f x2 , για κάθε xIR. γ. Να εξετάσετε αν η f είναι συνεχής στο x0=0. Θέμα 36 Α. Να αποδειχθεί ότι έχουν μια τουλάχιστον ρίζα στο αντίστοιχο διάστημα οι εξισώσεις: i. 3 22 5 6 0x x x στο 1, 2 ii. 24 2 2 27 α 3 α 2 α 3x x x στο 0, 1 Β. Να αποδειχθεί ότι έχουν δύο τουλάχιστον ρίζες στο

Page 11: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 10 -

αντίστοιχο διάστημα οι εξισώσεις: i. 3 26 3 0x x στο 1, 1 ii. 3 2β α=0x x στο 1, 1 , αν α>0 και α+β+1<0 Γ. Να αποδείξετε ότι έχουν μια μόνο ρίζα στο αντίστοιχο διάστημα οι εξισώσεις: i. 2x3-3x2-12x+8=0 στο (-1,2) ii. lnx = x-1 , x>0 iii. ex=x+1 Δ. Να αποδείξετε ότι έχουν δύο μόνο ρίζες στο αντίστοιχο διάστημα οι εξισώσεις: i. 3 3 1 0x x στο 0, 2 ii. 4 22 1 0x x στο IR. Ε. Να αποδείξετε ότι έχουν το πολύ μια στο αντίστοιχο διάστημα οι εξισώσεις i. x3-3x+α=0 στο (-1,1) ,α IR ii. 2008x3x3 , x>0 Ζ. Να αποδείξετε ότι έχουν το πολύ δυο στο αντίστοιχο διάστημα οι εξισώσεις: i. x4-1999x+2000=0 στο IR ii. x6+6x+12=0 στο IR Θέμα 37 Δίνεται ο μιγαδικός z με Im(z)>1 και η συνάρτηση f(x)=Re2(z)x2005+Im2(z)x-|z|2+1 ,x IR α. Να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο IR β. Να λυθεί η εξίσωση f(x)=f-1(x) όπου f-1 η αντίστροφη της f Θέμα 38 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= Cz|,1z||1z|x α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της f β. Να αποδειχθεί ότι η f αντιστρέφεται γ. Να βρεθεί ο Γ.Τ. της εικόνας του z αν είναι είναι γνωστό ότι οι γραφικές παραστάσεις των f και f -1 τέμνονται σε ένα μόνο σημείο.

Page 12: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 11 -

Θέμα 39 A. Αν ημ(|z-3|x) -ημ(|z+3|x)+ημ(5x) ,x IR να βρείτε το Γ.Τ. της εικόνας του μιγαδικού z.

B. Δίνεται η περιττή συνάρτηση f : IRIR για την οποία ισχύει: x2f(x) ημx+x3 ,x IR α. Να βρεθεί η συνάρτηση f β. Να εξεταστεί η f ως προς τη συνέχεια.

Θέμα 40 Δίνονται οι μιγαδικοί z,w για τους οποίους ισχύει:

1x

2x|i63w|x|i43z|lim 2

2

1x

=

21

α. Να βρεθεί ο Γ.Τ της εικόνας του z β. Να βρεθεί ο Γ.Τ της εικόνας του w γ. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του |z-w|. Θέμα 41 Α. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο IR για την οποία ισχύει: 2f2(x)-3f(x)=x2-x+4 ,x IR . Να αποδειχθεί ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο IR. Β. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] με f(x) 0 για κάθε x [ α,β].Αν x1,x2,…xν [α,β] να δείξετε ότι υπάρχει ξ[α,β] τέτοιο ώστε; f(ξ)=

)x(f)...x(f)x(f 21 Θέμα 42 Α. Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)=2ex-1. Να αποδείξετε ότι η f είναι 1-1 και στη συνέχεια να βρεθεί η f-1. (ΑΠ: 1 1( ) ln , 1

2xf x x

)

Β. Δίνεται η IRIR:f που ικανοποιεί την σχέση: f3(x)+f(x)+x=0 για κάθε x IR . Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την f -1. Γ. Δίνεται η συνάρτηση f με f(x)=x3+8x-8. α. Να αποδείξετε ότι η f είναι γ.αύξουσα. β. Να λύσετε την ανίσωση f(f(x))>1

Page 13: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 12 -

γ. Να αποδείξετε ότι η fείναι 1-1. δ. Να υπολογίσετε την τιμή f-1(-8). ε. Να λύσετε την ανίσωση f-1(x)>1 Θέμα 43 Α. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3-6 α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται β. Να ορίσετε την αντίστροφη της f γ. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και f-1

Β. Έστω z μιγαδικός αριθμός με z 0

Θεωρούμε τα σημεία Α(|z|,|z-1|) , B(|z|+1,z1z ) της γ.π.

μιας γνησίως φθίνουσας συνάρτησης f ορισμένης στο IR.

Να δείξετε ότι Re(z)< .23

Θέμα 44 Έστω η συνάρτηση f(x)=ex+lnx-3. α. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα β. Να βρείτε το σύνολο τιμών γ. Να δείξετε ότι η εξίσωση ex+lnx=3 έχει μοναδική ρίζα

δ. Να βρείτε το

x1flim

x

Θέμα 45 Α. Αν η f είναι συνεχής στο [2008,2009], και ισχύει f(2008)+f(2009)=0 να αποδειχθεί ότι η f έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [2008,2009] Β. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο IR για την οποία ισχύει: x+1 f(x) ex ,x IR . Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f(x)=e2x έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0,1) Θέμα 46 Δίνεται η συνάρτηση f: IRIR για την οποία ισχύει:

)]4x5x()x(f[lim 2

0x

α. Να βρεθεί το )x(flim0x

Page 14: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 13 -

β. Να βρεθεί το

)x(f1)x(flim

0x

γ. Αν g(x)<f(x) για κάθε x IR να βρεθεί το )x(glim0x

Θέμα 47

Δίνεται η συνάρτηση f(x)= IRx,31

3x

x

α. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της. β. Να αποδειχθεί ότι η f αντιστρέφεται γ. Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f-1 τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη x0 (0,1). Θέμα 48 Δίνονται οι συναρτήσεις f και g συνεχείς στο [0,1] , με σύνολο τιμών το [0,1]. Αν f γνησίως αύξουσα και g γνησίως φθίνουσα στο [0,1] τότε: α. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ(0,1) τέτοιο ώστε: 12))(fg())(gf( 2 β. Να αποδειχθεί ότι f(x)=x για κάθε x ]1,0[ με την προϋπόθεση ότι f(f(x))=x, x ]1,0[ Θέμα 49 Α. Ένα αυτοκίνητο ξεκίνησε στις 10 π.μ από την Αθήνα και κινούμενο κατά μήκος της εθνικής οδού έφτασε στην Θεσσαλονίκη στις 16 μ.μ. Την άλλη μέρα ξεκίνησε στις 10 π.μ και επέστρεψε στην Αθήνα στις 16 μ.μ. κάνοντας την ίδια διαδρομή. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον ,σημείο της διαδρομής στο οποίο πέρασε το αυτοκίνητο και τις δυο μέρες την ίδια χρονική στιγμή.

Β. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= 31 (x3+1). Να δείξετε ότι η εξίσωση

f(x)=x έχει μια αρνητική και δυο θετικές ρίζες

Page 15: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 14 -

Θέμα 50 A. Αν για κάθε x>-1 είναι ημx+x 164x8)x(f να εξεταστεί

αν η συνάρτηση

0x2

0xx

)x(f)x(g είναι συνεχής στο x0=0.

Β. Δίνεται η συνάρτηση f: IRIR για την οποία ισχύει η σχέση f(αβ)=f(α)+f(β), για κάθε α,β *IR . Αν η f είναι συνεχής στο x0=1 να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής στο *IR Θέμα 51 Έστω f παραγωγίσιμη στο IR με f(0)=4 , f(2)=0.

α. Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση g(x)= xe)x(f είναι γνησίως

αύξουσα όταν IRx),x(f)x(f β. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ IR τέτοιο ώστε: )(f)(f Θέμα 52 Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο κλειστό [0,1] παραγωγίσιμη στο (0,1). Αν η εξίσωση f(0)z2+f(1)|z|2+f(0)+f(1)i=0 έχει λύση το μιγαδικό αριθμό 1+i να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ )1,0( ώστε η εφαπτομένη της Cf στο (ξ,f(ξ)) να είναι παράλληλη στον άξονα xx Θέμα 53 Δίνονται οι συναρτήσεις f(x)=ex και g(x)=lnx , x>0 α. Να αποδειχθεί ότι οι γραφικές τους παραστάσεις δεν τέμνονται. β. Να βρεθεί η μικρότερη απόσταση την οποία μπορεί να έχει ένα σημείο της Cf από την y=x. γ. Να βρεθεί το σημείο της y=ex το οποίο απέχει τη μικρότερη απόσταση από την y=x. δ. Να βρεθούν τα σημεία της Cf και της Cg τα οποία απέχουν την ελάχιστη απόσταση. ε. Να αποδειχθεί ότι στα σημεία αυτά οι εφαπτόμενες είναι κάθετες.

Page 16: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 15 -

Θέμα 54 Α. Αν η συνάρτηση f έχει συνεχή παράγωγο στο IR και ισχύει:

0h2

)hx(f)hx(flim0x

να αποδειχθεί ότι η f είναι γνησίως

αύξουσα. Β. Δίνεται η f παραγωγίσιμη στο IR με f(1)=0 και 0)1(f καθώς και οι μιγαδικοί αριθμοί z για τους οποίους ισχύει: e f(x)-1 |z |f(x), x IR . Να βρεθεί ο Γ.Τ. των εικόνων του μιγαδικού z Θέμα 55 Δίνεται συνάρτηση f: IRIR τέτοια ώστε για κάθε x,y IR να

ισχύουν: f(x+y)=f(x)f(y) και 1x

1)x(flim0x

α. Να βρεθεί το f(0). β. Να αποδειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να βρεθεί ο τύπος της. γ. Να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο x0=0 η συνάρτηση

0x0

0xx

)0(fx)x(f)x(g

Θέμα 56 Για μια συνάρτηση f: IR),0( ισχύει: f(αβ)=αf(β)+βf(α) για κάθε α,β IR . Να αποδείξετε ότι: α. f(1)=0 β. Αν επιπλέον η f είναι παραγωγίσιμη στο x0=1 με 2009)1(f i. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο (0,+ ) ii. Να βρείτε τον τύπο της f Θέμα 57 Δίνεται η συνάρτηση f:[0,4] IR η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο [0,4] και ο μιγαδικός z=2f(2)+[f(0)+f(4)]i για τον οποίο ισχύει: (z-1)2006=(z-i)2006

α. Να αποδείξετε ότι: f(2)=2

)4(f)0(f

β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 )4,0( για το οποίο ισχύει: 0)x(f 0

Page 17: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 16 -

Θέμα 58 Έστω η συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο IR και x

0 dt)t(fx)x(g

α. Αν 10 0dt)t(f να αποδείξετε ότι υπάρχει x0

)1,0( τέτοιο ώστε: i. Η εφαπτομένη της Cg στο (x0,g(x0)) είναι παράλληλη στον άξονα xx ii. g(x0)+x0

2 f(x0)=0 β. Αν η )x(f είναι συνεχής στο IR και ισχύουν f(0)=0, 1)0(f

να βρεθεί το xx

)x(glim0x

Θέμα 59

Δίνεται η συνάρτηση f(x)= xxln 2

α. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β. Να αποδείξετε ότι: x4xlne 22 για κάθε x 1 γ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf ,τον άξονα xx , και τις ευθείες x=1 και x=e Θέμα 60 Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x)=αx+2x, α>1 α. Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f β. i. Να βρεθεί το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης 2(αx+x)= -2x ii. Να λύσετε την εξίσωση ex+2x=2+ln4 γ. Να βρείτε τις τιμές του λ IR για τις οποίες ισχύει: 239 (2)3(2

2

-9) Θέμα 61

α. Δίνεται η συνάρτηση f(x)= IRx,x3x27x

32 23 όπου

μ πραγματικός αριθμός . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 δεν μπορεί να έχει δυο διαφορετικές ρίζες στο διάστημα (1,2). β. Αν η συνάρτηση g έχει συνεχή παράγωγο στο κλειστό διάστημα [0,1] και ικανοποιεί τη σχέση 1

010 dx)x(g2009dx)x(gx να βρείτε την τιμή της συνάρτησης

g για x=1.

Page 18: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 17 -

Θέμα 62

Έστω η συνάρτηση 0,x

)xln()x(f

Α. Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ (1, f(1)) είναι παράλληλη στην ευθεία x-y=0 να βρείτε την τιμή του α Β. Για α=1 α.Να μελετήσετε την μονοτονία και να βρείτε τα ακρότατα της f β. Να βρείτε το σύνολο τιμών και τις ασύμπτωτες

γ. Να δείξετε ότι 1

1 για κάθε θετικό ακέραιο

κ 8 Θέμα 63 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση στο [0, ) με f(0)=0

α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 0x,x

)x(f)x(g είναι

παραγωγίσιμη στο (0,+ ).

β. Να δείξετε ότι: )x

)x(f)x(f(x1)x(g

γ. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+ ) να αποδείξετε ότι και η g είναι γνησίως αύξουσα στο (0,+ ). Θέμα 64 Δίνονται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [α, β] με 0<α<β και οι μιγαδικοί z=α+βi και w=f(α)+f(β)i με f(β) 0 Α. Να αποδείξετε ότι:

α. Ο αριθμός wi)(f1

zi1z1 είναι πραγματικός αν και μόνο

αν f(α)=α β. Αν z=-iw τότε οι εικόνες των z ,w στο μιγαδικό επίπεδο και η αρχή Ο των αξόνων είναι κορυφές ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου Β. Έστω ότι ισχύει|z-iw|2=|z|2+|iw|2. Να αποδείξετε ότι: α. αf(β)-βf(α)=0 β. Οι εικόνες των z ,w και η αρχή Ο είναι συνευθειακά σημεία γ. Υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 (α,β) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ (x0,f(x0)) να διέρχεται από το σημείο Ο(0,0).

Page 19: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 18 -

Θέμα 65 Δίνεται ο μιγαδικός z=ex+(x-1)i ,x IR α. Να αποδείξετε ότι: Re(z)>Im(z) για κάθε x IR β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον x0 (0,1) τέτοιος ώστε ο αριθμός w=z2+z+2i να είναι πραγματικός. γ. Να βρείτε το μιγαδικό z του οποίου το μέτρο να γίνεται ελάχιστο. Θέμα 66 Δίνεται η συνάρτηση f με f (x) συνεχή στο IR τέτοια ώστε να ισχύουν : IRx,dt)x(xtf4dt)t(ft2dt)t(f)1t( 1

00x

x0

2 με f(0)=0 και 2)0(f

α. Να δείξετε ότι ο τύπος της είναι: IRx,1x

x2)x(f 2

β. Έστω Ε(α) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f , τον άξονα xx , και τις ευθείες

x=0 και x =α>0. Αν το α μεταβάλλεται με ρυθμό sec/cm3

10 να

βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε(α) , τη χρονική στιγμή κατά την οποία α=3cm. γ. Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση g για την οποία ισχύει: |g(x)+x-2| |f(x)|, για κάθε x IR i. Να αποδείξετε ότι η ευθεία y=-x+2 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της g όταν x ii.Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g , την πλάγια ασύμπτωτη της στο + και τις ευθείες x=0 και x=2 να αποδείξετε ότι: Ε 5ln Θέμα 67 Οι συναρτήσεις f ,g είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο IR με IRx,1)x(f,1)x(g)x(f

Αν στο όριο L=2x)x(f

2)x(glimx

εφαρμόσουμε τον κανόνα του

ορίου πηλίκου παρουσιάζεται απροσδιοριστία της μορφής 00

α. i. Να υπολογίσετε το όριο L ii. Να βρείτε τις ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και g στο + β. Να αποδείξετε ότι η g έχει το πολύ μία ρίζα στο IR γ. Να αποδείξετε ότι: f(x)-g(x)=x+4 για κάθε x IR

Page 20: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 19 -

Θέμα 68 Για κάθε x IR ορίζουμε τη συνάρτηση g(x)=

x0 t 0,dt

e2 και

τον μιγαδικό z=g(x)+xi με |1z||iz| Α. Να αποδείξετε ότι i. Η g αντιστρέφεται ii. Οι εικόνες του z ανήκουν στη γραφική παράσταση της g-1 Β. Να αποδείξετε ότι: α. Re(z) Im(z) για κάθε x IR β. α=1

γ.

20

10 tt2 e1

1dte

1dte

1e1

1

Θέμα 69 Οι συναρτήσεις f ,g είναι ορισμένες και παραγωγίσιμες στο IR με g(0)=1 και 0)x(g)x(f 2 , f2(x)+g2(x)=1 για κάθε x IR α. Να αποδείξετε ότι: i. IRx),x(f)x(g)x(g ii. Η g είναι γνησίως μονότονη σε καθένα από τα διαστήματα (- ,0] , [0,+ ) και έχει ακρότατο το 1. β. i. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της. ii. Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της Ο(0,0). γ. Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f και τις ευθείες y=x ,x=1 να δείξετε

ότι: Ε= )]1(gln[21

Θέμα 70 Έστω η συνάρτηση f(x)= 0x),2x(lnx2

α. Να αποδείξετε ότι: 0x,xxln)x(f

β. Να βρείτε το )x(flim0x

γ. Να μελετήσετε τα κοίλα της f και να βρείτε το σημείο καμπής δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από

τη γραφική παράσταση της συνάρτησης xxln)x(g , τον άξονα

xx και τις ευθείες x=e1 και x=e2

Page 21: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 20 -

Θέμα 71 Δίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο IR για την οποία ισχύουν

f(0)=21 και IRx),x(fx)]x(f)x(f[ex

α. Να αποδείξετε ότι ο τύπος της f είναι IRx,e1x)x(f x

και

ότι ισχύει: f(x)+f(-x)=συνx για κάθε x IR β. Να βρείτε το )x(flim

x

γ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα

2

2

dx)x(fI

δ. Να αποδείξετε ότι:

2

0 4dx)x(f0

Θέμα 72

Δίνονται οι μιγαδικοί z και w= iz,iz1iz

α. Να αποδείξετε ότι: |z|iwiw

β. Αν |z|=1 και Μ η εικόνα του w στο μιγαδικό επίπεδο να αποδείξετε ότι το σημείο Μ ανήκει στον άξονα των xx γ. Να αποδείξετε την ισοδυναμία: w φανταστικός z φανταστικός δ. Θεωρούμε τη συνάρτηση f συνεχή στο [α, β] με f(α)>1 και έστω z=f(α)i και w=f(β)i . Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=0 έχει μια τουλάχιστον λύση στο (α,β). Θέμα 73 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ex-αx-1 όπου α>1 α. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Ο(0,f(0)). β. Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο το οποίο είναι αρνητικό. γ. Έστω Ε(α) το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f , την εφαπτομένη της στο (0,f(0)) και την ευθεία x=α>1.

Page 22: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 21 -

i. Να αποδείξετε ότι: Ε(α)= e 12

2

ii. Να βρείτε το )(lim

Θέμα 74 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο IR με f(x)>0 και έστω 1

0 IRx,t,dt)xt(ft)x(g . Να αποδείξετε ότι:

α. x02 0x,dt)t(ft

x1)x(g

β. Η g είναι συνεχής στο x0=0 γ. x

0 dt)t(f)x(gx για κάθε x>0

δ. Αν 10

21 dt)t(ft3dt)t(ft τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ )2,1(

τέτοιο ώστε 2g(ξ)=f(ξ). Θέμα 75 Έστω η συνάρτηση f(x)=(x2+α)e -x, x IR . Αν η ευθεία y=-2x+2 εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f στο σημείο Μ (0,f(0)) τότε: α. Να αποδείξετε ότι α=2 β. Να μελετήσετε την μονοτονία της f γ. Να υπολογίσετε τα όρια: i. )x(flim

x ii. )x(flim

x

δ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=2007 έχει ακριβώς μια λύση στο IR Θέμα 76 Δίνονται οι μιγαδικοί z ,w με 0wz για τους οποίους ισχύει: |z+w|=|z-w| Να αποδείξετε ότι: α. 0)wzRe(

β. Ο αριθμός wz είναι φανταστικός

γ. Το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των z,w στο μιγαδικό επίπεδο και την αρχή Ο των αξόνων , είναι ορθογώνιο στο Ο . δ. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [α, β] με 0<α<β και z=α+if(α), w=f(β)-βi τότε η εξίσωση )x(f)x(fx έχει μια τουλάχιστον λύση στο (α,β).

Page 23: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 22 -

Θέμα 77

Δίνεται η συνάρτηση

x

02 dt

t11)x(g όπου IRx,t

α. Να μελετήσετε ως προς τα κοίλα τη συνάρτηση g

β. Να αποδείξετε ότι: 0x,x)x(gx1

x2

γ. Να αποδείξετε ότι: g(x)+g(-x)=0 για κάθε x IR δ. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της g , τον άξονα xx και τις

ευθείες x=0 και x=1 είναι Ε= 2ln21)1(g τ.μ.

Θέμα 78 Έστω f μια συνάρτηση συνεχής στο [0, +) και παραγωγίσιμη στο (0,+) με f γνησίως αύξουσα στο (0 ,+).

Αν f(0)=0 να δείξετε ότι η συνάρτηση φ(x)=x

)x(f είναι

γνησίως αύξουσα στο (0,+). Θέμα 79 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [α,β] και η f είναι γνησίως αύξουσα στο (α,β) να αποδείξετε ότι για κάθε x(α,β) ισχύει:

)(f)(f

x)(f)x(f

Θέμα 80 Δίνεται η συνάρτηση f(x)=ex+x2-x-1 α. Να βρεθούν οι συναρτήσεις f,f β. Να εξετάσετε αν η C f έχει οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο (0,f(0)) γ. Να βρεθεί η μονοτονία και το πρόσημο της f δ. Να βρεθεί η μονοτονία , τα ακρότατα και το πρόσημο της f ε. Να λυθεί η εξίσωση ex+x2=x+1 στ. Να αποδείξετε ότι ex-1 )x1(x για κάθε x IR

Page 24: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 23 -

Θέμα 81

Δίνεται η συνάρτηση f(x)= x1

ex α. Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και να βρεθούν τα ακρότατα (αν υπάρχουν). β. Να αποδείξετε ότι 1xx ex για κάθε x>0

γ. Να αποδείξετε ότι 2

1

x 1edxx

δ. Να βρεθεί το )x(flim0x

ε. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την

Cg με g(x)= )x(fx

1x2 τον άξονα xx και τις ευθείες x=1 ,x=2.

Θέμα 82 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το IR

και 1edt)t(f 1xx

1 για κάθε x IR και f(0)=0.

Να αποδείξετε ότι: α. f(1)=-1 β. Υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 )1,0( τέτοιο ώστε: 1)x(f 0

γ. Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ )1,0( τέτοιο ώστε :

1

0)(fdt)t(f

Θέμα 83 Δίνονται οι συνεχείς , με θετικές τιμές συναρτήσεις f ,g ορισμένες στο IR και ο μιγαδικός z ώστε για κάθε x IR να

είναι: 2

x x

dt)t(f)x(g|1z|dt)t(g)x(f με α πραγματικό αριθμό.

α. Να λύσετε την εξίσωση

x

0dt)t(f

β. Να αποδείξετε ότι: |z-1|=2

γ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση )x(f)x(g)x(h είναι σταθερή στο IR

Page 25: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 24 -

Θέμα 84 α. Αν η συνάρτηση f:[α,β] R είναι αντιστρέψιμη και παραγωγίσιμη με την f συνεχή να δείξετε ότι:

)(f

)(f

1 )(f)(fdx)x(fdx)x(f

β. Έστω η συνάρτηση f(x)=ημx+2x, x0 i. Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη.

ii.Υπολογίστε το ολοκλήρωμα Ι=

2

0

1 dx)x(f

Θέμα 85

Α. Να αποδειχθεί ότι για κάθε x>0 ισχύει:

1x

0

tte

0

tt dtedte3

x

3

Β. Να υπολογιστούν τα όρια:

i.

2

2x

6x

t

3xdt)ett(lim ii.

x

0

1t

x

0

3t2

xdte

dtelim iii.

x1

0

t

xdtxelim

2

Γ. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: [0,1] (0,1). Να αποδειχθεί

ότι η εξίσωση 2x- 1dt)t(fx

0 έχει μοναδική λύση στο [0,1].

Θέμα 86

Α. Αν α 2x1x

xxln

για κάθε x *IR να δείξετε ότι: αβ=1. Β. Έστω f: (0,+) IR παραγωγίσιμη και για κάθε x>0 ισχύει : f(x) ex+2lnx+x2+1 με f(1)=e+2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο Α(1 ,e+2). Γ. Έστω g παραγωγίσιμη στο IR και g(0)=0. Αν για κάθε x IR ισχύει g(x) xe -x να αποδείξετε ότι: .1)0(g

Page 26: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 25 -

Θέμα 87 Έστω f,g : IRIR είναι συναρτήσεις συνεχείς στο IR τέτοιες ώστε να ισχύει : f(x)-g(x)=x-4 x IR . Έστω ότι η ευθεία με εξίσωση y=3x-7 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f καθώς x α. Να βρείτε τα όρια:

i. x

)x(glimx

ii. 1x3)x(xfx2x3)x(glim 2x

β. Να αποδείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση y=2x-3 είναι ασύμπτωτη της g καθώς x Θέμα 88 Έστω h:[1,+ ) IR συνεχής συνάρτηση που ικανοποιεί τη σχέση:

x1 1x,dt

t)t(h)1x(1999)x(h

Να αποδείξετε ότι: α. h(x)=1999xlnx,x 1 β. Η h είναι γνησίως αύξουσα στο [1, ). Θέμα 89

Δίνεται η συνάρτηση f(t)= ]4.1[t,2t3t2

α. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Ι=

41 dt)t(f

β. Έστω η συνάρτηση g(x)= 4

1xt

0x,dte1x2x)t(f 2

i. Να αποδείξετε ότι: 0x]4,1[t,eee 222 x4

xt

x1

ii. Να υπολογίσετε το όριο )x(glim

x

Page 27: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 26 -

Θέμα 90 Δίνεται η συνάρτηση f: IRIR δυο φορές παραγωγίσιμη η οποία σε σημείο x0 παρουσιάζει τοπικό ακρότατο το 0 και ικανοποιεί τη σχέση : IRx)),x(f)x(f(4)x(f α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x)=f(x)e -2x είναι κυρτή στο IR β. Να αποδείξετε ότι είναι f(x) ,0 για κάθε x IR Θέμα 91 Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] , παραγωγίσιμη στο (α,β) και m )x(f Μ για κάθε x ),( να αποδείξετε ότι για κάθε x1,x2 ],[ με x1<x2 ισχύει: )xx()x(f)x(f)xx(m 121212 Θέμα 92 i. Αν για κάθε x IR ισχύει 0)x(f και 0)x(g να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f,g έχουν το πολύ ένα κοινό σημείο ii. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x)=ex+2x και g(x)=e -x-x3 έχουν ένα μόνο κοινό σημείο που βρίσκεται στον άξονα yy Θέμα 93 Αν μια συνάρτηση f είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο x0 του Δ ισχύει 0)x(f 0 και 0)x(f 0 να αποδείξετε ότι το x0 είναι θέση σημείου καμπής της f Θέμα 94 Α. Αν για τη συνάρτηση f υπάρχει δεύτερη παράγωγος και είναι

συνεχής να αποδείξετε ότι: )x(fh

)hx(f)x(f2)hx(flim 20h

Β. i. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της f(x)= x1

xe ii. Να αποδείξετε ότι για κάθε x>0 ισχύει: 1xx ex

Page 28: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 27 -

Θέμα 95

Α. Αν f(x)=2x1

1

να αποδείξετε ότι:

α. 0x],1x,x[t,x1

1)t(f2

β. 0dt)t(flim1x

xx

Β. Να αποδείξετε ότι: 0dtttx1lim

x

02x

Θέμα 96 Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f(x)=lnx , τον άξονα yy και τις ευθείες y=-1 και y=1 Θέμα 97

Δίνεται η συνάρτηση

1x

x3

1xx3)x(f

2

i. Να αποδείξετε ότι η f είναι ολοκληρώσιμη ii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f την ευθεία x=2 και τον άξονα xx Θέμα 98

Α. Αν για κάθε ),0[x είναι 0)x(f και x

0dt)t(f)x(F να

αποδείξετε ότι για κάθε x>0 ισχύει: )x(F)x(Fx1

Β. Να αποδείξετε ότι: 1xxlnx

1x

για κάθε x>0

Page 29: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 28 -

Θέμα 99 Α. Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης

1xx12x31x1x)x(f 2

2

Β. Να βρείτε συνάρτηση f που είναι συνεχής στο [0, ]2 και για

την οποία ισχύει ]2

.0[,1x2dt)t(f2x

. Ποια πρέπει να

είναι η τιμή του α; Θέμα 100

Δίνεται η συνάρτηση f(x)= 2xxln

α. i. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f ii. Να μελετήσετε την μονοτονία της f και να προσδιορίσετε τα ακρότατά της.

β. i. Να βρείτε τις τιμές των α,β ώστε η συνάρτηση xxln να

είναι αρχική της f . ii. Να βρείτε το )(lim

όπου Ε(κ) το εμβαδόν του χωρίου

που περικλείεται από τη Cf ,τις ευθείες x=1,x=κ>1,και τον άξονα xx

Page 30: 100 θέματα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου 100 Επαναληπτικά Θέματα

Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης - 29 -

Βιβλιογραφία Μαθηματικά Γ Λυκείου –Κατσαργύρης Β. ,Μεντής Κ. ,Παντελίδης Γ. ,Σούρλας Κ. Περιοδικό Ευκλείδης Β Μαθηματικά Γ Λυκείου-Π. Μάμαλης, Σ Μιχαήλογλου Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών-Κ.Ρεκούμης , Κ. Λαγός , Θ. Δελατόλας Μαθηματικά Γ Λυκείου-Αν. Μπάρλας, Τόμος Α, Τόμος Β. Οδηγός Επανάληψης Στα Μαθηματικά –Ευθ.Κωστόγιαννος Μαθηματικά Γ Λυκείου-Χ Στεργίου , Χ. Νάκης , Ι. Στεργίου Ανάλυση τόμος ΙΙ Δ.Καρβούνης 202 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Π. Μάμαλης-Σ Μιχαήλογλου Μιγαδικοί αριθμοί-Θέματα εξετάσεων Χρ.Αχτσαλωτίδης Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Γ. Λ. Μαυρίδης Μαθηματικά I Γ Λυκείου Αλ.Τραγανίτης

Ιστότοποι http://users.sch.gr/apappas/askhseis.php http://www.anodos.edu.gr/OEFE/Themata4.htm