11 - mathemateg.com · /adolygumathemateg Tudalen 3 @mathemateg Pennod 1: Theorem y Ffactor, Theorem y Gweddill ..... 5

11

/adolygumathemateg Tudalen 2 @mathemateg

Fersiwn 19 Mawrth 2018

𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

𝜕𝑥→0

𝑓ሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻ − 𝑓ሺ𝑥ሻ

𝜕𝑥

න 𝑎𝑥𝑛 𝑑𝑥 =𝑎𝑥𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝑘

Ongl Sin Cos Tan

0° 0 1 0

30° 1

2

ξ3

2

1

ξ3

45° 1

ξ2

1

ξ2 1

60° ξ3

2

1

2 ξ3

90° 1 0 ∞

ඥሺ𝑥2 − 𝑥1ሻ2 + ሺ𝑦2 − 𝑦1ሻ2


Pennod 1: Theorem y Ffactor, Theorem y Gweddill ..................................................................... 5

(1a) Rhannu Polynomialau 5

(1b) Theorem y Gweddill 7

(1c) Theorem y Ffactor 8

(1ch) Ffactorio Polynomialau 9

(1d) Hen Gwestiynau Arholiad 10

Pennod 2: Differu ....................................................................................................................... 12

(2a) Differu trwy Egwyddorion Sylfaenol 13

(2b) Hen Gwestiynau Arholiad 16

(2c) Differu Sydyn 17

(2ch) Rheolau Indecsau 17


(2dd) Ail Ddeilliad 21

(2e) Pwyntiau Arhosol 22

(2f) Hen Gwestiynau Arholiad 25

Pennod 3: Integru ....................................................................................................................... 28

(3a) Sut i Integru 29


(3c) Integru Pendant 32

(3ch) Hen Gwestiynau Arholiad 35

Pennod 4: Geometreg Cyfesurynnau Cartesaidd ......................................................................... 39

(4a) Pellter rhwng dau bwynt 39


(4c) Hafaliad Llinell Syth 43

(4ch) Llinellau Paralel a Pherpendicwlar 45



Pennod 5: Datrys Hafaliadau ...................................................................................................... 51

(5a) Cwblhau’r Sgwâr 51


(5c) Datrys un hafaliad llinol ag un hafaliad cwadratig 57

(5ch) Hen Gwestiynau Arholiad 60

Pennod 6: Problemau Tri Dimensiwn .......................................................................................... 62

(6a) Pythagoras 62

(6b) Trigonometreg 64

(6c) Hen Gwestiynau Arholiad 66

Pennod 7: Cymarebau Trigonometreg ........................................................................................ 67

(7a) Graffiau Sin, Cos a Tan 67

(7b) Gwerthoedd Arbennig 69


Pennod 8: Prawf Algebraidd ....................................................................................................... 73

(8a) Unfathiannau Algebraidd 77

(8b) Prawf Ysgrifenedig 78


Pennod 9: Topigau TGAU Arferol ................................................................................................ 80

(9a) Syrdiau 80

(9b) Rheolau Indecsau 82

(9c) Mynegiadau Cwadratig 84

(9ch) Ffracsiynau Algebraidd 86

(9d) Hyd, Arwynebedd a Chyfaint 87

(9dd) Trigonometreg 92

Atebion Ymarferion .................................................................................................................... 94

Atebion Hen Gwestiynau Arholiad .............................................................................................. 100


Pennod 1: Theorem y Ffactor, Theorem y Gweddill

Rydych eisoes yn gwybod sut i ffactorio mynegiadau cwadratig, e.e. x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3),

2x² + 5x – 12 = (2x – 3)(x + 4). Rydym yn defnyddio Theorem y Ffactor a Theorem y Gweddill i ffactorio

mynegiadau efo pwerau uwch, e.e. 2x³ – x² – x + 18, 2x4 + 3x³ + 9x² – 5x + 1.

(1a) Rhannu Polynomialau

Er mwyn gwneud swm rhannu efo polynomialau, e.e. (x² + 3x + 2) ÷ (x – 1), rhaid cofio’n gyntaf sut i

wneud swm rhannu efo rhifau. Fel enghraifft, dyma un ffordd o osod allan y swm 56273 ÷ 13.

0 4 3 2 8

13 5 6 2 7 3

5 2 0 0 0

4 2 7 3

3 9 0 0

3 7 3

2 6 0

1 1 3

1 0 4

9

Fel arfer, rydym yn ysgrifennu’r ateb i’r swm uchod fel 56273 ÷ 13 = 4328 g 9, ble mae’r “g” yn golygu

“gweddill”. Dyma ffordd arall o ysgrifennu’r ateb:

56273 = 4328 × 13 + 9

Rydym yn dweud fod 56273 wedi ei wneud allan o 4328 gwaith 13 hefo 9 dros ben. Byddwn yn

defnyddio’r dull yma o ysgrifennu’r ateb wrth rannu efo polynomialau.

Enghraifft 1.1

Ystyriwch ein bod eisiau gwneud y swm rhannu (x³ + 2x² – x + 3) ÷ (x – 1). I gychwyn, rydym yn gosod

allan yr ateb mewn ffrâm rannu:

x – 1 x³ + 2x² – x + 3

Yn y swm rhannu 56273 ÷ 13, y cwestiwn cyntaf oedd “faint o weithiau mae 13 yn mynd i mewn i 5?”.

Yma, y cwestiwn cyntaf yw “faint o weithiau mae x – 1 yn mynd i mewn i x³?”. I ateb y cwestiwn yma,

rydym yn ystyried beth allwn luosi x – 1 efo i gael mynegiad sy’n cynnwys y term x³. Gan fod

x²(x – 1) = x³ – x², yr ateb i’r cwestiwn “faint o weithiau mae x – 1 yn mynd i mewn i x³” yw “x² o weithiau,

efo rhyw weddill dros ben”. Er mwyn ffeindio’r gweddill, yma, rydym yn cychwyn trwy roi x² ar ben y

ffrâm rannu.

x²

x – 1 x³ + 2x² – x + 3

(i) Mae 13 yn mynd i

mewn i 5 dim o

weithiau, gweddill 5

(ii) Mae 13 yn mynd

i mewn i 56 pedwar

o weithiau

(iii) Mae 4 × 13 =

52, felly rhaid tynnu

i ffwrdd 52000.

(iv) Rydym yn

ailadrodd efo 4273 ....


Nesaf, rydym yn tynnu i ffwrdd o’r polynomial ciwbig x² gwaith x – 1.

x²

x – 1 x³ + 2x² – x + 3

x³ – x²

3x²

I ddarganfod y gweddill, rydym yn copïo gweddill y cwestiwn i lawr.

x²

x – 1 x³ + 2x² – x + 3

x³ – x²

3x² – x + 3

Rydym nawr yn ailadrodd efo x – 1 a’r gweddill 3x² – x + 3; y cwestiwn cyntaf yw “faint o weithiau mae

x – 1 yn mynd i mewn i 3x²?”. Fel o’r blaen, rhaid meddwl beth rydym yn gallu lluosi x – 1 efo i gael

mynegiad sy’n cynnwys y term 3x². Yma, rhaid lluosi efo 3x (gan fod 3x(x – 1) = 3x² – 3x); mae 3x felly yn

mynd ar ben y ffrâm rannu.

x² + 3x

x – 1 x³ + 2x² – x + 3

x³ – x²

3x²– x + 3

3x²– 3x

2x + 3

Yn y trydydd cam, rydym yn gofyn “faint o weithiau mae x – 1 yn mynd i mewn i 2x?”. Yma rhaid rhoi 2 ar

ben y ffrâm rannu (gan fod 2(x – 1) = 2x – 2).

x² + 3x + 2

x – 1 x³ + 2x² – x + 3

x³ – x²

3x²– x + 3

3x²– 3x

2x + 3

2x – 2

5

Yn y swm rhannu 56273 ÷ 13, roeddem yn stopio wrth gyrraedd y 9, gan fod 9 yn llai na 13. Yma rydym

hefyd yn stopio, gan fod 5 yn “llai” na x – 1 (wrth ystyried y pwerau, mae 5 = 5x0 yn llai na x = x1). Yr ateb

terfynol i’r cwestiwn felly yw (x³ + 2x² – x + 3) ÷ (x – 1) = x² + 3x + 2 g 5, neu

x³ + 2x² – x + 3 = (x² + 3x + 2)(x – 1) + 5.

Mae x³ – x³ = 0, ac

mae 2x² – –x² = 3x².


Enghraifft 1.2

(a) (2x³ – x² – x + 18) ÷ (x + 2) (b) (x4 – 2x²) ÷ (x + 3)

2x² – 5x + 9 x³ – 3x² + 7x – 21

x + 2 2x³ – x² – x + 18 x + 3 x4 – 2x²

2x³ + 4x² x4 + 3x³

– 5x² – x + 18 –3x³ – 2x²

– 5x² –10x –3x³ – 9x²

9x + 18 7x²

9x + 18 7x² + 21x

–21x

Felly 2x³ – x² – x + 18 = (2x² – 5x + 9)(x + 2) –21x – 63

63

Felly x4 – 2x² = (x³ – 3x² + 7x – 21)(x + 3) + 63

Ymarferion 1.1

(a) (x³ + 2x² + 2x + 3) ÷ (x + 1) (b) (x³ + 3x² – 4x – 7) ÷ (x – 1)

(c) (2x³ – x² – 2x + 3) ÷ (x – 2) (ch) (x4 – 3x³ + x² – 2x – 8) ÷ (x + 3)

(d) (2x4 + x² – 2x – 1) ÷ (x – 1) (dd) (x³ + x – 1) ÷ (2x – 1)

(e) (x³ + 7x² + 4x – 9) ÷ (x + 2) (f) (8x4 – 24x³ + 4x² – 9x + 5) ÷ (2x – 3)

(g) (2x4 + 3x³ + 9x² – 5x + 1) ÷ (x² + 6x + 1) (ng) (2x³ + 5x² – 9x – 18) ÷ (2x + 3)

(1b) Theorem y Gweddill

Fel rydym wedi gweld, pan gaiff un polynomial ei rannu efo polynomial arall, cawn weddill ar ddiwedd y

cyfrifiad (sy’n gallu bod yn sero). Mewn sefyllfaoedd arbennig, mae ffordd gyflym o weithio allan y

gweddill yma heb orfod gwneud y swm rhannu: gelwir y dull yma yn Theorem y Gweddill.

Theorem y Gweddill

Pan gaiff polynomial f(x) ei rannu gyda’r polynomial x – a, ble mae a yn rif, yna’r gweddill ar ddiwedd y

cyfrifiad yw f(a), hynny ydi’r rhif yr ydym yn ei gael drwy amnewid y rhif a yn f(x).

Enghraifft 1.3

(a) Y gweddill pan gaiff 2x² + 3x + 4 ei rannu efo x – 3 yw

2(3²) + 3(3) + 4 = 31

(b) Y gweddill pan gaiff 3x³ – 6x – 7 ei rannu efo x + 5 yw

3(–5)³ – 6(–5) – 7 = –352


Ymarferion 1.2

Darganfyddwch y gweddill pan gaiff y polynomial gyntaf ei rannu gyda’r ail bolynomial.

(a) x³ – 3x + 3, x – 1 (b) 9x³ – 9x² – 1, x – 1

(c) x4 – 2x³ – 3x + 1, x – 2 (ch) x4 – 3x³ – 1, x + 1

(d) x² – 3x, x – 8 (dd) 3x² + 5, x + c

(1c) Theorem y Ffactor

Pan rydym yn rhannu un polynomial efo polynomial arall, naill ai mae’r gweddill yn sero neu ddim yn

sero. Yn y sefyllfa ble mae’r gweddill yn sero, rydym yn gallu ffactorio’r polynomial sydd yn cael ei rannu

er mwyn ei ysgrifennu fel dau bolynomial wedi’u lluosi gyda’i gilydd.

Enghraifft 1.4

Wrth rannu’r polynomial x² + 6x – 16 efo’r polynomial x – 2, gwelwn fod y gweddill yn sero.

x + 8

x – 2 x² + 6x – 16

x² – 2x

8x – 16

8x – 16

0

Mae’n dilyn fod x² + 6x – 16 = (x + 8)(x – 2), ac felly rydym wedi ffactorio’r polynomial cwadratig

gwreiddiol.

Mae Theorem y Ffactor yn rhoi ffordd i ni o benderfynu os yw polynomial o’r ffurf x – a yn ffactor o

unrhyw bolynomial arall f(x), heb orfod gwneud cyfrifiad efo ffrâm rannu.

Theorem y Ffactor

(a) Mae’r polynomial (x – a) yn ffactor o’r polynomial f(x) os yw f(a) = 0.

(b) Os yw f(a) = 0 yna mae’r polynomial (x – a) yn ffactor o’r polynomial f(x).

Enghraifft 1.5

(a) Mae’r polynomial x + 4 yn ffactor o’r polynomial 2x² + 5x – 12 gan fod

f(–4) = 2(–4)² + 5(–4) – 12

= 0

(b) Nid yw’r polynomial x – 2 yn ffactor o’r polynomial x² – 3x + 4 gan fod

f(2) = 2² – 3(2) + 4

= 2

Mae

Theorem y

Ffactor yn

achos

arbennig o

Theorem y

Gweddill.


Ymarferion 1.3

Ydi’r ail bolynomial yn ffactor o’r polynomial cyntaf?

(a) x³ – 3x² + 2, x – 1 (b) 2x² – 4x, x – 2

(c) 3x³ + 2x² – 3, x + 1 (ch) x³ – 5x² + 1, x – 5

(dd) x² + 3x + 7

4, x + 1

2 (dd) x³ – 2ax² + a²x, x – a

(1ch) Ffactorio Polynomialau

Ystyriwch y broblem o ffactorio’r polynomial 4x³ – 4x² – 5x + 3. Gallwn ddefnyddio Theorem y Ffactor i

geisio darganfod ffactor i’r polynomial yma trwy amnewid rhifau gwahanol yn y polynomial a cheisio cael

ateb 0.

Cynnig 1: Amnewid x = 1: 4(1)³ – 4(1)² – 5(1) + 3 = –2

Felly nid yw (x – 1) yn ffactor o 4x³ – 4x² – 5x + 3.

Cynnig 2: Amnewid x = –1: 4(–1)³ – 4(–1)² – 5(–1) + 3 = 0

Felly mae (x + 1) yn ffactor o 4x³ – 4x² – 5x + 3; gallwn rannu i ddarganfod y

ffactor arall.

4x² – 8x + 3

x + 1 4x³ – 4x² – 5x + 3

4x³ + 4x²

–8x² + 5x + 3

–8x² – 8x

3x + 3

3x + 3

0

Casgliad: Mae 4x³ – 4x² – 5x + 3 = (4x² – 8x + 3)(x + 1)

Gallwn nawr ailadrodd yr uchod efo 4x² – 8x + 3, neu ddefnyddio dulliau ffactorio TGAU i weld bod

4x² – 8x + 3 = (2x – 1)(2x – 3), ac felly mae

4x³ – 4x² – 5x + 3 = (2x – 1)(2x – 3)(x + 1)

Ymarferion 1.4

Ffactorwch y polynomialau canlynol.

(a) 2x³ – 2x² + 2x – 2 (b) 2x³ – 3x² – 2x + 3

(c) 3x³ + 3x² (ch) 2x³ – 3x² – 3x + 2

(d) (Sialens!) Yn y polynomial x³ – 7x² + 2x – a, ceir gweddill 0 os yw’r polynomial yn cael ei rannu

efo x – 3. Defnyddiwch y wybodaeth yma i ddarganfod a.

Ceisiwch amnewid

1, –1, 2, –2, 3, ayb.

i geisio ffeindio ateb 0.

Mantais gallu ffactorio

polynomial yw ei bod hi,

fel arfer, yn gyflymach

gwneud cyfrifiad efo

polynomial wedi’i

ffactorio nag un sydd

heb ei ffactorio.


(1d) Hen Gwestiynau Arholiad

(Lefel 2 Mathemateg Ychwanegol Haf 2008)











(Lefel A Modiwl C1 Gaeaf 2007)



Pennod 2: Differu

Ystyriwch y ffwythiant y = x² + 2. Mae’n bosib llunio graff o’r ffwythiant yma trwy lunio’r tabl isod a

phlotio’r pwyntiau o’r tabl ar bapur graff.

x –3 –2 –1 0 1 2 3

y 11 6 3 2 3 6 11

Beth yw graddiant y graff os yw x = 2? Un ffordd o ddarganfod hyn yw llunio tangiad i’r graff ar y pwynt

(2, 6) a darganfod graddiant y tangiad trwy lunio triongl.

O’r diagram uchod gwelwn mai 4 yw graddiant y graff os yw x = 2 (cofiwn ein bod yn rhannu uchder y

triongl efo hyd y sail er mwyn cyfrifo’r graddiant). Mae differu yn ffordd fathemategol o ddarganfod y

graddiant i unrhyw graff ar unrhyw bwynt heb orfod llunio tangiad a darganfod ei raddiant trwy lunio

triongl. Rydym yn defnyddio nodiant arbennig i gynrychioli’r graddiant yma: os yw y yn cynrychioli

unrhyw ffwythiant, yna mae 𝑑𝑦

𝑑𝑥 yn cynrychioli graddiant y ffwythiant yma.

Mae graddiant graff yn

gallu bod yn ddefnyddiol

iawn. Er enghraifft, mewn

graff pellter-amser, mae

graddiant y graff yn rhoi’r

cyflymder.


(2a) Differu trwy egwyddorion sylfaenol

Ystyriwch eto’r ffwythiant y = x² + 2 o’r dudalen flaenorol. Os rydym yn chwyddo’r graff ddigon, mae’r

graff yn edrych fel llinell syth mewn darn penodol.

→

→

Mae hyn yn wir o unrhyw ddarn o’r graff, felly i ddarganfod graddiant y graff ar unrhyw bwynt, un syniad

yw chwyddo i mewn nes gwelwn linell syth ac wedyn darganfod graddiant y llinell syth yma, trwy lunio

triongl. Ystyriwch ein bod wedi chwyddo i mewn digon fel ein gallu bod yn gweld y llinell syth ganlynol.

Gadewch i 𝜕𝑥 gynrychioli pellter bach iawn ar hyd yr echelin x, fel bod hyd sail y triongl yn

ሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻ − 𝑥 = 𝜕𝑥.

Yn yr un modd, uchder y triongl yw

𝑓ሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻ − 𝑓ሺ𝑥ሻ fel bod graddiant y triongl yn


𝜕𝑥

𝑓ሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻ

𝑓ሺ𝑥ሻ

𝑥 𝑥 + 𝜕𝑥


Y broblem nawr yw sicrhau fod 𝜕𝑥 yn ddigon bach i roi llinell syth i ni bob tro. Er mwyn gwneud yn siŵr o

hyn, rydym yn defnyddio’r syniad o derfan (“limit”) fel bod 𝜕𝑥 mor agos at sero ac y dymunwn. Yn

fathemategol, rydym yn ysgrifennu’r terfan sy’n rhoi’r graddiant 𝑑𝑦

𝑑𝑥 fel yma:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

𝜕𝑥→0


𝜕𝑥

Er bod y fformwla yn edrych yn gymhleth, dim ond cynrychioli’n fathemategol y syniad o chwyddo i

mewn a darganfod graddiant rhyw linell syth mae’n ei wneud. Dangoswn hyn trwy weithio trwy’r

enghraifft y = x² + 2 rydym wedi bod yn edrych arno.

Enghraifft 2.1

(a) Trwy egwyddorion sylfaenol, darganfyddwch 𝑑𝑦

𝑑𝑥 os yw y = x² + 2.

Mae 𝑓ሺ𝑥ሻ = 𝑥2 + 2

Felly 𝑓ሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻ = ሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻ2 + 2

𝑓ሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻ = ሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻ + 2

𝑓ሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻ = 𝑥2 + 𝑥𝜕𝑥 + 𝑥𝜕𝑥 + ሺ𝜕𝑥ሻ2 + 2

𝑓ሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻ = 𝑥2 + 2𝑥𝜕𝑥 + ሺ𝜕𝑥ሻ2 + 2

Yn amnewid i’r fformwla, gwelwn fod

𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

𝜕𝑥→0

ሺ𝑥2 + 2𝑥𝜕𝑥 + ሺ𝜕𝑥ሻ2 + 2ሻ − ሺ𝑥2 + 2ሻ

𝜕𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

𝜕𝑥→0

2𝑥𝜕𝑥 + ሺ𝜕𝑥ሻ2

𝜕𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

𝜕𝑥→02𝑥 + 𝜕𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥

(b) Trwy egwyddorion sylfaenol, darganfyddwch 𝑑𝑦

𝑑𝑥 os yw y = x² + 4x.

Mae 𝑓ሺ𝑥ሻ = 𝑥2 + 4𝑥

Felly 𝑓ሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻ = ሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻ2 + 4ሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻ

𝑓ሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻ = ሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻ + 4ሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻ

𝑓ሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻ = 𝑥2 + 𝑥𝜕𝑥 + 𝑥𝜕𝑥 + ሺ𝜕𝑥ሻ2 + 4𝑥 + 4𝜕𝑥

𝑓ሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻ = 𝑥2 + 2𝑥𝜕𝑥 + ሺ𝜕𝑥ሻ2 + 4𝑥 + 4𝜕𝑥


𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

𝜕𝑥→0

ሺ𝑥2 + 2𝑥𝜕𝑥 + ሺ𝜕𝑥ሻ2 + 4𝑥 + 4𝜕𝑥ሻ − ሺ𝑥2 + 4𝑥ሻ

𝜕𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

𝜕𝑥→0

2𝑥𝜕𝑥 + ሺ𝜕𝑥ሻ2 + 4𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

𝜕𝑥→02𝑥 + 𝜕𝑥 + 4

Rydym yn defnyddio CAMO i

ehangu’r cromfachau.

Mae’r x² yn canslo’r –x² ac

mae’r +2 yn canslo’r –2.

Mae’r 𝜕𝑥 yn canslo ar

y top a’r gwaelod.

Ar ôl symleiddio gymaint ag y gallwn, rydym nawr yn

defnyddio’r terfan trwy amnewid 𝜕𝑥 = 0.


𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 + 4

(c) Trwy egwyddorion sylfaenol, darganfyddwch 𝑑𝑦

𝑑𝑥 os yw y = 2x² – 6x + 9.

Mae 𝑓ሺ𝑥ሻ = 2𝑥2 − 6𝑥 + 9

Felly 𝑓ሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻ = 2ሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻ2 − 6ሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻ + 9

𝑓ሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻ = 2ሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻ − 6ሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻ + 9

𝑓ሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻ = 2ሺ𝑥2 + 𝑥𝜕𝑥 + 𝑥𝜕𝑥 + ሺ𝜕𝑥ሻ2ሻ − 6𝑥 − 6𝜕𝑥 + 9

𝑓ሺ𝑥 + 𝜕𝑥ሻ = 2𝑥2 + 4𝑥𝜕𝑥 + 2ሺ𝜕𝑥ሻ2 − 6𝑥 − 6𝜕𝑥 + 9


𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

𝜕𝑥→0

ሺ2𝑥2 + 4𝑥𝜕𝑥 + 2ሺ𝜕𝑥ሻ2 − 6𝑥 − 6𝜕𝑥 + 9ሻ − ሺ2𝑥2 − 6𝑥 + 9ሻ

𝜕𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

𝜕𝑥→0

4𝑥𝜕𝑥 + 2ሺ𝜕𝑥ሻ2 − 6𝜕𝑥

𝜕𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

𝜕𝑥→04𝑥 + 2𝜕𝑥 − 6

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4𝑥 − 6

Ymarferion 2.1

Darganfyddwch 𝑑𝑦

𝑑𝑥 os yw

(a) y = x² + 8x (b) y = 3x² + 5

(c) y = 5x² – 3x – 7 (ch) y = 6x + 17

(d) y = –2x² + 9x – 5 (dd) (Sialens!) y = x³ + 3x


(2b) Hen Gwestiynau Arholiad












(2c) Differu Sydyn

Tra rydym yn gallu differu ffwythiannau gwahanol trwy egwyddorion sylfaenol, mae’n dod yn amlwg

wrth wneud mwy a mwy o enghreifftiau fod patrwm i’w weld wrth fynd o’r ffwythiant y i’r differiad 𝑑𝑦

𝑑𝑥 .

Ystyriwch yr enghreifftiau canlynol gan feddwl pa batrwm yr ydych yn ei weld.

Enghraifft 2.2

(a) 𝑦 = 4𝑥2 + 5𝑥 (b) 𝑦 = 𝑥3 − 6𝑥2 + 7𝑥 + 2 (c) 𝑦 = 4𝑥3 + 4𝑥 − 9 (ch) 𝑦 = 4𝑥 + 3

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 8𝑥 + 5

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3𝑥2 − 12𝑥 + 7

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 12𝑥2 + 4

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4

Mewn geiriau, y patrwm ar gyfer unrhyw derm yw i “luosi’r pŵer efo’r rhif cyn y term ac wedyn tynnu un

oddi wrth y pŵer”. Er enghraifft, gyda’r term 7x³, rydym yn lluosi’r pŵer 3 efo’r rhif 7 ac wedyn yn tynnu

un oddi wrth y pŵer, i adael 21x². Mewn symbolau, os ydi a ac n yn cynrychioli unrhyw rifau, yna rydym

yn differu term cyffredinol o’r ffurf 𝑎𝑥𝑛 fel yma:

Os yw 𝑦 = 𝑎𝑥𝑛 yna mae 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑛𝑎𝑥𝑛−1

Enghraifft 2.3

Ystyriwch y ffwythiant 𝑦 = 6𝑥3 + 8𝑥2 + 9𝑥 + 4. Gan ddefnyddio’r rheol, mae’r ddau derm gyntaf yn

differu i roi 18𝑥2 a 16𝑥1 = 16𝑥. I ddifferu’r ddau derm olaf, rhaid cofio fod 9𝑥 = 9𝑥1 a 4 = 4𝑥0 (mae

unrhyw beth i’r pŵer 0 yn rhoi ateb 1). Felly wrth ysgrifennu

𝑦 = 6𝑥3 + 8𝑥2 + 9𝑥1 + 4𝑥0

rydym yn gweld fod

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 18𝑥2 + 16𝑥 + 9𝑥0 + 0𝑥−1

= 18𝑥2 + 16𝑥 + 9.

Ymarferion 2.2


𝑑𝑥 os yw

(a) y = 5x² (b) y = 3x³ (c) y = x4

(ch) y = 12x (d) y = 8 (dd) y = x4 – 2x³ + 3x² + 6x

(e) y = 3x5 – 7x² (f) y = 2x² + 3x–1 (ff) y = 5x³ + 5x½

(g) y = x² + 5x–2 + 4x–5 (ng) y = 12x¼ – 3x10 (h) y = ½x4 – x–½ – 3x–4

(2ch) Rheolau Indecsau

Cyn symud ymlaen i’r set nesaf o ymarferion, rhaid cofio’r rheolau indecsau canlynol o waith TGAU:

(a) 1

𝑥𝑎= 𝑥−𝑎 (b) ξ𝑥

𝑎= 𝑥

1

𝑎

Mae 0 lluosi unrhyw

beth yn 0 felly nid

oes angen y term

0x-1 yn yr ateb

terfynol.


Enghraifft 2.4

(a) 𝑦 = ξ𝑥 (b) 𝑦 = ξ𝑥3

+1

𝑥2 (c) 𝑦 =

2

𝑥3− 3ξ𝑥 (ch) 𝑦 = ξ𝑥

5−

8

𝑥4

𝑦 = 𝑥1

2 𝑦 = 𝑥1

3 + 𝑥−2 𝑦 = 2𝑥−3 − 3𝑥1

2 𝑦 = 𝑥1

5 − 8𝑥−4

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

2𝑥−

1

2 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

3𝑥−

2

3 − 2𝑥−3 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −6𝑥−4 −

3

2𝑥−

1

2 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

5𝑥−

4

5 + 32𝑥−5

Ymarferion 2.3


𝑑𝑥 os yw

(a) 𝑦 =1

𝑥3 (b) 𝑦 = 5ξ𝑥 −

3

𝑥4 (c) 𝑦 = ξ𝑥4 +

12

𝑥2+ 4𝑥6

(ch) 𝑦 = −8ξ𝑥 + 4 (d) 𝑦 = 15𝑥 +1

𝑥15 (dd) 𝑦 =

3

𝑥3−

1

𝑥+ ξ𝑥

3

Defnyddio 𝒅𝒚

𝒅𝒙

Wedi dysgu sut i ddifferu ffwythiannau gwahanol, cofiwn nawr mai pwrpas differu yw darganfod

graddiant ffwythiant ar bwynt arbennig.

Enghraifft 2.5

Beth yw graddiant y ffwythiant 𝑦 = 4𝑥3 − 15𝑥 + 4 ar y pwynt ble mae x = 2?

I ateb y cwestiwn yma, rhaid yn gyntaf darganfod 𝑑𝑦

𝑑𝑥:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 12𝑥2 − 15

Ar y pwynt ble mae x = 2, mae 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 12ሺ2ሻ2 − 15

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 33

Felly graddiant y ffwythiant 𝑦 = 4𝑥3 − 15𝑥 + 4 ar y pwynt ble mae x = 2 yw 33.

Enghraifft 2.6

Darganfyddwch y pwynt ar y gromlin 𝑦 = 4𝑥2 + 5𝑥 − 2 ble mae’r graddiant yn 21.

I ateb y cwestiwn yma, rhaid eto cychwyn trwy ddarganfod 𝑑𝑦

𝑑𝑥:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 8𝑥 + 5

Os yw’r graddiant yn 21, yna mae 21 = 8𝑥 + 5

16 = 8𝑥

2 = 𝑥

Felly’r pwynt ar y gromlin 𝑦 = 4𝑥2 + 5𝑥 − 2 ble mae’r graddiant yn 21 yw’r pwynt (2, 24).

(Ceir y 24 trwy amnewid x = 2 i mewn i 4𝑥2 + 5𝑥 − 2.)













(Lefel A Modiwl C1 Haf 2008) (Sialens!)


(2dd) Ail Ddeilliad

Mae Megan yn rholio pêl i fyny allt. Mae’r bêl yn cychwyn teithio i fyny’r allt, yn arafu, yn stopio am

ffracsiwn o eiliad, ac yna’n dychwelyd at Megan. Rydym yn gallu modelu taith y bêl gan ddefnyddio’r

hafaliad y = –2x² + 10x. Dyma graff o’r hafaliad yma; ar draws mae’n dangos yr amser mewn eiliadau, ac

ar i fyny mae’n dangos dadleoliad (displacement) y bêl oddi wrth Megan mewn metrau.

Rydym yn sylwi fod y bêl wedi cymryd 5 eiliad i ddychwelyd at Megan, ac ar ôl 2.5 eiliad roedd y bêl

–2(2.5)² + 10(2.5) = 12.5m oddi wrth Megan.

Er mwyn darganfod cyflymder y bêl ar unrhyw adeg yn ystod ei daith, gallwn ddifferu’r ffwythiant

y = –2x² + 10x er mwyn cael 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −4𝑥 + 10. Wedyn, er enghraifft, gallwn ddweud fod cyflymder y bêl ar

ôl 1 eiliad yn –4(1) + 10 = 6m/s.

Gan fod graddiant y graff y = –2x² + 10x yn amlwg yn newid rhwng x = 0 ac x = 5, gallwn ddweud fod

cyflymder y bêl yn newid yn gyson yn ystod ei daith. Cyflymiad (acceleration) yw’r term am ba mor

gyflym mae’r cyflymder yn newid ar unrhyw adeg. Rydym yn darganfod y cyflymiad trwy ddifferu’r

ffwythiant 𝑑𝑦

𝑑𝑥 i gael ffwythiant newydd rydym yn ei alw’n

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2.

Yn yr enghraifft uchod,

𝑦 = −2𝑥2 + 10𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −4𝑥 + 10

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= −4

Felly cyflymiad y bêl yn ystod ei daith yw –4m/s². (Mae’r cyflymder yn newid 4m/s bob eiliad.)


Yn gyffredinol, rydym yn gallu darganfod 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 ar gyfer unrhyw ffwythiant, ac mae’n disgrifio pa mor

gyflym mae graddiant y graff yn newid ar unrhyw adeg.

Enghraifft 2.7

(a) 𝑦 = 𝑥4 + 3𝑥2 − 5𝑥 + 3 (b) 𝑦 = 4ξ𝑥 +3

𝑥4− 16𝑥5

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4𝑥3 + 6𝑥 − 5 𝑦 = 4𝑥

1

2 + 3𝑥−4 − 16𝑥5

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 12𝑥2 + 6

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥−

1

2 − 12𝑥−5 − 80𝑥4

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= −𝑥−

3

2 + 60𝑥−6 − 320𝑥3

Ymarferion 2.4

Darganfyddwch 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 os yw

(a) 𝑦 = 4𝑥3 − 3𝑥2 + 12 (b) 𝑦 = 6𝑥5 (c) 𝑦 = 16ξ𝑥 + 26𝑥

(ch) 𝑦 = −𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 1 (d) 𝑦 =2

𝑥2 (dd) 𝑦 = 10𝑥7 + ξ𝑥

3−

6

𝑥3

(2e) Pwyntiau Arhosol

Edrychwch eto ar y graff ar y dudalen flaenorol sy’n ymwneud â’r enghraifft o rolio pêl i fyny allt. Ar ôl

2.5 eiliad, mae’r graff yn cyrraedd macsimwm wrth i’r bêl gyrraedd mor bell i fyny’r allt ac mae’n mynd i

fynd. Ar y pwynt yma, sylwch fod y graff yn fflat, fel bod graddiant y graff yn sero.

Yn gyffredinol, mae pwynt arhosol (stationary point) yn unrhyw bwynt ar graff ble mae’r graddiant yn

sero. Mae tri math o bwynt arhosol, sef pwynt macsimwm (fel yn yr enghraifft); pwynt minimwm; a

phwynt ffurfdro (point of inflection).

Pwynt Macsimwm Pwynt Minimwm Pwynt Ffurfdro

Gan fod y graddiant yn sero ar unrhyw bwynt arhosol, rydym yn datrys yr hafaliad

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0

er mwyn darganfod pwyntiau arhosol.


Enghraifft 2.8

Darganfyddwch gyfesurynnau pwyntiau arhosol y gromlin y = x³ – x² – x + 2.

Er mwyn ateb y cwestiwn yma, rhaid cychwyn trwy gyfrifo 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3𝑥2 − 2𝑥 − 1.

Gan fod pwyntiau arhosol wedi eu lleoli ble mae 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0,

rydym nesaf yn datrys yr hafaliad 3x² – 2x – 1 = 0.

3x² – 2x – 1 = 0

(3x + 1)(x – 1) = 0

Naill ai 3x + 1 = 0 neu x – 1 = 0

Naill ai 3x = –1 neu x = 1

Naill ai x = −1

3 neu x = 1.

Rydym nawr yn gwybod cyfesuryn–x bob un o’r pwyntiau arhosol. I ddarganfod cyfesuryn–y bob un o’r

pwyntiau arhosol, rydym yn amnewid −1

3 ag 1 i mewn i y = x³ – x² – x + 2.

(Amnewid x = −1

3 ) (Amnewid x = 1)

𝑦 = (−1

3)

3

− (−1

3)

2

− (−1

3) + 2 𝑦 = ሺ1ሻ3 − ሺ1ሻ2— 1 + 2

𝑦 = −1

27−

1

9+

1

3+ 2 𝑦 = 1 − 1— 1 + 2

𝑦 = −1

27−

3

27+

9

27+

54

27 𝑦 = 1

𝑦 =59

27

Felly cyfesurynnau’r pwyntiau arhosol yw (−1

3,

59

27) a ሺ1,1ሻ.

Natur Pwyntiau Arhosol

Trwy ddatrys yr hafaliad 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0, rydym nawr yn gallu lleoli pwyntiau arhosol unrhyw ffwythiant. Y cam

nesaf yw darganfod os yw pwynt arhosol penodol yn bwynt macsimwm, pwynt minimwm neu bwynt

ffurfdro. I wneud hyn, rydym yn defnyddio’r prawf 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2.

(i) Mae 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 yn negatif ar unrhyw bwynt macsimwm.

(ii) Mae 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 yn bositif ar unrhyw bwynt minimwm.

(iii) Os yw 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 yn sero, yna gall y pwynt fod yn bwynt minimwm, macsimwm neu ffurfdro. Yma rhaid

edrych ar y graddiant 𝑑𝑦

𝑑𝑥 ar bob ochr o’r pwynt arhosol i benderfynu ar ei natur – gwaith Lefel A.

Enghraifft 2.9

Yn Enghraifft 2.8, darganfuwyd fod gan y gromlin y = x³ – x² – x + 2 ddau bwynt arhosol,

yn (−1

3,

59

27) a ሺ1,1ሻ. Cyfrifwyd hefyd fod

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3𝑥2 − 2𝑥 − 1, fel bod

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 6𝑥 − 2.


Natur pwynt arhosol (−𝟏

𝟑,

𝟓𝟗

𝟐𝟕).

Os yw 𝑥 = −1

3, yna mae

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 6 (−

1

3) − 2

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= −4.

Mae hwn yn negatif, felly mae’n rhaid i’r pwynt arhosol (−1

3,

59

27) fod yn bwynt macsimwm.

Natur pwynt arhosol (1, 1).

Os yw 𝑥 = 1, yna mae 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 6ሺ1ሻ − 2

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 4.

Mae hwn yn bositif, felly mae’n rhaid i’r pwynt arhosol (1, 1) fod yn bwynt minimwm.

Ymarferion 2.5

Darganfyddwch gyfesurynnau a natur pwyntiau arhosol pob un o’r ffwythiannau canlynol.

(a) 𝑦 = 𝑥2 − 𝑥 (b) 𝑦 = −𝑥2 + 3𝑥 + 5 (c) 𝑦 = 3 + 18𝑥 + 2𝑥2

(ch) 𝑦 = 6𝑥2 − 4𝑥 (d) 𝑦 = 𝑥3 − 8𝑥 (dd) 𝑦 = 𝑥3


(2f) Hen Gwestiynau Arholiad













(Lefel A Modiwl C1 Haf 2006)




Pennod 3: Integru

Ym mhennod 2, gwelsom sut i ddifferu ffwythiannau gwahanol.

Enghraifft 3.1

(a) 𝑦 = 3𝑥2 + 7𝑥 (b) 𝑦 = 4𝑥3 − 9𝑥 + 2 (c) 𝑦 = 9𝑥7 + ξ𝑥 (ch) 𝑦 = 4

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 6𝑥 + 7

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 12𝑥2 − 9

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 63𝑥6 +

1

2𝑥−

1

2 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0

Yn yr un ffordd mae rhannu yn dadwneud lluosi, ac mae tynnu yn dadwneud adio, integru yw’r broses o

ddadwneud differu. Mae un peth yn cymhlethu pethau fodd bynnag – mae nifer o ffwythiannau

gwahanol yn gallu differu i roi’r un ateb.

Enghraifft 3.2

(a) 𝑦 = 2𝑥2 + 5 (b) 𝑦 = 2𝑥2 + 45 (c) 𝑦 = 2𝑥2 − 15 (ch) 𝑦 = 2𝑥2 + 2.4738

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4𝑥

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4𝑥

I ddelio efo’r broblem yma, rydym yn defnyddio cysonyn integru k fel pan rydym yn integru ffwythiant,

rydym yn ystyried yr holl atebion sy’n bosib.

Enghraifft 3.3

Os yw 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4𝑥, yna mae’n rhaid i y fod o’r ffurf 𝑦 = 2𝑥2 + 𝑘, ble mae k yn gysonyn integru sy’n

cynrychioli unrhyw rif.

Nodiant

Rydym yn defnyddio nodiant arbennig i ddangos ein bod yn integru ffwythiant. I gychwyn, rydym yn

ysgrifennu’r symbol integru ∫ ; wedyn rydym yn ysgrifennu’r ffwythiant rydym eisiau integru; ac olaf

rydym yn nodi pa newidyn rydym yn differu mewn perthynas â. Golygai hyn ein bod yn ysgrifennu 𝑑𝑥 os

rydym yn integru mewn perthynas ag x; yn ysgrifennu 𝑑𝑦 os rydym yn integru mewn perthynas ag y; ac

yn y blaen.

Enghraifft 3.4

Gan ddefnyddio’r nodiant cywir, dyma sut i osod allan y cyfrifiad yn Enghraifft 3.3:

∫ 4𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑥2 + 𝑘

Mae’n bosib darllen y llinell uchod fel yma: “Rydym yn integru 4x mewn perthynas ag x i roi’r ateb

2x² + k”.

Mae rhai llyfrau yn defnyddio c

fel cysonyn integru, nid k.


(3a) Sut i Integru

O bennod 2, cofiwn ein bod yn differu unrhyw derm trwy “luosi’r pŵer efo’r rhif cyn y term ac wedyn

tynnu un oddi wrth y pŵer”. I ddadwneud hyn, hynny ydi i integru unrhyw derm, mae’n rhaid “adio un i’r

pŵer ac yna rhannu gyda’r pŵer newydd”. Er enghraifft, gyda’r term 12x², rydym yn adio un i’r pŵer er

mwyn cael 12x³, ac yna yn rhannu efo’r pŵer newydd (3) i gael ateb terfynol 4x³. Mewn symbolau, os ydi

a ac n yn cynrychioli unrhyw rifau, yna rydym yn integru term cyffredinol o’r ffurf 𝑎𝑥𝑛 fel yma:

Mae ∫ 𝑎𝑥𝑛 𝑑𝑥 =𝑎𝑥𝑛+1

𝑛+1+ 𝑘.

Enghraifft 3.5

(a) ∫ 3𝑥2 + 4𝑥 + 2 𝑑𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥2 + 2𝑥 + 𝑘

(b) ∫ 4𝑥−1

2 𝑑𝑥 = 8𝑥1

2 + 𝑘

(c) ∫ 2ξ𝑥3

+1

𝑥5𝑑𝑥 = ∫ 2𝑥

1

3 + 𝑥−5 𝑑𝑥

= 2𝑥

43

4

3

+𝑥−4

−4+ 𝑘

= 3

2𝑥

4

3 −1

4𝑥−4 + 𝑘

Ymarferion 3.1

(a) ∫ 3𝑥2 𝑑𝑥 (b) ∫ 5𝑥 𝑑𝑥 (c) ∫ 7𝑥2 𝑑𝑥 (ch) ∫1

4𝑥3 𝑑𝑥

(d) ∫ 16𝑥7 𝑑𝑥 (dd) ∫ 12𝑦2 𝑑𝑦 (e) ∫ 3 𝑑𝑥 (f) ∫ 6𝑥2 +4𝑥 + 3𝑑𝑥

(ff) ∫ 3𝑥4 −6𝑥5𝑑𝑥 (g) ∫ 𝑥2

3 𝑑𝑥 (ng) ∫ −6 𝑑𝑥 (h) ∫3

𝑥3𝑑𝑥

(i) ∫ ξ𝑥 𝑑𝑥 (j) ∫1

𝑦12

𝑑𝑦 (l) ∫ 𝑥 +1

𝑥2𝑑𝑥 (ll) ∫

1

𝑥4+ 2𝑥

1

4 + 3𝑥−1

4 𝑑𝑥

Mae’r hen bŵer n yn

cynyddu 1 i roi’r pŵer

newydd n + 1, ac wedyn

rydym yn rhannu efo’r

pŵer newydd yma.
















(3c) Integru Pendant

Yn ogystal â dadwneud differu, mae gan integru bwrpas arall: i ddarganfod yr arwynebedd o dan unrhyw

graff.

Enghraifft y Siglen Fôr Mae Siglen Fôr i’w weld mewn ffair leol. Mae’n cymryd 6 eiliad union i’r

llong fynd o un ochr i’r llall. Mae buanedd y llong, wrth iddi fynd o un ochr

i’r llall, yn cael ei fodelu gan y polynomial 𝑦 = 6𝑥 − 𝑥2. Pa mor bell mae’r

llong yn teithio wrth fynd o un ochr i’r llall?

Gallwn lunio’r tabl canlynol er mwyn cael rhyw fath o syniad o fuanedd y

llong yn ystod ei daith.

x –1 0 1 2 3 4 5 6 7

y = 6x – x² –7 0 5 8 9 8 5 0 –7

Gallwn wedyn blotio buanedd y llong ar graff.

Er mwyn darganfod y pellter mae’r llong yn teithio wrth fynd o un ochr i’r llall, rydym angen darganfod yr

arwynebedd o dan y graff rhwng x = 0 ac x = 6. Mae’n bosib cyfrifo amcangyfrif o’r arwynebedd yma trwy

ddefnyddio Rheol y Trapesiwm (gwaith TGAU), ond nawr gallwn ddefnyddio integru i roi ateb union

gywir. Yr hyn sydd angen ei wneud yw integru’r ffwythiant y = 6x – x², ac yna darganfod y gwahaniaeth

rhwng y rhifau rydym yn ei gael trwy amnewid x = 0 ac x = 6 i mewn i’r ffwythiant newydd. Yn

fathemategol, rydym yn gosod allan y cyfrifiad yma fel y dangosir isod.

x

Amser (s)

y

Buanedd (m/s)


Arwynebedd o dan y graff rhwng x = 0 ac x = 6 = ∫ 6𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥6

0

= [3𝑥2 −1

3𝑥3] 6

0

= (3ሺ6ሻ2 −1

3ሺ6ሻ3) − (3ሺ0ሻ2 −

1

3ሺ0ሻ3)

= (3ሺ36ሻ −1

3ሺ216ሻ) − ሺ0 − 0ሻ

= ሺ108 − 72ሻ − ሺ0ሻ = 36 Felly mae’r siglen fôr yn teithio 36m wrth fynd o un ochr i’r llall.

Ble mae’r cysonyn integru wedi mynd?

Yn y cyfrifiad uchod, mae’n edrych yn debyg ein bod wedi anghofio cynnwys y cysonyn integru wrth

integru’r ffwythiant 6𝑥 – 𝑥² i roi’r ffwythiant 3𝑥2 −1

3𝑥3. Y rheswm pam rydym wedi ysgrifennu

[3𝑥2 −1

3𝑥3] 6

0 a nid [3𝑥2 −

1

3𝑥3 + 𝑘] 6

0 yw nad oes angen cynnwys y cysonyn integru wrth ddarganfod

arwynebedd o dan graff. I ddeall pam, gad i ni wneud y cyfrifiad uchod eto, ond y tro yma gan gynnwys y

cysonyn integru.

Arwynebedd o dan y graff rhwng x = 0 ac x = 6 = ∫ 6𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥6

0

= [3𝑥2 −1

3𝑥3 + 𝑘] 6

0

= (3ሺ6ሻ2 −1

3ሺ6ሻ3 + 𝑘) − (3ሺ0ሻ2 −

1

3ሺ0ሻ3 + 𝑘)

= (3ሺ36ሻ −1

3ሺ216ሻ + 𝑘) − ሺ0 − 0 + 𝑘ሻ

= ሺ108 − 72 + 𝑘ሻ − ሺ𝑘ሻ = 36 + 𝑘 − 𝑘 = 36

Gwelwn ein bod yn cael yr un ateb ac o’r blaen, a bod y cysonyn integru wedi diflannu yn ystod y

cyfrifiad. Bydd hyn yn wir mewn unrhyw gyfrifiad ble rydym yn darganfod yr arwynebedd o dan graff,

felly nid oes angen cynnwys y cysonyn integru yn ein cyfrifiadau.

Rydym yn integru’r

ffwythiant

y = 6x – x² rhwng

x = 0 ac x = 6.

Rydym yn amnewid x = 6 ac x = 0

i mewn i’r ffwythiant newydd, ac

yn darganfod y gwahaniaeth

rhwng y ddau rif.


Enghraifft 3.6

(a) ∫ 9𝑥2 + 6 𝑑𝑥5

1 (b) ∫ 3 + 4𝑥 𝑑𝑥

2

−4

= [3𝑥3 + 6𝑥] 51 = [3𝑥 + 2𝑥2] 2

−4

= ሺ3ሺ5ሻ3 + 6ሺ5ሻሻ − ሺ3ሺ1ሻ3 + 6ሺ1ሻሻ = ሺ3ሺ2ሻ + 2ሺ2ሻ2ሻ − ሺ3ሺ−4ሻ + 2ሺ−4ሻ2ሻ

= ሺ375 + 30ሻ – ሺ3 + 6ሻ = ሺ6 + 8ሻ – ሺ– 12 + 32ሻ

= 405 – 9 = 14 – 20

= 396 = –6

Ymarferion 3.2

(a) ∫ 𝑥3 + 1 𝑑𝑥4

2 (b) ∫ 𝑥3 + 1 𝑑𝑥

−1

−2 (c) ∫ 2𝑥2 + 5 𝑑𝑥

3

2 (ch) ∫ 𝑥2 + 2𝑥 𝑑𝑥

3

0

(d) ∫ 𝑥2 + 2 𝑑𝑥3

2 (dd) ∫ 𝑥4 𝑑𝑥

3

1 (e) ∫

1

3𝑥4 + 3𝑥2 𝑑𝑥

2

0 (f) ∫ 7𝑥 𝑑𝑥

5

2


(3ch) Hen Gwestiynau Arholiad


(TGAU Mathemateg Ychwanegol Haf 2009)













Pennod 4: Geometreg Cyfesurynnau Cartesaidd

Rydych yn gyfarwydd erbyn hyn efo’r syniad o ddefnyddio cyfesurynnau Cartesaidd i leoli unrhyw bwynt

mewn plân: gellir ysgrifennu unrhyw gyfesuryn o’r fath yn y ffurf (a, b), sy’n golygu “a ar draws, b i fyny”.

Yn y bennod yma byddwn yn egluro sut i gyfrifo’r pellter rhwng unrhyw ddau gyfesuryn mewn plân, ac

yn egluro sut i gynrychioli a defnyddio llinellau gwahanol yn y plân.

(4a) Pellter rhwng dau bwynt

O’ch gwaith TGAU, fe gofiwch sut i ddefnyddio Theorem Pythagoras i ddarganfod hyd hypotenws unrhyw

driongl ongl sgwâr.

𝐜𝟐 = 𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 felly 𝐜 = ξ𝐚𝟐 + 𝐛𝟐

Ystyriwch nawr unrhyw ddau bwynt (x1, y1), (x2, y2) mewn plân.

I ddarganfod y pellter rhwng y ddau bwynt, gellir lluniadu triongl ongl sgwâr fel y dangosir isod.


Mae hyd sail y triongl yn x2 – x1, ac mae uchder y triongl yn y2 – y1. Gan ddefnyddio Theorem Pythagoras,

mae’n dilyn fod hyd hypotenws y triongl yn cael ei roi gan y fformwla

ඥሺ𝑥2 − 𝑥1ሻ2 + ሺ𝑦2 − 𝑦1ሻ2

Hwn yw’r fformwla sy’n cael ei ddefnyddio i ddarganfod y pellter rhwng unrhyw ddau bwynt (x1, y1) a

(x2, y2).

Enghraifft 4.1

(a) Y pellter rhwng y ddau bwynt (2, 5) a (8, –4) yw ඥሺ8 − 2ሻ2 + ሺ−4 − 5ሻ2 = ඥ62 + ሺ−9ሻ2

= ξ36 + 81

= ξ117

= 10.82 (i 2 le degol).

(b) Y pellter rhwng y ddau bwynt (–3, 4) a (–13, 6) yw ඥሺ−13 + 3ሻ2 + ሺ6 − 4ሻ2 = ඥሺ−10ሻ2 + 22

= ξ100 + 4

= ξ104

= 10.20 (i 2 le degol).

Ymarferion 4.1

Darganfyddwch y pellter rhwng y pwyntiau canlynol.

(a) (3, 5) a (7, 9) (b) (11, 4) a (8, 7) (c) (–2, 4) a (6, 9) (ch) (–4, –5) a (6, 7)

(d) (7, 13) a (–2, 4) (dd) (0, 4) a (13, –6) (e) (–8, –10) a (–1, –2) (f) (13, –9) a (–5, –3)















(4c) Hafaliad Llinell Syth

Yn eich cwrs TGAU mathemateg arferol byddech wedi cyfarfod llinellau syth o’r ffurf y = mx + c.

Fe gofiwch fod pob llinell o’r ffurf yma yn torri’r echelin-y yn y pwynt (0, c) ac efo graddiant m, hynny ydi

am bob 1 uned yr awn ar draws i’r dde, rydym yn mynd m uned naill ai i fyny (os yw m yn bositif) neu i

lawr (os yw m yn negatif). Dyma 3 enghraifft o linellau o’r ffurf yma.

y = 3x + 5

y = –2x + 2

y = ½x – 3

Ymarferion 4.2

Ysgrifennwch hafaliad o’r ffurf y = mx + c ar gyfer bob un o’r llinellau isod.

(a)

(b)

(c)

Byddech hefyd wedi cyfarfod llinellau syth o’r ffurf ax + by + c = 0, ble mae a, b a c yn rhifau gwahanol.

I blotio’r llinellau yma, rydym yn defnyddio’r dull “cuddiad”, sef darganfod ble mae’r llinell yn torri’r

echelinau x ag y; plotio’r ddau bwynt yma; a’u cysylltu efo llinell syth.

x x x

y y y

x x x

y y y


Enghraifft 4.2

Plotiwch y llinell 2x + 3y + 6 = 0.

I gychwyn, rydym yn darganfod ble mae’r llinell yn torri’r echelin-y, trwy amnewid x = 0 (neu guddiad y

term efo’r x) i gael yr hafaliad 3y + 6 = 0

3y = –6

y = –2.

Ail, rydym yn darganfod ble mae’r llinell yn torri’r echelin-x, trwy amnewid y = 0 (neu guddiad y term

efo’r y) i gael yr hafaliad 2x + 6 = 0

2x = –6

x = –3.

Felly i blotio’r llinell rydym yn plotio’r pwyntiau (0, –2) a (–3, 0) ac yna’u cysylltu efo llinell syth.

Ymarferion 4.3

Plotiwch y llinellau canlynol ar bapur graff.

(a) 3x + 4y – 12 = 0 (b) 5x – 3y + 15 = 0 (c) –4x + 8y – 2 = 0

Plotio llinell trwy wybod un pwynt ar y llinell a’i raddiant

Rydym nawr am ystyried trydedd ffordd o gynrychioli llinell syth. O wybod graddiant m y llinell, ag

unrhyw bwynt (x1, y1) ar y llinell, yna gallwn gynrychioli’r llinell gan ddefnyddio’r hafaliad

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚ሺ𝑥 − 𝑥1ሻ

Enghraifft 4.3

(a) Beth yw hafaliad y llinell syth sy’n mynd trwy’r pwynt (4, 7) ac sydd efo graddiant 3?

Ateb: Hafaliad y llinell yw y – 7 = 3(x – 4)

y = 3x – 5

x

y


(b) Beth yw hafaliad y llinell syth sy’n mynd trwy’r pwynt (–5, 9) ac sydd efo graddiant –6?

Ateb: Hafaliad y llinell yw y – 9 = –6(x + 5)

y = –6x – 21

Ymarferion 4.4

Darganfyddwch hafaliadau’r llinellau syth efo’r priodweddau canlynol.

(a) Graddiant 4; yn mynd trwy’r pwynt (3, 2). (b) Graddiant –3; yn mynd trwy’r pwynt (4, –6).

(c) Graddiant –1; yn mynd trwy’r pwynt (–4, –5). (ch) Graddiant ½; yn mynd trwy’r pwynt (–2, 7).

(d) Graddiant –¾; yn mynd trwy’r pwynt (½, –3). (dd) Graddiant 10; yn mynd trwy’r pwynt (0, –4).

(4ch) Llinellau Paralel a Pherpendicwlar

Ystyriwch linell sy’n pasio trwy’r ddau bwynt (–2, –2) a (1, 2).

I ddarganfod graddiant y llinell yma, gallwn lunio triongl ongl sgwâr fel y dangosir isod.

Wrth edrych ar y triongl, gwelwn am bob 3 uned yr awn i’r dde, rydym yn mynd 4 uned i fyny. Mae’n

dilyn mai graddiant y llinell yw 4

3 (am bob 1 uned yr awn i’r dde, rydym yn mynd

4

3 uned i fyny).


Yn gyffredinol, ar gyfer llinell sy’n pasio trwy’r pwyntiau (x1, y1), (x2, y2) mewn plân, rydym yn llunio’r

triongl a ddangosir isod.

Hyd sail y triongl yw x2 – x1, ac uchder y triongl yw y2 – y1. Mae’n dilyn mai graddiant y llinell sy’n cysylltu

(x1, y1) a (x2, y2) yw 𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

Enghraifft 4.4

(a) Beth yw graddiant y llinell syth sy’n pasio trwy’r pwyntiau (–2, –2) a (1, 2)?

Gan ddefnyddio’r fformwla (efo (x1, y1) = (–2, –2) a (x2, y2) = (1, 2)), y graddiant yw 2−−2

1−−2=

4

3. Mae hyn yn

cytuno efo’r cyfrifiadau ar y dudalen flaenorol.

(b) Beth yw graddiant y llinell syth sy’n pasio trwy’r pwyntiau (4, –5) a (–3, 10)?

Gan ddefnyddio’r fformwla (efo (x1, y1) = (4, –5) a (x2, y2) = (–3, 10)), y graddiant yw 10−−5

−3−4=

15

−7= −

15

7.

Ymarferion 4.5

Darganfyddwch raddiant y llinell syth sy’n cysylltu’r parau canlynol o bwyntiau.

(a) (4, 7) a (2, 4) (b) (10, 4) a (5, 6) (c) (–3, 5) a (6, 2)

(ch) (–1, 4) a (0, 14) (d) (–6, –8) a (–2, –10) (dd) (25, –36) a (–12, 89)


Llinellau Paralel a Pherpendicwlar

Gadewch i’r llinellau 𝐿1 ag 𝐿2 gael graddiannau 𝑚1 ag 𝑚2, yn ôl eu trefn.

(a) Os yw 𝐿1 ag 𝐿2 yn baralel yna mae 𝑚1 = 𝑚2.

(b) Os yw 𝐿1 ag 𝐿2 yn berpendicwlar yna mae 𝑚1 = −1

𝑚2 a 𝑚2 = −

1

𝑚1.

(Mae un graddiant yn negatif cilydd y llall.)

Enghraifft 4.5

(a) Beth yw graddiant llinell sy’n baralel i’r llinell y = 5x – 3?

Ateb: Graddiant y llinell y = 5x – 3 yw 5, felly bydd unrhyw linell sy’n baralel i y = 5x – 3 hefyd efo

graddiant 5.

(b) Mae llinell syth 𝐿1 yn cysylltu’r pwyntiau (5, 9) a (3, 4). Mae llinell syth arall 𝐿2 yn baralel i 𝐿1.

Beth yw graddiant 𝐿2?

Ateb: Graddiant 𝐿1 yw 4−9

3−5=

−5

−2=

5

2. Felly graddiant 𝐿2 yw

5

2.

(c) Beth yw graddiant llinell sy’n berpendicwlar i’r llinell y = 3x + 4?

Ateb: Graddiant y llinell y = 3x + 4 yw 3, felly bydd unrhyw linell sy’n berpendicwlar i y = 3x + 4 efo

graddiant −1

3.

(ch) Beth yw graddiant llinell sy’n berpendicwlar i’r llinell y = –¾x –2?

Ateb: Y graddiant yw 4

3.

(d) Mae llinell syth 𝐿1 yn cysylltu’r pwyntiau (–4, 14) a (10, 3). Mae llinell syth arall 𝐿2 yn berpendicwlar

(d) i i 𝐿1. Beth yw graddiant 𝐿2?

Ateb: Graddiant 𝐿1 yw 3−14

10−−4=

−11

14= −

11

14. Felly graddiant 𝐿2 yw

14

11.

Ymarferion 4.6

(a) Beth yw graddiant llinell sy’n berpendicwlar i y = 5x + 3?

(b) Beth yw graddiant llinell sy’n baralel i y = –3x + 9?

(c) Mae llinell syth 𝐿1 yn cysylltu’r pwyntiau (9, 1) a (–3, 6). Mae llinell syth arall 𝐿2 yn baralel i 𝐿1.

Beth yw graddiant 𝐿2?

(ch) Mae llinell syth 𝐿1 yn cysylltu’r pwyntiau (–10, –20) a (5, 10). Mae llinell syth arall 𝐿2 yn

berpendicwlar i 𝐿1. Beth yw graddiant 𝐿2?


















Pennod 5: Datrys Hafaliadau

Byddwch yn gyfarwydd o’ch gwaith TGAU sut i ddatrys amryw o hafaliadau, megis y rhai a ddangosir

isod.

2𝑥 + 3 = 9 4𝑥 − 5 = 2𝑥 + 13 𝑥

4= 13

8𝑥

4𝑥−3+

20

3𝑥+2= 10

Yn y bennod yma byddwn yn cyflwyno mwy o ddulliau er mwyn datrys hafaliadau gwahanol.

(5a) Cwblhau’r Sgwâr

Ystyriwch sut i ddatrys yr hafaliad x² + 8x – 6 = 0. Fel cam cyntaf, byddwn yn ceisio ffactorio’r hafaliad i

gael pâr o gromfachau,

( )( ) = 0.

Ar ôl gweld nad oes ffordd o wneud hyn gan ddefnyddio rhifau cyfan yn y cromfachau, byddwn yn ceisio

datrys yr hafaliad gan ddefnyddio’r fformwla gwadratig,

𝑥 =−𝑏 ± ξ𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎.

Yn yr enghraifft, gwelwn fod 𝑥 =−8±ξ82−4×1×−6

2×1

𝑥 =−8±ξ88

2

𝑥 = −4 ± ξ22

Er mwyn egluro ble mae’r fformwla gwadratig yn dod o, byddwn nawr yn ystyried ffordd newydd o

ddatrys hafaliadau, sef y dull o gwblhau’r sgwâr.

Ehangu (x + a)²

Cofiwch fod sgwario yn golygu lluosi efo’i hun fel bod, er enghraifft, 4² = 4 × 4 = 16. Gallwn ddefnyddio’r

un syniad i ehangu mynegiadau megis (x + 4)², (x – 3)² a (x + 13)².

(x + 4)² = (x + 4)(x + 4) (x – 3)² = (x – 3)(x – 3) (x + 13)² = (x + 13)(x + 13)

= x² + 4x + 4x + 16 = x² – 3x – 3x + 9 = x² + 13x + 13x + 169

= x² + 8x + 16 = x² – 6x + 9 = x² + 26x + 169

Sylwch ar y cysylltiad rhwng yr ochr chwith a’r ochr dde: mae’r rhif yn y gromfach (4, –3 neu 13) yn cael

ei ddyblu i roi cyfernod yr x ar yr ochr dde (8, –6 neu 26), ac yn cael ei sgwario i roi’r rhif 16, 9 neu 169.

Yn gyffredinol, ar gyfer (x + a)², ble mae a yn cynrychioli unrhyw rif, byddwn yn cael

(x + a)² = x² + 2ax + a².


Gallwn ail-drefnu’r hafaliad yma i roi

(x + a)² – a² = x² + 2ax

neu x² + 2ax = (x + a)² – a²

Cwblhau’r Sgwâr

Ystyriwch eto’r hafaliad x² + 8x – 6 = 0. Yn benodol, gadewch i ni ystyried y ddau derm cyntaf yn yr

hafaliad, sef x² + 8x. Os rydym yn ysgrifennu’r ddau derm yma fel x² + 2(4x), gwelwn fod modd

defnyddio’r hafaliad yr ydym newydd ei ail-drefnu i ysgrifennu x² + 8x mewn ffordd wahanol:

x² + 8x = (x + 4)² – 16.

Mae’n dilyn bod modd datrys yr hafaliad x² + 8x – 6 = 0 fel yma:

x² + 8x – 6 = 0

(x + 4)² – 16 – 6 = 0

(x + 4)² – 22 = 0

(x + 4)² = 22

x + 4 = ±ξ22

x = −4 ± ξ22

Gan weithio i 2 le degol, mae’n bosib cyfrifo fod x naill ai yn −4 + ξ22, sef 0.69, neu fod x yn −4 − ξ22,

sef –8.69.

Enghraifft 5.1

Gadewch i ni ddatrys yr hafaliadau x² + 10x + 4 = 0, x² – 16x – 3 = 0 a x² + 5x + 2 = 0 trwy gwblhau’r sgwâr.

x² + 10x + 4 = 0 x² – 16x – 3 = 0 x² + 5x + 2 = 0

(x + 5)² – 25 + 4 = 0 (x – 8)² – 64 – 3 = 0 (x + 2.5)² – 6.25 + 2 = 0

(x + 5)² – 21 = 0 (x – 8)² – 67 = 0 (x + 2.5)² – 4.25 = 0

(x + 5)² = 21 (x – 8)² = 67 (x + 2.5)² = 4.25

x + 5 = ±ξ21 x – 8 = ±ξ67 x + 2.5 = ±ξ4.25

x = −5 ± ξ21 x = 8 ± ξ67 x = −2.5 ± ξ4.25

x = –0.42 neu x = –9.58 x = 16.19 neu x = –0.19 x = –0.44 neu x = –4.56

(yn gywir i 2 le degol) (yn gywir i 2 le degol) (yn gywir i 2 le degol)

Ymarferion 5.1

Datryswch yr hafaliadau canlynol trwy gwblhau’r sgwâr. Rhowch eich atebion yn gywir i 2 le degol.

(a) x² + 12x + 6 = 0 (b) x² – 6x – 13 = 0 (c) x² + 20x – 15 = 0

(ch) x² + 2x – 85 = 0 (d) x² + 7x + 3 = 0 (dd) x² – 9x – 1 = 0

Mae 4 yn hanner 8,

ac mae 16 yn 4 wedi

ei sgwario.


Y Fformwla Gwadratig

Ystyriwch yn awr unrhyw hafaliad cwadratig o’r ffurf ax² + bx + c = 0, ble mae a, b a c yn rhifau gwahanol.

Gadewch i ni ddatrys yr hafaliad yma trwy gwblhau’r sgwâr.

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0

𝑥2 +𝑏

𝑎𝑥 +

𝑐

𝑎= 0

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

− (𝑏

2𝑎)

2

+𝑐

𝑎= 0

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

−𝑏2

4𝑎2+

𝑐

𝑎= 0

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

−𝑏2

4𝑎2+

4𝑎𝑐

4𝑎2= 0

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

=𝑏2

4𝑎2−

4𝑎𝑐

4𝑎2

(𝑥 +𝑏

2𝑎)

2

=𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎2

𝑥 +𝑏

2𝑎= ±√

𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎2

𝑥 = −𝑏

2𝑎± √

𝑏2 − 4𝑎𝑐

4𝑎2

𝑥 = −𝑏

2𝑎±

ξ𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =−𝑏 ± ξ𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Wrth gwblhau’r sgwâr, gwelwn ein bod yn cyrraedd y fformwla gwadratig rydym yn gyfarwydd efo.

Gwerthoedd Lleiaf

Mae gan bob hafaliad o’r ffurf x² + bx + c siâp “U”, fel y gellid gweld o’r

enghraifft ar y dde o’r hafaliad y = x² + 4x – 5. Mae’n dilyn bod gan bob

hafaliad o’r ffurf x² + bx + c werth lleiaf. Ym mhennod 2, gwelsom fod

modd datrys yr hafaliad 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0 er mwyn darganfod pwyntiau arhosol,

ac felly darganfod pwyntiau minimwm neu werthoedd lleiaf. Rydym yn

awr am ddisgrifio ffordd wahanol o ddarganfod gwerth lleiaf hafaliad

o’r ffurf x² + bx + c, sef trwy gwblhau’r sgwâr.

Rhannu pob

term efo a

Cwblhau’r

Sgwâr

Sgwario’r ail

gromfach Lluosi top a gwaelod y

ffracsiwn 𝑐

𝑎 efo 4a

Trosglwyddo dau

ffracsiwn i’r ochr dde

Ail israddio

bob ochr

Trosglwyddo’r

ffracsiwn i’r ochr dde

Defnyddio ξ4𝑎2 = 2𝑎

x

y


Enghraifft 5.2

(a) Ystyriwch yr hafaliad x² + 4x – 5. Gallwn gwblhau’r sgwâr ar gyfer yr hafaliad yma fel y dangosir isod.

𝑥2 + 4𝑥 − 5

ሺ𝑥 + 2ሻ2 − 4 − 5

ሺ𝑥 + 2ሻ2 − 9

Beth bynnag yw gwerth x, mae gwerth (x + 2)² o hyd yn mynd i fod yn bositif, gan fod sgwario unrhyw rif

yn rhoi ateb positif. Mae’n dilyn fod gwerth lleiaf x² + 4x – 5 yn digwydd pan fo gwerth (x + 2)² ar ei leiaf.

Ond mae hyn yn digwydd pan fo x = –2 (wedyn mae (x + 2)² = (–2 + 2)² = 0) ac felly gwerth lleiaf

x² + 4x – 5 yw –9. (Gallwn wirio hyn trwy edrych ar y graff ar waelod y tudalen blaenorol.)

(b) Ystyriwch yr hafaliad x² – 6x + 3. (c) Ystyriwch yr hafaliad x² + 13x – 15.

Cwblhau’r Sgwâr: Cwblhau’r Sgwâr:

𝑥2 − 6𝑥 + 3 𝑥2 + 13𝑥 − 15

ሺ𝑥 − 3ሻ2 − 9 + 3 ሺ𝑥 + 61

2ሻ2 − ሺ6

1

2ሻ2 − 15

ሺ𝑥 − 3ሻ2 − 6 ሺ𝑥 + 61

2ሻ2 − 57

1

4

Felly gwerth lleiaf x² – 6x + 3 yw –6. Felly gwerth lleiaf x² + 13x – 15 yw −571

4

Ymarferion 5.2

Darganfyddwch werth lleiaf yr hafaliadau canlynol trwy gwblhau’r sgwâr.

(a) x² + 8x + 6 (b) x² – 14x – 11 (c) x² + 22x + 45

(ch) x² + 2x – 95 (d) x² + 5x + 9 (dd) x² – 15x – 14
















(5c) Datrys un hafaliad llinol ag un hafaliad cwadratig

Os rydym yn plotio llinell syth o’r ffurf y = mx + c a hafaliad cwadratig o’r ffurf y = ax² + bx + c ar yr un

graff, mae tri pheth yn gallu digwydd.

(1) Mae’r graffiau’n croestorri

(1) mewn 2 le.

(2) Mae’r graffiau’n croestorri

(2) mewn 1 lle.

(3) Nid yw’r graffiau’n croestorri.

Gallwn geisio darganfod cyfesurynnau unrhyw groestorfannau trwy ddatrys yr hafaliad llinol a’r hafaliad

cwadratig.

Enghraifft 5.3

Cyfrifwch gyfesurynnau dau groestorfan y gromlin y = x² + 4x – 1 a’r llinell y = 7x + 9.

Rydym yn chwilio am bwyntiau ble mae gwerth x² + 4x – 1 yn hafal i werth 7x + 9, felly rydym angen

datrys yr hafaliad x² + 4x –1 = 7x + 9.

x² + 4x – 1 = 7x + 9

x² + 4x – 7x – 1 – 9 = 0

x² – 3x – 10 = 0

(x – 5)(x + 2) = 0

Felly naill ai x – 5 = 0 neu x + 2 = 0

x = 5 x = –2

Ar ôl darganfod cyfesurynnau–x y croestorfannau, y cwbl sydd ar ôl i’w wneud yw darganfod

cyfesurynnau–y y croestorfannau. Rydym yn gwneud hyn trwy amnewid i un o’r hafaliadau gwreiddiol.


Os yw x = 5 yna y = 7x + 9 Os yw x = – 2 yna y = 7x + 9

y = 7(5) + 9 y = 7(–2) + 9

y = 44 y = –5

Felly cyfesurynnau croestorfannau’r gromlin y = x² + 4x – 1 a’r llinell y = 7x + 9 yw (5, 44) a (–2, –5).

Enghraifft 5.4

Cyfrifwch gyfesuryn croestorfan y gromlin y = x² – 2x + 10 a’r llinell y = 6x – 6.

Rydym yn chwilio am bwynt ble mae gwerth x² – 2x + 10 yn hafal i werth 6x – 6, felly rydym angen datrys

yr hafaliad x² – 2x + 10 = 6x – 6.

x² – 2x + 10 = 6x – 6

x² – 8x + 16 = 0

(x – 4)(x – 4) = 0

Felly naill ai x – 4 = 0 neu x – 4 = 0

x = 4 x = 4

Gwelwn fod yr un ateb yn ymddangos dwywaith, felly dim ond un croestorfan sy’n bodoli. I ddarganfod

cyfesuryn–y y croestorfan yma, rydym yn amnewid x = 4 i mewn i un o’r hafaliadau gwreiddiol.

Os yw x = 4 yna y = 6x – 6

y = 6(4) – 6

y = 18

Felly cyfesuryn croestorfan y gromlin y = x² – 2x + 10 a’r llinell y = 6x – 6 yw (4, 18).

Enghraifft 5.5

Dangoswch nad yw’r gromlin y = x² + 4x + 9 a’r llinell y = 5x + 2 yn croestorri.

Rydym angen dangos nad oes datrysiadau i’r hafaliad x² + 4x + 9 = 5x + 2.

x² + 4x + 9 = 5x + 2

x² – x + 7 = 0

Gan ddefnyddio’r fformwla gwadratig, efo a = 1, b = –1 ag c = 7:

𝑥 =1±ඥሺ−1ሻ2−4ሺ1ሻሺ7ሻ

2ሺ1ሻ


𝑥 =1±ξ1−28

2

𝑥 =1±ξ−27

2

Gan nad oes gwerth real i ξ−27, nid oes gan yr hafaliad x² + 4x + 9 = 5x + 2 unrhyw ddatrysiadau real.

Felly, nid yw’r gromlin y = x² + 4x + 9 a’r llinell y = 5x + 2 yn croestorri.

Ymarferion 5.3

Darganfyddwch gyfesurynnau unrhyw groestorfannau i’r cromliniau a’r llinellau canlynol.

(a) y = x² + 2x – 6, y = –3x – 12 (b) y = x² + 2x + 7, y = 6x + 3

(c) y – 10x = 5, y = x² + 7x + 5 (ch) y = x² – 9, y = x + 3

(d) y = x² + 3x + 4, y = 4x + 7 (dd) y = x² + 5x – 2, y = x – 2

(e) y = x² – 3x + 3, y – 3x = –6 (f) y = x² – 3x + 8, y = 6x – 20


(5ch) Hen Gwestiynau Arholiad













Pennod 6: Problemau Tri Dimensiwn

Mae’r mwyafrif o’r arholiad Mathemateg Ychwanegol yn dopigau newydd sy’n cael eu disgrifio yn y

gwerslyfr yma; mae’r gweddill yn gwestiynau TGAU Mathemateg “anoddach”. Yn y bennod yma byddwn

yn disgrifio un ffordd o wneud cwestiynau yn “anoddach”, sef eu gosod mewn cyd-destun tri dimensiwn.

(6a) Theorem Pythagoras

Gallwn ddefnyddio Theorem Pythagoras i ddarganfod hyd hypotenws unrhyw driongl ongl sgwâr,

𝐜𝟐 = 𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 felly 𝐜 = ξ𝐚𝟐 + 𝐛𝟐

Mae’n bosib ail-drefnu Theorem Pythagoras er mwyn darganfod hydoedd yr ochrau a a b hefyd.

𝐚𝟐 = 𝐜𝟐 − 𝐛𝟐 felly 𝐚 = ξ𝐜𝟐 − 𝐛𝟐

𝐛𝟐 = 𝐜𝟐 − 𝐚𝟐 felly 𝐛 = ξ𝐜𝟐 − 𝐚𝟐

Enghraifft 6.1

Yn y ciwboid isod, darganfyddwch hyd y groeslin AH.


Er mwyn darganfod hyd AH, mae’n rhaid defnyddio’r triongl ongl sgwâr a ddangosir isod.

Yn gyntaf, rhaid defnyddio Theorem Pythagoras i ddarganfod hyd y groeslin EH.

EH² = EF² + FH²

EH² = 12² + 5²

EH² = 169

EH = ξ169

EH = 13cm

Unwaith rydym yn gwybod hyd EH, gallwn ddefnyddio Theorem Pythagoras eto i ddarganfod hyd AH.

AH² = AE² + EH²

AH² = 6² + 13²

AH² = 205

AH = ξ205

AH = 14.32cm (yn gywir i 2 le degol).

Ymarferion 6.1

(a) Defnyddiwch Theorem Pythagoras i ddarganfod yr hydoedd canlynol yn y ciwboid a ddangosir isod.

(1) (i) FG (ii) CH (iii) AH (iv) AG (v) BG

(b) Mae can o ddiod ar ffurf silindr efo uchder 11.5cm a radiws 3cm.

(2) Beth yw hyd y gwelltyn mwyaf sy’n ffitio i mewn i’r can?


(c) Uchder y côn isod yw 13cm, ac uchder goledd y côn yw 16cm. Beth yw radiws sylfaen y côn?

(6b) Trigonometreg

Gyda’r wybodaeth berthnasol, mae’n bosib defnyddio trigonometreg i gyfrifo onglau neu hydoedd

ochrau mewn trionglau ongl sgwâr.

sin 𝜃 =Cyferbyn

Hypotenws cos 𝜃 =

Agos

Hypotenws tan 𝜃 =

Cyferbyn

Agos

Enghraifft 6.2

Yn y ciwboid isod, darganfyddwch faint yr ongl 𝐴�̂�𝐸.

Yn dilyn Enghraifft 6.1, mae’n bosib darganfod bod EH = 13cm trwy ddefnyddio Theorem Pythagoras.

Yna, gan ddefnyddio’r triongl AHE, gwelwn fod modd defnyddio trigonometreg i gyfrifo maint ongl 𝐴�̂�𝐸.


tan 𝜃 =6

13

𝜃 = tan−1 (6

13)

𝜃 = 24.78°, yn gywir i 2 le degol.

Ymarferion 6.2

(a) Yn defnyddio’r ciwboid o Enghraifft 6.1, darganfyddwch yr onglau canlynol.

(i) 𝐴�̂�𝐶 (ii) 𝐹�̂�𝐻 (iii) 𝐹�̂�𝐺 (iv) (Sialens!) 𝐴�̂�𝐹 (Rhaid defnyddio’r Rheol Cosin.)

(b) Mae Steven eisiau adeiladu côn efo radiws 5cm fel bod yr ongl 𝐴�̂�𝐶 a ddangosir yn y diagram isod yn

union 55°. Pa mor uchel fydd raid i gôn Steven fod?

(c) Mewn unrhyw giwb, beth yw’r ongl 𝐴�̂�𝐸 os yw fertigau’r ciwb wedi eu labelu fel y dangosir isod?


(6c) Hen Gwestiynau Arholiad






Pennod 7: Cymarebau Trigonometreg

Yn y bennod yma, byddwn yn edrych ar blotio graffiau o’r cymarebau trigonometreg sin, cos a tan; ac yn

edrych ar ddefnyddio gwerthoedd arbennig o’r cymarebau yma.

(7a) Graffiau Sin, Cos a Tan

Er mwyn plotio graffiau o’r cymarebau trigonometreg sin, cos a tan, gellir defnyddio cyfrifiannell i lenwi’r

tabl isod (rhoddir yr atebion yn gywir i 4 lle degol).

Ongl Sin Cos Tan

0° 0 1 0

30° 0.5 0.8660 0.5774

60° 0.8660 0.5 1.7321

90° 1 0 ∞

120° 0.8660 –0.5 –1.7321

150° 0.5 –0.8660 –0.5774

180° 0 –1 0

210° –0.5 –0.8660 0.5774

240° –0.8660 –0.5 1.7321

270° –1 0 ∞

300° –0.8660 0.5 –1.7321

330° –0.5 0.8660 –0.5774

360° 0 1 0

Gellir defnyddio’r tabl wedyn i blotio’r graffiau isod, gan ddefnyddio’r patrwm sydd i’w weld er mwyn

plotio’r gwerthoedd ble mae’r ongl yn negatif.

Graff Sin


Graff Cos

Graff Tan

Ymarferion 7.1

(a) Defnyddiwch eich gwybodaeth o drawsffurfiadau graffiau i blotio’r graffiau canlynol ar bapur graff.

Dylai’r gwerthoedd x redeg o –360° i 360°.

(i) y = sin(x) + 0.5 (ii) y = cos(2x) (iii) y = –tan(x)

(iv) y = sin(–x) (v) y = cos(x – 60°) (vi) y = tan(x + 30°) – 2


(7b) Gwerthoedd Arbennig

Fel arfer, mae’n rhaid defnyddio cyfrifiannell mewn cwestiwn trigonometreg, er mwyn cyfrifo sin, cos

neu tan ongl benodol. Mewn rhai cwestiynau fodd bynnag, gellir cwblhau’r cwestiwn heb ddefnyddio

cyfrifiannell, gan fod gan rai onglau werthoedd arbennig ar gyfer sin, cos neu tan.

Ongl Sin Cos Tan

0° 0 1 0

30° 1

2

ξ3

2

1

ξ3

45° 1

ξ2

1

ξ2 1

60° ξ3

2

1

2 ξ3

90° 1 0 ∞

Enghraifft 7.1

Heb gyfrifiannell, darganfyddwch yr hydoedd coll yn y trionglau isod.

(a)

Ateb: Gwelwn fod cos 60° =12.5

𝑥

𝑥 cos 60° = 12.5

𝑥 =12.5

cos 60°

𝑥 =12.5

1

2

𝑥 = 25cm

(b)

Ateb: Gwelwn fod sin 60° =𝑥

4

4 × sin 60° = 𝑥

4 ×ξ3

2= 𝑥

𝑥 = 2ξ3 cm


Ymarferion 7.2

(a) Heb gyfrifiannell, cyfrifwch yr hydoedd neu’r onglau coll yn y trionglau isod.

(i) (ii)

(iii) (iv)

(b) Heb gyfrifiannell, defnyddiwch naill ai’r Rheol Sin neu’r Rheol Cosin i ddarganfod yr hydoedd coll yn

y trionglau isod.

(i) (ii)


















Pennod 8: Prawf Algebraidd

Ym mathemateg, mae prawf yn dangos bod rhyw fynegiad mathemategol yn wir, ym mhob achos posibl,

trwy ddefnyddio camau rhesymegol (logical steps) fel rhan o ymresymiad argyhoeddiadol (convincing

argument). Mae nifer o dechnegau gwahanol ar gael i brofi rhyw fynegiad penodol; yn y bennod yma

byddwn yn edrych ar sut i brofi unfathiannau algebraidd cyn dechrau edrych ar sut i ysgrifennu

ymresymiadau argyhoeddiadol.

(8a) Unfathiannau Algebraidd

Erbyn nawr, byddwch yn hen gyfarwydd â defnyddio’r hafalnod = yn eich gwaith mathemateg, er

enghraifft wrth ddatrys yr hafaliad 2𝑥 − 1 = 7. Ni fyddwch wedi cyfarfod y symbol unfathiant ≡ mor

aml; y gwahaniaeth rhwng yr hafalnod a’r symbol unfathiant yw bod rhaid i ddwy ochr unfathiant fod yr

un fath dim ots beth yw gwerth unrhyw newidyn fel 𝑥. Gwelwn felly nad yw’r hafaliad2𝑥 − 1 = 7 yn

unfathiant, gan fod yr hafaliad yma ddim ond yn ddilys ar gyfer un gwerth o 𝑥, hynny yw 𝑥 = 4. Ar y llaw

arall, mae’r hafaliad 𝑥 + 𝑥 = 2𝑥 yn unfathiant, gan fod dwy ochr yr hafaliad yma’r un fath dim ots beth

yw gwerth 𝑥. Gallwn felly ysgrifennu 𝑥 + 𝑥 ≡ 2𝑥.

Profi Unfathiannau

Er mwyn dangos fod unrhyw unfathiant yn un dilys, mae’n rhaid cychwyn efo’r mynegiad ar un ochr o’r

unfathiant a’i drawsnewid i gael y mynegiad ar ochr arall yr unfathiant.

Enghraifft 8.1

Dangoswch fod ሺ3 + 𝑥ሻ2 ≡ 9 + 6𝑥 + 𝑥2.

Prawf. Ochr Chwith = ሺ3 + 𝑥ሻ2

= ሺ3 + 𝑥ሻሺ3 + 𝑥ሻ

= 9 + 3𝑥 + 3𝑥 + 𝑥2

= 9 + 6𝑥 + 𝑥2

= Ochr Dde. QED

Enghraifft 8.2

Dangoswch fod ሺ3𝑥 − 1ሻሺ3𝑥 + 1ሻ − ሺ1 − 𝑥ሻሺ1 + 𝑥ሻ + 3ሺ1 − 2𝑥ሻሺ1 + 2𝑥ሻ ≡ 1 − 2𝑥2.

Prawf. Ochr Chwith = ሺ3𝑥 − 1ሻሺ3𝑥 + 1ሻ − ሺ1 − 𝑥ሻሺ1 + 𝑥ሻ + 3ሺ1 − 2𝑥ሻሺ1 + 2𝑥ሻ

= 9𝑥2 + 3𝑥 − 3𝑥 − 1 − ሺ1 + 𝑥 − 𝑥 − 𝑥2ሻ + 3ሺ1 + 2𝑥 − 2𝑥 − 4𝑥2ሻ

= 9𝑥2 − 1 − 1 + 𝑥2 + 3 − 12𝑥2

= 1 − 2𝑥2

= Ochr Dde. QED

Mae “QED” yn golygu

“Quod Erat

Demonstrandum”, neu

“Rwyf wedi dangos beth

roedd angen ei ddangos”.

Defnyddio CAMO


Ymarferion 8.1

Profwch fod yr unfathiannau canlynol yn rai dilys.

(a) ሺ𝑥 + 1ሻ2 ≡ 𝑥2 + 2𝑥 + 1 (b) 5𝑥 − 3ሺ𝑥 − 2ሻ ≡ 2ሺ𝑥 + 3ሻ

(c) ሺ𝑥 − 8ሻሺ𝑥 − 5ሻ − ሺ𝑥 + 2ሻሺ𝑥 + 7ሻ ≡ 26 − 22𝑥 (ch) ሺ𝑥 + 𝑦ሻ2 − ሺ𝑥 − 𝑦ሻ2 ≡ 4𝑥𝑦

(d) ሺ𝑎 + 𝑏ሻሺ𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2ሻ ≡ 𝑎3 + 𝑏3 (dd) ሺ𝑥 + 𝑦ሻ3 ≡ 𝑥3 + 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 + 𝑦3

(8b) Prawf Ysgrifenedig

Gyda rhai mynegiadau mathemategol, rhaid ysgrifennu dadl neu ymresymiad ysgrifenedig er mwyn profi

i’r darllenwr fod y mynegiad yn un cywir.

Enghraifft 8.3

Profwch fod cyfanswm tri rhif olynol o hyd yn rhannadwy â 3.

Prawf. Gadewch i n gynrychioli’r rhif cyntaf, fel bod yr ail rif a’r trydydd rhif yn n + 1 ac n + 2,

yn ôl eu trefn. Felly cyfanswm y tri rhif olynol yma yw n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1).

Mae’r rhif yma o hyd yn rhannadwy â 3 gan ein bod wedi ei ysgrifennu fel lluosrif o 3, sef 3

lluosi efo n + 1. Mae’n dilyn fod cyfanswm tri rhif olynol o hyd yn rhannadwy â 3.

QED

Enghraifft 8.4

Profwch fod y rhif ξ2 yn anghymarebol.

Prawf. Cymerwch, i’r gwrthwyneb, fod y rhif ξ2 yn gymarebol, fel bod modd ysgrifennu ξ2 fel

ffracsiwn ξ2 =𝑎

𝑏. Gadewch i ni hefyd gymryd bod y ffracsiwn yma ar ei ffurf symlaf, fel nad

oes unrhyw rif yn rhannu i mewn i’r rhifiadur a’r enwadur. Trwy sgwario bob ochr o’r hafaliad

ξ2 =𝑎

𝑏, gwelwn fod 2 =

𝑎2

𝑏2, ac felly 2𝑏2 = 𝑎2. Golygai hyn fod 𝑎2 yn eilrif, gan ei fod yn dau

lluosi efo rhyw rif 𝑏2. Ond wedyn rhaid i 𝑎 ei hun fod yn eilrif, gan fod pob odrif wedi ei sgwario

yn rhoi odrif.

Felly mae 𝑎 yn eilrif, sy’n golygu gallwn ei ysgrifennu fel 𝑎 = 2𝑘, ble mae 𝑘 yn rhyw rif.

Trwy amnewid 𝑎 = 2𝑘 i mewn i’r hafaliad gwreiddiol 2𝑏2 = 𝑎2, gwelwn fod 2𝑏2 = ሺ2𝑘ሻ2

2𝑏2 = 4𝑘2

𝑏2 = 2𝑘2.

Golygai hyn fod 𝑏2 yn eilrif, ac felly mae 𝑏 ei hun yn eilrif. Rydym nawr mewn sefyllfa ble

gallwn ddweud fod ein honiad blaenorol fod y ffracsiwn 𝑎

𝑏 ar ei ffurf symlaf yn un anghywir, gan

ein bod wedi dangos fod y rhifau 𝑎 a 𝑏 ill dau yn eilrifau. Felly ni all y rhif ξ2 fod yn gymarebol.

QED


Ymarferion 8.2

(a) Profwch fod cyfanswm dau rif olynol o hyd yn odrif.

(b) Profwch fod cyfanswm tri eilrif olynol o hyd yn rhannadwy â 6.

(c) Profwch fod lluoswm dau odrif o hyd yn odrif.

(ch) O wybod bod 𝑛3 − 𝑛3 = ሺ𝑛 − 𝑚ሻሺ𝑛2 + 𝑛𝑚 + 𝑚2ሻ, profwch fod 𝑛3 − 𝑛3 o hyd yn eilrif os yw

𝑛 − 𝑚 yn eilrif.

(d) (Sialens!) Profwch fod nifer anfeidredd o rifau cysefin.








Pennod 9: Topigau TGAU Arferol

Yn ogystal â thopigau newydd, bydd disgwyl i chi adolygu nifer o dopigau o’r cwrs TGAU arferol ar gyfer

yr arholiad mathemateg ychwanegol. Dylech ddarllen trwy’ch nodiadau TGAU perthnasol cyn ceisio

unrhyw gwestiwn yn y bennod yma.

(9a) Syrdiau

(a) ξ𝑎 × ξ𝑏 = ξ𝑎𝑏 (b) (ξ𝑎)2

= 𝑎 (c) Rhesymoli’r enwadur















(9b) Rheolau Indecsau

(a) 𝑥𝑎 × 𝑥𝑏 = 𝑥𝑎+𝑏 (b) 𝑥𝑎 ÷ 𝑥𝑏 = 𝑥𝑎−𝑏 (c) 𝑥0 = 1 (ch) ሺ𝑥𝑎ሻ𝑏 = 𝑥𝑎×𝑏

(d) 1

𝑥𝑎= 𝑥−𝑎 (dd) ξ𝑥

𝑎= 𝑥

1

𝑎 (e) ξ𝑥𝑎𝑏= 𝑥

𝑎

𝑏 = ( ξ𝑥𝑏 )

𝑎










(9c) Mynegiadau Cwadratig

(a) Ffactorio a datrys hafaliadau o’r ffurf x² + bx + c = 0.

(b) Ffactorio a datrys hafaliadau o’r ffurf ax² + bx + c = 0.

(c) Ffactorio a datrys hafaliadau gan ddefnyddio’r gwahaniaeth rhwng dau rif sgwâr,

e.e. x² – 25 = 0, 3x² - 48 = 0.












(9ch) Ffracsiynau Algebraidd

(a) Symleiddio mynegiadau o’r ffurf 𝑎

𝑑𝑥±𝑒±

𝑏

𝑓𝑥±𝑔±

𝑐

ℎ. (b) Datrys hafaliadau o’r ffurf

𝑎

𝑑𝑥±𝑒±

𝑏

𝑓𝑥±𝑔=

𝑐

ℎ.






(9d) Hyd, Arwynebedd, Cyfaint

(a) Cyfaint ac arwynebedd arwyneb sfferau, conau a phyramidiau. (b) Hyd arcau crwn.

(c) Arwynebedd segmentau a sectorau cylchoedd.
















(9dd) Trigonometreg

(a) Trigonometreg arferol sin, cos a tan. (b) Rheol sin, rheol cosin. (c) Arwynebedd triongl = 1

2𝑎𝑏 sin 𝐶.






Atebion Ymarferion

Ymarferion 1.1

(a) x³ + 2x² + 2x + 3 = (x² + x + 1)(x + 1) + 2

(b) x³ + 3x² – 4x – 7 = (x² + 4x)(x – 1) – 7

(c) 2x³ – x² – 2x + 3 = (2x² + 3x + 4)(x – 2) + 11

(ch) x4 – 3x³ + x² – 2x – 8 = (x³ – 6x² + 19x – 59)(x + 3) + 169

(d) 2x4 + x² – 2x – 1 = (2x³ + 2x² + 3x + 1)(x – 1)

(dd) x³ + x – 1 = (1

2x² + 1

4x + 5

8)(2x – 1) – 3

8

(e) x³ + 7x² + 4x – 9 = (x² + 5x – 6)(x + 2) + 3

(f) 8x4 – 24x³ + 4x² – 9x + 5 = (4x³ – 6x² – 7x – 15)(2x – 3) – 40

(g) 2x4 + 3x³ + 9x² – 5x + 1 = (2x² – 9x + 61)(x² + 6x + 1) + (–362x – 60)

(ng) 2x³ +5x² – 9x – 18 = (x² + x – 6)(2x + 3)

Ymarferion 1.2

(a) 1 (b) –1 (c) –5 (ch) 3 (d) 40 (dd) 3c² + 5

Ymarferion 1.3

(a) Ydi (b) Ydi (c) Nac Ydi (ch) Nac Ydi (d) Nac Ydi (dd) Ydi

Ymarferion 1.4

(a) 2x³ – 2x² + 2x – 2 = 2(x – 1)(x² + 1)

(b) 2x³ – 3x² – 2x + 3 = (x – 1)(2x – 3)(x + 1)

(c) 3x³ + 3x² = 3x²(x + 1)

(ch) 2x³ – 3x² – 3x + 2 = (x + 1)(2x – 1)(x – 2)

(d) a = –30

Ymarferion 2.1

(a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 + 8 (b)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 6𝑥 (c)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 10𝑥 − 3

(ch) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 6 (d)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −4𝑥 + 9 (dd)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3𝑥2 + 3

Ymarferion 2.2

(a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 10𝑥 (b)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 9𝑥2 (c)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4𝑥3

(ch) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 12 (d)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0 (dd)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4𝑥3 − 6𝑥2 + 3𝑥 + 6

(e) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 15𝑥4 − 14𝑥 (f)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 4𝑥 − 3𝑥−2 (ff)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 15𝑥2 +

5

2𝑥−

1

2

(g) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 − 10𝑥−3 − 20𝑥−6 (ng)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 3𝑥−

3

4 − 30𝑥9 (h) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥3 +

1

2𝑥−

3

2 + 12𝑥−5


Ymarferion 2.3

(a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −3𝑥−4 (b)

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

5

2𝑥−

1

2 + 12𝑥−5 (c) 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

4𝑥−

3

4 − 24𝑥−3 + 24𝑥5

(ch) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −4𝑥−

1

2 (d) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 15 − 15𝑥−16 (dd)

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −9𝑥−4 + 𝑥−2 +

1

3𝑥−

2

3

Ymarferion 2.4

(a) 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 24𝑥 − 6 (b)

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 120𝑥3 (c)

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= −4𝑥−

3

2

(ch) 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= −12𝑥2 + 6𝑥 − 2 (d)

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 12𝑥−4 (dd)

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 420𝑥5 −

2

9𝑥−

5

3 − 72𝑥−5

Ymarferion 2.5

(a) Minimwm yn (1

2, −

1

4). (b) Macsimwm yn (

3

2,

29

4).

(c) Minimwm yn ሺ−4.5, −37.5ሻ. (ch) Minimwm yn (1

3, −

2

3).

(d) Macsimwm yn (−√8

3, 8.71) a minimwm yn (√

8

3, −8.71). (Yn gywir i 2 le degol.)

(dd) Pwynt Ffurfdro yn ሺ0,0ሻ.

Ymarferion 3.1

(a) 𝑥3 + 𝑘 (b) 5

2𝑥2 + 𝑘 (c)

7

3𝑥3 + 𝑘 (ch)

1

16𝑥4 + 𝑘

(d) 2𝑥8 + 𝑘 (dd) 4𝑦3 + 𝑘 (e) 3𝑥 + 𝑘 (f) 2𝑥3 + 2𝑥2 + 3𝑥 + 𝑘

(ff) 3

5𝑥5 − 𝑥6 + 𝑘 (g)

3

5𝑥

5

3 + 𝑘 (ng) −6𝑥 + 𝑘 (h) −3

2𝑥−2 + 𝑘

(i) 2

3𝑥

3

2 + 𝑘 (j) 2𝑦1

2 + 𝑘 (l) 1

2𝑥2 − 𝑥−1 + 𝑘 (ll) −

1

3𝑥−3 +

8

5𝑥

5

4 + 4𝑥3

4 + 𝑘

Ymarferion 3.2

(a) 62 (b) −11

4 (c)

53

3 (ch) 18

(d) 25

3 (dd)

242

5 (e)

152

15 (f)

147

2

Ymarferion 4.1

(a) ξ32 = 5.66 i 2 l.d. (b) ξ18 = 4.24 i 2 l.d. (c) ξ89 = 9.43 i 2 l.d.

(ch) ξ244 = 15.62 i 2 l.d. (d) ξ162 = 12.72 i 2 l.d. (dd) ξ269 = 16.40 i 2 l.d.

(e) ξ113 = 10.63 i 2 l.d. (f) ξ360 = 18.97 i 2 l.d.

Ymarferion 4.2

(a) y = 4x – 4 (b) y = –3x + 1 (c) y = ¼x + 6


Ymarferion 4.3

(a) 3x + 4y – 12 = 0

(b) 5x – 3y + 15 = 0

(c) –4x + 8y – 2 = 0

Ymarferion 4.4

(a) y = 4x – 10 (b) y = –3x + 6 (c) y = –x – 9

(ch) y = ½x + 8 (d) y = –¾x – 25

8 (dd) y = 10x – 4

Ymarferion 4.5

(a) 3

2 (b) −

2

5 (c) −

1

3

(ch) 10 (d) −1

2 (dd) −

125

37

Ymarferion 4.6

(a) −1

5 (b) –3 (c) −

5

12 (ch) −

1

2

Ymarferion 5.1

(a) x = –0.52 neu x = –11.48 (b) x = 7.69 neu x = –1.69 (c) x = 0.72 neu x = –20.72

(ch) x = 8.27 neu x = –10.27 (d) x = –0.46 neu x = –6.54 (dd) x = 9.11 neu x = –0.11

Ymarferion 5.2

(a) –10 (b) –60 (c) –76 (ch) –96 (d) 2¾ (dd) –70¼

Ymarferion 5.3

(a) (–3, –3), (–2, –6) (b) (2, 15) (c) (0, 5), (3, 35)

(ch) (–3, 0), (4, 7) (d) (–1.30, 1.79), (2.30, 16.21) (i 2 le degol) (dd) (–4, –6), (0, –2)

(e) (3, 3) (f) Dim croestorfannau.

x x x

y y y


Ymarferion 6.1

(a) (i) 17cm (ii) 18.60cm (i 2 le degol) (iii) 20.25cm (i 2 le degol)

(iv) 13.60cm (i 2 le degol) (v) 20.25cm (i 2 le degol)

(b) 12.97cm (i 2 le degol)

(c) 9.33cm (i 2 le degol)

Ymarferion 6.2

(a) (i) 22.62° (i 2 le degol) (ii) 39.81° (i 2 le degol) (iii) 65.22° (i 2 le degol)

(iv) 75.75° (i 2 le degol)

(b) 7.14cm (i 2 le degol)

(c) 35.26° (i 2 le degol)

Ymarferion 7.1

(a) (i) (ii)

(iii) (iv)

(v) (vi)

Ymarferion 7.2

(a) (i) x = 3ξ3 mm (ii) x = 3cm (iii) x = ξ3 cm (iv) 𝜃 = 60°

(b) (i) x = 10

ξ2 cm neu x = 5ξ2 cm (ii) x = ξ79 cm


Ymarferion 8.1

(a) Ochr Chwith = ሺ𝑥 + 1ሻ2 (b) Ochr Chwith = 5𝑥 − 3ሺ𝑥 − 2ሻ

= ሺ𝑥 + 1ሻሺ𝑥 + 1ሻ = 5𝑥 − 3𝑥 + 6

= 𝑥2 + 𝑥 + 𝑥 + 1 = 2𝑥 + 6

= 𝑥2 + 2𝑥 + 1 = 2ሺ𝑥 + 3ሻ

= Ochr Dde. QED Ochr Dde. QED

(c) Ochr Chwith = ሺ𝑥 − 8ሻሺ𝑥 − 5ሻ − ሺ𝑥 + 2ሻሺ𝑥 + 7ሻ

= 𝑥2 − 5𝑥 − 8𝑥 + 40 − ሺ𝑥2 + 7𝑥 + 2𝑥 + 14ሻ

= 𝑥2 − 5𝑥 − 8𝑥 + 40 − 𝑥2 − 7𝑥 − 2𝑥 − 14

= 26 − 22𝑥

= Ochr Dde. QED

(ch) Ochr Chwith = ሺ𝑥 + 𝑦ሻ2 − ሺ𝑥 − 𝑦ሻ2

= ሺ𝑥 + 𝑦ሻሺ𝑥 + 𝑦ሻ − ሺ𝑥 − 𝑦ሻሺ𝑥 − 𝑦ሻ

= 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑦 − ሺ𝑥2 − 𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 + 𝑦2ሻ

= 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑦 − 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 − 𝑦2ሻ

= 4𝑥𝑦

= Ochr Dde. QED

(d) Ochr Chwith = ሺ𝑎 + 𝑏ሻሺ𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2ሻ

= 𝑎3 − 𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2 + 𝑎2𝑏 − 𝑎𝑏2 + 𝑏3

= 𝑎3 + 𝑏3

= Ochr Dde. QED

(dd) Ochr Chwith = ሺ𝑥 + 𝑦ሻ3

= ሺ𝑥 + 𝑦ሻሺ𝑥 + 𝑦ሻሺ𝑥 + 𝑦ሻ

= ሺ𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑦2ሻሺ𝑥 + 𝑦ሻ

= ሺ𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2ሻሺ𝑥 + 𝑦ሻ

= 𝑥3 + 2𝑥2𝑦 + 𝑥𝑦2 + 𝑥2𝑦 + 2𝑥𝑦2 + 𝑦3

= 𝑥3 + 3𝑥2𝑦 + 3𝑥𝑦2 + 𝑦3

= Ochr Dde. QED

Ymarferion 8.2

(a) Gadewch i n gynrychioli’r rhif cyntaf, fel bod yr ail rif yn n + 1. Felly cyfanswm y ddau rif olynol yma

yw n + (n + 1) = 2n + 1. Gan fod 2n o hyd yn eilrif (mae’n dau lluosi efo rhyw rif n), mae’n rhaid i

2n + 1 fod yn odrif (gan ei fod un yn fwy nag eilrif). Felly mae cyfanswm dau rif olynol o hyd yn odrif.

QED

(b) Gadewch i n gynrychioli’r eilrif cyntaf, fel bod yr ail eilrif a’r trydydd eilrif yn n + 2 ac n + 4, yn ôl eu

trefn. Felly cyfanswm y tri eilrif olynol yma yw n + (n + 2) + (n + 4) = 3n + 6. Ond eilrif yw n, felly

gallwn ei ysgrifennu fel n = 2k, ble mae k yn rhyw rif. Mae’n dilyn y gallwn ysgrifennu cyfanswm y tri

eilrif fel 3(2k) + 6 = 6k + 6 = 6(k + 1). Mae’r rhif yma o hyd yn rhannadwy â 6 gan ein bod wedi ei

ysgrifennu fel lluosrif o 6, sef 6 lluosi efo k + 1. Felly mae cyfanswm tri eilrif olynol o hyd yn

rhannadwy â 6.

QED


(c) Gallwn ysgrifennu unrhyw odrif yn y ffurf 2k + 1, ble mae k yn rhyw rif. Gadewch i ni ystyried dau

odrif 2n + 1 a 2m + 1 o’r ffurf yma, ble mae n ag m yn unrhyw rifau. Lluoswm y ddau odrif yma yw

(2n + 1)(2m + 1) = 4nm + 2n + 2m + 1 = eilrif + eilrif + eilrif + 1 = odrif. Felly mae lluoswm unrhyw

ddau odrif hefyd yn odrif.

QED

(ch) Os yw n – m yn eilrif yna, beth bynnag yw gwerth n² + nm + m², rhaid i (n – m)(n² + nm + m²) fod yn

eilrif, gan fod lluosi eilrif efo unrhyw rif arall yn rhoi ateb sy’n eilrif. Felly, o wybod bod

n³ – m³ = (n – m)(n² + nm + m²), rhaid i n³ – m³ fod yn eilrif os yw n – m yn eilrif.

QED

(d) Chwiliwch am “infinite primes proof” ar .


Atebion Hen Gwestiynau Arholiad

Pennod 1

Adran 1d

Haf 2008, Cwestiwn 7

(a) 4

(b) Mae f(4) = 2(4)³ – 3(4)² – 23(4) + 12

= 0

felly mae x – 4 yn ffactor o 2x³ – 3x² – 23x + 12

(c) 2x³ – 3x² – 23x + 12 = (x – 4)(2x – 1)(x + 3)


(a) 36

(b) (i) Mae f(–3) = 6(–3)³ + 17(–3)² – 5(–3) – 6

= 0

felly mae x + 3 yn ffactor o 6x³ + 17x² – 5x – 6

(b) (ii) 6x³ + 17x² – 5x – 6 = (x + 3)(3x – 2)(2x + 1)


(a) 49

(b) (i) Mae f(–4) = 2(–4)³ + 5(–4)² – 14(–4) – 8

= 0

felly mae x + 4 yn ffactor o 2x³ + 5x² –14x – 8

(b) (ii) 2x³ + 5x² – 14x – 8 = (x + 4)(2x + 1)(x –2)


(a) –280

(b) (i) Mae f(2) = 6(2)³ – 13(2)² + 2 + 2

= 0

felly mae x – 2 yn ffactor o 6x³ – 13x² + x + 2

(b) (ii) 6x³ – 13x² + x + 2 = (x – 2)(3x + 1)(2x – 1)


(a) Mae f(–3) = (–3)³ – 2(–3)² – 9(–3) + 18

(a) Mae f(–3) = 0.

felly mae x + 3 yn ffactor o x³ – 2x² – 9x + 18.

(b) x³ – 2x² – 9x + 18 = (x –2)(x – 3)(x + 3)


(a) 40

(b) (i) Mae f(–3) = (–3)³ + 4(–3)² – 17(–3) –60

(b) (i) Mae f(–3) = 0

felly mae x + 3 yn ffactor o x³ + 4x² – 17x – 60

(b) (ii) x³ + 4x² – 17x – 60 = (x + 3)(x + 5)(x – 4)


(a) 70

(b) (i) Mae f(1) = 1³ + 5(1²) + 2(1) – 8

(b) (i) Mae f(1) = 0

felly mae x – 1 yn ffactor o x³ + 5x² + 2x – 8

(b) (ii) x³ + 5x² + 2x – 8 = (x – 1)(x + 2)(x + 4)


(a) –43

(b) Mae f(2) = 2³ + 8(2²) + 2 – 42

= 0

felly mae x – 2 yn ffactor o x³ + 8x² + x – 42

(c) x³ + 8x² + x – 42 = (x – 2)(x + 7)(x + 3)


(a) 126

(b) (i) Mae f(2) = 2³ + 6(2²) – 2 – 30

(b) (i) Mae f(2) = 0

felly mae x – 2 yn ffactor o x³ + 6x² – x – 30


(a) –246

(b) (i) Mae f(2) = 2³ + 9(2²) + 8(2) – 60

(b) (i) Mae f(2) = 0

(b) felly mae x – 2 yn ffactor o x³ + 9x² + 8x – 60

(b) (ii) (x – 2)(x + 5)(x + 6)

Gaeaf 2007, Cwestiwn 3

(b) 9x³ + 6x² – 5x – 2 = (x + 1)(3x + 1)(3x – 2)


(b) 6x³ + 5x² – 3x – 2 = (x + 1)(2x + 1)(3x – 2)


Pennod 2

Adran 2b


(a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 − 1


(a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 8𝑥


(a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 12𝑥


(a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 + 2


(a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 − 5


(a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 − 4


(a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 + 8

Haf 2015, Cwestiwn 12 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥 − 3


𝑑𝑥= 2𝑥 + 3


𝑑𝑥= 2𝑥 + 10

Adran 2d


(a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 35𝑥4 + 1

(b) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −6𝑥−7

(c) 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

2

3𝑥−

1

3


2x – 1 = 3 felly x = 2.


(a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 10𝑥 +

9

2𝑥

1

2

(b) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −3𝑥−4


(b) ሺ– 3, 59ሻ


(a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 24𝑥3 + 3

(b) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −8𝑥−9

(c) 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

3

5𝑥−

2

5


(a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 32𝑥3 + 3

(b) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −4𝑥−5

(c) 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

3

4𝑥−

1

4


(b) 𝑥 = 5


(a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 56𝑥6 + 2

(b) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −8𝑥−9

(c) 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

3

2𝑥

1

2


𝑎 = 5

Haf 2012, Cwestiwn 15b

𝑥 = 10


(a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 35𝑥4 − 5

(b) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −6𝑥−7

(c) 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

3

5𝑥−

2

5


(a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 30𝑥4 + 7

(b) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −6𝑥−7

(c) 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

5

2𝑥

3

2



(a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 40𝑥7 − 6

(b) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −8𝑥−9

(c) 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

2

5𝑥−

3

5


(a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 36𝑥3 + 8𝑥

(b) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= −8𝑥−9

(c) 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

3

4𝑥−

1

4


(a) 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥

Adran 2f


Mae yna bwynt minimwm ar y pwynt (–4, –41).


𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 120𝑥4


ሺ3, 32); pwynt macsimwm.


(3, 5); pwynt minimwm.


(a) 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 140𝑥3


(a) 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 280𝑥6


Mae yna bwynt minimwm ar y pwynt (1, 1) a

phwynt macsimwm ar y pwynt (–1, 9).


(a) 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 72𝑥2


(a) 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 432𝑥7


Mae yna bwynt minimwm ar y pwynt (2, –37) a






(a) 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 60𝑥4


(a) 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 180𝑥8

(b) a = 1, b = 3, c = 5 (felly 𝑦 = 𝑥5 + 3𝑥 + 5)





Mae yna bwynt macsimwm ar y pwynt (0, 11) a

phwynt minimwm ar y pwynt (2, 7).


(a) 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 126𝑥5


(a) 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2= 1140𝑥18

(b) a = 3; b = 2; c = –6.


Mae yna bwynt macsimwm ar y pwynt (0, 4) a

phwynt minimwm ar y pwynt (–2, 16).


Mae yna bwynt macsimwm ar y pwynt (–1, 7) a

phwynt minimwm ar y pwynt (3, –25).


Mae yna bwynt minimwm ar y pwynt (–1, –12) a

phwynt macsimwm ar y pwynt (2, 15).





Pennod 3

Adran 3b


3

5𝑥5 − 𝑥−1 + 5𝑥 + 𝑘

Haf 2009, Cwestiwn 8 3

7𝑥7 −

1

2𝑥−2 +

5

2𝑥2 + 𝑥 + 𝑘


6𝑥6 −

1

2𝑥−2 + 9𝑥 + 𝑘


7𝑥7 −

1

𝑥+ 9𝑥 + 𝑘


𝑥3 − 2𝑥−2 + 4𝑥2 + 𝑘

Haf 2013, Cwestiwn 7b 3

5𝑥5 −

1

2𝑥−2 + 4𝑥 + 𝑘

Haf 2014, Cwestiwn 12b 3

5𝑥5 + 3𝑥2 − 8𝑥−1 + 𝑘


𝑥4 + 𝑥2 − 4𝑥−1 + 𝑘

Haf 2017, Cwestiwn 10a

2𝑥5 + 8𝑥3 − 2𝑥 −1

𝑥3+ 𝑘


4

5𝑥

5

2 − 3𝑥−3 + 𝑘


−3𝑥−1 −4

3𝑥

3

2 + 𝑘

Adran 3ch


∫ 2𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥 =4

3

2

0


∫ ሺ𝑥2 + 2ሻ 𝑑𝑥 = 41

3

2

1


∫ 5𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥 =125

6

5

0


∫ ሺ3𝑥2 + 5ሻ 𝑑𝑥 = 243

2


∫ ሺ3𝑥2 + 1ሻ 𝑑𝑥 = 82

1


∫ 3𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 4.53

0

Haf 2012, Cwestiwn 8c

∫ 6𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 384

2


∫ 6𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥 = 366

0


∫ 6𝑥5 + 5 𝑑𝑥 = 6703

2


∫ 10𝑥 − 𝑥2 𝑑𝑥 =500

3

10

0


∫ 4𝑥 + 1 𝑑𝑥 = 455

2


(a) Amnewid 𝑥 = 2 ac 𝑥 = 5 i mewn i

𝑦 = 𝑥2 + 7𝑥 − 10 er mwyn cael ateb 0.

(b) ∫ −𝑥2 + 7𝑥 − 10 𝑑𝑥 = 4.55

2


(a) 3𝑥7 − 𝑥3 + 𝑥−1 + 6𝑥 + 𝑘

(b) ∫ 6𝑥2 + 4𝑥 𝑑𝑥 = 2765

2


(c) ∫ ሺ8𝑥 + 2ሻ 𝑑𝑥 = 223

2


(a) Amnewid 𝑥 = 2 ac 𝑥 = 4 i mewn i

𝑦 = −𝑥2 + 6𝑥 − 8 er mwyn cael ateb 0.

(b) ∫ −𝑥2 + 6𝑥 − 84

2𝑑𝑥 =

4

3



∫ ሺ12𝑥3 + 6𝑥2ሻ 𝑑𝑥 = 592

1

Pennod 4

Adran 4b


20


13


13


10ξ2


26


2ξ17


10


2ξ41


10


2ξ61

Adran 4d


(b) –¾


y = 9x + 7


y = –4x + 3. Dim ond cliwiau 1 a 3 sy’n

angenrheidiol (nid oes angen defnyddio cliwiau 2

a 4).


24y + 10x = 141


Os yw A = (–1, 2); B = (8, 47); C = (–10, –43) yna

mae’n bosib cysylltu’r pwyntiau ag un llinell syth

gan fod graddiant CA = graddiant AB = 5.


y = 4x³ + 2x² – x – 6


(b) –24

(c) x = ½


(a) −12

5

(b) 𝑦 =2

5𝑥 − 3


y = 11x – 13


7y = x + 4


−5

12


𝑦 = −4𝑥 + 4


16𝑥 − 𝑦 − 12 = 0


(b) −4

3

(c) 4𝑥 + 3𝑦 = 35


(a) Mae’r hafaliadau 2𝑥 + 4𝑦 = 7 a 𝑥 + 2𝑦 = 7

yn cynrychioli llinellau syth sy’n baralel gan fod

graddiant y ddwy linell (−1

2) yn hafal.


(b) Mae’r hafaliadau 2𝑥 + 4𝑦 = 7 a

4𝑥 − 2𝑦 = 7 yn cynrychioli llinellau syth sy’n

berpendicwlar gan fod negatif cilydd graddiant y

llinell cyntaf (−1

2) yn hafal i raddiant yr ail linell

(2). Ateb posib arall: Y trydydd hafaliad a’r

pedwerydd hafaliad.


4𝑥 − 𝑦 − 18 = 0


(b) −4

3 (c) 3𝑥 − 4𝑦 + 37 = 0


𝑦 = 18𝑥 − 21


−20𝑥 + 𝑦 + 80 = 0


(a) ½ (c) y = –2x – 7


(a) –½ (b) y = –½x + ½ (c) ξ125 = 5ξ5

Pennod 5

Adran 5b


(4, 16) a (–1, 1)


Y gwerth lleiaf yw –61.


(x + 6)² + 4 (felly a = 6, b = 4).


(a) –97


(b) –4


(b) –10


(b) –31

Haf 2014, Cwetiwn 2

(b) –22


(a) 𝑥 = −7 (b) –40


(b) (i) 13 (ii) 𝑥 = −6


Gwerth x yw –11; y gwerth lleiaf yw 2.


Mae p = 0.9; y datrysiadau yw 1.1 a –2.9.

Adran 5ch


(–1, 1) a (4, 16)


Naill ai x = –7, y = –17 neu x = 12, y = 2.


(–6, 12) a (3, –6).


Petryal A: 11cm × 20cm; Petryal B: 19cm × 37cm.


(3, 7) a (10, –7).


Hyd y sgwâr lleiaf yw 3.5cm;

hyd y sgwâr mwyaf yw 6.5cm.


(1.56, 2.56) a (–2.56, –1.56)


(2, 2) a (4, 0).


𝑥 = 1 + ξ23



(1.16, 3.32) a (–5.16, –9.32)


(1, 9) a (4, 6)


(0.32, –0.04) a (–1.57, –5.71) (i 2 le degol).

Pennod 6

Adran 6c


21.21cm (yn gywir i i 2 le degol); tybiaeth:

modelir y bensil fel llinell felly efallai bydd hyd y

bensil go iawn ychydig yn fyrrach.


2ξ7 cm


34.4° i un lle degol.

Pennod 7

Adran 7c


(a)

(b) 𝑥 = 70°, 110°

(c)


𝐴𝐵 =7ξ6

3


(a)

(b) 𝑥 = 9.7° neu 𝑥 = 80.3°


(a) 𝑦 = 4 sin 3𝑥

(b) (i) –1

(b) (ii) 𝑥 = 18° neu 𝑥 = 90°


(a)

(b) 𝑥 = 0°, 180°, 360°


ξ6


(b) 5 + 2ξ3



(a)

(b) 𝑥 = 90°, 𝑥 = 270°


(a) 1 (b) ξ3

6 (c) 1

3

4


(a)

(b) Gwerth mwyaf = 8; gwerth lleiaf = 2


𝑥 = 5ξ3 cm


(a)

(b) 𝑥 = 14.48°, 𝑥 = 165.52° (i 2 le degol).

Pennod 9

Adran 9a

Gaeaf 2005, Cwestiwn 2 8ξ7+19

3


(a) 5ξ3

(b) ξ7−1

2


(a) 3ξ3 − 4

(b) 2


(a) 11ξ2

(b) 11 + 2ξ30


(a) −ξ5

(b) 4+ξ3

13


(a) 3ξ3 + 2

(b) ξ5


(a) 2ξ7 + 3

(b) ξ2


(a) 4 − ξ11

(b) 2ξ2


5ξ2 + 7


(a) 8ξ3 + 1

(b) 2ξ3


(a) −6 + 3ξ5

(b) 8ξ3

Haf 2014, Cwestiwn 6 15−5ξ2

7


Adran 9b


(a) (i) 5

6

(a) (ii) 1

49

(b) (i) 30ξ𝑥

(b) (ii) 3

5+

2

5𝑦


(a) (i) 27

(a) (ii) 10000

(b) (i) 20𝑥1

2

(b) (ii) 3 + 𝑥1

5


(a) 2500

(b) (i) 12𝑥−1

(b) (ii) 3 + 𝑥1

6


(b) (i) 6𝑥

(b) (ii) 4 + 𝑥1

7


144


(a) 20𝑥1

3 (b) 2 + 𝑥1

2 neu 2 + ξ𝑥


(b) (i) 𝑥5

2 (ii) 8𝑥−1

9 + 1


(a) 60𝑥9

5 (b) 2𝑥1

5 + 𝑥3

5


225

Adran 9c


(a) x = 11 neu x = –6


(a) x = –2 neu x = –4

(b) 𝑦 =−3±ξ29

2. Nid yw ξ29 yn rif cyfan felly ni

fydd y yn rif cyfan chwaith. A gan fod x bump yn

fwy ni fedr x chwaith fod yn rif cyfan.


(a) (i) (3x + 1)(2x – 5)

(a) (ii) 𝑥 = −1

3 neu 𝑥 =

5

2


ሺ5𝑥 + 3ሻሺ3𝑥 − 2ሻ felly naill ai 𝑥 = −3

5 neu 𝑥 =

2

3



4 neu 𝑥 =

3

2


Naill ai 𝑥 = 10 neu 𝑥 = −10



5 neu 𝑥 =

4

3


ሺ3x + 2ሻሺ2x − 5ሻ felly naill ai 𝑥 = −2

3 neu 𝑥 =

5

2


(a) ሺ7𝑥 + 2ሻሺ3𝑥 − 2ሻ

(b) Naill ai 𝑥 = −2

7 neu 𝑥 =

2

3


Naill ai 𝑥 =1

4 neu 𝑥 = −

3

5

Adran 9ch


x = 4 neu x = 9.


x = 6.30 neu x = 0.52 (yn gywir i ddau le degol).

Haf 2012, Cwestiwn 2 3𝑦−2𝑥

𝑥+2𝑦


Haf 2017, Cwestiwn 14 218𝑥+239

ሺ2𝑥+5ሻሺ3𝑥−1ሻ

Adran 9d


(b) 0.003cm


29


x = 4, y = 3.5


(a) 3026.3 milltir, yn gywir i 1 lle degol.

(b) n = 1.67, yn gywir i 3 ffigur ystyrlon.


3357.32cm², yn gywir i 2 le degol.


7cm


𝐴𝐵 = 60cm, 𝐵𝐶 = 45cm (neu fel arall, h.y.

𝐴𝐵 = 45cm, 𝐵𝐶 = 60cm)


8cm


10.44cm


(b) Hydoedd ochrau paralel y trapesiwm yw

3.6cm a 7.6cm


64.76°, i 2 le degol


96𝜋 = 301.59 cm², yn gywir i 2 le degol.


(a) 𝜃 = 76.39437268°

(b) 1.626cm², yn gywir i 3 lle degol.


(b) 2.1cm², yn gywir i 1 lle degol.

Adran 9dd


17.89cm, 35.78cm, 44.72cm, i gyd yn gywir i 2 le

degol.


68.96°, yn gywir i 2 le degol.


(b) 7cm.


(a) x = 6cm

(b) 15.5cm, yn gywir i 1 lle degol

Documents

11 - mathemateg.com · /adolygumathemateg Tudalen 3 @mathemateg Pennod 1: Theorem y Ffactor, Theorem y Gweddill ..... 5