43
1001 Pembahasan UTS Kalkulus II 1 KATA PENGANTAR Sebagaian besar mahasiswa menganggap bahwa Mata Kuliah yang berhubungan dengan menghitung yang salah satunya Kalkulus adalah susah, rumit dan memusingkan. Alhasil jalan keluar yang ditempuh untuk mengatasinya adalah mahasiswa menghafal teknik (urutan cara) menjawab soal, bukan memahami inti persoalan, materi, dan bagaimana mendapatkan ide menyelesaikan soal. Sebagian lagi menganggap pemahaman materi saja sudah cukup. Pengalaman saya, mahasiswa yang baru memahami sebuah materi secara intuitif tetap saja akan kesulitan ketika menjawab persoalan. Kesulitan bukan karena tidak tahu jawabannya, tetapi kurang pandai bagaimana cara mengungkapkannya. Kemampuan seseorang menuangkan apa yang difahaminya ke dalam tulisan yang sistematis dan bisa dimengerti orang lain juga penting, karena orang khususnya dosen ketika UAS tertulis menilai apa yang kita tulis pada lembar jawaban bukan apa yang ada di dalam otak kita. 1001 soal dan solusi “ ini dibuat bukan dengan tujuan agar mahasiswa pembaca menghafal teknik menjawabnya, melainkan supaya pembaca dapat lebih memahami materi, dan berlatih mengungkapkan apa yang difahami. Tentunnya tulisan ini tidaklah cukup bagi pembaca, text book dan penjelasan dari dosen tetaplah lebih utama, jadikan soal- soal yang ada disini sebagai latihan, sekedar untuk melihat kebenaran jawaban anda atau ketika anda merasa sudah mengalami kebuntuan, baru silahkan pembaca menyimak pembahasannya.

1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

Embed Size (px)

DESCRIPTION

dengan latihan bayak soal soal dapat membantu kita memahami pelajaran dengan baik dan benar..

Citation preview

Page 1: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

1

KATA PENGANTAR

Sebagaian besar mahasiswa menganggap bahwa Mata Kuliah yang

berhubungan dengan menghitung yang salah satunya Kalkulus adalah

susah, rumit dan memusingkan. Alhasil jalan keluar yang ditempuh

untuk mengatasinya adalah mahasiswa menghafal teknik (urutan cara)

menjawab soal, bukan memahami inti persoalan, materi, dan bagaimana

mendapatkan ide menyelesaikan soal.

Sebagian lagi menganggap pemahaman materi saja sudah cukup.

Pengalaman saya, mahasiswa yang baru memahami sebuah materi secara

intuitif tetap saja akan kesulitan ketika menjawab persoalan. Kesulitan

bukan karena tidak tahu jawabannya, tetapi kurang pandai bagaimana

cara mengungkapkannya. Kemampuan seseorang menuangkan apa yang

difahaminya ke dalam tulisan yang sistematis dan bisa dimengerti orang

lain juga penting, karena orang khususnya dosen ketika UAS tertulis

menilai apa yang kita tulis pada lembar jawaban bukan apa yang ada di

dalam otak kita.

“1001 soal dan solusi “ ini dibuat bukan dengan tujuan agar

mahasiswa pembaca menghafal teknik menjawabnya, melainkan supaya

pembaca dapat lebih memahami materi, dan berlatih mengungkapkan

apa yang difahami. Tentunnya tulisan ini tidaklah cukup bagi pembaca,

text book dan penjelasan dari dosen tetaplah lebih utama, jadikan soal-

soal yang ada disini sebagai latihan, sekedar untuk melihat kebenaran

jawaban anda atau ketika anda merasa sudah mengalami kebuntuan, baru

silahkan pembaca menyimak pembahasannya.

Page 2: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

2

Semoga bermanfaat !

Arip Paryadi

Page 3: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

3

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR .................................................................................... 1

DAFTAR ISI .................................................................................................. 3

SOAL SOAL .................................................................................................. 4

UTS Kalkulus II MA1424 2008-2009 SP ............................................... 5

UTS Kalkulus II MA1123 2008-2009 .................................................... 6

UTS Kalkulus II MA1124 2008-2009 .................................................... 7

UTS Kalkulus II MA1224 2007-2008 .................................................... 8

UTS Kalkulus II MA1124 2006-2007 .................................................... 9

UTS Kalkulus II MA1124 2005-2006 .................................................. 10

UTS Kalkulus II MA1124 2004-2005 .................................................. 11

UTS Kalkulus II MA/DA1324 2000-2001 ........................................... 12

UTS Kalkulus II DA1324 1999-2000 ................................................... 13

PEMBAHASAN ........................................................................................... 14

UTS Kalkulus II MA1124 2008-2009 SP ............................................. 15

UTS Kalkulus II MA1424 2008-2009 .................................................. 18

UTS Kalkulus II MA1123 2008-2009 .................................................. 21

UTS Kalkulus II MA1224 2007-2008 .................................................. 24

UTS Kalkulus II MA1124 2006-2007 .................................................. 28

UTS Kalkulus II MA1124 2005-2006 .................................................. 32

UTS Kalkulus II MA1124 2004-2005 .................................................. 35

UTS Kalkulus II MA/DA1324 2000-2001 ........................................... 37

UTS Kalkulus II DA1324 1999-2000 ................................................... 41

Page 4: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

4

SOAL SOAL

Page 5: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

5

UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2008-2009

KALKULUS II MA 1424

SENIN 13 APRIL 2009

TUTUP BUKU

UTS Kalkulus II MA1424 2008-2009 SP

Kerjakan dengan Singkat dan Benar !

Berdoalah sebelum mengerjakan !

1. Tentukan selang kekonvergenan dari deret ( )

( )∑

+

+∞

=0 31

2

nn

n

n

x

2. Diketahui keluarga kurva cyx =+ 22 2

a. Tentukan trayektori orthogonal dari keluarga kurva tersebut.

b. Gambarkan keluarga kurva tersebut dan trayektori ortogonalnya

3. Tentukan solusi khusus dari ( ) ( )715 0',10,10'3" ===−− yyeyyy

x

4. Diketahui partikel P bergerak sepanjang garis I dengan persamaan gerak

partikel P adalah ( ) ( ) 50,4,3,0531,2,3 2≤≤+−+−= ttttr

r

Tentukan :

a. Titik awal partikel P

b. Vector kecepatan dan percepatan pada t = 2

5. Tentukan kelengkungan dari kurva tytx sin2,cos3 == di titik ( )1,323

No 1 2 3 4 5

Bobot 8 8 8 8 8

-o0o- Semoga Sukses -o0o-

Page 6: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

6

UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2008-2009

KALKULUS II MA 1123

SENIN 13 APRIL 2009

TUTUP BUKU

UTS Kalkulus II MA1123 2008-2009

Kerjakan dengan Singkat dan Benar !

Berdoalah sebelum mengerjakan !

1. Tentukan solusi khusus persamaan diferensial

( ) 01,' 3 ==+ yeyxyx

2. Tentukan solusi umum persamaan diferensial

2215'2" xeyyyx +=−−

3. Tentukan selang kekonvergenan

( )

( )∑

+

−∞

=12

12

1

nn

n

n

x

Page 7: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

7

UJIAN TENGAH SEMESTER PENDEK 2008-2009

KALKULUS II MA 1124

JUM’AT 24 JULI 2009

TUTUP BUKU

UTS Kalkulus II MA1124 2008-2009

Jangan lupa berdoa sebelum mengerjakan

Kerjakan dengan teliti dan jelas

1. Tentukan selang kekonvergenan dari deret ( )( )

∑∞

= +

−−

0 12

521

nn

nn

n

x

2. Tentukan solusi khusus dari ( ) 50,3222 ==− yexxy

dx

dy x

3. Tentukan solusi umum dari 3" xeyy

x+=+

4. Diketahui ( ) ( ) jtittr ˆ4ˆ1 22+−=

r

a. Tentukan persamaan garis singgung pada titik P(1,0)

b. Tentukan kelengkungannya di titik P tersebut.

No 1 2 3 4

Skor 12 8 8 12

Page 8: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

8

UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2007 / 2008 MA1224 KALKULUS II

SENIN / 7 APRIL 2008

TUTUP BUKU

UTS Kalkulus II MA1224 2007-2008

1. a. Periksa apakah deret ( )( )

∑+

−∞

=1 1

11

n

n

nn konvergen mutlak ,

konvergen bersyarat atau divergen

b. Periksa kekonvergenan deret ∑+

=1 24nn

n

2. Perderetkan fungsi x

xf+

=2

2)( kedalam deret taylor dengan pusat di

x= 2.

3. a. Tentukan solusi persamaan differensial ( ) ( ) 20;1'1 ==++ yyyx

b. Tentukan solusi persamaan differensial x

exyyy 22'3" +=+−

c. Tentukan solusi persamaan differensial 3

'2"x

eyyy

x

=+−

4. Diketahui ( ) jtittrrrr 2+= menyatakan vektor posisi dari partikel yang

bergerak pada bidang.

a. Tentukan kecepatan dan laju (besarnya kecepatan ) di titik (1,1)

b. Tentukan dan gambarkan bentuk lintasan partikel tersebut .

Page 9: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

9

UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2006/2007 MA1124 KALKULUS 11

SENIN 2 APRIL 2007

TUTUP BUKU

UTS Kalkulus II MA1124 2006-2007

1. Tentukan selang kekonvergenan deret ( )

∑+∞

=1 2

13

nn

n

n

x

2. Tentukan solusi dari x

eyy +=− 2''' bila y(0) = 0, y’(0) = 1

3. Tentukan perderetan Mc Laurin dari : x

xf32

1)(

+= dan selang

konvergensinya

4. Misalkan jtittrrrr

)2()( −+=

a. Tentukan persamaan garis singgung di titik P(1,1)

b. Tentukan kelengkungan di titik P(1,1)

5. Tentukan solusi persamaan difenrensial 42' xyxy =−

Soal 1 2 3 4 5

Nilai 8 8 8 8 8

Korektor SMG RMI EBS RIZKI WDT

Page 10: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

10

UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2005/2006

KALKULUS II MA 1124

SENIN / 3 APRIL 2006

CLOSE BOOK

UTS Kalkulus II MA1124 2005-2006

1. Diketahui 4

22

2

−n

nn

e

ee

a. Periksa kekonvergenan barisan { }∞

=1nna

b. Periksa kekonvergenan deret ∑∞

=1nna

2. Cari himpunan kekonvergenan deret

⋅⋅⋅+−

+−

+−

+6

)3(8

5

)3(4

4

)3(2

3

132

xxx

3. Tentukan solusi umum persamaan diferensial xxyy +=− 2sinh24''

(petunjuk : )2

sinhaxax ee

ax−−

=

4. Diketahui lintasan dengan fungsi vector jtittF ˆsin3ˆcos2)( +=r

.

tentukan kelengkungan di (0,-3)

NO 1 2 3 4

NILAI 10 10 10 10

Selamat Bekerja dengan Jujur

Page 11: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

11

UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2004/2005

KALKULUS II MA1124

SENIN 11 APRIL 2005

TANPA KALKULATOR

UTS Kalkulus II MA1124 2004-2005

1. Periksa kekonvergenan deret : ( )

∑+

=0 25

4

1

n n

2. Tentukan deret Mc Laurin dari ( )xxxf += 1ln)(

3. Tentukan persamaan trayektori ortogonal dari : ( ) 21 xcy −=

4. Tentukan kuat arus yang mengalir pada rangkaian LC dengan L = 1

Henry, C = 0,01 Farad, sumber tegangan E(t) = 12 volt, jika pada saat

awal tidak ada arus yang mengalir dan tidak ada muatan pada

kapasitornya.

5. Diketahui persamaan parametrik dari kurva C di bidang :

tty

ttx

sincos

sincos

−=

+=

a. Tentukan persamaan kurva C dan gambarkan!

b. Tentukan persamaan parameter garis singgung di titik (1,1).

Selamat Bekerja dengan TEKUN, TELITI, dan JUJUR

Page 12: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

12

UJIAN TENGAH SEMESTER 2000-2001

MA/DA-1324 KALKULUS II

JUM’AT/ 6 APRIL 2001

TUTUP BUKU

UTS Kalkulus II MA/DA1324 2000-2001

1. a. Tentukan solusi khusus persamaan diferensial ( ) 0'2 222 =++ xyyx

dengan

1)0( =y

b. Tentukan solusi umumx

xyxy

sin2' =+

2. Diketahui persamaan diferensial )(2'2'' xryyy =++

a. Tentukan solusi umum jika 0)( =xr

b. Tentukan solusi umum jika xexrx sin)( −=

3. Diketahui yxyxyxf 22),( 224 −−+=

a. Tentukan turunan berarah dari ),( yxf dititik (1,1) dalam arah

jiarrr

+=

b. Tentukan nilai ekstrim beserta jenisnya dari ),( yxf

4. Diketahui persamaan kurva C di ruang ktjteitetrtt

rrrr++= sincos)(

a. Tentukan vektor singgung di titik (1,0,0)

b. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva C di titik (,10,0)

Selamat Bekerja dengan Jujur

Page 13: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

13

UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 1999/2000

KALKULUS II / DA-1324

JUM’AT 24 MARET 2000

TUTUP BUKU

UTS Kalkulus II DA1324 1999-2000

1. Tentukan solusi khusus dari PD ,sec2tan xxydx

dy=+ bila y(0) = 2 .

2. Diketahui PD : )(2'3'' xfyyy =+−

a. Tentukan solusi khusus PD bila f(x) = 0, y(0) = 3 dan y’(0) = 4

b. Tentukan solusi umum PD bila 1

)(+

=x

x

e

exf

3. Diketahui 2),( 23 −+−= yxxyxyxf

Tentukan :

a. Turunan berarah dari ),( yxf di titik (-1,2) dengan arah jiarrr

+= 3

b. Nilai ekstrim dan jenisnya dari ),( yxf

4. Tentukan persamaan bidang singgung dan persamaan garis normal dari

permukaan )3,2,1(titikdi174 222 =++ zyx

5. Diketahui sebuah partikel bergerak sepanjang lengkungan C dengan

vektor posisi ( ) ( )kttjtitttFrrrr

323 3323)( ++++=

a. Tentukan vektor kecepatan dan vektor percepatan partikel di titik

(5,3,4)

b. Tentukan cosinus sudut antara vektor kecepatan dan vektor

percepatan partikel di titik (5,3,4)

Page 14: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

14

PEMBAHASAN

Page 15: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

15

PEMBAHASAN

UJIAN TENGAH SEMESTER PENDEK 2008-2009

KALKULUS II MA 1124

JUM’AT 24 JULI 2009

UTS Kalkulus II MA1124 2008-2009 SP

1. Menentukan selang kekonvergenan dari deret ( )( )

∑∞

= +

−−

0 12

521

nn

nn

n

x

Untuk menentukan titik titik x yang membuat deret konvergen kita

lakukan uji hasil bagi mutlak

Untuk deret ini ( )( )

12

521

+

−−=

n

xa

n

nn

n dan ( )( )

22

521

1

11

1+

−−=

+

++

+n

xa

n

nn

n .

( ) ( )

( ) ( )nn

n

n

nn

nn

n

n x

n

n

x

a

a

521

12.

22

521limlim

1

111

−−

+

+

−−==

+

++

∞→

+

∞→

ρ

521

1lim52

2

1lim52

21

2

1

21

21 −=

+

+−=

+

+−=

∞→∞→

xxn

nx

n

n

nn

Menurut uji hasil bagi deret di atas akan divergen jika 1>ρ dan

konvergen jika 1<ρ yaitu jika 15221 <−x atau

252 <−x

2522 <−<− x

723 << x

27

23 << x ,

sedangkan untuk 1=ρ (23=x dan

27=x ) uji hasil bagi gagal sehingga

perlu dilakukan uji yang lainnya. Bila 23=x deret menjadi

( )( )

( )( ) ( )

∑=∑+

=∑+

−=∑

+

−−=∑

+

−−

=

=

=

=

= 100

2

00 21

1

1

1

1

1

12

211

12

21

knn

n

nn

nnn

nn

nn

knnnn

yang merupakan deret divergen (deret p dengan p = ½ < 1).

Bila 27=x deret menjadi ( ) ( )∑

+−=∑

+−

=

= 00 1

11

12

21

n

n

nn

nn

nn . Untuk

memeriksa kekonvergenannya kita lakukan uji deret ganti tanda . untuk

deret tersebut 1

1

+=

nan dan

2

11

+=+

nan . Sekarang perhatikan

bahwa

Page 16: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

16

• 12

11 <+

+=+

n

n

a

a

n

n atau nn aa <+1 dan

• 01

1limlim =

+=

∞→∞→ na

nn

n

Oleh karena itu menurut uji deret ganti tanda ( )∑+

−∞

=0 1

11

n

n

nkonvergen.

Jadi ( )( )

∑∞

= +

−−

0 12

521

nn

nn

n

x konvergen pada interval

27

23 ≤< x

2. Menentukan solusi khusus dari ( ) 50,3222

==− yexxydx

dy x

Faktor integrasi untuk PD tersebut adalah 22 xxdx

eeI−−

=∫=

Apabila PD awal dikalikan dengan faktor integrasi akan menghasilkan

232

22

xxyeedx

dy xx=−

−− yang dapat kita dituliskan dalam bentuk

( ) 23

2

xdx

yedx

=−

( ) dxxyedx 23

2

=−

Dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh

cxdxxyex +=∫=− 323

2

atau ( ) 23 xecxy += yang merupakan solusi umum

PD. Untuk mendapatkan solusi khusus kita sulihkan kondisi awal ( ) 50 =y

kedalam solusi umum PD menghasilkan 5=c . Sehingga solusi khusus

untuk PD di atas adalah ( ) 2

53 xexy +=

3. Menentukan solusi umum dari 3" xeyy

x+=+

Persamaan karakteristik yang sesuai adalah : 012 =+r

⇔ ir ±=

Sehingga didapat ir =1 dan ir −=2 .

Jadi solusi homogennya xBxAyh cossin +=

Untuk py dipilih GFxExDxCeyx

p ++++= 23 sehingga

FExDxCeyx

p +++= 23' 2

EDxCeyx

p 26'' ++=

Page 17: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

17

kemudian kita substitusi ke persamaan PD awal menghasilkan 32326 xeGFxExDxCeEDxCe

xxx +=+++++++

( ) ( ) 323 262 xeGExFDExDxCexx +=++++++

Dengan membandingkan koefisien suku suku yang sejenis pada kedua

ruas diperoleh

12 =C atau 21=C

0,1 == ED

06 =+ FD atau 6−=F

02 =+GE atau 0=G

Jadi xxeyx

p 63

21 −+= dan solusi umum PD di atas adalah

xxexBxAyx 6cossin 3

21 −+++=

4. Diketahui ( ) ( ) jtittr ˆ4ˆ1 22+−=

r

a. Menentukan persamaan garis singgung pada titik P(1,0)

0t = waktu saat titik P (1,0) tercapai yaitu 00 =t

( ) ( ) jtittr ˆ8ˆ12' +−=r

( ) ( ) jirtr ˆ0ˆ20'' 0 +−==rr

( ) ( ) jirtr ˆ0ˆ00 +==rr

Jadi persamaan parameter garis singgung di titik P(1,0) adalah 0,21 =−= ytx

b. Menentukan kelengkungannya di titik P tersebut.

untuk kasus di atas ( )21−= tx dan 24ty = maka :

( )12' −= tx 2"=x

ty 8'= 8"=y

Kelengkungan untuk sembarang nilai t adalah :

( )( ) ( )[ ]

( )

( )[ ] ( )[ ] 23

23

23

2222226414

16

6414

16116

''

"'"'

tttt

tt

yx

xyyxt

+−

=

+−

−−=

+

−=κ

Jadi kelengkungan di titik P adalah ( ) ( ) 200 == κκ t

Page 18: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

18

PEMBAHASAN

UJIAN TENGAH SEMESTER GANJIL 2008-2009

KALKULUS II MA 1424

SENIN 13 APRIL 2009

UTS Kalkulus II MA1424 2008-2009

1. Menentukan selang kekonvergenan dari deret ( )

( )∑

+

+∞

=0 31

2

nn

n

n

x

Untuk menentukan titik titik x yang membuat deret konvergen dapat kita

lakukan uji hasil bagi mutlak

Untuk deret ini ( )

( )∑

+

+=

=0 31

2

nn

n

nn

xa dan

( )

( )∑

+

+=

=+

+

+0

1

1

132

2

nn

n

nn

xa .

( )

( )

( )

( )n

n

n

n

nn

n

n x

n

n

x

a

a

2

31.

32

2limlim

1

11

+

+

+

+==

+

+

∞→

+

∞→

ρ 22

1lim2

31

31 +=

+

++=

∞→

xn

nx

n

Menurut uji hasil bagi deret di atas akan divergen jika 1>ρ dan

konvergen jika 1<ρ yaitu jika 1231 <+x atau

32 <+x

323 <+<− x

15 <<− x

sedangkan untuk 1=ρ ( 5−=x atau 1=x ) uji hasil bagi gagal sehingga

perlu dilakukan uji yang lainnya. Bila 5−=x deret menjadi

( )

( )

( )( )

∑+

−∑ =

+

− ∞

=

= 00 1

1

31

3

n

n

nn

n

nn yang merupakan deret harmonis ganti tanda yang

konvergen. Sedangkan untuk 1=x deret menjadi ( ) ( )

∑+

=∑+

=

= 00 1

1

31

3

nnn

n

nn

yang merupakan deret harmonis yang divergen. Jadi deret di atas

konvergen pada selang 15 <≤− x .

2. Diketahui keluarga kurva cyx =+ 22 2

a. Menentukan trayektori orthogonal dari cyx =+ 22 2

( ) ( )cDyxD xx =+ 22 2

0'42 =+ yyx

y

xy

2' −=

Page 19: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UT

Trayektori orthogonal akan memenuhi persamaan

diferensial

'

1'

yy

t −= � x

yy

t 2' =

x

y

dx

dy 2=

x

dx

y

dy 2= integralkan kedua ruas menghasilkan

*ln2ln Cxy +=

22 lnlnlnln CxCxy =+= (C* = ln C)

2Cxy =

Jadi trayektori orthogonal dari cyx =+ 22 2

adalah parabola 2Cxy =

b. Gambar keluarga kurva dan trayektori

ortogonalnya seperti pada gambar di samping.

3. Menentukan solusi khusus dari ( )5 10,10'3" ==−− yeyyyx

Persamaan karakteristik yang sesuai adalah 32 −r

( )( ) 025 =+− rr

2atau5 −== rr

Jadi solusi homogennya xx

h ececy2

25

1−

+=

Untuk py dipilih x

p Axey5= sehingga

xxp AxeAey

55 5' +=

xxxxxp AxeAeAxeAeAey

55555 25102555" +=++=

kemudian kita substitusi ke persamaan PD awal menghasilkan

( ) xxxxxxeAxeAxeAeAxeAe

555555 10532510 =−+−+

xx eAe 557 =

17 =A � 71=A

Sehingga xp xey

5

71=

Jadi solusi umum PD di atas adalah xxececy

712

25

1 ++= −

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

19

( )710',1 =y

0103 =−r yaitu

kemudian kita substitusi ke persamaan PD awal menghasilkan

xxe

5 .

Page 20: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

20

Untuk mendapatkan solusi khususnya kita substitusikan kondisi awal

( ) ( )710'dan10 == yy .

xxxxxeeececy

5

755

712

25

1 25' ++−=−

Dari ( ) 10 =y diperoleh *121 =+ cc

Dari ( )710' =y diperoleh **025 21 =− cc

Jika system ini diselesaikan akan diperoleh 72

1 =c dan 75

2 =c . Jadi

solusi khusus dari PD di atas adalah xxxxeeey

5

712

755

72 ++= −

4. Diketahui partikel P bergerak sepanjang garis I dengan persamaan gerak

partikel P adalah ( ) ( ) 50,4,3,0531,2,3 2 ≤≤+−+−= ttttrr

a. Menentukan titik awal partikel P

Titik awal partikel P terjadi ketika t = 0 yaitu ( ) 4,3,051,2,30 +−=rr

19,17,3=

b. Vector kecepatan dan percepatan pada t = 2

Vector kecepatan dan percepatan untuk sembarang t adalah :

( ) ( ) ( ) 4,3,032' −== ttrtvrr

( ) ( ) 8,6,04,3,02' === tvtarr

Vector kecepatan dan percepatan untuk t = 2 adalah :

( ) 4,3,02 =vr

( ) 8,6,02 =ar

5. Menentukan kelengkungan dari kurva tytx sin2,cos3 == di titik

( )1,323

tx sin3' −= ty cos2'=

tsx cos3" −= ty sin2" −=

Kelengkungan kurva untuk sembarang t adalah :

( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) 2

32

32

32222

22

22 cos4sin9

6

cos4sin9

cos6sin6

''

"'"'

tttt

tt

yx

xyyxt

+

=

+

+=

+

−=κ

Titik ( )1,323 dipenuhi ketika

6π=t , sehingga kelengkungan di titik

tersebut adalah ( )( ) 217

16

3

6

23

49

6=

+=πκ

Page 21: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

21

UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2008-2009

Kalkulus II MA 1123

Senin 13 April 2009

Tutup Buku

UTS Kalkulus II MA1123 2008-2009

1. Menentukan solusi khusus persamaan diferensial ( ) 01,' 3 ==+ yeyxyx

Jika kita perhatikan persamaan diferensial ini dapat kita tuliskan dalam

bentuk

( ) xe

dx

yxd 3=

( ) dxeyxdx3=

( ) ∫=∫ dxeyxdx3

ceyxx += 3

31

x

cey

x+

=

3

31

Untuk mendapatkan solusi khusus kita sulihkan kondisi awal ( ) 01 =y

menghasilkan 3

31 ec −= . jadi solusi khusus dari persamaan diferensial di

atas adalah x

eey

x

3

33 −=

2. Menentukan solusi umum persamaan diferensial 2215'2" xeyyyx

+=−−

Persamaan karakteristik yang sesuai adalah 01522 =−− rr yaitu

( )( ) 035 =+− rr

5=r atau 3−=r

Sehingga solusi homogennya adalah xxh ececy

32

51

−+=

Untuk py dipilih DCxBxAeyx

p +++= 2 sehingga

CBxAeyx

p ++= 2'

BAeyx

p 2" +=

Kemudian kita substitusikan ke dalam PD awal menghasilkan

( ) ( ) 22 215222 xeDCxBxAeCBxAeBAexxxx

+=+++−++−+

( ) ( ) 22 215221541516 xeDCBxCBBxAexx

+=−−++−−−

Dengan membandingkan koefisien suku suku yang sejenis pada kedua

ruas secara berturut turut kita peroleh :

Page 22: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

22

116 =− A atau 161−=A

215 =− B atau 152−=B

0154 =+ CB atau 2258=C

01522 =−− DCB atau 3375

76−=D

Dengan demikian 3375

7622582

152

161 −+−−= xxey

xp

Jadi solusi umum persamaan diferensial di atas adalah ph yyy +=

337576

22582

152

1613

25

1 −+−−+= −xxeececy

xxx

3. Menentukan selang kekonvergenan ( )

( )∑

+

−∞

=12

12

1

nn

n

n

x

Untuk menentukan nilai x yang menyebabkan deret konvergen dapat kita

lakukan uji hasil bagi mutlak.

Untuk deret ini ( )

( )212

1

+

−=

n

xa

n

n

n dan ( )

( )21

1

122

1

+

−=

+

+

+n

xa

n

n

n

( )

( )

( )

( )

( )

( )1

2

1lim1

1

12.

22

1limlim 2

1

2

2

21

2

21

11

−=+

+−=

+

+

−==

∞→+

+

∞→

+

∞→

xn

nx

x

n

n

x

a

a

nn

n

n

n

nn

n

n

ρ

Menurut uji hasil bagi deret akan divergen jika 1>ρ dan konvergen jika

1<ρ yaitu jika 1121 <−x atau

21 <−x

212 <−<− x

31 <<− x

sedangkan untuk 1=ρ ( 1−=x dan 3=x ) uji hasil bagi gagal sehingga

perlu dilakukan uji yang lainnya .

bila 1−=x deret menjadi ( )

( )

( )

( )∑

+

−∑ =

+

− ∞

=

= 12

12

112

2

n

n

nn

n

nn

misalkan ( )

( )∑=∑

+

− ∞

=

= 112

1 nn

n

n

un

dengan ( )

( )21+

−=

nu

n

n . sekarang perhatikan

bahwa ( )

∑+

=∑∞

=

= 12

1 1

1

nnn

nu merupakan deret konvergen (deret p dengan

12 >=p ) sekaligus menunjukkan bahwa ( )

( )∑

+

−∞

=12

1n

n

n konvergen mutlak.

Page 23: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

23

Bila 3=x deret menjadi ( )

∑+

=12

1

1

n n yang merupakan deret konvergen

(deret p dengan 12 >=p ). Akhirnya dapat kita simpulkan bahwa

( )

( )∑

+

−∞

=12

12

1

nn

n

n

x konvergen pada 31 ≤≤− x

Page 24: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

24

PEMBAHASAN

UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2007 / 2008

MA1224 KALKULUS II

SENIN / 7 APRIL 2008

UTS Kalkulus II MA1224 2007-2008

1. a. Memeriksa apakah deret ( )( )

∑+

−∞

=1 1

11

n

n

nn konvergen mutlak ,

konvergen bersyarat atau divergen.

untuk deret ini ( )( )1

11

+−=

nna

nn dan ( )

( )( )21

11

11

++−=

++

nna

nn .

untuk memeriksa apakah Ia konvergen mutlak kita lakukan uji hasil

bagi mutlak

( )

( )( )1

2lim

21

1limlim

1=

+=

++

+==

∞→∞→

+

∞→ n

n

nn

nn

a

a

nnn

n

n

ρ

karena 1=ρ maka uji hasil bagi gagal mengujinya, sehingga perlu

dilakukan uji yang lain. Sekarang perhatikan bahwa karena :

( ) ( )( ) 1

1

11

1

1

1

+=

++>

+=

nnnnnan

maka uji perbandingan dapat digunakan. Selanjutnya karena ∑+

=1 1

1

n n

merupakan deret harmonis yang divergen maka kita simpulkan bahwa

∑∞

=1nna divergen dan akibatnya deret ∑

=1nna tidak konvergen mutlak.

Sekarang kita lakukan uji deret ganti tanda untuk memeriksa

kekonvergenan ( )( )

∑+

−∞

=1 1

11

n

n

nn .

misalkan

( )( )

( )∑ −=∑+

−∞

=

= 11

11

11

nn

n

n

nb

nn dengan

( )1

1

+=

nnbn

• ( )

( )( )1

221

11<

+=

++

+=

+

n

n

nn

nn

b

b

n

n

• ( )

01

1limlim =

+=

∞→∞→ nnb

nn

n

Page 25: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

25

Oleh karena itu menurut uji deret ganti tanda deret ( )( )

∑+

−∞

=1 1

11

n

n

nn

konvergen dan akhirnya dapat kita simpulkan bahwa ( )( )

∑+

−∞

=1 1

11

n

n

nn

konvergen bersyarat.

b. memeriksa kekonvergenan deret ∑+

=1 24nn

n

untuk memeriksanya kita lakukan uji hasil bagi. Untuk deret ini

nn

na

24 += dan

1124

1++

+

+=

nn

na

( )( ) 2

1

22

12lim.1

24

24lim.

1lim

24

24

1lim

24

24

11

1

=+

+=

+

++=

+

+

+==

∞→

+∞→∞→

+

+

∞→

n

n

n

n

n

n

n

nn

n

nn

n

n n

n

n

n

a

Karena 121 <=ρ , menurut uji hasil bagi ∑

+

=1 24nn

n konvergen.

2. Menentukan deret Taylor dari x

xf+

=2

2)( dengan pusat di x = 2

( )

( )

( )

( )2

1

22

!112

2

12)('

xxxf

+

−=

+

−=

( )( )

( )

( )

( )3

2

32

!212

2

212)(''

xxxf

+

−=

+

−−=

( )( )( )

( )

( )

( )4

3

42

!312

2

3212)('''

xxxf

+

−=

+

−−−=

M M

( ) ( )

( ) 12

!12)(

++

−=

n

nn

x

nxf �

( ) ( )14

!12)2(

+

−=

n

nn n

f

Jadi deret taylor dari f dengan pusat di x = 2 adalah : ( ) ( )

( ) ( ) ( )∑ −−=∑ −=∞

=+

= 01

0

24

212

!

2)(

n

n

n

n

n

nn

xxn

fxf

Page 26: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

26

3. a. Menentukan solusi persamaan differensial ( ) ( ) 20;1'1 ==++ yyyx

jika kita perhatikan PD di atas dapat kita tuliskan dalam bentuk

( )( )1

1=

+

dx

yxd atau

( )( ) dxyxd =+ 1 integralkan kedua ruas menghasilkan

( ) cxyx +=+1

1+

+=

x

cxy

Untuk mendapatkan solusi khusus sulihkan kondisi awal ( ) 20 =y ke

dalam solusi umum PD menghasilkan 2=c . Jadi solusi khusus dari

PD di atas adalah 1

2

+

+=

x

xy

Note : ( )( )

( )( ) ( )( )'111

yxyxDdx

yxdx +=+=

+

b. Menentukan solusi persamaan differensial x

exyyy 22'3" +=+−

Persamaan karakteristik yang sesuai adalah 0232 =+− rr yaitu

( )( ) 012 =−− rr

1=r atau 2=r

Dengan demikian solusi homogennya adalah xx

h ececy2

21 +=

Untuk py dipilih xp CxeBAxy ++= sehingga

xxp CxeCeAy ++='

xxxxxp CxeCeCxeCeCey +=++= 2"

Kemudian kita substitusikan ke PD awal menghasilkan

( ) ( ) xxxxxxexCxeBAxCxeCeACxeCe 2232 +=+++++−+

( ) xxexCeAxBA 2223 +=−++−

Dengan membandingkan koefisien suku suku yang sejenis pada kedua

ruas diperoleh :

2=−C atau 2−=C

12 =A atau 21=A

023 =+− BA atau 43=B

Jadi xp xexy 2

43

21 −+= dan solusi umum PD di atas adalah

xxxph xexececyyy 2

43

212

21 −+++=+=

Page 27: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

27

c. Menentukan solusi persamaan differensial 3

'2"x

eyyy

x

=+−

Persamaan karakteristik yang sesuai adalah : 0122 =+− rr atau

( ) 012

=−r � 1=r

Jadi solusi homogennya adalah xx

h xececy 21 +=

untuk py dipilih 21 vyuyy p += dengan :

xey =1

xxey =2

xey ='1 ( ) xxx

exxeey 1'2 +=+=

Untuk mendapatkan u dan v, kita menghitung wronskian terlebih

dahulu yaitu

( ) xxxexeexyyyyW

2222121 1'' =−+=−=

Sehingga diperoleh :

( )∫ ∫ ∫ =−=−=−=

xxdx

e

xexe

dxW

xryu

x

xx

11.

.

22

32

( )∫ ∫ ∫ −====

232

31

2

11.

.

xxdx

e

xee

dxW

xryv

x

xx

Jadi solusi nonhomogennya adalah x

e

x

xe

x

ey

xxx

p22 2

=−= dan solusi

umum PD di atas adalah x

exececy

xxx

221 ++=

4. ( ) jtittrrrr 2

+= adalah vektor posisi partikel yang bergerak pada bidang.

a. Menentukan kecepatan dan laju (besarnya kecepatan ) di titik (1,1)

Kecepatan untuk sembarang t adalah ( ) ( ) jtitrtvrrrr

2' +== , sedangkan

kelajuannya ( ) 241 ttv +=r

. Titik (1,1) dipenuhi ketika 1=t .

sehingga kecepatan dan kelajuan pada (1,1) masing masing adalah

( ) dan21 jivrrr

+= ( ) 51 =vr

b. Persamaan parameter untuk ( )trr

adalah

2, tytx == sehingga lintasan partikel

berbentuk parabola 2xy =

2xy =

Page 28: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

28

PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2006/2007

MA1124 KALKULUS 11

SENIN 2 APRIL 2007

UTS Kalkulus II MA1124 2006-2007

1. Menentukan selang kekonvergenan deret ( )

∑+∞

=1 2

13

nn

n

n

x

Untuk menentukan titik titik x yang membuat deret konvergen dapat kita

lakukan uji hasil bagi mutlak .

Untuk deret ini ( )

n

n

nn

xa

2

13 += dan

( )

( ) 1

1

121

13+

+

++

+=

n

n

nn

xa

( )

( ) ( )13

1lim13

13

2.

21

13limlim 2

121

1

11

+=+

+=++

+==

∞→+

+

∞→

+

∞→

xn

nx

x

n

n

x

a

a

nn

n

n

n

nn

n

n

ρ

Menurut uji hasil bagi deret di atas akan divergen jika 1>ρ dan

konvergen jika 1<ρ yaitu jika 11321 <+x atau

213 <+x

2132 <+<− x

133 <<− x

311 <<− x

sedangkan untuk 1=ρ ( 1−=x dan 31=x ) uji hasil bagi gagal sehingga

perlu dilakukan uji yang lainnya.

Bila 1−=x deret menjadi ( ) ( )

∑−

=∑− ∞

=

= 11

1

2

2

n

n

nn

n

nn yang merupakan deret

harmonis ganti tanda yang konvergen.

Bila 31=x deret menjadi ∑=∑

=

= 11

1

2

2

nnn

n

nn yang merupakan deret harmonis

yang divergen.

Akhirnya dapat kita simpulkan bahwa ( )

∑+∞

=1 2

13

nn

n

n

x konvergen pada

311 <≤− x

Page 29: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

29

2. Menentukan solusi dari PD x

eyy +=− 2''' bila y(0) = 0 dan y’(0) = 1.

Persamaan karakteristik yang sesuai adalah 02 =− rr atau ( ) 01 =−rr

sehingga didapat 0=r atau 1=r . dengan demikian solusi homogennya

adalah xh eccy 21 +=

Untuk py dipilih xp BxeAxy += sehingga

xxp BxeBeAy ++='

xxxxxp BxeBeBxeBeBey +=++= 2"

Kemudian kita substitusikan ke dalam PD awal menghasilkan

( ) xxxxxeBxeBeABxeBe +=++−+ 22

xx eBeA +=+− 2

Dengan membandingkan koefisien suku suku yang sejenis pada kedua

ruas kita peroleh

2−=A dan 1=B

Sehingga xp xexy +−= 2 dan solusi umum persamaan diferensial yaitu

xxxexeccy +−+= 221 .

xxxxeeecy ++−= 2' 2

Untuk mendapatkan solusi khusus kita sulihkan kondisi awal y(0) = 0 dan

y’(0) = 1.

Dari y(0) = 0 diperoleh 021 =+ cc

Dari y’(0) = 1diperoleh 112 =−c atau 22 =c sehingga 21 −=c

Jadi solusi khusus PD yang dimaksud adalah xxxexey +−+−= 222 .

3. Menentukan deret Mc Laurin dari :x

xf32

1)(

+= dan selang

konvergensinya

( )( )xxxf

231

1

2

1

32

1)(

−=

+=

Dengan menggunakan fakta bahwa

1;...11

1

0

2<∑=++=

=

xxxxx n

n

kita peroleh

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1;1...1)(23

023

21

023

212

23

23

21 <∑ −=∑ −=

−+−+=

=

=

xxxxxxfn

nnn

n

n

Page 30: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

30

4. Misalkan jtittrrrr

)2()( −+=

a. Menentukan persamaan garis singgung di titik P(1,1)

0t = waktu saat titik P (1,1) tercapai yaitu 10 =t

( ) jit

tr ˆˆ2

1' −=r

( ) ( ) jirtr ˆˆ1''21

0 −==rr

( ) ( ) jirtr ˆˆ10 +==rr

Jadi persamaan parameter garis singgung di titik P(1,1) adalah

tytx −=+= 1,121

b. Menentukan kelengkungan di titik P(1,1)

untuk kasus di atas tx = dan ty −= 2 maka :

2

1

21'

−= tx 2

3

41"

−−= tx

1' −=y 0"=y

Kelengkungan untuk sembarang nilai t adalah :

( )( ) ( )[ ] [ ] [ ] 2

3

2

3

23

2

3

23

11''

"'"'

1

41

41

1

41

41

22+

=+

=

+

−=

t

t

t

t

yx

xyyxtκ

Jadi kelengkungan di titik P adalah ( ) ( )( ) 55

21

2

3

45

41

0 === κκ t

5. Menentukan solusi persamaan difenrensial 42' xyxy =−

42' xyxy =−

32' xx

yy =−

Agar PD ini dapat diselesaikan terlebih dahulu kita tentukan faktor

integrasinya (I)

2lnln2

22

−−−

===∫

=−

xeeeIxx

dxx

Kita kalikan persamaan terakhir dengan faktor integrasi menghasilkan

xx

y

x

y=−

322

' yang dapat kita tuliskan dalam bentuk

Page 31: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

31

xx

y

dx

d=

2

xdxx

yd =

2

∫=∫

xdx

x

yd

2

cxx

y+=

2

21

2

24

21 cxxy +=

Page 32: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

32

PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2005/2006

KALKULUS II MA 1124 SENIN / 3 APRIL 2006

UTS Kalkulus II MA1124 2005-2006

1. Diketahui 4

22

2

−n

nn

e

ee

a. Memeriksa kekonvergenan barisan { }∞

=1nna

( )( ) 11

1lim

4

2limlim

2

42

22

2

2

=−

−=

−=

∞→∞→∞→n

n

e

n

e

n

nn

nn

nn

n e

e

e

eea

yang menunjukkan bahwa { }∞

=1nna konvergen ke 1.

b. Memeriksa kekonvergenan deret ∑∞

=1nna

Karena 01lim ≠=∞→

nn

a maka menurut uji kekonvergenan barisan ∑∞

=1nna

divergen.

2. Mencari himpunan kekonvergenan deret

( )∑

+

−=⋅⋅⋅+

−+

−+

−+

=0

32

3

32

6

)3(8

5

)3(4

4

)3(2

3

1

n

nn

n

xxxx

Untuk menentukan titik titik x yang menyebabkan deret konvergen dapat

kita lakukan dengan uji hasil bagi mutlak .

Untuk deret ini ( )

3

32

+

−=

n

xa

nn

n dan ( )

4

3211

1+

−=

++

+n

xa

nn

n

( )

( )32

4

3lim32

32

3.

4

32limlim

111 −=

+

+−=

+

+

−==

∞→

++

∞→

+

∞→

xn

nx

x

n

n

x

a

a

nnn

nn

nn

n

n

ρ

Menurut uji hasil bagi deret di atas akan divergen jika 1>ρ dan

konvergen jika 1<ρ yaitu jika 132 <−x atau

213 <−x

21

21 3 <−<− x

27

25 << x

Page 33: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

33

sedangkan untuk 1=ρ (25=x dan

27=x ) uji hasil bagi gagal sehingga

perlu dilakukan uji yang lainnya.

Bila 27=x deret menjadi

( )∑

+∑ =

+

=

= 00

21

3

1

3

2

nn

nn

nn yang merupakan deret

divergen ( deret p dengan p = ½ <1 ) .

Bila 25=x deret menjadi

( ) ( )∑

+

−∑ =

+

− ∞

=

= 00

21

3

1

3

2

n

n

n

nn

nn yang merupakan deret

ganti tanda. Oleh karena itu kita dapat melakukan uji deret ganti tanda.

Misalkan ( )

( )∑ −=∑+

− ∞

=

= 00

13

1

nn

n

n

n

bn

dengan 3

1

+=

nbn maka

4

11

+=+

nbn ,

sehingga :

� 14

31 <+

+=+

n

n

b

b

n

n dan

� 03

1limlim =

+=

∞→∞→ nb

nn

n

Oleh karena itu menurut uji deret ganti tanda dapat kita simpulkan bahwa

( )∑

+

−∞

=0 3

1

n

n

n konvergen.

Jadi ( )

∑+

−∞

=0 3

32

n

nn

n

xkonvergen pada

27

25 <≤ x .

3. Menentukan solusi umum persamaan diferensial xxyy +=− 2sinh24"

Persamaan karakteristik yang sesuai adalah : 042 =−r . sehingga di

dapat 2±=r . Dengan demikian solusi homogennya adalah xx

h ececy2

22

1−

+=

Untuk py dipilih DCxBxeAxeyxx

p +++= −22 sehingga

CBxeBeAxeAeyxxxx

p +−++= −− 2222 22'

xxxxxxp BxeBeBeAxeAeAey

222222 422422" −−− +−−++=

xxxx

BxeBeAxeAe2222 4444 −− +−+=

Kemudian kita substitusikan ke dalam PD awal menghasilkan

( ) xeeDCxBxeAxeBxeBeAxeAexxxxxxxx +−=+++−+−+ −−−− 22222222

44444

xeeDCxBeAexxxx +−=−−− −− 2222 4444

Page 34: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

34

Dengan membandingkan koefisien suku suku yang sejenis pada kedua

ruas diperoleh 0dan,,,41

41

41 =−=== DCBA .

Akhirnya kita peroleh solusi nonhomogennya yaitu

xxexeyxx

p 412

412

41 −+= −

.

Jadi solusi umum persamaan diferensial yang dimaksud adalah

xxexeececy xxxx

412

412

412

22

1 −+++= −−

4. Menentukan kelengkungan di (0,-3) jika diketahui lintasan fungsi vektor

yaitu jtittF ˆsin3ˆcos2)( +=r

.

Untuk fungsi vektor tersebut tx cos2= dan ty sin3= maka

tx sin2' −= tx cos2" −=

ty cos3'= ty sin3" −=

Sehingga kelengkungan untuk sembarang nilai t adalah

( )( ) ( )[ ]

( )( ) ( )2

3

2

32

3222

22

22cos54

6

cos9sin4

cossin6

''

"'"'

ttt

tt

yx

xyyxt

+

=

+

+=

+

−=κ

Titik (0,-3) tercapai ketika 2

3π=t . Sehingga kelengkungan pada titik ini

adalah ( ) 4

3

4

6

2

3

2

3==

πκ

Page 35: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

35

PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 2004/2005

KALKULUS II MA1124 SENIN 11 APRIL 2005

UTS Kalkulus II MA1124 2004-2005

1. Memeriksa kekonvergenan deret : ( )

∑+

=0 25

4

1

n n

( )∑=∑

+

=

= 4 25

0 25

1

4

1

kn kn

yang merupakan deret p dengan 125 >=p yang

konvergen.

2. Menentukan deret Mc Laurin dari ( )xxxf += 1ln)(

( )xxxf += 1ln)(

∫+

=x

dtt

x0 1

1

( )∫

−−=

x

dtt

x0 1

1

( ) ( ) ( )( )∫ +−+−+−+=x

dttttx0

32...1

( )[ ]xr

r

rtttttx

0

114

413

312

21 ...1... +−++−+−=

+

( )( ) ( )∑ −=+−++−+−=∞

=

++

1

11114

413

312

21 1...1...

n

n

n

nr

r

rxxxxxxxx

( )∑ −=∞

=

++

1

1111

n

n

n

nx

3. Menentukan persamaan trayektori ortogonal dari : ( ) 21 xcy −=

Untuk kurva tersebut belaku ( )*12

+=x

yc

dan ( )xcy 12' −= .

berdasarkan (*) diperoleh x

yy

2' =

Trayektori ortogonal akan memenuhi persamaan diferensial

'

1'

yy t −= �

y

xy t

2' −=

Page 36: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UT

y

x

dx

dy

2−=

xdxydy −=2

∫ −=∫ xdxydy2

Cxy +−= 2

212

cxy =+ 2

212

Jadi Trayektori ortogonal dari keluarga kurva

parabola ( ) 21 xcy −= berupa keluarga kurva

ellips Cxy =+ 2

212

4. Menentukan kuat arus yang mengalir pada rangkaian LC dengan L = 1

Henry, C = 0,01 Farad, sumber tegangan E(t) = 12 volt, jika pada saat

awal tidak ada arus yang mengalir dan tidak ada muata

kapasitornya.

5. Diketahui persamaan parametrik dari kurva C di

bidang : ttx sincos +=

tty sincos −=

a. Menentukan persamaan kurva C dan gambarnya.

Dengan sedikit manipulasi aljabar kita peroleh

*cossin21cossin2sincos 222ttttttx +=++=

**cossin21cossin2sincos222

tttttty −=−+=

Jumlahkan kedua ruas (*) dan (**) sehingga

diperoleh 222

=+ yx . jadi kurva C adalah

sebuah lingkaran dengan pusat di titik (0,0) dan

jari jari 2 .

b. Menentukan persamaan parameter garis singgung di titik (1,1).

( ) tttx cossin' +−=

( ) ttty cossin' −−=

Titik (1,1) tercapai ketika 0=t sehingga ( ) 10' =x

jadi persamaan parameter garis singgung di titik ((1,1) adalah : ,1 tx +=

ty −=1

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

36

entukan kuat arus yang mengalir pada rangkaian LC dengan L = 1

) = 12 volt, jika pada saat

awal tidak ada arus yang mengalir dan tidak ada muatan pada

entukan persamaan parameter garis singgung di titik (1,1).

dan ( ) 10' −=y .

jadi persamaan parameter garis singgung di titik ((1,1) adalah :

2

2

x

y

Page 37: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

37

PEMBAHASAN UJIAN TENGAH SEMESTER 2000-2001

MA/DA-1324 KALKULUS II JUM’AT/ 6 APRIL 2001

UTS Kalkulus II MA/DA1324 2000-2001

1. a. Menentukan solusi khusus persamaan diferensial ( ) 0'2 222 =++ xyyx

dengan ( ) 10 =y

( ) 02222

=++ xydx

dyx

( ) 2222 xy

dx

dyx −=+

( )( )

( )22

2

21

2222

2

2 +

+=

+

=−

x

xd

x

xdx

y

dy

( )( )

∫+

+=∫ −

22

2

21

22

2

x

xd

y

dy

( )c

xy+

+−=

22

112

Untuk mendapatkan nilai c kita substitusikan kondisi awal ( ) 10 =y

menghasilkan 45=c sehingga

( ) 84

85

4

5

22

112

2

2 +

+=+

+−=

x

x

xy

Jadi solusi khusus PD yang dimaksud adalah

85

842

2

+

+=

x

xy

b. Menentukan solusi umum x

xyxy

sin2' =+

Kita tuliskan PD dalam bentuk

2

sin2'

x

x

x

yy =+

Agar PD ini dapat diselesaikan terlebih dahulu kita tentukan faktor

integrasinya (I)

2lnln2

22

xeeeI xxdx

x ====∫

Page 38: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

38

Dengan mengalikan kedua ruas persamaan PD terakhir dengan faktor integrasi kita peroleh

xxyyx sin2'2

=+ yang dapat dituliskan dalam bentuk

( )x

dx

yxdsin

2

= atau

( ) xdxyxd sin2

=

( ) ∫=∫ xdxyxd sin2

cxyx +−= cos2

Jadi solusi umum PD yang dimaksud adalah

2

cos

x

xcy

−=

2. Diketahui persamaan diferensial )(2'2" xryyy =++

a. Menentukan solusi umum jika 0)( =xr

Persamaan karakteristik yang sesuai adalah 0222 =++ rr atau

( ) 0112

=++r

( ) 112

−=+r

( ) ir ±=+1

ir ±−= 1

Sehingga Solusi Homogennya adalah ( )xcxceyx

h sincos 21 +=− .

Menurut definisinya, karena 0)( =xr maka PD diatas merupakan PD

homogen yang memiliki solusi umum sama dengan solusi

homogennya yaitu ( )xcxceyx

sincos 21 +=−

b. Menentukan solusi umum jika xexrx sin)( −=

Karena 0)( ≠xr maka menurut definisinya PD ini termasuk dalam

PD nonhomogen yang memiliki solusi umum berupa penjumlahan

dari solusi homogen dan solusi non homogen. Untuk solusi homogen telah kita dapatkan pada poin sebelumnya. Untuk solusi nonhomogen

py dipilih ( )xBxAxeyx

p sincos +=− sehingga

( )( ) ( )xBxAxexBxAxeeyxxx

p cossinsincos' +−++−=−−−

Page 39: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

39

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )( )xBxAxeexBxAe

xBxAxexBxAxee

xBxAxeexBxAxeeey

xxx

xxx

xxxxxp

cossin2sincos2

sincoscossin

cossinsincos"

+−−++−=

−−++−−+

+−−+++−−=

−−−

−−−

−−−−

Kemudian kita substitusikan ke dalam PD awal menghasilkan

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( ) xexBxAxe

xBxAxexBxAxee

xBxAxeexBxAe

xx

xxx

xxx

sinsincos2

cossinsincos2

...cossin2sincos2

−−

−−−

−−−

=++

+−++−+

+−−++−

jika ruas kiri disederhanakan akan kita peroleh

( ) xexBxAexx sincossin2 −− =+−

xexBexAe xxx sincos2sin2 −−− =+−

Dengan membandingkan koefisien suku suku yang sejenis pada kedua

ruas akan didapat 21−=A dan 0=B sehingga solusi nonhomogennya

adalah xxeyx

p cos21 −−=

Jadi solusi umum persamaan diferensial yang dimaksud adalah

( ) xxexcxceyxx cossincos

21

21−−

−+=

Alternatif lain kita dapat menggunakan metode variasi parameter untuk menentukan solusi nonhomogennya. Pada metode ini kita pilih

21 vyuyy p += dengan

xeyx cos1

−= dan xey

x sin2−

= sehingga

( )xxexexeyxxx sincossincos'1 +−=−−=

−−− dan

xexeyxx cossin'2

−−+−=

Untuk mendapatkan u dan v terlebih dahulu kita tentukan Wronskiannya (W)

( )

xxexexexxe

yyyyyyW

xxxx cossinsincoscossin

'',

222222

212121

−−−−+++−=

−=

( ) xx

exxe2222 sincos −−

=+=

( )( ) xxdxxxdxdx

W

xryu

21

41

2122 2sin12cossin −=∫ −=∫−=∫−=

( )xxdxxdxxdx

W

xryv 2cos2sincossin

41

211 −=∫=∫=∫=

Page 40: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

40

Sehingga ( ) xxexexxyxx

p sin2cos.cos2sin41

21

41 −−

−−=

Jadi solusi umum persamaan diferensial yang dimaksud adalah

( ) ( ) xxexexxxcxcey xxx sin.2coscos2sinsincos41

21

41

21−−− −−++=

Sekilas solusi umum pada metode variasi parameter berbeda dengan metode koefisien tak tentu pada poin sebelumnya. Pertanyaannya apakah ada yang salah dengan matematika kita ? tentu saja tidak.

sekarang mari kita perhatikan

( ) ( ) xxexexxxcxcey xxx sin.2coscos2sinsincos41

21

41

21−−− −−++=

( ) xxexxexxexcxcexxxx sin.2coscos2sincossincos

41

41

21

21−−−− −+−+=

( ) xxexxexxexcxcexxxx sin.2coscossin2cossincos

412

41

21

21−−−− −+−+=

( ) ( ) xxexxexxexcxcexxxx sin.2cos12cossincossincos

41

41

21

21−−−− −++−+=

( ) xexxexcxcexxx sincossincos

41

21

21−−− +−+=

( )( ) xxexcxcexx cossincos

21

41

21−− −++=

( ) xxexcxcexx cossin*cos

21

1−− −+=

Sekarang terlihat bahwa solusi umum pada metode koefisien tak tentu dan variasi parameter akan memiliki basis penyelesaian yang sama.

3. Materi UAS

4. Diketahui persamaan kurva C di ruang ktjteitetrtt

rrrr++= sincos)(

a. Menentukan vektor singgung di titik (1,0,0) Vektor singgung untuk sembarang nilai t adalah

( ) ( ) kjteteitetetrtttt

rrrr+++−= cossinsincos)('

Titik (1,0,0) dipenuhi jika 0=t , sehingga vektor singgung pada titik

ini adalah kjirrrrr

++=)0('

b. Menentukan persamaan garis singgung pada kurva C di titik (1,0,0) Persamaan parameter garis singgung di titik (1,0,0) adalah

tztytx ==+= ,,1

Page 41: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

41

PEMBAHASAN

UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP 1999/2000 KALKULUS II / DA-1324 JUM’AT 24 MARET 2000

UTS Kalkulus II DA1324 1999-2000

1. Menentukan solusi khusus dari PD ,sec2tan xxydx

dy=+ bila y(0) = 2 .

Agar PD ini dapat diselesaikan terlebih dahulu kita tentukan faktor integrasinya (I)

xeeIxxdx

secseclntan=== ∫

Kita kalikan PD awal dengan faktor integrasi ini menghasilkan

xxxyxdx

dy 2sec2tansecsec =+ yang dapat kita tuliskan dalam bentuk

( )x

dx

xyd 2sec2sec

=

( ) xdxxyd2sec2sec =

( ) ∫=∫ xdxxyd2sec2sec

cxxy += tan2sec

Sehingga solusi umum dari persamaan diferensial di atas adalah

xcxx

cxy cossin2

sec

tan2+=

+=

Untuk mendapatkan solusi khususnya kita sulihkan kondisi awal y(0) = 2 ke dalam solusi umum menghasilkan c = 2 . Jadi solusi khusus PD yang

dimaksud adalah ( )xxy cossin2 += .

2. Diketahui PD : )(2'3'' xfyyy =+−

a. Menentukan solusi khusus PD bila f(x) = 0, y(0) = 3 dan y’(0) = 4

Karena 0)( =xf maka menurut definisinya PD ini termasuk ke dalam

PD homogen yang memiliki penyelesaian umum sama dengan solusi homogennya.

Persamaan karakteristik yang sesuai adalah 0232 =+− rr atau

( )( ) 012 =−− rr sehingga diperoleh 2=r atau 1=r . Jadi solusi umum

PD ini adalah xxh ececyy

221 +== .

Untuk mendapatkan solusi khususnya kita sulihkan kondisi awal

( ) 30 =y dan ( ) 40' =y .

Page 42: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

42

xxececy

221 2' +=

Dari ( ) 30 =y diperoleh 321 =+ cc sedangkan dari ( ) 40' =y diperoleh

42 21 =+ cc jika kedua persamaan ini diselesaikan akan menghasilkan

12 =c dan 21 =c . Jadi solusi khusus PD yang dimaksud adalah

xxceey

22 += .

b. Menentukan solusi umum PD bila 1

)(+

=x

x

e

exf

Karena 0)( ≠xf maka menurut definisinya PD ini menjadi PD non

homogen yang memiliki penyelesaian umum berupa penjumlahan dari

solusi homogen hy dan solusi nonhomogen py . Untuk solusi

homogen telah kita peroleh pada bagian sebelumnya, sedangkan untuk

solusi nonhomogennya kita pilih 21 vyuyy p += dengan

xey =1 dan x

ey2

2 = sehingga

xey ='1 dan x

ey2

2 2' =

Untuk mendapatkan u dan v terlebih dahulu kita tentukan Wronskiannya.

( ) xxxeeeyyyyyyW

333212121 2'', =−=−= .

Sehingga

( ) ( )∫

+

−+−=∫

+−=∫−= dx

e

eedx

edx

W

xfyu

x

xx

x 1

1*

1

12

( )( ) ( )1ln

1

1

111 ++−=∫

+

++−=∫

++∫ ∫−=

+−−= x

x

x

x

x

x

x

exe

edx

e

dxedxdx

e

e

( )

( ) ∫+

−∫=∫

+−=∫

+=∫= − dx

edxedx

eeee

dxdx

W

xfyv

x

x

xxxx 1

1

1

11

1

1

Berdasarkan penyelesaian dari (*) diperoleh ( )1ln ++−−= − xxexev .

Dengan demikian ( )( ) ( )( )1ln1ln 2 ++−−+++−= − xxxxxp exeeexey .

Jadi penyelesaian umum persamaan diferensial yang dimaksud adalah

( )( ) ( )( )1ln1ln 2221 ++−−+++−++= − xxxxxxx

exeeexeececy

3. Materi UAS 4. Materi UAS

Page 43: 1001 Soal Solusi Uts Kalkulus II

1001 Pembahasan UTS Kalkulus II

43

5. Diketahui sebuah partikel bergerak sepanjang lengkungan C dengan

vektor posisi ( ) ( )kttjtitttFrrrr

323 3323)( ++++=

a. Menentukan vektor kecepatan dan vektor percepatan partikel di titik (5,3,4)

Vektor kecepatan dan percepatan untuk sembarang nilai t secara berturut turut adalah

( ) ( ) ( )ktjtittFtvrrrrr 22 33663)(' ++++==

( ) ktjittFtarrrrr

6612)(" ++==

Titik (5,3,4) dipenuhi ketika 1=t . sehingga vektor kecepatan dan

percepatan di titik tersebut yaitu

( ) kjivrrrr

6691 ++=

( ) kjiarrrr

66121 ++=

b. Menentukan cosinus sudut antara vektor kecepatan dan vektor percepatan partikel di titik (5,3,4)

Misalkan sudut antara vektor kecepatan dan percepatan di titik (5,3,4)

adalah α , maka

( ) ( )( ) ( )

102

10

636179

180

216153

180

3636144363681

6.66.612.9

11

11cos

===

++++

++=

•=

av

avrr

rr

α