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M A R T E S , 1 1 D E A G O S T O D E 2 0 0 9
El teorema Wigner-Eckart II
En la entrada anterior v imos la esencia fundamental del teorema Wigner-Eckart. Dicho
teorema nos facilita un atajo poderoso para la ev aluación de los elementos matriciales de
los operadores tensoriales, y a que nos permite ev aluar dichos elementos matriciales
consultando tablas de coeficientes Clebsch-Gordan sin necesidad de tener que recurrir a la
ev aluación de integrales. A modo de ejemplo podemos citar la siguiente fórmula que es de
gran utilidad para ev aluar elementos mulipolos matriciales en la espectroscopía atómica y
nuclear:
Esta ecuación que suele ser obtenida en la aplicación de las matrices de rotación al estudio
de los coeficientes Clebsch-Gordan (específicamente, en el estudio de las series Clebsch-
Gordan) resulta ser esencialmente un caso especial del teorema Wigner-Eckart que permite
obtenerla de una manera mucho más rápida. La raíz cuadrada que multiplica al segundo
coeficiente Clebsch-Gordan es un factor que es independiente de las orientaciones, o sea, es
independiente de los números cuánticos magnéticos m1 y m2 que no aparecen para la
ev aluación del coeficiente Clebsch-Gordan al ser puestos a cero, y por lo tanto podemos
reconocer a dicho factor como la cantidad proporcionada por el elemento matricial “doble-
barra” (o elemento matricial reducido) en el teorema Wigner-Eckart, mientras que el primer
S E G U I D O R E S
A R C H I V O D E L B L O G
▼ 2009 (136)
▼ agosto (136)
Indice
Prólogo
El modelo atómico planetario de Bohr I
El modelo atómico planetario de Bohr II
La espectroscopía de ray os-X
La extraña ecuación de Max Born
Vectores y matrices I
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La Mecánica Cuántica
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coeficiente Clebsch-Gordan es el coeficiente apropiado para sumar el momento angular l1 a
l2 para obtener el l total.
Básicamente, el teorema nos dice que un elemento matricial (mostrado a continuación al
lado izquierdo del signo de igualdad) se puede ev aluar como el producto de dos factores (a
la derecha del signo de igualdad):
El primer factor, el coeficiente Clebsch-Gordan destacado en color magenta, es simplemente
un coeficiente con la prescripción para sumar j1 a j2 para obtener j. Este factor depende
únicamente de la geometría, esto es, la forma en la cual el sub-estado está orientado con
respecto al eje-z (o sea, la proy ección del cuadrado del v ector momento angular total sobre
el eje-z, que es lo que fija los v alores de los números cuánticos magnéticos m). El coeficiente
Clebsch-Gordan no hace ninguna referencia acerca de la naturaleza específica del operador
tensorial T (k)q. Por su parte, el segundo factor, el elemento “doble-barra” o elemento
matricial reducido, no hace referencia a número cuántico magnético m alguno, y es
completamente independiente de m1 , m2 y m, aunque puede depender de la dinámica de la
situación; y a que tanto α como β pueden representar, por ejemplo, dos estados distintos del
número cuántico radial, y la ev aluación del mismo podría requerir de la ev aluación de
integrales radiales. Para ev aluar elementos matriciales de un operador tensorial con v arias
combinaciones de m1 , m2 y m, basta con conocer una sola de ellas, todas las demás pueden
ser relacionadas geométricamente porque son proporcionales a los coeficientes Clebsch-
Gordan, los cuales son conocidos y a sea a trav és de tablas disponibles en libros, sitios de
Internet o paquetes computacionales. El factor de proporcionalidad común a todos los
elementos matriciales, el elemento “doble-barra”, no hace referencia alguna a
características geométricas al ser independiente de los números cuánticos
magnéticos m1 , m2 y m.
Las reglas de selección para los elementos matriciales del operador tensorial pueden ser
leídas de inmediato de las reglas de selección para sumar momentos angulares. Es así como
del requerimiento de que los coeficientes Clebsch-Gordan sean diferentes de cero se obtiene
Vectores y matrices II
El análisis de Fourier
La regla de multiplicación de Heisenberg
Observ ables compatibles e
incompatibles
Oscilador armónico simple: solución
matricial
Matrices y probabilidad
El principio de incertidumbre I
El principio de incertidumbre II
El experimento Stern-Gerlach
El spin del electron
Momento angular: tratamiento matricial
I
Momento angular: tratamiento matricial
II
Momento angular: tratamiento matricial
III
La energía rotacional
Matrices y sub-matrices
Solución matricial del átomo de
hidrógeno
Funciones matriciales
De la mecánica clásica a la mecánica
matricial
La matriz momentum como generadora
de traslación
La matriz generadora de rotación
Rotaciones de las matrices de Pauli
El aspecto estadístico de la Mecánica
Matricial
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del requerimiento de que los coeficientes Clebsch-Gordan sean diferentes de cero se obtiene
la regla de selección m obtenida prev iamente, así como la regla triangular:
El punto de partida para el aprendizaje del teorema Wigner-Eckart son, desde luego, los
operadores tensoriales, los cuales v ienen en conjuntos de tamaños prefijados. El operador
de Hamiltoniano de energía H de un sistema aislado es un operador sencillo, y por lo tanto
pertenece a un conjunto de orden uno . El operador posición (x ,y ,z) de un sistema es un
conjunto de operadores de orden tres. La may oría de los operadores en los cuales estamos
interesados pueden ser ajustados dentro de la definición de un operador tensorial
irreducible:
que es un conjunto de 2k+1 operadores que satisfacen las siguientes reglas de conmutación:
en cuy o caso los operadores son los componentes conv encionales de un operador tensorial
irreducible de orden 2k+1. Como caso triv ial tenemos al operador Hamiltoniano H de un
sistema aislado, el cual conmuta con J+, J- y Jz. El operador Hamiltoniano es el único
miembro de un conjunto de orden uno, y por lo tanto es un componente conv encional, esto
es, satisface todas las relaciones anteriores de conmutación, y a que:
2k + 1 = 1
Ev olución temporal de los sistemas
físicos
Matrices continuas
Ondas de materia
La ecuación de Schrödinger
Solución matemática de la ecuación de
onda
Solución numérica de la ecuacion de
Schrödinger
Interpretación probabilista de ψ I
Interpretación probabilista de ψ II
Operadores y esperanzas matemáticas I
Operadores y esperanzas matemáticas II
Oscilador armónico simple: solución
ondulatoria
La función delta de Dirac
Transmisión y reflex ión de partículas I
Transmisión y reflex ión de partículas II
Transmisión y reflex ión de partículas III
Transmisión y reflex ión de partículas IV
El potencial delta de Dirac
Ondas de simetría circular y esférica
La notación bra-ket de Dirac
El espacio de Hilbert I
El espacio de Hilbert II
Operadores Hermitianos
Los operadores escalera I
Los operadores escalera II
El principio de incertidumbre, rev isitado
El acto de medición
Momento angular orbital: análisisGuarda paginas web como PDF con http://www.htmlapdf.com! desbloquear Netflix
k = 0
y por lo tanto q.=.0, con lo cual todos los conmutadores dados arriba terminan siendo
ev aluados a cero. Por su parte, los operadores Cartesianos de la posición (x ,y ,z) no son los
componentes conv encionales del operador posición, y para ello basta con v er de lo que
hemos estudiado anteriormente de los conmutadores del momento angular que (por
ejemplo):
lo cual no satisface las tres relaciones de conmutación dadas arriba como definitorias para
un operador tensorial irreducible. Sin embargo, podemos construír fácilmente un conjunto
de componentes conv encionales, observ ando que:
lo cual nos sugiere que muy posiblemente z sea el componente convencional para el cual
q.=.0. Supóngase que esto sea así (obv iamente, puesto que se tienen tres componentes,
k.=.1 y q.=.-1 ,0,+1). Para encontrar el componente q.=.1 , usamos la regla de conmutación
apropiada, que es:
Usando q.=.0 y k.=.1 se tiene:
Momento angular orbital: análisis
ondulatorio I
Momento angular orbital: análisis
ondulatorio II
Momento angular orbital: funciones de
onda I
Momento angular orbital: funciones de
onda II
Polinomios de Legendre: aspectos
matemáticos
La función de onda radial
La función de onda del momento angular
del spin
El principio de exclusión de Pauli
El proceso de construcción Aufbau
El acoplamiento LS
La suma de momentos angulares
Las reglas de selección
Técnicas de aproximación I
Técnicas de aproximación II
Técnicas de aproximación III
El método de aproximación WKB I
El método de aproximación WKB II
El método de aproximación WKB III
El método de aproximación WKB IV
El enlace molecular I
El enlace molecular II
La hibridación de los orbitales atómicos
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Pero por otro lado puesto que se tiene:
y se tiene también que (usando las relaciones de conmutación obtenidas al iniciar los
estudios de las relaciones de conmutación del momento angular):
entonces la componente convencional para q.=.1 debe ser:
Del mismo modo, para q.=.-1 se puede demostrar que la componente convencional debe
ser:
Este resultado v álido para el operador posición puede ser generalizado para el caso de
La teoría de los orbitales moleculares
Teoría del campo cristalino
Operadores clase T
El espacio-posición y el espacio-
momentum I
El espacio-posición y el espacio-
momentum II
El espacio-posición y el espacio-
momentum III
El espacio-posición y el espacio-
momentum IV
La partícula libre I
La partícula libre II
La ecuación de mov imiento de
Heisenberg
Mecánicas Matricial y Ondulatoria:
equiv alencia
Ev olución temporal de las ondas de
materia I
Ev olución temporal de las ondas de
materia II
El operador de traslación
El operador de ev olución del tiempo
Las representaciones de Heisenberg y
Schrödinger
Operadores de rotación I
Operadores de rotación II
Los grupos de rotación I
Los grupos de rotación II
Los grupos de rotación III
La simetría como piedra angular
Representaciones irreducibles IGuarda paginas web como PDF con http://www.htmlapdf.com! desbloquear Netflix
cualquier operador vectorial que pueda ser definido en componentes Cartesianas. Si Kx ,
Ky y Kz son las componentes Cartesianas de un operador v ectorial K, sus componentes
convencionales serán:
Esta generalización la estaremos usando más abajo en unos ejemplos que serán dados.
La “mecánica” (o “receta de cocina”) para usar el teorema Wigner-Eckart consiste en unos
cuantos pasos básicos:
APLICACION DEL TEOREMA WIGNER-ECKART:
1) Se ev alúa un producto bra-ket que corresponda a un elemento matricial cualquiera del
operador tensorial bajo análisis. Resulta conv eniente ev aluarlo aprov echando eigenestados
del momento angular que se correspondan forma apareada usando un bra que sea el dual
del ket.
2) Recurriendo al teorema Wigner-Eckart, se usa el resultado obtenido en el paso anterior
para ev aluar el elemento matricial doble-barra.
3) Una v ez obtenido el elemento matricial doble-barra, se aplica recursiv amente el teorema
Wigner-Eckart para ir ev aluando uno a uno cada uno de los elementos matriciales del
operador tensorial hasta tenerlos ev aluados todos.
De este modo, en el primer paso es v entajoso hacer algo como lo siguiente:
Representaciones irreducibles I
Representaciones irreducibles II
Los coeficientes Clebsch-Gordan I
Los coeficientes Clebsch-Gordan II
Los coeficientes Clebsch-Gordan III
Operadores tensoriales
El momento de cuadripolo
El teorema Wigner-Eckart I
El teorema Wigner-Eckart II
Mecánica Estadística Cuántica I
Mecánica Estadística Cuántica II
Mecánica Estadística Cuántica III
Mecánica Estadística Cuántica IV
Mecánica Estadística Cuántica V
Mecánica Estadística Cuántica VI
La matriz densidad I
La matriz densidad II
El láser
El teorema v irial
Espectroscopías de resonancia
magnética I
Espectroscopías de resonancia
magnética II
Espectroscopías de resonancia
magnética III
Espectroscopías de resonancia
magnética IV
Esparcimiento clásico de partículas
Esparcimiento de las ondas de luz
Aspectos matemáticos de las ondas
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en donde por comodidad en la ev aluación de la integral hacemos los números cuánticos α y
β iguales, y hacemos también a j1 igual a j y a m1 igual a m, con lo cual el bra es el dual
exacto del ket. De este modo, lo que estamos ev aluando es el equiv alente a un elemento
matricial situado en la diagonal principal tanto a nivel de matriz como a nivel de sub-
matrices. Esto, desde luego, no es indispensable, y podemos escoger cualquier otro
elemento matricial no-diagonal para su ev aluación siempre y cuando de acuerdo a la regla
de selección m podamos tener la seguridad de que será diferente de cero. Sin embargo,
generalmente resulta más fácil la ev aluación de los elementos matriciales cuando el bra y el
ket son los duales exactos el uno del otro que cuando no lo son.
Hecho lo anterior, el siguiente paso consiste en tomar el resultado de la integración como
una cantidad X:
que será igualada a lo que se obtenga con la aplicación del teorema Wigner-Eckart al
elemento matricial en cuestión, despejando para obtener así el elemento matricial reducido
o “doble-barra”:
Obtenido el elemento matricial reducido, podemos ir ev aluando los demás elementos
matriciales del operador tensorial con el solo hecho de procurar los coeficientes Clebsch-
Aspectos matemáticos de las ondas
esféricas
El método de las ondas parciales
La aproximación de Born I
La aproximación de Born II
El teorema óptico
La ecuación Lippmann-Schwinger
El teorema adiabático I
El teorema adiabático II
La Mecánica Cuántica Relativ ista
Recursos de software
Constantes fundamentales y factores de
conv ersión
Bibliografía
D A T O S P E R S O N A L E S
A RMA NDO MA RTÍ NEZ
TÉLLEZ
V E R TODO MI P E R FIL
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Gordan que necesitemos, y nuestro trabajo se reducirá a estar ev aluando cocientes de
coeficientes Clebsch-Gordan.
Para v er el teorema Wigner-Eckart en acción, no hay nada mejor que recurrir a algunos
ejemplos prácticos en donde se aplique dicho teorema. Empezaremos por tomar la
definición del momento de cuadripolo que v imos en las entradas anteriores, de acuerdo a la
cual el v alor del momento de cuadripolo se toma entre dos eigenestados del momento
angular iguales, y usándose para m el v alor máximo que puede tomar, o sea j:
siendo e la carga eléctrica. Tomando en cuenta el material prev io que y a hemos v isto en el
estudio del tema “Operadores tensoriales”, sabemos y a que para el estado j.=.2 la armónica
esférica está dada por una relación que se puede escribir de la siguiente manera:
Substituy endo esto en la definición que tenemos arriba del momento de cuadripolo, se
tiene:
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Lo que tenemos “emparedado” entre el bra y el ket es esencialmente un operador
tensorial, y el operador tensorial es en este caso el producto del cuadrado de la coordenada
radial y la armónica esférica empleada. Hay que ejercer mucha precaución aquí, porque en
la notación que usamos arriba para T (k)q en la demostración del teorema Wigner-Eckart el
super-índice k se corresponde con j mientras que el sub-índice q se corresponde con el
número cuántico magnético m, en tanto que en la armónica esférica la situación es al rev és,
o sea:
Hecha la aclaración, y teniendo en mente de que por usar la definición conv encional del
momento de cuadripolo se está tomando m.=.j, podemos simplificar un poco lo que
tenemos arriba escribiéndolo de la siguiente manera:
A continuación, podemos aplicar directamente el teorema Wigner-Eckart tal y como se ha
dado arriba:
Obsérv ese que al escribir el elemento matricial doble-barra, al sub-índice de la armónica
esférica se le escribió dentro de paréntesis. Aunque esto no es realmente necesario, ello nos
recuerda que el sub-índice que aparece en este elemento matricial doble barra corresponde
a lo que se acostumbra escribir entre paréntesis en T (k)q como super-índice. Obsérv ese
también que solo se está usando un índice en ambos casos, en v irtud de que en el elemento
matricial doble-barra ha desaparecido toda referencia al número cuántico magnético m.
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De este modo, se tiene lo siguiente para el momento de cuadripolo:
Podemos despejar aquí para el elemento matricial reducido obteniendo de este modo:
Ahora bien, con esto en nuestras manos podemos llev ar a cabo otro tipo de ev aluaciones en
las cuales y a no es necesario que el bra y el ket representen el mismo eigenestado de
momento angular, podemos usar estados diferentes. A modo de ejemplo, supóngase que
con lo que hemos obtenido queremos ev aluar lo siguiente (obsérv ese que se le están dando
colores diferentes al bra y al ket para resaltar el hecho de que los números cuánticos
magnéticos m pueden ser distintos):
en donde:
m' = j , j - 1 , j - 2 , j - 3 , ...
En la ev aluación de esto, podemos usar v entajosamente el hecho de que:
Con esto se tiene:Guarda paginas web como PDF con http://www.htmlapdf.com! desbloquear Netflix
Simplificando:
Tenemos dos términos, y podemos aplicar el teorema Wigner-Eckert en cada término ,
expresando así cada término como el producto de un coeficiente Clebsch-Gordan y un
elemento matricial doble-barra. Pero como y a tenemos ev aluado arriba el elemento
matricial doble-barra, lo podemos insertar dejando como única tarea pendiente la
determinación de los coeficientes Clebsch-Gordan para cada término, para lo cual
consultamos tablas o usamos paquetes computacionales, sin necesidad de tener que
efectuar una sola integral en todo el proceso. Aplicando el teorema Wigner-Eckert en cada
término y tomando en cuenta que j es el mismo tanto en el bra como en el ket, la ev aluación
y simplificación de lo anterior v iene resultando en lo siguiente:
Podemos aplicar aquí la regla de selección m ley endo de corrido el renglón inferior de
parámetros en cada coeficiente Clebsch-Gordan. En el primer término, esto nos dá:
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como condición indispensable para que el primer coeficiente Clebsch-Gordan no sea cero.
Pero para cualquier v alor real de j, m’ excederá en dos unidades de momento angular el
v alor máximo permitido para m’. Entonces el primer coeficiente Clebsch-Gordan debe ser
cero. Puesto que este problema no se tiene en el segundo coeficiente Clebsch-Gordan, la
expresión se reduce a:
Substituy endo aquí el elemento matricial obtenido arriba, se tiene finalmente:
Con esto, hemos logrado expresar la relación inicial en términos del momento de
cuadripolo Q y un cociente de coeficientes Clebsch-Gordan.
Hemos utilizado el teorema Wigner-Eckart cuando el operador tensorial (el operador
momento de cuadripolo) es portador de dos unidades de momento angular, o sea, es un
tensor de orden dos. A continuación usaremos el teorema Wigner-Eckart para un caso más
sencillo en el cual el operador tensorial es un tensor de orden uno, el operador posición r en
un espacio tridimensional. En coordenadas rectangulares Cartesianas, los tres componentes
Cartesianos del operador posición son reducibles. Pero los tres operadores x, y y z que
multiplican la función de onda por el v alor de la coordenada respectiv a pueden ser
combinados en un tensor esférico irreducible, el operador rq de momento angular unitario
con sus tres componentes siguiendo la definición usual cuando se trata de componentesGuarda paginas web como PDF con http://www.htmlapdf.com! desbloquear Netflix
esféricos:
Para enfatizar el hecho de que los tres componentes son parte de un tensor de orden uno,
agregaremos un super-índice a cada uno de los componentes, y además combinaremos dos
de ellos en uno solo en la manera que se muestra a continuación:
De este modo, la aplicación del teorema Wigner-Eckart es directa al ser el operador
tensorial:
Con esto, el teorema Wigner-Eckart nos dice que (obsérv ese que estamos usando l en lugar
de j para la representación del momento angular):
De la regla de selección m aplicada en el lado izquierdo, podemos v er que la condición para
tener un elemento matricial del operador tensorial posición que sea diferente de cero será:
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La otra condición (o mejor dicho, tres condiciones) es, desde luego:
El elemento matricial desarrollado arriba con el teorema Wigner-Eckart es un elemento
matricial general. Puesto que q puede tomar los v alores 0 y ±1 , en cada caso se tiene:
Podemos relacionar estos dos tipos de elementos matriciales con el solo hecho de tomar el
cociente de ambas expresiones de arriba, lo cual reduce todo a un simple cociente de
coeficientes Clebsch-Gordan:
En el ejemplo que se acaba de dar, trabajando sobre los componentes esféricos del operador
posición (no los componentes Cartesianos), no se especificó ninguna función de onda sobre
la cual pudieran quedar especificados también el bra y el ket. Para v er lo que sucede cuando
se introduce en el panorama una función de onda, supondremos que lo que se tiene bajo
análisis es una partícula carente de spin intrínseco ligada a un centro fijo por una fuerza
originada por un potencial central. Supondremos una función de onda Ψ que para dicha
partícula, como y a lo hemos v isto en entradas anteriores, está especificada como el
producto de dos funciones de onda, una de las cuales representa la parte radial y la otra la
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parte angular, algo como lo siguiente:
El sistema está especificado completamente por los tres números cuánticos n, l y m.
Con la finalidad de no confundir cualquiera de los tres componentes esféricos del operador
tensorial v ector posición con la distancia radial r especificada en coordenadas
rectangulares Cartesianas como:
escribiremos los componentes esféricos en mayúsculas.
La expresión que queremos ev aluar con la función de onda Ψ dada arriba es la siguiente
(aquí desafortunadamente, el operador tensorial en coordenadas esféricas R(1 )±1,0, se
presta a confusión con la función radial Rn,l que es una parte de la función de onda, esto es
algo con lo que tenemos que estar precav idos haciendo la distinción siempre y en todo
momento):
Esto representa en realidad tres componentes distintas a ser ev aluadas, una para cada uno
de los tres v alores q especificados en los sub-índices. Para poder llev ar a cabo el cálculo que
deseamos, podemos empezar por tomar la componente esférica especificada por q.=.0:
y recurriendo al trabajo en las entradas prev ias, meter a la armónica esférica
correspondiente haciendo:
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Manejamos los otros dos componentes de modo similar, haciendo:
y metiendo en el panorama a las armónicas esféricas respectiv as usando la siguiente
relación:
con lo cual:
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Prescindiendo del asunto de los signos aritméticos puestos al frente de la raíz cuadrada en
esto último, los cuales no son de importancia trascendental para el desarrollo que
llev aremos a cabo, podemos resumir del siguiente modo las tres expresiones para las
componentes esféricas del operador tensorial v ector posición en una sola expresión:
La expresión que queremos ev aluar es entonces:
Puesto que el elemento diferencial de v olumen dV está dado (en coordenadas esféricas) por:
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podemos “romper” la integral en el producto de dos integrales, la primera siendo la que
corresponde a la parte radial, y la segunda siendo la que corresponde a la parte angular:
Podemos simplificar la notación un poco, tomando la integral radial tal y como lo que es, la
esperanza matemática del cubo de la posición (obsérv ese que, por la manera en la que está
simbolizada esta cantidad a trav és de los sub-índices, estamos dejando abierta la posibilidad
de que los elementos matriciales puedan describir el salto cuántico de un número principal
n’ a otro número principal n o v icev ersa, produciéndose una absorción o una emisión de un
fotón de energía, según sea el caso):
Por lo tanto:
La integral que en esta expresión representa la parte angular debería parecernos familiar a
estas alturas. Es esencialmente la misma integral que fue dada arriba al principio de esta
entrada:
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Para usar el resultado dado, hacemos:
con lo cual la raíz cuadrada se reduce a:
Por lo tanto:
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De los renglones superiores de los coeficientes Clebsch-Gordan se obtiene que:
lo cual nos dá una regla de selección. Por otro lado, aplicando la regla de selección m se
tiene que la expresión ev aluada es igual a cero a menos de que:
m’ = q + m
y del mismo modo:
l’ = | l ± 1 |
Del resultado obtenido arriba para los elementos matriciales del operador tensorial R(1)q,
podemos relacionar los elementos matriciales para q.=.±1 y q.=.0 ev aluando el cociente de
ambas expresiones, lo cual reduce a su v ez a un simple cociente de coeficientes Clebsch-
Gordan:
de lo cual obtenemos:
m’1 = m ± 1
También resulta ev idente de lo que tenemos en el cociente que:
m’2 = m2
De este modo, obtenemos las reglas de selección para transiciones permitidas entre
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distintos estados, pero esta v ez de un modo más formal y riguroso.
El operador posición, el cual por ser un v ector es un operador tensorial de orden uno, es tan
solo un ejemplo de muchos otros operadores tensoriales de orden uno que se puden citar.
En general, un operador v ectorial que podemos simbolizar en su sentido más amplio como
V puede ser escrito forma más explícita aún como un operador tensorial esférico como
V(1 )±1,0, denotando las tres componentes esféricas. Ahora bien, de acuerdo a la regla de
selección m, se tiene que:
a menos de que:
m’ = ±1, 0 + m
o bien:
Δm = m’ - m = ±1
Δm = m’ - m = 0
Por la misma razón, se tiene también que:
Δ j = j’ - j = ±1
Δ j = j’ - j = 0
Descartando la transición 0.→.0 (una transición prohibida), esto nos dá la regla de
selección que es de importancia fundamental en la teoría de la radiación, se trata de la regla
de selección del dipolo que se obtiene en el límite de fotones emitidos con longitudes de
onda grandes.
Manteniéndonos en el caso del operador tensorial de orden uno, si consideramos el caso
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especial en el cual j.=.j’ y aplicamos al mismo el teorema Wigner-Eckart, el resultado que se
obtiene toma una forma relativ amente sencilla conocida como el teorem a de la
proy ección:
en donde Jq representa las componentes esféricas del momento angular, usándose notación
v ectorial (en letra negrita) para simbolizar los vectores J y V (J·V representa un producto
v ectorial punto). Para demostrar dicho teorema, y en una forma parecida a como lo hicimos
arriba al trabajar sobre el operador posición rq, expresamos al momento angular J en
componentes esféricos (v éase la entrada “Operadores tensoriales”):
El conjunto anterior de tres componentes lo podemos expresar de una manera un poco más
compacta que solo requiere dos líneas:
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Observ ando en may or detalle, podemos v er que los componentes ± de hecho son a su v ez
funciones directas de los operadores escalera J± del momento angular. Tenemos así por un
lado:
mientras que por el otro se tiene:
Podemos expresar ambas cosas de una manera más compacta:
El punto de partida empieza por tomar la siguiente relación para desarrollarla y ev aluarla:
El producto v ectorial punto J·V , usando componentes esféricas, v iene siendo lo siguiente:
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Es importante tomar en cuenta que en cada uno de los productos Ja Vb tal y como están
dados no se puede suponer de antemano que dichos productos sean conmutativos, o sea
que no podemos usar anticipadamente la suposición de que Ja Vb sea igual a Va Jb. La
estrategia consiste ahora en substituir esto último en lo anterior, obteniendo de este modo
algo que puede ser expandido a tres términos distintos como se muestra a continuación:
Aquí podemos substituír los tres componentes esféricos de (J0,J+1,J-1) dados arriba para
continuar desarrollando. En el primer término, con J0 .=.Jz, se tiene:
No sabemos de antemano el efecto que pueda tener el operador V0 al actuar sobre el ket que
está a su derecha. Pero sí sabemos el efecto que puede tener el operador Jz tal al actuar
sobre el bra que está a su izquierda; es el mismo efecto que el que se tiene cuando en la
eigenecuación correspondiente el operador Jz actúa sobre un ket que está a su derecha:
con lo cual el primer término queda como sigue:
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Los otros dos términos son desarrollados de igual manera, con los operadores escalera del
momento angular usándose sobre los bras que están a su izquierda. Como puede v erse, el
desarrollo de la demostración es similar al que fue utilizado para la demostración de la regla
de selección m y la demostración del teorema Wigner-Eckart. El segundo término v iene
quedando como se muestra a continuación (póngase especial atención en los sub-índices de
J en las dos primeras líneas; obsérv ese también que cuando un operador escalera de
ascenso J+ actúa no sobre el ket que está a la derecha sino sobre el bra que está a la
izquierda, el efecto resultante es producir no un aumento sino un descenso del número
cuántico m en una unidad):
mientras que el tercer término v iene quedando como se muestra a continuación (obsérv ese
aquí también que cuando un operador escalera de descenso J- actúa no sobre el ket que está
a la derecha sino sobre el bra que está a la izquierda, el efecto resultante es producir no una
disminución sino un incremento del número cuántico m en una unidad)):
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Tenemos con esto la suma de tres términos, y podemos aplicar el teorema Wigner-Eckart
sobre cada uno de estos tres términos. Simbolizando con la misma constante c jm los
coeficientes Clebsch-Gordan que v an anexados como los factores de cada elemento
matricial “doble-barra”, tenemos entonces algo como lo siguiente (aunque las
constantes c jm que v an pegadas a cada término son diferentes, usaremos el mismo símbolo
para todas ellas, máxime que esto no cambiará nuestra conclusión final):
Aunque la suma de los tres términos que aparecen al lado derecho de la igualdad v ienen
siendo a fin de cuentas números que sumados se reducen a una sola cantidad (en
conformidad con lo que tenemos en el lado izquierdo de la igualdad en donde J·V es un
operador escalar que termina produciendo un número escalar), resulta conv eniente
inv entar aquí un símbolo no muy conv encional mediante el cual resumimos los tres
elementos matriciales “doble-barra” en un solo elemento matricial “doble-barra” que
corresponde al vector V que es a su v ez un v ector de tres componentes esféricos, o sea
V .=.(V 0,V -1,V +1), teniendo con ello la siguiente representación meramente simbólica:
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en donde c jm es un número independiente de m y en v irtud de que J·V es un operador
escalar que por ser un escalar no es capaz de cambiar el número cuántico magnético m,
razón por la cual podemos escribir simplemente c j en lugar de c jm . Más aún, puesto que la
constante c j no depende de V , esto último que acabamos de obtener sigue siendo v álido aún
si en la ecuación llev amos a cabo las substituciones V .→.J y α’.→.α obteniendo la siguiente
relación igualmente v álida:
Por lo tanto, aplicando el teorema Wigner-Eckart por separado a Vq y a Jq, y div idiendo
ambos resultados tal y como son dados por el teorema Wigner-Eckart, se obtiene:
Pero el lado derecho de esto último, por lo que hemos v isto arriba, es lo mismo que:
Además, por lo que y a hemos v isto prev iamente desde que iniciamos nuestros estudios del
momento angular:
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Con esto se obtiene entonces lo que fue enunciado arriba como el teorema de la proyección
(dentro del recuadro negro).
El teorema de la proy ección, tal y como fue dado al inicio de esta demostración, es el
equiv alente mecánico-cuántico de una conocida relación v ectorial clásica, si imaginamos al
v ector V como un v ector que se muev e en torno del v ector del momento angular total J con
un mov imiento de precesión firme como se muestra en la siguiente figura:
A la larga, con el transcurso del tiempo (y aquí podríamos inv ocar al teorema v irial, v éase
la entrada “El teorema v irial”) el promedio de la componente del v ector V que es
perpendicular (normal) al v ector J es igual a cero. Por lo tanto, el promedio del v ector V es
un v ector paralelo al v ector J, que tiene como magnitud v ectorial (promediada en el
tiempo):
Esta es una relación puramente clásica, pero se corresponde con lo que se tiene en el
teorema de la proy ección si se substituy e a J2 con j(.j+1)ħ2 y si los v ectores clásicos son
substituídos por sus contrapartes cuánticas.
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Quizá el caso más sencillo de todos sea aquél en el cual el operador tensorial es un tensor de
orden cero, en cuy o caso estamos hablando y a de un operador escalar S que consta de un
solo elemento.
Aplicando el teorema Wigner-Eckart para la obtención de los elementos matriciales de este
operador tensorial, se tiene lo siguiente (con la finalidad de mantener consistencia en la
notación durante el desarrollo, anexaremos al operador tensorial escalar S el cero entre
paréntesis como super-índice que lo identifica como un operador tensorial de orden cero, y
el cero como sub-índice que es consecuencia necesaria de que se trata de un tensor de
orden cero):
El coeficiente Clebsch-Gordan, con un cero intermedio arriba en el renglón super-índice y
un cero intermedio abajo en el renglón sub-índice, está sev eramente restringido en los
v alores que puede tomar. Puesto que el momento angular j es el resultado del acoplamiento
entre j1 y j2 , si cualquiera de estos dos últimos es igual a cero entonces j tiene que ser
necesariamente igual al otro de ellos que no es cero. Del mismo modo, puesto que el número
cuántico magnético m es el resultado del acoplamiento entre los números cuánticos m1 y
m2 , si cualquiera de estos dos últimos es igual a cero entonces m tiene que ser
necesariamente igual al otro de ellos que no es cero. Expresado en la notación conv encional
para los coeficientes Clebsch-Gordan:
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En el caso aún más restringido en el cual tenemos un cero arriba y un cero abajo, el
momento angular j solo puede ser igual necesariamente al elemento en su renglón que no es
cero y el número cuántico magnético m solo puede ser necesariamente igual al elemento en
su renglón que no es cero, en cuy o caso el coeficiente Clebsch-Gordan en sí solo puede ser
igual a la unidad, y si los dos elementos no-cero en el renglón superior o los dos elementos
no-cero en el renglón inferior son diferentes, entonces el coeficiente Clebsch-Gordan tiene
que ser igual a cero indicando con ello una condición imposible. Expresado
simbólicamente:
Tenemos, desde luego, un símbolo para expresar este tipo de situaciones, el símbolo delta
de Kronecker. Puesto que son dos las condiciones que se deben cumplir, tenemos que
utilizar dos deltas de Kronecker. De este modo, obtenemos el siguiente resultado:
Así pues, incorporando este resultado a lo que tenemos arriba (y haciendo los cambios
notacionales para mantener consistencia), se tiene entonces (omitiremos los ceros super-
índice y sub-índice en el operador tensorial S al resultar superfluos a estas alturas):
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Habiendo desaparecido los coeficientes Clebsch-Gordan del panorama, este resultado nos
dice que el operador tensorial escalar S no puede cambiar los números cuánticos
relacionados con el momento angular. Esto tiene sentido, puesto que un operador escalar
de orden cero actuando sobre el ket que está a la derecha es como añadir un momento
angular de cero. Expresado simbólicamente (suponiendo que el operador S produce un
eigenv alor constante s al actuar sobre el ket a la derecha):
Posiblemente obscurecido en todo esto es lo que ocurre cuando un operador tensorial
irreducible T (k)q entra en acción al actuar sobre el ket que está a su derecha (igual puede
actuar sobre el bra que está a su izquierda, pero aquí tomaremos la primera opción para
simplificar la explicación que se está dando). Tanto en la deriv ación de la regla de selección
m como en la demostración del teorema Wigner-Eckart dadas en la entrada prev ia, no se
hizo apelación alguna a los efectos del operador tensorial sobre un ket o un bra, se empezó
con relaciones de conmutación que metieron en el escenario a los operadores del momento
angular Jz y J± , y dejando al operador tensorial como simple espectador se le hizo a un lado
dejando caer todo el peso de la carga sobre los operadores del momento angular. Pero
hablando en términos generales, ¿qué es exactamente lo que hace el operador tensorial
irreducible? Para indagar esto, hagamos las siguientes operaciones:
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Si el operador tensorial T (k)q al actuar sobre el ket que está a su derecha produce un nuev o
ket en el cual los números cuánticos j y m hay an sido alterados de alguna manera, resulta
claro que el nuev o ket que representa el estado ξ (de color azul) tendrá que tener algo en
común con el bra (de color magenta) que permanece intacto para que el producto bra-ket
que aparece al final no sea igual a cero. Esto es lo que nos dá una perspectiv a sobre la acción
general del operador tensorial, actuar como un acoplador del momento angular.
En lo que hemos v isto hasta este punto, con el teorema Wigner-Eckart se facilita el llev ar a
cabo el acoplamiento entre dos momentos angulares j1 y j2 permitiéndonos obtener un
momento angular j:
j = j1 + j2
Pero posiblemente en algún momento hay a cruzado por nuestra mente la posibilidad de
poder llev ar a cabo el acoplamiento de tres momentos angulares:
j = j1 + j2 + j3
y que en el curso de llev ar a cabo operaciones de esta índole, ex ista también un equiv alente
del teorema Wigner-Eckart para poder simplificar las operaciones en este tipo de análisis.
Un estudio más a fondo de esto rev ela que, en efecto, ex iste una v ersión del teorema
Wigner-Eckart para simplificar el estudio del acoplamiento de tres momentos angulares. Y
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de hecho, esto se puede llev ar más lejos, hacia el acoplamiento de cuatro momentos
angulares. Para poder manejar algo así, resulta v entajoso hacer a un lado los coeficientes
Clebsch-Gordan y recurrir a los símbolos 6j de Wigner en el caso del acoplamiento de tres
momentos angulares, los cuales ofrecen un grado may or de simetría que los coeficientes
Clebsch-Gordan, y los símbolos 9j en el caso del acoplamiento de cuatro momentos
angulares. En la entrada anterior y a se dió un adelanto de esto, al darse una relación
empleando símbolos 3j de Wigner. La triple integral puesta al principio de esta entrada,
expresada usando los símbolos 3j de Wigner en v ez de los coeficientes Clebsch-Gordan, es
como y a lo v imos antes:
Como puede v erse, aquí aparecen dos símbolos 3j de Wigner, cada uno de los cuales consta
de seis elementos. Los símbolos 6j de Wigner también constan de seis elementos. Pero si un
símbolo 3j de Wigner consta de seis elementos con tres elementos puestos en cada renglón,
y si el símbolo 6j de Wigner también consta de seis elementos con tres elementos puestos en
cada renglón, ¿cómo podemos distinguir entonces entre un símbolo 3j y un símbolo 6j en
problemas en los cuales estemos efectuando cálculos numéricos (el problema no se
presenta cuando el análisis que se está llev ando a cabo es puramente simbólico, en cuy o
caso la distinción resulta obv ia al v er los símbolos que se están empleando)? La respuesta es
que, por convención, para representar un símbolo 3j de Wigner se utilizan paréntesis
ordinarios, mientras que para representar un símbolo 6j de Wigner se usan corchetes. A
continuación tenemos un ejemplo para cada caso:
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Además de que hay tablas disponibles en libros tales como Tables of Wigner 6j-symbols y
Tables of Wigner 9j-symbols, ambos de Keith M. Howell, también hay calculadoras
disponibles en Internet que permiten la ev aluación de los símbolos 6j y 9j de Wigner, así
como paquetes computacionales tales como Mathematica en donde la expresión para
ev aluar un símbolo 6j de Wigner es la siguiente:
SixJSy mbol[{ j1 , j2 , j3 },{ j4 , j5 , j6 }]
A modo de ejemplo, se muestra a continuación el resultado de una ev aluación de un
símbolo 6j de Wigner:
para cuy a ev aluación se recurrió a una página montada en Internet por el Profesor Anthony
Stone de la Univ ersidad de Cambridge. A continuación se muestra un ejemplo de la
ev aluación de un símbolo 9j de Wigner recurriéndose a dicha página:
Obsérv ese que en casos así, de no ser por los corchetes no se sabría si lo que fue ev aluado
fue un símbolo 3j o un símbolo 6j de Wigner.
Con libros de tablas o con una calculadora a la mano, resulta fácil v erificar que los símbolos
6j de Wigner permanecen inv ariantes al llev arse un intercambio de columnas, o al llev arse aGuarda paginas web como PDF con http://www.htmlapdf.com! desbloquear Netflix
cabo un intercambio entre los argumentos superiores o inferiores de dos renglones
cualesquiera, como lo muestran los siguientes ejemplos:
La metodología para acoplar tres momentos angulares es una extensión de lo que y a se ha
desarrollado. Se puede comenzar acoplando j1 con j2 hacia un momento angular
compuesto J1 2 , y acoplando j2 con j2 3 , hacia otro momento angular compuesto J2 3 , tras
lo cual se pueden combinar ambos para obtener el J total. Una consecuencia de este
proceso está resumida en el siguiente conmutador de Born:
razón por la cual a lo más uno de estos operadores intermedios de acoplamiento puede ser
diagonal (si ambos fueran diagonales, el conmutador de Born sería igual a cero).
Suponiendo que una base no acoplada está dada por los números cuánticos indiv iduales del
momento angular como:
entonces el momento angular total como y a se dijo estará dado por (obsérv ese que
usaremos a partir de este punto una letra may úscula para simbolizar el momento angular
total):
J = j1 + j2 + j3Guarda paginas web como PDF con http://www.htmlapdf.com! desbloquear Netflix
y tanto el cuadrado como la componente-z de dicho momento angular darán números
cuánticos buenos. Números cuánticos adicionales serán proporcionados por los cuadrados
de los momentos angulares indiv iduales, y todos estos operadores también conmutan con
los cuadrados de la suma de dos momentos angulares tales como:
J 212 = ( j1 + j2)2
En el caso de del acoplamiento de cuatro momentos angulares, se puede comenzar
acoplando j1 con j2 hacia un momento angular compuesto J1 2 , y acoplando j3 con j4 ,
hacia otro momento angular compuesto J3 4 , tras lo cual se pueden combinar ambos para
obtener el J total. Como y a se dijo, se debe tener:
así que a lo más uno de estos uno de estos operadores intermedios de acoplamiento puede
ser diagonal. Si se escoge a J 2 1 2 como diagonal, la construcción procede acoplando j1 con
j2 con el método conv encional:
tras lo cual se llev a a cabo el acoplamiento adicional:
Otra alternativ a consiste en acoplar j2 con j3 , lo cual conduce a la siguiente construcción:
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De este modo, se tienen dos conjuntos alternos de estados de base para tres momentos
angulares acoplados j1 , j2 y j2 , conjuntos que sabemos de antemano que tienen que estar
relacionados mediante algún tipo de transformación. Conv encionalmente, para esto se
utilizan dos tipos de definiciones. Una de ellas es el símbolo conocido como el coeficiente W
de Racah (así llamado en referencia al físico teórico Giulio Racah) que es definido del
siguiente modo:
Obsérv ese que el número cuántico M es omitido en las funciones de onda, en v irtud de que
resulta que el coeficiente W de Racah es independiente de M. El factor de normalización (la
raíz cuadrada) resulta útil para hacer que el coeficiente sea más simétrico en los cálculos (y
en realidad este es su único propósito). Usando el coeficiente W de Racah, la transformación
entre los dos conjuntos alternos de base para tres momentos angulares acoplados resulta
ser:
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o sea, una expansión en sumatoria de kets usando coeficientes W de Racah. Sin embargo, se
puede obtener un grado aún may or de simetría si se recurre al símbolo 6j de Wigner (el cual
consta de seis elementos), el cual está relacionado con el coeficiente W de Racah de la
siguiente manera:
En el caso de la suma de cuatro momentos angulares:
J = j1 + j2 + j3 + j4
las ideas son desarrolladas de igual manera. Podemos, por ejemplo, acoplar j1 con j2 hacia
un momento angular compuesto J1 2 , y acoplar j3 con j4 hacia un momento angular
compuesto J3 4 , y tras esto combinarlos para obtener el J total, o bien obtener J mediante
un acoplamiento de J1 3 y J2 4 , y . La transformación, con la ay uda del símbolo 9j de Wigner
(el cual consta de nuev e elementos), está definida de la siguiente manera:
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Obsérv ese que cada renglón (léase por ejemplo el segundo renglón de izquierda a derecha) o
cada columna (léase por ejemplo la primera columna de arriba hacia abajo) describe un
acoplamiento del momento angular. El símbolo 9j de Wigner es conocido también como el
coeficiente X de Fano que ev ita el uso de los corchetes y pone todos los elementos en un
solo renglón:
Todos estos símbolos resultan ser muy útiles en la descomposición de los elementos
matriciales de los operadores tensoriales.
Frecuentemente, uno tiene que lidiar con funciones de onda Ψ y operadores tensoriales T
que se refieren a subsistemas diferentes. En el caso de una misma partícula, por ejemplo, la
función de onda puede constar de una parte orbital (momento angular extrínseco) y de una
parte de spin (momento angular intrínseco), y el operador tensorial es también unGuarda paginas web como PDF con http://www.htmlapdf.com! desbloquear Netflix
acoplamiento de una contribución orbital y una contribución de spin. Otro ejemplo es el de
dos partículas diferentes que combinan sus momentos angulares y un operador tensorial
que consiste en el producto de dos operadores tensoriales diferentes R y S cada uno de los
cuales actúa en una de las partículas únicamente. En una situación así, estamos obligados a
considerar elementos matriciales del tipo:
en donde:
y el operador tensorial R actúa sobre la partícula 1 caracterizada por j1 y j1 ’, mientras que
el operador tensorial S actúa únicamente sobre la partícula 2 caracterizada por j2 y j2 ’. La
siguiente fórmula nos dá la expresión del elemento matricial total en función de un
producto de los elementos matriciales de los subsistemas (obsérv ese en el lado derecho de
la igualdad el producto de dos elementos matriciales reducidos):
Para el caso especial en el cual uno de los operadores, digamos el que actúa sobre la
partícula 2, es un operador tensorial de orden cero, esto es, un operador escalar, que para
nuestros propósitos v iene siendo lo mismo que un operador identidad, el elemento
matricial para la partícula 2 debe ser diagonal, pero el resultado final aún dependerá del
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acoplamiento del momento angular que está presente en las funciones de onda. La fórmula
en tal caso para el elemento matricial del operador tensorial R (el cual no puede ser
diagonal) se simplifica a lo siguiente (obsérv ese la inserción del delta de Kronecker δ para
tomar en cuenta la acción del operador tensorial escalar, tal y como lo v imos en el ejemplo
puesto arriba relacionado con operadores tensoriales escalares):
en donde se ha utilizado el símbolo W de Racah para simplificar la notación.
P U B LICA DO P OR A R MA N DO MA R TÍN E Z TÉ LLE Z E N 1 5 :2 9
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