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10.8 Vectores geométricos Análisis de elementos teóricos 1. Indique para cada una de las afirmaciones siguientes, si es verdadera o falsa,
justificando su determinación. 1.1 Si Eba 3, ∈
rr , con barr = y ba
rr // , entonces, barr =
r1.2 Si bar = , entonces, ba
rr =
1.3 Si barr = y ba
rr ≠ , entonces, necesariamente ar y br
son opuestos rr rr1.4 Si y ba // ba = y , entonces ba
rr ≠ barr −=
r r1.5 Si , entonces, ac r−= oac rr =−+ )( rr1.6 Si , entonces, siempre se cumple que 3, Eba ∈ baba
rrrr +=+ rrr1.7 Si baba
r+=+ para a ob rrr ≠, , entonces, necesariamente a b
rr // rr1.8 Si dc
rr > , entonces, siempre que se cumpla que dcdcrr −=+
1.9 Si y ofe rrr ≠, 0≠−=+ effe rrrr , entonces ferr + tiene el mismo sentido de f
r
rrrr1.10 Si ocba ≠,, y abccba rrrrrr −−=++ entonces: rrrNecesariamente a .//// cb r•
cba rr ,, tienen distinta dirección. r r
• a y b tienen sentido opuesto, al sentido de cr
rr•
bacr
+> necesariamente. •
cbacba rrrrrr ++=−+ • 2. En la figura se tiene un paralelogramo y puede asumirse que los vectores que se
observan como paralelos, evidentemente lo son. Si u APrr = y BPt
rr= , expresar los
vectores que aparecen con incógnitas en función de ur y tr . (A y B son puntos
medios de los lados respectivos).
3. Si ar > b
r y los vectores tienen sentidos opuestos, entonces:
tr
ur P
?
??
??
?
?A
B
3.1. Exprese el sentido de cada uno de los siguientes vectores en términos de los
sentidos de ar o de br
ar + br
, ar - br
, br
- ar , - ar - br
.
3.2 Calcule la magnitud de cada uno de los vectores anteriores en términos de ar y br
.
4. En las representaciones siguientes determine:
¿Cuando uno de los vectores corresponde a la suma de los otros dos? •
• ¿Cuando uno de los vectores corresponde a la diferencia de los otros dos?
4.1 ar 4.3 sr r c b m h r rr
4.2 4.4
r d
r u r
r
tr f n
r l 5. En las expresiones siguientes, determine el vector resultante:
5.1 →→→→→
+−−+ MDFKHFHMCK
5.2 →→→→→
−+−− CKDAKFFDCD 6. Indique para cada una de las afirmaciones siguientes, si es verdadera o falsa,
justificando su determinación. 6.1 Si ar RyE ∈∈ λ3 , entonces, arλ y ar pueden ser vectores opuestos.
r r6.2 Si a ll b y ,0,0 >> βλ entonces necesariamente arλ y b
rβ tienen el mismo
sentido. 6.3 Si 0≠λ , entonces, necesariamente aa rr >λ
r6.4 Si a ll br
y barr θλ = , entonces, necesariamente 0==θλ r
6.5 Si arλ y bβ tienen sentidos opuestos, entonces, necesariamente 0>λ y 0<β ó 0<λ y 0>β .
7. Utilice el criterio de colinealidad para determinar en cada numeral si los tres puntos
diferentes de O ("O" es un punto de referencia) son o no colineales.
7.1 +→
OA21
+→
OC21
=→
OB→→
+ OCBO56
54
7.2 →→→
=+ DOFOOC 352 Ilustración 35
En el trapecio ABCD, M, N son puntos medios de los lados no paralelos AD y BC respectivamente: Demuestre vectorialmente que:
→
MN = )(21 →→
+ DCAB
N M
D C →
MN = )(21 →→
+ DCAB
→
MN // →→→
CDMNyAB // B A Hipótesis i) ABCD trapecio ii) AB // DC iii) M punto medio de AD , N punto medio de BC Demostración
1. Suma generalizada en E3 →→→→
++= CNDCMDMN
2. Suma generalizada en E3 →→→→
++= BNABMAMN
3. Sumando 1 y 2, Ley uniforme de la suma →→→→→→→
+++++= BNABMACNDCMDMN2
4. . Conmutatividad y asociatividad en la suma en E3.
→→→→→→→
+++++= DCABBNCNMAMDMN )()(2
5. y CN ¿Por qué? →→→
=+ oMAMD→→→
=+ oBN
6. Sustitución 5 en 4. →→→→→
+++= DCABooMN2
7. Propiedad modulativa de la suma en E3. →→→
+= ABDCMN2
8. )(21 →→→
+= ABDCMN . Propiedad, producto de un real por un vector libre.
9. )(21 →→→
+= DCABMN Definición igualdad de vectores libres en 8.
10. →→→
+= DCABMN21 Propiedad de un producto de un real por un vector libre
en 9.
11. )(21 →→→
+= DCABMN Teorema desigualdad triangular en 10. Por tener y
el mismo sentido.
→
AB→
DC
12. Teorema. Criterio del paralelismo de la hipótesis ii). →→
= ABDC λ
13.
+=
→→→
ABABMN λ21 Sustitución de 12 en 8.
14.→→ +
= ABMN2
)1( λ Propiedad del producto de un real por vector libre en 13.
15. // Teorema. Criterio del paralelismo en 14. →
MN→
AB
16. // Transitividad en le paralelismo de la hipótesis ii) y de 15. →
MN→
DC Ilustración 36
El cuadrilátero PQRS es un paralelogramo, A es el punto medio de PS , 21
=TQAT
Demuestre vectorialmente que →
=RT→→
+ )(32 RQRS
Q
R S
T
A
P Demostración
1.
+=
→→→
RARQRT 231 Teorema de la proporción, de la hipótesis
2. Suma en →→→
+= SARSRA 3E
3. →→
= SPSA21 Criterio del paralelismo, de la hipótesis.
4. →→→
+= SPRSRA21 Sustitución de 3. en 2.
5. Teorema Propiedad del paralelogramo, de la hipótesis. →→
= RQSP
6. →→→
+= RQRSRA21 Sustitución de 5. en 4.
7.
++=
→→→→
RQRSRQRT212
31 Sustitución de 6. en 1.
8.
+=
→→→
RQRSRT32 ¿Por qué?
Ilustración 37
En el triángulo ABC de la figura se tiene:
{ }3212
2
1
1 ,52,
31 PBPCP
CPAP
BPAP
=== I
Determine vectorialmente la razón en la que el punto P3 divide al segmento CP1 y al segmento BP2.
B
λ
β
P1 P3
A P2C
Demostración.
1. Designemos la razón βλ
=23
3
PPBP Convención adoptada
2. ( )
+
+=
→→→
CBCPCP βλβλ 23
1 Teorema de la proporción de 1
3. Teorema Criterio del paralelismo →→
= 13 CPCP θ
4.
+=
→→→
CACBCP 341
1 Teorema. Criterio del paralelismo, de la hipótesis.
5.
+=
→→→
CACBCP 343θ Sustitución 4 en 3
6. →→
= CACP75
2 Teorema. Criterio del paralelismo, de la hipótesis.
7. ( )
+
+=
→→→
CBCACP βλβλ 7
513 Sustitución 6 en 2
8. ( )
+
+=
+
→→→→
CBCACACB βλβλ
θ7
5134
Transitividad entre 5 y 7
9. ( )→→
−
+=
+
− CACB4
37
54
θβλ
λβλ
βθ Propiedad del producto de un
real por un vector libre.
10. ( ) 04
=+
−βλ
βθ De 9. ¿Por qué?
( ) 04
37
5=−
+θ
βλλ
11. 521
=βλ Despejando en 10.
12. 1310
=θ Despejando en 10.
13. En consecuencia: 521
23
3 =PP
BP y 1310
1
3 =CPCP esto es,
310
13
3 =PP
CP
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Demuestre vectorialmente el teorema de la paralela media.
2. Demuestre vectorialmente que los puntos medios de un cuadrilátero son los vértices
de un paralelogramo.
3. Demuestre vectorialmente que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su
punto medio.
4. Demuestre vectorialmente que las medianas en cualquier triángulo se cortan en un
punto ubicado sobre cada mediana a 2/3 del vértice y a 1/3 del lado sobre el cual la
mediana incide.
5. Demuestre vectorialmente que en un paralelogramo los segmentos que unen un
vértice con los puntos medios de los lados opuestos, dividen la diagonal en tres
segmentos de igual medida.
6. En un cuadrilátero ABCD sean: E, F, G, H los puntos medios de los lados
DAyCDBCAB ,, . Demuestre vectorialmente que: →→→→→
=+++ ODECHBGAF
7. En el trapecio ABCD, M, N son los puntos medios de las diagonales. Demuestre
vectorialmente:
7.1 )(21 →→→
−= ABDCMN
7.2 )(21 →→→
−= ABDCMN
7.3 →→→→
DCMNABMN ||,||
8. En la figura se tiene: O Punto de referencia, P Punto medio de AD , →
→
DB
CD=2/1
C
Demuestre vectorialmente que OP =→ →→→
++ OCOBOA61
31
21
O
P
A
D
B
9. En la pirámide triangular de base en el ∆ ABC y vértice Q, M, N y L son puntos
medios de AB , BC y AC→
+QB
respectivamente. Demuestre vectorialmente que
→→→→→
+=++ QCQAQLQNQM
M N
L
Q
A
C
B
10. Sean E3, // , y tales que ∈→→
ts ,→
s→
t→→→
≠ ots , ststs rrrrr 7335 θθλ
−+=+−
Determine vectorialmente los valores de λ y θ.
10.9 Vectores Coordenados
Ilustración 38
Determine las ecuaciones vectorial, paramétricas y simétricas de la recta que pasa por el
punto A(-2, 1, 3) y es paralela al vector →
DT , siendo D(4, 0, -1) y T(2, -3, 1).
Solución
Designemos esta recta por
→
DTAL ,
Sea P(x, y, z) tal que P∈ ; esto es P representa un punto genérico de la
recta.
→
DTAL ,
Determinemos los vectores de posición P y
rrA respectivamente.
→
DTAL ,
D A
A T
P
z P
y O
x
Tenemos ahora que: 1. P = A + AP 2. AP = λDT Con λ ∈ a R. ¿3. P = A + λDT Sustituc4. DT = T – D ¿Porqué5. P = A + λ(T - D), λ∈R} Ecuació6. L(A, DT) ={P (x, y, z) / P = A + λ Como DT = T – D (2,-3,1)-(4, 0, - Por la correspondencia entre vectores 7. P (x, y, z) = (-2,1,3) + λ(-2,-3,2)
(x, y, z)= (-2 -2λ, 1-3λ, 3+2λ) y d
x = -2 -2λ y = 1 - 3λ λ ∈ R. Ecuacio z = 3 + 2λ
Porqué? ión de 2 en 1. ? n vectorial de esta recta. (T - D), λ∈R}
1); esto es DT (-2,-3,2)
de posición y vectores coordenados tenemos de 5:
e la igualdad de n-tuplas se obtiene:
nes paramétricas de esta recta.
8. Despejando el parámetro en cada una de las ecuaciones anteriores y por la
transitividad en la igualdad tenemos:
23
31
22 −
=−−
=−+ zyx Ecuaciones simétricas de esta recta.
Ilustración 39 Determine para la recta de la ilustración anterior:
Sus interceptos con los planos zyx ↔↔↔ yz,x , • Su intersección con el plano de ecuación cartesiana 2x-y+3z=5 •
Solución: La ecuación cartesiana del plano yx ↔ corresponde a: 0x +0y+z=0; y sustituyendo las coordenadas respectivas, de las ecuaciones paramétricas en esta ecuación tenemos: 3 + 2λ=0 y λ= -3/2, evaluando para este valor, las ecuaciones paramétricas, se obtiene: X=-2+2 (3/2) =1 Y= 1 + 3(3/2)= 11/2 Z=0 En consecuencia (1, 11/2, 0) corresponde al punto de intersección de la recta con el plano yx ↔ . Determine el intercepto con los otros dos planos. Veamos ahora el intercepto con el plano de ecuación 2x-y+3z=5 2(-2 -2λ)-(1-3λ)+3(3+2λ)=5 -4 - 4λ-1+3λ+9+6λ=5 4+5λ=5, λ= 1/5; evaluando las ecuaciones paramétricas con este valor, obtenemos el punto (-8/5, 8/5, 17/5), correspondiente a la intersección. Ilustración 40 Dadas las rectas L1 y L2 en el espacio y de ecuaciones:
x = -2 +3λ L1: y = 5 - λ λ ∈ R.
z = 2λ x = 3 - β
L2: y = 5 +2β β ∈ R.
z = β
Determine el conjunto L1∩L2 e interprete geométricamente sus posiciones relativas:
Veamos inicialmente si L1//L2, por ser muy sencillo el criterio que lo determina. •
•
•
Sea u (3,-1,2) con // L1 ¿Porqué? →
1 ↔→
1u
Sea u (-1,2,1) con //L2 →
2 ↔→
2u
L1//L2 si y solo si // u ¿Porqué? →
1u→
2
Pero u si y solo si u . Teorema. Criterio del paralelismo. →→
21// u→→
= 21 uθ
Asumamos, a prueba de hipótesis u . Esto es (3,-1,2) = θ(-1,2,1); si esto se diera tendríamos que:
→→
= 21 uθ
→
1→
2u 1L 2L
Generando un sistema inconsistente; lo que nos permite concluir que u ╫
y en consecuencia ╫
3= -θ -1= 2θ 2 = θ
Procedemos ahora a determinar 1L 2L∩ . 1) βλ −=+− 332 1) 3 5=+ βλ 2) βλ 255 +=− 2) 02 =−− βλ 3) βλ =2 3) 2 0=− βλ Aplicando el método de reducción de Gauss - Jordan se tiene:
−−−
1221
13 0 5 5
0
5→ 12E
−121321
0
0 → +− 213 EE
−−
5050
21
0
0
→ +− 32 EE
−0050
21
− 550
Lo que nos permite afirmar que el sistema es inconsistente y en consecuencia ∩ = .
1L
2L Φ
-E1 -2E1+ E3
Este ultimo resultado y la conclusión previa de que ╫ , nos permite concluir, según la teoría, que las rectas y se “cruzan en el espacio”.
1L 2L
1L 2L Ilustración 41 Dados los planos π1, π2 y π3 de ecuaciones cartesianas en su orden: π1 : x – y +2z = 1 π2 : x + 3y – z = 2 π3 : 2x + 6y – 2z = 3
Determine e interprete geométricamente 1. π1 ∩ π2 2. π2 ∩ π3 3. π1 ∩ π2 ∩ π3 Veamos para el primer conjunto. Por el método de reducción de Gauss Jordan
−
−131
211
21
→ +− 21 EE
−
−340
211
11
→ 24/1 E
−
−4/310
211
4/1
1
→ + 12 EE
− 4/310
4/501
4/14/5
Sistema equivalente reducido. 1. x +5/4z = 5/4 2. y -3/4z = 1/4 x = 5/4 - 5/4λ
1. y = 1/4+ 3/4λ λ ∈ R Solución del sistema 2. z = λ
Esto significa que π1 ∩ π2 = L( A, ), donde A(5/4, 1/4, 0) y (-5/4, 3/4, 1) →
t→
t Ilustración 42
Dados S (-4,-2,6) y (2,1,2) →
n ↔Determine:
1. La ecuación vectorial del plano que pasa por S y es perpendicular al vector ;
que designamos por π( , S).
→
n→
n2. La ecuación cartesiana de este plano. 3. La distancia de un punto Q(3,4,-2) a este plano. 4. Las coordenadas correspondientes a la proyección ortogonal de Q sobre el
mismo plano. 5. Las coordenadas del punto simétrico de Q respecto al plano inicial.
6. El ángulo entre el plano π( , S) y el plano de ecuación 5x -2y + z = -3 →
n
Solución:
1. Sea P(x, y, z) ∈ π( , S). →
n
Entonces ⊥ y por lo tanto →
SP→
n
n
S
P
2. →
S
→
S
3. S
Calc
•
→ →
SP . = o n Ecuación vectorial.
= ( x+4, y+2, z-6) P→→
− SP ↔
. = 2 (x + y) + (y + 2) + 2(z – 6) = 0 P→
n
Ecuación cartesiana.
2x + y +2z = 2 2x + y +2z = 2ea A ∈ π( , S); en particular →
nA (0, 0, 1) está en el plano
d(Q, π( , S)) = HQ →
n
•=
==
→
→→
→
→→→
2
n
nAQ
n
AQprATHQ
Por tanto →
→
→→→
= nn
nAQHQ 2
. = →
→→
n
nAQ..
= 33.19
4=
ulemos las coordenadas del punto H
Podemos afirmar que { H } = π( , S) ∩ L (Q, ). ¿Por qué? →
n→
n
Si P (x, y, z) ∈ L (Q, ), entonces P = Q + λ y sus ecuaciones paramétricas son:
→
n→
n
1. x = 3 + 2λ 2. y = 4 + λ R∈λ 3. z = -2 +2λ ( ) ( ) ( ) 22224232 =+−++++ λλλ 9/4−=∴λ
y
−
=922,
932,
919H
Designemos Q´ por el punto simétrico de Q respecto al plano π( , S), se cumple en consecuencia que:
→
n
Q´ = Q + QQ´ ¿Porqué? Q´ = Q + 2QH ¿Porqué? QH = H – Q ↔ )9/4,9/4,9/8( −− Q´ (3, 4, -2) + (-16/9, -8/9, 8/9) Q´ = (11/9, 28/9, -10/9)
→
n
H
O
A
Q
Q´
H
´
Determinemos perpendicular al plano de ecuación 5x – 2y + z = -3, en particular
; y por lo tanto el ángulo entre los planos corresponde a:
→
t
( 2,− )1,5↔→
t
=→→
→→
−
tn
tn .cos 1α ¿Por qué?
º51,52309
10cos 1 =
×
= −α
Ilustración 43 Demuestre la desigualdad de Cauchy – Schwarz.
Si , entonces, 3, Eba ∈→→
..→→→→
≤ baba
Demostración
1. αcos.→→→→
= baba Definición de producto escalar.
2. αcos.→→→→
= baba Tomado de valor absoluto en 1
3. αcos.→→→→
= baba Propiedad de valor absoluto y magnitud de un
vector libre. 4. − 1cos1 ≤≤ α Rango de la función coseno 5. 1cos ≤α Propiedad del valor absoluto de 4
6. →→→→
≤ baba αcos ¿Por qué?
7. →→→→
≤ baba . ¿Por qué?
Ilustración 44 Sea ∆ABC con ángulo recto en AHCAB ;ˆ altura. Demuestre vectorialmente que:
1. HBCBAB→→
=→ 2
2. CHCBAC→→
=→ 2
3. →→
=→
CHBHAH2
A
B C H
Solución
1. ABABAB→→
=→
.2
Definición de producto escalar.
→→→2. CACBAB −= Diferencia de E3
3. HAHBAB→
−→
=→
Diferencia de E3
4. De 2 y 3
→−
→→−
→=
→→HAHBCACBABAB ..
5. Propiedad distributiva del producto escalar respecto a la suma
→→→→→→→→→→
+−−= HACAHBCAHACBHBCBABAB .....
6. CB ¿Por qué? 0. =→→
HA
7. Sustitución de 6 en 5 →→→→→→→→
+−= HACAHBCAHBCBABAB ....
8. Distributividad del producto escalar
respecto a la suma.
+−+=
→→→→→→→
HAHBCAHBCBABAB ...
9.→→→
=− BAHBHA ¿Porque?
10. Sustitución de 9 en 8 →→→→→→
+= BACAHBCBABAB ...
11.CA ¿Por qué? 0. =→→
BA
12. º0. CosHBCBABAB→→→→
= Sustitución de 11 en 10. y
definiciones de producto escalar.
13.→→→
= HBCBAB2
¿Por qué?
Ilustración 45
Calcule el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores
)3,1,9(),1,2,3(),2,0,5( −−↔−↔−↔→→→
cba Solución:
Volumen de este paralelepípedo determinado por los vectores = ),,(→→→
cba
(Producto mixto de ) ¿Por qué? →→→
cba ,,
319123205
),,(−−
−−
=→→→
cba = 5
Luego el volumen del paralelepípedo es igual a 5 unidades cúbicas. Calcular el volumen del tetraedro, determinado por estos mismos vectores. Ilustración 46 Si A, B, C son puntos distintos y no colineales, demuestre que una ecuación vectorial para el plano π (A, B, C) es:
0),,( =→→→APACAB ; siendo P un punto genérico del plano.
Demostración
),,( CBAΠ
1. Sea P(x, y, z) , P∈π(A, B, C) B
2. Determinemos →→→
APACAB ,,
3. ),,(,, CBAAPACAB π⊂→→→ P A
de la hipótesis y de 1.
4. ¿Por qué? 0)( =•→→→
APxACAB C 5. La ecuación vectorial anterior
Corresponde al plano ),,( CBAπ
etermine, utilizando este resultado, una ecuación vectorial y la ecuación cartesiana del Dplano ),,( SNMπ ; cuando M(-5, 2, 1), N Ilustración 47
(3, -1, 0), S(4, -3, -1).
emuestre vectorialmente que para ;
Demostración
D 3, Eba ∈→→
0,, =
−+
→→→→→
bbaba
1. Definición
producto mixto.
2. .
Distributividad del producto vectorial respecto a la suma.
3.
. Sustitución 3 en 2
5. . Distributividad
del producto escalar respecto a la suma.
6. ición del producto vectorial.
y
8. Sustitución de 7 en 5.
ustración 48
de la ilustración 40, determine la distancia entre ellas (transversal ínima).
×
−•
+=
−+→→→→→→→→→
bbababbaba ,, .
−+ aba ,
→
×−ו
+=
→→→→→→→→→→→
bbbababb ,
- =× Obb ¿Por qué? →→→
4. = bb ,
ו
+
−+
→→→→→→→→→
babaaba ,
→→
ו+
ו=
−+
→→→→→→→→→
babbaabbaba ,,
⊥× aba y ⊥× bba . Defin→→→ →→→
7. 0=× b ¿Por qué? 0=
ו
→→→
baa
•
→→→
ab
→
0,, =
−+
→→→→
bbaba
Il Para las rectasm Solución.
1. Designemos por A y →t un punto particular y un vector paralelo a la primera
recta obteniendose A(-2, 5, 0) y →t ↔ (-1,2,1).
Designemos por B y s elemen álogos en2. tos an la segunda recta, obteniéndose
3.
→
,2,1B(3, 5, 0) y ( )1−↔s →
,
→→
→→→
→→
×
=
st
stABsBLtALd
,,,,, ¿Por qué?
(Justifique la fórmula y su aplicación en esta situación)
4. ( )0,0,5↔−= ABAB →→→
25)5(5121213005
,, −=−=−
−=
→→→
stAB
5. →→→
→→→
→→
+−−=−
−=× kjikji
st )5()5()5(121213
)5,5,5( −−↔×→→
st ; 75=×→→
st
6. 88.27525
)),(),,(( =−
=→→
sBLtALd unidades de longitud
Ilustración 49 En el ∆ABC, P y Q son puntos medios de AB y BC respectivamente, G es el baricentro. Demuestre vectorialmente que: Área (∆PQG)= 1/12 Área (∆ABC) C Q
G A B P Solución
1. Área (∆PQG) = →→
× PGPQ21 ¿Por qué?
2. →→
= ACPQ21 Teorema de la paralela media.
3. →→→
−== CPPCPG31
31 ¿Por qué?
4.
+=
→→→
CBCACP21 Teorema de la proporción, de la hipótesis.
5. Área (∆PQG) =
+−×
→→→
CBCAAC61
21
21 Sustitución 2, 3 y 4 en 1
6. Área (∆PQG) =
+−×
→→→
CBCAAC241 Propiedad del producto vectorial y
magnitud de un vector.
7. Área (∆PQG) =
−×+
−×
→→→→
CBACACAC241 Distributividad del producto
vectorial, respecto a la suma.
8. ¿Por qué? →→→
=−× OACAC
9. ¿Por qué? →→→→
×=−× CBCACBAC
10. Área (∆PQG) = →→
×CBCA241 Sustitución 8 y 9 en 7
11. Área (∆PQG) = 121 Área (∆ABC) ¿Por qué?
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Sean ( ) ( ) ( ) ( 1,2,1,1,0,0,,21,2
1 ,1,1,1,0 −↔−↔−↔−↔→→→→
dcba )
Determine las coordenadas de los vectores: →→→→
+−= cbas 32 y→→→→→
+−−= dcbat 22
Determine los cosenos y los ángulos directores de →
s
Determine el ángulo entre y . →
s→
t Determine un vector de magnitud igual a 2/5 en la dirección y en el sentido de
→
t
2. Identifique cada una de los siguientes conjuntos de puntos en R2
2.1 { }( ) Ryxyx ∈+−−= θθθ ),7,4()0,3)(1(),/(,
2.2
∈+−=
→→→
RPPPyxP βββ ,)1(/),( 21
2.3
∈= Rxyyx ,
53/),(
2.4 [ ){ }+∞∈+−= ,0),5,2()1,3(),/(),( θθyxyx 2.5 [ ]1,0),5,2()1,3(),/(),({ }∈+−= θθyxyx
3. Sean P1 (x1,y1,z1) , P2 (x2,y2,z2). Determine vectorialmente las coordenadas del punto medio del segmento 21PP .
4. Determine las ecuaciones: vectorial, paramétricas y cartesianas de cada uno de
los siguientes planos. 4.1π ( siendo A ( 0,-2,1), C ( -4,1,-1), K (5,0,2). ),,, KCA
4.2 π ( , siendo D ( -1,1,2), u ),,→→
tuD )5,1,2(),1,0,3( −↔−↔→→
t4.3 el plano que pasa por T(-1,0,2) y contiene a la recta
L: 1. x = 3-λ
2. y =2λ R∈λ 3. z = 1-5λ 5. Sean: 0: 11111 =+++ dzcybxaπ π 0: 22222 =+++ dzcybxa
Demuestre que π1//π2 si y solo si existe R∈λ tal que λ===1
2
1
2
1
2
cc
bb
aa
6. Demuestre vectorialmente la ley del coseno. 7. Demuestre vectorialmente que todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. 8. Demuestre vectorialmente la desigualdad triangular.
Para →→→→→→→
+≤+∈ babaEcba ,,, 3
9. Sea A un vértice de un cubo. Desde A se trazan una diagonal del cubo y una diagonal de una de las caras. Calcule el ángulo entre estas dos diagonales.
10. Establezca un criterio vectorial para determinar cuando cuatro puntos distintos
del espacio son coplanarios. Utilice dicho criterio para determinar si A ( 1,2,1), B (-3,1,2), C (-4,-1,1) y D (-3,-2,0) son coplanarios.
11. Una pirámide cuyo vértice es P; tiene como base el cuadrilátero ABCD.
Calcule el volumen de esta pirámide si se tiene: P ( 0,0,8); A ( 3,0,-1); B ( 2,9,3); C ( -2,0,4); D ( -4,-6,4) .
12. Demuestre la identidad de Jacobi: →→→→→→→→→→
=××+××+×× Obacacbcba )()()( sug: Utilice la relación de Gibas
13. Resuelva para →
X el siguiente sistema.
1. →→→
=× cbX
2. =•→→
aX α sugerencia: Utilice la relación Gibbs 14. Dado el tetraedro ABCP.
Sean vectores normales a cada cara y de magnitud igual al área de la cara respectiva.
43,2,,1 ,→→→→
nnnn
Demuestre que = O 432,1
→→→→
+++ nnnn→
→
2
→
n
C A
3
→
n
B
P 1
→
n
4n 15. Demuestre la identidad de Lagrange.
Para 3,,, Edcba ∈→→→→
→→→→
→→→→→→→→
••••=ו×
dbcbdacadcba )()( Sugerencia: Utilice las propiedades del
Producto mixto.
16. Sean linealmente independientes y →→→
cba ,,→→→→
++= cbad γβλ
Demuestre que ),,(
),,(, →→→
→→→
=cba
cbdλ ; =β ),,(
),,(, →→→
→→→
cba
cda ; ),,(
),,(, →→→
→→→
=cba
dbaγ
17. Utilice el resultado anterior para resolver el siguiente sistema: ( Regla de Cramer ) . 1. 532 =−+ γβλ 2. − 222 =−+ γβλ 3. 34 =−+− γβλ