11. 位 移 法

本章提要

•位移法的基本概念和基本原理•如何确定位移法的基本未知量•如何选取位移法的基本体系和建立位移法的

基本方程•用位移法计算超静定结构

11.1 11.1 位移法位移法基本概念基本概念

提出问题提出问题 力法求解9 个基本未知量

考虑以结点位移为未知量，考虑以结点位移为未知量，则只需一个方程则只需一个方程

1Z①加刚臂 , 将结点位移锁住②荷载作用 , 刚臂上承担力矩

1PR③原结构有转角 , 为还原 , 使刚臂转动 , 使刚臂承担力矩

1Z11 1r Z1Z 1Z

④荷载和 共同作用下 , 刚臂上的约束力矩为 0, 即11 1 1 0Pr Z R 1Z

1Z

求 1PR 、 可得未知量 的解11r

1 1Z

3 /16PF l

4i

2i3i

------ 刚臂限制转动的约束

1Z

位移法基本概念位移法基本概念

①① 确定基本体系和基本未知量确定基本体系和基本未知量②② 建立位移法方程建立位移法方程③③ 作单位弯矩图和荷载弯矩图作单位弯矩图和荷载弯矩图④④ 求系数和自由项求系数和自由项⑤⑤ 解方程解方程⑥⑥ 作弯矩图作弯矩图

位移法的基本未知量为结点位移位移法的基本未知量为结点位移位移法的基本结构是将体系锁成单跨梁系位移法的基本结构是将体系锁成单跨梁系位移法的基本方程为平衡方程位移法的基本方程为平衡方程

位移法求解步位移法求解步骤骤 ::

位移法基本概念位移法基本概念

单位单位杆端位移引起的杆端内力杆端位移引起的杆端内力

EIi

l - - -线刚度 符号规定： M 、

均以绕杆顺时针转为正

、

11.211.2 等截面直杆的形常数与载常数等截面直杆的形常数与载常数

一、形常数一、形常数1 1 1

4i

2i

3i i

6 /i l

6 /i l

3 /i l 由支座移动由支座移动力法计算可力法计算可

得得

等截面直杆的形常数与载常数等截面直杆的形常数与载常数二、载常数二、载常数2 /12ql

2 /12ql2 /8ql

2 / 3ql

2 / 6ql

/ 2PF l

/ 2PF l

/ 2M

M

3 /16PF l/8PF l /8PF l

常用载常数

思 考 题

•位移法的基本思路是什么？

•位移法在那些方面借助了力法的计算结果？

一、角位移一、角位移———— 所有刚结点转角就是角位移基本未知量。所有刚结点转角就是角位移基本未知量。

11.311.3 位移法的基本未知量和基本体系位移法的基本未知量和基本体系

二、线位移二、线位移—— 将结构视为铰结体系 , 在体系的可动结点处附加上链杆 , 使其变为几何不变体系 , 则结点在附加链杆方向上的位移即为线位移基本未知量。基本未知量。

线位移未知量个数线位移未知量个数 == 结点数结点数 ×2-×2- 杆数杆数

““两控两控一”一”

(( 刚架与梁不计轴向变形刚架与梁不计轴向变形 ))

从两个不动点引出两根轴线不在一直线上的杆件 , 汇交的结点必然不动 , 即两点不动控制另一点不动——简称为“两控一”

举例举例 例 1. 确定图示体系位移法基本未知量

举例举例 例 2. 确定图示体系位移法基本未知量

11.4 11.4 位移法位移法方程方程

基本体系基本体系

1Z

2Z

1 1Z

2 1Z

刚臂上力矩为零

附加链杆上反力为零11 1 12 2 1 0Pr Z r Z R

21 1 22 2 2 0Pr Z r Z R

11 1 12 2 1 0Pr Z r Z R

21 1 22 2 2 0Pr Z r Z R

iir

对具有 n 个独立结点位移的结构 , 有 n 个基本未知量 , 可建立 n 个方程 , 即为位移法典型方程 :

11 1 12 2 1 1 1 0i i n n Pr Z r Z r Z r Z R

21 1 22 2 2 2 2 0i i n n Pr Z r Z r Z r Z R

1 1 2 2 0n n ni i nn n nPr Z r Z r Z r Z R

位移法典型方程

为自由项。 由反力互等定理得

ijr iPR

ij jir r为主系数， 为副系数，

①① 确定基本体系和基本未知量确定基本体系和基本未知量②② 建立位移法方程建立位移法方程③③ 作单位弯矩图和荷载弯矩图作单位弯矩图和荷载弯矩图④④ 求系数和自由项求系数和自由项⑤⑤ 解方程解方程⑥⑥ 作弯矩图作弯矩图

位移法求解步位移法求解步骤骤 ::

11.5 11.5 位移法位移法计算超静定结计算超静定结构构

举例举例 例 1. 计算图示刚架 , 作弯矩图 , 各杆 EI= 常数

基本体系基本体系

1Z1 1Z

①① 确定基本体系和基本未知量确定基本体系和基本未知量解：

②② 建立位移法方程建立位移法方程③③ 作单位弯矩图和荷载弯矩图作单位弯矩图和荷载弯矩图④④ 求系数和自由项求系数和自由项⑤⑤ 解方程解方程⑥⑥ 作弯矩图作弯矩图

11 1 1 0Pr Z R

4i

2i

3i3

1010

11 7r i 1 7PR 1 1/Z i

1 1 PM M Z M 4 1/ 10 6ABM i i 2 1/ 10 12BAM i i

6

12

（ 15）（ 4）

举例举例 例 2. 计算图示刚架 , 作弯矩图

①① 确定基本体系和基本未知量确定基本体系和基本未知量解：

②② 建立位移法方程建立位移法方程③③ 作单位弯矩图和荷载弯矩图作单位弯矩图和荷载弯矩图④④ 求系数和自由项求系数和自由项⑤⑤ 解方解方程程⑥⑥ 作弯矩图作弯矩图

11 1 1 0Pr Z R

211 6 /r i l 1 5 /16P PR F

1 1 PM M Z M

1Z 1 1Z

基本体系基本体系 3 /i l 3 /i l3 /16PF l

21 5 /96PZ F l i

11 /32PF l5 /32PF l

( / 4)PF l

1 1Z

2 1Z

11 1 12 2 1 0Pr Z r Z R 21 1 22 2 2 0Pr Z r Z R

解：①① 确定基本体系和基本未知量确定基本体系和基本未知量

②② 建立位移法方程建立位移法方程③③ 作单位弯矩图和荷载弯矩图作单位弯矩图和荷载弯矩图④④ 求系数和自由项求系数和自由项⑤⑤ 解方程解方程⑥⑥ 作弯矩图作弯矩图

1Z

2Z

32

32 4i

2i

3i

6 /i l

6 /i l

3 /i l

11 7r i1 32PR 12 21 6 /r r i l

222 15 /r i l

2 78PR

1 80.7 /Z EI 2 461.9 /Z EI1 1 2 2 PM M Z M Z M

思 考 题

力法与位移法在原理和步骤上有何异同？

位移法位移法计算综合举例计算综合举例举例举例 例 1. 用位移法求解图示结构。

解：①① 确定基本体系和基本未知量确定基本体系和基本未知量

②② 建立位移法方程建立位移法方程

5 /5BCi EI i

11 1 12 2 1 0Pr Z r Z R

11 1 12 2 1 0Pr Z r Z R

4 / 4ABi EI EI i

③③ 作单位弯矩图和荷载弯矩图作单位弯矩图和荷载弯矩图

4 / 4CDi EI i 3 / 4 0.75BEi EI i 3 / 6 0.5CFi EI i

1Z2Z

令：

基本体系基本体系

4041.741.7

2 1Z

1 1Z 3i

3i

1.5i

4i

2i

4i

2i2i

3i

i

④④ 求系数和自由项求系数和自由项

⑤⑤ 解方解方程程⑥⑥ 作弯矩图作弯矩图 1 1 2 2 PM M Z M Z M

1 1.7PR 2 41.7PR

11 10r i 12 21 2r r i 22 9r i

1 1.15/Z i 2 4.89 /Z i

举例举例 例 2. 作图示体系的单位弯矩图，并求系数。

1 1Z

2Z

1Z

2 1Z

6 /i l

6 /i l

6 /i l6 /i l

6 /i l

6 /i l

6 /i l

6 /i l 6 /i l

6 /i l

基本体系基本体系11 2r k12 21r r k

22r k

324 /k EI l令

1 2 3h h h、 、

1. 用位移法求解图示结构，各杆 EI= 常数。 A 支座有转角位移 。

2. 用位移法求解图示结构 , 各竖杆的高度分别为

练习与思考

本章小结

•计算超静定结构的基本方法是力法与位移法。

其基本未知量是影响计算工作量的主要因素。

多余约素多而结点位移少的宜采用位移法，

反之则力法优于位移法。

力法与位移法的比较力 法力 法 位 移 法位 移 法

基本未知量基本未知量 多余约束力多余约束力 结点独立位移结点独立位移基本结构基本结构 一般为静定结构一般为静定结构 单跨梁系单跨梁系

基本方程基本方程 位移协调方程位移协调方程 力的平衡方程力的平衡方程

0 X 0 FK

作单位和外作单位和外因内力图因内力图

由内力图自乘、互由内力图自乘、互乘求系数乘求系数

由内力图的结点、由内力图的结点、隔离体平衡求系数隔离体平衡求系数

解方程解方程 求得多余未知力求得多余未知力 求得独立结点位移求得独立结点位移作内力图作内力图

用变形条件进行校核用变形条件进行校核 用平衡条件进行校核用平衡条件进行校核校核校核迭加作内力图迭加作内力图 迭加作内力图迭加作内力图