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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNADESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍAMETODOS NUMERICOSPrimer Semestre del 2016

METODOS NUMERICOS

Trabajo Colaborativo 2

Presentado por:

Heli Manuel Palacio

Leydi Yudy Basto

Tania Patricia Álvarez

Luis Carlos Fuentes Blanco

Frank Edwin Cardona

Grupo: 100401_44

Tutor: Jesús Omar Vargas

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

PRIMER SEMESTRE - 2016

ABRIL

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INTRODUCCION

La ciencia y la tecnología describen los fenómenos reales mediante modelosmatemáticos. El estudio de estos modelos permite un conocimiento más profundo del

fenómeno, así como de su evolución futura, para ello los métodos numéricos permiten

mediante cálculos encontrar soluciones aproximadas que en muchos casos no son

siempre una solución numérica. En este orden de ideas el objetivo de este trabajo es

mediante la realización de una serie de ejercicios aplicando diferentes métodos

numéricos encontrar las soluciones que se ajusten a los parámetros planteados.

Encontramos sistemas de ecuaciones que pueden ser lineales y no lineales. Unaecuación es lineal si tiene la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las

incógnitas no están elevadas a potencias, ni multiplicadas entre sí, ni con el denominador.

Como 3x+2x+6x=6 que es una ecuación lineal con tres incógnitas.

Para resolver un sistema de ecuaciones debemos calcular las incógnitas para que se

cumplan todas las ecuaciones del sistema simultáneamente. Los tipos de sistemas de

ecuaciones lineales pueden ser incompatibles es decir que no tienen solución y

compatibles que tienen solución y pueden ser determinados es decir con una soluciónúnica e indeterminados con infinitas soluciones.

Algunos métodos que podemos utilizar en el desarrollo de los sistemas de ecuaciones

lineales son el método de Gauss, el método de Gauss-Jordan y el método de Gauss-

Seidel. El Método de Gauss – Jordan es una variación del método de eliminación de

Gauss, permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultaneas, con 8 o 10 dígitos

significativos en las operaciones aritméticas de la computadora. También podemos

aplicar la interpolación polinómica que es una técnica de interpolación de un conjunto de

datos o de una función por un polinomio. La forma de Lagrange es cuando obtenemos

un polinomio interpolador de forma directa (sin resolver un sistema de ecuaciones),

expresándolo de forma especial.

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OBJETIVOS

Familiarizarnos con la temática propuesta para la unidad dos.

Identificar las características y tipos de los sistemas de ecuaciones lineales y no

lineales.

Comprender la importancia de los sistemas de ecuaciones y no lineales en el

desarrollo de situaciones propuestas.

Utilizar los Método de eliminación de Gauss, Gauss-Jordán y Gauss Seidel en eldesarrollo de problemas propuestas.

Comparar los Método de eliminación de Gauss, Gauss-Jordán y Gauss Seidel e

identifica las diferencias.

Determinar el polinomio de interpolación Lagrange.

Utilizar el método de Newton

Comprender la importancia de la interpolación polinómica.

Identificar las características del Polinomio de Interpolación usando la Interpolación de

Diferencias Divididas de Newton.

Utilizar la interpolación de diferencias finitas de Newton para hallar soluciones a

problemas planteados.

Reconocer la importancia de la transformada discreta de Fourier

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DESARROLLO GUIA DE ACTIVIDADES

1. Construir un cuadro comparativo de las diferencias entre los sistemaslineales y los sistemas no lineales con al menos un ejemplo.

SISTEMA LINEAL SISTEMA NO LINEAL

Son ecuaciones donde aparecen

únicamente una variable o incógnita

elevada en la primera potencia, las

llamamos como ecuaciones cubicas.

Son ecuaciones donde su grado es

superior a 1, las llamamos como

ecuaciones cuadráticas, sinusoidales…

Generalizando las ecuaciones de este

sistema, la variable ‘x’ suele ser la entrada

y ‘y’ es la salida

No necesariamente ‘x’ causar a el

incremento de ‘y’, un ejemplo seria ² Este sistema al momento de graficar la

solución, generara una línea

Este sistema al momento de graficar la

solución, generara una parábola en caso

de ser de grado 2, u otras formas donde ‘x’

curvada es de 3 grado.

Los valores de ‘x’ y ‘y’ son contantes, lo

cual siempre existirá un valor.

Pueda que la ecuación no tenga solución

si alguna de los valores es negativos,

porque la raíz cuadrada de un número

negativo no existe.

Se representan como rectas en un plano

cartesiano.

Se representa como una línea curva en el

plano cartesiano.

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Ejemplos: Donde las variables son

, , , y se

admite que los coeficientes , , y eltermino independiente , son contantesreales.

Por ejemplo el sistema de ecuaciones

lineales.

Ejemplos:

6 1

√ 5

Donde la primera educación tiene una

incógnita y la segunda ecuación tiene elsigo de radical √

2. Solucionar el siguiente ejercicio utilizando los Método de eliminación de

Gauss, Gauss-Jordán y Gauss-Seidel. Comparar los resultados y haga un

pequeño análisis.

0.1 X1 + 7.0 X2 – 0.3 X3 = -19.30

3.0 X1 – 0.1 X2 – 0.2 X3 = 7.85

0.3 X1 – 0.2 X2 – 10.0 X3 = 71.40 Utilizar un ξ = 0.001

MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS

1:0.1 7 0.3 19.302:3.0 0.1 0.2 7.853:0.3 0.2 10 71.40 E4: 1 70 3 193 Multiplicar la -3f1+f2

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3 210 9 579

3 0.1 0.2 7.85

E5: 210.1 8.8 586.85 Multiplicamos -0.3f1+f3

0.3 21 0.9 57.9 0.3 0.2 10 71.40

E6:

21.2 9.1 129.3

Convertir 210.1 8.8 586.85 E7: 0.042 2.793 Multiplicar 21.2E7+E6

21.2 0.89 59.21

21.2 9.1 129.3

E8: 9.99 70.09 .1 7 0.3 19.30 210.1 8.8 586.85

9.99 70.09

7.016

210.1 8.87.016 586.85 210.1 61.74 586.85 210.1 648.59

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3.09

.1 73.090.37.016 19.30

.1 21.63 2.10 19.30 .1 19.30 19.53 .1 0.23

2.3 Solución: 2.3 3.09 7.016 . 12.3 73.09 0.37.016 19.30

19.2952 19.30 ERROR

|∈| 19.30 19.295219.30 0.004819.30 0.000248

MÉTODO GAUSS-JORDAN

1:0.1 7 0.3 19.302:3.0 0.1 0.2 7.853:0.3 0.2 10 71.40

0.1 7 0.3 ⋮ 19.303.0 0.1 0.2 ⋮ 7.850.3 0.2 10 ⋮ 71.40 Dividimos la f1/0.1

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1 70 3 ⋮ 1933.0 0.1 0.2 ⋮ 7.850.3 0.2 10 ⋮ 71.40

-3f1+f2

-0.3f1+f3

1 70 3 ⋮ 1930 210.1 8.8 ⋮ 586.850 21.2 9.1 ⋮ 129.3 Dividir f2/-210.1

1 70 3 ⋮ 1930 1 0.042 ⋮ 2.7930 21.2 9.1 ⋮ 129.3 -70f2+f1

21.2f2+f3

1 0 0.06 ⋮ 2.510 1 0.042 ⋮ 2.7930 0 9.99 ⋮ 70.09

f3/-9.99

1 0 0.06 ⋮ 2.510 1 0.042 ⋮ 2.7930 0 1 ⋮ 7.016 Multiplicar 0.042f3+f2

0.06f3+f1

1 0 0 ⋮ 2.090 1 0 ⋮ 3 . 0 90 0 1 ⋮ 7 . 0 1 6

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Solución.: 2.09 3.09

7.016

. 12.09 73.09 0.37.016 19.30 19.3162 19.30 ERROR

|∈| 19.30 19.316219.30 0.016219.30 0.000839

MÉTODO GAUSS-SEIDEL

1:0.1 7 0.3 19.302:3.0 0.1 0.2 7.853:0.3 0.2 10 71.40 Se cambia el orden de las ecuaciones asegurando la convergencia

1:3 0.1 0.2 7.852:0.1 7 0.3 19.303:0.3 0.2 10 71.40 7.85 0.1 0.23

19.30 0.1 0.37

71.40 0.3 0.210 Iteración 1

Suponemos que 0 y 0

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7.853

2.62 Sustituimos 2.62 y 0 en 19.30 0.12.62 0.307

2.79

71.400.32.620.22.7910

7.0056 Iteración 2

2.62, 2.79 y 7.0056 7.85 0.12.79 0.27.0056

3

2.057 19.30 0.12.057 0.37.00567 3.087

71.40 0.32.057 0.23.087

10

7.0165 Solución. : 2.057 3.087 7.0165

. 12.057 73.087 0.37.0165 19.30

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19.29835 19.30 ERROR

|∈| 19.30 19.2983519.30 0016519.30 0.000085

Otros ejercicios resueltos:

0.1 X1 + 7.0 X2 – 0.3 X3 = -19.30

3.0 X1 – 0.1 X2 – 0.2 X3 = 7.85

0.3 X1 – 0.2 X2 – 10.0 X 3 = 71.40 Utilizar un ξ = 0.001

La solución por el método de Gauss

0 . 1 7 . 0 0 . 33.0 0.1 0.20.3 0.2 10

19.37.8571.40

Lo convertimos de números Decimales a fraccionarios

2 30 ∗ 1 → f2 110 7 3103 110 15310 15 10

1931015720

3575

3 3 ∗ 1 → f3

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7 3

0 −

10

3 ∗ 2 → f3

{

110 7 30 210110 4495310

1065

1 1931011737201293

10 }

7 30 − 0 0

Sistema 1

1 7x2 3x3 210110 2 4495 3 1173720

3 De la ecuación 1 del sistema (1) encontramos con la variable x1

110

1 7x2 3x3 19310

110 1 7x 17425730198 3x 21035330198 19310

Respuesta

1 2959315099

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De la ecuación 2 del sistema (1) encontramos con la variable x2

2101

10 2 449

5 x3 11737

20 210110 2 4495 ∗ 21035330198 1173720 Respuesta

2 17425730198 De la ecuación 3 del sistema (1) encontramos con la variable x3

10569310505 3 1338611910 Respuesta

3 21035330198 ANALISIS:

Analizando los resultados obtenidos en los tres métodos tenemos que: los resultados

obtenidos en cada método son diferentes, pero tienen una relación cercana en algunos

casos, los métodos que más se parecen son Gauss-Jordan y Gauss.Seidel que, aunque

utilizan metodología diferente buscan un resultado en común. En que hay diferencia es

en el de eliminación de Gauss.

3. Solucione el siguiente ejercicio utilizando los Método de eliminación deGauss, Gauss-Jordán y GaussSeidel. Compare los resultados y haga un

pequeño análisis.

17 X1 – 2 X2 – 3 X3 = 500

– 5 X1 + 21 X2 – 2 X3 = 200

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– 5 X1 – 5 X2 + 22 X3 = 30 Utilizar un ξ = 3%

Método de eliminación de Gauss:

Primero expresamos los coeficientes y el vector de términos independientes como una

matriz aumentada o ampliada es (AIB) = 1 7 2 3 5 2 1 2 5 5 2 2 50020030

Aplicando el método de Gauss

1 7 2 3 5 2 1 2 5 5 2 2

50020030

→+→−

1 2 2 3 5 5 2 1 20 2 6 2 4

700200170

→+→− 1 7 2 35 5 2 20 2 6 2 450030170 →−→−

2 1 3 6 33 1 8 8 50 2 6 2 4 590620170

→−→− 1 4 4 2 1 11 3 1 1 4 80 2 6 2 4 18001210170 →−→−

1 3 1 1 4 80 7 5 3 5 90 2 6 2 4 12103010170

→+→− 1 3 1 1 4 80 4 9 3 3 50 2 6 2 4 12103180170 →−→− 1 3 1 1 4 80 2 3 3 5 90 3 3 8 3 121030102840 →−→− 1 3 1 1 4 80 1 7 1 1 2 50 3 3 8 3

121086902840 →−→− 1 3 1 1 4 80 1 2 2 7 40 2 1 8 9 1

12101721020050 →−→− 1 3 1 1 4 80 1 2 2 7 40 0 6 4 3 9

12101721054470 → →− 1 3 1 1 4 80 1 2 2 7 40 0 1

1210172108.4593 Aplicando el método de Gauss: Tenemos que la matriz está en forma escalonada porfilas, lo cual significa que x1=1210, x2=17210 y x3=-8.4593

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Método de Gauss – Jordan

Este método es una variación del método de eliminación de Gauss, permite resolver hasta

15 o 20 ecuaciones simultaneas, con 8 o 10 dígitos significativos en las operacionesaritméticas de la computadora. Este proceso se distingue del método Gaussiano en que

cuando elimina una incógnita, se elimina de todas las ecuaciones restantes, es decir las

que preceden a la ecuación pivote.

17 X1 – 2 X2 – 3 X3 = 500

– 5 X1 + 21 X2 – 2 X3 = 200

– 5 X1 – 5 X2 + 22 X3 = 30 Utilizar un ξ = 3%

Primero expresamos los coeficientes y el vector de términos independientes como una

matriz aumentada.

1 7 2 3 5 2 1 2 5 5 2 250020030

El primer reglón lo dividimos por 17

1 1.117647058 0.1764705885 21 25 5 22 29.4117647120030 Luego al reglón 2 le sumo reglón 1 multiplicada por 5

1 0.117647058 0.1764705880 21.117647058 2.1764705885 5 22

29.41176471347.058823530

Al reglón 3 le sumo el reglón 1 multiplicada por 5

1 0.117647058 0.1764705880 21.117647058 2.1764705880 4.41176471 21.11764705 29.41176471347.0588235177.05882352

Al reglón 2 la divido por 21.58823529

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1 0.117647058 0.1764705880 1 0.133514980 4.41176471 21.11764705

29.4117647116.07629427177.05882352

Al reglón 3 le sumo el reglón 2 multiplicado por 4.41176470

1 0.117647058 0.1764705880 1 0.133514980 0 20.52861035 29.4117647116.07629427247.98365122

Al reglón 3 lo divido por 20.52861035

1 0.117647058 0.1764705880 1 0.133514980 0 1

29.4117647116.0762942712.07990443

Al reglón 2 le sumo el reglón 3 multiplicado por 0.13351498

1 0.117647058 0.1764705880 1 00 0 1 29.4117647117.6891425512.07990443

El reglón 1 le sumo el reglón 3 multiplicado por 0.176470588

1 0.117647058 00 1 00 0 131.5435125417.6891425512.07990443 Al reglón 1 le sumo la fila 2 multiplicada por -0.11764705

1 0 00 1 00 0 129.4624369517.6891425512.07990443

De esta manera tenemos la solución.

X1=29.46243695, x2=17.68914255 y x3=12.07990443 Método de Gauss-Seidel

Para ello debemos verificar que tenga la forma:

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−−

−− −− 17 X1 – 2 X2 – 3 X3 = 500

– 5 X1 + 21 X2 – 2 X3 = 200

– 5 X1 – 5 X2 + 22 X3 = 30 Utilizar un ξ = 3%

Despejamos las variables

1 ++ 2 ++

3 ++

Realizamos la primera iteración x2=0 y x3=0

1 ++ ; 1 ++ 29.41 Primera iteración en x2 para eso tomamos el valor dado en la iteración de x1.

X1=29.41 y z=0

2 ++ ; 2 +.+ +. . 16.526 Realizamos la primera iteración de x3

X=29.41 y y=16.53

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3 ++ ; 3 +.+. +.+. . 11.80 Realizamos la segunda iteración

X2=16.526 y x3=11.80

1 ++ ; 1 +.+. +.+. . 33.43 X1=33.43 y x3=11.80

2 ++ ; 2 +.+. +.+. . 18.60 X1=33.43 y x2=18.60

3 ++ ; 3 +.+. +.+ . 13.18 Luego hallamos el error

− ∗100%

1 .−.. ∗100% 12%

2 .−.. ∗100% 11.15% 3 .−.. ∗100% 10.47% Realizamos la tercera iteración

Tenemos el valor de x2=18.60 y x3=13.18

1 ++ ; 1 +.+. +.+. . 33.92 X1=33.92 y x3= 13.18

2 ++ ; 2 +.+. +.+. . 18.85

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X1=33.92 y x2=18.85

3 ++

;

3 +.+.

+.+.

.

13.35

Hallamos el error

1 .−.. ∗100% 1.44% 2 .−.. ∗100% 1.32%

3 .−.

. ∗100% 1.27%

De esta manera pasmos el error dado que es del 3%

Luego los valores de x1=33.92, x2=18.85 y x3=13.35

Resultados:

Método de eliminación de Gauss: x1=1210, x2=17210 y x3=-8.4593

Método Gauss-Jordán: X1=29.46243695, x2=17.68914255 y x3=12.07990443 Método Gauss Seidel.: x1=33.92, x2=18.85 y x3=13.35

Analizando los resultados obtenidos en los tres métodos tenemos que: los resultados

obtenidos en cada método son diferentes, pero tienen una relación cercana en algunos

casos, los métodos que más se parecen son Gauss-Jordan y Gauss.Seidel que, aunque

utilizan metodología diferente buscan un resultado en común.

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4. Determine el Polinomio de Interpolación de LaGrange para la siguiente tabla

⋯ 3 5 71 31 51 7

15 71 105

48

1 5 73 13 53 7 13 47 3516 1 3 75 15 35 7 11 31 2116 1 3 57 17 37 5 9 23 1548 Se reemplaza:

⋯

2 148 516 7148 3516 1 116 1316 4716 3516 2 116 1116 3116 2116 3 148 316 2348 516

x 1 3 5 7

y -2 1 2 -3

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2 148 516 7148 3516 1 116 1316 4716 3516

2 116 1116 3116 2116 3 148 316 2348 516

248 1016 14248 7016 116 1316 4716 3516 216 2216 6216 4216 348 316 2348 516

5. Determine el polinomio de interpolación usando la interpolación de

diferencias divididas de Newton, e interpole en el punto x=3.

X 7 6 4 2 -4

Y 1430 908 278 40 -242

Se sabe que f(x)=y de esta manera se sacan las primeras diferencias

, 90814306 7 , 278 9084 6 ,

40 278

2 4

, 242 40 4 2 Segundas diferencias

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, , , , 315 5224 7

, , , , 119 3152 6 , , , , 47 119 4 4 Tercera diferencia

, , , , , , , 69 692 7

(

,

, ,

) ( , ,) , ,

9 69 4 6

Cuarta diferencia

, , , , , , , , , , 6 0 4 7 . Los resultados se evidencian en la tabla de diferencias divididas

Diferencia 1 Diferencia 2 Diferencia 3 Diferencia 4

7 1430 6 908 69315 04 278 69 . 119 62 40 9

47

-4 -242

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, [ ] , , [ ][ ] , , , [ ][ ][ ] , , , , [ ][ ][ ][ ]

1430 522[ 7] 69[ 7][ 6] 0[ 7][ 6][ 4]0.545454[ 7][ 6][ 4][ 2] Ahora tal y como se indica el ejercicio, se interpolamos en x=3 1430 522[3 7] 69[3 7][3 6] 0[3 7][3 6][3 4]

0.545454[3 7][3 6][3 4][3 2]

1430 522[4] 69[4][3] 0[4][3][1]0.545454[4][3][1][1] 1430 2088 828 0 6.54545448

176.54545448

6. Para la siguiente tabla obtenga el Polinomio de Interpolación de diferencias

finitas de Newton e Interpole en el punto x = -14/15

X 0 -1 -1/3 -2/3

y -2 -4 -8/3 -32/9

Xk F(xk) Primera dif

dividida

Segunda dif

dividida

Tercera dif

divididad

0 -2

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-1 -4 2

-1/3 -8/3 2 0

-2/3 -32/9 8/3 2 -3

2 2 0 0 0 1 3 0 1 13 3 4 2 1415 3 1415 4 1415 1415 2 1492375

7. Dados los puntos: (-4.5, 0.7), (-3.2, 2.3), (-1.4, 3.8), (0.8, 5.0), (2.5, 5.5), (4.1,

5.6) determine los polinomios de grado 4 y 5. Graficar para determinar la

curva más aproximada.

x y

-4,5 0,7

-3,2 2,3

-1,4 3,8

0,8 5

2,5 5,5

4,1 5,6

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Ambas curvas tienen un coeficiente de correlación igual a 1, lo que indica que

describen perfectamente el comportamiento de los puntos.

y = -0,0008x4 + 0,002x3 - 0,0582x2 + 0,4967x + 4,6286

R² = 1

0

1

2

3

4

5

6

-6 -4 -2 0 2 4 6

Polinomio Grado 4

y = 0,0001x5 - 0,0007x4 - 0,0007x3 - 0,0606x2 + 0,5089x + 4,6323

R² = 1

0

1

2

3

4

5

6

-6 -4 -2 0 2 4 6

Polinomio Grado 5

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La trasformada Discreta de Fourier es una transformada que requiere que la función de

entrada sea una secuencia discreta y de duración finita. Estas secuencias se pueden

generar a partir del muestreo de una función continua, como puede ser la voz humana.

Utilizar la DFT implica que el segmento que se analiza es un único periodo de una señal

periódica que se extiende de forma infinita; si esto no se cumple, se debe utilizar una

ventana para reducir los espurios del espectro.

La DFT es una transformada de Fourier para análisis de señales de tiempo discreto y

dominio finito.

∑ −=

k=0, … N-1

Donde i es la unidad imaginaria y es la N-esima raíz de la unidadLa Transformada Discreta de Fourier presenta las siguientes propiedades: simetría

conjugada, linealidad, desplazamiento, modulación, producto, simetría, conjugado,

convolución circular, correlación y ecuación de Parseval.

La Transformada Discreta de Fourier se puede hacer a partir de una señal x(t),

muestreada durante D segundos, con periodo de muestreo ts: para ello debemos elegirel intervalo de muestreo ts de forma que se cumpla el teorema del muestreo; crear la

expensión periódica (xp(t)) de x(t) con periodo D; tomar N muestras de xp(t) empezando

en t=0; si hay discontinuidades, los valores de muestreo los tomamos en el punto medio

de la señal.

EL DFT es una aproximación al espectro de la señal analógica original. Su magnitud se

ve influenciada por el intervalo de muestreo, mientras que su fase depende de los

instantes de muestreo.

Ejemplos

1) Encontrar la DFT de x[n]= {0, 1, 2, 3, }

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K=0 [0] ∑ [] 0 1 2 3 6

1 [1] [] 26 1 2 exp 2 2 2

2 [2] [] 226 1 2 exp 2 2 2 3 [3] [] 236 1 2 exp 32 3 2 2

Por lo tanto la DFT de x[n] es [] 6, 2 2, 2, 2 2 para {0, 1, 2, 3, ..}2) Encontrar la DFT de x[n]= {0, 2, 4, 6, 8,}

N=5

[] ∑ [] ∗ −∗∗ ∗∗ 0, 2, 4, 1= [0] ∑ [] 0 2 4 6 8 20=

[1] [] −∗∗ ∗ −∗∗ ∗∗0 2 4 6 8 20= K=0 [0] ∑ [] 2 4 6 8 20 Tenemos que N=8

Implícitamente suponemos que se tiene la señal.

Efectuamos la operación.

∑ ∗ ∗∗∗∗= ∑ ∗ ∗∗∗∗= −∗∗−∗∗ ∗∗.∗ ∗ ∗ ∗

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CONCLUSIONES

El objetivo de los métodos numéricos es aproximar el valor numérico de objetos

matemáticos usando el número finito de operaciones aritméticas.

La interpolación polinómica es un número de puntos obtenidos por muestreo o a

partir de un experimento para encontrar un polinomio que pase por todos los puntos.

El método de diferencias divididas de Newton es muy algorítmico y resulta cómodo

en determinados casos, sobre todo cuando se requiere calcular un polinomio

interpolar de grado elevado.

En la interpolación por el método de Lagrange para cada i, i=0, 1…n, construimos un

polinomio de grado menor o igual que n, al que llamos pi de manera que pi(xi)=1 y

pi(xj)=0 si j no es igual a i.

El método de eliminación de Gauss es también conocido como triángulo de cascada,

nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales con cualquier número de

ecuaciones y de incógnitas.

El método de Gauss –Jordan es una variación del método de eliminación de Gauss,permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultaneas, con 8 o 10 dígitos

significativos en las operaciones aritméticas de la computadora. Este proceso se

distingue del método Gaussiano en que cuando elimina una incógnita, se elimina de

todas las ecuaciones restantes, es decir las que preceden a la ecuación pivote.

En el Método de Gauss-Seidel Primeo ordenamos las ecuaciones, de modo que en

la diagonal principal estén los coeficientes mayores para asegurar la convergencia.

En el Método de eliminación de Gauss primero expresamos los coeficientes y elvector de términos independientes como una matriz aumentada o ampliada es (AIB).

La transformada discreta de Fourier requiere que la función de entrada sea una

secuencia discreta y de duración finita. Las secuencias se pueden generar a partir

del muestreo de una función continua, como puede ser la voz humana. es una

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aplicación que hace corresponder a una función f de valores complejos y definida en

la recta.

Con la realización de este trabajo se profundizaron conceptos adquiridos a través de

la lectura y revisión de videos, los cuales permitieron la solución de los ejercicios

planteados a través de métodos tales como el de eliminación de gauss, gauss-Jordán

y gauss Seidel, así mismo se buscaron aproximaciones de soluciones mediante la

interpolación de LaGrange, de Newton y la transformada de Fourier la cual es muy

aplicada en el área de la electrónica para discretización de señales. Por tanto, se pudo

concluir que los métodos numéricos son fundamentales y sirven para la solución de

ecuaciones diferenciales lineales y no lineales y formular problemas matemáticos de

tal manera que se puedan resolver usando operaciones matemáticas.

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BIBLIOGRAFIA

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