10_determinazioni Delle Reazioni Vincolari Con Le Equazioni Cardinali Della Statica

7/25/2019 10_determinazioni Delle Reazioni Vincolari Con Le Equazioni Cardinali Della Statica

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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE EAMBIENTALEInsegnamento: Meccanica delle strutturen Lezione: 10Titolo: Determinazione delle reazioni vincolari con le

Equazioni Cardinali della Statica

FACOLT DI INGEGNERIA

LEZIONE 10 Determinazione delle reazioni vincolari con le

Equazioni Cardinali della Statica.

Nucleotematico

Lez. Contenuto

5 10Determinazione delle reazioni vincolari con le EquazioniCardinali della Statica. Condizioni affinch un sistema siastaticamente determinato. Esempi.

I vincoli cui alcuni punti di un sistema sono soggetti impediscono aipunti vincolati di compiere certi spostamenti ed al sistema di assumerecerte configurazioni spostate, realizzando questo impedimento

attraverso lesercizio di forze dette reazioni vincolari. In questa e nelleprossime lezioni si affronta il problema della determinazione dellereazioni vincolari di sistemi costituiti da elementi rigidi. In particolare inquesta e nelle prossime due lezione si utilizzeranno le EquazioniCardinali della Statica che, si ricorda dalla lezione 3, costituiscono unacondizione necessaria e sufficiente per lequilibrio di un sistema rigidoe coinvolgono tutte le forze esterne ad esso applicate. Nelle tre lezionisuccessive si utilizzer il Principio dei Lavori Virtuali che, si ricordadalla lezione 4, costituisce una condizione necessaria e sufficiente perlequilibrio di un sistema (anche non rigido) e coinvolge le forze attiveapplicate al sistema.

Premessa

Nella lezione 3 sono state introdotte le Equazioni Cardinali dellaStatica per un sistema giacente nel piano (xy) soggetto alle forze

n21 F...,,F,F anchesse giacenti sul piano (xy), nella forma

=+++

=+++=+++

0M...MM

0F...FF

0F...FF

n21

yn2y1y

xn2x1x

brevemente:

=

=

=

=

=

=

0M

0F

0F

n

1i

i

n

1i

yi

n

1i

xi

(10.1)

in cui Fx1, Fx2,, Fxn sono le componenti delle forze n21 F...,,F,F secondo lasse x, Fy1, Fy2,, Fyn sono le componenti delle forze

n21 F...,,F,F secondo lasse y, e M1, M2,, Mn sono le componentisecondo z dei momenti delle forze n21 F...,,F,F rispetto al polo Qarbitrariamente scelto nel piano (xy).

Si rileva che, come gi osservato nella lezione 3, nelle (10.1)vanno considerate tutte le forze esterne. In presenza di vincoli esterni

le reazioni vincolari di questi vincoli sono a tutti gli effetti forze esternee devono essere considerate nelle (10.1). In particolare, se delle nforze esterne applicate al sistema r sono le reazioni vincolari ed s
mailto:[email protected]:[email protected]


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sono le forze attive, essendo n = r + s, le (10.1) possono essere

riscritte come

=+++++++

=+++++++=+++++++

0M...MMM...MM

0R...RRF...FF

0R...RRF...FF

Rr2R1RFs2F1F

yr2y1yys2y1y

xr2x1xxs2x1x

(10.2)

in cui stato mantenuto il simbolo F per indicare le forze attive equindi

- Fx1, Fx2,, Fxssono le componenti delle s forze attive s21 F...,,F,F

secondo lasse x;

- Rx1, Rx2, , Rxr sono le componenti delle r reazioni vincolari

r21 R...,,R,R secondo lasse x;

- Fy1, Fy2, , Fyssono le componenti delle s forze attive s21 F...,,F,F

secondo lasse y;

- Ry1, Ry2, , Ryrsono le componenti delle forze r reazioni vincolari

r21 R...,,R,R secondo lasse y;

- MF1, MF2, , MFssono le componenti secondo z dei momenti delle

s forze attive s21 F...,,F,F rispetto al polo Q arbitrariamente scelto;

- MR1, MR2, , MRrsono le componenti secondo z dei momenti delle

r reazioni vincolari r21 R...,,R,R rispetto al polo Q arbitrariamente

scelto.

Brevemente il sistema(10.2) si scrive

=+

=+

=+

==

==

==

0MM

0RF

0RF

r

1i

Rj

s

1i

Fi

r

1j

yj

s

1i

yi

r

1j

xj

s

1i

xi

(10.3)

Nel seguito le Equazioni Cardinali della Statica (10.1) - (10.3)verranno dette anche brevemente equazioni di equilibrio.

Considerato un sistema costituito da elementi rigidi soggetto acerte forze attive note s21 F...,,F,F ed a certi vincoli (figura 10.1)nelseguito ci si pone il problema di stabilire sotto quali condizioni siapossibile determinare le reazioni vincolari r21 R...,,R,R , cio lereazioni esercitate sul sistema dai vincoli e, nei casi in cui questo possibile, di determinarle. In altre parole, ricordando le definizioni date

nella lezione 5, ci si pone il problema di stabilire sotto quali condizioniil sistema sia staticamente determinato. Per i sistemi staticamente


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determinati si mostrano le operazioni necessarie alla valutazione delle

reazioni vincolari con le Equazioni Cardinali della Statica.

Figura 10.1.

Bilancio t ra equazioni di equilibr io e reazioni vincolari incognite

Singolo elemento rigido

Consideriamo dapprima il caso di un sistema costituito da ununico elemento rigido soggetto a certe forze ed a certi vincoli (figura10.2a).

Figura 10.2.

Assunto un sistema di riferimento (Oxyz), per ogni vincolo possonoessere evidenziate le componenti di reazione vincolare incognite (lereazioni vincolari sono segnate in blu in difigura 10.2b e nel seguito);si ricorda che ogni vincolo comporta un numero di componenti direazione vincolare pari alla molteplicit del vincolo stesso e cio parial numero delle componenti di spostamento impedite.Si rileva innanzitutto che per un sistema piano le Equazioni Cardinalidella Statica (10.3) costituiscono un sistema di tre equazioni linearirispetto alle componenti delle forze applicate (forze attive e reazionivincolari). Impostando il sistema di equazioni (10.3) per il sistema inesame si ottiene quindi un sistema lineare costituito da tre equazioni econtenente un numero di incognite pari al numero delle componenti di

reazione vincolare incognite. Volendo determinare queste componentipu affermarsi che, salvo casi particolari che saranno discussi nelseguito:

F1F2

F3

1 2

3

4

F1F2

F3

1 2

3

4

Rx1

Ry1

MR1

R2

R2x

R2y

Ry3

MR3

Rx4

Ry4

(a) (b)

x

y

Oz

F1

F2

F3

F3MF3

F4

F5


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- il sistema ha ununica soluzione nel caso in cui le componenti

indipendenti di reazione vincolare incognite sono tre;

- il sistema ha infinite soluzioni nel caso in cui le componentiindipendenti di reazione vincolare incognite sono pi di tre;

- il sistema non ha soluzioni nel caso in cui le componentiindipendenti di reazione vincolare incognite sono meno di tre.

Una pi dettagliata discussione del problema pu essere effettuatasulla base del teorema di Rouch-Capelli, relativo allesistenza edunicit della soluzione di un sistema lineare.Quindi la determinazione delle reazioni vincolari possibile (nel senso

che la soluzione unica) utilizzando le (10.3) solo se il sistema vincolato in modo che le componenti indipendenti di reazionevincolare incognite sono tre. Pertanto, ricordando che la molteplicit diun vincolo pari al numero di componenti indipendenti di reazionevincolare che il vincolo pu esercitare (osservazione 5 della lezione 5)pu affermarsi che un sistema rigido staticamente determinato se lasomma delle molteplicit dei vincoli cui soggetto pari a 3.

Ricordando poi che un sistema rigido in assenza di vincoli ha N= 3 gradi di libert nel piano e le definizioni della lezione 6 di sistemaisostatico, iperstatico e labile pu affermarsi quanto segue.

Se il sistema soggetto a vincoli la cui somma dellemolteplicit v = 3 il sistema isostatico ed staticamentedeterminato.

Se invece il sistema soggetto a vincoli la cui somma dellemolteplicit v > 3 il sistema iperstatico e non staticamentedeterminato.

Infine, se il sistema soggetto a vincoli la cui somma dellemolteplicit v < 3 il sistema labile; in questo caso il sistema(10.3)non ha soluzioni, il che denuncia il fatto che i vincoli non sono in gradodi esercitare reazioni tali da rendere il sistema equilibrato; in altre

parole, quali che siano le reazioni vincolari il sistema non inequilibrio e quindi il problema della determinazione delle reazionivincolari non ha senso, n ha senso classificare il sistema sulla basedella possibilit di determinare univocamente le reazioni vincolari.

Ad esempio, per il sistema isostatico della figura 10.3 leincognite del problema sono Rx1, Ry1, Ry2in quanto la cerniera esternapu esercitare sul punto vincolato una reazione passante per lacerniera ed avente inclinazione qualunque (quindi le componenti Rx1ed Ry1 sono indipendenti) ed il carrello pu esercitare solo unareazione verticale.

Evidenziate le incognite (in blu in figura 10.3) e scompostepreliminarmente le forze 1F ed 2F secondo gli assi x ed y del sistemadi riferimento difigura 10.3,il sistema(10.2) diventa


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=+++

=++ =+

0xRxFyFxFyF

0RRFF0RFF

22yB2yB2xA1yA1x

2y1y2y1y

1x2x1x

(10.4)

in cui i momenti sono valutati rispetto allorigine del sistema diriferimento (la posizione del polo arbitraria) ed essendo (xA, yA) e(xB, yB) le coordinate dei punti A e B rispettivamente e (x2, y2) lecoordinate del punto 2; nelle (10.4) sono stati considerati positivi imomenti antiorari, cio con verso del vettore momento uscente dalpiano della figura.

Figura 10.3.

Portando le incognite al primo membro e le quantit note al secondo eriordinando, il sistema(10.4) diventa:

+=

+=++=

B2yB2xA1yA1x22y

2y1y2y1y

2x1x1x

xFyFxFyFxR

FFRR

FFR

(10.5)

questo sistema di tre equazioni in tre incognite consente ladeterminazione delle componenti incognite Rx1, Ry1, Ry2delle reazionivincolari. Il sistema isostatico di figura 10.3 staticamente

determinato.

Questo risultato pu facilmente ed in modo moltorappresentativo essere ottenuto anche per via grafica. Innanzituttoconviene sostituire le due forze 1F ed 2F con la loro risultante Q ,come mostrato in figura 10.4 (si rammenta che questa unaoperazione elementare che non modifica la risultante ed il momentorisultante del sistema di vettori costituito da 1F ed 2F e quindi noninfluenza le Equazioni Cardinali della Statica). Ai fini delladeterminazione delle reazioni vincolari il sistema pu essere pensatosoggetto alla forza 21 FFQ += avente retta di azione r. A questo punto

si osserva che il carrello pu esercitare solo una reazione verticale,cio avente retta di azione s (figura 10.5a).

F1

F2F1

Fx1Fy1

F2

Fx2

Fy2

Rx1

Ry1

Ry2

x

y

A

B

1

2

A

B

1

2

Fx1

Fy1

Fx2

Fy2

x

y

Oz


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Figura 10.4.

La cerniera 1 deve fornire una reazione vincolare in grado di

equilibrare la risultante tra Q e la reazione 2R del carrello, agente

sulla retta s. Detto K il punto intersezione tra r ed s, si osserva che,

siccome la retta di azione della risultante tra Q ed 2R passa per il

punto intersezione tra r (retta di azione di Q ) ed s (retta di azione di

2R ), anche la reazione 1R deve passare per K. Infatti solo in questo

modo le tre forze Q , 1R ed 2R soddisfano la terza delle(10.3),cio

lequazione di equilibrio alla rotazione. Di questo ci si rende contosubito scegliendo K come polo per la valutazione dei momenti delle

forze applicate. Daltra parte la reazione 1R della cerniera deve

passare per la cerniera. Si conclude che la retta di azione di 1R la

retta t che passa per il punto 1 e per il punto K (figura 10.5b).

Figura 10.5.

Il modulo ed il verso delle reazioni 1R ed 2R si determina costruendoil poligono delle forze, come mostrato infigura 10.6.

Figura 10.6.

1

2

Q

r

C

s

K

t

Q

//s

//t

QR2

R1

1

2

Q

r

C

s

K

tR1

R2

x

y

Oz

1

2

Q

r

C

s

K

1

2

Q

r

C

s

K

(a) (b)

t

F1

F2

A

B

1

2

F2

F1

Q

r

1

2

Q

r

C


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Brevemente, si tracciano per gli estremi del vettore che rappresenta

Q (forza nota) le parallele alle rette s e t; resta cos definito untriangolo i cui lati sono i vettori che rappresentano 1R , 2R e Q . Si

osserva che questultima costruzione equivale ad imporre le dueequazioni di equilibrio alla traslazione (prime due equazioni delsistema (10.5). Infatti, come si pu verificare in figura 10.6, la

componente secondo x di 1R uguale, in modulo, alla componente

secondo x di Q (e quindi di 21 FF + ), mentre la somma delle

componenti secondo y di 1R ed 2R uguale, in modulo alla

componente verticale di Q .

Nel caso invece del sistema labile di figura 10.7 le incognitesono solo Rx1ed Ry2in quanto i carrelli esercitano solo reazioni nelledirezioni degli spostamenti impediti.

Figura 10.7.

Le Equazioni Cardinali della Statica sono:

=+++

=+=+

0xRxFyFxFyF

0RFF

0RFF

22yB2yB2xA1yA1x

2y2y1y

1x2x1x

(10.6)

in cui i momenti sono ancora valutati rispetto allorigine del sistema diriferimento ed essendo (xA, yA) e (xB, yB) le coordinate dei punti A e Brispettivamente e (x2, y2) le coordinate del punto 2; nelle(10.6) sonostati considerati positivi i momenti antiorari.Portando le incognite al primo membro e le quantit note al secondo eriordinando, il sistema(10.6) diventa:

+=

+=+=

2

B2yB2xA1yA1x2y

2y1y2y

2x1x1x

xxFyFxFyFR

FFR

FFR

(10.7)

F1

F2F1

Fx1Fy1

F2

Fx2

Fy2

Rx1

Ry2

x

y

A

B

1

2

A

B

1

2

Fx1

Fy1

Fx2

Fy2

x

y

Oz


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si osserva come la componente Ry2 non sia determinabile non

potendo soddisfare contemporaneamente la seconda e la terzaequazione. Si conclude che il sistema labile di figura 10.7 soggettoalle forze assegnate non ammette configurazioni equilibrate.

Anche in questo caso, il risultato presentato pu facilmente edin modo molto rappresentativo essere ottenuto anche per via grafica.

Si fa ancora riferimento al sistema soggetto alla forza 21 FFQ += ,

risultante di 1F ed 2F (figura 10.8). La retta di azione della reazione

1R del carrello 1 la retta t, orizzontale per il punto 1, mentre la retta

di azione della reazione 2R del carrello 2 la retta s, verticale per il

punto 2. Quindi la risultante R di 1R ed 2R una forza avente retta diazione passante per K, intersezione tra s e t. Per questo la risultante

delle reazioni vincolari non pu equilibrare la risultante 21 FFQ +=

delle forze applicate, a meno che la retta di azione r di questultimanon passi anchessa per K.

Figura 10.8.

Infatti, anche qualora fossero soddisfatte le due equazioni di equilibrioalla traslazione (10.7), il che equivale a determinare le reazioni inmodo da chiudere il poligono delle forze, le forze applicatecostituirebbero una coppia con momento non nullo, di modulo pari alprodotto di Q per la distanza d tra K e la retta r (figura 10.9).

Figura 10.9.

Nel caso infine del sistema iperstatico di figura 10.10, leincognite sono Rx1, Ry1 ed Rx2, Ry2 in quanto le cerniere possono

R

R1=Rx1R2=Ry2

1

2

Q

r

C

s

Kt

R = Q

R1=Rx1

R2=Ry2

d

x

y

Oz

1

2

Q

C

sKt


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esercitare una reazione vincolare in qualunque direzione, e quindi

avente due componenti indipendenti.

Figura 10.10.

Le Equazioni Cardinali della Statica sono:

=+++

=++=++

0xRyRxFyFxFyF

0RRFF

0RRFF

22y22xB2yB2xA1yA1x

2y1y2y1y

2x1x2x1x

(10.8)

con la consueta simbologia.Portando le incognite al primo membro e le quantit note al secondo e

riordinando il sistema(10.8) diventa:

+=+

+=+

+=+

B2yB2xA1yA1x22y22x

2y1y2y1y

2x1x2x1x

xFyFxFyFxRyR

FFRR

FFRR

(10.9)

questo sistema di tre equazioni non consente la determinazioneunivoca delle quattro componenti di reazione vincolare incognite Rx1,Ry1ed Rx2, Ry2. Al pi il sistema(10.9) consente di determinare tre diqueste quattro incognite una volta fissata arbitrariamente la quarta. Inquesto senso si dice che il sistema ha infinite configurazioni

equilibrate (cio che soddisfano le equazioni di equilibrio), una perogni valore che pu essere arbitrariamente assegnato ad una dellequattro incognite. Si conclude che il sistema iperstatico difigura 10.10 staticamente indeterminato.

Anche in questultimo caso il risultato presentato pu essereottenuto per via grafica facendo ancora riferimento al sistema soggettoalla forza 21 FFQ += , risultante di 1F ed 2F (figura 10.11). Le rette diazione s e t delle reazioni 1R ed 2R passano per le cerniere epossono avere qualunque inclinazione. Supponendo di conoscerelinclinazione 0della retta di azione s della reazione 2R si possono

determinare le reazioni 1R ed 2R in modo del tutto analogo a quantomostrato nel caso della struttura isostatica difigura 10.6.

F1

F2F1

Fx1Fy1

F2

Fx2

Fy2

Rx1

Ry1

Ry2

x

y

A

B

1

2

A

B

1

2

Fx1

Fy1

Fx2

Fy2

Rx2

x

y

Oz


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La soluzione di figura 10.11 stata costruita partendo da una

inclinazione arbitraria 0 della retta di azione s della reazione 2R .Analoghe soluzioni possono determinarsi a partire da diverseinclinazioni di questa retta (ad esempio 1o 2difigura 10.12).

Figura 10.11.

Ognuna di queste soluzioni caratterizzata dal fatto che le reazionidei vincoli soddisfano, insieme alla forze assegnate, le equazioni diequilibrio(10.9).Si pu quindi concludere che la struttura iperstatica difigura 10.10 ha infinite soluzioni equilibrate.

Figura 10.12.

Si anticipa che per determinare ununica soluzione in termini direazioni vincolari del sistema di figura 10.12 necessario introdurreuna ulteriore equazione rispetto alle equazioni di equilibrio (10.9). In

un certo senso pu affermarsi che questa ulteriore equazioneconsente di scegliere quella giusta tra le infinite soluzioni della(10.9). Per scrivere questa ulteriore equazione necessario tenere

Q

r s

Kt

1

C

Q

R1

R2

R2

R1 1

2

Q

C

r

s

t

K

2

R2

R1

Q

R2

R1

1

2

Q

C

R2

R11

2

r s

t

1

2

Q

r

C

s

K

t

0

Q

//s

//t

QR2

R1

1

2

Q

r

C

s

K

t

0

R1

R2

x

y

Oz


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conto delle deformazioni del sistema soggetto ai carichi assegnati e

quindi rimuovere lipotesi di rigidit del sistema. Si anticipa inoltre che,ai fini della scrittura di questa equazione, detta di congruenza, non

lecito sostituire alle due forze assegnate 1F ed 2F la loro risultante

21 FFQ += in quanto la struttura si deforma in modo diverso quando

soggetta a 21 FFQ += e quando soggetta a 1F ed 2F .


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LEZIONE 10 Sessione di studio 1

Determinazione delle reazioni vincolari con le Equazioni Cardinalidella Statica.

Nella lezione illustrata, sulla base delle Equazioni Cardinali dellaStatica, una condizione necessaria affinch un sistema costituto da unsolo corpo rigido sia staticamente determinato. In questa sessioneviene trattata lestensione ai sistemi costituiti da pi elementi rigidi.

Pi elementi rigidi connessi

Consideriamo ora un sistema costituito da n elementi rigidi tra

loro connessi da vincoli interni e soggetti a vincoli esterni; in figura10.13 esemplificato il caso di n = 4.

Figura 10.13.

Siccome i vincoli interni consentono qualche spostamentorelativo tra gli elementi del sistema, questo non sar, in generale,complessivamente rigido. Quindi il soddisfacimento delle EquazioniCardinali della Statica nella forma finora utilizzata (cio coinvolgentesolo le forze attive e le reazioni vincolari esterne) costituisce unacondizione necessaria ma, in generale, non sufficiente per lequilibriodel sistema (lezione 3).Daltra parte ogni elemento costituente il sistema invece rigido peripotesi. Siccome la definizione di sistema arbitraria, nulla vieta diapplicare le Equazioni Cardinali della Statica ad n sistemi ognuno deiquali costituito da uno solo degli elementi rigidi del sistema dipartenza. Per i singoli elementi rigidi queste equazioni costituisconouna condizione necessaria e sufficiente per lequilibrio. tuttaviaimmediato rilevare che i vincoli interni presenti nel sistema di partenzadevono essere considerati vincoli esterni per i singoli sistemi costituitida un unico elemento rigido estratto dal sistema (figura 10.14).Conseguentemente, scrivendo le 3 Equazioni Cardinali della Staticaper ogni elemento rigido, si ottiene un sistema di 3n equazioni lineari

rispetto alle componenti delle forze applicate (forze attive e reazionivincolari) nelle quali compaiono sia le reazioni vincolari interne(esterne per i singoli elementi) che le reazioni vincolari esterne.

F1

F2

F3

F3MF3

F4

F5

1

2

3

4


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Figura 10.14.

Analogamente a quanto discusso per il singolo elemento,volendo determinare le reazioni vincolari incognite pu affermarsi che,salvo casi particolari che saranno discussi nel seguito:

- il sistema ha ununica soluzione nel caso in cui le componentiindipendenti di reazione vincolare incognite sono 3n;

- il sistema ha infinite soluzioni nel caso in cui le componentiindipendenti di reazione vincolare incognite sono pi di 3n;

- il sistema non ha soluzioni nel caso in cui le componentiindipendenti di reazione vincolare incognite sono meno di 3n.

Anche in questo caso, una pi dettagliata discussione del problemapu essere effettuata sulla base del teorema di Rouch-Capelli.Quindi la determinazione delle reazioni vincolari possibile (nel sensoche la soluzione unica) utilizzando il sistema di 3n equazioni che siottiene scrivendo le tre equazioni (10.3) per ognuno degli n elementirigidi solo se il sistema vincolato in modo che le componenti

indipendenti di reazione vincolare incognite siano 3n.

F1

F2

F3

F3MF3

F4

F5

1

2

3

4

vincoli esterni

vincoli interni

vincolointerno

SISTEMA: elementi 1, 2, 3, 4

SISTEMA: elemento 2

F1

F2

1vincoli esterni

vincolo esterno

SISTEMA: elemento 1

F3

F3MF3

2

vincoli esterni

F4

3

vincoliesterni

SISTEMA: elemento 3

F5

4vincoliesterni

SISTEMA: elemento 4


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Ricordando che la molteplicit di un vincolo pari al numero di

componenti indipendenti di reazione vincolare che il vincolo puesercitare (osservazione 5 della lezione 5), pu affermarsi che unsistema costituito da n elementi rigidi staticamente determinato se lasomma delle molteplicit dei vincoli cui soggetto pari a 3n.Ricordando poi che un sistema costituito da n elementi rigidi inassenza di vincoli ha N = 3n gradi di libert nel piano e le definizionidella lezione 6 di sistema isostatico, iperstatico e labile pu affermarsiquanto segue.

Se il sistema soggetto a vincoli la cui somma dellemolteplicit v = N = 3n il sistema isostatico ed staticamente

determinato.Se invece il sistema soggetto a vincoli la cui somma delle

molteplicit v > N = 3n il sistema iperstatico e non staticamentedeterminato.

Infine, se il sistema soggetto a vincoli la cui somma dellemolteplicit v < N = 3n il sistema labile; in questo caso il sistemacostituito dalle (10.3) scritte per ogni elemento costituente il sistemanon ha soluzioni e non ha senso classificare il sistema sulla base dellapossibilit di determinare univocamente le reazioni vincolari.

Ad esempio, per il sistema isostatico della figura 10.15 leincognite del problema sono (figura 10.16):

Figura 10.15.

- le due componenti X1, Y1, della reazione vincolare dellincastro nelpunto A ed il momento Z1di questa reazione rispetto al punto A;

- le due componenti X2, Y2 della reazione vincolare della cernierainterna nel punto B;

- la reazione orizzontale X3, del doppio pendolo interno nel punto Ced il momento Z3di questa reazione rispetto al punto C;

- le due componenti X4, Y4 della reazione vincolare cerniera nelpunto D.

1

23

F1

F2

L L/3

L/2

2L/3

2L/3 L L

L/2

L/3

A

B

C

D

F3

L/2


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Figura 10.16.

Evidenziate le incognite (in blu in figura 10.16) e scompostepreliminarmente le forze

1F ,

2F ed

3F secondo gli assi x ed y del

sistema di riferimento di figura 10.16 il sistema (10.3) scrittorelativamente ad ognuno dei tre elementi rigidi costituenti il sistema

=++

==+

=+

==++

=++

=++=++

0LF2

3LFLYLX

2

3Z

0FY

0FXX

0LF3

2LF

3

2ZLX

0FY0FXX

0LF2

LFZLYLX

0YYF

0XXF

3y3x443

3y4

3x43

2y2x33

2y2

2x32

1y1x122

211y

211x

Elemento 1

(10.10)

Elemento 2

Elemento 3

Si osserva che le reazioni vincolari dei vincoli interni sono state

evidenziate tenendo conto del principio di azione e reazione; adesempio la forza esercitata dallelemento 1 sullelemento 2 attraversoil vincolo in B e la forza esercitata dallelemento 2 sullelemento 1

1

23

Fx1

L L/3

L/2

2L/3

2L/3 L L

L/2

L/3

F2

Fx2

Fy2

F1

Fx1Fy1

Fy1

Fx2

Fy2

A

B

C

D

1

Fx1Fy1

AX1

Y1Z1

X2Y2

B

Fx2

Fy2

B

C

Y2

X2

X3Z3

3

C

D

X3Z3

X4

Y4

x

y

Oz

Fx3

Fy3F3

Fx3

Fy3

Fx3

Fy3

L/2


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attraverso il vincolo in B hanno stessa retta di azione, stesso modulo e

verso opposto (figura 10.16).Nelle (10.10) i momenti delle forze agenti sullelemento 1 sono stativalutati rispetto al polo A, i momenti delle forze agenti sullelemento 2sono stati valutati rispetto al polo B, i momenti delle forze agentisullelemento 3 sono stati valutati rispetto al polo C, sempreconsiderando positivo il verso antiorario.Portando le incognite al primo membro e le quantit note al secondoriordinando, il sistema(10.10) diventa

+=++

==+

+=+

==+

+=++

=+

=+

LF2

3

LFLYLX2

3

Z

FY

FXX

LF3

2LF

3

2ZLX

FY

FXX

LF2

LFZLYLX

FYY

FXX

3y3x443

3y4

3x43

2y2x33

2y2

2x32

1y1x122

1y21

1x21

(10.11)

questo sistema di nove equazioni in nove incognite consente ladeterminazione delle componenti incognite X1, Y1, Z1, X2, Y2, X3, Z3,X4, Y4delle reazioni vincolari. Si conclude che il sistema isostatico difigura 10.15 staticamente determinato.

A questo punto immediato rendersi conto che aumentando lamolteplicit dei vincoli del sistema di figura 10.15 (ad esempiosostituendo la cerniera in D con un incastro o aggiungendo unappoggio semplice a vincolare lo spostamento di un punto non

vincolato) il sistema diventa iperstatico, aumenta il numero di reazionivincolari incognite, mentre il numero di equazioni di equilibrio che possibile scrivere relativamente ai tre elementi non cambia; pertanto leequazioni di equilibrio del nuovo sistema saranno sempre nove maavranno un numero superiore di incognite e quindi il nuovo sistema(salvo casi particolari) non avr una soluzione unica. Il sistemaconsentir sempre la determinazione di nove incognite in funzionedelle altre, fissate arbitrariamente, analogamente a quanto visto per ilsistema iperstatico costituito da un solo elemento.

Riducendo invece la molteplicit dei vincoli del sistema difigura10.15 (ad esempio sostituendo la cerniera in D con un appoggiosemplice o il doppio pendolo in C con un pendolo semplice) il sistemadiventa labile, diminuisce il numero delle reazioni vincolari incognite,


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mentre il numero di equazioni di equilibrio che devono essere

soddisfatte relativamente ai tre elementi non cambia; pertanto leequazioni di equilibrio del nuovo sistema saranno sempre nove maavranno un numero inferiore di incognite e quindi il nuovo sistema(salvo casi particolari) non avr soluzione, denunciando che i vincolinon possono esercitare reazioni tali da rendere equilibrato il sistema.


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Si propongono nel seguito alcune osservazioni in merito agliargomenti esposti nella lezione e nella prima sessione.

Osservazione1

Secondo quanto appena esposto le strutture isostatiche sonostaticamente determinate, quelle iperstatiche sono staticamenteindeterminate, mentre per quelle labili la soluzione in termini di

reazioni vincolari nelle condizioni di equilibrio impossibile. Questo vero per la grandissima maggioranza dei casi di interesse tecnico manon pu essere affermato in generale; daltra parte la discussionepresentata in questa lezione, esclusivamente basata sul bilancio traequazioni lineari disponibili ed incognite, valida salvo casiparticolari. Si rileva infatti che il giudizio sulla isostaticit, iperstaticit,labiit di una struttura dipende esclusivamente dal bilancio tra i gradidi libert e la molteplicit dei vincoli cui la struttura soggetta e nondalla disposizione dei carichi (forze attive), mentre il giudizio sulladeterminazione statica o meno, dipendendo dallesistenza di unasoluzione unica del sistema (10.3), dipende anche dalla disposizione

dei carichi, quindi logico attendersi che questi giudizi non sianosempre perfettamente sovrapponibili. Daltra parte, non detto che unsistema lineare che ha lo stesso numero di incognite ed equazioniabbia una soluzione unica. Ad esempio pu accadere che unastruttura vincolata in modo da essere labile sia, per particolaridisposizioni di carico, staticamente determinata.

Si consideri ad esempio il sistema labile difigura 10.17.

Figura 10.17.

Assegnata una forza F generica nel punto A, il sistema (10.3) siscrive

F

A A

x

y

xA

yA Fx

Fy

Rx

Ry

F1

Fx2

Fy2

x

y

Oz


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=

= =+

0xFyF

0FR0FR

AyAx

yy

xx

(10.12)

le prime due equazioni forniscono le componenti di reazione

==

yy

xx

FR

FR (10.13)

e quindi la reazione difigura 10.18.

Figura 10.18.

La terza delle(10.12) non invece, in generale soddisfatta. Questo siinquadra bene nella discussione precedente: le due incognite Rxed Rynon possono soddisfare le tre equazioni di equilibrio (10.12): lastruttura labile e le reazioni vincolari nelle condizioni di equilibrio nonpossono essere determinate.

Tuttavia se invece la forza applicata nel punto A avessedirezione della congiungente il punto A con la cerniera, ossia le suecomponenti fossero tali che (figura 10.19)

A

A

xy x

y

FF =

(10.14)

la terza delle (10.12) sarebbe soddisfatta e le reazioni vincolari diequilibrio sarebbero le(10.13).In questo caso particolare (cio per questa particolare configurazionedel carico) quindi possibile determinare univocamente le reazionivincolari e la struttura labile staticamente determinata. Si rimarcache il sistema comunque labile (nel senso che i vincoli sono dispostiin modo da non blocare tutti i suoi gradi di libert) e che la possibilitdi determinare le reazioni vincolari dipende dalla particolareconfigurazione delle forze assegnate.

F

A

x

y

xA

yA F

Fx

Fy

RR

Rx

Ry

x

y

Oz


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Figura 10.19.

Strutture di questo tipo, labili e staticamente determinate solo perparticolari disposizioni di carico sono, in genere, fuori dallinteressedelle applicazioni per le costruzioni in quanto alle strutture dellecostruzioni di solito richiesto di ammettere una soluzione equilibrataper ogni condizione di carico, e non solo per disposizioni particolari diquesto.

Osservazione 2

I casi di sistemi soggetti a vincoli mal disposti (esempio 6.11)possono essere facilmente riconosciuti attraverso le equazioni di

equilibrio che in questi casi non consentono la determinazione dellereazioni vincolari denunciando cos il fatto che non esiste un insiemedi reazioni vincolari in equilibrio con le forze applicate ed il sistemanon , in generale, in equilibrio. Ad esempio, nel caso della figura10.20 le equazioni di equilibrio per i due elementi rigidi sono:

=+

=+

=+

=+

=+

=++

0LF4

3LR

2

LR

0FRR

0FRR

0LFLFLR2LR

0FRR

0FRR

2x2y2x

2y3y2y

2x3x2x

1y1x2y2x

1y2y1y

1x2x1x

(10.15)

Figura 10.20.

F1

D

F1

Fx1

Fy1

F2

L/2

L/2

L/4

L L L

L/4E

A

B

CF2

Fy2

Fx2

Fx1

Fy1

D

A

B

E

B

C

Rx1

Ry1

Rx2

Ry2

Ry2Rx2

Rx3Ry3

Fy2

Fx2

12

1

2

F

A

x

y

xA

yA F

Fx

Fy

R

R

Rx

Ry

x

y

Oz


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in cui la terza equazione (equilibrio alla rotazione dellelemento 1) scritta assumendo A come polo e la sesta equazione (equilibrio allarotazione dellelemento 2) scritta assumendo C come polo.Riordinando:

=+

=+=+

+=+

=+=+

LF

4

3LR

2

LR

FRR

FRR

LFLFLR2LR

FRR

FRR

2x2y2x

2y3y2y

2x3x2x

1y1x2y2x

1y2y1y

1x2x1x

(10.16)

I primi membri della terza e della sesta equazione sono linearmentedipendenti. Infatti moltiplicando per 2 e dividendo per L ambo i membridella sesta equazione e dividendo per L ambo i membri della terza siottiene:

=+

+=+

2x2y2x

1y1x2y2x

F2

3R2R

FFR2R

(10.17)

queste due equazioni contengono solo le incognite Rx2 ed Ry2 ed

immediato osservare che non possono essere contemporaneamentesoddisfatte (i primi membri sono uguali, mentre i secondi membri sonodiversi), pertanto non possibile determinare Rx2 ed Ry2 nellecondizioni di equilibrio. Daltra parte la struttura ha i vincoli maldisposti in quanto sono consentite le configurazioni spostate difigura10.21.

Figura 10.21.

Il sistema non , in generale, equilibrato; lo solo quando per laparticolare disposizione di forze che rende uguali i secondi membridelle(10.17),e cio quando le forze applicate sono tali che:

1y1x2x FFF2

3+= (10.18)

Ci si rende conto facilmente infine che il fatto che i primi membri delleequazioni di equilibrio alla rotazione sono linearmente dipendenti legato alla circostanza che le tre cerniere in A, B e C sono sulla stessaretta. In caso contrario il sistema avrebbe una unica soluzione.

F2

L/2

L/2

L/4

L L L

L/4

E

A

B

C

12

F1


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Si propongono nel seguito alcune osservazioni in merito agliargomenti esposti nella lezione e nella prima sessione.

Osservazione 3

Le equazioni di equilibrio sono lineari rispetto alle forzeapplicate, ed in particolare rispetto alle reazioni vincolari incognite.Ricordando le nozioni di Algebra Lineare, pu affermarsi che:

- assegnata una struttura e due insiemi di forze applicate, A e B, le

reazioni vincolari che si ottengono quando i due sistemi di forzesono applicati simultaneamente sono la somma delle reazionivincolari che si ottengono applicando separatamente le forze delsistema A e le forze del sistema B;

- assegnata una struttura ed un insieme di forze, le reazioni vincolariche si ottengono applicando le forze moltiplicate per uno scalaresono il prodotto dello scalare per le reazioni che si ottengonoapplicando le forze date.

Ad esempio le reazioni vincolari della struttura di figura 10.3 soggettaalle forze 1F ed 2F possono essere determinate come somma dellereazioni che si ottengono applicando solo la forza 1F e delle reazioniche si ottengono applicando solo la forza 2F . Inoltre le reazioni che siotterrebbero applicando le forze 1F e 2F possono ottenersimoltiplicando per le reazioni della struttura soggetta a 1F , ed 2F ,essendo uno scalare.Questa propriet si dice sovrapposizione degli effettiin quanto affermache leffetto (reazioni vincolari) di due cause (due sistemi di forze) siottiene come sovrapposizione degli effetti delle due cause agentiseparatamente.

Osservazione 4

Per la determinazione delle reazioni vincolari di un sistemacostituto da pi elementi rigidi sono state scritte le Equazioni Cardinalidella Statica per ogni singolo elemento rigido costituente il sistema.Ricordando ancora che la definizione del sistema arbitraria e che leEquazioni Cardinali della Statica sono una condizione necessaria perlequilibrio, ci si rende conto del fatto che queste equazioni possono ineffetti essere scritte con riferimento a qualunque sistema ottenuto dalsistema assegnato. Ad esempio, con riferimento al sistema della

figura 10.16 le equazioni di equilibrio possono essere scritte per glielementi 2 e 3, pensati come un unico sistema (figura 10.22).


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Figura 10.22.

Naturalmente per questo sistema le reazioni del doppio pendolo Csono reazioni interne e quindi da non considerare nelle equazioni. Pergli elementi 2 e 3 considerati uniti, le equazioni di equilibrio sono:

++=+

+=++=+

LF2

7LF

3

2LF

3

2LY3

2

LX

FFYY

FFXX

3y2y2x44

3y2y42

3x2x42

(10.19)

Si rileva tuttavia come queste equazioni non aggiungano nuovecondizioni al sistema (10.11) in quanto possono essere ottenute comecombinazione lineare delle equazioni gi presenti nel sistema (10.11).Infatti la prima delle (10.19) pu essere ottenuta come somma dellaquarta e della settima delle (10.11), la seconda delle (10.19) puessere ottenuta come somma della quinta e dellottava delle (10.11),mentre la terza delle(10.19) pu essere ottenuta come somma dellasesta e della nona delle (10.11) tenendo anche conto della settima edellottava.

Osservazione 5Per i sistemi costituiti da pi elementi rigidi sono state scritte le

equazioni di equilibrio relativamente ad ogni elemento rigido separato

1

23

Fx1

L L/3

L/2

2L/3

2L/3 L L

L/2

L/3

F2

Fx2

Fy2

F1

Fx1

Fy1

Fy1

Fx2

Fy2

A

B

C

D

1

Fx1Fy1

AX1

Y1Z1

X2Y2

B

Fx2

Fy2

BY2

X23

C

D X4

Y4

Fx3

Fy3F3Fx3

Fy3

Fx3

Fy3

L/2

x

y

Oz


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dagli altri da vincoli interni. Naturalmente ogni punto di ogni asta pu

essere pensato come sede di un incastro interno, pertanto sarebbestato possibile scrivere le equazioni di equilibrio relativamente ad unnumero superiore di elementi rigidi. In questo caso sarebbeaumentato il numero di equazioni (tre in pi per ogni ulterioreelemento rigido considerato) ed il numero delle incognite (le trereazioni vincolari dellincastro interno), lasciando inalterato il bilanciotra equazioni ed incognite. Ad esempio il sistema di figura 10.16avrebbe potuto essere considerato costituito dai quattro elementirappresentati infigura 10.23 evidenziando le ulteriori incognite X5, Y5,Z5, cio le reazioni dellincastro interno.

Figura 10.23.

1

23

Fx1

L L/3

L/2

2L/3

2L/3 L L

L/2

L/3

F2

Fx2

Fy2

F1

Fx1

Fy1

Fy1

Fx2

Fy2

A

B

C

D

1

Fx1Fy1

AX1

Y1Z1

X2Y2

B

Fx2

Fy2

B

C

Y2

X2

X3Z3

3

C

D

X3Z3

X4

Y4

Fx3

Fy3F3

Fx3

Fy3

L/2

X5

Z5

Y5

Fx3

Fy3

X5

Y5

Z5

x

y

Oz

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10_determinazioni Delle Reazioni Vincolari Con Le Equazioni Cardinali Della Statica