10a Elasticidad

Aplicaciones de la teora matemtica de la elasticidadmatemtica de la elasticidada problemas de geotecnia

(84.07) Mecnica de Suelos y Geologa

FIUBA

ndice

Elasticidad aplicada a geomateriales El problema de Boussinesq

a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d

Soluciones grficas Presin de contacto bajo zapatas

a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a

Asiento de zapatas Otras aplicaciones de teora de la elasticidad

A

p

l

i

c

a

Coeficiente de reaccin de la subrasante Un ejemplo numrico j p

2

Elasticidad lineal isotrpicaa

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d Concepto: un slido tiene comportamiento elstico si luego de un ciclo de carga y descarga recupera su forma y no disipa energa en forma de trabajo de

a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a su forma y no disipa energa en forma de trabajo de deformacinLa elasticidad lineal isotrpica se escribe como

A

p

l

i

c

a La elasticidad lineal isotrpica se escribe como

= E (unidimensional)

Ti d t t i l E i j = K kk i j + 2G i jd (general, en componentes)

Tiene dos parmetros materiales: E, 3

Elasticidad lineal isotrpica, estados 2D

a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d

xx& 1- 0 xxe&

Deformacin plana

a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a

yy&zz&

= E

1 - 2 ( ) 1 + ( ) 1- 0 1- 00 0 0 1 2

yye&zze&

A

p

l

i

c

a

xy& 0 0 0 1 2 xye&

Tensin plana

& xx& yy

= E

1 21 0 1 0

& xx& yy

4

& xy

1 2

0 0 1

& xy

Restricciones a los parmetros elsticos

a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d El trabajo de deformacin debe ser una funcindefinida positiva

a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a

A

p

l

i

c

a

( )1 EE EG K E 5

( ) ( )( )

( ) ( )2 3 2 2oedG K E 1 + 1 1 + 1 = = =

Elasticidad aplicada a problemas geotcnicos

Condiciones necesarias Las tensiones inducidas en

l t ha

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d

hiperbola deKondner

iE

d

dfu

el terreno son mucho menores a su resistencia(no hay plasticidad pora c

i

o

n

e

s

d

e

l

a

resultadoexperimental

df

(no hay plasticidad por corte)

Los suelos estn sobre-

A

p

l

i

c

a

1Los suelos estn sobreconsolidados (no hay plasticidad por

1

11

df

i df

RE

=+

( y p pcompresin)

61f

ndice


a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d


a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a


A

p

l

i

c

a


7

Teora de Boussinesq para carga puntual

Hiptesis El terreno es un slido

l ti t idi i la

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d

elstico tridimensional semi-infinito con parmetros elsticos constantesa c

i

o

n

e

s

d

e

l

a

elsticos constantes Se aplica una carga

concentrada normal

A

p

l

i

c

a

concentrada normal a la superficie del terreno

8


a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d

a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a

A

p

l

i

c

a

9


5 2

a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d z = 3Q2 z21

1+ r z( )2

a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a

r = Q23r 2z

r 2 + z2( )5 2 1 2

r 2 + z2 + z r 2 + z2( )1 2

A

p

l

i

c

a

r + z( ) r + z + z r + z( ) = Q 1 2( ) z( )3 2

1

( )1 2

2 ( ) r 2 + z2( )3 2 r 2 + z2 + z r 2 + z2( )1 2

3Q rz2

10

rz = 3Q2rz

r 2 + z2( )5 2

Isobaras de tensiones totales en planos horizontales

a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d

a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a

A

p

l

i

c

a

11Carga lineal Carga puntual

ndice


a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d


a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a


A

p

l

i

c

a


12

Carta de Plasticidad

Dibuje la base en escala

de Newmark

a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d (AB / Profundidad)

z = N q

a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a

z 200

q

A

p

l

i

c

a

13

ndice


a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d


a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a


A

p

l

i

c

a


14

Distribucin de tensiones bajo zapatas rgidas y flexibles

Zapata rgida: igual asentamiento, mayor presina

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d

mayor presin en los bordes

a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a

Zapata flexible: igual presin

A

p

l

i

c

a

igual presin, mayor asentamiento en el centro

15

Tensiones verticales bajo zapatas en distintos tipos de suelo

a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d

Teora de elasticidadrigidez independiente

del confinamiento

Arenasrigidez nula sin confinamiento

Arcillasplastificacin parcial del borde de zapata

a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a

del confinamiento confinamiento del borde de zapata

A

p

l

i

c

a

16

Tensiones bajo una zapata circular, cuadrada y lineal

Cuadrada Lineal

a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d

a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a

A

p

l

i

c

a

17 Circular

ndice


a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d

Soluciones grficas Presin de contacto bajo zapatas rgidas

a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a


A

p

l

i

c

a


18

Mtodo de Schmertmann

a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d

1 ( )( )

a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a z = 1Es v + 2 + 3( )( )

q I (del grfico)

A

p

l

i

c

a z = EsI z (del grfico)

= z dz z0

19


a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d

a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a

= q z I z

A

p

l

i

c

a

c = q z Es jj=1...n

zmax = 2 1+ log LB

B

20

max g B


a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d ( )1 2 3 ( )0 5 0 1

zD s

zD

c c c q I H E

qI

= = +

a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a

( )10.5 0.1

1 0.5

pzp

zD zD

I

c q

= +

=

A

p

l

i

c

a

( )[ ]2

3

1 0.2 0.11.03 0.03 / 0.73

c log tc L B

= +=

21

Mtodo de Schmertmann para zapata enterrada

a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d

a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a

A

p

l

i

c

a

c = q 'v0( ) z I 'zEs

jj=1...n

I 'z I z = f D B( )

22

ndice


a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d


a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a


A

p

l

i

c

a


23

Empujes laterales sobre paramentos verticales

a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d

z = 2Qz3

x2 + z2( )2 x =2Qx2z

x2 + z2( )2

a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a

( ) ( ) zx = 2Qxz

2

x2 + z2( )2

A

p

l

i

c

a

x + z( )

24

Empujes laterales sobre paramentos verticales

a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d

z = 2Qz3

x2 + z2( )2 x =2Qx2z

x2 + z2( )2

a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a

( ) ( ) zx = 2Qxz

2

x2 + z2( )2

A

p

l

i

c

a

x + z( )

25

ndice


a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d


a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a


A

p

l

i

c

a


26

Coeficiente de reaccin de la subrasante - definicin

a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d El coeficiente de reaccin de la subrasante es el cociente entre la presin p aplicada sobre una placa rgida y el asentamiento medido (PLT)

a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a rgida y el asentamiento medido (PLT)

A

p

l

i

c

a

pk =sk

27

Coeficiente de reaccin de la subrasante teora elstica

a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d La teora de la elasticidad predice que

a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a

ks = p 1.35EB

A

p

l

i

c

a B

28


a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d La teora de la elasticidad predice que

a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a

ks = p 1.35EB

A

p

l

i

c

a

El coeficiente de reaccin d d d l t

Bdepende del tamao y forma del rea cargada

29


k 1 35 E B

a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d Placa dimetro B0

B 2 1 B ks0 1.35E B0

a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a

E constante, base B x L

ks ks0B0B

23+ 1

3BL

A

p

l

i

c

a

E creciente con prof,b B L

ks ks0B+ B0

2B

223+ 1

3BL

base B x L s s0 2B 3 3 L

30

Principios de funcionamiento de una viga / platea sobre medio elstico

a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d Una platea sobre medioelstico se resuelve comoun problema de Winkler

4 0pwD

+ =

a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a un problema de Winkler [ ]4 0sp k w wwD

+ =

A

p

l

i

c

a

31

Principios de funcionamiento de una viga / platea sobre medio elstico

a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d Una platea sobre medioelstico se resuelve comoun problema de Winkler

4 0pwD

+ =

a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a un problema de Winkler

Li it i

[ ]4 0sp k w wwD

+ =

A

p

l

i

c

a Limitaciones Existen fuertes acopla-

mientos entre resortesmientos entre resortes A largo plazo se pro-

ducen asentamientos

32

ducen asentamientosadicionales

Principios de funcionamiento de una platea sobre medio elstico

a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d El acoplamiento se considera usualmente mediante una reduccin del

a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a mediante una reduccin del mdulo de reaccin de la subrasante en el centro del

A

p

l

i

c

a subrasante en el centro del rea cargadaEl mtodo es razonable para pel diseo estructuralSus predicciones de

33

pasentamiento son pobres

Coeficiente de reaccin para pilotes con carga horizontal

a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d El coeficiente de reaccin se emplea para el diseo estructural de pilotes con carga horizontalD d d l i id d l t f did d

a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a Depende de la rigidez del terreno en profundidad

k = 0 65 Es D4

12Es

A

p

l

i

c

a

E : Mdulo de Young suelo (puede variar con la profundidad)

kh = 0.65 Ep I p12

1 2Es: Mdulo de Young suelo (puede variar con la profundidad)Ep: Mdulo de Young pilote: Mdulo de Poisson del sueloD Di t / h d l il t

34

D: Dimetro/ancho del piloteIp: Momento de inercia pilote

ndice


a

E

l

a

s

t

i

c

i

d

a

d


a

c

i

o

n

e

s

d

e

l

a


A

p

l

i

c

a

Coeficiente de reaccin de la subrasante Un ejemplo numrico (Mathematica) j p ( )

35

Bibliografa

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Ji S l t l G t i Ci i t R da

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mechanics. CGR Sidney FHWA. Soils and foundations (I & II)

36

Documents

10a Elasticidad