10.Notas de Aula - Espaos Vetoriais Transformaes Lineares

NOTAS DE AULA - LGEBRA LINEAR

ESPAOS VETORIAIS TRANSFORMAES LINEARES

ISABEL C. C. LEITE

SALVADOR BA 2007

Prof. Isabel Cristina C. Leite lgebra Linear 1

ESPAOS VETORIAIS

Definio: Seja um conjunto V, no vazio, sobre o qual esto definidas as operaes adio e multiplicao por um escalar, ou seja,

u, v V, u + v V R, u V, u V.

O conjunto V com essas duas operaes chamado espao vetorial real (ou espao vetorial sobre R) se as seguintes propriedades forem satisfeitas:

A) Em relao adio: u, v, w V A1) (u + v) + w = u + (v + w) A2) u + v = v + u A3) 0 V tal que u + 0 = u A4) u V tal que u + (u) = 0

M) Em relao multiplicao por escalar: u, v V e , R M1) () u = (u) M2) ( + ) u = u + u M3) (u + v) = u + v M4) 1u = u

Exemplos:

1. V = R = {(x, y)/ x, y R} um espao vetorial com as operaes usuais de adio e multiplicao por escalar: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) (x, y) = (x, y)

2. Os conjuntos R, R4, ..., Rn so espaos vetoriais com as operaes usuais de adio e multiplicao por escalar.

3. V = M(m,n), o conjunto das matrizes reais m x n com a soma e o produto por escalar usuais. Em particular:

3.1. V = M(n,n) o conjunto das matrizes quadradas de ordem n; 3.2. V = M(1,n) = {[a11, a12, ..., a1n]; aij R}, tambm identificado com V = Rn

so espaos vetoriais relativamente s mesmas operaes.

4. O conjunto Pn = {a0 + a1x + a2x + ... + anxn; ai R} dos polinmios com coeficientes reais de grau n, em relao s operaes usuais de adio de polinmios e multiplicao por escalar. Em particular, o conjunto dos polinmios de grau menor ou igual a 2, P2 = {a0 + a1x + a2x; ai R} um espao vetorial relativamente s mesmas operaes.


Propriedades dos espaos vetoriais

Da definio de espao vetorial V decorrem as seguintes propriedades: i. Existe um nico vetor nulo em V (elemento neutro da adio).

ii. Cada vetor u V admite apenas um simtrico (u) V. iii. Para quaisquer u, v, w V, se u + v = u + w, ento v = w.

iv. Qualquer que seja v V, tem-se (v) = v. v. Quaisquer que sejam u, v V, existe um e somente um w V tal que u + w = v.

Esse vetor w ser representado por w = v u.

vi. Qualquer que seja v V, tem-se 0v = 0. vii. Qualquer que seja R, tem-se 0 = 0.

viii. Se v = 0, ento = 0 ou v = 0.

ix. Qualquer que seja v V, tem-se (1)v = v. x. Quaisquer que sejam u, v V e R, tem-se ()v = (v) = (v).

SUBESPAOS VETORIAIS

Definio Dado um espao vetorial V, um subconjunto W, no vazio, um subespao vetorial de V se:

i. Para quaisquer u, v W tem-se u + v W.

ii. Para qualquer R, u W, tem-se u W.

Observaes

1. As condies da definio garantem que ao operarmos em W no obteremos um vetor fora de W. De modo que W ele prprio um espao vetorial.

2. Qualquer subespao W de V precisa necessariamente conter o vetor nulo (condio (ii) para 0= ).

3. Todo espao vetorial admite pelo menos dois subespaos (chamados subespaos triviais), o conjunto formado somente pelo vetor nulo e o prprio espao vetorial.

Exemplos

1. Sejam V = R e W = {(x, 2x); x R}. Evidentemente, W , pois (0,0) W. Verifiquemos as condies (i) e (ii). Para u = (x1, 2x1) e v = (x2, 2x2) W, tem-se: i. u + v = (x1, 2x1) + (x2, 2x2) = (x1 + x2, 2x1 + 2x2) = (x1 + x2, 2(x1 +x2)) W, pois a segunda

componente de u + v igual ao dobro da primeira. ii. u = (x1, 2x1) = (x1, 2(x1)) W, pois a segunda componente de u igual ao dobro da

primeira. Portanto, W um subespao vetorial de R que representa geometricamente uma reta que passa pela origem.


Observemos que ao tomarmos dois vetores u e v da reta que passa pela origem, o vetor soma ainda uma reta que passa pela origem. E se multiplicarmos um vetor u da reta por um nmero real , o vetor u ainda estar nesta reta. O mesmo no ocorre quando a reta no passa pela origem. Por exemplo, a reta

W = {(x, 4 2x); x R} no um subespao vetorial do R. Se escolhermos os vetores u = (1, 2) e v = (2, 0) de W, temos u + v = (3, 2) W. Ainda u W, para 1.

Os exemplos destas duas retas sugerem, para qualquer subconjunto W de um espao vetorial V, que: sempre que 0 W, W no subespao de V. No entanto, se 0 W no nos enganemos pensando de imediato que W seja subespao de V, pois ser necessrio verificar as propriedades (i) e (ii).

Para V = R, os subespaos triviais so {(0,0)} e o prprio R, enquanto que os outros subespaos (subespaos prprios) so as retas que passam pela origem.

2. Sejam V = R4 e W = {(x,y,z,0); x,y,z R}. (0,0,0,0) W Para u = (x1, y1, z1, 0) e v = (x2, y2, z2, 0) W:

i. u + v = (x1, y1, z1, 0) + (x2, y2, z2, 0) = (x1 + x2, y1 + y2, z1+ z2, 0) W, pois a quarta componente nula.

ii. u = (x1, y1, z1, 0) = (x1, y1, z1, 0) W, pois a quarta componente nula. Logo, W subespao vetorial de R4.

3. Sejam V = M(3,1) e W o conjunto-soluo de um sistema linear homogneo a trs variveis. Consideremos o sistema homogneo

=++

=++

=++

000

333231

232221

131211

zayaxazayaxazayaxa

Fazendo:

=

=

=

000

0X,A

333231

232221

131211

e

z

yx

aaa

aaa

aaa

, o sistema, em notao matricial, ser dado

por AX = 0, sendo X elemento do conjunto-soluo W.

Se

==

==

2

2

2

2

1

1

1

1 X veXuz

yx

z

yx

so solues do sistema, ento: AX1 = 0 e AX2 = 0.

i. Somando essas igualdades, vem: AX1 + AX2 = 0 ou A(X1 + X2) = 0 X1 + X2 W, isto , a soma de duas solues ainda uma soluo do sistema.

ii. Multiplicando por R a primeira igualdade, vem: (AX1) = 0 ou A(X1) = 0 X1 W, isto , o produto de uma constante por uma soluo ainda uma soluo do sistema.

Logo, o conjunto-soluo W do sistema linear homogneo um subespao vetorial de M(3,1).


Exerccios

1. Verifique se os seguintes conjuntos so espaos vetoriais. OBS: Os smbolos e , quando utilizados, so para indicar que a adio e a multiplicao por escalar no so usuais. a) V = {(x, x); xR} com as operaes definidas por: (x1, x1) (x2, x2) = (x1 + x2, (x1 + x2)) (x, x) = (x, x)

b) V = *+R com as operaes definidas por x y = xy e x = x, x, y V.

2. Verifique se os seguintes subconjuntos dos espaos vetoriais dados so subespaos vetoriais destes.

a) ( ){ }xyRyxW == ,, 2 2R b) )(,;

00 2RMRba

baW

=

INTERSECO DE SUBESPAOS VETORIAIS

Definio

Sejam W1 e W2 subespaos vetoriais de V. W = W1 W2 = {v V; v W1 e v W2}

Teorema: A interseco W de dois subespaos vetoriais W1 e W2 de V tambm um subespao vetorial de V.

Exemplos:

1. V = M(2,2), W1 =

==

0,; cbdadcba

e W2 =

===

0,; bdcadcba

, ou seja,

W1 =

dbbd

0 e W2 =

''

0'aa

a

Para encontrarmos W1 W2, as condies de W1 e de W2 devem ser satisfeitas simultaneamente.

Assim temos:

=

==

=

=

a'd - b dd a'

a'

b

00

0

. Portanto W1 W2 =

0000

.

2. V = P2(R), espao dos polinmios reais de grau menor ou igual a 2. V = {a

+ bx + cx; a, b, c

R} W1 = {a + bx + cx; a 2b + c = 0} e W2 = {a + bx + cx; a = 0} W1 W2 = {a + bx + cx; 2b + c = 0, a = 0}


SOMA DE SUBESPAOS VETORIAIS

Definio

Sejam W1 e W2 subespaos vetoriais de V. W = W1 + W2 = {u + w V; u W1 e w W2}

Teorema: A soma W de dois subespaos vetoriais W1 e W2 de V tambm um subespao vetorial de V.

Considerando os mesmos espaos e respectivos subespaos dos exemplos anteriores:

1.

+

+=

+

daabbda

aa

a

dbbd

''

'

''

0'0

W1 + W2 =

Rcba

ca

bbc,,';

'

ou W1 + W2 =

=

ywx

wz

yx;

2. Sejam p = 2b c + bx + cx2 W1 e q = bx + cx2 W2. p + q = (2b c) + (b + b)x + (c + c) x2. Como no existe nenhuma relao de dependncia entre os valores 2b c, b + b e c + c, W1 + W2 um polinmio qualquer de P2(R). W1 + W2 = P2(R).

SOMA DIRETA DE SUBESPAOS VETORIAIS

Definio

Sejam W1 e W2 subespaos vetoriais de V. Diz-se que V soma direta de W1 e W2 , e se representa por V = W1 W2, se V = W1 + W2 e W1 W2 = {0}.

Teorema: Se V soma direta de W1 e W2 todo vetor v V se escreve de modo nico na forma v = u + w, onde u W1 e w W2.

Exemplo: Sejam V = R3 , ou seja, V = {(a,b,c); a,b,c R} e os seus subespaos W1 = {(a, b, 0); a, b R} e W2 = {(0,0,c); c R}. R3 soma direta de W1 e W2, pois W1 + W2 = {(a,b,c); a,b,c R}e W1 W2 = {(0,0,0)}. Confirmando o teorema acima, v = (a,b,c) R3, (a, b, c) = (a, b, 0) + (0, 0, c), escrito de modo nico.

Exerccio:

Sejam W1 =

==

cbda

dcba

e ; e W2 =

==

dbcadcba

e ; subespaos de M2(R).

Determine W1 W2, W1 + W2 e verifique se M2(R) = W1 W2.


COMBINAO LINEAR

Sejam os vetores nvvv ,,, 21 K do espao vetorial V e os escalares naaa ,,, 21 K . Qualquer vetor v V da forma nn vavavav +++= K2211 uma combinao linear dos vetores nvvv ,,, 21 K .

Exemplo: Em P2, o polinmio 755 2 += ttp uma combinao linear dos polinmios ,1221 += ttp 22 += tp e ttp =

23 2 , pois 321 23 pppp ++= .

Exerccios 1) Escrever )6,3,4( =v como combinao linear de ( )2,3,11 =v e ( )1,4,22 =v . 2) Para que valor de k a matriz

=

kA

0148

combinao linear de

=

2032

1A e

=

4021

2A ?

3) Mostrar que o vetor ( )4,3=v R pode ser escrito de infinitas maneiras como combinao linear dos vetores ( )0,11 =v , ( )1,02 =v e ( )1,23 =v .

SUBESPAOS GERADOS

Sejam V um espao vetorial e { }= nvvvA ,,, 21 K V, A . O conjunto W de todos os vetores de V que so combinao linear dos vetores de A um subespao vetorial de V. W = { }Raaavavavavv nnn +++= ,,,;;V 212211 KK dito subespao gerado pelo conjunto A. Notao: W = [ nvvv ,,, 21 K ] ou W = G(A).

Observaes: 1) nvvv ,,, 21 K so ditos vetores geradores do subespao W. 2) Por definio: A = [] = {0}. 3) A G(A), ou seja, { }nvvv ,,, 21 K [ nvvv ,,, 21 K ]. 4) Todo subconjunto A de V gera um subespao vetorial de V, podendo ocorrer G(A) = V.

Nesse caso, A o conjunto gerador de V. 5) Seja W = [ nvvv ,,, 21 K ]. Ao acrescentarmos vetores de W ao conjunto dos geradores, os

novos conjuntos continuaro gerando o mesmo subespao W. 6) A observao 5 nos permite concluir que um espao vetorial pode ser gerado por uma

infinidade de vetores, mas existe um nmero mnimo de vetores para ger-lo.

Exemplos:

1) i = (1,0) e j = (0,1) geram o R, pois (x,y) = x(1,0) + y(0,1), x, y R. 2) i = (1,0,0) e j = (0,1,0) geram o subespao do R: W = {(x,y,0)R; x, y R} que

geometricamente representa o plano x0y. 3) i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1) geram o R, pois (x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0)+z(0,0,1), x, y,

z R. 4) i = (1,0,0), j = (0,1,0) e v = (3,4,0) geram o subespao do R: W = {(x,y,0)R; x, y R}. 5) u = (2,-1,3) e v = (0,-1,2) geram o subespao do R: W = {(x,y,z)R; x - 4y -2z = 0}


6)

=

1113

,

3221

A gera o subespao de M2(R): W

+= Ryx

yxyyx

,;2

.

ESPAOS FINITAMENTE GERADOS

Um espao vetorial V finitamente gerado se existe um conjunto finito A, A V, tal que V = G(A).

Todos os exemplos de espaos vetoriais vistos at agora so exemplos de espaos finitamente gerados. Um exemplo de espao vetorial no finitamente gerado o espao P de todos os polinmios reais.

DEPENDNCIA E INDEPENDNCIA LINEAR

Sejam V um espao vetorial, { }= nvvvA ,,, 21 K V e 02211 =+++ nnvavava K . O conjunto A diz-se linearmente independente (L.I.) ou os vetores nvvv ,,, 21 K so ditos L.I., caso a equao acima admita apenas a soluo trivial 0,,0,0 21 === naaa K . Se existirem solues 0ia para algum i = 1, 2, ..., n, diz-se que o conjunto linearmente dependente (L.D.)

Exemplos: a) Em V = R, os vetores u = (2,-1,3), v = (-1,0,-2) e w = (2,-3,1) so L.D., pois podemos escrever

a combinao linear 3u + 4v w =0. b) Em V = P3(R), os polinmios 322321 35,4322 xxxpxxxp +=+++= e 323 24 xxp = so

L.I., pois 0332211 =++ papapa somente quando .0321 === aaa c) Em V = R, i = (1,0) e j = (0,1) so L.I. d) Em V = R, i = (1,0), j = (0,1) e v = (3,-2) so L.D., pois podemos escrever a combinao linear

3i + 2j + v = 0.

Ateno: Faa os clculos que conferem as afirmaes acima.

Teorema Um conjunto { }nvvvA ,,, 21 K= L.D. se, e somente se, pelo menos um desses vetores combinao linear dos outros. Ou, equivalentemente, um conjunto { }nvvvA ,,, 21 K= L.I. se, e somente se, nenhum desses vetores pode ser escrito como combinao linear dos outros.

Do teorema acima podemos concluir que para o caso particular de dois vetores, temos que: u e v so L.D. se, e somente se, um vetor mltiplo escalar do outro.

Exemplo:

=

91263

,

3421

A M2(R) um conjunto L.D., pois podemos escrever a combinao

linear

=

0000

91263

3421

3 . Notemos que

=

3421

391263

.


Exerccio: Verifique se so L.D. os seguintes conjuntos.

1) { }+++ 222 743,32,21 xxxxxx P2(R) 2) ( ) ( ){ } 3,1,1,2 R

PROPRIEDADES DA DEPENDNCIA E DA INDEPENDNCIA LINEAR

Seja V um espao vetorial. 1. Se A = {v} V e v 0, ento A L.I. 2. Considera-se por definio que o conjunto vazio L.I. 3. Se um conjunto A V contm o vetor nulo, ento A L.D. 4. Se uma parte de um conjunto A V L.D., ento A tambm L.D. 5. Se um conjunto A V L.I., ento qualquer parte de A tambm L.I.

Observemos que a recproca desta afirmao no verdadeira. De fato, voltando ao exemplo (d), A = {(1,0), (0,1), (3,-2)} temos que qualquer subconjunto prprio de A L.I. A1 = {(1,0)}, A2 = {(0,1)}, A3 ={(3,-2)}, A4 = {(1,0), (0,1)}, A5 = {(1,0), (3,-2)}, A6 = {(3,-2), (0,1)} Porm verificamos que o conjunto A LD.

6. Se { }nvvvA ,,, 21 K= L.I e { }wvvvB n ,,,, 21 K= L.D., ento w combinao linear dos vetores nvvv ,,, 21 K .

BASE DE UM ESPAO VETORIAL

Um conjunto B = },,,{ 21 nvvv K V uma base do espao vetorial V se: i) B LI; ii) B gera V.

Exemplos:

1) B = {(1, 1), (-1, 0)} base do R2.

OBS: quaisquer dois vetores no colineares do R2, portanto LI formam uma base desse espao.

2) B = {(1, 0), (0, 1)} base do R2 , denominada base cannica.

3) B = { }neee ,,, 21 K base cannica do Rn, onde ( ) ( ) ( )1,,0,0,,0,,0,1,0,0,,0,0,1 21 KKKK === neee so vetores LI e

. como escritoser pode R 2211n

nnexexexvv +++= K

4)

=

1000

,

0100

,

0010

,

0001

B base cannica de M2(R).

5) B = { }nttt ,,,,1 2 K base cannica do espao vetorial Pn e tem n + 1 vetores.


6) B = {(1,2), (-2, -4)} no base do R2, pois LD.

7) B = {(3, -1)} no base do R2, pois no gera todo R2. Esse conjunto gera uma reta que passa pela origem. W = [(3, -1)] = {(x, y) R2; x = -3y}

8) B = {(1,2,1), (-1,-3,0)} no base do R3, pois no gera todo R3. B gera o subespao do R3 ( ){ }03;R,,W 3 == zyxzyx e por ser LI base de W.

OBS: Todo conjunto LI de um espao vetorial V base do subespao por ele gerado.

Teorema: Se B = },,,{ 21 nvvv K for uma base de um espao vetorial V, ento i) todo conjunto com mais de n vetores ser LD; ii) todo conjunto com menos de n vetores no gera V.

Corolrio: Duas bases quaisquer de um mesmo espao vetorial tm o mesmo nmero de vetores.

DIMENSO de um espao vetorial: o nmero de vetores da base de um espao vetorial.

Exemplos: 1) dim R2 = 2 2) dim Rn = n 3) dim M2(R) = 4 4) dim M(m,n) = mn 5) dim Pn = n + 1 6) dim {0} = 0 , pois {0} gerado pelo conjunto vazio e portanto no possui base.

Observaes: 1) dim V = n e W subespao de V dim W n

No caso de dim W = n, ento temos que W = V. Ex: V = R3, dim V = 3. A dimenso de qualquer subespao W do R3 s poder ser 0, 1, 2 ou 3. Portanto temos: a. dim W = 0, ento W = {(0,0,0)} a origem. b. dim W = 1, ento W uma reta que passa pela origem. c. dim W = 2, ento W um plano que passa pela origem. d. dim W = 3, ento W = R3.

2) Se dim V = n, ento qualquer subconjunto de V com mais de n vetores LD.

3) Se soubermos que a dim V = n, para obtermos uma base de V basta que apenas uma das condies de base esteja satisfeita, pois a outra ocorrer como conseqncia. Ou seja: a. Se dim V = n, qualquer subconjunto de V com n vetores LI uma base de V. b. Se dim V = n, qualquer subconjunto de V com n vetores geradores de V uma base de V.


EXERCCIOS

1. Verifique se os conjuntos abaixo so subespaos de 2=V .

a) ( ){ }.real constante , ,, 2 aaxyyxW == c) ( ){ }32 ,, xyyxW == b) ( ){ }xyyxW == ,, 2 . d) ( ) ( ){ }xsenyyxW == ,, 2

2. Dados os espaos vetoriais abaixo diga, em cada caso, se W subespao vetorial de V sobre .

a) 3=V . a.1) ( ){ }1 ,,, 3 =++= zyxzyxW . a.2) ( ){ }zyxzyxW +== 2 ,,, 3 . a.3) ( ){ }0. ,,, 3 == yxzyxW .

c) ( )= 2PV . c.1) { }02 ,2 =+++= cbaVcbtatW . c.2) { }4 ,2 =++= cVcbtatW .

b) ( )= 2MV . b.1) { }VTTAATVAW em fixada , , == . b.2) { }AAVAW == 2 , . b.3) { }inversvel , AVAW = .

d) ( )= ,FV . Espao das funes contnuas de em .

d.1) ( ) ( ){ }xfxfVfW == , . d.2) ( ){ }03 , == fVfW .

3. Seja ( )= 2MV e sejam { } { }AAVAWAAVAW tt ==== , e , 21 . Mostre que:

a) 21 e WW so subespaos de V; b) 21 WWV += ;

4. No exerccio anterior, mostre que 21 WWV = .

5. Escreva, se possvel, cada vetor v como combinao linear dos elementos de S, sendo:

a)

=

=

5914

,

0100

,

3000

,

0023

e 1011

Sv .

b) ( ) ( ) ( ){ }9,2 ,0,1 e 7,2 == Sv . c) ( ) ( ) ( ){ }0,1,0 ,0,0,2 e 3,0,0 == Sv . d) d) ( ) { }3223 ,1 ,t3 ,2 e 1+t+4t+t ttStpv === . e) ( ) ( ) ( ){ }3cose 22 , x S xsenxfv === .

6. Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaos:

a) ( ){ }02 e 0 ,,, 3 ==+= yxzxzyxW .

b) ( ){ }032 ,,, 3 =+= zyxzyxW .

c) ( )

=

= 0 e 0=c+ ,2 daMdc

baW .

d) ( ){ }0 e ,d+ct+bt+at 323 === acbPW


7. Seja { }wvu ,, um conjunto L.I. de vetores de um espao vetorial V. Mostre que { }wwvuwvu ,3 ,3 ++ L.I. .

8. Determine k de modo que o conjunto ( ) ( ) ( ){ }2,,1 ,,1,1 ,,0,1 kkkk seja L.I. .

9. Mostre que os seguintes pares de vetores em V= ( ),F so L.I. .

a) x ,1 b) 2 , xx c) xx eex 2 ,. d) ( ) ( )xxsen cos ,

10. Verifique quais dos seguintes conjuntos:

i) so L.I. ii) geram os espaos V considerados. iii) so bases dos espaos V considerados.

a) ( ) ( ) ( ) ( ){ } 4 V 1,1,1,1 ,0,1,1,1 ,0,0,1,1 ,0,0,0,1 = .

b) ( ) ( ) ( ){ } 2 V 2,1 ,1,1 ,1,1 = .

c) ( )=

2V1111

0011

1111

1111

M , , , .

d) ( )=

32V010

000000003

002020

x M , , .

e) { } ( )=+ 22 V1 P t, t, t .

f) { } ( )= 222 V135 P , t, t .

11. Determine uma base e a dimenso dos seguintes subespaos vetoriais:

a) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2,,3 ,2,0,7 ,2,5,0 ,0,0,1 pi=W em 3=V .

b) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1,0,3,2 ,1,14,1,3 ,2,7,4,3 ,1,0,3,1 =W em 4=V .

c) ( ){ }tAAMAW == ,2 em ( )= 2MV .

d) Os subespaos do exerccio 6.

e) ( ) ( )[ ] ( )== , ,os , FVxcxsenW .

f) ( )== , ], , ,[ 32 FVeeeW xxx .

12. Encontre as equaes lineares homogneas que caracterizam os seguintes subespaos:

a) ( ) ( ) ( )[ ]1,2,1 ,1,0,3 ,0,1,2 =W em 3=V .

b) ( ) ( )[ ]4,2,4 ,2,1,2 =W em 3=V .

c) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]0,1,0,0 ,1,0,0,0 ,0,0,1,0 ,1,1,1,1=W em 4=V .


d)

=

0413

,

0112

,

0101

W em ( )= 2MV .

e) [ ]1 ,2 , 23 ttttW += em ( )= 3PV .

13. Em cada caso a seguir, determine os subespaos U W U W +, de V e uma base para cada um dos subespaos encontrados:

a) 4=V ( ){ }( ){ }

===

==+=

0 e 0 ,,,,e 0 ,,,,

wzVwzyxWzwyxVwzyxU

b) 3=V ( ){ }( ) ( ) ( ) ( )[ ]

=

==

3,2,1 ,21,12,7 ,3,2,1 ,0,2,0e 0 ,,,

WxVzyxU

c) ( )= 2MV

==+

=

==++

=

0 ,03 ,

e 0 ,02 ,

wzyVwz

yxW

zwyxVwz

yxU

d) 3=V ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

=

=

21,1,0 ,1,1,0e 3,1,1 ,1,1,0 ,2,0,1

WU

14. Dados os vetores ( ) ( ) ( )6814e32110412 ,,, t ,,,, v,,,u === :

a) Encontre uma base para [ ]u, v, tS = ;

b) Escreva as equaes que caracterizam S;

c) Que relao deve existir entre a e b para que ( )ba ,0,,0 pertena a S ?

d) Seja ( )[ ]2,0,1,0=Y . Determine SY , ( )SY +dim e uma base para SY + .

15. Verifique se WUV = nos seguintes casos:

a) 32xMV =

=

=

==

=

0 ,

,

dVfedcba

W

fbaVfedcba

U

b) 4=V ( ){ }( ){ }

===

=+==+=

0 ,,,,0 ,,,,

zxVwzyxWwzywxVwzyxU

c) itens do exerccio 13o

16. Determine uma base do 5 que contenha o conjunto ( ) ( ){ }0,0,1,0,1 ,0,0,0,1,1 . Justifique sua resposta.

17. Sendo ( ) ( ) ( )[ ]1,12,7 ,1,5,3 ,3,2,1 =W , encontre um subespao U do 3 tal que WU =3 .


18. Sejam 21 e WW subespaos do 5 . Sabendo-se que:

( ) 4dim 21 =+WW ;

( ) ( ){ }0,0,1,1,0 ,0,0,1,2,1 base de 1W ;

( ) ( ) ( )[ ]1,1,1,2,1 ,1,1,0,1,2 ,0,0,1,1,121 =WW .

Determine a dimenso de 2W . Justifique a sua resposta.

19. Sabendo que WV =4 e ( ) ( )[ ]12,9,6,3 ,4,3,2,1=V , determine a dimenso de W. Justifique.

20. Sejam V um espao vetorial de dimenso igual a 6, U e W subespaos de V tais que:

a) ( ) ( ) 5dim e 4dim == WU . Mostre que { }0WU . b) ( ) ( ) 4dimdim == WU . Encontre as possveis dimenses para U W .

21. D, se possvel, exemplos de:

a) Um conjunto L.I. de 3 vetores que no geram o 3 ; b) Um conjunto L.D. de 3 vetores do ( )M2 ; c) Um subespao U de 4 tal que U 4 e ( )dim U = 4 ; d) Dois subespaos W e U de 5 tais que ( ) ( )dim dimU W U W= = = 3 5 e .

Caso seja impossvel, justifique sua resposta.

22. Determine as coordenadas dos seguintes vetores em relao s bases indicadas:

a) ( )354 , , ( ) ( ) ( ){ }( ) ( ) ( ){ }

=

=

411230121013021111

, , , , , , , , B', , , , , , , , B

b)

0121

( )

=

=

de cannica base0100

1000

0001

0011

2MB'

, , , B

c) ttt 252 23 + { }( )

=++=

de cannica base32

3

223

PB', t, t-, tttB


Respostas

1. a) sim b) no c) no d) no 2. a.1) no a.2) sim a.3) no c.1) sim c,2) no b.1) sim b.2) no b.3) no d.1) sim d.2) sim

5. a) 1 10 1

35

3 20 0

23

0 00 3

95

0 01 0

15

4 19 5

=

+

+

b) ( ) ( ) ( )2 7 49

10 79

2 9, , ,= +

c) no possvel. d) ( ) ( ) ( ) ( )t t t t t t3 2 2 34 1 52 2 13 3 4 1 1+ + + = + + + e) ( ) ( )sen cos2 21 13 3x x= +

6. a) ( ){ }2 1 2, , b) ( ) ( ){ } 2 1 0 3 0 1, , , , , c) 1 01 00 10 0

, d) { }t t2 1+ , 8. k k 0 1 e 10. a) i) L.I. ii) sim iii) sim b) i) L.D. ii) sim iii) no c) i) LD. ii) no iii) no d) i) L.I. ii) no iii) no e) i) L.I. ii) sim iii) sim f) i) L.D. ii) no iii) no

11. a) ( ) ( ) ( ){ }B = 10 0 0 5 2 7 0 2, , , , , , , , outra base de W: ( ) ( ) ( ){ } ( )B W' , , , , , , , , , dim= =1 0 0 010 0 01 3 b) ( ) ( ) ( ){ } ( )B W= =13 01 3 4 7 2 2 301 3, , , , , , , , , , , dim c) ( )B W=

=

1 00 0

0 11 0

0 00 1 3, , , dim

d) d.1) ( ){ } ( )B W= =2 1 2 1, , , dim d.2) ( ) ( ){ } ( )B W= =2 1 0 3 0 1 2, , , , , , dim d.3) ( )B W=

=

1 01 0

0 10 0 2, , dim

d.4) { } ( )B t t W= + =1 2, , dim 2 e) ( ) ( ){ } ( )B x , x , W= =sen cos dim 2 f) { } ( )B e , e e , Wx x x= =2 3 3, dim

12. a) ( ){ }W x y z x y z= + =, , ,3 2 3 0 b) ( ){ }0 ,,, 3 =+= zxzyxW c) W = 4 d) ( )W x y

z wM x y z w=

+ = =

2 0 0, e

e) ( ){ }W at bt ct d P c a b= + + + = 3 2 3 2,

13. a) ( ){ }U W x,y,z,w , x y , z , w = + = = =4 0 0 0 ( ){ }BU W = 1 10 0, , , ( ){ }U W x,y,z,w , w z+ = =4 0 ( ) ( ) ( ){ }BU W+ = 10 0 0 010 0 0 0 11, , , , , , , , , , ,


13. b) ( ){ }U W x,y,z x = 3 , = z = 0 ( ){ }BU W = 010, , U W+ = 3 ( ) ( ) ( ){ }BU W+ = 10 0 010 0 01, , , , , , , ,

c) U W =

0 00 0 no h base.

( )U W M+ = 2 BU W+ =

1 00 0

0 10 0

0 01 0

0 00 1

, , ,

d) ( ){ }U W x,y,z , x , z y = = =3 0 ( ){ }BU W = 011, , U W+ = 3 ( ) ( ) ( ){ }BU W+ = 10 0 010 0 01, , , , , , , ,

14. a) ( ) ( ){ }B = 10 2 1 010 2, , , , , , , , outra base: ( ) ( ){ }2 14 0 112 3, , , , , , , b) ( ){ }S x y z w y z w= + =, , , ,4 4 2 0

c) b a= 2 d) ( )Y S Y Y S BY S = + = +, dim , 2 a mesma de S

15. a) no b) sim c) 13a) no 13b) no 13c) sim 13d) no 16. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }B = 110 0 0 1010 0 0 010 0 0 0 010 0 0 0 01, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 17. ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]U U U= = =0 01 010 10 0, , , , , , , , ou por exemplo, ou

18. ( )dim W2 4= 19. ( )dim W = 3 20. a) ( ) { }2 5 0< < dim U W U W b) 2 3 4, ,

21. a) impossvel. b) 1 00 03 00 0

0 10 0

, , , por exemplo. c) impossvel. d) impossvel.

22. a) ( )[ ] ( )[ ]4 5 335

24 5 3

21 1758 17

47 17, , , ,

'

=

=

B B e b) 1 2

1 0

21

01

1 21 0

121

0

=

=

B B

e

'

c) [ ] [ ]2 5 2235

10 3

2 5 2

02

52

3 2 3 2t t t t t tB B+ =

+ =

e '


TRANSFORMAO LINEAR

Sejam V e W espaos vetoriais. Uma aplicao T:V W chamada transformao linear de V em W se satisfaz s seguintes condies:

I) T(u + v) = T(u) + T(v) II) )()( uTuT =

ReVvu , .

Em particular, uma transformao linear de V em V (ou seja, se W = V) chamada operador linear sobre V.

Exemplos: 1) A transformao nula (ou zero) linear: T O O: V W v 0)(O =va De fato: I) O(u + v) = 0 = 0 + 0 = O(u) + O(v) II) O(u) = 0 = 0 = O(u)

2) A transformao identidade linear. IT

vvIvWVI

=

)(:

a

De fato: I) )()()( vIuIvuvuI +=+=+ II) )()( uIuuI ==

3) A transformao projeo de R3 em R2 linear. ( )zxyxzyxTzyx

RRT+=

2,),,(),,(: 23

a

De fato: I) ( )),,(),,()( 222111 zyxzyxTvuT +=+

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

)()(2,2,22,

2,,,

22221111

22112211

21212121

212121

vTuTzxyxzxyxzxzxyxyx

zzxxyyxxzzyyxxT

+=

+++=

++++=

+++++=

+++=

II) ),,()( zvxTuT =

( )( )

)(2,

2,

uTzxyx

zxyx

=

+=

+=

4) A funo real F: R R, tal que F(u) = u2 no uma transformao linear. De fato: I) ( ) ( )2vuvuF +=+ )()(222 vFuFuvvu +++=

II) ( ) ( ) )(222 uFvuuF ==


5) A transformao derivada DT linear. Pn(R) o conjunto dos polinmios reais de grau n e f(t), g(t) so polinmios de Pn(R). )('))(()(

)()(:tftfDtf

RPRPD nn=

a

De fato: I) ( ) ( )')()()()( tgtftgtfD +=+ ( ) ( ))()(

)(')('tgDtfD

tgtf+=

+=

II) ( ) ( )')()( tftfD = ( ))(

)('tfD

tf

=

=

Exerccio: Verifique se so lineares as seguintes aplicaes. a) 3 2:T R R definida por ( )( , , ) , 2T x y z x y x z= + b) ( ) 32:T P R R definida por ( )20 1 2 0 1 2( ) , 1, 2T a a t a t a a a+ + =

Propriedades

1. Se WVT : uma transformao linear, ento ( ) WVT 00 = . Equivalentemente, se ( )0 0V WT , ento WVT : no uma transformao linear. Podemos usar esta propriedade para justificar que a transformao do exerccio (b) no linear, pois ( ) ( )0 0, 1, 2T = .

2. Se WVT : uma transformao linear, ento ( ) ( ) ( ) ., e ,, 212122112211 RaaVvvvTavTavavaT +=+

Analogamente, ( ) ( ) ( ) ( ) .,, e ,,, 1122112211 RaaVvvvTavTavTavavavaT nnnnnn +++=+++ KKKK

Esta propriedade muito til, principalmente se os vetores 1 2, , nv v vK constituem uma base de V, pois podemos encontrar a lei da transformao linear como vem exemplificado abaixo.

Exemplo: Sejam 3 2:T R R uma transformao linear e ( ) ( ) ( ){ }0,1,0 , 1,0,1 , 1,1,0B = uma base do R. Sabendo que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,1,0 1, 2 , 1,0,1 3,1 e 1,1,0 0,2T T T= = = , determine ( ), ,T x y z e

( )5,3, 2T . Em primeiro lugar vamos expressar o vetor ( ), ,x y z como combinao linear dos vetores da base. No caso, resolvendo o sistema, determinamos que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , 0,1,0 1,0,1 1,1,0x y z y z x z x z= + + +

Aplicando a transformao T e usando a propriedade (2), temos

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, , 0,1,0 1,0,1 1,1,0

0,1,0 1,0,1 1,1,01, 2 3,1 0,2

T x y z T y z x z x z

y z x T z T x z T

y z x z x z

= + + +

= + + +

= + + +

Portanto, ( ) ( ), , 4 ,4 2 3T x y z x y z x y z= + + e aplicando ao vetor dado, ( ) ( )5,3, 2 10, 20T = .


Imagem de uma transformao linear

Chama-se imagem de uma transformao linear WVT : ao conjunto dos vetores w W que so imagem de vetores v V.

Im(T) = { w W / T(v) = w para algum v V} W.

OBS: 1) ( ) TIm , pois no mnimo o conjunto imagem contm o vetor nulo.( )Im(0 TW )

2) Se Im(T) = W , T diz-se transformao sobrejetora, isto , ( ) . que tal, wvTVvWw = 3) A imagem de uma transformao linear WVT : um subespao vetorial de W.

Exemplo: Seja )0,,(),,(,: 33 yxzyxfRRf = a projeo ortogonal do R3 sobre o plano x0y. A imagem de f o prprio plano x0y. Im(f) = { RyxRyx ,/)0,,( 3 }

Ncleo de uma transformao linear

Chama-se ncleo de uma transformao linear WVT : ao conjunto de todos os vetores v V que so transformados em 0 W. Indica-se este conjunto por N(T) ou ker(T).

N(T) = {v V/ T(v) = 0}

Exemplos: 1. No exemplo anterior o ncleo da transformao f o eixo dos z, pois

=

=

==00)0,0,0()0,,()0,0,0(),,(

yx

yxzyxf Portanto, }/),0,0{()( RzzfN =

2. Dada a transformao linear )83,4(),,(,: 23 zyxzyxzyxTRRT +++= , por definio sabemos que (x, y, z) N(T) se, e somente, se

=++

=+

=+++

08304

ou

)0,0()83,4(

zyxzyx

zyxzyx

sistema cuja soluo x = 3z e y = z. Logo, }/),,3{()( 3 RzRzzzTN = .


OBS: 1) N(T) , pois no mnimo o ncleo contm o vetor nulo.(Se T(0) = 0, )(0 TNV ) 2) Uma transformao linear dita injetora, se e somente se, N(T) = {0}.

WVT : uma transformao injetora se ( ) ( ) 212121 ,, vvvTvTVvv == . 3) O ncleo de uma transformao linear WVT : um subespao vetorial de V.

Teorema do Ncleo e da Imagem

Se V um espao vetorial de dimenso finita e WVT : uma transformao linear,

VTTN dim)Im(dim)(dim =+

Corolrios: Seja WVT : uma transformao linear.

1. Se dimV = dimW, ento T sobrejetora se, e somente se, T injetora.

2. Se dimV = dimW e T injetora, ento T transforma base em base, isto , se { }1 2, , , nB v v v= K base de V, ento ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2, , , nT B T v T v T v= K base de W.

Se a transformao linear T no satisfaz a todas as condies do corolrio 2, podemos usar um resultado semelhante para gerar a imagem da transformao:

Se WVT : uma transformao linear e { }1 2, , , nv v vK gera V, ento ( ) ( ) ( ){ }1 2, , , nT v T v T vK gera a Im(T).

Exerccio: Determine o ncleo, a imagem, uma base para o ncleo, uma base para a imagem e a dimenso de cada um deles para as seguintes transformaes lineares.

1. 3 3:T R R definida por ( )( , , ) 2 , 2 , 3T x y z x y z y z x y z= + + + + . 2. 3 1: ( )T R P R definida por ( ) ( ), ,T x y z x y zt= + + . 3. 3 2:T R R tal que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 31,2 , 0,1 e 1,3T e T e T e= = = , sendo { }1 2 3, ,e e e a base

cannica do R.

Isomorfismo

Chama-se isomorfismo do espao vetorial V no espao vetorial W a uma transformao linear WVT : bijetora (injetora e sobrejetora).

Neste caso, V e W so ditos espaos isomorfos.

Exemplo: Mostremos que ( ) 32:T P R R , definida por ( )2( ) , ,T a bt ct c b c b a+ + = + , um isomorfismo. Determinando o N(T):

( )20 0

( ) 0,0,0 0 00 0

c c

T a bt ct b c bb a a

= =

+ + = + = =

= =

( ) { }0N T = T injetora.

Como T injetora e dim ( )2P R = dim R, pelo corolrio 2 podemos afirmar que T tambm sobrejetora, provando o isomorfismo.


Automorfismo

Chama-se automorfismo o operador linear :T V V que bijetor.

Proposio Se WVT : um isomorfismo, ento existe uma transformao inversa 1 :T W V que linear e que tambm um isomorfismo.

Exerccio. Determine 1T para o isomorfismo do exemplo anterior.

Matriz de uma transformao linear

Sejam WVT : uma transformao linear, { }nvvvA ,,, 21 K= uma base de V e { }mwwwB ,,, 21 K= uma base de W. Ento ( ) ( ) ( )nvTvTvT ,,, 21 K so vetores de W e podemos escrev-los como combinao linear dos vetores da base B.

( ) mm wawawavT 12211111 +++= K ( ) mm wawawavT 22221122 +++= K

M

( ) mmnnnn wawawavT +++= K2211

A matriz

[ ]

=

mnm2m1

2n2221

1n1211

AB

aaa

aaa

aaa

T

K

MOMM

K

K

chamada matriz T da transformao em relao s bases A e B.

Como [ ]ABT depende das bases A e B, uma transformao linear poder ter uma infinidade de matrizes para represent-la. No entanto, uma vez fixadas as bases, a matriz nica. Podemos representar a transformao linear pela operao entre matrizes: ( )[ ] [ ] [ ]AABB vTvT = .

Exemplos:

1. Dada a transformao linear ),(),,(,: 23 zyyxzyxTRRT += e considerando as bases ( ) ( ) ( ){ }1,1,1 , 0,1,1 , 0,0,1A = do R3 e ( ) ( ){ }1,1 , 0,2B = do R2, temos

( ) ( ) ( ) ( )11 211,1,1 2,0 1,1 0,2T a a= = + ( ) ( ) ( ) ( )12 220,1,1 1,0 1,1 0, 2T a a= = + ( ) ( ) ( ) ( )13 230,0,1 0, 1 1,1 0,2T a a= = +

que gera os sistemas:


11

11 21

22 0

a

a a

=

+ = ,

12

12 22

12 0

a

a a

=

+ = e

13

13 23

02 1

a

a a

=

+ =

cujas solues so 11 21 12 22 13 231 12, 1, 1, , 0,2 2a a a a a a= = = = = = Logo,

[ ] 1 12 2

1 021

A

BT

=

2. Considerando a mesma transformao do exemplo anterior com as bases cannicas ( ) ( ) ( ){ }' 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1A = do R3 e ( ) ( ){ }' 1,0 , 0,1B = do R2 .

( ) ( ) ( ) ( )1,0,0 1,0 1 1,0 0 0,1T = = + ( ) ( ) ( ) ( )0,1,0 1,1 1 1,0 1 0,1T = = + ( ) ( ) ( ) ( )0,0,1 0, 1 0 1,0 1 0,1T = =

Logo,

[ ] ''

1 1 00 1 1

A

BT

=

No caso de serem A e B bases cannicas, representa-se a matriz simplesmente por [T], que chamada matriz cannica de T. Ento tem-se: ( )[ ] [ ] [ ]vTvT =

Observemos que calcular T(v) pela matriz [T] o mesmo que faz-lo pela frmula que define T. T(2,1,3) = (2 + 1, 1 3) = (3, 2)

ou

[ ]

=

=

23

312

10

11

01)(vT

3. Dadas as bases ( ) ( ){ }1,1 , 0,1B = do R2 e ( ) ( ) ( ){ }' 0,3,0 , 1,0,0 , 0,1,1B = do R3, encontremos a

transformao linear cuja matriz [ ]'

0 21 01 3

B

BT

=

.

No caso, desejamos determinar a transformao 2 3:T R R tal que ( ) ( ), , ,T x y a b c= . Pelo modo como determinada a matriz [ ]

'

B

BT sabemos que

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,1 0 0,3,0 1 1,0,0 1 0,1,1 1, 1, 10,1 2 0,3,0 0 1,0,0 3 0,1,1 0,9,3

T

T

= =

= + + =

Escrevendo (x, y) como combinao linear dos vetores da base B, temos ( ) ( ) ( )( ), 1,1 0,1x y x y x= +


Aplicando T : ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

, 1,1 0,11, 1, 1 0,9,3, 10 9 , 4 3

T x y xT y x T

x y x

x x y x y

= +

= +

= + +

Do exemplo acima, observamos que dada uma matriz e fixada duas bases em V e em W esta matriz representa uma transformao linear. Esta mesma matriz numa outra dupla de bases representar uma transformao linear diferente.

4. Considerando que a matriz [ ]0 21 01 3

T

=

a matriz cannica da transformao, temos que

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,0 0 1,0,0 1 0,1,0 1 0,0,1 0, 1, 10,1 2 1,0,0 0 0,1,0 3 0,0,1 2,0,3

T

T

= =

= + + =

e, portanto, ( ) ( ) ( ), 1,0 0,1x y x y= + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1,0 0,1 , 0, 1, 1 2,0,3T x y xT yT T x y x y= + = +

( ) ( ), 2 , , 3T x y y x x y= +

As matrizes das transformaes lineares so importantes, pois: muitas vezes respostas a questes tericas sobre a estrutura de uma transformao linear podem

ser obtidas estudando as caractersticas da matriz da transformao; estas matrizes tornam possvel calcular as imagens de vetores usando a multiplicao matricial.

Estes clculos podem ser efetuados rapidamente em computadores.

Teorema

Sejam WVT : uma transformao linear e A e B bases de V e W, respectivamente. Ento [ ]

[ ] [ ] [ ]dim Im( ) posto de dim ( ) nulidade de n de colunas de posto de

A

BA A A

B B B

T T

N T T T T

=

= =

Teorema

Sejam A e B bases dos espaos vetoriais V e W, respectivamente. Uma transformao linear WVT : inversvel se, e somente se, [ ]ABT inversvel. Alm disso, se T inversvel, ento

[ ]( ) 11 B ABAT T = .

Corolrio

Sejam A e B bases dos espaos vetoriais V e W, respectivamente e WVT : uma transformao linear. T inversvel se, e somente se, det [ ]ABT 0 .

Exerccio. Seja 2 2:T R R uma transformao linear dada pela matriz cannica [ ] 3 42 3

T

=

.

Verifique se T inversvel. Caso o seja, determine T-1(x, y).


Autovalores (Valores Prprios) e Autovetores (Vetores Prprios)

Definio

Seja :T V V um operador linear. Um vetor v V , 0v , um autovetor (ou vetor prprio) do operador T se existe R tal que ( )T v v= . denominado autovalor (ou valor prprio, valor caracterstico, valor espectral) associado ao autovetor v.

Exemplos: 1. Seja 2 2:T R R tal que ( ) ( ), , ,T x y x y R = . Este operador tem como autovalor e

qualquer ( ) ( ), 0,0x y como autovetor correspondente. Se

i. 0 < , T inverte o sentido do vetor; ii. 1 > , T dilata o vetor;

iii. 1 > , T contrai o vetor; iv. 1 = , T a transformao identidade.

2. Seja 2 2:T R R definida por ( ) ( ), ,T x y x y= , a transformao reflexo no eixo x.

Os vetores da forma (0, y), so tais que ( ) ( )0, 0,T y y= , ou seja, ( ) ( )0, 1 0,T y y= .

Assim, todo vetor (0, y), y 0 autovetor de T com autovalor 1 = .

Tambm para todo vetor (x, 0) temos que ( ) ( ) ( ),0 ,0 1 ,0T x x x= = . Da, dizemos que todo vetor (x, 0), x 0 autovetor de T com autovalor 1 = .

3. Seja 2 2:T R R definida por ( ) ( ), ,T x y y x= , a transformao rotao de 90.

Notemos que nenhum outro vetor diferente do vetor nulo levado por T num mltiplo de si mesmo. Logo, este operador T no tem autovalores nem autovetores.

y

x

u T(u)

v

T(v)

y

x

u

T(u)

Prof. Isabel Cristina C. Leite lgebra Linear

24

Determinao dos autovalores e autovetores

Seja o operador : n nT R R cuja matriz matriz cannica

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

=

M M O M, ou seja, A =[T].

Se v e so, respectivamente, autovetor e autovalor associado, temos:

0A v v A v v = = (v a matriz coluna n x 1 e 0 a matriz nula n x 1)

Tendo em vista que v I v= , onde I a matriz identidade de ordem n, podemos escrever

( )00

A v I vA I v

=

=

Para que o sistema homogneo admita solues no nulas, isto 000

x

v yz

=

, este deve ser

indeterminado e portanto, devemos ter ( )det 0A I = .

11 12 1

21 22 2

1 2

det 0

n

n

n n nn

a a a

a a a

a a a

=

M M O M

A equao ( )det 0A I = denominada equao caracterstica do operador T ou da matriz A e suas razes so os autovalores do operador T ou da matriz A. O ( )det A I um polinmio na varivel denominado polinmio caracterstico. Determinamos os autovetores correspondentes substituindo os autovalores encontrados no sistema homogneo de equaes lineares.

Exemplo: Determinar os autovalores e autovetores do operador linear 3 3:T R R definido por ( ) ( ), , 3 4 ,3 5 ,T x y z x z y z z= + .

1) Matriz cannica de T: 3 0 40 3 50 0 1

A

=

2) 3 0 4

0 3 50 0 1

A I

=

3) Equao caracterstica: ( )det 0A I = ( ) ( ) ( ) 12

33 3 1 0

1

= =

=


25

4) Clculo dos autovetores associados: Para 1 3 = , temos o sistema

3 3 0 4 0 4 00 3 3 5 0 5 0 , e 00 0 1 3 0 4 0

x z

y z x y R zz z

=

= = =

=

Portanto temos os autovetores (x, y, 0) associados ao autovalor 3. Verificao: ( ) ( ) ( )2,4,0 6,12,0 3 2,4,0T = = .

Para 2 1 = , temos 4 0 4 0

4 4 00 4 5 0 ,54 5 00 0 0 0 4

x x zx z

y z Ry z y z

z

= =

= + = =

Portanto temos os autovetores 5, ,4

z z z

associados ao autovalor 1 .

Verificao: ( ) ( ) ( )4, 5,4 4,5, 4 1 4, 5, 4T = = .

Teorema

Dado um operador linear T: V V, o conjunto formado pelos autovetores associados a um autovalor e o vetor nulo subespao vetorial de V, isto , ( ){ };V v V T v v = = subespao de V.


26

EXERCCIOS

1. Verifique quais das seguintes aplicaes so lineares:

a) T: 3 2 definida por ( ) ( )T x y z x y, , ,= b) T: 2 definida por ( )T x y x y, .= c) T: definida por ( )T x x= d) T: 3 2 definida por ( ) ( )T x y z x y z, , ,= 2 3 e) ( )T M: 2 2 definida por ( )T x y x y y, =

+

2 00

f) ( )T M x: 2 3 2 definida por ( )T a b cd e f a e c f

= + +,

g) :T definida por ( ) ( )xsenxT =

2. Determine a transformao linear para cada uma das aplicaes abaixo:

a) T: 2 3 tal que ( ) ( ) ( ) ( )T T12 3 15 01 2 1 4, , , , , ,= = e b) T: 3 2 tal que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T T10 0 2 0 01 0 11 0 01 0 1, , , , , , , , , ,= = = e c) T: 3 3 tal que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T T12 1 12 3 010 2 15 0 4 1 0 3 2, , , , , , , , , , , , ,= = = e d) ( )T P: 2 2 tal que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T T x T x1 01 0 5 5 72= = =, , , , e e) ( )T M x: 3 2 3 tal que ( ) ( ) ( )T T T10 0 1 0 03 4 5 012

2 0 06 8 10 0 0 1 3

0 0 10 0 5, , , , , , ,=

=

=

e

3. a) Qual a transformao linear T: 2 3 tal que ( ) ( ) ( ) ( )T T11 3 2 1 0 2 010, , , , , ,= = e ? b) Determine ( ) ( )T T10 01, , e , usando o item (a). c) Qual a transformao linear S: 3 2 tal que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )S S S3 2 1 11 010 0 2 0 01 0 0, , , , , , , , , ,= = = e ? d) Determine a transformao linear composta SoT: 2 2 , usando os itens (a) e (c).

4. Determine a dimenso do ncleo e da imagem e suas respectivas bases da aplicao linear T do:

a) exerccio 1, itens (a), (d) e (e). b) exerccio 2, itens (b), (d) e (e).

5. Sendo T: 3 5 definida por ( ) ( )T x y z x y x y z x z, , , , , ,= + + + 2 0 3 0 , determine uma base de N(T) e Im(T).

6. Determine uma transformao linear:

a) T: 3 3 cuja imagem seja gerada por ( ) ( ){ }12 3 4 5 6, , , , , . b) T: 3 2 tal que ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]N T T= =10 0 0 2 0 2 4, , , , , Im , e , considere ( ) ( ) ( ){ } = 1 0 0 0 2 0 0 0 1, , , , , , , , base do 3 . c) T: 3 4 tal que ( ) ( ) ( )[ ]Im , , , , , , ,T = 112 1 2 101 .

7. D, se possvel, os exemplos pedidos abaixo. Caso no existam, justifique.

a) Uma aplicao linear injetora T: 3 2 . b) Uma aplicao linear sobrejetora T: 2 3 . c) Uma aplicao linear T: 2 2 , tal que ( ) ( ){ }T T01 10, , , seja uma base para 2 .


27

d) Uma aplicao linear T V W: tal que ( ) { }Im T = 0 . e) Uma aplicao linear T: 5 5 , tal que seja injetora, mas no seja sobrejetora.

8. Seja T V V: uma transformao linear. Sabendo-se que ( ) ( ) ( )( )dim dim ImV N T T= =5 2 e .

a) Determine, justificando, a ( ) ( )( )dim ImN T T+ . b) T pode ser injetora ? Justifique.

9. Mostre que a aplicao ( )T P: 2 1 , definida por ( )T x y x y t x, ( ). .= + + 1 um isomorfismo. 10. Determine a transformao linear 43: T tal que ( ) ( ){ }N T x y z z x y= = , , ;3 e ( ) ( )T 0 01 0 0 01, , , , ,= . 11. Consideremos a transformao linear 23: T definida por ( ) ( )yxzyxzyxT 2,2,, ++= e as bases

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } 2 3 do 1,0,1,1 e do 1,1,0,0,1,2,0,0,1 == BA . Determine a matriz [ ] .ABT

12. Seja a transformao linear ( ) ( )yyxyxyxTT 2,3,2,,: 32 += e as bases ( ) ( ){ }1,2,1,1=A e ( ) ( ) ( ){ }0,1,1,1,1,0,1,0,0 =B . Determine [ ] .ABT Qual a matriz [ ]ACT , onde C a base cannica do 3 ?

13. Sabendo que a matriz de uma transformao linear T: 2 3 nas bases ( ) ( ){ }0,1,1,1=A do 2 e

( ) ( ) ( ){ }1,0,3,0,1,2,1,1,1 =B do 3 [ ]

=

151

123

ABT , encontre a expresso de ( )yxT , e a matriz [ ]T .

14. Seja [ ]

=

310221

T a matriz cannica de uma transformao linear T: 2 3 . Se ( ) ( )2,4,2 =vT , calcule

v.

15. Seja T o operador linear dado pela matriz

221102121

. Determine:

a. N(T) e dim N(T) b. Im(T) e dim Im(T).

AUTOVALORES E AUTOVETORES

1. Verifique, utilizando a definio, se os vetores dados so autovetores das correspondentes matrizes:

a) v = (-2,1),

3122

b) v = (-2,1,3),

121232011

2. Determine os autovalores e os autovetores dos seguintes operadores lineares: a) 22: T ; T(x,y) = (x + 2y, x + 4y); b) 22: T ; ( ) ( )yxyxyxT 3,22, ++= c) 22: T ; T(x,y) = (5x y, x + 3y); d) 22: T ; T(x,y) = (y, x); e) 33: T ; ( ) ( )zyzyzyxzyxT 32,2,,, ++++= f) 33: T ; ( ) ( )zyxyxxzyxT 22,2,,, ++= g) 33: T ; ( ) ( )zyyxzyxT ,,,, +=


28

3. Os vetores )1,1(1 =v e )1,2(2 =v so autovetores de um operador linear 22: T , associados a 51 = e 12 = , respectivamente. Determine a imagem do vetor )1,4(=v por esse operador.

4. a) Determine o operador linear 22: T cujos autovalores so 3 e 1 21 == associados aos autovetores ( ) ),0( e , 21 yvyyv == , respectivamente.

b) Mesmo enunciado para 2 ,3 21 == e ( ) )0,( ,2, 21 xvxxv == .

5. Se 41 = e 22 = , so autovalores de 22: T , associados aos autovetores u = (2,1) e v = (1,3), respectivamente, determine T(3u v).

6. Seja um operador linear 22: T , tal que T(u) = u e T(v) = 21

v para algum vetor u ( e v) 2 . Determine T(w) se u = (0,2), v = (2,6) e w = (3,7).

Respostas

1. So lineares as funes dos itens (a), (d), (e), (f).

2. a) ( ) ( )T x,y x y, x y, x y= + + 2 3 13 4

b) ( ) ( )T x,y,z x y, y z= + 2

c) ( ) ( )T x,y,z x y z, x y z, x y z= + + + 5 2 8 11 5 18

d) ( ) ( )T a bx cx c, a+ b+ c+ + =2 5 5 7

e) ( )T x y z x y z yx y x y x y z

, , =

+

+ + +

2 0 3 63 6 4 8 5 20 15

3. a) ( ) ( )( )T x,y x, x y , x= 3 5 2 b) ( ) ( ) ( ) ( )T , , , T , , , 10 3 5 2 1 01 0 1 2 0= = e

c) ( ) ( )( )S x,y,z x , x y= 3 5 6 3 d) ( ) ( )SoT x,y x, y=

4. a) 1.a) ( ) ( ){ } N T = 0 01, , ( ) ( ) ( ){ } Im , , ,T = 10 0 1

1.d) ( ) ( ){ } N T = 01 3, , ( ) ( ) ( ){ } Im , , ,T = 10 0 1

1.e) ( ) ( ){ } N T = 0 0, ( ) Im ,T =

1 00 0

2 00 1

b) 2.b) ( ) ( ){ } N T = 12 2, , ( ) ( ) ( ){ } Im , , ,T = 10 0 1

2.d) ( ) { } N T x= 5 ( ) ( ) ( ){ } Im , , ,T = 10 0 1

2.e) ( ) ( ){ }N T = 2 12, , ( ) Im ,T =

0 0 30 0 15

1 0 03 4 5


29

5. ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ } N T T= = 113 12 0 3 0 1 10 0 0, , , , , , , , , , ,Im e 6. a) ( ) ( )T x,y x y, x y, x y= + + +4 2 5 3 6

b) ( ) ( )T x,y,z z, z= 2 4

c) ( ) ( )T x,y,z x y, x y, x x y= + + +2 2 , 7. a) Impossvel. b) Impossvel. c) Qualquer aplicao injetiva (ou sobrejetiva).

d) A aplicao nula. e) No existe. 8. a) ( ) ( )( )dim ImN T T+ = 3 b) No. ( )( )dim N T 0 10. ( ) ( )T x,y,z , , , z x y= +0 0 0 11.

233032

12.

225233

e

332503

13. ( ) ( ) [ ]

=++=

42116188

e42,116,188, TyxyxyxyxT

14. v = (2,0)

15. ( ){ }

( ) ( ){ } 2)Im(dim,0;,,Im)1)(dim,;4,3,2)()

3==+=

==TzyxzyxTb

TNzzzzTNa

Autovalores e autovetores

1. a) Sim b) No 2. a) ),2(,2);,(,3 2211 yyvyyv ====

b) ),(,4);,2(,1 2211 yyvyyv ==== c) ),(,421 xxv === d) No existem. e) )2,,(,4);,,(,1 3321 xxxvyyxv ===== f) )1,0,0(,2);1,3,0(,1);1,3,3(,1 332211 zvzvzv ====== g) ),0,(,1321 zxv ==== , x e z no simultaneamente nulos.

3. (8,11) 4. a) ( )yxxyxT 32,),( +=

b)

+= yyxyxT 3,

252),(

5. (26,6) 6.

25

,

23


30

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

STEINBRUCH, A., WINTERLE, P. lgebra Linear. Editora Makron Books. 1987 CALLIOLI, Carlos A., DOMINGUES, Hygino H., COSTA, Roberto C. F. lgebra linear e

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ANTON Howard. & RORRES Chris. lgebra Linear com Aplicaes. Ed. Bookman. 8a Edio.

BOLDRINI, J. L. lgebra Linear. Harbra. 1984. LIPSCHUTZ, S. lgebra Linear. 3a edio. Coleo Schaum. Editora Makron Books. SANTOS, REGINALDO J. lgebra Linear e Aplicaes. Belo Horizonte, Imprensa Universitria

da UFMG, 2006. Livro disponvel para download no site www.mat.ufmg.br/~regi

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10.Notas de Aula - Espaos Vetoriais Transformaes Lineares